人教A版高中数学必修5同步 不等式 1

a a
b b
4 ，解得a=3,b=1,即4x+2y
2
=3(x+y)+(x-y),
因为-2≤x+y≤2且-1≤x-y≤1,
所以-6≤3(x+y)≤6且-1≤x-y≤1,
则-7≤3(x+y)+(x-y)≤7. 答案:[-7,7]
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1.情节是叙事性文学作品内容构成的 要素之 一,是叙 事作品 中表现 人物之 间相互 关系的 一系列 生活事 件的发 展过程 。
【习练·破】 若bc-ad≥0,bd>0,求证: a b c d .
bd
【证明】
bc ad 0 bc
bd
0
1 bd
0
ad
cac＋1a＋1cdab
db d b
db
abcd. bd
类型三 利用不等式的性质求范围 角度1 利用性质直接求范围 【典例】已知-1<a<b<1,则a-b的取值范围是______ .
【典例】已知π<α+β< 5 ,-π<α-β<- ,则2α-
4
3
β的取值范围是______ . 世纪金榜导学号
【思维·引】利用α+β,α-β表示出2α-β后求范围.
【解析】令2α-β=x(α+β)+y(α-β),
即2α-β=(x+y)α+(x-y)β,
所以
x x
y y
2，解得 1，
x y
2.已知a>b>0,c<d<0,则下列结论一定成立的是 ( )
A.a+c>b+d
B.a-c>b-d
C.ac>bd
D.cd>ab
【解析】选B.因为a>b>0,c<d<0, 所以a>b>0,-c>-d>0,则a-c>b-d>0.
3.若a<b<0,则 A. 1 1
ab
C.ab>b2
() B.a-3>b-3 D.ac<bc
【解析】选C.因为a<b<0,所以ab>b2.
类型一 利用不等式的性质判断不等式
【典例】1.若a<b<0,则下列结论正确的是
A.a2<b2 C. b a
ab
B.ab<b2 D.ac>bc
()
2.设a>1>b>-1,b≠0,则下列不等式中恒成立的是( )
A . 11 ab
C.a>b2
B .11 ab
2
但 1 1 不成立,故A错误;
ab
当a>1>b>0时, 1 1 ,故B错误;
ab
因为1>b>-1,b≠0,所以0<b2<1,
则a>b2,故C正确;
当a=1.1,b=0.9时,满足条件,但a2>2b不成立,故D错误.
【内化·悟】 判断不等式是否成立的方法有哪些? 提示:利用不等式的性质、特殊值法.
ab
D中因为y=x3是增函数,所以a3>b3得出a>b.
类型二 利用不等式的性质证明不等式
【典例】若a>b>0,c<d<0,e<0,
求证:
e
ac2
e.
bd2
世纪金榜导学号
【思维·引】结合不等式的性质化简证明.
【证明】因为c<d<0,所以-c>-d>0,
又a>b>0,所以a-c>b-d>0,
则(a-c)2>(b-d)2>0,即
D.a2>2b
【思维·引】利用不等式的性质、特殊值判断.
【解析】1.选C.当a<b<0时,a2>b2,故A错误,
当a<b<0时,ab>b2,故B错误,
当a<b<0时,0< b <1, a >1,则 b ＜ a 成立,
a
b
ab
当c=0时,ac>bc不成立,故D错误.
2.选C.当a=2,b=- 1 时,满足条件.
A.若a>b,则 a＞ b C.若 1 1 ,则a>b
ab
B.若a<b,则 a ＜ b
mm
D.若a3>b3,则a>b
【解析】选D.A中由a>b得不出 a＞ b ,比如,a=4,b=-2;
B中当a=-1,b=0,m=-1时, a ＞ b ;
mm
C中 1 1 得不出a>b,比如,a=-2,b=4;
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2.它由一系列展示人物性格,反映人物 与人物 、人物 与环境 之间相 互关系 的具体 事件构 成。
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3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础, 也是整 体感知 小说的 起点。 命题者 在为小 说命题 时,也 必定以 情节为 出发点, 从整体 上设置 理解小 说内容 的试题 。通常 从情节 梳理、 情节作 用两方 面设题 考查。
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9.自信让我们充满激情。有了自信， 我们才 能怀着 坚定的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。
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4.根据结构来梳理。按照情节的开端 、发展 、高潮 和结局 来划分 文章层 次,进而 梳理情 节。
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5.根据场景来梳理。一般一个场景可 以梳理 为一个 情节。 小说中 的场景 就是不 同时间 人物活 动的场 所。
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6.根据线索来梳理。抓住线索是把握 小说故 事发展 的关键 。线索 有单线 和双线 两种。 双线一 般分明 线和暗 线。高 考考查 的小说 往往较 简单,线 索也一 般是单 线式。
式子表示
a>b,c>d⇒a+c>b+d
a b 0
c
d
0
⇒ac>bd
a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1)
a b a>nb>0⇒ n (n∈N,n≥2)
【思考】 若a,b∈R,a>b,那么a3>b3一定成立吗?
提示:一定成立,因为函数f(x)=x3在R上是增函数,所以 a>b时,a3>b3.
第2课时 不等式的性质
不等式的性质
名称
性质1
对称性
性质2
传递性
性质3
可加性
性质4
可乘性
式子表示 a>b⇔b<a a>b,b>c⇒a>c a>b⇔a+c>b+c
a>b,c>0⇒ac>bc a>b,c<0⇒ac<bc
性质5 性质6 性质7 性质8
名称 同向不等式可加
同向同正不等式可乘 正数不等式乘方 正数不等式开方
世纪金榜导学号
【思维·引】利用不等式的性质构造a-b求范围.
【解析】因为-1<a<1,-1<b<1,所以-1<-b<1, 所以-1-1<a-b<1+1,所以-2<a-b<2, 又a<b,所以a-b<0. 答案:(-2,0)
【素养·探】
在利用不等式求范围的过程中,常常用到核心素养中的
逻辑推理,利用性质变形过程中要做到等价变形.
【类题·通】 运用不等式的性质判断真假的技巧 (1)首先要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其 是不能凭想当然随意捏造性质.
(2)解决有关不等式选择题时,也可采用特值法进行排 除,注意取值一定要遵循以下原则:一是满足题设条件; 二是取值要简单,便于验证计算.
【习练·破】
已知a,b,m∈R,则下列说法正确的是 ( )
【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)若a>b,则ac2>bc2. ( ) (2)若a>b,c>d,则ac>bd. ( ) (3)若a>b,则an>bn(n∈N,n≥1). ( )
提示:(1)×.当c=0时不成立. (2)×.同向同正不等式可乘. (3)×.当a>b>0时成立.
将本例的条件改为“- ≤a<b≤ ”,试求 a b 的取
2
2
2
值范围.
【解析】因为-
2
≤a<b≤
2
,所以-
a ,- b ,
424 424
所以- b ,所以-
4 24
ab .
222
又a<b,所以
ab 2
<0,所以-
a b <0.
22
角度2 整体构造求范围
1， 2 3. 2
因为 5 ， 3 3 ( ) ，
22 82 2 2
所以-π<2α-β< .
8
答案: ( ， )
8
【类题·通】 利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最 后利用一次不等式的性质进行运算,求得待求的范围.
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减),这种转 化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化, 就有可能扩大其取值范围.
【习练·破】 若-2≤x+y≤2且-1≤x-y≤1,则z=4x+2y的范围是 ______ .
【解析】设4x+2y=a(x+y)+b(x-y)
=(a+b)x+(a-b)y,则
•
7.阅历之所以会对读书所得产生深浅 有别的 影响， 原因在 于阅读 并非是 对作品 的简单 再现， 而是一 个积极 主动的 再创造 过程， 人生的 经历与 生活的 经验都 会参与 进来。
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8.少年时阅历不够丰富，洞察力、理 解力有 所欠缺 ，所以 在读书 时往往 容易只 看其中 一点或 几点， 对书中 蕴含的 丰富意 义难以 全面把 握。
1
ac2
1
bd2
,
又e<0,所以
e
ac2
Байду номын сангаас
e
bd2
.
【内化·悟】 利用不等式的性质证明不等式的实质是什么? 提示:利用不等式的性质进行变形,构造不等式.
【类题·通】 关于不等式的证明 (1)熟练应用不等式的性质进行等价变形. (2)注意不等式性质成立的条件,利用已知的条件逐步 推导、变形,直到得出要证明的不等式.