菱形的判定(教学设计)

菱形的判定

一、教学目标：经历菱形的判定方法的探究过程,掌握菱形的三种判定方法.

二、教学重点:菱形判定方法的探究.

三、教学难点:菱形判定方法的探究及灵活运用.

四、教学过程:

活动1、引入新课，激发兴趣

1、复习

（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）菱形的性质1 菱形的两组对边分别平行，四条边都相等；

性质2 菱形的两组对角分别相等，邻角互补；

性质3 菱形的两条对角线互相平分，菱形的两条对角线互相

垂直，且每一条对角线平分一组对角。

2、导入

(1)如果一个四边形是一个平行四边形，则只要再有什么条件就可以判定它是一个菱形？依据是什么？

根据菱形的定义可知：

一组邻边相等的平行四边形是菱形.

所以只要再有一组邻边相等的条件即可.

(2)要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？活动2、探究与归纳菱形的第二个判定方法

【问题牵引】

用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉子，做成一个可转动的十字架，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形。

问: 任意转动木条，这个四边形总有什么特征？你能证明你发现的结论吗？

继续转动木条，观察什么时候橡皮筋周围的四边形变成菱形？你能证明你的猜想吗？

学生猜想:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

教师提问：这个命题的前提是什么？结论是什么？

学生用几何语言表示命题如下：

已知：在□ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，

求证：□ABCD 是菱形。 分析：我们可根据菱形的定义来证明这个平行四边形是菱形，由平行四边形的性质得到BO=DO ，由∠AOB=∠AOD=90º及AO=AO ，得ΔAOB ≌ΔAOD ，可得到AB=AD (或根据线段垂直平分线性质定理,得到AB=AD) ，最后证得□ABCD 是菱形。

【归纳定理】

通过探究和进一步证明可以归纳得到菱形的第二个判定方法(判定定理1): 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

提示：此方法包括两个条件——（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直。对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。

活动3、菱形第二个判定方法的应用

例3 如图，如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交

于点O ，且AB=5，AO=4，BO=3，求证：□ABCD 是菱形。

思路点拨：由于平行四边形对角线互相平分，构

成了△ABO 是一个三角形，•而AB=5，AO=4，BO=3，由勾股定理的逆定理可知∠AOB=90°，证出对角线互相垂直，这样可利用菱形第二个判定方法证得。 活动4、探究与归纳菱形的第三个判定方法

【操作探究】过程: 先画两条等长的线段AB 、AD ，然后分别以B 、D 为圆心，AB 为半径画弧，得到两弧的交点C ，连接BC 、CD ，就得到了一个四边形，提问：观察画图的过程，你能说明得到的四边形为什么是菱形吗?你能得到什么结论? 学生观察思考后，展开讨论，指出该四边形四条边相等，即有两组对边相等，它首先是一个平行四边形，又有一组邻边相等，根据菱形定义即可判定该四边形是菱形。得出从一般的四边形直接判定菱形的方法：四边相等的四边形是菱形。

O D

C B A

学生进行几何论证，教师规范学生的证明过程。

【归纳定理】

从一般的四边形直接判定菱形的方法(判定定理2):

四边相等的四边形是菱形。

活动5、菱形第三个判定方法的应用

如图，顺次连接矩形ABCD 各边的中点，得到四边形EFGH ，求证:四边形EFGH 是菱形。

思路点拨：

方法一，由中点联想到连接矩形对角线BD 、AC ，

可得AC=BD 。利用三角形中位线等于底边的一半，证明EF=FG=GH=EH 。根据判定定理，所以四边形EFGH 是菱形。

方法二：通过证明图中四个Rt △全等，得到EF=FG=GH=EH 。

活动6、随堂练习

练习1：

判断下列说法是否正确？为什么？

(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；

(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；

(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；

(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．

练习2：填空。

如图：□ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，

（1）若AB=AD ，则□ABCD 是 形；

（2）若AC=BD ，则□ABCD 是 形；

（3）若∠ABC 是直角，则□ABCD 是 形；

（4）若∠BAO=∠DAO ，则□ABCD 是 形。

活动7、评价和反思

1、通过探究，本节课你得到了哪些结论？有什么认识？

2、菱形的判定方法有哪些？ 课后作业：教科书第100页练习题第2、3题，102页第6题