高等数学 第六章定积分的应用习题课课件
合集下载
6-1,6-2元素法,定积分在几何上的应用
2 3
3
x2
x3 3
1 0
1. 3
问题：积分变量只能选 x吗？
y x2
x x+dx
9
解法2. 两曲线的交点 (0,0)，(1,1)
选 y为积分变量，y [0,1]
y dy
y
x y2 y x2
面积元素 dA ( y y2 )dy
A
1(
0
y
y2 )dy
2
3
3
y2
y3 1
3
0
1. 3
14
例4 求椭圆 x2 y2 1的面积.
a2 b2
解
椭圆的参数方程
x y
a cos t bsin t
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．
A 4
a
ydx 4
0
bsintd(a cost)
o
上曲线 下曲线
y g(x)
a xx xb x
6
(3)以 x ( y) 为曲边，以[c,d]为底的曲边梯形的面积A.
d
d
A c ( y)dy
xdy
c
(4)由曲线x ( y)，x ( y), c y d,
[ ( y) ( y)] 所围图形的面积.
其面积元素为：
dA [ ( y) ( y)]dy，则面积为
第六章 定积分的应用
6-1、定积分的元素法 回顾(求曲边梯形的面积)
设函数 y f (x)( f (x) 0) 在[a,b]上连续，求以 y f (x)为
曲边， 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A.
b
A a f ( x)dx
y
y f (x)
A
oa
高等数学上册第六章课件.ppt
(2 , 2)
4
AdA ( y 4 12 y 2 ) d y
2
18
(8 , 4)
x
第二节 定积分在几何中的应用
例
求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解
2π
dAA
ydx 0 a (1 cos t ) a (1 cos t ) d t
a
2
4a
X -型绕x轴旋转所围成的立体的体积：
y 2 ( x)
b
b
Vx π ( x)dx π ( x)dx
a
b
2
2
a
2
1
2
2
y 1 ( x)
π [2 ( x) 1 ( x)]dx
a
a
bx
Y-型绕y轴旋转所围成的立体的体积：
d
Vy π [ g g ]dy
2
5 3 1 π
32π a sin u du 32π a 5π 2 a3
0
6 4 2 2
3
2
6
3
第二节 定积分在几何中的应用
y
x x2 ( y )
2a
绕 y 轴旋转而成的体积为
π
π a 2 (t sin t ) 2 a sin t d t
2π
o
πa
πa
4 2 2
2
所围图形的
(利用对称性)
d
o
2a x
第二节 定积分在几何中的应用
心形线(外摆线的一种)
2
2
2
x y ax a x y
2
即 r a(1 cos )
4
AdA ( y 4 12 y 2 ) d y
2
18
(8 , 4)
x
第二节 定积分在几何中的应用
例
求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解
2π
dAA
ydx 0 a (1 cos t ) a (1 cos t ) d t
a
2
4a
X -型绕x轴旋转所围成的立体的体积：
y 2 ( x)
b
b
Vx π ( x)dx π ( x)dx
a
b
2
2
a
2
1
2
2
y 1 ( x)
π [2 ( x) 1 ( x)]dx
a
a
bx
Y-型绕y轴旋转所围成的立体的体积：
d
Vy π [ g g ]dy
2
5 3 1 π
32π a sin u du 32π a 5π 2 a3
0
6 4 2 2
3
2
6
3
第二节 定积分在几何中的应用
y
x x2 ( y )
2a
绕 y 轴旋转而成的体积为
π
π a 2 (t sin t ) 2 a sin t d t
2π
o
πa
πa
4 2 2
2
所围图形的
(利用对称性)
d
o
2a x
第二节 定积分在几何中的应用
心形线(外摆线的一种)
2
2
2
x y ax a x y
2
即 r a(1 cos )
定积分的应用96113-PPT文档资料26页
3
2x2
2
16
3
8
S右 2[
2x(x4)d ] x(22x2 3 0 1x24x)85 66
32
23
SS 1S 218
例 3 计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所围成
的图形的面积.
解2 选 y为积分变量 y[2,4]
(8,4)
y2 2x
4
S 2
收益 R (x )x 函 R (t)d数 t 0
作业：6.4 1(1,3)、2、5(1,3)、6、8
n
Vy(xi2xi21)| f(i)|
y
yf(x)
i1
n
i n1(xixi 1)x (ixi 1)|f(i)|o
xi1 i x i
x
(xi xi1)|f(i)|xi
y2 x y x2
(0,0)
(1,1)
(不要省略)
2.选择适当的积分变量,确定被积函数 0
选 x为积分变量 x[0,1]
x y2
y x2
x
1
被积函数x为 x2
3.代入相应的积分 算公 出式 定， 积分值
1
S (
0
xx2)dx
2 3
3
x2
1 3
x3
y4y22dy
(y2 4y y3)4 18
2
6
2
yx4
(2,2)
求平面图形面根 积据 时图 ，形 要的形状
适当的积分变计 量算 ，简 会单 使化
例4在抛物 yx线 2(0x1)上找一 P，点 使经 P 过
的水平直线与 直抛 线 x0物 ,x线 1所和 围成的
六章定积分应用ppt课件
WF(ba)
F
a
b
若F 为变力，力对
物体所作的功W=？
例1 带电量为q0与q1的正电荷分别放在空间两点， 求当q1沿a与b连线从a移到b时电场力所作的功。
解: 如图建立坐标系：在上述移动过程中，电场
对q1作用力是变化的。
(i)取r为积分变量，则 r[a,b] q0
q1
(ii)相应于[a,b]上任一小区间[r,r+dr] o a
br
的功元素
dW Fdrkq0q1dr
(iii)所求功
r2
W
b
k
a
qr0q21dr
kq0q1
(1) r
b a
kq0q1(1ab1)
例2 在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体。在等 温条件下，由于气体膨胀，把容器中的一个活塞（面积为S） 从点a推移至b，计算在移动过程中气体压力所作的功。
解: 如图建立坐标系，活塞位置可用坐标x表示。
引力
问题的提出：从物理学知道，质量分别为m1、m2，相
距为r的两质点间的引力大小为
F Gmr1m2 2
其中G为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线。
如何计算一根
细棒对一个质点的 引力F=？
r
o
m1
m2 x
例6 设有一长度为l、线密度为的均匀细棒，在
其中垂线上距棒a单位处有一质量为m 的质点M。
试计算该棒对质点M的引力。
x
问题的解决方法： 定积分元素法
以液面为y轴，x轴铅直向下。
设平板铅直位于液体中形状如图。
o
距离液面x、高为dx、宽为f(x) 的
矩形平板所受压力的近似值，即压力 元素为
a x x+dx
高等数学第六章第二节定积分在几何学上的应用课件.ppt
解:
cos x 0,
2
x
2
s
2
2
2 2 0
1 y2 dx 1 ( cos x)2 dx
2 2
2 cos x dx
0
2
2
2
2
sin
x 2
2
0
4
的弧长.
例11. 计算摆线
一拱
的弧长 .
y
解: ds
(dd
x t
)2
(
d d
y t
)
2
d
t
o
a2 (1 cos t)2 a2 sin2 t d t
1 y2 dx
因此所求弧长
s b 1 y2 dx a
b
a
1 f 2(x) dx
y
y f (x)
ds
o a xxdxb x
(2) 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长
s
2 (t) 2 (t) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
y b
o x ax
则 V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)
2
b2 a2
a
(a
2
x2
)
dx
0
2
b2 a2
a2 x
1 3
x3
a 0
4 ab2
3
方法2 利用椭圆参数方程
则 V 20a y2 dx 2 ab2 sin3t d t
2 ab2 2 1
3
4 ab2
3
特别当b
=
a
定积分及其应用概要精品PPT课件
若当 0 时, Sn 有确定的极限值 I, 且 I 与区间[a, b]的
分法和 i 的取法无关, 则称函数ƒ(x)在区间[a, b]上可积,
并称此极限值I为ƒ(x)在区间[a, b]上的定积分, 记为
b
f (x)dx
b
a
n
即
a
f (x)dx I
lim 0 i1
f (i )xi
其中ƒ(x)为被积函数, ƒ(x)d x称为被积表达式, x 称为积分
则该窄矩形的面积 f (i )xi
近似等于 Si , 即
f (i )xi Si
III.求和、取极限
为了从近似过度到精确, 将所有的窄矩形的面积相加,
n
n
就得曲边梯形的面积的近似值, 即 S Si f (i )xi
i 1
i 1
记各小区间的最大长度为 max{x1, x2 , , xn}
当分点数n无限增大且各小区间的最大长度 m1iaxn {xi } 0
从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积:
I.化整为零(或分割)——任意划分
(如右图)用分点
y
y=ƒ(x)
a x0 x1 x2 xn1 xn b
将区间[a,b]任意地划分为n个小区间
[x0 , x1 ],[x1, x2 ], ,[xn1, xn ],
x2
o a x0 x1
xi1 xi xi
来说是一个变量, 其最大值与最小值之差较大; 但从区间
[a, b]的一个局部(小区间)来看, 它也是一个变量;
但因ƒ(x)连续, 从而当Δ x →0时, Δy→0, y
故可将此区间的高近似看为一个常量,
y=ƒ(x)
A
C
B
《高等数学》(同济六版)教学课件★第6章.定积分的应用
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
表示为
定积分定义
目录 上页 下页 返回 结束
二 、如何应用定积分解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量
近的似值
微分表达式
dU f (x) dx
第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的
精确值
积分表达式
b
U a f (x) dx
这种分析方法称为元素法 (或微元分析法 )
元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
第二节
第六章
定积分在几何学上的应用
一、 平面图形的面积
二、 平面曲线的弧长 三、已知平行截面面积函数的
立体体积
目录 上页 下页 返回 结束
例8. 求双纽线
所围图形面积 .
解: 利用对称性 , 则所求面积为
y
1 a2 cos2 d
2
π 4
π
a2 4 cos 2 d (2 ) 0
O
ax
a2sin 2 a2
π 4
思考: 用定积分表示该双纽线与圆 r a 2 sin
所围公共部分的面积 .
答案:
π
A 2 6 a2 sin2 d 0
y Mi1
A M0 O
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
(证明略)
Mi
B Mn x
目录 上页 下页 返回 结束
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
1 y2 dx
因此所求弧长
表示为
定积分定义
目录 上页 下页 返回 结束
二 、如何应用定积分解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量
近的似值
微分表达式
dU f (x) dx
第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的
精确值
积分表达式
b
U a f (x) dx
这种分析方法称为元素法 (或微元分析法 )
元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
第二节
第六章
定积分在几何学上的应用
一、 平面图形的面积
二、 平面曲线的弧长 三、已知平行截面面积函数的
立体体积
目录 上页 下页 返回 结束
例8. 求双纽线
所围图形面积 .
解: 利用对称性 , 则所求面积为
y
1 a2 cos2 d
2
π 4
π
a2 4 cos 2 d (2 ) 0
O
ax
a2sin 2 a2
π 4
思考: 用定积分表示该双纽线与圆 r a 2 sin
所围公共部分的面积 .
答案:
π
A 2 6 a2 sin2 d 0
y Mi1
A M0 O
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
(证明略)
Mi
B Mn x
目录 上页 下页 返回 结束
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
1 y2 dx
因此所求弧长
定积分及其应用习题章节-PPT课件
b
n
嘉兴学院
2/25/2019
第六章 定积分
第7页
3、存在定理
可积的两个充分条件：
称 在 区 间 上 可 积 . f ( x ) [ a , b ]
函 数 在 区 间 上 连 续 时 ， f ( x ) [ a , b ] 定理1 当
定理2 设 函 数 f ( x ) 在 区 间 [ a , b ] 上 有 界 ，
a b
第六章 定积分
第3页
1、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积A）
y f ( x ) ( f ( x ) 0 ) 、 曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线
x b 所 围 成 . x x a 轴 与 两 条 直 线 、
A lim f( x i) i
0 i 1
2/25/2019
第六章 定积分
第11页
5、牛顿—莱布尼茨公式
f(x )在 [ a ,b ]上 果 连 续 ， 则 积 分 上 限 的 函 数 定理1 如 (x ) f(t) dt [ a ,b ]上 在 具 有 导 数 ， 且 它 的 导 数 a d x (x (axb ) ) f(t) dt f(x ) 是 a dx
a a
b
b
（ 2）
嘉兴学院
f ( x ) dx f ( x ) dx (ab ) a a2/25/2019b Nhomakorabeab
第六章 定积分
第10页
在 区 间 f ( x ) [ a , b ] 性质6 设 M 及 分 别 是 函 数 m
上 的 最 大 值 及 最 小 值 ，
m ( b a ) f ( x ) dx M ( b a ) 则 .
n
嘉兴学院
2/25/2019
第六章 定积分
第7页
3、存在定理
可积的两个充分条件：
称 在 区 间 上 可 积 . f ( x ) [ a , b ]
函 数 在 区 间 上 连 续 时 ， f ( x ) [ a , b ] 定理1 当
定理2 设 函 数 f ( x ) 在 区 间 [ a , b ] 上 有 界 ，
a b
第六章 定积分
第3页
1、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积A）
y f ( x ) ( f ( x ) 0 ) 、 曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线
x b 所 围 成 . x x a 轴 与 两 条 直 线 、
A lim f( x i) i
0 i 1
2/25/2019
第六章 定积分
第11页
5、牛顿—莱布尼茨公式
f(x )在 [ a ,b ]上 果 连 续 ， 则 积 分 上 限 的 函 数 定理1 如 (x ) f(t) dt [ a ,b ]上 在 具 有 导 数 ， 且 它 的 导 数 a d x (x (axb ) ) f(t) dt f(x ) 是 a dx
a a
b
b
（ 2）
嘉兴学院
f ( x ) dx f ( x ) dx (ab ) a a2/25/2019b Nhomakorabeab
第六章 定积分
第10页
在 区 间 f ( x ) [ a , b ] 性质6 设 M 及 分 别 是 函 数 m
上 的 最 大 值 及 最 小 值 ，
m ( b a ) f ( x ) dx M ( b a ) 则 .
高等数学 第六章定积分的应用习题课
A1
1 2d
02
2a2(2 cos )2d
0
a2 (4 4cos cos2 )d 9 a2 0
则所求的几何面积为 A 2 A1 18 a2
【例5】设由曲线
y
sin x (0
x
)，y
2
1
及x
0围成
平面图形A绕x 轴,y 轴旋转而成的旋转体的体积。
则绕直线 y
1 2
旋转而成
的旋转体的体积微元dV
就是矩形S1
分别绕直线 y
1 2
旋转而成的旋转体的体积。
解: (1) 确定积分变量和积分区间：
绕直线 y 1 旋转如图 ，
y
2
1
取 x为积分变量,则 x [0, ].
2
(2) 求微元：对 x [0, ],
2
[x, x dx] [0, ],
0
1 dy]
1 y2
[(arcsin1)2 2
1
(arcsin y)d(
1 y2 )]
0
3 [2
4
1 y2 arcsin y 2 y]10
3 2
4
通过例5，同样可求出绕平行于x 轴和平行于 y 轴的直线
旋转而成的旋转体的体积，见例6。
【例6】设由曲线 y sin x (0 x ), x 及 y 0围成
（2）求微元：因为过点 x 的截面为等边三角形（如图），
其边长为 2 4 x2 ,高为 2 4 x2 3 .
2
所以截面积为
A( x) 1 2 4 x2 2 4 x2 3
2010(新) 第6章、定积分的应用 高等数学上课件
a2
2
(1c
ot)s2d ta2
2(12co tsco 2t)sd
t
0
0
a2 2 12co t s1co 2ts d t
0
2
a 22 d 2 ta 22 cto d a s 2 t2 1 d a t22 c2 o td st
0
0
02 20
2a2a23a2
二、极坐标情形
a
a
c
若b f(x)dx收敛 ,则:
b
f(x)dx
c
f(x)dx
b
f(x)dx.
a
a
a
c
第6章、定积分的应用
第一节、定积分的微元法
一般,如 地果某一实际所 问求 题U量 符 中合 的以下: 条件
( 1 )、分割:U在区[间 a,b]的分割子区间上具 加有 性. 可
( 2 )、取近:似 在子区间上任出 取部 一分 点量 求的. 近似
0
0
3 2[R (2x2)32]0 R
2 3
R3.
第五节、平均值
连续函f(数 x)在[a,b]上的平均:值 y为1
b
f(x)dx
ba a
例5、求 纯R电 电路 阻 ,交中 流 II电 msi nt在 一 个 周 期
的 平 均 . 功 率
解 : UI2RIm 2Rsin2t
U 2 1 0 2 U d2t
的底圆中心,并与底面交成角(如
图所示),计算这平面截圆柱体得 所
立体的体积.
解： A (x)1 2(R 2x2)ta;n
于是所求立体的体积为
V
RRA(x)dx1 2
R(R2x2)tan dx
R
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
取 为积分变量,则 [0, ]. [0, ], 设区间[ , d ]
所对应的曲边扇形的面积为 A,
则面积元素 dA1 就是用区间[ , d ]
所对应的扇形面积代替曲边扇形的面积
面积 A, 所求图形的面积 A 2 A1 .
12
解：(1) 确定积分变量和积分区间:取 为积分变量， [0, ]
③在[x, x dx]上求出微元解析式dU f ( x)dx
④把所求的量表示成定积分U
b
f ( x)dx
a
三、典型例题
1. 几何应用 定积分的几何应用包括求平面图形的面积、特殊立体的
体积和平面曲线的弧长。解决这些问题的关键是确定面积元 素、体积元素和弧长元素。
4
【例1】求由 x y 0, y x2 2x 所围成图形的面积。
(2) 求微元：任取 [0, ], [ , d ][0, ],则面积
元素dA1就是区间[ , d ] 所对应的扇形面积,
dA1
1 2
2d
.
(3) 求定积分： 第一象限图形的面积表示为
A1
1 2d
02
2a2(2 cos )2d
0
a2 (4 4cos cos2 )d 9 a2 0
0 t 2 与 x轴所围成图形的面积.
分析：曲线的方程为参数方程，围成图形如图所示，
如果取x为积分变量,则 x [0, 2 a] . x [0, 2 a],
设区间[ x, x dx]所对应的曲边梯形面积为A,
则面积元素 dA就是在[ x, x dx]上“以直代曲”
y
所形成的矩形面积。
2a
0
x x dx
的交点为(0, 0)和 (3, 3),
取 x为积分变量, 则 x [0, 3].
5
（2）求微元：任取 x [0, 3], [x, x dx] [0, 3].
如果将图形上方直线的纵坐标记为 y2 x ,
将图形下方抛物线的纵坐标记为 y1 x 2 2x,
那么，dA就是区间[ x, x dx]所对应的矩形的面积。因此
的左方以及 x 轴上方之间的图形的面积。
分析：在直角坐标系下，由给定曲线所围成的面积如图
所示。如果取 x 为积分变量，则 x (, 1], 设区间
[x, x dx]所对应的曲边梯形
面积为 A, 则面积元素 dA
就是在[x, x dx]上“以直代曲” 所形成的矩形面积。
7
考虑到当[x, x dx][, 0]和 [x, x dx][0, 1] 时[x, x dx] 上所对应曲边梯形不同，所以，相对应矩形面积的表达式也
分析：在直角坐标系下,由给定曲线所围成的几何图形
如图所示。 如果取 x为积分变量, 则x [0, 3]. x [0, 3],
设区间[x, x dx]所对应的曲边梯形面积为A, 则面积元
素 dA就是在 [x, x dx] 上以“以直代曲”所形成的矩形面积。
解：(1) 确定积分变量和积分区间：
由于曲线 x y 0 和 y x 2 2x
（2）求微元：任取[x, x dx] (, 1] ,则当[x, x dx] [, 0]
时,那么面积元素dA1就是区间[x, x dx]所对应的矩形的面积，
8
即
dA1 (e x 0)dx e x dx
当[x, x dx] [0, 1] 时,那么面积元素 dA2 就是区间[x, x dx]
第六章 定积分应用习题课
1
一、定积分应用的类型
1．几何应用
平面图形的面积 特殊立体的体积 平面曲线弧长
旋转体的体积
平行截面面积为 已知立体的体积
变力作功
2．物理应用
水压力
引力
2
二、构造微元的基本思想及解题步骤
1. 构造微元的基本思想 无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。 元素法的实质是局部上“以直代曲”、“以不变代变”、
“以均匀变化代不均匀变化”的方法，其“代替”的原则必须
是无穷小量之间的代替。将局部 [x, x dx] [a, b]上所对
应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成
定积分 b f ( x)dx ． a 3
2. 在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤： ①选取适当的坐标系；
②确定积分变量和变化范围[a, b]；
dA ( y2 y1 )dx [ x ( x 2 2x)]dx ( x 2 3x)dx
（3） 求定积分：所求的几何图形的面积表示为
A 3 ( x2 3x)dx 0
计算上面的积分得： A
3
(
x2
3 x )dx
9.
0
2
6
【例2】* 求位于曲线 y e x 下方，该曲线过原点的切线
2 a x
10
解: (1) 确定积分变量和积分区间：选取 x 为积分变量，
x [0, 2 a]
(2) 求微元：x [0, 2 a], [x, x dx][0, 2 a], 那么面积元素dA 就是区间[ x, x dx]所对应的 矩形的面积，即 dA ydx .
(3) 求定积分：所求的几何图形的面积可表示为：
所当对应的矩形的面积，
即
dA2 (e x ex)dx
（3）求定积分：所求的几何图形的面积可表示为：
A A1 A2
0 exdx
1(ex ex)dx
0
解上面的积分得：
A 0 e xdx 1(e x ex)dx
0
lim
0 e xdx
(ex
e
1
x2)
a a
2 02
9
【例3】求由摆线 x a(t sint), y a(1 cos t) 的一拱
2 a
2
A ydx a(1 cos t) a(1 cos t)dt
0
0
a2 2 (1 2cos t cos2 t)dt 3 a2 0
11
【例4】求曲线 2a(2 cos )(a 0) 围成的图形的面积. 分析：在极坐标系下，由给定曲线所围成的面积如图所示。
因为曲线关于 x 轴对称，所以只须考虑第一象限中的情况.
不同，因此微元 dA应该分别去求.
解：（1）确定积分变量和积分区间：设切点M 的坐标为
M ( x0 , y0 ), 则过原点且与y e x 相切的切线方程为：y e x0 x,
由
y
0
y0
e x0 x0 得M 的坐标为M(1, e)
e x0
.故得到切线方程为y ex
.
所以选取x 为积分变量, x (, 1].
所对应的曲边扇形的面积为 A,
则面积元素 dA1 就是用区间[ , d ]
所对应的扇形面积代替曲边扇形的面积
面积 A, 所求图形的面积 A 2 A1 .
12
解：(1) 确定积分变量和积分区间:取 为积分变量， [0, ]
③在[x, x dx]上求出微元解析式dU f ( x)dx
④把所求的量表示成定积分U
b
f ( x)dx
a
三、典型例题
1. 几何应用 定积分的几何应用包括求平面图形的面积、特殊立体的
体积和平面曲线的弧长。解决这些问题的关键是确定面积元 素、体积元素和弧长元素。
4
【例1】求由 x y 0, y x2 2x 所围成图形的面积。
(2) 求微元：任取 [0, ], [ , d ][0, ],则面积
元素dA1就是区间[ , d ] 所对应的扇形面积,
dA1
1 2
2d
.
(3) 求定积分： 第一象限图形的面积表示为
A1
1 2d
02
2a2(2 cos )2d
0
a2 (4 4cos cos2 )d 9 a2 0
0 t 2 与 x轴所围成图形的面积.
分析：曲线的方程为参数方程，围成图形如图所示，
如果取x为积分变量,则 x [0, 2 a] . x [0, 2 a],
设区间[ x, x dx]所对应的曲边梯形面积为A,
则面积元素 dA就是在[ x, x dx]上“以直代曲”
y
所形成的矩形面积。
2a
0
x x dx
的交点为(0, 0)和 (3, 3),
取 x为积分变量, 则 x [0, 3].
5
（2）求微元：任取 x [0, 3], [x, x dx] [0, 3].
如果将图形上方直线的纵坐标记为 y2 x ,
将图形下方抛物线的纵坐标记为 y1 x 2 2x,
那么，dA就是区间[ x, x dx]所对应的矩形的面积。因此
的左方以及 x 轴上方之间的图形的面积。
分析：在直角坐标系下，由给定曲线所围成的面积如图
所示。如果取 x 为积分变量，则 x (, 1], 设区间
[x, x dx]所对应的曲边梯形
面积为 A, 则面积元素 dA
就是在[x, x dx]上“以直代曲” 所形成的矩形面积。
7
考虑到当[x, x dx][, 0]和 [x, x dx][0, 1] 时[x, x dx] 上所对应曲边梯形不同，所以，相对应矩形面积的表达式也
分析：在直角坐标系下,由给定曲线所围成的几何图形
如图所示。 如果取 x为积分变量, 则x [0, 3]. x [0, 3],
设区间[x, x dx]所对应的曲边梯形面积为A, 则面积元
素 dA就是在 [x, x dx] 上以“以直代曲”所形成的矩形面积。
解：(1) 确定积分变量和积分区间：
由于曲线 x y 0 和 y x 2 2x
（2）求微元：任取[x, x dx] (, 1] ,则当[x, x dx] [, 0]
时,那么面积元素dA1就是区间[x, x dx]所对应的矩形的面积，
8
即
dA1 (e x 0)dx e x dx
当[x, x dx] [0, 1] 时,那么面积元素 dA2 就是区间[x, x dx]
第六章 定积分应用习题课
1
一、定积分应用的类型
1．几何应用
平面图形的面积 特殊立体的体积 平面曲线弧长
旋转体的体积
平行截面面积为 已知立体的体积
变力作功
2．物理应用
水压力
引力
2
二、构造微元的基本思想及解题步骤
1. 构造微元的基本思想 无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。 元素法的实质是局部上“以直代曲”、“以不变代变”、
“以均匀变化代不均匀变化”的方法，其“代替”的原则必须
是无穷小量之间的代替。将局部 [x, x dx] [a, b]上所对
应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成
定积分 b f ( x)dx ． a 3
2. 在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤： ①选取适当的坐标系；
②确定积分变量和变化范围[a, b]；
dA ( y2 y1 )dx [ x ( x 2 2x)]dx ( x 2 3x)dx
（3） 求定积分：所求的几何图形的面积表示为
A 3 ( x2 3x)dx 0
计算上面的积分得： A
3
(
x2
3 x )dx
9.
0
2
6
【例2】* 求位于曲线 y e x 下方，该曲线过原点的切线
2 a x
10
解: (1) 确定积分变量和积分区间：选取 x 为积分变量，
x [0, 2 a]
(2) 求微元：x [0, 2 a], [x, x dx][0, 2 a], 那么面积元素dA 就是区间[ x, x dx]所对应的 矩形的面积，即 dA ydx .
(3) 求定积分：所求的几何图形的面积可表示为：
所当对应的矩形的面积，
即
dA2 (e x ex)dx
（3）求定积分：所求的几何图形的面积可表示为：
A A1 A2
0 exdx
1(ex ex)dx
0
解上面的积分得：
A 0 e xdx 1(e x ex)dx
0
lim
0 e xdx
(ex
e
1
x2)
a a
2 02
9
【例3】求由摆线 x a(t sint), y a(1 cos t) 的一拱
2 a
2
A ydx a(1 cos t) a(1 cos t)dt
0
0
a2 2 (1 2cos t cos2 t)dt 3 a2 0
11
【例4】求曲线 2a(2 cos )(a 0) 围成的图形的面积. 分析：在极坐标系下，由给定曲线所围成的面积如图所示。
因为曲线关于 x 轴对称，所以只须考虑第一象限中的情况.
不同，因此微元 dA应该分别去求.
解：（1）确定积分变量和积分区间：设切点M 的坐标为
M ( x0 , y0 ), 则过原点且与y e x 相切的切线方程为：y e x0 x,
由
y
0
y0
e x0 x0 得M 的坐标为M(1, e)
e x0
.故得到切线方程为y ex
.
所以选取x 为积分变量, x (, 1].