广东省中山纪念中学、广州六中珠江中学2016-2017学年八年级(下)期中数学试卷(解析版)

2016-2017学年广东省中山纪念中学、广州六中珠江中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥B．x≥﹣C．x＞D．x≠2．如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．以下列各组数作为三角形的边长，能构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．6，8，11 C．1，1，D．5，12，234．△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地．已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金（）A．600a元B．50a元C．1200a元D．1500a元5．△ABC中∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列命题中的假命题是（）A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°C．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形D．如果（c+a）（c﹣a）=b2，则△ABC是直角三角形6．能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）A．AB∥CD，AD=BC B．AB=CD，AD=BC C．∠A=∠B，∠C=∠D D．AB=AD，CB=CD7．如图，平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB=5，BC=3，则EC的长（）A．1 B．1.5 C．2 D．38．四边形的四边顺次为a、b、c、d，且满足a2+b2+c2+d2=2（ab+cd），则这个四边形一定是（）A．对角线互相垂直的四边形B．两组对角分别相等的四边形C．平行四边形D．对角线长相等的四边形9．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）A．N处B．P处 C．Q处D．M处10．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．C．D．2二、填空题（6小题，每小题3分，共18分）11．化简：=．12．如图，△ABC中，D为BC上一点，且BD=3，DC=AB=5，AD=4，则AC=．13．若直角三角形两条直角边的边长分别为15cm和12cm，那么此直角三角形斜边上的中线是cm．14．菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为cm2．15．如图，在△ABC，AB=AC，点D为BC的中点，AE是∠BAC外角的平分线，DE∥AB交AE于E，则四边形ADCE的形状是．16．在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上异于A和D的任意一点，且PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=．三、解答题（共102分）17．（1）+2﹣（﹣）（2）（2﹣5）（﹣2﹣5）﹣（﹣）2．18．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D，∠1=∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形．19．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？20．为了迎接深圳第26届大运会，小明在某周末上午9时骑自行车离开家去绿道锻炼，15时回家，已知自行车离家的距离s（km）与时间t（h）之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题：（1）小明骑自行车离家的最远距离是km；（2）小明骑自行车行驶过程中，最快的车速是km/h，最慢的车速是km/h；（3）途中小明共休息了次，共休息了小时；（4）小明由离家最远的地方返回家时的平均速度是km/h．21．已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．（1）四边形EFGH的形状是，证明你的结论；（2）当四边形ABCD的对角线满足条件时，四边形EFGH是矩形；你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？（3）当四边形ABCD的对角线满足条件时，四边形EFGH是菱形；你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是菱形？．22．已知x=，求﹣的值．23．如图，四边形ABCD中，已知AB=CD，点E、F分别为AD、BC的中点，延长BA、CD，分别交射线FE于P、Q两点．求证：∠BPF=∠CQF．24．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．25．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG且EG⊥CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？2016-2017学年广东省中山纪念中学、广州六中珠江中学八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥B．x≥﹣C．x＞D．x≠【考点】72：二次根式有意义的条件；62：分式有意义的条件．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，2x﹣1＞0，解得x＞．故选：C．2．如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】77：同类二次根式．【分析】根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可．【解答】解：根据题意得，3a﹣8=17﹣2a，移项合并，得5a=25，系数化为1，得a=5．故选D．3．以下列各组数作为三角形的边长，能构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．6，8，11 C．1，1，D．5，12，23【考点】KS：勾股定理的逆定理．【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、52+42≠62，故不是直角三角形，故此选项错误；B、62+82≠112，故不是直角三角形，故此选项错误；C、12+12=（）2，故是直角三角形，故此选项正确；D、52+122≠232，故不是直角三角形，故此选项错误．故选C．4．△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地．已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金（）A．600a元B．50a元C．1200a元D．1500a元【考点】KU：勾股定理的应用．【分析】此题首先由已知△ABC中，∠C=90°，AC=30米，AB=50米，根据勾股定理求出另一条直角边BC，再求出面积，从而得出答案．【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，AC=30米，AB=50米，∴BC===40米，共需要资金为：×40×30•a=600a元．故选A．5．△ABC中∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列命题中的假命题是（）A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°C．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形D．如果（c+a）（c﹣a）=b2，则△ABC是直角三角形【考点】O1：命题与定理．【分析】直角三角形的判定方法有：①求得一个角为90°，②利用勾股定理的逆定理．【解答】解：A、根据三角形内角和定理，可求出角C为90度，故正确；B、解得应为∠B=90度，故错误；C、设三角分别为5x，3x，2x，根据三角形内角和定理可求得三外角分别为：90度，36度，54度，则△ABC是直角三角形，故正确．D、化简后有c2=a2+b2，根据勾股定理，则△ABC是直角三角形，故正确；故选B．6．能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）A．AB∥CD，AD=BC B．AB=CD，AD=BC C．∠A=∠B，∠C=∠D D．AB=AD，CB=CD【考点】L6：平行四边形的判定．【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形可得答案．【解答】解：A、AB∥CD，AD=BC不能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项错误；B、AB=CD，AD=BC判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项正确；C、∠A=∠B，∠C=∠D不能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项错误；D、AB=AD，CB=CD不能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项错误；故选：B．7．如图，平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB=5，BC=3，则EC的长（）A．1 B．1.5 C．2 D．3【考点】L5：平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质及AE为角平分线可知：BC=AD=DE=3，又有CD=AB=5，可求EC的长．【解答】解：根据平行四边形的对边相等，得：CD=AB=5，AD=BC=3．根据平行四边形的对边平行，得：CD∥AB，∴∠AED=∠BAE，又∠DAE=∠BAE，∴∠DAE=∠AED．∴ED=AD=3，∴EC=CD﹣ED=5﹣3=2．故选C．8．四边形的四边顺次为a、b、c、d，且满足a2+b2+c2+d2=2（ab+cd），则这个四边形一定是（）A．对角线互相垂直的四边形B．两组对角分别相等的四边形C．平行四边形D．对角线长相等的四边形【考点】59：因式分解的应用．【分析】首先把a2+b2+c2+d2=2（ab+cd）变形为a2+b2+c2+d2﹣2ab﹣2cd=0，然后利用完全平方公式分解因式和非负数的性质即可求解．【解答】解：∵a2+b2+c2+d2=2（ab+cd），∴a2+b2+c2+d2﹣2ab﹣2cd=0，∴（a﹣b）2+（c﹣d）2=0，∴a﹣b=0且c﹣d=0，∴a=b且c=d．如图，点A在BD的垂直平分线上，点C在BD的垂直平分线上，∴AC垂直平分线BD，∴四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形．故选A．9．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）A．N处B．P处 C．Q处D．M处【考点】E7：动点问题的函数图象．【分析】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．【解答】解：当点R运动到PQ上时，△MNR的面积y达到最大，且保持一段时间不变；到Q点以后，面积y开始减小；故当x=9时，点R应运动到Q处．故选C．10．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．C．D．2【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；KQ：勾股定理；KS：勾股定理的逆定理．【分析】连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【解答】解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，∴AC=，CF=3，∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，由勾股定理得，AF===2，∵H是AF的中点，∴CH=AF=×2=．故选：B．二、填空题（6小题，每小题3分，共18分）11．化简：=．【考点】76：分母有理化．【分析】题目所给的代数式中，分母含有二次根式，所以要通过分母有理化来化简原式．【解答】解：=．12．如图，△ABC中，D为BC上一点，且BD=3，DC=AB=5，AD=4，则AC=．【考点】KS：勾股定理的逆定理；KQ：勾股定理．【分析】先根据勾股定理的逆定理得出△ABD、△ACD是直角三角形，再根据勾股定理求出AC的长．【解答】解：∵BD=3，DC=AB=5，AD=4，又∵32+42=52，∴△ABD是直角三角形，∴△ACD是直角三角形．∴AC==．13．若直角三角形两条直角边的边长分别为15cm和12cm，那么此直角三角形斜边上的中线是cm．【考点】KQ：勾股定理；KP：直角三角形斜边上的中线．【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，再由直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵在直角三角形中，两直角边为15cm，12cm，∴斜边长=cm=3cm，∵直角三角形中斜边的中线长为斜边长的一半，∴斜边中线长为cm，故答案为：．14．菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为24cm2．【考点】L8：菱形的性质．【分析】根据菱形的性质可知边长以及另一条对角线的长，然后根据菱形的面积计算公式可解．【解答】解：菱形的周长为20cm，则边长为5cm，∵菱形的对角线互相垂直平分，根据勾股定理可得另一对角线的一半为3cm，则另一对角线长6cm，则菱形的面积为6×8×=24cm2．故答案为24．15．如图，在△ABC，AB=AC，点D为BC的中点，AE是∠BAC外角的平分线，DE∥AB交AE于E，则四边形ADCE的形状是矩形．【考点】LC：矩形的判定．【分析】首先利用外角性质得出∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC，进而得到AE∥CD，即可求出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形ADCE 是平行四边形，即可求出四边形ADCE是矩形．【解答】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵AE是∠BAC的外角平分线，∴∠FAE=∠EAC，∵∠B+∠ACB=∠FAE+∠EAC，∴∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC，∴AE∥CD，又∵DE∥AB，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE平行且等于BD，又∵BD=DC，∴AE平行且等于DC，故四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ADC=90°，∴平行四边形ADCE是矩形．即四边形ADCE是矩形．故答案为矩形．16．在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上异于A和D的任意一点，且PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=．【考点】LB：矩形的性质；KH：等腰三角形的性质．【分析】首先过A作AG⊥BD于G．根据等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，则PE+PF=AG．利用勾股定理求得BD的长，再根据三角形的面积计算公式求得AG的长，即为PE+PF的长．【解答】解：如图，过A作AG⊥BD于G，=×OD×AG，S△AOP+S△POD=×AO×PF+×DO×PE=×DO×（PE+PF），则S△AOD=S△AOP+S△POD，∵S△AOD∴PE+PF=AG，∵AD=12，AB=5，∴BD==13，∴，∴．故答案为：．三、解答题（共102分）17．（1）+2﹣（﹣）（2）（2﹣5）（﹣2﹣5）﹣（﹣）2．【考点】79：二次根式的混合运算．【分析】（1）先化简题目中的二次根式，然后合并同类项即可解答本题；（2）根据平方差公式和完全平方公式可以解答本题．【解答】解：（1）+2﹣（﹣）==；（2）（2﹣5）（﹣2﹣5）﹣（﹣）2=50﹣20﹣（5﹣2+2）=50﹣20﹣7+2=23+2．18．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D，∠1=∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形．【考点】L6：平行四边形的判定．【分析】根据三角形内角和定理求出∠DAC=∠ACB，根据平行线的判定推出AD ∥BC，AB∥CD，根据平行四边形的判定推出即可．【解答】证明：∵∠1+∠B+∠ACB=180°，∠2+∠D+∠CAD=180°，∠B=∠D，∠1=∠2，∴∠DAC=∠ACB，∴AD∥BC，∵∠1=∠2，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．19．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？【考点】KU：勾股定理的应用．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．【解答】解：（1）海港C受台风影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC=CD×AB∴300×400=500×CD∴CD==240（km）∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C受到台风影响．（2）当EC=250km，FC=250km时，正好影响C港口，∵ED==70（km），∴EF=140km∵台风的速度为20km/h，∴140÷20=7（小时）即台风影响该海港持续的时间为7小时．20．为了迎接深圳第26届大运会，小明在某周末上午9时骑自行车离开家去绿道锻炼，15时回家，已知自行车离家的距离s（km）与时间t（h）之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题：（1）小明骑自行车离家的最远距离是35km；（2）小明骑自行车行驶过程中，最快的车速是20km/h，最慢的车速是10 km/h；（3）途中小明共休息了2次，共休息了 1.5小时；（4）小明由离家最远的地方返回家时的平均速度是17.5km/h．【考点】E6：函数的图象．【分析】（1）首先根据图象找到离家最远的距离，由此即可确定他到达离家最远的距离；（2）根据图象可以直接看出纵坐标表示离家的距离，从横坐标中找到时间点，分别求出平均速度可直接得到答案；（3）根据图象可以直接看出纵坐标表示离家的距离，从横坐标中找到时间点，即可得出答案；（4）根据返回时所走路程和使用时间即可求出返回时的平均速度．【解答】解：（1）利用图象的纵坐标得出小明骑自行车离家的最远距离是35km；故答案为：35；（2）小明行驶中第一段行驶时间为；1小时，行驶距离为；15千米，故行驶速度为；15km/h，小明行驶中第二段行驶时间为；0.5小时，行驶距离为；10千米，故行驶速度为；20km/h，小明行驶中第三段行驶时间为；1小时，行驶距离为；10千米，故行驶速度为；15km/h，故最快的车速是20km/h，最慢的车速是10km/h；故答案为：20；10；（3）根据图象得出有两段时间纵坐标标不变，得出途中小明共休息了2；利用横坐标得出休息时间为：1.5小时；故答案为：1.5；（4）∵返回时所走路程为35km，使用时间为2小时，∴返回时的平均速度17.5km/h．故答案为：17.5．21．已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．（1）四边形EFGH的形状是平行四边形，证明你的结论；（2）当四边形ABCD的对角线满足AC⊥BD条件时，四边形EFGH是矩形；你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？菱形（3）当四边形ABCD的对角线满足AC=BD条件时，四边形EFGH是菱形；你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是菱形？矩形．【考点】LN：中点四边形．【分析】（1）根据三角形的中位线定理，可以证明所得四边形的两组对边分别和两条对角线平行，所得四边形的两组对边分别是两条对角线的一半，再根据平行四边形的判定就可证明该四边形是一个平行四边形；（2）在（1）的基础上，所得四边形要成为矩形，则需有一个角是直角，故对角线应满足互相垂直；（3）在（1）的基础上，所得四边形要成为菱形，则需有一组邻边相等，故对角线应满足相等．【解答】（1）证明：连接AC，∵在△ABC中，点E，F分别是AB，BC的中点，即EF为△ABC的中位线，∴EF∥AC且EF=AC同理可证：HG∥AC且HG=AC∴EF∥HG且EF=HG∴四边形EFGH是平行四边形．故答案为：平行四边形；（2）当AB⊥CD时，四边形EFGH是矩形，要使四边形EFGH是矩形，则需EF⊥FG，由（1）得，只需AC⊥BD；学过的菱形的中点四边形是矩形；故答案为：AB⊥CD，菱形；（3）要使四边形EFGH是菱形，则需EF=FG，由（1）得，只需AC=BD；学过的矩形的中点四边形是菱形．故答案为：AC=BD，矩形．22．已知x=，求﹣的值．【考点】76：分母有理化．【分析】先利用完全平方公式和二次根式的性质得到原式=|x+|﹣|x﹣|，再利用分母有理化得到x=+，且=﹣，然后利用绝对值的意义计算原式的值．【解答】解：原式=﹣=|x+|﹣|x﹣|，∵x==+，∴=﹣，∴原式=|++﹣|﹣|+﹣+|=2﹣2．23．如图，四边形ABCD中，已知AB=CD，点E、F分别为AD、BC的中点，延长BA、CD，分别交射线FE于P、Q两点．求证：∠BPF=∠CQF．【考点】KX：三角形中位线定理．【分析】如图，连接BD，作BD的中点M，连接FM、EM．利用三角形中位线定理证得△EMF是等腰三角形，则∠MEF=∠MFE．利用三角形中位线定理、平行线的性质推知∠MEF=∠P，∠MFE=∠CQF．根据等量代换证得∠P=∠CQF．【解答】证明：如图，连接BD，作BD的中点M，连接EM、FM．∵点E是AD的中点，∴在△ABD中，EM∥AB，EM=AB，∴∠MEF=∠P同理可证：FM∥CD，FM=CD．∴∠MFQ=∠CQF，又∵AB=CD，∴EM=FM，∴∠MEF=∠MFE，∴∠P=∠CQF．．24．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．【考点】KN：直角三角形的性质；LA：菱形的判定与性质．【分析】（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明；（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；（3）分两种情况讨论即可求解．【解答】（1）证明：∵直角△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°．∵CD=4t，AE=2t，又∵在直角△CDF中，∠C=30°，∴DF=CD=2t，∴DF=AE；解：（2）∵DF∥AB，DF=AE，∴四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，即60﹣4t=2t，解得：t=10，即当t=10时，▱AEFD是菱形；（3）当t=时△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；当t=12时，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）．理由如下：当∠EDF=90°时，DE∥BC．∴∠ADE=∠C=30°∴AD=2AE∵CD=4t，∴DF=2t=AE，∴AD=4t，∴4t+4t=60，∴t=时，∠EDF=90°．当∠DEF=90°时，DE⊥EF，∵四边形AEFD是平行四边形，∴AD∥EF，∴DE⊥AD，∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，∵∠A=60°，∴∠DEA=30°，∴AD=AE，AD=AC﹣CD=60﹣4t，AE=DF=CD=2t，∴60﹣4t=t，解得t=12．综上所述，当t=时△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；当t=12时，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）．25．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG且EG⊥CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证出CG=EG；证明C、D、E、F四点共圆，圆心为G，由圆周角定理得出∠EGC=2∠BDC=90°，得出EG ⊥CG；（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N 点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．（3）先证明△DCG≌△FMG，得出MF=CD，再证明△MFE≌△CBE，得出∠MEF=∠CEB，CE=EM，得出∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，证出△MEC为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论．【解答】（1）证明：在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG=FD，同理，在Rt△DEF中，EG=FD，∴CG=EG；∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠BDC=45°，∵EF⊥BD，∴∠DEF=90°，∴∠DEF+∠BCD=180°，∴C、D、E、F四点共圆，圆心为G，∴∠EGC=2∠BDC=90°，∴EG⊥CG；（2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下：延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC，如图②所示：在△DCG与△FMG中，，∴△DCG≌△FMG（SAS），∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，∵四边形ABCD，∴BC=CD，AB∥CD，∴MF∥CD∥AB，MF=CB，∵FE⊥AB，△BEF是等腰直角三角形，∴EF⊥MF，BE=EF，在Rt△MFE与Rt△CBE中，，∴△MFE≌△CBE（SAS），∴∠MEF=∠CEB，CE=EM，∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，∴△MEC为等腰直角三角形，∵MG=CG，∴EG=MC，EG⊥CG，∴EG=CG；（3）解：（1）中的结论仍然成立．理由如下：过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN⊥AB于N，如图③所示：∵FM∥CD，∴∠GCD=∠GMF在△DCG与△FMG中，，∴△DCG≌△FMG（AAS），∴MF=CD，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，AB∥CD，∴MF∥CD∥AB，MF=CB，∵FN⊥AB，∴FN⊥MF，∠NFE=∠EBN，∴∠MFE=∠EBC，∵△BEF是等腰直角三角形，∴BE=EF，在△MFE与△CBE中，，∴△MFE≌△CBE（SAS），∴∠MEF=∠CEB，CE=EM，∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，∴△MEC为等腰直角三角形，∵G为CM中点，∴EG=CG，EG⊥CG．2017年6月15日。