解析函数在平面场中的应用
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R y v y 2 x y2
f
，
例7.5 设在射线 x 0, y a 上的电势为
v0
而在实轴上为零，求所产生的静电势。 解：求静电场的复势，就是找函数 w f ( z ) ，使已知区域 D 共形映射为
w 平面上的带形区域
，
w Im w v0
而使射线、实轴分别与 对应，所以 w
v v( z) vx ( x, y) ivy ( x, y)
定义7.1 曲线积分 N A ds 称为向量场通过曲线的流量。 如果 An ds Ax ( x, y)dy Ay ( x, y)dx 其中Nc 0 ，则存在函数 v( x, y ) ，使
c c n
d (v( x, y)) Ax ( x, y)dy Ay ( x, y)dx 0
R z0 例7.4 设曲线由射线 x ，中心在点 半径为 R 上的半圆周以及射线 ， R x 所组成，不可压缩流体（无源也无汇）在域 G 内作无旋流动，又设无穷远点的速度为给定的 v0 f ，求所产生的流速场。 解：求流速场的复势 w f ( z)，就要把区域 G 的边界映射为实轴，把区域 G 映射为上半平面，可通过下述映射方法来完成。
w f ( z) ( x, y) i ( x, y)
( x, y ) 称为温度函数（或势函数），
( x, y) c1 称为等温线；
。 是热量流动所沿的曲线。 热流场可以用复变函数 Q( z) k f ' ( z)
( x, y) c2
( x, y ) 称为热流函数，
那么称 u ( x, y ) 为向量场
A( x, y) 的势函数。
§7.2复势的应用
(The application of the complex potential)
例7.1 试研究一平面流速场的复势为 f ( z) az, (a 0) 的速度、流函数和势函数。 解： f ( z ) az, (a 0) 在整个复平面上解析， 可以得到
*第七章 解析函数在 平面场中的应用
Analysis function applying in the plane field
第一讲
§7.1复势的概念
§7.2 复势的应用 §7.3 用共形映射方法研究平面场
§7.1 复势的概念
(The Conception of the complex potential)
在空间静电场中，我们也可以构造复势
w f ( z) ( x, y) i ( x, y)
d ( x, y) [Ex ( x, y)dx Ey ( x, y)dy]
d ( x, y) Ey ( x, y)dx Ex ( x, y)dy
( x, y )
，其中
v0
Im w v0 , Im w 0
ln z 2 a 2 az z 2 a 2 az
为所求的复势，它是区域内的单值函数，用它可以 求出静电场中的各量。
本章结束
谢谢！
运城学院应wk.baidu.com数学系
流函数是 所以流线为
' v f 处， (z) 2z
( x, y) 2 xy
2 xy c1
2 2 ( x , y ) x y 势函数为
等势线为 x y c2 。
2 2
在热力学的热传导理论中， 已经证明，介质的热量与温度梯度称正比， 我们也可以构造热流场的复势：
那么称 v( x, y ) 为向量场
A( x, y)
的流函数。
定义7.2 曲线积分c c As ( x, y)ds c Ax ( x, y)dx Ay ( x, y)dy 称为向量场沿曲线的环量。 如果 c
0 ，则存在函数 u ( x, y )
使
d (u( x, y)) A( x, y)dy Ay ( x, y)dx
v f ' ( z) a 0，说明场中任意点的流速方向为
x 轴正向； 流函数为 ( x, y) ay ，所以流线为
y c1
势函数为 ( x, y) ax ，所以等势线为
x c2
例7.2 试研究以w
2 f ( z ) z为复势的平面定常流速场。
解：在任意 z 0
物理中有许多不同的稳定平面场，都可以用 解析函数来描述，这种平面场的物理现象，可 以用相应的解析函数的性质来描述。 如果平面平行向量场不随时间变化，我 们称为平面定常向量场。我们设 z x iy ， 对平面上的任意点，可以用一个解析函数来表 示
( z) Ax ( x, y) iAy ( x, y) 例如： 一个平面定常流速场可以用复变函数表示为
(a b) z 2 2(b a) Rz (a b) R 2 w f ( z) (c d ) z 2 2(d c) Rz (c d ) R 2
由于
dw |z v0 0 dz
R2 w v0 ( z ) z
，可以知道 a b 0, c d 0 ，所以 w u iv ，可以知道 令 2
称为力函数，
w f ( z) ( x, y) i ( x, y)
称为静电场的复势，是一个解析函数。
§7.3用共形映射方法研究平面场
(To study the plane field in Conformal mapping)
在速度场、热流场和静电场等平面场中，常用共形映
射的方法求得复势函数，方法是将已 给的平面区域 映照为典型区域。而这些典型区域各自对应着所考 虑问题的类型。如速度场映射为上半平面或带形 区域，静电场映射为圆形区域或带形区域等。
例7.3求 w f ( z) z 2 表示的电场。 解：等势线是 ( x, y) 2 xy，电力线方程为为
x2 y 2 c2 。它们都是双曲线组。
§7.3用共形映射方法研究平面场
在速度场、热流场和静电场等平面场中，常用共形映 射的方法求得复势函数，方法是将已 给的平面区域 映照为典型区域。而这些典型区域各自对应着所考 虑问题的类型。如速度场映射为上半平面或带形 区域，静电场映射为圆形区域或带形区域等。
f
，
例7.5 设在射线 x 0, y a 上的电势为
v0
而在实轴上为零，求所产生的静电势。 解：求静电场的复势，就是找函数 w f ( z ) ，使已知区域 D 共形映射为
w 平面上的带形区域
，
w Im w v0
而使射线、实轴分别与 对应，所以 w
v v( z) vx ( x, y) ivy ( x, y)
定义7.1 曲线积分 N A ds 称为向量场通过曲线的流量。 如果 An ds Ax ( x, y)dy Ay ( x, y)dx 其中Nc 0 ，则存在函数 v( x, y ) ，使
c c n
d (v( x, y)) Ax ( x, y)dy Ay ( x, y)dx 0
R z0 例7.4 设曲线由射线 x ，中心在点 半径为 R 上的半圆周以及射线 ， R x 所组成，不可压缩流体（无源也无汇）在域 G 内作无旋流动，又设无穷远点的速度为给定的 v0 f ，求所产生的流速场。 解：求流速场的复势 w f ( z)，就要把区域 G 的边界映射为实轴，把区域 G 映射为上半平面，可通过下述映射方法来完成。
w f ( z) ( x, y) i ( x, y)
( x, y ) 称为温度函数（或势函数），
( x, y) c1 称为等温线；
。 是热量流动所沿的曲线。 热流场可以用复变函数 Q( z) k f ' ( z)
( x, y) c2
( x, y ) 称为热流函数，
那么称 u ( x, y ) 为向量场
A( x, y) 的势函数。
§7.2复势的应用
(The application of the complex potential)
例7.1 试研究一平面流速场的复势为 f ( z) az, (a 0) 的速度、流函数和势函数。 解： f ( z ) az, (a 0) 在整个复平面上解析， 可以得到
*第七章 解析函数在 平面场中的应用
Analysis function applying in the plane field
第一讲
§7.1复势的概念
§7.2 复势的应用 §7.3 用共形映射方法研究平面场
§7.1 复势的概念
(The Conception of the complex potential)
在空间静电场中，我们也可以构造复势
w f ( z) ( x, y) i ( x, y)
d ( x, y) [Ex ( x, y)dx Ey ( x, y)dy]
d ( x, y) Ey ( x, y)dx Ex ( x, y)dy
( x, y )
，其中
v0
Im w v0 , Im w 0
ln z 2 a 2 az z 2 a 2 az
为所求的复势，它是区域内的单值函数，用它可以 求出静电场中的各量。
本章结束
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流函数是 所以流线为
' v f 处， (z) 2z
( x, y) 2 xy
2 xy c1
2 2 ( x , y ) x y 势函数为
等势线为 x y c2 。
2 2
在热力学的热传导理论中， 已经证明，介质的热量与温度梯度称正比， 我们也可以构造热流场的复势：
那么称 v( x, y ) 为向量场
A( x, y)
的流函数。
定义7.2 曲线积分c c As ( x, y)ds c Ax ( x, y)dx Ay ( x, y)dy 称为向量场沿曲线的环量。 如果 c
0 ，则存在函数 u ( x, y )
使
d (u( x, y)) A( x, y)dy Ay ( x, y)dx
v f ' ( z) a 0，说明场中任意点的流速方向为
x 轴正向； 流函数为 ( x, y) ay ，所以流线为
y c1
势函数为 ( x, y) ax ，所以等势线为
x c2
例7.2 试研究以w
2 f ( z ) z为复势的平面定常流速场。
解：在任意 z 0
物理中有许多不同的稳定平面场，都可以用 解析函数来描述，这种平面场的物理现象，可 以用相应的解析函数的性质来描述。 如果平面平行向量场不随时间变化，我 们称为平面定常向量场。我们设 z x iy ， 对平面上的任意点，可以用一个解析函数来表 示
( z) Ax ( x, y) iAy ( x, y) 例如： 一个平面定常流速场可以用复变函数表示为
(a b) z 2 2(b a) Rz (a b) R 2 w f ( z) (c d ) z 2 2(d c) Rz (c d ) R 2
由于
dw |z v0 0 dz
R2 w v0 ( z ) z
，可以知道 a b 0, c d 0 ，所以 w u iv ，可以知道 令 2
称为力函数，
w f ( z) ( x, y) i ( x, y)
称为静电场的复势，是一个解析函数。
§7.3用共形映射方法研究平面场
(To study the plane field in Conformal mapping)
在速度场、热流场和静电场等平面场中，常用共形映
射的方法求得复势函数，方法是将已 给的平面区域 映照为典型区域。而这些典型区域各自对应着所考 虑问题的类型。如速度场映射为上半平面或带形 区域，静电场映射为圆形区域或带形区域等。
例7.3求 w f ( z) z 2 表示的电场。 解：等势线是 ( x, y) 2 xy，电力线方程为为
x2 y 2 c2 。它们都是双曲线组。
§7.3用共形映射方法研究平面场
在速度场、热流场和静电场等平面场中，常用共形映 射的方法求得复势函数，方法是将已 给的平面区域 映照为典型区域。而这些典型区域各自对应着所考 虑问题的类型。如速度场映射为上半平面或带形 区域，静电场映射为圆形区域或带形区域等。