第一章 等腰三角形的证明

假设AB=AC, 那么根据“等边
对等角”定理得∠B=∠C, 但已知
条件是∠ B≠∠C.
B
“∠B=∠C”与已知条件
“∠B≠∠C”相矛盾，因此
A C
AB≠AC.
小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然 后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛 盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证 明方法称为反证法(reduction to absurdity).
想一想
小明说, 在一个三角形中，如果两个角不相等, 那么 这两个角所对的边也不相等.
即在△ABC中, 如果∠B≠∠C, 那么AB≠AC.
你认为这个结论成立吗?
A
如果成立, 你能证明它吗?
B
C
证明命题的新思路
小明是这样想的:
如图, 在△ABC中, 已知∠B≠∠C, 此时, AB与
AC要么相等, 要么不相等.
C
∴AB=AC（等角对等边）.
例2：
已 知 ： 如 图 ， AB=DC ， A
D
BD=CA.
E
求证明证：：△AED是等腰三角形.
∵AB=DC，BD=CA，AD=DA，
B
C
∴ △ADB ≌ △DCA（SSS）.
∴ ∠ADB= ∠DAC（全等三角形的对应角相等）.
∴AE=DE（等角对等边）
∴ △AED是等腰三角形.
60°
30° 60°
3、已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个数 中至少有一个大于或等于1/5.
证明: 设这五个正数为a1、a2、a3、a4、a5 假设这五个数中没有一个大于或等于1/5,即都小于1/5, 那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1. 这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾. 因此, 假设不成立，即这五个数中至少有一个大于或等于 1/5成立.
例3：用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知： △ABC 求证： ∠A， ∠ B， ∠C中不能有两个角是直角. 证明： 假设∠A， ∠ B， ∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是直 角，即∠A=90°， ∠B=90°. 于是 ∠A+∠ B+ ∠C=90°+90°+ ∠C ＞180°. 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角” 的假设不成立. 所以，一个三角形中不能有两个角是直角.
作 业 习题1.3，第1、2题．
证明：作顶角的平分线AD 在△ABD和 △ACD中 ∵∠B＝∠C. ∠1＝∠2.AD=AD ∴△ABD≌ △ACD（AAS） ∴ AB=AC
还可以怎么作辅助线？
A
21
B
C
D
几何语言：
等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形
（简称：等角对等边）.
A
几何语言：
如图：在△ABC中
∵∠B＝∠C（已知）， B
且∠1=∠2． 求证：AB=AC．
证明：∵AD∥BC， ∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等)， ∠2=∠C(两直线平行，内错角相等)． 又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C． ∴AB=AC(等角对等边)．
2、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则 这个等腰三角形的顶角为___3_0_°__或__1_5_0_°_____.
A
∠B＝∠C.
B
C
已知: 如图, 在△ABC中, ∠B＝∠C. 求证: AB=AC.
证明：作底边BC边上的高AD。
在△ABD和 △ACD中
B
∵∠B＝∠C. ∠ADB＝ ∠ADC.AD=AD
∴△ABD≌ △ACD（AAS）
∴ AB=AC
A
「
C
D来自百度文库
还有其他的证明方法吗？
已知: 如图, 在△ABC中, ∠B＝∠C. 求证: AB=AC. 证法二:
反证法的一般步骤:
1. 假设:先假设命题的结论不成立;即结论的 反面成立;
2. 归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方 法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相 矛盾的结果;
3. 结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而 肯定命题的结论正确.
随堂练习
1、已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC
学习目标: 1、探索等腰三角形的判定定理，并会运用其进行 简单的推理证明；
2、了解反证法的基本证明思路，并能感受简单应 用，培养学生的逆向思维能力.
复习引入 问题1. 等腰三角形性质定理的内容是什么？
这个命题的题设和结论分别是什么？
问题2. 我们是如何证明上述定理的？
做辅助线
构造全等三角形
问题3. 我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？ 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是 等腰三角形吗？
本节课你有什么收获？
1、等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
简称：等角对等边.
A
几何语言：如图, 在△ABC中,
∵∠B＝∠C.
∴AB=AC. B
C
2、反证法的一般步骤:
1. 假设:先假设命题的结论不成立;即结论的反面成立; 2. 归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与 定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果; 3. 结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的 结论正确.