数列的极限及运算法则

学习要求：

1．理解数列极限的概念。正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想

2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．能运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力． 3．掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列的极限 4. 掌握无穷等比数列各项的和公式. 学习材料： 一、基本知识

1.数列极限的定义：

一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞

=，读作“当n 趋向

于无穷大时，n a 的极限等于a ”

“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思lim n n a a →∞

=有时也记作：当n →∞时，n a →a ．

理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大，数列的项n a 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面：一方面，数列的项

n a 趋近于a 是在无限过程中进行的，即随着n 的增大n a 越来越接近于a ；另一方面，n a 不是一般地趋近

于a ，而是“无限”地趋近于a ，即n a a -随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限： （1）01

lim

=∞→n n （2）C C n =∞

→lim （C 是常数） （3）lim 0n

n a →∞

= (a 为常数1a <)，当1a =时，lim 1n

n a →∞

=；当1a =-或1a >时，lim n

n a →∞

不存在。 3. 数列极限的运算法则:

与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞

→∞

→那么

B A b a n n n +=+∞

→)(lim B A b a n n n -=-∞

→)(lim

B A b a n n n .).(lim =∞

→ )0(lim

≠=∞→B B A

b a n

n n

特别：若C 为常数，则lim()lim n n n n C a c a CA →∞

→∞

==

推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情况如，若{}n

a ，{}n

b ，{}n

c 有极限，则

n n n n n n n n n n c b a c b a ∞

→∞

→∞

→∞

→++=++lim lim lim )(lim

二、基本题目

1．判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由

（1）1，

21，31，…，n 1

，… ； （2）3452,,,,234--…，1(1)n n n

+-，…； （3）1010

100(10)1(10)n n a n n ⎧≤⎪

=⎨>⎪⎩

2.（1）若1lim(

)02n

n a a

→∞-=，则a 的取值范围是 。

（2）数列}{n a 的前n 项和为n S ，且2

13

n n S a =-，求lim n n a →∞的值。

3． 已知,5lim =∞

→n n a 3lim =∞→n n b ，求).43(lim n n n b a -∞

→

解：因为,5lim =∞

→n n a 3lim =∞

→n n b ，

所以 lim(34)lim3lim43lim 4lim 15123n n n n n n n n n n n a b a b a b →∞

→∞

→∞

→∞

→∞

-=-=-=-=

4． 求下列极限：（1）)45(lim n n +∞→；

（2）2

)11(lim -∞→n n 解：（1）44lim(5)lim5lim 505n n n n n →∞→∞

→∞+=+=+=；（2）222

11lim(1)(lim lim1)(01)1n n n n n →∞→∞→∞-=-=-=

5． 求下列极限：

(1))21(lim 2n n n +∞→. (2)n

n n 2

3lim -∞→. (3)232lim 22++∞→n n n n . (4)24323lim n n n n n -+∞→.

解：(1)0001

lim 202lim 1lim )21(

lim 22=+=+=+=+∞→∞→∞→∞

→n n n n n n n n n . (2) (方法一)3031

lim 232lim 3lim )23(lim 23lim

=-=-=-=-=-∞→∞→∞→∞→∞→n n

n n n n n n n n .

(方法二)∵n →∞，∴0n ≠.分子、分母同除n 的最高次幂.

31

31lim )2

3(lim 123lim

2

3lim

==-=-

=-∞

→∞→∞→∞→n n n n n n n

n . 第二个题目不能体现“分子、分母同除n 的最高次幂”这个方法的优势.这道题目就可以.使用上述方法就简单多了.因为分母上是2

32n +，有常数项，所以 (2)的方法一就不能用了.

(3)3

203022

lim 3lim 1

lim

2lim )23(lim )12(lim 2312lim 232lim

22222

=++=++=++=++

=++∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n

n n n n n n n n n n n n n n . 规律一：一般地，当分子与分母是关于n 的次数相同的多项式时，这个公式在n →∞时的极限是分