2020年北京海淀区空中课堂高二数学-排列与组合的综合应用 课件
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解（1）C52?C82 280
（2）1ⅹ1的正方形有7ⅹ4=28个， 2ⅹ2的正方形有6ⅹ3=18个 3ⅹ3的正方形有5ⅹ2=10个， 4ⅹ4的正方形有4ⅹ1=4个，
故共有28+18+10+4=60个
二、排列与组合的综合应用
➢ 与几何有关的排列组合问题 教材第25页习题1-2B
Cn6
小结
➢ 排列、组合的基本知识 ➢ 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 ➢ 排列组合应用问题的常用方法
二、排列与组合的综合应用
➢ 两个基本计数原理 例、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有多少
种？ 解：第一类，甲在排尾，剩下四人有 A44 种排法， 第二类，甲在第二、三、四位上，则有A31 鬃A31 A33 种排法 由分类计数原理，共有A44 + A33 鬃A31 A31 = 78 种。
大空位 小空位
二、排列与组合的综合应用
➢ 直接法与间接法
例、平面内有9个点，其中4个点在一条直线上，此外没有3个点在一条直线
上，过这9个点可以作多少个三角形？
(2)
C53 C41 C52 C42 C51 80 或 C93 C43 80
(1)
二、排列与组合的综合应用
➢ “至多”“至少”问题
所以，共有24+72+24+32=152（个）
013579 013579 013579 013579
二、排列与组合的综合应用
➢ 相邻与不相邻问题 教材第25页习题1-2B
(1) A66 = 720
(2)C31 鬃C31 A44 = 216
甲 乙 其余
(3)2 A22 鬃C41 A22 ?A33 192
例、从7名男同学和5名女同学中，选出5人，分别求符合下列条件的选法总数:
（1）男生甲、女生乙必须当选； （2）男生甲、女生乙都不当选；
C130 120 C150 252
（3）男生甲当选，女生乙不当选； C140 210
（4）至少有1名女生当选；
C152 C75 771
× C51C141
（5）至多有2名男生当选；
C72 C53 C71 C54 C55 246
二、排列与组合的综合应用
➢ 分组、分配问题
例、将5名大学生分配到3所学校支教，每所学校至少1名，不同的方法有多 少种？
解：先将5名大学生分组，
若分为1,1,3三组，有 若分为1,2,2三组，有
CC51A51C22C41A42C22 122 0
2020年海淀区空中课堂 高二年级数学学科
排列与组合的综合应用
一、排列与组合的基本知识
➢ 排列与组合的定义
名称 排列 组合
定义
从 n 个不同元素中取出 按照一定的顺序排成一列
m(m≤n)个元素
合成一组
➢ 排列数与组合数的定义
名称 排列数 组合数
定义
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素的所有不同
1+ 1+ 1 C32 = 3
二、排列与组合的综合应用
➢ “隔板”法 例、方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？ 解：建立隔板模型， 将12个完全相同的球排成一列， 在它们之间形成的11个间隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆， 每一种方法所得4堆球的数目，即为a,b,c,d的一组正整数解， 故原方程的正整数解的组数共有 C131 = 165 种。
1
2
3
4
5
二、排列与组合的综合应用
➢ 两个基本计数原理 教材第25页习题1-2B
若R4断路，有 23 = 8 种， 若R4不断，有3种， 故共有11种。
二、排列与组合的综合应用
➢ 特殊元素或特殊位置优先考虑 教材第25页习题1-2B
(1)C41 ?A44 96 (2) A32 ?A33 36
二、排列与组合的综合应用
二、排列与组合的综合应用
➢ 与几何有关的排列组合问题
例、如图，沿网格线从A点到B点有多少条最短的线路？例如图中所画的就
是一条最短线路。
B
解：从A到B的最短路线需要走10步，
其中有4步向上走，6步向右走；
故，共有 C140 = 210
A
二、排列与组合的综合应用
➢ 与几何有关的排列组合问题 例、在如图7x4的方格纸上（每小方格均为正方形） （1）其中有多少个矩形？ （2）其中有多少个正方形？
(4)2 A22 鬃C41 A33 = 96
前后排 甲乙 选同排
同排 排队
其余
前后排
甲乙 插空
选同排
其余
二、排列与组合的综合应用
➢ 相邻与不相邻问题 例、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照
明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯， 可以熄灭的方法共有多少种？
(1)Cnm = Cnn- m
(2)Cnm+ 1
=
Cnm
+
C m- 1 n
一、排列与组合的基本知识
例、判断下列结论是否正确: (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列. ( × ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序. ( × ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. ( √ ) (4)若 Cnx = Cnm ,则x=m成立. ( × ) (5) Anm = n(n - 1)(n - 2)鬃?(n m) . ( × )
➢ 特殊元素或特殊位置优先考虑 教材第36页自测与评估
解：第一类，没有0时，若无9（6），有 A43 = 24 第二类，没有0时，若有9（6），有 2C42 A33 = 72 第三类，有0时，若无9（6），有 C21 A42 = 24 第四类，有0时，若有9（6），有 2C41C21 A22 = 32
解：题意要求熄灭的灯不相邻，因此选用插空的方法。 将亮着的9盏灯排成一排，两端的灯不能熄灭，则有8个空位符合条件， 然后在8个空位中，任取3个插入熄灭的3盏灯，故有 C83 = 56 种方法。
二、排列与组合的综合应用
➢ 相邻与不相邻问题 教材第25页习题1-2B
A33 ?A42 72
有两个空位相 邻，且与第三 个空位不相邻
排列 的个数 组合 的个数
一、排列与组合的基本知识
➢ 排列数、组合数的公式及性质
公式
(1) Anm = n(n - 1)(n - 2)鬃?(n
m + 1) = n! (n - m)!
来自百度文库
(2)Cnm =
Anm Amm
=
n(n -
1)(n -
2) 鬃?(n m!
m + 1) =
n!
m!(n - m)!
性质
15
(或C53 10)
(或
C52C32 A22
15)
再将三组学生分配到三所学校，有 A33 6
故，共有 (10 15) 6 150 种。
二、排列与组合的综合应用
➢ 分组、分配问题 教材第23页练习B
1234
1
2
3
(1)C42 ?A33 36 (2)34 = 81
(3)6 + 6 = 12
（4）四个相同的小球放入三个不同的盒中，不许有空盒子的放法有多少种？
（2）1ⅹ1的正方形有7ⅹ4=28个， 2ⅹ2的正方形有6ⅹ3=18个 3ⅹ3的正方形有5ⅹ2=10个， 4ⅹ4的正方形有4ⅹ1=4个，
故共有28+18+10+4=60个
二、排列与组合的综合应用
➢ 与几何有关的排列组合问题 教材第25页习题1-2B
Cn6
小结
➢ 排列、组合的基本知识 ➢ 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 ➢ 排列组合应用问题的常用方法
二、排列与组合的综合应用
➢ 两个基本计数原理 例、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有多少
种？ 解：第一类，甲在排尾，剩下四人有 A44 种排法， 第二类，甲在第二、三、四位上，则有A31 鬃A31 A33 种排法 由分类计数原理，共有A44 + A33 鬃A31 A31 = 78 种。
大空位 小空位
二、排列与组合的综合应用
➢ 直接法与间接法
例、平面内有9个点，其中4个点在一条直线上，此外没有3个点在一条直线
上，过这9个点可以作多少个三角形？
(2)
C53 C41 C52 C42 C51 80 或 C93 C43 80
(1)
二、排列与组合的综合应用
➢ “至多”“至少”问题
所以，共有24+72+24+32=152（个）
013579 013579 013579 013579
二、排列与组合的综合应用
➢ 相邻与不相邻问题 教材第25页习题1-2B
(1) A66 = 720
(2)C31 鬃C31 A44 = 216
甲 乙 其余
(3)2 A22 鬃C41 A22 ?A33 192
例、从7名男同学和5名女同学中，选出5人，分别求符合下列条件的选法总数:
（1）男生甲、女生乙必须当选； （2）男生甲、女生乙都不当选；
C130 120 C150 252
（3）男生甲当选，女生乙不当选； C140 210
（4）至少有1名女生当选；
C152 C75 771
× C51C141
（5）至多有2名男生当选；
C72 C53 C71 C54 C55 246
二、排列与组合的综合应用
➢ 分组、分配问题
例、将5名大学生分配到3所学校支教，每所学校至少1名，不同的方法有多 少种？
解：先将5名大学生分组，
若分为1,1,3三组，有 若分为1,2,2三组，有
CC51A51C22C41A42C22 122 0
2020年海淀区空中课堂 高二年级数学学科
排列与组合的综合应用
一、排列与组合的基本知识
➢ 排列与组合的定义
名称 排列 组合
定义
从 n 个不同元素中取出 按照一定的顺序排成一列
m(m≤n)个元素
合成一组
➢ 排列数与组合数的定义
名称 排列数 组合数
定义
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素的所有不同
1+ 1+ 1 C32 = 3
二、排列与组合的综合应用
➢ “隔板”法 例、方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？ 解：建立隔板模型， 将12个完全相同的球排成一列， 在它们之间形成的11个间隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆， 每一种方法所得4堆球的数目，即为a,b,c,d的一组正整数解， 故原方程的正整数解的组数共有 C131 = 165 种。
1
2
3
4
5
二、排列与组合的综合应用
➢ 两个基本计数原理 教材第25页习题1-2B
若R4断路，有 23 = 8 种， 若R4不断，有3种， 故共有11种。
二、排列与组合的综合应用
➢ 特殊元素或特殊位置优先考虑 教材第25页习题1-2B
(1)C41 ?A44 96 (2) A32 ?A33 36
二、排列与组合的综合应用
二、排列与组合的综合应用
➢ 与几何有关的排列组合问题
例、如图，沿网格线从A点到B点有多少条最短的线路？例如图中所画的就
是一条最短线路。
B
解：从A到B的最短路线需要走10步，
其中有4步向上走，6步向右走；
故，共有 C140 = 210
A
二、排列与组合的综合应用
➢ 与几何有关的排列组合问题 例、在如图7x4的方格纸上（每小方格均为正方形） （1）其中有多少个矩形？ （2）其中有多少个正方形？
(4)2 A22 鬃C41 A33 = 96
前后排 甲乙 选同排
同排 排队
其余
前后排
甲乙 插空
选同排
其余
二、排列与组合的综合应用
➢ 相邻与不相邻问题 例、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照
明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯， 可以熄灭的方法共有多少种？
(1)Cnm = Cnn- m
(2)Cnm+ 1
=
Cnm
+
C m- 1 n
一、排列与组合的基本知识
例、判断下列结论是否正确: (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列. ( × ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序. ( × ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. ( √ ) (4)若 Cnx = Cnm ,则x=m成立. ( × ) (5) Anm = n(n - 1)(n - 2)鬃?(n m) . ( × )
➢ 特殊元素或特殊位置优先考虑 教材第36页自测与评估
解：第一类，没有0时，若无9（6），有 A43 = 24 第二类，没有0时，若有9（6），有 2C42 A33 = 72 第三类，有0时，若无9（6），有 C21 A42 = 24 第四类，有0时，若有9（6），有 2C41C21 A22 = 32
解：题意要求熄灭的灯不相邻，因此选用插空的方法。 将亮着的9盏灯排成一排，两端的灯不能熄灭，则有8个空位符合条件， 然后在8个空位中，任取3个插入熄灭的3盏灯，故有 C83 = 56 种方法。
二、排列与组合的综合应用
➢ 相邻与不相邻问题 教材第25页习题1-2B
A33 ?A42 72
有两个空位相 邻，且与第三 个空位不相邻
排列 的个数 组合 的个数
一、排列与组合的基本知识
➢ 排列数、组合数的公式及性质
公式
(1) Anm = n(n - 1)(n - 2)鬃?(n
m + 1) = n! (n - m)!
来自百度文库
(2)Cnm =
Anm Amm
=
n(n -
1)(n -
2) 鬃?(n m!
m + 1) =
n!
m!(n - m)!
性质
15
(或C53 10)
(或
C52C32 A22
15)
再将三组学生分配到三所学校，有 A33 6
故，共有 (10 15) 6 150 种。
二、排列与组合的综合应用
➢ 分组、分配问题 教材第23页练习B
1234
1
2
3
(1)C42 ?A33 36 (2)34 = 81
(3)6 + 6 = 12
（4）四个相同的小球放入三个不同的盒中，不许有空盒子的放法有多少种？