锐角三角函数 -正弦ppt课件
锐角三角函数(正弦、余弦和正切)
2．同一锐角三角函数的关系：
如图， 在 Rt△ ABC中，∠ C=90°， sin A
a ，cos A
b
，
c
c
则 sin2 A cos2 A
2
a
c
2
b
c
a2 b2 c2
c2 c2
1，即同一锐角的
正弦、余弦的平方和等于
1，或者说若
α
为锐角， 则
sinห้องสมุดไป่ตู้
2
2
α+cos α =1．
规律 学习锐角三角函数时，应明确三角函数值的两个变化规律： 1．特殊角的三角函数值的记忆规律：
Rt△ ABC中，∠ A+∠ B=90°，由
三角函数定义得
sin A
a ，cos(90
a
b
A) cosB ，cos A
sin B sin(90
A) ，
c
c
c
所以 sin A=cos（90° - A），cos A= sin （90° - A）．即任意锐角的余弦值等于它的余角的正
弦值，任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值．
锐角三角函数教案
概念
1．在直角三角形中，斜边大于直角边且各边均为正数，正弦、余弦都是直角边与斜边
的比值，正切是两直角边的比值，因此正弦值、余弦值都是小于
1 的正数，正切值是大于零
的数，并且都没有单位，即 0<sin A<1，0<cos A<1， tan A>0（∠ A为锐角）．
2．每一个三角函数都是一个完整的符号， 如 sin A不能理解为 sin · A，sin A 中的“ A”
2．锐角三角函数值的增减性：锐角 α 的正弦 sin α 值随着∠ α 的增大而增大；锐角
锐角三角函数
关系式
李善兰三角函数展开式 tanα·cotα=1 希腊三角函数公式 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 1+(tanα)^2=(secα)^2 1+(cotα)^2=(cscα)^2 锐角三角函数诱导公式 直角三角形中的锐角三角形函数sin（－α）=－sinα cos（－α）=cosα tan（－α）=－tanα
三角函数值
取值范围
特殊角
变化情况
特殊角的三角函数值如下 ： 注：非特殊角的三角函数值，请查三角函数表
θ是锐角： 0 0 tanθ>0 cotθ>0
1.锐角三角函数值都是正值。 2.当角度在0°～90°间变化时， 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） ； 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 正割值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余割值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。 3.当角度在0°≤A≤90°间变化时，0≤sinA≤1, 0≤cosA≤1；当角度在0°0。
锐角三角函数
数学函数
01 相关概念
03 关系式
目录
02 三角函数值
锐角三角函数是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。我们把锐角∠A的正弦、余弦、正切和余切都叫做 ∠A的锐角函数。
相关概念
图1直角三角形锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割 （csc）都叫做角A的锐角三角函数。初中学习的锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初 中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到如图1所示的直角三角形中，则 锐角三角函数可表示如下：
锐角的三角函数PPT
余弦函数的符号为cos，表示为cos(θ)， 其中θ为锐角。
02
余弦函数的图像是一条周期为2π的余弦 曲线，表示在直角三角形中，邻边的长 度与斜边的长度的比值在[-1,1]之间周 期性变化。
04
正切函数的定义
01
正切函数：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)
02
正切函数的定义域：(0, π/2)
余弦函数的值域：[-1, 1]
余弦函数的图像：一个周期为2π的周 期函数，图像关于y轴对称
余弦函数的奇偶性：偶函数，f(x) = f(-x)
余弦函数的单调性：在[0, π/2]上是 增函数，在[π/2, π]上是减函数
余弦函数的导数：f'(x) = -sin(x)
正切函数的性质
01
02
03
04
05
值域：正弦函数的值域是[-1, 1]
奇偶性：正弦函数是奇函数， 即f(x) = -f(-x)
周期性：正弦函数的周期是 2π，即f(x + 2π) = f(x)
最值：正弦函数的最大值是1， 最小值是-1
图像：正弦函数的图像是一 条正弦曲线，关于原点对称
余弦函数的性质
定义：余弦函数是直角三角形中的一 个角与对边和斜边的比值
03
正切函数的值域：(0, ∞)
04
正切函数的图像：在平 面直角坐标系中，正切 函数的图像是一条以原 点为中心的对称曲线， 在y轴右侧的部分为单调 递增，在y轴左侧的部分 为单调递减。
Part Two
锐角三角函数的性 质
正弦函数的性质
定义：正弦函数是直角三角 形中的一个角（锐角）的正 弦值与对边长度的比值
06
正切函数是锐 角三角函数中 的一种，表示 在一个直角三 角形中，对边 （opposite） 的长度与邻边 （adjacent） 的长度之比。
锐角三角函数定义
锐角三角函数是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。
我们把锐角∠A的正弦、余弦、正切和余切都叫做∠A的锐角函数。
锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。
初中学习的锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到如图1所示的直角三角形中，则锐角三角函数可表示如下：
正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/c
余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c
正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b
余切（cot）等于邻边比对边；cotA=b/a
到了高中三角函数值的求法是通过坐标定义法来完成的，这个时候角也扩充到了任意角。
所谓锐角三角函数是指：我们初中研究的都是锐角的三角函数。
锐角三角函数(余弦、正切)
振动与波动
余弦函数在振动和波动的研究中有广泛 应用。例如，简谐振动的位移、速度和 加速度都可以表示为余弦函数的形式。
03
正切函数
正切函数的定义与性质
正切函数的定义
正切函数是锐角三角函数的一种，定义为直角三角形中锐角的对边与邻边的比 值，记作tan(α)，其中α为锐角。
正切函数的性质
正切函数具有连续性、周期性、奇偶性等性质。在区间(0,π/2)和(π/2,π)内，正 切函数是单调递增的，而在区间(-π/2,0)和(π/2,3π/2)内，正切函数是单调递减 的。
01
余弦函数和正切函数的定义
余弦函数和正切函数是锐角三角函数的重要组成部分，它们分别描述了
直角三角形中锐角对应的邻边和斜边的比值，以及锐角对应的对边和邻
边的比值。
02
基本性质和应用
余弦函数和正切函数具有周期性、奇偶性等基本性质，这些性质在解决
几何、物理和工程问题中有着广泛的应用。例如，在计算角度、长度、
工程学中的应用
结构设计
在建筑和机械工程中，锐 角三角函数用于设计各种 结构，如桥梁、建筑和机 器部件。
控制系统
在控制工程中，锐角三角 函数用于设计和分析控制 系统，以确保系统的稳定 性和性能。
信号处理
在电子和通信工程中，锐 角三角函数用于信号处理， 如滤波、调制和解调等。
06
总结与展望
锐角三角函数的总结
正切函数的图像与周期性
正切函数的图像
正切函数的图像是一条周期函数，其周期为π，且在每一个周期 内，图像呈现出先增后减的趋势。
正切函数的周期性
由于正切函数的周期为π，因此对于任意整数k，tan(x+kπ) = tan(x)，即正切函数在每个周期内具有相同的形状，但位置会随 着k的变化而变化。
锐角三角函数
锐角三角函数知识要点一、锐角三角函数1. 正弦及其公式如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比也随之确定，这个比叫做∠A 的正弦.记作sinA ，即ca斜边的对边∠A sinA ==.2. 余弦及其公式如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果锐角A 确定，那么∠A 的邻边与斜边的比也随之确定，这个比叫做∠A 的余弦.记作cosA ，即cb斜边的邻边∠A cosA ==.3. 正切及其公式如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边的比也随之确定，这个比叫做∠A 的正切.记作tanA ，即ba∠A的斜边∠A的对边tanA ==.4. 锐角三角函数的定义锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数.对于一个锐角A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以sinA 是∠A 的函数.同样，cosA 、tanA 也是∠的函数，其中∠A 是自变量，其取值范围是0°＜∠A ＜90°，sinA 、cosA 、tanA 分别是对应的函数.由于在直角三角形中，斜边大于直角边，且各边长均为正数，所以：0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1，tanA ＞0.二、特殊三角函数锐角α 三角函数30°45°60°sinA2122 23 cosA23 22 21 tanA33 13例题精讲第一部分：正弦函数【例1】 （2011桂林）如图，已知Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA 的值为（ ）A ．43 B ．34 C ．53 D ．54【例2】（2012滨州）把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦函数值（ ）A ．不变B ．缩小为原来的31C ．扩大为原来的3倍D ．不能确定【例3】 （2007宿迁）如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ∠ABC 等于（ ）A ．5B ．552 C ．55 D ．32【例4】 （2009广州）已知圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为65πcm 2，设圆锥的母线与高的夹角为θ，如图所示，则sinθ的值为（ ） A ．125 B ．135 C ．1310 D ．1312【例5】 如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，若AC=4，BC=3，则sin ∠ACD 的值为 ．【例6】 把含30°角的三角板ABC ，绕点B 逆时针旋转90°到三角板DBE 位置（如图所示），求sin ∠ADE 的值．第二部分：余弦函数【例7】 （2011来宾）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则∠A 的余弦值为（ ）A ．53 B ．43 C ．54 D ．34【例8】 （2006湖北）如图，直角三角板的直角顶点0在直线AB 上，斜边CD ∥AB ，则cosα= ．第三部分：正切函数【例9】 （2011苏州）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分別是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（ ） A ．43 B ．34 C ．53 D ．54【例10】 （2011黔东南州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上的中线，若BC=6，AC=8，则tan ∠ACD 的值为（ ）A ．53 B ．54 C ．34 D ．43【例11】 （2008泰安）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 如图那样折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是（ ） A ．724B ．37C ．247D ．31 【例12】（2008桂林）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，E 为AB 上一点且AE ：EB=4：1，EF ⊥AC 于F ，连接FB ，则tan ∠CFB 的值等于（ ）A ．33B ．332C ．335D ． 35【例13】 （2005泰安）直角三角形纸片的两直角边AC 与BC 之比为3：4．（1）将△ABC 如图1那样折叠，使点C 落在AB 上，折痕为BD ；（2）将△ABD 如图2那样折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ． 则tan ∠DEA 的值为（ ）A ．43 B ．34 C ．2519 D ．54第四部分：特殊角的三角函数值【例14】 （2011烟台）如果△ABC 中，sinA=cosB=22，则下列最确切的结论是（ ） A ．△ABC 是直角三角形 B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形 D ．△ABC 是锐角三角形【例15】（2002杭州）在△ABC 中，∠A 和∠B 都是锐角，且sinA=21，cosB=22，则△ABC 三个内角的大小关系为（ ）A ．∠C ＞∠A ＞∠B B ．∠B ＞∠C ＞∠AC ．∠A ＞∠B ＞∠CD ．∠C ＞∠B ＞∠A【例16】（2010济南）如图所示，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点M 、N 分别为OB 、OC 的中点，则cos ∠OMN 的值为（ ）A ．21B ．22C ．23 D ．1【例17】（2009贺州）已知a=3，且（4tan 45°-b ）2+0213=-+c b ，以a ，b ，c 为边组成的三角形面积等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【例18】（2007襄阳）计算：cos 245°+tan60°•cos30°等于（ ） A ．1 B ．2 C ．2D ．3【例19】（2006潍坊）计算：tan60°+2sin45°-2cos30°的结果是（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ． 1 【例20】 （2012南昌）计算：sin30°+cos30°•tan60°【例21】（2011深圳）计算：2-1+3cos30°+|-5|-(π-2011)0．【例22】 （2009芜湖）（-1）2009×（21-）-2+（-3π）0+|1-sin60°|【例23】（2011兰州）已知α是锐角，且sin （α+15°）=23，计算 8-4cosα-（π-3.14）0+tanα+(31)-1的值．解直角三角形知识要点一、锐角三角函数关系：（1）平方关系： sin 2A + cos 2A = 1； （2）互为余角的两个三角函数关系： 若∠A+∠B=∠90，则sinA=cosB,cosA=sinB.二、解直角三角形的应用中的几个概念 1．仰角、俯角如图1所示，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在不平线下方的角叫做俯角．2．水平距离、垂直距离、坡面距离如图2所示，BC 代表水平距离，AC 代表垂直距离，AB 代表坡面距离．铅垂线仰角 俯角视线 水平线视线图 1ABC垂 直 距 离 坡面距离水平距离 图23．坡度、坡角如图3所示，把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母i 表示，即lhi =，坡度一般写成l h :的形式，如⎪⎭⎫ ⎝⎛==515:1i i 即． 坡面与水平的夹角α叫做坡角，坡角与坡度之间有如下关系：αtan ==lhi .坡度越大，则α角越大，坡面越陡.4．方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于︒90的水平角，叫方向角，如图4，OA ，OB ，OC ，OD 的方向角分别表示北偏东︒60，北偏西︒30，西南方向，南偏东︒20．lhlh i =α图3东南西北 BA︒60︒45C D图4例题精讲第一部分：解直角三角形的实际应用【例1】 某人上坡走了60米，他升高了230米，这坡的坡度是（ ）A ．︒30B ．1:1C ．︒45D ．22 【例2】 小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m ，则他升高了（ ）A ．5200mB ．500mC ．3500mD ．1000m 【例3】 在距电视塔S 米的地面测得塔顶的仰角是α，则塔高是（ ）A ．αsin S B ．αcos SC ．αcot ⋅SD ．αtan ⋅S 【例4】 如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为______米（保留根号）．【例5】 （2010年辽宁省丹东市）如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m （即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ） A ．（53332+）m B ．（3532+）m C ． 533m D ．4m【例6】 如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，∠QON=30°．公路PQ 上A 处距离O 点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72千米/时的速度行驶时，AB A E D C30°处受噪音影响的时间为( )A ．12秒B ．16秒C ．20秒D ．24秒【例7】 如图，瞭望台AB 高20m ，瞭望台底部B 测得对面塔顶C 的仰角为60°，从瞭望台顶A 测得C 的仰角为45°，已知瞭望台与塔CD 地势高低相同，求塔CD 的高.【例8】 如图所示，水坝的横断面是梯形ABCD ，迎水坡DA 的坡度为1:2.5，背水坡CB 的坡度为1:2，坝高DE为8米，坝顶宽DC 为6米． 求：（1）坝底的宽AB ；（2）1米长的堤坝所需的土石方(体积)．【例9】 如图所示，从塔底同一水平线上的测量仪上，测得塔顶的仰角为︒45，向塔前进了10米（两次测量在塔的同侧），又测得塔顶的仰角为︒60，测量仪器的高为1.5米，求塔高（精确到0.1米）．AEDCB【例10】某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD 的高度．如示意图，由距CD 一定距离的A 处用仪器观察建筑物顶部D 的仰角为β，在A 和C 之间选一点B ，由B 处用仪器观察建筑物顶部D 的仰角为α．测得A ，B 之间的距离为4米，tan 1.6α=，tan 1.2β=，试求建筑物CD 的高度．【例11】如图所示，在东西方向的海岸线上，有A 、B 两个码头，相距()13100-米，由码头A 测得一只船K在北偏东︒60，由码头B 测得K 在北偏西︒15．求船只K 到海岸线AB 的距离．【例12】如图所示，已知海岛P 的周围18千米的范围内有暗礁，一艘海轮在点A 处测得海岛P 在北偏东︒30方向，向正北航行12千米到达点B 处，又测得海岛P 在北偏东︒45的方向，如果海轮不改变航向，继续向北航行，有没有触礁的危险？ABC GFDEA BM K北北东西ACDBE F β αG【例13】如图，某天然气公司的主输气管道从A 市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A 处测得要安装天然气的M 小区在A 市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C 处，测得小区M 位于C 的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N ，使到该小区铺设的管道最短，并求AN 的长.【例14】如图所示，已知：在山脚C 处测得出顶A 的仰角是︒45，沿着斜角为︒30的斜坡前进300m 到达D ，在D 点测得山顶A 的仰角为︒60．求山高AB ．【例15】如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米. （1）求新传送带AC 的长度；（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24，6≈2.45)ABC P东北AB DC第二部分：解直角三角形几何综合题【例16】在ABC ∆中，32sin 90=︒=∠A C ，，那么=B tan （ ） A ．55 B ．25 C ．552 D ．53【例17】菱形的边长为4，有一个内角为︒40，则较短的对角线长是（ ）A ．︒40sin 4B ．︒20sin 4C ．︒20sin 8D ．︒20cos 8 【例18】 已知在等腰ABC ∆中，顶角A 的平分线与对边交于D 点，若AB:BC=13:10，则=∠DAC cos ． 【例19】 三角形三边的长分别为17,32,5，则此三角形最大内角的度数是 ．【例20】一个三角形的一边长为2，这边上的中线长为1，另两边长之和为31+，则这个三角形的面积为（ ）A ．1B ．23 C ．3 D ．43【例21】方程()01242=++-m x m x ，的两根恰好是某直角三角形的两锐角的正弦，则m 的值为（ ）A ．2B ．3C ．2±D ．3±【例22】已知在ABC ∆中，B A C ∠>∠︒=∠，90，且A tan 和B tan 的值是方程013342=+-x x 的两个根，则=∠A ． 【例23】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ⊥DC ，∠C ＝60°，AD ＝4，BC ＝6，求AB 的长．ABC D【例24】 一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F=∠ACB=90°, ∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD 的长．课后练习1．菱形ABCD 的对角形AC=10cm ，BD=6cm ，那么2tanA等于（ ） A ．53 B ．54C ．343D ．345 2．等腰三角形底边长10cm ，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ） A ．135 B ．1312 C ．1310 D ．125 3．在ABC Rt ∆中，31tan ,90=︒=∠A C ，则=B sin ． 4．直角三角形中，一锐角的正切值为125，周长为18，则三边长为 ． 5．如图所示，一树的上段CB 被风折断，树梢着地，与地面成︒30角，树梢着地处B 与树根A 相距6m ，则原来的树高是 ．6．已知在ABC ∆中，3=AB ，AC=4，BC=3，BD 是AC 边上的中线，则BD 的长为 ．A BC7．已知，如图，海岛A 四周20海里范围内是暗礁区.一艘货轮由东向西航行，在B 处测得岛A 在北偏西︒60，航行24海里后到C 处，测得岛A 在北偏西︒30.请通过计算说明，货轮继续向西航行，有无触礁危险？ABC 3060。
第9讲 锐角三角函数
第9讲锐角三角函数知识点1 锐角三角函数1.如图在△ABC中，∠C是直角，锐角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）叫做角A的锐角三角函数．2.特殊角的三角函数值3.锐角三角函数值的变化规律当0°≤α≤90°时，sinα随α的增大而增大，cosα随α的增大而减小；当0°<α<90°时，tanα随α的增大而增大．【典例】例1在△ABC 中，∠C ＝90°，如果AC ＝8，BC ＝6，那么∠A 的正弦值为（ ） A ．35B ．45C ．34D ．43例2在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝α，BC ＝2，那么AC 的长为（ ） A ．2sin α B ．2cos αC ．2tan αD ．2cot α例3计算：tan 260°−2sin30°4cos 245°+cot30°．【随堂练习】1．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，那么tan B 的值等于（ ） A ．23B ．√53C ．√52D ．2．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝α，AC ＝2，那么AB 的长等于（ ） A ．2sinαB ．2sin αC ．2cosαD ．2cos α3．计算：2sin45°+2sin60°﹣tan60°•tan45°．4．计算：tan 245°cot30°−2cos45°−2sin60°．知识点2 解直角三角形1.定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形．2.基础知识在Rt △ABC 中，∠A ∠B ∠C 所对的边分别是a ，b ，c. （1）三边之间的关系：a 2+b 2=c 2 （2）锐角之间的关系：A ∠+B ∠=C ∠=90（3）边角之间的关系：sin A =a c cos A =b c tan A =ab sin B =bc cos B =ac tan B =ba（4）面积公式：S=12ab=12ch （h 为斜边上的高） 3. 解直角三角形的基本类型及其解法【典例】例1如图，在△ABC 中，BD ⊥AC ，AB ＝4，AC ＝3，∠A ＝30°．（1）求AD 的长． （2）求sin C 的值．例2如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8．若∠BPC =12∠BAC ，求sin ∠BPC ．例3如图，在△ABC 中，cos B =√22，sin C =35，AC ＝10，求△ABC 的面积．【随堂练习】1．如图，在△ABC 中，tan C =35，点D 在边BC 上，AB ＝AD ，CD ＝2BD ＝4，求sin B 的值．2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12，AC ＝4√3，解这个直角三角形．3．如图，在△ABC 中，已知∠C ＝90°，sin A ＝，点D 为边AC 上一点，若∠BDC ＝45°，DC ＝6，求AD 的长．（结果保留根号）知识点3 解直角三角形的应用——坡度、坡角问题1.坡角：坡面与水平面的夹角，用字母α表示．2.坡度（坡比）：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比，用字母i 表示，则i=ℎl =tan α．【典例】例1如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC ∥AD ，BE ⊥AD ，斜坡AB 长26m ，斜坡AB 的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A 不动，则坡顶B 沿BC 至少向右移 m 时，才能确保山体不滑坡．（取:i h l=hlαtan50°≈1.2）例2如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB 的坡角α＝45°，坡长AB＝6米，背水坡CD的坡度i＝1：，求背水坡的坡长CD为多少米．例3 如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为6√2米（结果保留根号）．【随堂练习】1．如图，某河堤迎水坡AB的坡比i＝tan∠CAB＝1：√3，堤高BC＝5m，则坡面AB的长是（）A．5 m B．10m C．5√3m D．8 m2.小明一家去某著名风景区旅游，准备先从山脚A走台阶步行到B，再换乘缆车到山顶C．从A到B的路线可看作是坡角为30°的斜坡AB，长度为1000米；从B到C的缆车路线可看作是线段BC，长度为2400米，其与水平线的夹角为48°，求山顶C到地面AD的距离CE 的长．（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）3．农用温棚的上半部分如图所示，迎阳坡AD 的坡度i ＝1：1.8，背阳坡AC 坡度i ＝1：0.5，棚宽CD ＝11.5米，要铅直竖立两根立柱AB 、EF ，其中BF ＝AB ．求AB 、EF 的长．知识点4 解直角三角形的应用——仰角俯角问题1.仰角和俯角 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．【典例】例1如图所示，某小组同学为了测量对面楼AB 的高度，分工合作，有的组员测得两楼间距离为50米，有的组员在教室窗户处测得楼顶端A 的仰角为30°，底端B 的俯角为10°，请你根据以上数据，求出楼AB 的高度．（精确到0.1米）仰角水平线视线视线俯角（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，＝1.41， 1.73）例2某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，河旁有一座小山，山高BC＝80m，点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B 处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．若在此处建桥，求河宽EF的长．（结果精确到1m）[参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60]例3如图，永州市德雅、高峰学校老师们联合组织九年级学生外出开展数学活动，路经白石山公园时，发现工人们正在建5G信号柱，于是老师们就带领学生们对信号柱进行测量．已知信号柱直立在地面上，在太阳光的照射下，信号柱影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得信号柱顶端A的仰角为30°，在C处测得信号柱顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝8米，求信号柱AB的长度．（结果保留根号）【随堂练习】1．如图，小颖在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，在点N处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°．已知居民楼CD的高度为16.6m，小颖的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度．（结果精确到1m）【参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43】2．某地有一座大桥（图1），某初中数学兴趣小组想测量该大桥的外拱塔的最高点D距离桥面的高度CD，他们在桥面上选取了一个测量点A测得点D的仰角为26.6°，然后他们沿AC方向移动40m到达测量点B（即AB＝40m），在B点测得点D的仰角为37°，如图2所示．求外拱塔的最高点D距离桥面的高度CD．【参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50】3．校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝12米，AE ＝24米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：，≈1.73，sin53°≈，（1）求点B距水平地面AE的高度；（2）求广告牌CD的高度．知识点5 解直角三角形的应用——方向角问题1. 方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角．目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．2.方向角：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角．如下图所示，目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，目标方向线OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向．【典例】例1如图，灯塔B在灯塔A的正东方向，且AB＝75km．灯塔C在灯塔A的北偏东20°方向，灯塔C在灯塔B的北偏西50°方向．（1）求∠ACB的度数；（2）一轮船从B地出发向北偏西50°方向匀速行驶，5h后到达C地，求轮船的速度．例2 某公园中有条东西走向的小河，河宽固定，小河南岸边上有一块石墩A，北岸边上有一棵大树P，小杨利用它们测量小河的宽度，于是，他去了河边，如图．他从河的南岸石墩A处测得大树P在其北偏东30°方向，然后他沿正东方向步行80米到达点B处，此时测得大树P在其北偏西60°方向．请根据以上所测得的数据，计算小河的宽度．（结果保留根号）例3 一艘货船以30海里/小时的速度向正北航行，在A处看见灯塔C在船的北偏东30°，20分钟后货船至B处，看见灯塔C在船的北偏东60°，已知灯塔C周围7.1海里以内有暗礁，问这艘船继续航行是否能绕过暗礁？（提供数据：√2≈1.414，√3≈1.732）【随堂练习】1．如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距200m，则图书馆A到公路的距离AB为（）A ．100mB ．100√2mC ．100√3mD ．200√33m2．如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P 、Q 两点分别测定对岸一棵树T 的位置，T 在P 的正北方向，且T 在Q 的北偏西70°方向，则河宽（PT 的长）可以表示为（ ）A ．200tan70°米B ．200tan70°米C ．200sin 70°米D ．200sin70°米3．如图，MN 是公园劳动湖边一段东西走向的笔直湖岸，A ，B 是岸边两建筑物，一小艇在点C 处，与MN 的距离CE ＝60米，小艇向北偏西30°方向行驶100米到达点D ，此时，小艇上的人测量A 在小艇的南偏西60°方向，B 在南偏西30°方向，求A 、B 两建筑物之间的距离．综合运用1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，sin B=1213，则AC的长是（）A．25B．12C．5D．13 2．计算：（1）2sin30°一3tan45°•sin45°+4cos60°；（2）sin45°cos30°−tan60°+cos45°•sin60°．3．如图，某建筑AB与山坡CD的剖面在同一平面内，在距此建筑AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝50m，在坡顶D点处测得建筑楼顶A点的仰角为30°，求此建筑AB的高度．（结果用无理数表示）4．设Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若b＝6，c＝10，求sin A、cos A和tan A．5．如图所示，某水库大坝的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，坝顶宽AD＝2.5米，坝高AE＝DF＝4米，背水坡AB的坡度是1：1，迎水坡CD的坡度是1：1.5，求坝底宽BC．6．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2，使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO′后，电脑转到AO′B′位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA＝OB＝36cm，O'C⊥AC于点C，O′C＝18cm．（1）求∠CAO′的度数．（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？（3）如图4，垫入热架后，要使显示屏O′B′与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？7．近日，市委、市政府公布了第七批重庆市爱国主义教育基地名单，重庆市育才中学创办的陶行知纪念馆位列其中，如图，为了测量陶行知纪念馆AB的高度，小李在点C处放置了高度为1.5米的测角仪CD，测得纪念馆顶端A点的仰角∠ADE＝51°，然后他沿着坡度i＝1：2.4的斜坡CF走了6.5米到达点F，再沿水平方向走4米就到达了纪念馆底端点B．（结果精确到0.1，参考数据：sin51°≈0.78，cos51°≈0.63，tan51°≈1.23）（1）求点D到纪念馆AB的水平距离；（2）求纪念馆AB的高度约为多少米？8.如图，小岛C和D都在码头O的正北方向上，它们之间距离为6.4km，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头O的正西方向A处时，测得∠CAO＝26.5°，渔船速度为28km/h，经过0.2h，渔船行驶到了B处，测得∠DBO＝49°．（1）直接写出：在小岛C看点A俯角大小是；点B在小岛D什么方位？；（2）求渔船在B处时距离码头O有多远？（结果精确到0.1km）（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，sin49°≈0.75，cos49≈0.66，tan49°≈1.15）。
锐角三角函数(18张PPT)
解：如图（2）在Rt△ABC中，
BC 5 sin A , AB 13
C
(2)
A
AC AB2 BC 2 132 52 12
AC 12 因此sin B AB 13
小试牛刀
1.判断对错:
BC √ ） 1) 如图 (1) sinA= （ AB
BC (2)sinB= （×） AB
B 3
解：如图（1）在Rt△ABC中，
C
B 13
5
A
AB AC BC 4 (1)
4
2 2
2
C 3
2
5
B
(2)
A
13
BC 3 AC 4 因此sin A , sin B AB 5 AB 5
5
C
(2)
A
试一试
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求 B sinA和sinB的值．
B 10m 6m C
(3)sinA=0.6m （×） (4)SinB=0.8 （√ ） BC 2)如图，sinA= （× ） AB
A
sinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；
小试牛刀
2倍，sinA的值（ C
A.扩大100倍
）
1 B.缩小 100
B
a
c
C
b
A
独立完成作业的良好习惯，
是成长过程中的良师益友。
结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时， 不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比 也是一个固定值．
直角三角形的一个锐角的对边与斜边 的比值为这个锐角的正弦
如：∠A的正弦 记作：sinA 即 a ∠A的对边 sinA= = 斜边 c
锐角三角函数
例2 根据下列条件，求出相应的锐角α：
例3: 已知A、B、C是ABC的三个内角，
且 2 sin A 1 tan B 1 0, 求C的度数
练习
2 3 1.在ABC中, 若 sin B , cos A , 2 2 求A, B, C的度数
基础练习
5 3.在△ABC中，∠C=90°，BC=3，tanB= 3
则AB=
。
3 4.已知ABC中，C 90 ， B , c 5 13 , tan 2 求ABC的面积
0
试一试
设Rt△ABC中，∠C＝90゜，∠A、∠B、∠C的 对边分别为a、b、c，根据下列所给条件求∠B 的四个三角函数值. B （1） ∠A=45°, (2) ∠B=30°
基础练习
1.在Rt△ABC中，∠C＝90゜，∠A、∠B、∠C的对边 分别为a、b、c，下列式子中一定成立的是( ) A. a=c· cosB B. a= b· cosB C. a=c · tanB D. a=b · tanB
2.在△ABC中，已知AC=3，BC=4，AB=5，那么下列 结论成立的是（ ）。 4 3 5 A sinA= B cosA= C tanA= 5 4 4
有AC= AB 2 BC 2 (5k ) 2 (4k ) 2
┌ A C
AC 3k 3 4 ∴sinB= AB 5k 5 ，cosB= 5
tanB=
3 ， 4
拓展与提高
1.已知α为锐角，tanα＝3，则 cotα－sin2α＝___.
小结: 锐角三角函数的意义
在Rt△ABC中，∠C=90°，
以上例子中，若求 sin B、tan B 呢？？
说一说 写一写
锐角的三角函数
•锐角三角函数的概念•锐角三角函数的性质•锐角三角函数的公式•锐角三角函数的应用•锐角三角函数的扩展目录01010203定义正切函数在区间(0, π/2)和区间(π/2, π)上都是增函数，且当α=0时，tan(α)=0；当α=π/4时，tan(α)=1。
性质应用01总结词详细描述周期性总结词在锐角三角形中，边长与角度之间存在直接的关系。
详细描述对于锐角三角形，边长与角度之间的关系可以通过正弦、余弦和正切函数来描述。
这些函数将边长和角度联系在一起，为解决几何问题提供了重要的工具。
角度与边的关系角度与面积的关系总结词详细描述01两角和与差的公式倍角公式余弦正切正弦03正切半角公式01正弦02余弦01已知两边及夹角解三角形已知三边及夹角解三角形已知三边长度解三角形解三角形方向角的计算极坐标系方向问题高度和深度问题高度测量在几何学中，高度是一个重要的概念。
利用三角函数可以方便地计算出任意两点之间的高度差。
深度测量在海洋学和地球物理学中，深度是一个重要的参数。
利用三角函数可以方便地计算出任意一点到海底的距离（深度）。
01范围任意角的三角函数值都有正、负之分，其取值范围为实数集。
定义任意角的三角函数定义为直角三角形中一个锐角对应边的长度与斜边长度的比值。
周期性任意角的三角函数值都具有周期性，即随着角度的变化，函数值呈现出周期性变化。
任意角的三角函数反三角函数定义反三角函数是指那些需要用已知三角函数值求解角度的函数。
种类反三角函数包括反正弦、反余弦和反正切等。
应用反三角函数在几何学、工程技术和科学计算等领域有广泛应用。
双曲函数与三角函数的联系联系公式应用感谢您的观看THANKS。
锐角三角函数
锐角三角函数1.1锐角三角函数的定义（1）锐角α的,,统称为锐角α的三角函数【答案】正弦、余弦、正切（2）正弦：在直角三角形中，一个锐角α的与的比叫做这个角的正弦。
表达式sinα=余弦：在直角三角形中，一个锐角α的与的比叫做这个角的余弦表达式cosα=正切：在直角三角形中，一个锐角α的与的比叫做这个角的正切表达式tanα=【答案】对边与斜边邻边与斜边对边与邻边1.2特殊角的三角函数值【答案】1、12，3、32，12，32解直角三角形1.在直角三角形中，由已知元素求出的过程，叫做解直角三角形．如果知道直角三角形中除直角外的五个元素中的两个元素(至少有一条边)，就可以求出其余【答案】未知元素三个未知元素2.在解直角三角形的过程中，一般要用到下面的一些关系(1)三边之间的关系：(2)两锐角之间的关系：(3)边角之间的关系：（1）a2 b2 c2（2）∠A ∠B 90°（3）sinA=cosB=ac ，sinB=cosA=bc3解直角三角形的应用3.1解直角三角形的应用-坡度坡角问题坡面的和的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即i＝h：l.坡面与水平面的夹角叫做，记作α，即坡度就是坡角的坡度与坡角的关系是：i＝ℎl .【答案】铅垂高度(h),水平长度(l)坡角正切值.tanα3.2解直角三角形的应用-仰角俯角问题从下向上看，视线与水平线的夹角叫做；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做【答案】3.3解直角三角形的应用-方向角问题指北或指南方向线与所成的小于90°的叫做方向角，方向角一般写成“北(或南)偏西(或东)××度”的形式【答案】目标方向线水平角。
锐角三角函数锐角三角函数
03
证明方法
利用正弦定理和余弦定理，将边的关 系转化为角的关系，再利用三角函数 的性质推导得出。
05
锐角三角函数的作图及演 示
利用计算器或计算机软件绘制锐角三角函数图像
总结词
通过使用计算器或计算机软件，我们可以 轻松地绘制出锐角三角函数的图像。
详细描述
首先，我们需要输入锐角的角度值，然后 在计算器或计算机软件中选择对应的三角 函数（正弦、余弦或正切）。这样，我们 就可以得到一个关于角度的函数值。将这 些值在坐标系中表示，就可以形成锐角三 角函数的图像。
证明方法
通过正弦定理将角的关系转化为 边的关系，再利用勾股定理推导 得出。
正切定理的公式及证明
01
02
总结词
详细描述
正切定理是指在一个三角形中，任意 两边长度的比值等于这两边所夹角的 正切值与第三边所对应角的正切值的 比值。
正切定理的公式为 tan(A)/tan(B) = c/b。其中，A、B、C 分别代表与三 边相对应的角度，a、b、c 分别代表 三角形的三边长。
求边长
已知直角三角形的一个锐角和对应的边长，可以应用锐角三 角函数来求解另一条边长。例如，在直角三角形ABC中，已 知角A为30度，对应边a为10单位长度，那么对应边b的长度 可以通过应用三角函数求解。
在实际问题中求解角度或边长
地球定位
在地球上定位一个点，需要知道该点与北极的夹角和该点到北极的距离。这些信息可以通过应用锐角 三角函数来求解。
余弦定理
对于任意三角形ABC，有cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)，其中a、b、c分别是三角形的三边长度。这表明一个 角的余弦值等于由该角两边长度和它们夹角所确定的三角形的另一边的平方与两邻边平方和的差与两邻边的积 之比。
锐角三角函数
表示∠A、∠B.∠C 的对边.
3
4
1)若a=3,b=4,c=5，则sinA5= ， cosA= 5 ， 3
4
4 t2a)如nA果=已知c=，5 和∠cBos呢A？=0.8，则b = .
A
3)如果已知b=4 和sinB=0.8，
c
则c= 5.
b
教材6页随堂练习1
B aC
例题欣赏
例2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°， AC=200，sinA=0.6，求BC的长。
4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直 角三角形的边长无关.
5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值 相等,则这两个锐角相等.
拓展练习
折叠矩形ABCD, 使A, C重合, 折痕EF分别交边 AD,BC于点E,F, 交AC于O点, AB=3, BC=4, 求EF的长。
B
sinA = 斜边
斜边
∠A的对边
┌
A ∠A的邻边 C
总结新知
余弦的定义:
在Rt△ABC中，锐角A的邻边与斜
边的比叫做∠A的余弦，记作cosAB ，
即
A的邻边
cosA =
斜边
斜边
∠A的对边
A ∠A的邻边
┌ C
若∠A与若∠B与互余, 则 cosA_____sinB,sinA___cosB
总结新知
补充说明:
（来自《典中点
随堂练习
比较大小
（1）sin15°___ sin17° (2)cos88°_____cos2° (3)tan33°_____tan31° (2)sin5°_____cos6° （4）若sinA=0.5537,sinB=0.5612,则
数学锐角三角函数
数学锐角三角函数一、数学锐角三角函数简介三角函数是数学领域中非常重要的函数，所谓三角函数，就是把任意大小的角度α都把三角形的一个内角β表示出来。
锐角三角函数是指正弦函数、余弦函数和正切函数各自对应的正角，也叫正三角函数，主要用在坐标的的转换和三角形的面积求解中。
二、数学锐角三角函数的定义正弦函数sinx：正弦函数，即三角函数中以x表示角度α 时，三角形边长a和直角邻边b的关系，为：a/b=sinx。
余弦函数cosx：余弦函数，即三角函数中以x表示角度α 时，三角形边长a和邻边直角的邻边的关系，为：a/b=cosx。
正切函数tanx：正切函数，即三角函数中以x表示角度α 时，三角形的斜边b和底边的关系，为：b/a=tanx。
三、数学锐角三角函数的性质一般来说，正弦函数、余弦函数和正切函数都有一些性质，常用性质如下：（1）对称性：正弦、余弦、正切函数，均具有对称性，即f(x)= f(α-x);（2）周期性：正弦、余弦函数存在一个固定的周期，可以表示为2π、4π等；（3）值域：正弦、余弦函数的取值范围都在[-1,1]之间，而正切函数的取值范围则在(+∞,-∞)之间；（4）递推性：正弦、余弦函数和正切函数之间具有一些递推关系，用公式表达如下：sinx= cos(π/2-x);cosx= sin(π/2-x);tanx= 1/ tan(α-x).四、数学锐角三角函数的作用数学锐角三角函数主要用来模拟几何体某些方面的行为，或描述抽象几何结构，广泛应用于其他数学领域，如空间分析、圆角曲线分析、抛物线分析以及物理数学等相关数学问题的求解。
正弦函数和余弦函数在微分方程等数学分析领域也发挥着重要作用，甚至在科学中的许多计算都需要这些函数所提供的帮助。
例如，电路中的振荡，电子信号调制、晶振等。
此外，正弦函数和余弦函数也可以用来描述波形，如脉冲和电磁波等等。
此外，三角函数还可以用来求解三角形的面积以及解决很多数学方面的问题，例如计算圆周率、余弦定理等等。
锐角三角函数概念
锐角三角函数概念
嘿，朋友！你知道锐角三角函数吗？这可是个有趣的数学概念哦！它就像是数学世界里的小魔法师，能帮助我们解决很多与三角形有关的问题呢！
想象一下，你站在一个操场上，看到一个高高的旗杆。
你想知道旗杆有多高，但又不能直接爬上去量。
这时候，锐角三角函数就派上用场啦！它可以通过测量你与旗杆之间的距离，以及你看旗杆顶端的角度，来算出旗杆的高度。
是不是很神奇？
就像我们在生活中，有时候不能直接达到目标，但可以通过一些巧妙的方法来间接实现。
锐角三角函数就是这样一种方法，它让我们在数学的世界里游刃有余。
比如说，你知道吗？当你在山坡上行走时，锐角三角函数可以帮助你计算山坡的坡度。
这样你就可以知道走起来会有多累，提前做好准备啦！
而且，锐角三角函数在建筑、工程、航海等领域也都有广泛的应用。
它就像是一把万能钥匙，能打开很多扇知识的大门。
当然啦，学习锐角三角函数可能会让你觉得有点头疼，就像面对一道难题一样。
但别担心，只要你用心去理解，多做一些练习题，你就会发现它其实并没有那么难。
就像骑自行车一样，一开始你可能会摇摇晃晃，但只要坚持练习，掌握了平衡的技巧，你就能骑得又快又稳。
学习锐角三角函数也是一样，多练习，你就会越来越熟练。
所以，不要害怕锐角三角函数，勇敢地去探索它吧！相信我，当你掌握了它，你会发现数学的世界原来如此精彩！
好了，就说到这里啦！希望我的讲解能让你对锐角三角函数有个初步的了解。
如果你还有其他问题，随时都可以问我哦！加油吧，朋友！。
锐角三角函数
60°
3 2
3
观察表中特殊锐角的三角比的值.
每
一
特 点 或 规 律 ？
列 三 角 比 的 值 有
什
么
α
30° 45° 60°
Sinα cosα tanα cotα
1= 1
1 小 3大 3小
2
2
3
大
3
2
2
3 2大
2
2
1
2小
1
3大
1
分母都为2
3 3小
(1)正切值和正弦值从小到大；余切值和余弦值从大到小. (2)同一个锐角的正切值和余切值互为 对边 斜边
2 2
a
cos45°=
A 的 邻边 斜边
2 2
tan45°= A的对边 1 A 的邻边
观察
仔细观察,说说 你发现这张表 有哪些规律?
30°、45°、60° 角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
sinA cosA tanA
30°
3 2
3 3
45°
2 2 2 2
铅垂线多少度？ （3）虎丘塔与地平面的倾斜角是多少？
2.3米
？ 47 . 5 米 ？ ？
复习回顾
勾股定理
直 角 三 角 形
B
A
C
某一建筑物的楼顶是“人”字型，并铺上红瓦装 饰。现知道楼顶的坡度超过0.5时，瓦片会滑落下来. 请你根据图中数据说明这一楼顶铺设的瓦片是否会滑 落下来？
13m
A
13
24m
┌
B
24 D
C
温馨提示: 构造直角三角形是很重要的.
如图所示，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图， 高度AC的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防 洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，
锐角三角函数
锐角三角函数一、知识体系1、定义：（1）正弦：（2）余弦：（3）正切：2、特殊角的三角函数值：3、同角三角函数之间的关系：（1）平方关系：1cos sin 22=+αα（2）商的关系：αααcos sin tan =4、直角三角形的边角关系：5、仰角、俯角：6、坡度、坡角：（1）坡度：坡面的铅直高度h 和水平距离l 的比叫做坡度，lh i ==αtan 。
（2）坡角：坡面与水平面的夹角α叫坡角。
7、方向角：指南或指北方向线与目标方向线所成的小于90°的角。
二、知识巩固 1、【2015·广州中考】如图所示，△ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，DE 交AC于点E ，连接BE ，若BE=9，BC=12，则cosC= 。
2、【重庆中考】计算6tan45°-2cos60°的结果是（ ） A.34 B.4 C.35 D.53、已知α为锐角，且cos α=32，求sin α，tan α的值。
4、【2014·成都中考】如图，在一次数学课外实践活动中，小文在点C 处测得树的顶端A 的仰角为37°，BC=20m ，求树的高度AB.（参考数据：，，）5、【2007·莆田中考】如图所示，有一飞行中的热气球，在A 处时热气球的探测器显示：从热气球看正前方一栋高楼顶部的仰角为45°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球离地面的高度为150米，为了安全，避免热气球撞上高楼，请问热气球此时至少应再上升多少米？（注：3≈1.732，结果精确到1米）6、【2010·攀枝花中考】如图所示，已知AD 为等腰△ABC 底边上的高，且tan ∠B=43，AC 上有一点E ，满足AE ：CE=2：3，则tan ∠ADE 的值是（ ）31.21.32.53.D C B A 7、【武汉中考】如图所示，PA ，PB 切⊙O 于点A ，B 两点，CD 切⊙O 于点E ，交PA ，PB 于C 、D ，若⊙O 的半径为r ，△PCD 的周长等于3r ，则tan ∠APB 的值是（ ）A ．B ．C ．D ．8、求下列各式的值．（1）sin30°+cos45° (2)sin 260°+cos 260°-tan45°（3）cos 45sin 45︒︒-tan45° （4）sin60°-tan45°（5）cos60°+tan60° （6）130sin 560cos 300-（7）22sin45°+sin60°-2cos45° （8）︒︒-︒30cos 30sin 260sin（9）0045cos 360sin 2+A B C图（1） 图（2）9、【2010·新疆中考】如图（1）是一张Rt ABC △纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形，如图（2），那么在Rt ABC △中，sin B ∠的值是( ) A 、12 B 、32B 、C 、1D 、3210、在ABC ∆中，︒=∠90C ，若A B ∠=∠2，则tanA 等于（ ）． A 、3 B 、33 C 、23 D 、21 11、【2010·怀化中考】在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=12，则∠A= _________. 12、【2010·达州中考】如图，一水库迎水坡AB 的坡度1i =︰3，则该坡的坡角α= 。
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A
BC 200 0.6 120.
200
┌ B
【跟踪训练】
1.判断对错:
(1)如图 sin A= B C . （ √ ）
B
AB
10m
②sin B= BC . （ × ）
6m
AB
③sin A=0.6m. （ × ）
A
C
④sin B=0.8. （√ ）
线,AC=2,BC=4,
B
则sin∠DAC=____2_.
2
4.如图,在Rt△ABC中,
a
3,
则sin A=__1 _.
b 3A
C
2
5.如图, ∠C=90°CD⊥AB.sin B可以用哪两条线段之比表示?
若ＡC=5,CD=3,求sin B的值.
C
【解析】sinB可以用 C D 或 或A C A D
sin A是一个比值，无单位.
(2)如图，sin A= BC （ × ）
AB
2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sin A
的值（ C ） A.扩大100倍 C.不变
3.如图 A
30°
B.缩小 1
100
D.不能确定
B 3
1
，则sin A=___2___.
C 7
1.（温州·中考）如图，在△ABC中，∠C=90°, AB=13，
的比是否也是一个固定值？
任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝
90°，∠A＝∠A′＝α，那么 系．你能解释一下吗？
B
BC 与
AB
B' C ' 有什么关
A' B'
B'
A
C A'
C'
两个三角形相似，对应边成比例，故比值相等.
结论：
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度 数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对
斜边
斜边 A
B
∠A的对边 ┌ C
sin 30°= 1 2
sin 45°= 2
2
奋斗就是生活，人生只有前进.
——巴金
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B
C A
分析：这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠A＝30°,BC＝35m，求AB.
在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要
准备多长的水管？
B' B
50m 35m
A
C C'
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
根据“直角三角形中，30度角所对的边等于斜边的一半”，
那 值即么都不等A管 于斜的边三对1 边角形 AB的CB 大 BA小BC如 何12 ，，得这A个B′角=的2B′对C边′与=10斜0 边m.的比
2
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计
算∠A的对边与斜边的比 BC ，你能得出什么结论？
AB
A
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°
边与斜边的比都是一个固定值．
定义：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们
把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦
（sine），记作sinA 即
B
sinAA斜 的边 对边ac 斜边
对边
A
bC
例如，当∠A＝30°时，我们有
sinAsin301 2
当∠A＝45°时，我们有
sinAsin45 2 2
在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c
BC
AB
AC
表示.∵∠B=∠ACD ，
A
∴sin B=sin∠ACD.
┌ DB
在Rt△ACD中，AD=AC2－CD2 52－32 4，
sin ∠ACD=AD 4 ,
AC 5
∴sin B= 4 .
5
求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为 求和它相等角的正弦值.
正弦的定义: sin A= ∠A的对边
时，不管这个直角三角形的大小如何，这
个角的对边与斜边的比都等于 2 .
C
B
2
结论：
综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°
时，∠A的对边与斜边的比都等于 1 ，是一个固定值；当 2
∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 2 ，也是一
2
个固定值.
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第1课时
1.理解当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边 的比值就固定（即正弦值不变）这一事实.
2.理解正弦的概念.
问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山 坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷 灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的 高度为35m，那么需要准备多长的水管？
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， 求sinA和sinB的值．
B B
3
13
5
A
C
4
C
A
求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；
求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比。
【例题】
【例2】如图，在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=200,sin A=0.6，
求BC的长.
C
【解析】在Rt△ABC中,
BC=5，则sin A的值是（
）
A. 5 13
B. 12
13
C. 5
12
D. 13
5
【解析】选A．由正弦的定义可得
sin A BC 5 . AB 13
2.在平面直角坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4),则
sin∠OAB等于__4__. 3.在Rt△ABC中,5∠C