离散趋势度量—理解变异性
统计描述(离散趋势的描述)
大家好
27
正态分布
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正态分布:又称为Gauss分布（Gaussian distribution）。
设想当原始数据的频数分布图的观
察人数逐渐增加且组段不断分细时，图
2-4中的直条就不断变窄，其顶端则逐
渐接近于一条光滑的曲线。这条曲线形
态呈钟形，两头低、中间高，左右对称，
近似于数学上的正态分布。在处理资料
体 方 差 。
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2．正态分布的特征
（ 1） 在 直 角 坐 标 上 方 呈 钟 型 曲 线 ， 两 X 端 与轴 永 不 相 交 ， 且 以
X为 对 称 轴 ， 左 右 完 全 对 称 。
（ 2） 在 X处 ， f(X)取 最 大 值 ， 其 值 为 f()1X2；越 远 离 ， f(X)值 越 小 。
❖ 由于∑（x-）=0，不能反映变异的大小，而用 离均差平方和 ∑（x-）2（sum of deviation
from mean）反映。同时还要考虑到观察值个数N
的影响，用其均数，即得到总体的方差，用2表
示。
❖ 公式为：
2 (X)2
N
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1. 方差（variance）是离均差平方和的均数，反映一
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应用一：观察指标单位不同
某地7岁男孩身高的均数为123.10cm，标准差为 4.71；体重均数为22.59kg，标准差为2.26kg，试比较
其变异度？
S 4.71
C1V 12.130 10% 03.8% 3
C2V S22..2 2 269 10% 01.0 1% 4
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应用二：均数相差较大时
累积频数fc 3 7 19 32 49 71 89 102 113 118 120
变异系数的意义
变异系数的意义
变异系数(又称离散度)是概率分布离散度的归一化度量。
变异系数只在平均值不为零时定义，一般适用于平均值大于零的情况。
变异系数也称为标准偏差率或单位风险。
变异系数只对标量比计算的值有意义。
例如，对于一个温度分布，使用开尔文或摄氏度不会改变标准差，但会改变平均温度，所以使用不同的温度尺度得到的变异系数是不同的。
也就是说，用区间标量得到的变异系数是没有意义的。
变异系数是衡量数据中各观测值变异程度的另一种统计量。
当比较两个或两个以上数据的变异程度时，如果测量单位与平均值相同，则可以直接使用标准差进行比较。
如果单位和/或平均值不同，则不能使用标准差来比较变化程度，而应使用标准差与平均值的比率(相对值)进行比较。
标准差与平均值之比称为变异系数，记为cv。
变异系数可以消除不同单位和(或)平均值对两个或两个以上数据变异程度比较的影响。
变异系数的计算公式为：变异系数C·V=(标准差SD/均值)×100%。
在对数据进行统计分析时，如果变异系数大于15%，应认为该数据可能存在异常，应予以剔除。
离散趋势的二级指标
离散趋势的二级指标离散趋势是指数据集中的数据点离散程度的度量。
在数据分析中，我们通常使用离散趋势的二级指标来进一步评估数据的离散程度。
本文将介绍几个常用的离散趋势的二级指标，包括极差、方差、标准差和四分位差。
一、极差（Range）:极差是指数据集中最大值和最小值之间的差值。
它反映了数据的全局离散程度。
计算公式为：Range = 最大值 - 最小值。
极差越大，代表数据的波动性越大，离散程度越高。
二、方差（Variance）：方差是指数据集中每个数据点与均值之差的平方和的平均值。
它是度量数据分散程度的重要指标。
方差越大，数据的离散程度越高。
计算公式为：Variance = (每个数据点-均值)^2的和 / 数据点个数。
三、标准差（Standard Deviation）：标准差是指数据集中每个数据点与均值之差的平方和的平均值的平方根。
它是最常用的表示数据离散程度的指标之一、标准差越大，数据的离散程度越高。
计算公式为：Standard Deviation = (每个数据点-均值)^2的和 / 数据点个数的平方根。
四、四分位差（Interquartile Range）：四分位差是指数据集中上四分位数和下四分位数之差。
它反映了数据的中间50%的离散程度。
四分位差越大，数据的离散程度越高。
计算公式为：Interquartile Range = 上四分位数 - 下四分位数。
以上是几个常用的离散趋势的二级指标。
这些指标可以帮助我们更加全面地了解数据的分布情况，评估数据的离散程度。
在实际应用中，我们可以根据具体的需求选择合适的指标来进行分析。
卫生统计学--离散趋势的统计描述(衡量离散程度的指标、正态分布及应用、医学参考值范围)
课后习题：
3、将一组计量资料整理成频数表的目的（ ） A、化为计数资料 B、便于计算 C、提供原始数据 D、为能够更精确的检验 E、描述数据的分布特征
4、6人接种流感疫苗一个月后，测定抗体 滴度为1:20、1:40、1:80、1:80、1:160、 1：320，求平均滴度应选用的指标是（ ）
表2-7 282名正常人尿汞值（ g/L ）测量结果
尿汞值
频 数f
累计频数 f
累计频率（%）
0～
45
45
16.0
8.0～
64
109
38.6
16.0～
96
205
72.7
24.0～
38
243
86.2
32.0～
20
263
93.3
40.0～
11
274
97.2
48.0～
5
279
98.9
56.0～
2
281
99.6
统计学方法是（ ）
A、用均数评价 B、用中位数评价 C、用几何均数评价D、用变异系数评价 E、用医学参考值范围评价
2.用于计算变异系数 3.用于计算标准误 4.结合均值与正态分布的规律，估计参考值范
围
第一节 衡量离散程度的指标 （五）变异系数(coefficient of variation)
变异系数常用于比较度量单位不同或均数相 差悬殊的两组(或多组)资料的变异程度。
S CV 100%
X
例题：某地7岁男孩身高的均数为 123.10cm，标准差为4.71cm；体重 均数为22.29kg，标准差为2.26kg, 比较其变异度？
随机变量X N（，2）
拓展
Z X
集中趋势离散趋势的注意事项
集中趋势离散趋势的注意事项集中趋势和离散趋势是统计学中常用的描述数据分布的概念。
集中趋势主要关注数据的平均值，而离散趋势则关注数据的离散程度。
在研究数据时，我们需要同时考虑这两种趋势，以全面了解数据的特点。
以下是在分析集中趋势和离散趋势时需要注意的事项。
1. 选择合适的度量指标：在描述集中趋势时，通常使用均值、中位数和众数等指标。
均值是最常用的度量指标，但在存在极值或偏态分布的情况下，中位数可能更适用。
众数适用于描述离散型数据的集中趋势。
因此，在选择度量指标时，需要根据数据类型和分布情况权衡选择。
2. 注意极值的影响：极值数据可能会对集中趋势产生很大的影响。
均值很容易受到极值的干扰，因此在分析集中趋势时，应该考虑是否存在极值，并对其进行合理处理。
一种常见的处理方法是使用中位数来代替均值，以减弱极值对集中趋势的影响。
3. 理解离散趋势的度量：离散趋势可以通过范围、方差、标准差、四分位数范围等指标来度量。
范围描述了最大值和最小值之间的差异，但对极值较为敏感。
方差和标准差则考虑了每个数据点与均值的差异，是衡量离散趋势的常用指标。
四分位数范围指标描述了数据的中间50%的离散程度。
4. 观察分布的形状：集中趋势和离散趋势的分析应该结合观察数据分布的形状。
常见的数据分布形状包括对称型、偏态和峰态等。
对称型分布的集中趋势和离散趋势可以用单个指标描述，例如正态分布的均值和标准差。
而偏态和峰态分布可能需要使用更多的指标来描述集中和离散趋势。
5. 注意样本量的大小：样本量的大小对集中趋势和离散趋势的分析结果有很大的影响。
在样本较小的情况下，集中趋势和离散趋势的估计可能不够准确，容易受到抽样误差的影响。
因此，在分析数据时应考虑样本量的大小，并对统计推断结果进行适当的解释。
6. 针对特殊情况进行适当处理：在实际应用中，可能遇到一些特殊情况，如缺失值、异常值和重复值等。
对于缺失值，我们需要根据数据缺失的原因和模式进行处理，以减少对集中趋势和离散趋势分析结果的影响。
离散趋势的特征有哪些
离散趋势的特征有哪些
离散趋势的特征包括：
1. 随机性：离散趋势的变化不是按照固定模式进行的，而是具有一定的随机性。
2. 波动性：离散趋势的变化呈现出明显的波动，波峰和波谷之间的距离不一定相等。
3. 不平稳性：离散趋势的数据呈现出不平稳的特征，即难以预测未来的趋势。
4. 稀疏性：离散趋势的数据通常是离散的，即数据之间存在一定的间隔。
5. 异常性：由于离散趋势的数据存在一定的随机性，因此很容易出现异常值或极端值。
6. 非线性：离散趋势的变化通常不是线性的，而是呈现出复杂的非线性特征。
5,数据的离散趋势及描述
能不能说这名学生的学习成绩退步了呢?这是不能的。因为
两次考试试题内容及难度都不同，两个分数无法进行比较。 但换算成标准分，其进步还是退步就明白了。设期中成绩 67分换算成标准分为一0.12，期末成绩62分换算成标准分 为0.35，那么这位同学在前后两次考试中，标准分增长了 0.35-（-0.12)=0.47，说明这位同学的进步还是不小的。
3. 计算过程要取绝对值；
4. 有绝对值不利于统计的进一步计算（代数性质不是很
好）。
三、方差与标准差
方差是各个数据分别与其平均数之差的平方
的和的平均数，标准差是方差的算术平方根。方
差和标准差能较好地反映一个数据集的离散程度，
是最经常应用于描述次数分布离散程度的差异量
数。
总体方差与总体标准差
2
x
离散趋势的测度，在统计学中也称为标志变异指标， 是用来描述数列中指标值的离散趋势与离散程度的。常用 的标志变异指标有极差（全距）、平均差、方差、标准差 和百分位差等。
一、极差
又称全距、两极差，用符号R表示。 把一组数据从大到小排列起来，用最大值减去最小值，就得到极差。 计算公式：
R X max X min
举例
原始数据：1、2、3、4、5、6、7、8、9
样本：2、4、6、8
自由度
1. 一组数据中可以自由取值的数据的个数； 2. 当样本数据的个数为 n 时，若样本均值x 确定后，只 有 n-1 个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能 自由取值； 3. 例如，样本有 3 个数值，即 x1=2 ， x2=4 ， x3=9 ，则 x = 5。当 x = 5 确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由 取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3 则必然取2，而不能取其他值； 4. 样本方差用自由度去除，其原因可从多方面来解释，从 实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差去估计 总体方差σ 2时，它是σ 2的无偏估计量。
理解数据的集中趋势与离散程度
理解数据的集中趋势与离散程度数据是我们生活中不可或缺的一部分，无论是在科学研究、商业决策还是个人生活中，我们都需要处理和分析大量的数据。
在数据分析过程中，了解数据的集中趋势和离散程度是非常重要的，它们能够帮助我们更好地理解数据的分布和特征。
一、集中趋势集中趋势是指数据分布中心的位置，常用的集中趋势度量指标有均值、中位数和众数。
均值是一组数据的平均值，通过将所有数据相加再除以数据个数得到。
均值能够反映数据的总体水平，但受到极端值的影响较大。
例如，考虑一个班级的学生成绩，大部分学生的成绩在70-90分之间，但有一个学生得了100分，这个极端值会使得均值偏高。
中位数是将一组数据按照大小顺序排列后，位于中间位置的数值。
中位数不受极端值的影响，更能反映数据的典型值。
在上述例子中，中位数仍然能够准确地反映学生的典型成绩水平。
众数是一组数据中出现次数最多的数值，它代表了数据分布的最高峰。
众数适用于描述离散型数据，如人口统计中的年龄分布。
二、离散程度离散程度是指数据分布的分散程度，常用的离散程度度量指标有范围、方差和标准差。
范围是一组数据的最大值与最小值之间的差距，它能够直观地反映数据的离散程度。
然而，范围只考虑了极端值，没有考虑其他数据的分布情况。
方差是一组数据与其均值之差的平方的平均值，它能够反映数据与均值之间的差异。
方差越大，数据的离散程度越高。
标准差是方差的平方根，它具有与原始数据相同的单位。
标准差能够衡量数据的离散程度，并且与均值具有相同的量纲，因此更容易进行比较和解释。
三、应用举例理解数据的集中趋势和离散程度在各个领域都有广泛的应用。
在金融领域，我们可以通过分析股票的收益率来了解市场的集中趋势和离散程度。
均值和中位数能够帮助我们了解市场的平均收益水平，而标准差则能够反映市场的波动性。
这些指标对于投资者制定投资策略和管理风险非常重要。
在医学研究中，我们可以通过分析患者的生命体征数据来了解疾病的发展趋势和离散程度。
教案5统计数据特征的描述数据离散趋势的描述：变异指标
第三章统计数据特征的描述
数据离散趋势的描述：变异指标
课次/学时Байду номын сангаас
5/2
教学目的要求
掌握各种离散趋势的描述指标；
教学重点
各种离散趋势描述指标的计算公式和适用条件；
教学难点
对各种数据离散趋势的描述指标进行判断和选择；
运用相关指标对数据的离散趋势进行描述；
教学内容、设计与时间安排：
A.课程导入（5分钟）
想一想：总体方差和标准差的分母与样本方差和标准差的分母有何不同？
引出自由度的概念。
含义：每一天的销售量与平均数相比，平均相差21.58台
C.课程小结（10分钟）
教学组织设计
启发式教学：采用案例考查学生对上节课讲授内容的掌握程度，同时具体化描述统计量的贡献。
讲授：板书+PPT
案例教学：通过例子易化学生对离散趋势各描述指标的理解。
启发式教学：通过提问引发学生思考，同时引出“自由度”这个重要的概念。
思考题与作业
B.新课讲授（75分钟）
一、变异指标的涵义和作用（5分钟）
1、涵义：变异指标又称标志变动度。综合反映总体各个单位标志值差异程度。
2、作用：反映总体各个单位标志值分布的离散趋势；变异指标可以说明平均指标的代表性程度；说明现象变动的均匀性或稳定性程度
二、变异指标的计算方法
1、异众比率--分类数据（10分钟）
用于衡量众数的代表性,异众比例越大，众数的代表性就越差。
2、四分位差—顺序数据（15分钟）
对顺序数据离散程度的测度
反映了中间50%数据的离散程度
不受极端值的影响，没有充分利用原始数据
用于衡量中位数的代表性：四分位差越小，说明中间的数据越集中
集中趋势和离散趋势的描述
集中趋势和离散趋势的描述
集中趋势是一组数据中数值聚集的特征，常见的集中趋势指标包括平均数、中位数和众数。
平均数是所有数值的总和除以数据的个数，中位数是将数据按大小排列后处于中间位置的数值，众数是一组数据中出现次数最多的数值。
离散趋势是一组数据中数值分散的特征，反映了数据的分布情况。
常见的离散趋势指标包括范围、标准差和方差。
范围是一组数据中最大值和最小值之间的差值，标准差和方差则是用来度量数据的离散程度的统计指标，标准差是方差的平方根。
离散趋势指标描述了数据的分布形状，离散程度和数据的变异性。
德尔菲法变异系数-概述说明以及解释
德尔菲法变异系数-概述说明以及解释1.引言1.1 概述德尔菲法变异系数作为一种常用的统计分析方法，在各个领域都有广泛的应用。
德尔菲法是一种专家咨询技术，通过多轮匿名调查和讨论，通过统计算法得出一致性意见。
而变异系数，作为一种统计量，用于衡量一组数据的离散程度或波动性，是标准差与均值之比。
本文将首先对德尔菲法进行介绍，包括其定义、基本原理和应用场景。
然后，将着重探讨变异系数的定义及其计算方法，以及德尔菲法在计算变异系数中的具体应用。
通过对德尔菲法变异系数的深入研究，我们可以更好地理解和应用这一方法，从而为问题的解决提供有力的支持。
本文的目的旨在总结德尔菲法在计算变异系数中的优势，并强调变异系数在统计分析中的重要性。
通过系统地整理和分析相关文献，我们将提出未来研究的方向，以期进一步完善德尔菲法变异系数的应用。
我们相信，这将对提高数据分析的准确性、有效性和可靠性具有重要的指导意义。
在下一节中，我们将开始介绍德尔菲法的基本知识，为进一步讨论其在计算变异系数中的应用打下基础。
请继续阅读后续内容，以更全面地了解德尔菲法变异系数的意义和价值。
1.2文章结构文章结构部分是为了给读者提供一个清晰的脉络，让读者对整篇文章有一个初步的了解。
本文的结构如下：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 德尔菲法的介绍2.2 变异系数的定义2.3 德尔菲法在计算变异系数中的应用3. 结论3.1 总结德尔菲法的优势3.2 强调变异系数的重要性3.3 提出未来研究的方向在本文的结构中，引言部分将介绍整篇文章的背景和重要性，并明确文章的目的。
接着，正文部分将详细介绍德尔菲法的概念、变异系数的定义，以及德尔菲法在计算变异系数中的应用。
最后，在结论部分，将总结德尔菲法的优势，强调变异系数的重要性，并提出未来研究的方向。
通过以上的结构安排，读者可以清晰地了解本文的内容，同时也可以更好地阅读和理解后续的详细论述。
变异系数的意义
变异系数的意义
变异系数（又称离散系数）是概率分布离散程度的一个归一化量度。
变异系数只在平均值不为零时有定义，而且一般适用于平均值大于零的情况。
变异系数也被称为标准离差率或单位风险。
变异系数只对由比率标量计算出来的数值有意义。
举例来说，对于一个气温的分布，使用开尔文或摄氏度来计算的话并不会改变标准差的值，但是温度的平均值会改变，因此使用不同的温标的话得出的变异系数是不同的。
也就是说，使用区间标量得到的变异系数是没有意义的。
一般来说，变量值平均水平高，其离散程度的测度值越大，反之越小。
[2]
变异系数是衡量资料中各观测值变异程度的另一个统计量。
当进行两个或多个资料变异程度的比较时，如果度量单位与平均数相同，可以直接利用标准差来比较。
如果单位和（或）平均数不同时，比较其变异程度就不能采用标准差，而需采用标准差与平均数的比值（相对值）来比较。
标准差与平均数的比值称为变异系数，记为C·V。
变异系数可以消除单位和（或）平均数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响。
变异系数的计算公式为：变异系数C·V =（标准偏差SD / 平均值Mean ）×100%
在进行数据统计分析时，如果变异系数大于15%，则要考虑该数据可能不正常，应该剔除。
统计学中σx-概述说明以及解释
统计学中σx-概述说明以及解释1.引言1.1 概述统计学是一门研究数据收集、分析、解释和预测的学科。
它通过收集大量的数据样本，运用数理统计方法，揭示数据背后的规律和趋势，从而对现象进行推断和预测。
在进行统计学研究时，我们经常会遇到需要对数据的变异程度进行描述和分析的情况。
而在统计学中，变异程度的度量指标之一就是σx，即样本标准差。
σx是描述样本数据离散程度的一种统计参数，它通过测量样本数据与其平均值之间的差异来反映数据的分散情况。
本文将重点讨论σx在统计学中的定义、意义以及计算方法。
我们将通过详细介绍σx的概念和原理，帮助读者深入理解σx在统计学中的重要性和应用。
随着大数据时代的到来，统计学在各个领域的应用越来越广泛。
无论是市场调研、财务分析、医学研究还是社会科学领域，都需要借助统计学方法来处理和分析数据。
而在这个过程中，σx作为一种重要的统计指标，对于评估数据的稳定性和可靠性起到了至关重要的作用。
然而，虽然σx在统计学领域有着广泛的应用，但它也存在一些局限性。
在本文的后续章节中，我们将详细讨论σx的局限性以及对其进一步研究和应用的展望。
总之，本文将通过对统计学中的σx进行深入阐述和分析，旨在帮助读者更好地理解和应用这一重要的统计学指标。
通过对σx的研究，我们可以更准确地刻画数据的变异情况，为决策提供更可靠的依据，并推动统计学在不同领域的发展。
1.2 文章结构文章结构部分主要介绍本文的章节组成和内容安排。
本文按照引言、正文和结论三个部分进行组织。
在引言部分，首先会对整篇文章进行概述，简要介绍统计学中的σx的定义和意义，以及本文的目的。
然后会给出文章的结构，列出各个章节的主要内容，并指引读者快速了解本文的结构。
接下来是正文部分，正文分为三个小节。
首先会详细介绍什么是统计学，包括其定义、研究对象、方法和应用领域等。
然后会着重讲解σx的定义和意义，解释σx在统计学中的重要性和作用。
最后会详细介绍σx的计算方法，包括数学推导过程和具体计算公式。
离散趋势的度量
组距分组数据：
( xi − x ) 2 f i ∑
i =1
k
∑f
i =1
k
i
−1
S n−1 =
∑f
i =1
k
i
−1
7、关于自由度问题 一组数据中可以自由取值的数据的个数 当样本数据的个数为n 时，若样本均值x 确 定后，只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一 个数据则不能自由取值。 例如，样本有3个数值，即x1=2，x2=4，x3=9， 则x = 5。当x = 5 确定后，x1，x2和x3有两个数 据可以自由取值，另一个则不能自由取值。 样本修正方差用自由度去除，以后可以看到， 在参数估计中，样本修正方差是总体方差的无偏 估计量。
i
2 2 S 2 = S A + SB = 94485.2 + 12507.8 = 106993
S = 106993 = 327.109 (元)
（四）是非标志（比例）的标准差 是非标志：用“是”、“否”或“有”、“无”表示的标志 总体单位数用N来表示，有研究标志的单位数 用 N1表示，没有所研究标志的单位数用 N 0 表示
N0 N1 P= , Q= N N P + Q = 1或 P = 1 − Q
是非标志的平均数： X = P 是非标志的标准差：
S = PQ = P (1 − P )
（五）数据的标准化 1、用于对变量的标准化处理 2、给出某一个值在一组数据中的相对位置， 可用于判断一组数据是否有离群点 3、有时称标准分数 4、计算公式为
数值型未分组数据的四分位数(6个数据) 原始数据: 23 21 30 序: 21 23 25 排 2 3 置: 1 位
QL位置 = QU位置 =
第五章 离中趋势的量度：变异指标
第五章离中趋势测量法平均指标对总体的共性和一般水平作了概括，以此来说明总体标志值分布的集中趋势。
但是总体作为统计对象，还有其变异性的一面。
变异指标用以反映总体各单位标志值的变动范围或参差程度，与平均指标相对应，从另一个侧面反映了总体的特征。
变异指标不仅可以综合地显示变量值的离中趋势，还可以用来判别平均数的代表性。
所谓离中趋势，是指数列中各变量值之间的差距和离散程度。
离势小，平均数的代表性高；离势大，平均数代表性低。
变异指标的种类较多，如按计算的基准来分有以下两类：(1)以两数之差来表达的有全距和四分位差等。
(2)以对平均数偏差来表达的有平均差、标准差等。
变异指标如按数量关系来分有以下两类；(1)凡用绝对数来表达的变异指标，统称绝对离势，主要有极差、平均差、四分位差、标准差等。
(2)凡用相对数来表达的变异指标，统称相对离势，主要有异众比率、标准差系数、平均差系数和一些常用的偏态系数。
第一节全距与四分位差1．全距全矩是最大变量值与最小变量值之差，用R来表示。
对未分组资料，计算全距用原始式。
由于全距是一组数据中两个极端值之差，所以它又称极差。
全距的最大优点是：计算简单，便于直观。
缺点是；①受极端值影响大，遇含开口组的资料时将无法计算；②由于没有量度中间各个单位间的差异性，所以数据利用率很低，信息丧失严重；③受抽样变动影响很大。
一般说来，大样本全距要比小样本全距大些，因为大样本有较多的机会包含最极端的变量值。
2．四分位差四分位是用第三四分位数和第一四分位数的半距作为测定离中趋势的一种变异指标，它可以避免全距测量离中趋势受极端值影响大这个缺点。
但由于它仅以两数之差为基准，全距的另两个缺点依然无法避免。
第二节平均差要测定变量值的离中趋势，尤其是要测定各变量值相对于平均数的差异情况，一个很自然的想法就是计算各变量值与算术平均数的离差。
但由于算术平均数的性质，各变量值与其算术平均数离差的代数和恒为零，所以用这个性质无法构造出能够测定离中趋势的变异指标。
离散趋势测度指标
离散趋势测度指标引言离散趋势测度指标（Measures of Dispersion）是统计学中用于衡量数据分布的分散程度的指标。
通过分析数据的离散程度，我们可以了解数据集中值的集中程度以及数据的变异程度。
离散趋势测度指标在统计分析、质量管理以及金融领域等具有重要作用。
离散趋势测度指标的分类一、离散趋势测度指标的分类根据数据类型和测度方法的不同，离散趋势测度指标可以分为以下几类：1.范围指标（Range）：范围指标衡量数据集中最大值和最小值之间的距离，是最简单的离散趋势测度指标。
2.方差指标（Variance）：方差指标测量数据集内部值与其平均值之间的差距程度，常用于描述数据离散程度的指标。
3.标准差指标（Standard Deviation）：标准差指标是方差指标的平方根，用于衡量数据集内数据值与平均值之间的离散程度。
4.变异系数指标（Coefficient of Variation）：变异系数指标用于衡量数据集的离散程度相对于其平均值的程度。
5.四分位差指标（Interquartile Range）：四分位差指标测量了数据集中第三四分位数与第一四分位数之间的距离，被广泛应用于描述数据的分布情况。
6.极差指标（Range）：极差指标描述了数据集中最大值和最小值的距离。
二、范围指标范围指标是最基本的离散趋势测度指标，其计算公式为： [ Range = Max - Min ] 范围指标的值越大，数据的离散程度越大。
然而，范围指标对极端值敏感，容易受异常值的影响，因此在实际应用中会存在一定局限性。
三、方差和标准差指标方差指标是衡量数据集内部值与其平均值之间差距程度的常用指标，其计算公式如下： [ V = ] 其中，[x_i]表示第[i]个数据点，[{x}]表示数据集的平均值，[n]表示数据集的大小。
标准差指标是方差指标的平方根，用于衡量数据集内数据值与平均值之间的离散程度。
通过计算标准差可以了解数据分布的集中程度和离散程度。
变异系数和相对标准偏差
变异系数和相对标准偏差在统计学中，变异系数和相对标准偏差是用来衡量数据的离散程度的两个重要指标。
它们能够帮助我们对不同数据集的差异进行比较和分析，从而更好地理解数据的特征和趋势。
一、变异系数变异系数（coefficient of variation，简称CV）是衡量数据离散程度的相对指标。
它是标准差与平均值的比值，通常以百分比的形式表示。
变异系数越大，说明数据的离散程度越大；反之，离散程度越小。
变异系数的计算公式如下：CV = (标准差/平均值) × 100%其中，标准差是衡量数据离散程度的常用指标，平均值是数据的中心趋势的度量。
通过计算变异系数，我们可以将不同数据集的离散程度进行比较，从而更好地评估数据的稳定性和可靠性。
二、相对标准偏差相对标准偏差（relative standard deviation，简称RSD）是另一种衡量数据离散程度的相对指标。
它与变异系数类似，都是用来比较不同数据集的离散程度的。
相对标准偏差也是以百分比的形式表示。
相对标准偏差的计算公式如下：RSD = (标准偏差/平均值) × 100%其中，标准偏差是衡量数据离散程度的另一个常用指标。
相对标准偏差的计算方式与变异系数类似，只是使用了标准偏差来代替标准差。
三、变异系数与相对标准偏差的比较变异系数和相对标准偏差都是用来衡量数据的离散程度的相对指标，它们的计算方式类似，都是将离散程度与中心趋势进行比较。
它们的区别在于，变异系数使用的是标准差，而相对标准偏差使用的是标准偏差。
由于标准差和标准偏差的计算方式不同，所以变异系数和相对标准偏差的数值可能会有所不同。
一般来说，当数据的离散程度较大时，变异系数和相对标准偏差的数值都会较大；反之，离散程度较小时，它们的数值都会较小。
四、应用场景变异系数和相对标准偏差在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在质量控制领域，我们可以使用变异系数和相对标准偏差来评估不同产品的质量稳定性；在金融市场中，我们可以使用它们来比较不同投资组合的风险程度；在生物学研究中，我们可以使用它们来衡量不同实验结果的可重复性。
离散趋势度量
离散值相互补充的对应关系是：
众数
中位数
集中趋势的测度值
算术平均数 三者比较 异众比率 全距
离散趋势测度值
四分位差 标准差 离散系数（标准差系数）
第二节、离散趋势测量法
甲、乙、丙三个村民小组１５位已婚妇女的 初婚年龄分别为：
1 甲组 乙组 24 22
2 24 23
3 24 24
4 24 25
5 24 26
平均分 24 24
丙组
18
20
25
30
27
24
二、离散趋势测量法
• 离散趋势是指一组变量值背离分布中心值 的特征。与集中趋势法具有互相补充的作 用。
N F 1 4 h1 Q1 l 1 f1
3N F3 4 h3 或Q 3 l 3 f1
四分位差: Q Q3 Q1
表2-5 某校学生家庭月收入 调查了甲校550名学生的家庭月收入，中位值是 收入（元） 频次f 累计频数F 1180.5元，在这个中位值的两旁共有50％的家庭月 10 10 500～700 收入是介于991.9～1361.7之间，差距是369.8元。这 65 75 700 ～900 个差距显示了离散程度，差距越大，中位值的代表 136 211 900 ～1100 158 369 1100 性越小。 ～1300 1300 ～1500 1500 ～1700 141 40 510 550
一、异众比率ν
异众比率ν是指非众数值的频数之和在总体频数中 所占的比例。公式为：
N f m0 N
f m 0 — 众数的频数
ν越小，众数的代表性越强，ν越大，众数代表性 也就越差。
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225
4
40
230 ~ 240
235
5
50
合计
—
120
—
Mi x fi
160 270 320 270
0 170 200 240 160 250
2040
平均差
(例题分析)
k
M d
i 1
Mi x n
fi
2040 120
17(台)
含义：每一天的销售量平均数相比，
平均相差17台
思考
比较下列两组数据的极差： A组：2，10，5，5，5，5，5，5，5，5． B组：4，6，3，7，2，8，1，9，5，5． 试问：A组与B组，哪个组的数据离散程度较大？
平均差
(mean deviation)
1、各变量值与其平均数离差绝对值的平均数 2、能全面反映一组数据的离散程度，受极值影响 3、数学性质较差，实际中应用较少
4. 计算公式为
未分组数据 组距分组数据
n
xi x
M d i1 n
k
Mi x fi
M d i1 n
平均差
(例题分析)
某电脑公司销售量数据平均差计算表
汇源果汁
6 0.12 12
露露
9 0.18 18
合计
50
1
100
解：
50 15 vr 50
1 15 50
0.7 70%
在所调查的50人当中，购 买其他品牌饮料的人数占 70%，异众比率比较大。因 此，用“可口可乐”代表消 费者购买饮料品牌的状况， 其代表性不是很好
四分位差 (quartile deviation)
—
频数(fi) 4 9
16 27 20 17 10
一个数据则不能自由取值
3、例则两如个，数x 样据= 本可5。有以当3自个由数x取值=值，5，即确另x定1一=后2个，，则xx21不=，4能，x2自x和3=由x93， 有取 值能取，其比他如值x1=6，x2=7，那么x3则必然取2，而不
4、样本方差用自由度去除，其原因可从多方面解 释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用
思考，你认为A组和B组的标准差哪一个 比较大呢？
SA= SB=7.3
标准差最小值为0，而数据的离散程度越大， 标准差的值就越大
样本方差和标准差
方差的计算公式
未分组数据：
n
(xi x)2
s 2 i1 n 1
组距分组数据：
注意：
样本方差用自 由度n-1去除!
k
(Mi x)2 fi
s 2 i1 n 1
1. 对分类数据离散程度的测度 2. 非众数组的频数占总频数的比例 3. 计算公式为
vr
fi fm 1 fm
fi
fi
4. 用于衡量众数的代表性
异众比率 (例题分析)
不同品牌饮料的频数分布
饮料品牌
频数 比例 百分比 (%)
可口可乐
15 0.30 30
旭日升冰茶 11 0.22 22
百事可乐
9 0.18 18
按销售量分组
组中值(Mi)
频数(fi)
Mi x
140~150
145
4
40
150 ~ 160
155
9
30
160 ~ 170
165
16
20
170 ~ 180
175
27
10
180 ~ 190
185
20
0
190 ~ 200
195
17
10
200 ~ 210
205
10
20
210 ~ 220
215
8
30
220 ~ 230
4、未考虑数据的分布 5. 计算公式为
7 8 9 10
7 8 9 10
R = max(xi) - min(xi)
许多时候，平均掩盖了数据的真实深度。
好的决策不仅要考虑集中趋势度量，还要考虑散 步大小。
所有的东西只为平均水平设计，我们的社会将会 崩溃（高速公路、大坝、房屋建筑、温度）
“一个人在通过平均深度为1米的河流时淹死了”
从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表 程度
反映社会经济现象变动的均匀性和稳定性 不同类型的数据有不同的离散程度测度值
第一节
二、种类
什么是离散趋势量数
异众比率 四分位差 极差 平均差 标准差 离散系数
Vr Q.D. R A.D. S.D.(σ) Vσ
第二节 离散系数种类
异众比率 (variation ratio)
样本方差去估计总体方差σ2时，它是σ2的无偏
估计量
按销售量分组
140-150 150-160 160-170 170-180 180-190 190-200 200-210 210-220 220-230 230-240
合计
样本标准差 (例题分析)
某电脑公司销售量数据平均差计算表
组中值(Mi) 145 155 165 175 185 195 205 215 225 235
x = 8.3
4 6 8 10 12
案例
姓名（A）
史彬莲 史子俊 陈正辉 刘洋 周晓晨 平均成绩
财务 管理 71 84 47 68 97 73.2
姓名（B）
夏军军 金梦雨 郁淼 黄超 刘兆云 平均成绩
财务 管理 75 81 71 62 78 73.2
A组同学的得分散落在高点和 低点 B组同学的分数相当接近
标准差的计算公式
未分组数据：
n
(xi x)2
s i1 n 1
组距分组数据：
k
(Mi x)2 fi
s i1 n 1
样本方差 自由度(degree of freedom)
1、一组数据中可以自由取值的数据的个数
2、当样本数据的个数为 n 时，若样本均值x 确 定后,只有n-1个数据可以自由取值，其中必有
A组与B组的极差相等．这说明极差虽能反映这两 组数据的波动情况，但能判断其离散程度的大小 吗？
标准差（standard deviation）和方差
标准差各变量与其平均值的差平方的平均数的 平方根。
标准差表示一个数据组中变异性的平均数量。 实际的含义是与均值的平均距离。标准差越大， 每个数据点与数据分布的均值的平均距离越大。
第三章 离散趋势量数——理解变异性
第一节 什么是离散趋势量数 第二节 离散系数种类：异众比率、
四分位差、 极差、标准差和方差、 离散系数 第三节 偏态与峰态 第四节 标准化
第一第节一节什么什是么离是散离趋散趋势量 势数量据分布的另一个重要特征
反映各变量值远离其中心值的程度（离散程 度）
1、对顺序数据离散程度的测度 2、也称为内距或四分间距 3、上四分位数与下四分位数之差
Qd = QU – QL
4、反映了中间50%数据的离散程度 5、不受极端值的影响 6、用于衡量中位数的代表性
极差(range)
1、一组数据的最大值与最小值之差
2、离散程度的最简单测度值，常用于数值型数据
3、易受极端值影响