线性微分方程组初值问题的求解公式

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2.2-线性微分方程(积分因子法)

s
x Q(s)ex P(t)dt ds
x0
(3)
二伯努利(Bernoulli )方程
形如 dy p(x) y Q(x) yn n 0,1是常数 dx
的方程,称为伯努利方程. 这里P(x), Q(x)为x的连续函数。
解法: 10 引入变量变换 z y1n ,方程变为
dz (1 n)P(x)z (1 n)Q(x) dx 20 求以上线性方程的通解
§2.2 线性微分方程与积分因子法
一阶线性微分方程的一般形式为
a(x) dy b(x) y c(x) dx
在a(x) 0的区间上可写成 dy P(x) y Q(x) (1)L L 标准形式 dx
这里假设P(x), Q(x)在考虑的区间上是 x的连续函数若Q(x) 0,则(1)变为
dy P(x) y 0 (2)L L 齐次线性方程 dx
若Q(x) 0,则(1)称为非齐次线性方程。
一一阶线性微分方程的解法-----积分因子法
dy P(x) y Q(x) (1) dx
求解思想：方程两边乘一个函数，使得左边变成一个函数的导数
y e p(x)dx ( Q(x)e p(x)dxdx c)
(3)
注: (i) 求(1)的通解可直接用公式(3) (ii) 课本用的是常数变易法，方程整理的形式不同
解: 原方程不是未知函数 y的线性方程，但将它改写为
dx 2x y2
dy y
即
dx 2 x ，
故其通解为 x e p( y)dy ( Q( y)e p( y)dydy c)
e
2 y
dy
(
(
y)e
2 y
dy
dy
c)

微分方程初值问题的数值解法

积分法:
yk 1 yk h f ( xk , yk ) y ( x0 ) y0
积分项利用矩形公式计算
(1) y( xk 1 ) y( xk )
xk 1
xk
f (t , y(t ))dt
(★)

xk 1
xk
f (t , y(t ))dt h f ( xk , yk ) y( xk 1 ) y( xk ) h f ( xk , yk )
引言
初值问题的数值解法:求初值问题的解在一系列节点的值 y ( xn )的近似值 yn 的方法.本章数值解法的特点:都是采用“步进式”,即求解过程顺着节点排列的次序一步步向前推进. 常微分方程初值问题: dy f ( x, y ), x [a, b] dx y ( x0 ) y0
替 f (x , y)关于 y 满足Lipschitz条件. 除了要保证(1)有唯一解外,还需保证微分方程本身是稳定的,即 (1)的解连续依赖于初始值和函数 f (x , y). 也就是说, 当初始值 y0 及函数 f (x , y)有微小变化时, 只能引起解的微小变化.
注: 如无特别说明,总假设(1)的解存在唯一且足够光滑. 在 f 连续有界, 则 f (x , y)对变量 y 可微的情形下, 若偏导数 y 可取L为
也称折线法 x
2. 梯形法
若采用梯形公式计算(★)中的积分项,则有 h y ( xk 1 ) y ( xk ) [ f ( xk , y ( xk )) f ( xk 1 , y ( xk 1 ))] 2 h yk 1 yk [ f ( xk , yk ) f ( xk 1 , yk 1 )] 2 称之为梯形公式.这是一个隐式公式,通常用迭代法求解.具体做法: (0) (0) 先用Euler法求出初值 yk ,1 即 ,将其代入梯形公式 yk 1 yk h f ( xk , yk ) 的右端,使之转化为显式公式,即 h ( l 1) (l ) yk 1 yk [ f ( xk , yk ) f ( xk 1 , yk (☆ ) 1 )] 2

微分方程初值问题的解法

微分方程初值问题的解法微分方程初值问题是数学中的重要问题之一。

它描述了一些物理现象和自然现象的变化趋势，可以用来研究和解决许多实际问题，例如天文学、物理学、生物学和经济学等领域。

微分方程可以分为一阶和高阶微分方程两类。

一阶微分方程初值问题的解法较为简单，但是高阶微分方程初值问题的解法则需要更为复杂的方法。

一阶微分方程初值问题一阶微分方程初值问题可以写成如下形式：$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$$$y(x_0)=y_0$$其中，$f(x,y)$ 是已知的函数，$x_0$ 和 $y_0$ 分别是起点的横坐标和纵坐标。

求 $y(x)$ 的函数表达式。

这里介绍两种求解方法，分别是数值解法和解析解法。

数值解法是通过数值计算来逼近函数值。

其中，欧拉法是最简单的数值解法之一。

这种方法的步骤如下：首先，将$x$轴上的区间$[x_0,x_n]$ 分为 $n$ 个子区间，每个子区间的长度为$h$。

其中，$x_n$ 是终点的横坐标，$h=(x_n-x_0)/n$。

其次，用下面的公式递推每个子区间内的 $y$ 值：$$y_{i+1} = y_i + hf(x_i,y_i)$$这里，$y_i$ 表示 $y$ 在区间 $[x_i,x_{i+1}]$ 内的近似值。

通过重复计算，可以得到整个区间内 $y$ 的近似值。

简单来说，欧拉法就是利用变化率计算出一个点的 $y$ 值，然后用这个值逼近下一个点的 $y$ 值，不断重复这个过程。

解析解法是通过数学推导得到一个函数表达式来求解微分方程。

第一步是将微分方程变形，化为分离变量的形式，即$$\frac{dy}{f(y)}=dx$$第二步是对两边同时取积分：$$\int_{y_0}^{y}\frac{dy}{f(y)} = \int_{x_0}^{x} dx$$这个方程的求解方法就是对左边的积分进行积分运算，然后解出 $y$ 的函数表达式。

但是，并非所有的微分方程都能采用解析解法求解。

常系数非齐次线性微分方程组初值问题的求解公式

法，杨继明等－还就非齐次情形给出了一种新解法．向量函数ｆ（１的各分量均为拟多项式时，当ｔ
文将给出一个解求初值问题（）（）的简便方２，３法．引用文［］与文［６ｕ］的符号，并定义数零的
我们将给出一个解决该问题的简便方法．
ＹＡＮＧｉｎＣＡＩＪｎ — ｕｊ— ｇ，ｍｉｏｇｈｔ
（ｅｔＭａｈ，ｘａｈｒｌｇ，ｘ５１０．ｎａＣｈｎ）Ｄｐ．ｔＹｕｉＴｅｃｅｓＣｏｌｅＹｕｉ３ＯＹｕｎｎ，ｉａｅ６
Ａｂｔａｔｆｒｌｓｐｏｉｅｓｒｃ２ｏｍｕａｉｒｖｄｄ．ＴｈｏｍｕａｇｖｓｔｅｓｌｔｎｔａａｉｆｅｈｎｔａｏｄｔｏＡｅｆｒｌｉｅｈｏｕｉｈｔｔｓｉｓｔｅｉｉｉｌｃｎｉｎｏｓｉｉｏｖｎｈｙｔｍｆｎｎｏｇｎｏｓｌｅｒｄｆｅｅｔｌｅｕｔｎｔｏｓａｔｃｅｆｃｅｔｎｎｓｌｉｇｔｅｓｓｅｏｏｈｍｏｅｅｕｉａｉｒｎｉｑａｉｓｗｉｈｃｎｔｎｏｆｉｉｎｓａｄｎｆａｏｔｅｓｓｅｏｈｍｏｃｅｕｉｅｒｄｆｅｅｃｑａｉｎｔｏｓａｔｃｅｆｉｎｓｈｙｔｍｆｉｏｇｎｏｓｌａｉｆｒｎｅｅｕｔｓｗｉｈｃｎｔｎｏｆｉｅｔ．ｎｎｏｃＫｅｒｓｎｔｎｏｆｉｉｎ；ｎｏｏｅｅｕｉｅｒｄｆｅｅｔｌｅｕｔｏ；ｎｏｙｗｏｄｏｓａｔｃｅｆｅｔｉｈｍｇｎｏｓｌａｉｆｒｎｉｑａｉｎｉｈｍｏｅｅｕｉｅｒ２ｃｃｎａｇｎｏｓｌａｎｄｆｅｅｃｑａｉｎ；ｏｕｉｎｏｑａｉｎ；ｎｔａｏｄｔｎｉｒｎｅｅｕｔｏｓｌｔｆｅｕｔｏｉｉｉｌｃｎｉｏｆｏｉＭＳ００３Ａ３３Ａ０Ｃ２０；４０；９５

微分方程与微分方程建模法

第三章微分方程模型3.1微分方程与微分方程建模法一、微分方程知识简介我们要掌握常微分方程的一些基础知识，对一些可以求解的微分方程及其方程组，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。

微分方程的体系：(1)初等积分法（一阶方程及几类可降阶为一阶的方程）→(2)一阶线性微分方程组（常系数线性微分方程组的解法）→(3)高阶线性微分方程（高阶线性常系数微分方程解法）。

其中还包括了常微分方程的基本定理。

0．常数变易法：常数变易法在上面的（1）（2）（3）三部分中都出现过，它是由线性齐次方程（一阶或高阶）或方程组的解经常数变易后求相应的非齐次方程或方程组的解的一种方法。

1．初等积分法：掌握变量可分离方程、齐次方程的解法，掌握线性方程的解法，掌握全微分方程（含积分因子）的解法，会一些一阶隐式微分方程的解法（参数法），会几类可以降阶的高阶方程的解法（恰当导数方程）。

分离变量法：（1）可分离变量方程： ;0)()()()();()(=+=dy y Q x P dx y N x M y g x f dx dy(2) 齐次方程：);();(wvy ux c by ax f dx dy x y f dx dy ++++== 常数变易法：(1) 线性方程，),()(x f y x p y =+'(2) 伯努里方程，,)()(n y x f y x p y =+'积分因子法：化为全微分方程，按全微分方程求解。

对于一阶隐式微分方程,0),,(='y y x F 有参数法：(1) 不含x 或y 的方程:;0),(,0),(='='y y F y x F(2) 可解出x 或y 的方程：);,(),,(y y f x y x f y '='=对于高阶方程，有降阶法：;0),,(;0),,,,()()1()(='''=+y y y F y y y x F n k k 恰当导数方程一阶方程的应用问题（即建模问题）。

解常微分方程初值问题的隐式euler方法及并行计算方法

解常微分方程初值问题的隐式euler方法及并行计算方法在现代科学技术发展的今天，为了更加有效地求解复杂的微分方程，隐式Euler方法和并行计算技术都受到了极大的关注。

在本文中，我们将探讨解微分方程初值问题的隐式Euler方法及其并行计算方法。

一、隐式Euler方法
隐式Euler方法是一种数值分析技术，用于求解一类特殊的常微分方程的解。

它的主要思路是利用Euler公式，将微分方程离散化，然后将这个微分方程用某种数值近似方法求解。

在隐式Euler方法中，当我们知道离散生成的差分方程组的当前时刻的状态值时，利用Euler公式可以求出其下一个时刻的状态值。

隐式Euler方法的主要优点在于其具有稳定性，即当生成有限差分方程组后，使用Euler公式求解可以使产生的误差更小，从而更有效地求解问题。

二、并行计算方法
随着计算机的发展，越来越多的计算机资源可以用于解决复杂的模型问题，其中最重要的就是并行计算技术。

并行计算是一种在多台计算机上同时运行的技术，其目的是将一个大的计算任务分解成多个小的计算任务，由不同的计算机同时处理。

实现并行计算的关键是合理、有序地分解任务，使得多台计算机能够更有效地实现任务。

并行计算技术和隐式Euler方法有着很好的结合，可以从计算任务的平衡性和分解粒度等方面充分发挥优势，提高隐式euler方法求
解微分方程的效率。

三、结论
本文介绍了隐式Euler方法和并行计算技术可以更有效地解决微分方程初值问题。

隐式Euler方法具有稳定性，而并行计算技术可以实现任务分解，提高求解效率。

因此，将这两种技术结合，可以大大提高复杂微分方程的求解效率。

一阶线性微分方程组解析

第4章一阶线性微分方程组一内容提要1．基本概念一阶微分方程组：形如⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===),,,,( ),,,,(),,,,(2121222111n n n nn y y y x f dxdy y y y x f dxdy y y y x f dx dy （3.1）的方程组，（其中n y y y ,,,21 是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。

若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n 使得在[a,b]上有恒等式),,2,1))((,),(),(,()(21n i x y x y x y x f dxx dy n i i ==成立，则)(,),(),(21x y x y x y n 称为一阶微分方程组(3.1)的一个解含有n 任意常数n C C C ,,,21 的解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===),,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n nn C C C x y C C C x y C C C x y ϕϕϕ 称为(3.1)通解。

如果通解满方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=Φ=Φ=Φ0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n nn n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x则称这个方程组为（3.1）的通积分。

满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y === 的解，叫做初值问题的解。

令n 维向量函数Y )(x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡)( )()(21x y x y x y n ，F （x ，Y ）=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡),,,,( ),,,,(),,,,(21212211n nn n y y y x f y y y x f y y y x f⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=dx dy dx dy dx dy dx x dY n )(21，⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x x x x n x x x x dx x f dx x f dx x f x F 0000)( )()()(21 则（3.1）可记成向量形式),,(Y x F dxdY= (3.2) 初始条件可记为Y (0x )=0Y ,其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=no y y y Y 20100 则初值问题为:⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(Y x Y Y x F dxdY(3.3) 一阶线性微分方程组:形如⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++++=++++=++++=)()()()( )()()()()()()()(21211222221212112121111x f x a y x a y x a dxdy x f x a y x a y x a dx dy x f x a y x a y x a dx dy n nn n n n n n (3.4)的一阶微分方程组,叫做一阶线性微分方程组.令A (x )=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)(a )(a )(a )(nn n11n 11x x x x a 及F ()x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡)( )()(21x f x f x f n 则(3.4)的向量形式:)()(x F Y x A dx dY+= (3.5) F (0)≡x 时 Y x A dxdY)(= (3.6) 称为一阶线性齐次方程组,(3.5)式称为一阶线性非齐次方程组。

微分方程的一些通解和初值问题的解法

微分方程的一些通解和初值问题的解法微分方程作为数学中一个极其重要的分支，它具有广泛的应用背景，包括自然科学、工程技术等多个领域中都有着广泛的应用。

微分方程的求解则是这门学科中一个很关键的问题，尤其是对于一些实际问题，其初值条件决定了微分方程的具体解，本文将探讨一些微分方程的通解以及初值问题解法。

1. 常微分方程的通解对于一个n阶常微分方程，如果它可以表示为：$$F\Bigg(x,\frac{dy}{dx},\frac{d^2 y}{dx^2},\cdots,\frac{d^ny}{dx^n}\Bigg)=0$$其中$y$是自变量$x$的函数，则这个方程是一个n阶常微分方程。

对于这类方程，可以根据它的阶数以及特点进行分类求解。

(1)一阶常微分方程通解这类方程形式如下：$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$其中$f(x,y)$是定义在某个区域上的函数。

对于这类方程，我们可以通过分离变量的方式进行求解，即：$$\frac{dy}{f(x,y)}=dx$$两边同时积分得到：$$\int\frac{1}{f(x,y)}dy=\int dx+C$$其中$C$是积分常数，通过这个式子可以求得$y$的通解。

(2)二阶常微分方程通解这类方程形式如下：$$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$$其特点是含有二阶导数项，可用特征方程进行求解。

将一般形式二阶常微分方程的通解表示为$y=c_1y_1+c_2y_2$，其中$c_1$和$c_2$是常数，$y_1$和$y_2$是方程的解，满足$y_1$和$y_2$的任意线性组合都是方程的解。

如果解$y_1$和$y_2$线性无关，则它们构成了二阶常微分方程的通解。

(3)n阶常微分方程通解通常情况下，n阶常微分方程表示为：$$y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y=f(x)$$我们可以通过求解$n$次的导数，得到这个方程的通解。

常系数线性微分方程的求解

2(#
,(#
.
! 11（+））］*（$&1"）+那么右端为：5*（4（+））%［0（+）./0"+&1（+）012"+］*$+所以#%%&1"， 32+.(2 2(#
%0（+）(11（+），仍是求如（4）的特解。如果由方程（4）求得的特解为"*（+），对应的方程（3）的特解
是："（+）%5*（"*（+）*（$&1"）+）。
" %（7’./0!+&7!012!+）*+&5*（"*）
%（7’./0!+&7!012!+）*+&’+,［!（(+&’）./0!+&（$+&)）012!+］*+。
（’!）
利用通常的比较系数法要求出通解（’!）是相当困难的，作变量代换后把求解方程（’#）的问题
变得得容易了。
参考文献：
［’］王高雄等8常微分方程8北京：高等教育出版社，!###
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计算方法课件第八章常微分方程初值问题的数值解法

整体截断误差与局部截断误差的关系
定理：如果f(x，y)满足李普希兹（Lipschitz）条件
f(x ,y 1 )f(x ,y 2) L y 1y 2
且局部截断误差有界：
|R n|1 2h2M 2
(n1,2, )
则Euler法的整体截断误差n满足估计式：
ne(ba)L 0h 2L M 2(e(ba)L1)
分光滑。初值问题的解析解(理论解）用 y(x表n ) 示, 数值解法的精确解用 y表n 示。
常微分方程数值解法一般分为：
（1）一步法：在计算y n 1 时，只用到x n 1 ,x n和 y，n 即前一步的值。
（2）多步法：计算 y n 1 时，除用到 x n 1 ,x n 和 y n 以外，还要用 x n p 和 y n p (p1 ,2 k;k0) ,即前
其中L为李普希兹常数，b-a为求解区间长度，
M2 mayx(x) 。 axb
证明参见教材。
Remark：该定理表明，整体截断误差比局部截断误差低一阶。对其它方法，也有类似的结论。
收敛性与稳定性
收敛性定义：如果某一数值方法对于任意固定的
xn=x0+nh，当h0(同时n )时有yn y(xn)，
则称该方法收敛。稳定性定义定义用一个数值方法，求解微分方程初值问题时，对给定的步长h>0，若在计算 y n 时引入误差（n 也称扰动），但由此引起计算后面的 ynk(k1,2, )时的误差按绝对值均不增加，则称这个数值方法是稳定的。
一般的显式rk方法可以写成型钢截面只需少量加工即可用作构件省工省时成本低但型钢截面受型钢种类及型钢号限制难于完全与受力所需的面积相对应用料较多其中为常数选取这些常数的原则是要求第一式的右端在处泰勒展开后按h型钢截面只需少量加工即可用作构件省工省时成本低但型钢截面受型钢种类及型钢号限制难于完全与受力所需的面积相对应用料较多上述公式叫做n级的rungekutta方法其局部截断误差为显然euler法是一级一阶rk方法

第八章常微分方程的初值问题

y(k) n1
)]
迭代法太麻烦，实际上，当h取得很小时，只让上式中的第二式迭代一次就可以，即
改进的Euler法（也叫欧拉预估—校正法）
y(0) n1
yn
hf ( xn , yn )
预估算式
yn1
yn
h 2 [ f ( xn, yn )
f
(
xn1
,
y(0) n1
)]
校正算式
改进的Euler法=向前欧拉法+梯形法
x0
x
y( x) y( x0 )
f ( x, y( x))dx
x0
x
y( x) y( x0 )
f ( x, y( x))dx
x0
1、向前Euler法 y'( x) f ( x, y( x)), y( x0 ) y0
推导1：设节点为 xn x0 nh,(n 0,1,2, ) 用向前差分公式代替导数：
注1：微分方程中用 D 表示对自变量的导数，如：
Dy
y'； D2y
y''； D3y
y'''
注2：如果省略初值条件，则表示求通解；
例：求微分方程 dy 2 xy xe x2的通解，并验证。 dx
>> y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x') 结果为 y =(1/2*x^2+C1)*exp(-x^2)
xn
y( xn1) y( xn )
xn1 f ( x, y( x))dx
xn
用矩形代替右边的积分 y( xn1 ) y( xn ) hf ( xn , y( xn ))

第一章常微分方程初值问题数值解法

（1.2.3）
其中rn,k(t)为插值余项。代到（1.2.2）式中得
u ( tn +1 ) = u ( tn ) +
舍去余项并用uj代替u(tj)即得
∫
tn+1 tn
Ln , k ( t ) dt + ∫ t rn , k ( t ) dt
tn+1
n
(1.2.4 (1.2.5)
Rn , k = ∫
⎡ ∑ ⎣α u
j =0
j =0
αk ≠ 0
（1.2.1）
j n+ j
⎤ − hβ j f n + j ⎦ = 0（数值解满足的差分方程）
因此称（1.2.1）为多步法或 k-步法。又因为(1.2.1)关于 u n + j , f n + j 是线性的，所以称为线性多步法。为使多步法的计算能够进行，除给定的初值u0 外，还要知道附加初值u1,u2,…,uk-1 ，这可用其它方法计算。若 β k = 0 则称(1.2.1)是显式的；若 β k ≠ 0 则方法（1.2.1）是隐式的。例如，一般线性二步法可写成：
f ( t , u ( t ) ) = Ln , k +1 ( t ) + rn , k +1 ( t )
其中rn,k+1(t)为插值余项。同理即
un +1 = un + h ∑ bk +1i f ( tn −i +1 , un −i +1 )
i =0
k +1
其中
bk +1i
=∫ ∏
−1
j =0 j ≠i
0
k +1

微分方程中的初值问题和边值问题

微分方程中的初值问题和边值问题微分方程（Differential Equation）是一种用来描述物理现象和数学模型的工具，许多科学和工程问题都可以转化为微分方程的形式。

其中，初值问题和边值问题是微分方程研究中最基本的两类问题。

一、初值问题初值问题（Initial Value Problem）是微分方程求解的基础，它需要确定未知函数的初值条件，并通过求解微分方程得到函数的解析式，描述物理实验或数学模型中的变化过程。

常见的初值问题是一阶常微分方程，它形式为：y' = f(x,y)，其中y表示未知函数，f(x,y)表示已知函数。

例如，一阶常微分方程：y' = x*y ，它的初始值为y(0)=1。

求解初值问题需要先求出微分方程的通解（General Solution）,再根据初始值确定特解（Particular Solution）。

以上述一阶常微分方程为例，其通解为：y = Ce^(x^2/2)，其中C为任意常数。

将初始值y(0)=1代入通解中，解得特解为：y =e^(x^2/2)。

二、边值问题边值问题（Boundary Value Problem）是另一种常见的微分方程求解问题，该问题需要确定未知函数在给定边界条件下的解析式，在物理实验或数学模型中常见于定常过程的描述。

常见的边值问题是二阶常微分方程，它形式为：y'' = f(x,y,y')，其中y表示未知函数，f(x,y,y')表示已知函数。

例如，二阶常微分方程：y'' + y = 0，它的边界条件为y(0) = 0, y(π/2) = 1。

求解边值问题需要以微分方程的通解为基础，附加边界条件，进一步确定常数。

以上述二阶常微分方程为例，它的通解为：y =A*sin(x) + B*cos(x)，其中A,B为任意常数。

将边界条件代入通解中，得到A=0，B=1，因此特解为：y = cos(x)。

微分方程的初等积分法

y x
f (u ) u（可分离变量的方程 )
例 9 求 2 xy
2
2
dy dx
3
2y x
3
3
dy dx
的通解 .
解 : ( 2 xy x ) dy dx 2y
2
dy dx
3
2y
3
2( x )
y
3
2 xy x 3 y du 2u 令 u ,得:
求
dy

y
的通解 .
xe
y
2
dy
[ ye

y dy
2
dy C ] y [ ln y C ].
2
四.可经变量代换化为已知类型的几类一阶线性方程 dy y 1.齐次方程 f( ) ( f (tx, ty) f ( x, y )) dx x
令u x du dx
如 : 前面的 (1) 式为一阶微分方程微分方程 ,
y
(4) 5
, ( 3 ), ( 4 )为二阶
.
y sin 2 x 为四阶微分方程
微分方程的解 : 满足微分方程的函数.
微分方程的通解 : n阶微分方程含有n个独立的任意常数的解.
如 (1) 式中的微分方程
2
dy dx
2 x , 显然函数 y x ,
2
2
a y
(4)
2. 基本概念微分方程 : 含有未知函数及未知函数的导数
或微分的关系式. 常微分方程 : 未知函数为一元函数
有一元函数的导数或微偏微分方程 : 未知函数为多元函数导数 . , 关系式中只含分. , 关系式中含有偏
微分方程的阶 : 微分方程中所含导数的最高阶数

实验八常微分方程初值问题数值解法报告

实验八常微分方程初值问题数值解法一、基本题科学计算中经常遇到微分方程（组）初值问题，需要利用Euler 法，改进Euler 法，Rung-Kutta 方法求其数值解，诸如以下问题：（1） ()⎪⎩⎪⎨⎧=-='004y xy y x y 20≤<x分别取h=0.1,0.2,0.4时数值解。

初值问题的精确解245x y e -=+。

（2） ()⎩⎨⎧=--='0122y y x y 01≤≤-x用r=3的Adams 显式和预 - 校式求解取步长h=0.1，用四阶标准R-K 方法求值。

（3）()()()100010321331221==-='⎪⎩⎪⎨⎧-='-='='y y y y y y y y y 10≤≤x用改进Euler 法或四阶标准R-K 方法求解取步长0.01,计算(0.05),(0.1y y y 数值解，参考结果 123(0.15)0.9880787,(0.15)0.1493359,(0.15)0.8613125y y y ≈-≈≈。

（4）利用四阶标准R- K 方法求二阶方程初值问题的数值解（I ）()()⎩⎨⎧='==+'-''10,00023y y y y y 02.0,10=≤≤h x(II)()()()⎩⎨⎧='==+'--''00,10011.02y y y y y y 1.0,10=≤≤h x(III)()()⎪⎩⎪⎨⎧='=+='00,101y y e y y x 1.0,20=≤≤h x(IV)()()⎩⎨⎧='==+''00,100sin y y y y 2.0,40=≤≤h x二、应用题1. 小型火箭初始质量为900千克，其中包括600千克燃料。

火箭竖直向上发射时燃料以15千克/秒的速率燃烧掉，由此产生30000牛顿的恒定推力．当燃料用尽时引擎关闭。

初值问题的解

初值问题的解初值问题的解是微分方程中的一个特解，它是通过给定的初始条件来求解该微分方程得到的解。

在数学和物理学中，初值问题广泛应用于描述各种现象和过程，如弹簧振子、电路、自由落体等等。

本文将介绍初值问题的定义、解的存在唯一性以及一些常见的求解方法。

首先，我们来定义初值问题。

设有一个形如$y'=f(x, y)$的一阶微分方程，其中$f(x, y)$是一个已知函数。

给定一个点$(x_0, y_0)$作为初始条件，求解在该点上的解$y(x)$即为初值问题的解。

数学上可以表示为以下初值问题：$$\begin{cases}y'(x) = f(x, y) \\y(x_0) = y_0\end{cases}$$接下来，我们来探讨初值问题解的存在唯一性。

对于一阶微分方程来说，当函数$f(x, y)$满足一定的条件时，初值问题的解是存在且唯一的。

这个条件就是函数$f(x, y)$对于变量$y$满足Lipschitz条件。

Lipschitz条件是指存在一个正常数$L$，使得对于所有满足初值条件的$(x, y_1)$和$(x, y_2)$，有以下不等式成立：$$|f(x, y_1) - f(x, y_2)| \leq L|y_1 - y_2|$$当函数$f(x, y)$满足Lipschitz条件时，由皮卡-林德津定理可知初值问题存在且唯一解。

这个定理指出，在满足Lipschitz条件的情况下，通过初始条件和微分方程可以确定一个确定的解，这个解在某个区间上是唯一的。

现在我们来介绍一些常见的求解初值问题的方法。

最常用的方法是欧拉法和改进欧拉法。

欧拉法是一种数值解法，它利用微分方程的定义进行逐步逼近。

通过将区间分割成若干小段，欧拉法根据微分方程的导数来计算每个小段的斜率，并以此为依据进行逼近计算。

改进欧拉法是对欧拉法的一种改进，它利用欧拉法中的两步逼近来提高精度。

改进欧拉法先计算出下一个点的初始斜率，然后再利用这个初始斜率进行逼近计算，从而得到更准确的结果。

一阶线性微分方程初值问题求解

一阶线性微分方程初值问题求解引言在微分方程的研究中，一阶线性微分方程初值问题是一个经典且常见的问题。

本文将介绍一阶线性微分方程初值问题的求解方法和相关概念。

什么是一阶线性微分方程初值问题一阶线性微分方程初值问题指的是形如下述的微分方程问题：$$ \\frac{{dy}}{{dt}} + p(t)y = g(t), \\quad y(t_0) = y_0 $$其中，p(t)和g(t)是给定的已知函数，y(t)是未知函数，t0和y0是给定的初值。

求解方法一阶线性微分方程初值问题的求解方法可以分为两个步骤：求解齐次线性微分方程和利用常数变易法求解非齐次线性微分方程。

求解齐次线性微分方程首先考虑齐次线性微分方程，即p(t)和g(t)均为零的情况。

齐次线性微分方程的一般解形式为$y_h(t) = Ce^{-\\int p(t)dt}$，其中，C是任意常数。

利用常数变易法求解非齐次线性微分方程对于非齐次线性微分方程，我们可以利用常数变易法来求解。

设非齐次线性微分方程的特解为$y_p(t) = v(t)e^{-\\int p(t)dt}$，其中v(t)是待定函数。

将特解代入非齐次线性微分方程，化简后可得：$$ v'(t)e^{-\\int p(t)dt} = g(t) $$解上述方程，我们可以得到v(t)的表达式。

最终，一阶线性微分方程的通解可以表示为y(t)=yℎ(t)+y p(t)。

初值问题的求解最后，我们考虑如何求解一阶线性微分方程初值问题。

已知初值y(t0)=y0，将t=t0代入通解y(t)=yℎ(t)+y p(t)，并令y(t0)=y0，我们可以得到初值问题的解C=y0。

因此，初值问题的解为y(t)=yℎ(t)+y p(t)，其中，C=y0。

示例为了更好地理解一阶线性微分方程初值问题的求解过程，考虑以下示例问题：$$ \\frac{{dy}}{{dt}} + 2ty = e^t, \\quad y(0) = 1 $$首先，我们求解齐次线性微分方程$\\frac{{dy_h}}{{dt}} + 2ty_h = 0$。

初值问题与解方法

初值问题与解方法初值问题是数学中的一个重要概念，它涉及到微分方程的解的初始条件。

解决初值问题的方法有多种，本文将介绍几种常用的解法，并讨论它们的适用性和优缺点。

一、欧拉法（Euler's method）欧拉法是一种较为简单的数值解法，通过逐步逼近微分方程的解。

它的基本思想是将时间和空间分割成小的步长，并用线性逼近的方式求解微分方程。

欧拉法的计算公式为：y_{n+1} = y_n + h * f(t_n, y_n)其中，y_{n+1} 是下一个时间步长上的解，y_n 是当前时间步长上的解，h 是步长（时间或空间），f(t_n, y_n) 是微分方程的右端函数。

欧拉法的优点是简单易懂、计算量小。

然而，它的精度较低，对于具有较大步长或非线性的微分方程，可能会产生较大的误差。

二、改进的欧拉法（Improved Euler's method）改进的欧拉法是对欧拉法的一种改进方法，通过增加一个中间点的计算来提高精度。

改进的欧拉法的计算公式为：y_{n+1} = y_n + (h/2) * (f(t_n, y_n) + f(t_{n+1}, y_n + h * f(t_n, y_n)))改进的欧拉法通过使用两个不同的斜率来进行计算，提高了解的逼近精度。

相比于欧拉法，改进的欧拉法的精度更高，误差较小。

三、龙格-库塔方法（Runge-Kutta methods）龙格-库塔方法是一类常用的数值解法，包括一阶、二阶、四阶等不同精度的方法。

其中，最常用的是四阶龙格-库塔方法。

四阶龙格-库塔方法的计算公式为：k_1 = h * f(t_n, y_n)k_2 = h * f(t_n + h/2, y_n + k_1/2)k_3 = h * f(t_n + h/2, y_n + k_2/2)k_4 = h * f(t_n + h, y_n + k_3)y_{n+1} = y_n + (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)/6四阶龙格-库塔方法通过使用多个斜率进行逼近，进而提高了解的精度。