数列的极限及运算法则

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极限的四则运算(数列极限、函数极限)

a
k
，lim（C n

an）
Ca
。
例1、已知 lnim(6an bn ) 11 lnim(3an 2bn ) 7
求 lnim(2an bn ) 的值。
解：2an+bn=
1 15
(6an-bn)+
8 15
(3an+bn),
∴ lnim(2an bn )
3)
lim (
x
x3 2x2 1

x2 2x
) 1
KEY：1) 0（分子分母同除以x4)； 2）0(分子有理化） 3）1/4（通分）
例3、（1）求
lim
x1
2x2 x3
x 1 2x2 1
的值。
x2 1
（2）求
lim
x1
2x2
x 1
的值
（见课本P87，注意其中的说明。）

3 5
( 2)n1 5
[1 ( 2)n ] 5
2

3 [(2)n1 55
( 2)2n1] 5
∴
lim
n
Tn

3 5
[ 1
1
2

5 1
4
]
3 (5 10) 5 . 5 3 21 7
5 25
例5、有一个边长为1的正方形，以其四边中点为顶点画第二个正方形，再以第二个正方形的四边中点为顶点画
=
lim[ 1 n 15
(6an

bn
)

185（3an

2bn
)]
=
1 15
×11+
185×(-7)

数列极限的定义与性质

数列极限的定义与性质数列是由一系列按特定规律排列的数字组成的序列。

在数学中，了解数列的极限是非常重要的。

通过研究数列的极限，我们可以揭示数列的性质，并且可以应用到不同的领域中。

本文将探讨数列极限的定义与性质，帮助读者更好地理解和应用数列。

一、极限的定义数列的极限是指当数列中的项趋近于某个值时，数列的值也趋近于该值。

数列极限可以用以下方式进行定义：设有数列 {a_n}，其中 n 表示数列中的项的索引（在数列中的位置）。

若对于任意给定的正实数ε，都存在正整数 N，使得当 n > N 时，有|a_n - A| < ε 成立，则称数列 {a_n} 的极限为 A，记作lim(n→∞) a_n = A。

其中，|a_n - A| 表示 a_n 与 A 之间的差的绝对值。

ε (epsilon) 是一个任意小的正实数，N 是一个正整数。

二、极限的性质数列极限具有以下性质：1. 极限的唯一性：设数列 {a_n} 的极限为 A，则数列的极限是唯一的，即不存在另外的极限值。

2. 极限的有界性：若数列 {a_n} 的极限为 A，则对于任意给定的正实数ε，存在正整数 N，使得当 n > N 时，有|a_n| < |A|+ε 成立。

换句话说，当 n 足够大时，数列的值都在 A 的某个邻域内。

3. 极限的保号性：若数列 {a_n} 的极限为 A，且 A > 0 (或 A < 0)，则存在正整数 N，使得当 n > N 时，有 a_n > 0 (或 a_n < 0) 成立。

也就是说，当 n 足够大时，数列的值与其极限符号一致。

4. 极限的四则运算：设数列 {a_n} 和 {b_n} 的极限分别为 A 和 B，则有以下四则运算定理：- 两个数列的和的极限等于两个数列的极限的和，即lim(n→∞) (a_n + b_n) = A + B。

- 两个数列的差的极限等于两个数列的极限的差，即lim(n→∞) (a_n - b_n) = A - B。

1.2.2-1.2.4 数列极限的性质和运算法则

xn

a
，
lim
n
yn
b
，
且 a b ，则 N N ，当 n N xn yn 。
2
数列极限的性质和运算法则
性质 1（唯一性）若{ xn } 收敛，则其极限唯一。
证明：用反证法。
假设
lim
n
xn

a
，
lim
n
xn
b ，（ a b），取

ba 2
0，
∴收敛数列的极限是唯一的。
3
数列极限的性质和运算法则
性质 2（有界性）若{ xn } 收敛，则{ xn } 必有界，
即 M 0， n N , 有 xn M 。
注证明：②①：收性设敛质ln数im2列的x必n等有价a界命，；题反是之:若有界xn数无列界未，必则收敛xn。发散。
lim
n
n3

lim
n
n(n

1)(2n 6n3

1)
1 3
11
数列极限的性质和运算法则
（2） lim[ 1 2 L n 1 2 L (n 1)] n
解： lim[ 1 2 L n 1 2 L (n 1)] n
lim[ n (n 1) n (n 1) ] lim 1 [ n2 n n2 n]
n yn lim yn b
n
说明：可以推广到有限多个数列的和差或乘积。
7
数列极限的性质和运算法则
思考：
① 若：{ xn } 收敛，{ yn } 发散，它们的和、差、积、商数列的敛散性如何？
② 若：{ xn } ， { yn } 都发散呢？

数列极限四则运算法则的证明

数列极限四则运算法则的证明work Information Technology Company.2020YEAR数列极限四则运算法则的证明设limAn=A,limBn=B,则有法则1:lim(An+Bn)=A+B法则2:lim(An-Bn)=A-B法则3:lim(An·Bn)=AB法则4:lim(An/Bn)=A/B.法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)(n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.)首先必须知道极限的定义:如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于ε＞0(不论它多么小),总存在正数N,使得对于满足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立,则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A.根据这个定义,首先容易证明: 引理1: limC=C. (即常数列的极限等于其本身)法则1的证明:∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-B|＜ε.②设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时①②两式全都成立.此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε.由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数.即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε.由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B.为了证明法则2,先证明1个引理.引理2:若limAn=A,则lim(C·An)=C·A.(C是常数)证明:∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)①式两端同乘|C|,得: |C·An-CA|＜Cε.由于ε是任意正数,所以Cε也是任意正数.即:对任意正数Cε,存在正整数N,使n＞N时恒有|C·An-CA|＜Cε.由极限定义可知,lim(C·An)=C·A. (若C=0的话更好证)法则2的证明:lim(An-Bn)=limAn+lim(-Bn) (法则1)=limAn+(-1)limBn (引理2)=A-B.为了证明法则3,再证明1个引理.引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An·Bn)=0.证明:∵limAn=0, ∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-0|＜ε.③(极限定义)同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-0|＜ε.④设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时③④两式全都成立.此时有|An·Bn| =|An-0|·|Bn-0| ＜ε·ε=ε².由于ε是任意正数,所以ε²也是任意正数.即:对任意正数ε²,存在正整数N,使n＞N时恒有|An·Bn-0|＜ε².由极限定义可知,lim(An·Bn)=0.法则3的证明:令an=An-A,bn=Bn-B.则liman=lim(An-A)=limAn+lim(-A) (法则1)=A-A (引理2) =0.同理limbn=0.∴lim(An·Bn)=lim[(an+A)(bn+B)]=lim(an·bn+B·an+A·bn+AB)=lim(an·bn)+lim(B·an)+lim(A·bn)+limAB (法则1)=0+B·liman+A·limbn+limAB (引理3、引理2)=B×0+A×0+AB (引理1) =AB.引理4:如果limXn=L≠0,则存在正整数N和正实数ε,使得对任何正整数n>N,有|Xn|≥ε.证明：取ε=|L|/2>0,则存在正整数N,使得对任何正整数n>N,有|Xn-L|<ε.于是有|Xn|≥|L|-|Xn-L|≥|L|-ε=ε引理5: 若limAn存在,则存在一个正数M,使得对所有正整数n,有|An|≤M.证明：设limAn=A,则存在一个正整数N,使得对n>N有|An-A|≤1,于是有|An|≤|A|+1,我们取M=max(|A1|,...,|AN|,|A|+1)即可法则4的证明:由引理4,当B≠0时(这是必要条件),正整数N1和正实数ε0,使得对正整数n>N1,有|Bn|≥ε0.由引理5,又正数M,K,使得使得对所有正整数n,有|An|≤M,|Bn|≤K.现在对ε>0,正整数N2和N3,使得:当n>N2,有|An-A|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)；当n>N3,有|Bn-B|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)；现在,当n>max(N1,N2,N3)时,有|An/Bn-A/B|=|An*B-Bn*A|/|B*Bn|=|An(B-Bn)+Bn(An-A)|/|B*Bn|≤(|An|*|B-Bn|+|Bn|*|A-An|)/(|B|*ε0)≤ε(M+K)/((M+K+1)<ε法则5的证明:lim(An的k次方)=limAn·lim(An的k-1次方) (法则3) ....(往复k-1次) =(limAn)的k次方=A的k次方.。

数列极限名词解释

数列极限名词解释数列极限是数学中重要的概念之一，它在分析、微积分以及实际问题的建模与求解中扮演着关键角色。

本文将对数列极限进行解释，并介绍其基本概念和性质。

一、数列的定义数列是一系列按照特定规律排列的数字的集合。

通常用{an}或{a1, a2,a3,...}表示，其中每个数an称为数列的项，n表示项的位置或索引。

二、数列的极限定义对于数列{an}，当n逐渐增大时，如果数列的项趋向于某个确定的值L，即对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当n>N时，满足|an-L|<ε，那么我们说数列的极限存在，记为lim(n→∞)an= L。

这里，L称为数列的极限，n→∞表示当n趋向于无穷大时。

三、极限的直观理解数列的极限可以被理解为当n趋近于无穷大时，数列的项逐渐接近于某个值。

直观上，我们可以将数列的项画在数轴上，随着n增大，数列的项逐渐靠近极限值L。

例如，考虑数列{1/n}，当n取不断增大的正整数时，数列的项会逐渐接近0，因此该数列的极限为0。

四、数列极限的性质1.数列的极限是唯一的：如果数列{an}的极限存在，那么它的极限是唯一的，即极限值L唯一确定。

2.有界性：如果数列{an}的极限存在，那么数列必定是有界的，即存在正数M，使得对于任意的n，|an|≤M。

3.极限运算法则：设{an}和{bn}是两个数列，并且它们的极限都存在，则有以下运算法则：a)lim(n→∞)(an±bn)=lim(n→∞)an±lim(n→∞)bnb)lim(n→∞)(k*an)=k*lim(n→∞)an，其中k是常数c)lim(n→∞)(an*bn)=lim(n→∞)an*lim(n→∞)bnd)lim(n→∞)(an/bn)=lim(n→∞)an/lim(n→∞)bn，其中bn≠0五、常见数列极限1.常数数列：对于数列{an}，如果an=c，其中c为常数，则该数列的极限为lim(n→∞)an=c。

数学分析第二章21-2数列极限的准则、运算法则

数列极限的准则、运算法则
2021/3/22
1
极限存在准则
1.定理３（夹逼准则）
若数列( xn )n1, ( yn )n1,(zn ) 满足下列条件：
(1) yn xn zn (n N),
(2)
lim
n
yn
lim
n
zn
a,
则数列
(
xn
)n1的极限存在,
且
lim
n
xna.Leabharlann 2021/3/222
证 yn a, zn a,(n )
xn
yn
a b.
3.lim xn a , (b 0).
y n n
b
2021/3/22
11
证1 xn a, yn b,(n )
0, N1 0, N2 0, 使得
当 n N1时恒有 xn a ,
当 n N2时恒有 yn b ,
取 N max{ N1, N2 }, 当 n N时, 恒有上两式同时成立,
M | b | (M | b |)
即lim n
xn
yn
ab
lim
n
xn
lim n
yn
特别地,两个无穷小量的积仍是无穷小量.
更一般,一个有界量与一个无穷小量的积仍
是无穷小量.
2021/3/22
15
证3 xn a, yn b,(n )
0, N1 0, N2 0, 使得
当 n N1时恒有 xn a , 当 n N2时恒有 yn b ,
| (xn yn ) (a b) | | xn a | | yn b | 2
即lim( n
xn
yn )
a
b

1.5 极限的运算法则

x 0
o
x
例11
当a0 0, b0 0, m和n为非负整数时求 , a0 x m a1 x m 1 am lim 。 n n 1 x b x b x bn 0 1
x m a0 a1 x 1 am x m ) 解原式 l i m( n 1 n x x b0 b1 x bn x
单侧极限为解 x 0是函数的分段点，两个
x 0
lim f ( x ) lim (1 x ) 1,
x 0
x 0
lim f ( x ) lim ( x 1) 1,
2 x 0
y 1 x
y x2 1
y
左右极限存在且相等,
1
故 lim f ( x ) 1.
n n
(1) lim ( xn yn ) A B
n
(2) lim xn yn AB
n
xn A (3) 当 yn 0 且 B 0时, lim n y n B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理可由定理2.1/2.2 直接得出结论 .
第五节极限的运算法则
一、极限的四则运算法则二、极限的复合运算法则三、数列极限与函数极限的关系
第一章
一、极限的四则运算法则
定理 1 . 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有证: 因 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
例2. 设有分式函数
其中
都是
多项式 , 若
证:
试证:
x x0 x x0
x x0
lim R( x)

数列求极限的方法总结

数列求极限的方法总结数列求极限的方法有那些？极限的保号性很重要,就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。

极限分为一般极限,还有个数列极限,下面是为大家总结的数列求极限的方法总结。

数列求极限的方法总结1、等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。

全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）。

2、洛必达法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）。

首先他的使用有严格的使用前提！必须是X趋近而不是N趋近！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！（假如告诉你g（x）,没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死！！）必须是0比0无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0。

洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通项之后这样就能变成第一种的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。

对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0）。

3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意！）E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。

4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母！！！看上去复杂,处理很简单！5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。

数列的极限及运算法则

数列的极限及运算法则
1．数列极限的定义
(1)描述性定义：对于数列{a n}，如果存在一个常数A，当n无限增大时，数列{a n}中的项无限趋近于常数A(即a n无限趋近于A)，则称常数A为数列{a n}的极限．
(2)ε－N定义：对于数列{a n}，如果存在一个常数A，无论预先给定一个多么小的正数ε，都能在数列中找到一项a N，使得这一项以后的所有项与A的差的绝对值都小于ε(即当n＞N时，|a n－A|＜ε恒成立)，就称常数A为数列{a n}的极限，
2．只有无穷数列才能讨论它的极限．
3．若数列{a n}的极限是A，数列{a n}中的项在趋近A的过程中，可能始终大于
6．在运用数列极限的四则运算法则时，应注意，只有在数列{a n}、{b n}的极限存在的前提下，才能运用，否则会产生错误．
7．常用的几个极限：
8．数列{a n}的前n项和S n的极限如果存在，则称这个极限值为数列{a n}的所有
加所得的和的概念，而是一个极限值．。

极限的四则运算

极限四则运算：
定义：所谓的极限四则运算法则：需要具有两个极限同时存在，如果有一个极限自身不存在的时候，四则运算法则无法成立。

性质：唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。

有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。

保不等式性：设数列{xₙ} 与{yₙ}均收敛。

若存在正数N ，使得当n>N时有xₙ≥yₙ，则（若条件换为xₙ>yₙ，结论不变）。

和实数运算的相容性：如果两个数列{xₙ} ，{yₙ} 都收敛，那么数列{x ₙ+yₙ}也收敛，而且它的极限等于{xₙ} 的极限和{yₙ} 的极限的和。

其中我们可以设：limf（x）和limg（x）存在
令：limf（x）=A，limg（x）=B，其中，B≠0；c是一个常数
备注：四则运算可以相互带入数值进行互算，第四带入数值B不能为0不然等式不能成立。

数列极限的定义与性质

数列极限的定义与性质数列是数学中一个非常重要的概念，而数列的极限更是数学分析中的基础知识之一。

数列极限的定义与性质对于理解数学分析、微积分等学科具有重要意义。

本文将从数列极限的定义入手，逐步介绍数列极限的性质，帮助读者更好地理解这一概念。

1. 数列极限的定义数列极限的定义是数学分析中的基础概念之一。

对于数列${a_n}$，当$n$趋于无穷大时，如果数列的项$a_n$可以无限接近某个常数$A$，那么称常数$A$为数列${a_n}$的极限，记作$\lim\limits_{n \to\infty} a_n = A$。

换句话说，对于任意给定的正实数$\varepsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n>N$时，数列的项$a_n$与极限$A$之间的差的绝对值$|a_n - A|$小于$\varepsilon$。

数学上也可以用$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = A$来表示数列${a_n}$的极限。

这个定义是数列极限的基础，也是理解数列极限性质的前提。

2. 数列极限的性质数列极限具有一些重要的性质，下面将逐一介绍这些性质：（1）数列极限的唯一性：如果数列${a_n}$的极限存在，那么这个极限是唯一的。

也就是说，如果$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = A$且$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = B$，那么$A=B$。

（2）数列极限的有界性：如果数列${a_n}$的极限存在，那么这个数列是有界的。

即存在一个实数$M$，使得对于数列的每一项$a_n$，都有$|a_n| \leq M$。

（3）数列极限的保号性：如果数列${a_n}$的极限存在且大于（小于）零，那么从某项开始，数列的每一项都大于（小于）零。

（4）数列极限的四则运算性质：设$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = A$，$\lim\limits_{n \to \infty} b_n = B$，则有：- $\lim\limits_{n \to \infty} (a_n \pm b_n) = A \pm B$- $\lim\limits_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = A \cdot B$- 若$B \neq 0$，$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}$（5）夹逼准则：如果数列${a_n}$、${b_n}$、${c_n}$满足$a_n\leq b_n \leq c_n$，且$\lim\limits_{n \to \infty} a_n =\lim\limits_{n \to \infty} c_n = A$，那么$\lim\limits_{n \to\infty} b_n = A$。

数列极限的计算方法总结

数列极限的计算方法总结
计算数列极限的方法有以下几种：
1. 算术平均法：如果数列的前n项的平均值与极限L足够接近，则认为该数列的极限为L。

2. 递推法：通过递归的方式计算数列的每一项，当数列的前n
项与极限L足够接近时，认为该数列的极限为L。

3. 代数运算法：对数列进行一系列代数运算，如取对数、求导、化简等，将其转化为易于计算的形式，然后计算其极限。

4. 特殊数列的极限公式：对于一些特殊的数列，有固定的计算公式可以直接得出其极限。

例如，等差数列的极限公式为首项加末项再除以2；等比数列的极限公式为首项与公比的幂次幂
乘积等等。

5. 单调有界数列的极限定理：如果一个数列是单调递增（递减）且有上界（下界）的话，那么该数列就有极限。

此时极限即为数列的上界（下界）。

6. 夹逼定理：如果一个数列在无穷大或无穷小的部分夹在两个收敛数列之间，并且这两个收敛数列的极限相等，那么该数列也会收敛，并且极限也等于这两个收敛数列的极限。

总结来说，计算数列极限的方法主要包括直接求均值、递推推导、代数运算等方法，也可以利用数列的特性或数列的极限定
理快速计算。

不同的方法适用于不同的数列，需要具体分析问题来选择合适的方法。

数列极限

课题6 数列极限一、基础知识1.极限：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a （即 a a n -无限地接近于零），那么就说数列{}n a 以a 为极限（或者说a 是数列{}n a 的极限），记作∞→n lim n a =a.2.常用的数列极限：(求数列极限的基本公式) (1) ∞→n lim C ＝C ；(2) ∞→n lim na ＝0 ()1<a ；(3) ∞→n limn1＝0. 3.数列按极限情况的分类：(1)数列有极限；(2)数列无极限：分为极限不存在(项数趋近于无穷，项也趋近于无穷)和不唯一两类.4．数列极限的运算法则：“四则运算的极限等于极限的四则运算” . ∞→n lim n a =a ，∞→n lim n b =b ，则∞→n lim (a n ±b n )＝a ±b ，∞→n lim (a n ·b n )＝a ·b ，∞→n limn n b a ＝ba(b ≠0). 适用条件：(1)都有极限；(2)个数有限；(3)分母不为零. 注：当运算的极限不适合上述条件时, 应适当变形使之符合条件后再应用（应搞清楚为什么变形和怎样变形）. 5．可求数列极限的类型1) 设)(n f 、)(n g 分别是关于n 的一元多项式，次数分别是p 、q ，最高次项系数分别是p a 、q a ，且0)(≠n g ，即(1)当f(n)的次数大于g(n)的次数时，极限不存在. (2)当f(n)的次数小于g(n)的次数时，极限等于零.(3)当f(n)的次数等于g(n)的次数时，极限为最高项的系数比. 注：此类型极限不满足条件(1)即“都有极限”，变形的步骤是分子、分母同除n 的最高项，然后再利用基本极限求解.2) ∞→n lim )()(n n b g a f .方法：对a 、b 的大小和范围进行分析，若不满足极限的运算条件（常见的是“都有极限”和“分母不为零”），变形的方法是分子、分母同除较大数的n 次方，然后再利用基本极限⎪⎩⎪⎨⎧-=>=<=∞→11|| 1 11|| 0l i m a a a a q n n 或不存在求解，若满足极限的运算条件则无需变形. 3) ∞→n lim (含根式). 方法：此类型极限一般是不满足“都有极限”和“分母不为零”，变形的方法是分子或分母或同时有理化，然后再利用基本极限求解.4) ∞→n lim (运算个数无限). 方法：此类型极限不满足“个数有限”，因此应先运算再极限.二、例题1. 分析下列数列的极限，有极限的求出来；没有极限的说明理由：1)101，2101，3101，…，n 101…. 2）21，32，43，…，1+n n ，…. 3）-1，21，31-，…，nn )1(-…. 4）-1，1，-1，1，…，（-1）n , ….⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=∞→q p q p a a qp n g n f qpn 0)()(lim 不存在5)32,94,278,…，n )32(,…. 6) 23,49,827,…，n )23(,… 2．已知数列：211，221，231，…，21n …. 1）把这个数列的前5项在数轴上表示出来； 2）写出0-n a 的解析式； 3）指出数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧21n 的解析式. 3.1）若nn x )21(lim -∞→存在，则x 的取值范围是 .2) 若nn x )21(lim -∞→=1，则x 的取值范围是 .4.基本法则：1)若 ∞→n lim a n ＝5，∞→n lim b n ＝3，求∞→n lim (3a n -4b n )2)若∞→n lim (2a n +b n )＝1，∞→n lim (a n -2b n )＝1，求 ∞→n lim a n ·b n .3)若∞→n lim a n 存在，且121-=+n n a a ，求∞→n lim a n.5.求下列数列的极限：类型一：∞→n lim)()(n g n f ，其中f(n)与g(n)为一元多项式. 1) ∞→n limdcn ban ++＝2) ∞→n lim f en dn cbn an ++++22＝若2lim 22=++∞→c bn cn an n ，3lim =++∞→a cn c bn n ，则b an cn c bn an n ++++∞→22lim ＝3) 若2lim 22=++∞→c bn cn an n ，3lim =++∞→a cn c bn n ，则ban cn cbn an n ++++∞→22lim ＝4) ∞→n lim n n an ++2256＝2，求a 的值.5) ∞→n lim (n n n -++132)＝ 6）等差数列{a n }和{b n }的前n 项的和为S n 和T n ，若132+=n nT S n n ，则∞→n lim nn b a ＝ 7）已知S n 是无穷等差数列1，3，5，…前n 项之和，则nnn S S 2lim∞→的值等于类型二：∞→n lim )()(n nb g a f ： 1) ∞→n lim 1)31()21(1+-n n＝ 2) ∞→n lim 1321+-n n＝3) ∞→n lim 11)2(3)2(3++-+-+n n nn ＝ 4) ∞→n lim nn n n a a a a --+-＝5) ∞→n lim 3133)2(31=-⋅+-⋅+n n n n a n x n n ，求x 的取值范围. 6)若θ∈[0, 2π]，∞→n lim θθθθn n n n cos cos sin cos -+＝7) ∞→n lim 13241-⋅⋅+n n n n ＝8）首项为1、公比为q(|q|＞1)的等比数列前n 项之和为S n ，求1lim+∞→n nn S S类型三： ∞→n lim (含根式).1) ∞→n lim (1+-n n )2) ∞→n lim ()1(321321-++++-++++n n3) ∞→n lim (n n n -+2)4) ∞→n limnn n n --+222215) ∞→n lime an d an c an b an ++++++6) ∞→n lime an d an c an b an +-++-+7) ∞→n limean d an c an b an +-++++类型四：运算个数无限，应先运算，后求极限 1) ∞→n lim (2222321n nn n n ++++ ) 2) 11)2(421)2(lim -+∞→-+⋯-+--n n n3) lim n nn nnnc c c →∞+++++20222221424）.)2221(lim 122321222-→++++++n nn n n n C C C ω 5) lim(n n nn →∞++++++236236236222 ） 6) ∞→n lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯+⨯+)1(14313212111n n 7) ⎪⎭⎫⎝⎛+⋯++++⋯++++++∞→n n 321132112111lim 8）等差数列{}n a 的公差d>0，首项01>a ，，9）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→n n 11411311211lim 10）∞→n lim ()()()11211311222--- n 6．1）已知数列}{n a 中，0>n a ，前n 项的和为n S ，且满足.)2(812+=n n a S 若数列}{n b 满足n a n T t t b ),1()1(42>-=+为数列}{n b 的前n 项的和，求n n T ∞→lim2) 设正数数列}{n a 为一等比数列，且，求3) 设数列}{n a 的首项为11=a ，前n 项和n S 满足关系式：（1）求证：数列}{n a 是等比数列；（2）设数列}{n a 的公比为f(t)，作数列}{n b使，求（3）对（2）中的数列}{n b 求和：三、作业课题6 班级姓名学号 1．选择题1）已知四个数列的通项公式分别是nn a )1(1-+=，nn b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=222，⎪⎭⎫ ⎝⎛--=42tan )1(ππn c n n ，nn d nn 1)1(+-=，当∞→n 时，这四个数列中极限为－1的是数列 ( ) (A){a n } (B){b n } (C){c n } (D){d n } 2）观察下面四个数列：1⋯-⋯---,1)1(,,41,31,21,1n n ；,,)1(1,,31,21,1,1⋯-+⋯+++dn a d a d a d a a （分母不为零）；⋯+⋯,1,,45,34,23,2n n ；，，，－，－⋯+-⋯,1)1(,,4534232nn n 其中存在极限的数列的个数是 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 ( ) 3）∞→n lim a n =A, ∞→n lim b n =B 是∞→n lim (a n +b n )=A+B 的 ( )(A)充分必要条件 (B)充分且不必要条件 (C)必要且不充分条件 (D)既不充分又不必要要件 4）若lim n →∞a n =A ，那么满足|a n -A |≥ε(ε为任意小正数)的数列{a n }的项数为 ( )(A)有限多项 (B)无限多项 (C)0 (D)不一定5）下列关于数列极限的说法中，正确的是 ( ) (A)摆动数列一定不存在极限 (B)递增数列一定不存在极限(C)一个数列的极限可能不止一个数值 (D)数列的极限反映数列中项的变化趋势 6）以下各式中，当∞→n 时，极限值为21的是 ( ) (A))1(22+-n n n (B)2312++n n (C)n n n )1(-+ (D) 22)23(741n n -+⋯+++ 7）已知f(n)＝1＋2＋…＋n ，(n ∈N)，则22)]([)(lim n f n f n ∞→的值是 ( )(A)2 (B)0 (C)1 (D)21 8) 在等差数列{a n }中，a 1=1,S n =a 1+a 2+…+a n ，且1≠m n S S ,则∞→n lim)1(11+-+n na n S 的值是 ( ) （A ）21 （B ）21- （C ）0 （D ）不存在 2．填空题：1）若∞→n lim (3a n +4b n )=8, ∞→n lim (6a n －b n )=1，则∞→n lim (3a n +b n )=_____ __2) (1)在数列{a n }中，有lim n →∞()21n a n -＝1，且lim n n n a →∞⋅存在，则lim n n na →∞＝___ _(2)如果n n a ∞→lim 存在，且9423lim=+-∞→nn n a a ，则n n a ∞→lim ＝______ (3)r qn pn ban n +++→2lim ω存在的条件是_____ (4)x x x n n n =++→2121lim ω，则x 的取值范围是__ ____; (5)若3133lim 11=++++∞→n n n n n a a ，则a 的取值范围是________.3) (1)若1)342(lim 2=++-∞→an n n n ，则a 等于 ;(2)2)7(24)2(lim 22=++-∞→n n n k n ，则实数k= . 4) (1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++--+∞→135323152lim 232n n n n n n n =________________; (2)1111510105lim -+-+∞→--n n n n n ＝____________ (3))1(lim 2n n n n +-+∞→= (4) .__________________)2221(lim 122321222=++++++-→n nn n n n C C C ω (5)11)2(421)2(lim -+∞→-+⋯-+--n n n ＝________ (6) ∞→n lim [)23)(23(1971741411+-++⋅+⋅+⋅n n ]=_____ (7)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋯++++∞→32323221lim n n n n n n n n ＝_____ (8)∞→n lim [n n 31)1(27191311⋅-+-+-- ]=_______ (9)∞→n lim nn n21)1(21211212121122∙-+-+-++++＝______ (10) 若a ＞b ＞0,∞→n lim 1221+--++++n n n n n ab b a b a a = (11)若α∈(0，π4)，lim n →∞=sin cos sin cos n n n n αααα+-663=______,(12)若log b π＜log a π＜0,则∞→n lim n n nn b a b a +-=__ ____5）记132333212121256112816413211618141211-----+⋯+--+--+--=n n n n S ，则=∞→n n S lim ________6) (1)若{a n }是等比数列,a 1+a 2+a 3=18,a 2+a 3+a 4= -9,S n =a 1+a 2+…+a n ,则∞→n lim S n 的值是 ; (2)等比数列{a n }的首项a 1=-1，前n 项和为S n ，若S S 1023132=，则lim n →∞S n 等于 .(3)已知等比数列{an}的公比q ＞1，a 1＝b(b ≠0)，则n876n321n a a a a a a a a lim++++++++∞→ ＝_______.7) 已知数列{a n }满足⎪⎭⎫⎝⎛++⋯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=111411311211n a n ，则n a n n ∞→lim 的值等于 3．解答题：设A n 为数列}{n a 前n 项的和，A n ＝))(1(23N n a n ∈-，数列}{n b 的通项公式为 )(34N n n b n ∈+=.设数列}{n d 中的第n 项是数列}{n b 中的第r 项， B r 为数列}{n b 前r 项的和， D n 为数列}{n d 前n 项的和，T n =B r －D n ，求4limnnn a T ∞→.。

数列极限地运算法则

3 5
n
n
1 9
0
方法小结：
lim
n
kpn tpn
cqn dqn
1、如果 p q ,那么分子、分母同除以pn; 2、如果 p q ,那么分子、分母同除以qn;
再利用lim rn ,求极限值. n
例3：计算下列数列的极限：
(1) lim(1 2 3 2010) 0
n n n n
lim1 lim 1
n
n n n
(2) lim 2n 1
2 1 lim n
n 3n 2 n 3 2
lim(2
n
1) n
2
lim(3 2) 3
(3) lim 2n 1 n n2 3n
n
lim
2 n
1 n2
n 1 3
n
lim( n
2 n
nn12
)
lim(1 3)
0
n
n
n
(4) lim n2 2n 3 n 2n2 3n 7
(7) 1 6
a 1 (8) b 1
(9)
2 5
,
4 5
(10) 0,4
(11) 1 3
例7、计算下列数列的极限：
(1) lim n
n 1 n2
n
lim
n n
1 1 1 n
1 2 1 n
lim ( n 1 n)( n 1 n) n ( n 2 n)( n 1 n)
lim
1
练习：
书 P-42 练习 7.7（3）书 P-44 练习 7.7（4）
作业：
一课一练： P-28 练习 7.7（3）一课一练： P-30 练习 7.7（4）
作业：

数列极限四则运算法则的证明

数列极限四则运算法则的证明设 limAn=A,limBn=B, 则有法则 1:lim(A n+B n)=A+B法则 2:lim(An-Bn)=A-B法则 3:lim(An • Bn)=AB法则 4:lim(An/Bn)=A/B.法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)(n T + g的符号就先省略了，反正都知道怎么回事.)首先必须知道极限的定义：如果数列｛Xn｝和常数A有以下关系：对于？£>0(不论它多么小)，总存在正数 N,使得对于满足n > N的一切Xn,不等式|Xn-A| <e都成立，则称常数A是数列｛Xn｝的极限，记作limXn=A.根据这个定义，首先容易证明：引理1: limC=C.(即常数列的极限等于其本身)法则1的证明：•••limAn=A,二对任意正数£ ,存在正整数N?,使n > N?寸恒有|An-A| <£ .(极限定义)同理对同一正数& ,存在正整数N?,使n > N?时恒有|Bn-B| <£ .②设N=max｛N ?,N?｝,由上可知当n > N时①②两式全都成立.此时 |(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn- B)| < |AA|+|Bn-B| <£ + £ =2 £.由于&是任意正数，所以2 &也是任意正数.即:对任意正数2 £ ,存在正整数N,使n > N时恒有|(An+Bn)-(A+B)| v 2 £.由极限定义可知，lim(An+Bn)=A+B.为了证明法则2,先证明1个引理.引理 2:若 limAn=A,贝U lim(C • An)=C(C・是常数)证明:vlimAn=A, 二对任意正数e ,存在正整数N,使n > N时恒有|An-A| Ve .(极限定义)①式两端同乘|C|,得：|C • -CA| v C e.由于e是任意正数，所以C e也是任意正数.即:对任意正数 C e ,存在正整数N,使n > N时恒有|C -C A n V C e.由极限定义可知，lim(C ・AAn=O0的话更好证)法则2的证明：lim(A n-B n)=limAn+lim(-Bn)( 法则 1)=limAn+(-1)limBn ( 引理 2)=A-B.为了证明法则3,再证明1个引理.引理 3:若 limAn=O,limBn=0, 贝U lim(An • Bn)=0.证明:vlimAn=0, 二对任意正数e ,存在正整数N ?,使n > N ?时恒有|An-0| Ve .(极限定义) 同理对同一正数 e ,存在正整数N?,使n > N?时恒有|Bn-0| Ve .④设N=max{N ?,N?},由上可知当n > N时③④两式全都成立.此时有 |An • =Bnn- 0| • \Bn<£•=££ 2.由于&是任意正数，所以£ 2也是任意正数即:对任意正数£ 2,存在正整数，使n> N时恒有|An -0|B< & 2.由极限定义可知，lim(A n • Bn )=0.法则3的证明：令an=An-A,bn=Bn-B.则 liman=lim(An-A)=limAn+lim(-A)( 法则 1)=A-A (引理 2) =0.同理 limbn=0./• lim(A n • Bn)=lim[(an+A)(bn+B)]=lim(an • bn+B • an+A • bn+AB)=lim(a n • bn )+lim(B • an )+lim(A • b法则mAB=0+B • liman+A • limbn+limAB引理 3、引理 2)=B x 0+A x 0+AB (引理 1) =AB.引理4:如果limXn=L 工0,则存在正整麵和正实数£ ,使得对任何正整数n>N,有|Xn| >£.证明：取£ =|L|/2>0, 则存在正整数使得对任何正整数n>N,有|Xn- L|< £ .于是有|Xn- > |L| |Xn- L| > -L£ = £引理5:若limAn存M,使得对所有正整数n,有|An| wM.证明：设limAn=A,则存在一个正整数N,使得对n>N 有|An- A| w 1,于是有|An| w |A|+1, 我们取 M=max(|A1|,...,|AN|,|A|+1) 即可法则4的证明：由引理4,当B M0时（这是必要条件）,？正整数 N1和正实数£ 0,使得对正整数n>N1,有|Bn| 0.由引理5,又？正数M,K,使得使得对所有正整数n,有|An| < M,|Bn| < K.现在对？£ >0?正整数N2和N3,使得：当 n>N2,有|An- A|< £ 0*|B|* £ /(M+K+1);当 n>N3,有 |Bn- B|< £ 0*|B|* £ /(M+K+1);现在，当 n>max(N1,N2,N3)时,有|An/Bn-A/B|=|A n*B-B n*A|/|B*B n|=|A n( B-B n)+B n(An-A)|/|B*B n|w (|An|*|B-Bn|+|Bn|*|A- An|)/(|B|* £ 0)(M+K)/((M+K+1)< £法则5的证明：lim(An 的k次方)=limAn • lim(A的 k-1 次方)(法则 3)....(往复 k-1 次)=(limAn)的k次方=A的k次方.。

数列极限四则运算法则

数列极限四则运算法则
数列极限四则运算法则是指在求解数列极限的过程中，可以通过四则运算规则对数列进行加、减、乘、除等运算，从而简化计算过程。

具体而言，以下是数列极限四则运算法则的内容：
1. 数列加减法法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为a和b，则数列{an+bn}和{an-bn}的极限分别为a+b和a-b。

2. 数列乘法法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为a和b，则数列{an*bn}的极限为a*b。

3. 数列除法法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为a和b且b不等于0，则数列{an/bn}的极限为a/b。

需要注意的是，上述法则只适用于数列极限的情况，对于函数极限则需要使用不同的运算法则。

此外，在进行运算时，还需要注意数列极限的基本性质，如极限唯一性、极限的保号性等，以确保运算结果的正确性。

- 1 -。

数列极限的几种求法

数列极限的几种求法一、定义法:数列极限的定义如下:设{n a }是一个数列,若存在确定的数a,对ε∀>0 ∃N>0使当n>N 时,都有a a n -<ε则称数列{n a }收敛于a ，记为n n a ∞→lim =a ，否则称数列{n a }不收敛（或称数列{n a }发散）。

故可从最原始的定义出发计算数列极限。

例1、用ε-N 方法求n n n 1lim +∞→解：令nn 1+=t+1 则 t>0∴ n+1=nt )1(+2)1(2)1(122t n n t n n nt -≥+-++≥ ∴ε∀>0 取⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=142εN 则当N n >时，有∴ n n n 1lim +∞→=1二、单调有界法：首先我们介绍单调有界定理，其内容如下：在实数系中，有界的单调数列必有极限。

证明：不妨设{n a }为有上界的递增数列。

由确界原理，数列{n a }有上界，记为sup =a {n a }。

以下证明a 就是{n a }的极限。

事实上，ε∀>0，按上确界的定义，存在数列{n a }中某一项N a ，使得N a a <-ε 又由{n a }的递增性，当N n ≥时有这就证得a a n n =∞→lim 。

同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界。

例2、证明数列收敛，并求其极限。

证：222 ++=n a ，易见数列{n a }是递增的。

现用数学归纳法来证明{n a }有上界。

显然 221<=a 。

假设2<n a ,则有22221=+<+=+n n a a ，从而对一切n 有2<n a ,即{n a }有上界。

由单调有界定理，数列{n a }有极限，记为a 。

由于对上式两边取极限得 a a +=22，即有（a+1）（a-2）=0，解得 a=-1或a=2 由数列极限的保不等式性，a=-1是不可能的，故有三、运用两边夹法：迫敛法：（两边夹法）设收敛数列{n a }，}{n b 都以a 为极限，数列}{n c 满足：存在正数0N 当0N n >时有n n n c b a ≤≤ （1）则数列}{n c 收敛且a c n n =∞→lim证：0>∀ε 由a b a n n n n ==∞→∞→lim lim 分别存在正数1N 与2N 使得当1N n >时有n a a <-ε （2）当2N n >时有ε+<a b n （3）取},,m ax {210N N N N = 则当N n >时不等式（1），（2），（3）同时成立即有从而有 ε<-a c n 即证所得结果。

极限的四则运算

一、数列的极限：1.极限的概念和运算法则数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a ，那么就说数列{a n }以a 为极限.数列极限的运算法则：如果A a n n =∞→lim ，Bb n n =∞→lim .则 ① ()B A b a n n n +=+∞→lim .② ()AB b a n n n =∞→lim .② ()0,0lim ≠≠=∞→B b B A b a n n n n .（注意：和与积中包含的数列个数必须是有限的，另外这些运算法则逆命题并不一定成立，例如，若已知()n n n b a ∞→lim 存在，n n a ∞→lim ，nn b ∞→lim 不一定存在，可以进行这样的改编，让学生自行判断和举反例。

）2.基本数列极限①为常数）；C C C n (lim =∞→ ②）；*(01lim N n n n ∈=∞→ ③）；1|(|0lim <=∞→q q n n 而对于n n q lim ∞→，当1=q 时，1lim =∞→n n q ；当1||>q 或1-=q 时，n n q lim ∞→极限不存在。

3.无穷等比数列各项和当公比1||0<<q 时,无穷等比数列ΛΛn a a a a ,,,321的各项和为:）；1||0(11lim <<-==∞→q q a S S n n（可以让学生解释各项和怎么由前n 项和公式演变而来，注意适用范围及两者区别）4.常见的数列极限可以归纳为两大类:第一类是两个关于自然数n 的多项式的商的极限:)0,0,,(.0;,*01110111lim ≠≠∈⎪⎩⎪⎨⎧>==++++++++----∞→l k l l l l k k k k n b a N l k k l k l b a b n b n b n b a n a n a n a 时，当时当ΛΛ当l k >时,上述极限不存在.第二类是关于n 的指数式的极限: ⎩⎨⎧=<=∞→时，当时；当111||,0lim q q q nn当1||>q或1-=q时,上述极限不存在（注意：求极限时，把常数项提到极限记号外面可以使运算变得很简洁。

数列的极限及运算法则

极限的四则运算(数列极限、函数极限)

数列极限的定义与性质

1.2.2-1.2.4 数列极限的性质和运算法则

数列极限四则运算法则的证明

数列极限名词解释

数学分析 第二章21-2数列极限的准则、运算法则

1.5 极限的运算法则

数列求极限的方法总结

数列的极限及运算法则

极限的四则运算

数列极限的定义与性质

数列极限的计算方法总结

数列极限

数列极限地运算法则

数列极限四则运算法则的证明

数列极限四则运算法则

数列极限的几种求法

极限的四则运算

数学分析第二章21-2数列极限的准则、运算法则