圆锥曲线中斜率乘积问题为定值的问题(最新整理)
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经典题突破方法---圆锥曲线中斜率乘积为定值的问题
温县第一高级中学数学组 任利民
问题1:平面上一动点
与两点的连线的斜率之积是,求
(,)P x y (2,0),(2,0)A B -3
4-
点的轨迹方程 .
P 22
1(2)43x y x +=≠±问题2:椭圆上任一点与两点的连线的斜率之积是 22
1
43x y +=P (2,0),(2,0)A B - .
123
4k k =-
探究:(1)已知椭圆上两点,椭圆上任意异于A 、B 的22
221x y a b +=(,0),(,0)A a B a -点与A 、B 连线的斜率之积是 .
P 2
2
b a -(2)已知椭圆上两点,椭圆上任意异于A 、B 的点与A 、22
221x y a b +=(0,),(0,)A b B b -P B 连线的斜率之积是 .
2
2
b a -(3)已知椭圆上两定点,椭圆上任意异于A 、B 22
221x y a b +=0000(,),(,)A x y B x y --的点与A 、B 连线的斜率之积是 .
P 2
2
b a -结论1.设 A 、B 是椭圆上关于原点对称的两点,点P 是该椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>上不同于A ,B 的任一点,直线PA ,PB 的斜率分别为k1,k2,则
.2
122
b k k a =-探究:(3)设 A 、B 是双曲线上关于原点对称的两点,点P 是
22
2
21(0)x y a b a b -=>>该双曲线上不同于A ,B 的任一点,直线PA,PB 的斜率是k1,k2,猜想k1k2是否为定值?并给予证明.
结论2.设 A 、B 是双曲线上关于原点对称的两点,点P 是该22
221(0,0)x y a b a b -=>>双曲线上不同于A ,B 的任一点,直线PA ,PB 的斜率分别为k1,k2,则
.2
122
b k k a =应用拓展:
1.设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右顶点分别为,点
,A B P 在椭圆上且异于两点,若直线AP 与BP 的斜率之积为,
,A B 12-则椭圆的离心率为
.
解析:利用k AP ·k BP =,可以得到.
22b a
-c e a ====2.椭圆C:的左、右顶点分别为,点在C 上且直线斜率的取值
22
143x y +=12,A A P 2PA 范围是 ,那么直线斜率的取值范围是
[2,1]--1PA A.
B.
C.
D. 13
[,24
33[,]84
1[,1]2
3[,1]
4
解析:因为,所以 ,∵
122
234
PA PA b k k a ⋅=-=-123
4PA PA k k -
=
2
[2,1]PA k ∈--∴,故选B.
133[,84
PA k ∈3.如图2,在平面直角坐标系xOy 中,F 1,F 2分别为椭圆
22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点,B 、C 分别为椭圆的上、下顶点,直线BF 2与椭圆的另一交点为D .若cos ∠F 1BF 2=,7
25
则直线CD 的斜率为
.
解析:由已知可得21227cos cos 2cos 125
F BF OBF ∠=∠-=
,所以,所以,又因为,且,
24cos 5b OBF a ∠==35c a =BD b
k c =-BD CD k k ⋅=2
2b a
-所以,即.
22CD
b b
k c a -⋅=-4312
5525
CD b c k a a =⋅=⋅=
3.已知椭圆,点为其长轴的6等分点,分别过这五点
2
2:12
x C y +=125,,,M M M AB 作斜率为的一组平行线,交椭圆于点,则这10条直线,(0)k k ≠C 1210,,,P P P 1AP 210,,AP AP 的斜率的乘积为.
1
32-