圆锥曲线中斜率乘积问题为定值的问题(最新整理)

经典题突破方法---圆锥曲线中斜率乘积为定值的问题

温县第一高级中学数学组 任利民

问题1：平面上一动点

与两点的连线的斜率之积是，求

(,)P x y (2,0),(2,0)A B -3

4-

点的轨迹方程 .

P 22

1(2)43x y x +=≠±问题2：椭圆上任一点与两点的连线的斜率之积是 22

1

43x y +=P (2,0),(2,0)A B - .

123

4k k =-

探究：（1）已知椭圆上两点,椭圆上任意异于A 、B 的22

221x y a b +=(,0),(,0)A a B a -点与A 、B 连线的斜率之积是 .

P 2

2

b a -（2）已知椭圆上两点,椭圆上任意异于A 、B 的点与A 、22

221x y a b +=(0,),(0,)A b B b -P B 连线的斜率之积是 .

2

2

b a -（3）已知椭圆上两定点，椭圆上任意异于A 、B 22

221x y a b +=0000(,),(,)A x y B x y --的点与A 、B 连线的斜率之积是 .

P 2

2

b a -结论1.设 A 、B 是椭圆上关于原点对称的两点，点P 是该椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>上不同于A ，B 的任一点，直线PA ，PB 的斜率分别为k1，k2，则

．2

122

b k k a =-探究：（3）设 A 、B 是双曲线上关于原点对称的两点，点P 是

22

2

21(0)x y a b a b -=>>该双曲线上不同于A ，B 的任一点，直线PA,PB 的斜率是k1,k2，猜想k1k2是否为定值？并给予证明．

结论2.设 A 、B 是双曲线上关于原点对称的两点，点P 是该22

221(0,0)x y a b a b -=>>双曲线上不同于A ，B 的任一点，直线PA ，PB 的斜率分别为k1，k2，则

．2

122

b k k a =应用拓展：

1.设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右顶点分别为，点

,A B P 在椭圆上且异于两点，若直线AP 与BP 的斜率之积为，

,A B 12-则椭圆的离心率为

.

解析：利用k AP ·k BP ＝，可以得到.

22b a

-c e a ====2.椭圆C:的左、右顶点分别为，点在C 上且直线斜率的取值

22

143x y +=12,A A P 2PA 范围是 ，那么直线斜率的取值范围是

[2,1]--1PA A.

B.

C.

D. 13

[,24

33[,]84

1[,1]2

3[,1]

4

解析：因为，所以 ,∵

122

234

PA PA b k k a ⋅=-=-123

4PA PA k k -

=

2

[2,1]PA k ∈--∴,故选B.

133[,84

PA k ∈3.如图2，在平面直角坐标系xOy 中，F 1,F 2分别为椭圆

22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点，B 、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D .若cos ∠F 1BF 2＝，7

25

则直线CD 的斜率为

．

解析：由已知可得21227cos cos 2cos 125

F BF OBF ∠=∠-=

，所以，所以，又因为，且，

24cos 5b OBF a ∠==35c a =BD b

k c =-BD CD k k ⋅=2

2b a

-所以，即．

22CD

b b

k c a -⋅=-4312

5525

CD b c k a a =⋅=⋅=

3.已知椭圆，点为其长轴的6等分点，分别过这五点

2

2:12

x C y +=125,,,M M M AB 作斜率为的一组平行线，交椭圆于点,则这10条直线,(0)k k ≠C 1210,,,P P P 1AP 210,,AP AP 的斜率的乘积为.

1

32-