高等数学 第六章定积分的应用习题课课件

③在[x, x dx]上求出微元解析式dU f ( x)dx
④把所求的量表示成定积分U
b
f ( x)dx
a
三、典型例题
1. 几何应用 定积分的几何应用包括求平面图形的面积、特殊立体的
体积和平面曲线的弧长。解决这些问题的关键是确定面积元 素、体积元素和弧长元素。
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【例1】求由 x y 0, y x2 2x 所围成图形的面积。
所当对应的矩形的面积，
即
dA2 (e x ex)dx
（3）求定积分：所求的几何图形的面积可表示为：
A A1 A2
0 exdx
1(ex ex)dx
0
解上面的积分得：
A 0 e xdx 1(e x ex)dx
0
lim
0 e xdx
(ex
e
1
x2)
Fra Baidu bibliotek
e
a a
2 02
9
【例3】求由摆线 x a(t sint), y a(1 cos t) 的一拱
(2) 求微元：任取 [0, ], [ , d ][0, ],则面积
元素dA1就是区间[ , d ] 所对应的扇形面积,
dA1
1 2
2d
.
(3) 求定积分： 第一象限图形的面积表示为
A1
1 2d
02
2a2(2 cos )2d
0
a2 (4 4cos cos2 )d 9 a2 0
分析：在直角坐标系下,由给定曲线所围成的几何图形
如图所示。 如果取 x为积分变量, 则x [0, 3]. x [0, 3],
设区间[x, x dx]所对应的曲边梯形面积为A, 则面积元
素 dA就是在 [x, x dx] 上以“以直代曲”所形成的矩形面积。
解：(1) 确定积分变量和积分区间：
由于曲线 x y 0 和 y x 2 2x
2 a
2
A ydx a(1 cos t) a(1 cos t)dt
0
0
a2 2 (1 2cos t cos2 t)dt 3 a2 0
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【例4】求曲线 2a(2 cos )(a 0) 围成的图形的面积. 分析：在极坐标系下，由给定曲线所围成的面积如图所示。
因为曲线关于 x 轴对称，所以只须考虑第一象限中的情况.
“以均匀变化代不均匀变化”的方法，其“代替”的原则必须
是无穷小量之间的代替。将局部 [x, x dx] [a, b]上所对
应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成
定积分 b f ( x)dx ． a 3
2. 在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤： ①选取适当的坐标系；
②确定积分变量和变化范围[a, b]；
第六章 定积分应用习题课
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一、定积分应用的类型
1．几何应用
平面图形的面积 特殊立体的体积 平面曲线弧长
旋转体的体积
平行截面面积为 已知立体的体积
变力作功
2．物理应用
水压力
引力
2
二、构造微元的基本思想及解题步骤
1. 构造微元的基本思想 无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。 元素法的实质是局部上“以直代曲”、“以不变代变”、
0 t 2 与 x轴所围成图形的面积.
分析：曲线的方程为参数方程，围成图形如图所示，
如果取x为积分变量,则 x [0, 2 a] . x [0, 2 a],
设区间[ x, x dx]所对应的曲边梯形面积为A,
则面积元素 dA就是在[ x, x dx]上“以直代曲”
y
所形成的矩形面积。
2a
0
x x dx
的左方以及 x 轴上方之间的图形的面积。
分析：在直角坐标系下，由给定曲线所围成的面积如图
所示。如果取 x 为积分变量，则 x (, 1], 设区间
[x, x dx]所对应的曲边梯形
面积为 A, 则面积元素 dA
就是在[x, x dx]上“以直代曲” 所形成的矩形面积。
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考虑到当[x, x dx][, 0]和 [x, x dx][0, 1] 时[x, x dx] 上所对应曲边梯形不同，所以，相对应矩形面积的表达式也
取 为积分变量,则 [0, ]. [0, ], 设区间[ , d ]
所对应的曲边扇形的面积为 A,
则面积元素 dA1 就是用区间[ , d ]
所对应的扇形面积代替曲边扇形的面积
面积 A, 所求图形的面积 A 2 A1 .
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解：(1) 确定积分变量和积分区间:取 为积分变量， [0, ]
（2）求微元：任取[x, x dx] (, 1] ,则当[x, x dx] [, 0]
时,那么面积元素dA1就是区间[x, x dx]所对应的矩形的面积，
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即
dA1 (e x 0)dx e x dx
当[x, x dx] [0, 1] 时,那么面积元素 dA2 就是区间[x, x dx]
2 a x
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解: (1) 确定积分变量和积分区间：选取 x 为积分变量，
x [0, 2 a]
(2) 求微元：x [0, 2 a], [x, x dx][0, 2 a], 那么面积元素dA 就是区间[ x, x dx]所对应的 矩形的面积，即 dA ydx .
(3) 求定积分：所求的几何图形的面积可表示为：
不同，因此微元 dA应该分别去求.
解：（1）确定积分变量和积分区间：设切点M 的坐标为
M ( x0 , y0 ), 则过原点且与y e x 相切的切线方程为：y e x0 x,
由
y
0
y0
e x0 x0 得M 的坐标为M(1, e)
e x0
.故得到切线方程为y ex
.
所以选取x 为积分变量, x (, 1].
的交点为(0, 0)和 (3, 3),
取 x为积分变量, 则 x [0, 3].
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（2）求微元：任取 x [0, 3], [x, x dx] [0, 3].
如果将图形上方直线的纵坐标记为 y2 x ,
将图形下方抛物线的纵坐标记为 y1 x 2 2x,
那么，dA就是区间[ x, x dx]所对应的矩形的面积。因此
dA ( y2 y1 )dx [ x ( x 2 2x)]dx ( x 2 3x)dx
（3） 求定积分：所求的几何图形的面积表示为
A 3 ( x2 3x)dx 0
计算上面的积分得： A
3
(
x2
3 x )dx
9.
0
2
6
【例2】* 求位于曲线 y e x 下方，该曲线过原点的切线