同济大学《高等数学》8.8节 多元函数的极值
第八节多元函数的极值及其求法
f (x, y)在点( 3, 0 )没有极值
在点( 3 , 2 )处， A fxx( 3 , 2 ) 12
B fxy ( 3 , 2 ) 0 C f yy (3,2 ) 6
(12) (6) 02 = 72 > 0 又 A 0
f (x, y)在点( 3 , 2 )有极大值 f (3 , 2 ) 31
(极小值) 的某个去心邻域内必有：
f(x,y)<f(x0,y0) 所以，在点(x0 ,y0)的某个邻域内，点(x0 ,y0 , f(x0 ,y0)) 为曲面的最高点.
(最低点)
定理1 (必要条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0 ,y0)处具 有偏导数，且在点(x0 ,y0)有极值，则有：
f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0
fx (x0, y0) = [ f (x, y0) ]'|xx0 = 0
同理可证: f y (x0, y0) 0
说明
(1) 几何上,定理1意味着: 在曲面 z f (x, y) 上, 极值点 (x0, y0)所对应的点 (x0, y0, f (x0, y0)) 处的
切平面平行于 xoy 坐标平面.
(2) 定理1的逆命题不成立. 反例: f (x, y) xy, 经计算得: fx (0,0) 0, f y (0,0) 0 但 点 (0,0)不是 f (x, y) 的极值点.
(3) 使 fx (x, y) 0, f y (x, y) 0 同时成立的点
(x0, y0) 称为函数 z f (x, y) 的驻点.
z a2 2xy 2(x y)
代入V 的表达式，得
V xy a2 2xy 2(x y)
多元函数的极值及其求法
定理 设A是一个n n对称矩阵,
A正定 所有顺序主子式大于0
a11 a12 L a1k
a21 a22 L a2k
MM
M
所有特征值大于0 .
ak1 ak 2 L akk
(即特征方程 | E - A | 0的根大于0)
以 2 2 矩阵为例: A a11 a12 a21 a22
证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意
则有
若 H f (P0 )正定, 则由引理知存在m 0使得
(h, k)H f (P0)(h, k)' m2.
故对充分小的U(P0), 只要(x, y) x0 h, y0 k U(P0), 就有
f (x, y)
f ( x0 ,
y0
)
(
m 2
o(1))
设函数z f ( x, y)在点 P0 ( x0 , y0 )的某邻域U(P0 )内 有一阶及二阶连续偏导数，且 P0是 f 的驻点,
则当H f (P0 )是正定矩阵时, f 在 P0取得极小值;
当H f (P0 )是负定矩阵时, f 在 P0取得极大值; 当H f (P0 )是不定矩阵时, f 在 P0不取极值.
极大值和极小值
x
例1. 已知函数
A 则( )
的某个邻域内连续, 且
(D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点. 提示: 由题设
(2003 考研)
定理1 (必要条件) 函数
存在
偏导数, 且在该点取得极值 ,
则有
证:
取得极值 ,
故
取得极值 取得极值
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
(h2
高等数学课件 同济四版
2. 判别定理 定理1(必要条件 必要条件) 定理 必要条件 设函数 z = f ( x , y ) 在点( x 0 , y 0 )处偏导数 处取得极大值. 证明 不妨设 z = f ( x , y )在点 ( x 0 , y0 ) 处取得极大值 存在,并取得极值 存在 并取得极值, 则 f x ( x 0 , y 0 ) = 0, f y ( x 0 , y 0 ) = 0 并取得极值 处取得极大值。 则一元函数 f ( x , y 0 )在 x = x 0 处取得极大值。 由一元函数极值必要条件知, 由一元函数极值必要条件知
) 例如 z = −x2 + y2 (鞍形面
z
O
y
x
4
定理2 充分条件 充分条件) 定理 (充分条件 设函数 z = f ( x , y )在点( x 0 ,
y 0 )某邻域内
有一阶及二阶连续偏导,且 有一阶及二阶连续偏导 且 f x ( x 0 , y 0 ) = 0, f y ( x 0 , y 0 ) = 0 令 A = f xx ( x 0 , y 0 ), B = f xy ( x 0 , y 0 ), C = f yy ( x 0 , y 0 ) 时有极大值. A < 0 时有极大值 有极值, (1) 若 AC − B > 0,有极值 且 时有极小值. A > 0 时有极小值 (保证 、C同号的不等式 保证A、 同号的不等式 同号的不等式) 保证
1.定义 定义 设函数 z = f ( x , y )在点 P ( x 0 , y 0 )某邻域 内有定义, 内有定义 对于该邻域内异于点 P ( x 0 , y 0 ) 的任 意点 ( x , y ), 若恒有 1) f ( x , y ) < f ( x0 , y0 ), 则称该函数在点P处有极大值 则称该函数在点 处有极大值 f ( x 0 , y 0 ) 处有 2) f ( x , y ) > f ( x 0 , y0 ) 则称该函数在点P处有极小值 f ( x 0 , y 0 ) 则称该函数在点 处有极小值 处有 极大值与极小值统称为极值 极大值与极小值统称为极值. 极值
大学 多元函数的极值
为极小值.
二、最值应用问题
依据 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值
最值可疑点
驻点 边界上的最值点
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,
f (P ) 为极小(大) 值 f (P ) 为最小(大)值
例3.
某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水，问当长、宽、高
定理2 (充分条件) 若函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的
的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
f x ( x 0 , y 0 ) 0 , f y ( x 0 , y0 ) 0
令 A f x x ( x 0 , y0 ) , B f x y ( x 0 , y0 ) , C f y y ( x 0 , y0 )
设 F f ( x, y, z ) 1 ( x, y, z ) 2 ( x, y, z )
解方程组
可得到条件极值的可疑点 .
例5. 要设计一个容量为 V0 的长方体开口水箱, 试问
水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 则问题为求x , y , z 使在条件 x y z V0 下 水箱表面积： S 2( x z y z ) x y 最小. 令 F 2( x z y z ) x y ( x y z V0 )
3
2 3 2 2
3 2
时, 水箱所用材料最省.
例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成 一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面积最大？ 解: 设折起来的边长为 x cm, 倾角为 , 则断面面积为
1 2 2 2 24 x sin 2 x sin x cos sin ( 24 2 x 2 x cos
多元函数的极值及其求法
令 F ( x, y, z) xyz (2xy 2 yz 2xz a2 ),
Fx yz (2 y 2z) 0,
则
FFzy
xz (2x 2z) xy (2 y 2x)
0, 0,
2xy 2 yz 2xz a2 0.
f
y
(
x,
y)
y
(
x,
y)
0,
( x, y) 0.
解出 x, y, ，其中 x, y就是可能的极值点的坐标.
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：
要找函数 u f ( x, y, z, t ) 在条件 ( x, y, z, t ) 0， ( x, y, z, t ) 0 下的极值。
先构造函数（其中1, 2 均为常数） F ( x, y, z, t) f ( x, y, z, t ) 1 ( x, y, z, t ) 2 ( x, y, z, t )
求解方程组
Fx ( x, y, z, t) 0,
F
y
(
x,
y,
z
,
t
)
0,
Fz ( x, y, z, t ) 0, Ft ( x, y, z, t ) 0,
则
Fx Fy Fz
3x 2x x3
2y2z 0 3 yz 0 y2 0
3x2 y2z ,
2x3 yz x3 y2 ,
,
(1) ( 2) ( 3)
x
y
z
(同济大学)高等数学课件D8_8极值与最值
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如求二元函数 z = f (x, y)在条件 (x, y) = 0下的极值, 设拉格朗日函数 F = f (x, y) + λ(x, y) 解方程组 3. 函数的最值问题 第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) 第二步 判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值
故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为 R2 2π 3 3 2 Smax = 3sin = R . 2 3 4
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xz y
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2. 求平面上以 a, b, c, d 为边的面积最大的四边形 , 试列出其目标函数和约束条件 ? 提示: 提示
a α
d
b
1 1 目标函数 : S = absinα + cd sin β 2 2 ( 0 <α < π , 0 < β < π )
第八节 多元函数的极值及其求法
一,多元函数的极值 二,最值应用问题 三,条件极值
第八章
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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一, 多元函数的极值
定义: 定义 若函数 的某邻域内有
则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值.
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4
z
y
内容小结
1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 z = f (x, y), 即解方程组
同济第五版高数下册答案
高等数学同步练习第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念1. 求定义域(1){(x,y ) 1xy e e≤≤}；(2)},122),{(22N k k y x k y x ∈+≤+≤； (3){(x,y,z )22219x y z <++≤}.2.求极限(1)001)2x y →→=;(2)0 ;(3)22222002sin2lim 0()xyx y x y x y e →→+=+; (4)20sin cos lim.2x y xy xyx xy →→=.3.判断下列极限是否存在，若存在，求出极限值(1)沿直线y=kx 趋于点（0，0）时，2222222201lim 1x x k x k x k x k→--=++,不存在; (2)沿直线y =0,极限为1；沿曲线y,极限为0，不存在 ;(3)222222221100x y x y x y x y x y x y x y x y+≤≤+≤+=+→+++.极限为0 .4.因当220x y +≠时，2222220.x y x y y x y x y ≤=≤++, 所以0lim (,)0(0,0)x y f x y f →→==，故连续.1. 求下列函数的偏导数(1)2(1).2(1)xy y y xy +=+; 2x (1+xy ); (2)yz cos(xyz )+2xy ; xz cos(xyz )+2x ; (3)22()1()x y x y -+- , 22()1()x y x y --+-. 2.6π.3.11(11xy y =+-==. 4.1222222222222222222222222222221ln()ln(),212.,2()2,()()()z x y x y z x x x x y x y z x y x x y x x y x y z y x y x y -=+=-+∂=-=-∂++∂+--=-=∂++∂-=∂+5.22002202010sin,lim (,)0(0,0),1sin00lim 10sin 00(0,0)lim 0x y x y x x x yf x y f x f x x xf y y y→→∆→∆→≤≤+==∆-∂∆+=∂∆-∂+∆==∂∆g 因为所以连续.（0，0），不存在，.1. 求下列函数的全微分 解：(1)21z z dz dx dy x y x ∂∂=+∂∂-=+=.(2)1ln ln yz yz yz u u u du dx dy dz x y zyzx dx zx xdy yx xdz -∂∂∂=++∂∂∂=++.2.解：33222222220033332222(0,0)0033322322200,(,)(0,0)lim (,)0(0,0),000000(0,0)lim 1,lim 11x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y f x y f y x yx f f x y x y x x y x y y x y z x y →→∆→∆→+≤=+≤+→→+++==+∆∆+--+∆∆+====∆∆∆+∆∆+∆∆+∆∆+∆-∆∆∆==∆+∆.所以连续.两个偏导数都存在，为222222211(0,0)0,.x y x y x yx y x y x y y x ρρ→→-∆∆∆∆+∆∆=∆+∆-∆+∆∆+∆=→==≠g g 当沿时，故不可微第四节 1.解：322235221''(1)22323(21)(5456)1(2)1(3)()ln()v vdzuv w u v w x u v x x x xdxdzdx xdz z du z duvu f x u u g xdx u dx v dx-=⋅+⋅+⋅=++-===+∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂...2.解：(1)222221121(arctan ln21()uxy xy vz z x z y u uvye xe e u vuu x u y u u v u v vv∂∂∂∂∂=+=⋅⋅+⋅=+∂∂∂∂∂+++.221(arctanuvz z x z y ue u vv x v y v u v v∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂+.(2)'''()(1)()()()uf x xy xyz y yzxuf x xy xyz x xzyuf x xy xyz xyz∂=++++∂∂=+++∂∂=++⋅∂3. 解：''''1212.z z zf a f b f ft x yz z za bt x y∂∂∂=⋅+⋅==∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂，，，所以，4. 解：'222'222''2222''22''22()22(()2())2()24()zf x y xxzf x y x f x yxzx f x y y xyf x yx y∂=+⋅∂∂=+++∂∂=⋅+⋅=+∂∂第五节1.解：令(,,)sin()01cos()1cos()1cos()1cos()x z y z F x y z x y z xyz F z yz xyz x F xy xyz F z xz xyz y F xy xyz =++-=∂-=-=-∂-∂-=-=-∂- 2. .解：令22222222(0,0,1)2(,,)10()|1x z F x y z x y z F z x x F z z xz x z x zx z x z zzx=++-=∂=-=-∂∂-⋅--∂∂=-=-∂∂=-∂ 3.证明：''11''''1212'1''12()().x z c c zx a b a b c z y a b z zab C x yφφφφφφφφφφφ⋅⋅∂=-=-=∂-+-+⋅∂=∂+∂∂+=∂∂所以6.（1）解：方程两边对y 求导，得：222460222642146212622242(62)(62)2(61)(61)22(61)61dz dxx ydy dy dx dz x y z dydy dx dz x y dy dy dx dz x z y dy dyy y z x x zx yx ydx y z y z dyx z x z dz y dy x z z =+++=-=-+=-------⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩-++===-++-==++（3）''12''12()(1)2u u v f u x f x x x v u vg g vy x xx ∂∂∂=⋅++⋅∂∂∂∂∂∂=⋅-+⋅⋅∂∂∂⎧⎨⎩'''121'''121''12'''''''1212121''''''''21212112''12''11''11'''''212121(1)(21)212221121122u v xf f uf x x u v g vyg g x xuf f g vyg uvyf g uf f g u x vyg vxyf g xf f g xf f g vyg xf uf g g uy vyg vxyf g xf f g ∂∂-⋅-=∂∂∂∂+-=∂∂---+∂==∂-++-----∂=∂-++'''''11111'''''''2121211221g xf g uf g vyg vxyf g xf f g --=--++-7.证明：x t dy f dx f dt =+ →x tdy dtf f dx dx=+ ① 0x y t dF F dx F dy F dt =++= → x y tF dx F dydt F +=-→y x t t F F dtdy dx F F dx=--⋅ ② ②代入①，得：()(1)y x x t t t t y t x x t tt t y x t t xt t x t t x t t yF F dydy f f dx F F dx f F f Fdy f F dx F F f F f F f F dy F dx F f F f F dy dx F f F =+--⋅+=-+-⋅=-∴=+第六节 多元函数微分学的几何应用1．解：切向量),cos ,sin (=b t a t a T 。
多元函数极值和最值知乎
多元函数极值和最值
多元函数的极值和最值是在数学中研究多元函数的重要概念。
在多元函数中，有多个自变量，因此需要使用多元微积分的方法来求解极值和最值。
以下是对多元函数极值和最值的基本概念和求解方法的解释：
1.极值：在多元函数中，极值是指函数取得的最大值或最小
值。
极大值是函数取得的最大值，极小值是函数取得的最
小值。
极值点是函数极值所对应的自变量的取值。
在数学
中，通过求解函数的偏导数或海森矩阵，可以找到函数的
极值点。
2.最值：最大值是函数取得的最大值，最小值是函数取得的
最小值。
最值点是函数最值所对应的自变量的取值。
在多
元函数中，求解最值需要考虑函数的取值范围和约束条件。
求解多元函数的极值和最值通常需要以下步骤：
a. 求解函数的偏导数：对于多变量函数，需要求取每个自变量的偏导数，然后令其等于零，得到极值点的一组可能解。
b. 检查偏导数的零点：对于求得的极值点，需要检查哪些是临界点，即是否是真正的极值点。
这可以通过进行二阶偏导数测试或观察局部整体性质进行判断。
c. 检查边界条件：如果多元函数的定义域是有界的，需要检查定义域的边界上是否存在可能的极值点。
d. 比较和确定最大值和最小值：通过比较各个候选的极值
点的函数值，确定多元函数的最大值和最小值。
需要注意的是，求解多元函数的极值和最值是一个复杂的过程，并且在实践中可能会遇到各种难题。
合理使用数学工具和技巧，以及仔细分析问题的特性和约束条件，能够有效地求解多元函数的极值和最值。
大学高等数学课件——8-8多元函数的极值及其求法
1 1 1 1 , ) 和( , ) , 得驻点( 2 2 2 2
x y 0 因为lim 2 2 x x y 1 y
即边界上的值为零.
1 1 1 z( , ) , 2 2 2
1 1 1 z( , ) , 2 2 2
1 1 所以最大值为 ，最小值为 . 2 2
3 2
解得唯一驻点(6,4,2) ，
故最大值为 umax 6 4 2 6912.
x y z 例 8 在第一卦限内作椭球面 2 2 2 1 的 a b c
切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体 体积最小，求切点坐标.
2
2
2
解 设 P ( x 0 , y0 , z 0 ) 为椭球面上一点,
f x ( x , y ) x ( x , y ) 0, f y ( x , y ) y ( x , y ) 0, ( x , y ) 0. 解出 x , y , ，其中x, y 就是可能的极值点的坐标.
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况： 要找函数u f ( x , y , z , t ) 在条件 ( x , y , z , t ) 0 ， ( x , y , z , t ) 0 下的极值， 先构造函数F ( x , y , z , t ) f ( x , y , z , t ) 1 ( x , y , z , t ) 2 ( x , y , z , t ) 其中1 , 2 均为常数，可由 偏导数为零及条件解出 x , y , z , t ，即得极值点的坐标.
得区域D 内唯一驻点( 2,1) , 且 f ( 2,1) 4 ,
再求 f ( x , y ) 在D 边界上的最值， 在边界 x 0 和 y 0 上 f ( x , y ) 0 ,
高等数学 8-8.多元函数的极值及求法
条件最值的求法：找出Langrange函数的所有驻点 与不可导点，及边界上的驻点与不可导点.
例7
将正数 12 分成三个正数x, y, z 之和 使得 3 2 u = x y z 为最大.
2
′ 由 f x = 4 x ( x − 6) + 2 x = 0 ,
2
得 x1 = 0, x2 = 4
f (4,2) = −64,
为最大值, 比较后可知 f (2,1) = 4为最大值
y
x+ y=6
D
为最小值. f (4,2) = −64为最小值
o
x
x+ y 的最大值和最小值. 例 6 求z = 2 的最大值和最小值 2 x + y +1
仿照一元函数， 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时 为零的点，均称为函数的驻点 驻点. 为零的点，均称为函数的驻点 注 意： 驻点 (可导的 极值点 可导的)极值点 可导的
例如, 点( 0,0) 是函数 z = xy 的驻点, 例如 的驻点 但不是极值点. 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
由此构造三元函数
F ( x , y , λ ) = f ( x , y ) + λϕ ( x , y ) )为 易知点(x0 ,y0 ,λ0 )为F ( x, y, λ )的驻点.
称F ( x, y, λ )为条件极值的Langrange函数.
拉格朗日乘数法 要找函数 z = f ( x , y ) 在条件ϕ ( x , y ) = 0 下的 可能极值点， 可能极值点，先构造函数
课件8-8多元函数的极值资料
（1）当AC B2 0时具有极值
当A 0时,有极大值, 当A 0时,有极小值; （2）当AC B2 0时没有极值；
（3）当AC B2 0 时，可能有极值,也可能
没有极值，还需另作讨论．
例4 求函数 的极值.
0，
解得 x 4.85, y 4.46
根据题意可知,最大值一定存在, 并在开区域
D ( x, y) x 2, y 3 内取得，又函数在D内
只有唯一驻点(4.85,4.46), 因此可断定本地的
饮料价格约定为4.85元,外地的约为4.46元时，
收益最大.
三、条件极值及拉格朗日乘数法
与一元函数相类似,我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值.
求最值的一般方法： 将函数在D内的所有驻点处的函数值及 在D 的边界上的最大值和最小值相互比较, 其中最大者即为最大值,最小者即为最小值.
例5 求二元函数z f ( x, y) x2 y(4 x y)
在直线 x y 6，x轴和y轴所围成的闭区
在D内驻点处 f (2,1) 4，
在边界 x 0和 y 0上, f ( x, y) 0,
在边界x y 6上，f (4,2) 64,
y
比较函数值后可知：
x y6
D (4,2)
f (2,1) 4为最大值,
(2,1)
o
x
f (4,2) 64为最小值.
例6 某商店卖两种牌子的果汁,本地牌子每瓶
在边界x y 6上，即 y 6 x y
于是 f ( x, y) x2(6 x)(2), 由 fx 4x( x 6) 2x2 0,
多元函数的极值
x = 2cost π 例 1．求螺旋线 y = 2sint 上对应于 t = 的点 M 处 ． 4 z= 2 t
的切线与法平面方程. 的切线与法平面方程
π 解：当 t = 时，得对应点 M ( 2 , 4
2 2, π ). 4
∵ x′( t )= −2sin t ， y′( t )= 2cost ， z ′( t ) = 2 ，
F ( x , y , z ) = f ( x , y ) − z ，则 Σ 在点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 处的 r 法向量 n = { f x ( x 0 , y 0 ), f y ( x 0 , y 0 ), − 1} ，故
切平面方程为
z − z0 = f x ( x0 , y0 )(x − x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y − y0 ).
的方向余弦. 其中 cosα , cos β 为 l 的方向余弦.
例 1．求函数 f ( x , y ) = xe 2 y 在点 P (1, 0) 沿方向 ． v v v l = i − j 的方向导数.
解： f x ( x , y ) = e
2y
,
f y ( x , y ) = 2 xe
2y
,
f x (1,0) = 1, f y (1,0) = 2, r l 2 2 0 l = r ={ , − }, 2 2 l
法线方程为
x − x0 y − y0 z − z0 . = = f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) −1
例 4 . 求圆锥面 z =
x 2 + y 2 在点 M ( 3 , 4 , 5 ) 处的
切平面与法线的方程 .
多元函数的极值及其求法
解 fx(x, y) 3x2 3 y, f y(x, y) 3 y2 3x.
求解方程组：
3 3
x2 y2
3 3
y x
0, 0.
x2
y
2
y, x.
得驻点 (0, 0), (1, 1).
f xx ( x, y) 6x, f xy ( x, y) 3, f yy ( x, y) 6 y. 在 (0, 0) 处, A f xx (0,0) 0, B f xy (0,0) 3,
22
22
因为
lim
x
x2
x y y2 1
0
y
即边界上的值为零.
因为
Hale Waihona Puke limx x2
x y y2 1
0
y
即边界上的值为零.
z( 1 , 1 ) 1 , z( 1 , 1 ) 1 ,
22 2
22
2
所以最大值为 1 ，最小值为 1 .
2
2
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外， 并无其他条件.
(2)
在 (0,0) 处有极大值．
例３ 函数 z xy
在 (0,0) 处无极值．
(3)
2、多元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0, y0 )具有偏导数，且在 点( x0, y0 )处有极值，则它在该点的偏导数必然 为零： f x ( x0 , y0 ) 0， f y ( x0 , y0 ) 0.
f
y
(
x,
y)
高数第八节 多元函数极值
A fx x 6 x 6, B fx y 0, C f y y 6 6 y, AC B2 36(1 x)(1 y)
（3）对每一个驻点，判断 AC B2 的符号
( AC B2 ) |(1,2) ( AC B2 ) |(3,0) 72 0
• 求可微函数最大值和最小值的一般方法： （1）求函数在 D 内的所有驻点；
（2）求函数在 D 的边界上的最大值和最小值；
（3）将函数在所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的 最大值和最小值相比较，最大者就是函数在 D 上 的最大值，最小者就是最小值。
• 在实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数的最 大或最小值存在且一定在 D 的内部取得，而函数在 D 内只有一个驻点，则该驻点就是函数在 D 上的最大或 最小值点。
面的面积最大？
解： A (sin cos 2sin )x2 24x sin
D : 0 x 12, 0
2
Ax 2(sin cos 2sin )x 24sin 0
A (cos2
sin2
2cos )x2
24xcos
0
注意到 x 0, sin 0 得唯一驻点
x 8, , A(8, ) 48 3 ,
第八节： 多元函数的极值
一元函数 y = f (x) 的极值概念：
y
y f (x)
0
x1 x1 x1 x2
x
x U ( x1, ) ( x1 , x1) ( x1 , x1 )
总有 f ( x) f ( x1) , x1 称为极小值点 ,
f (x1) 称为极小值 ,
（1）极值是一个局部概念，它只是对极值点邻 近范围的所有点的函数值进行比较。
人大微积分课件88多元函数的极值与最值
22
因为
lim x y 0
x y
x2
y2
1
即边界上的值为零.
z( 1 , 1 ) 1 , z( 1 , 1 ) 1 ,
22 2
22
2
所以最大值为 1 ，最小值为 1
2
2
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，
并无其他条件.
例7 某厂要用铁板做成一个体积为2的有盖长方 体水箱，问长宽高各取怎样的尺寸时，才能 使用料最省？
x 3 2, y 3 2 时，A取得最小值，
就是说，当水箱的长、宽、高均为 3 2, 3 2, 3 2 时， 水箱所用的材料最省。
二、条件极值、拉格朗日乘数法
实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两 种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他
购买 x 张磁盘，y 盒录音磁带达到最佳效果， 效果函数为 U ( x, y) ln x ln y
求最值的一般方法：
1）将函数在D内的所有驻点处的函数值 2）求D的边界上的最大值和最小值
3）相互比较函数值的大小，其中最大者 即为最大值，最小者即为最小值.
例 5 求二元函数 z f (x, y) x2 y(4 x y) 在直线 x y 6，x轴和 y轴所围成的闭区域 D
上的最大值与最小值.
设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何 分配这200元以达到最佳效果．
问题的实质：求 U ( x, y) ln x ln y 在条件 8x 10 y 200 下的极值点．
无条件极值：对自变量除有定义域限制外， 无任何其它条件限制的极值．
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉格朗日乘数法
要找函数z f ( x, y)在条件 ( x, y) 0下的
8.8多元函数的极值
Lx Ly 0 驻点(0.75,1.25)
L=39.25
(注意此例不能肯定最大值在定义域内部达到)
需要讨论R在边界y = 0和x =0的情况
y=0上 289/8 x=0上 1561/40
乐经良
例 某种金属棒的长度随着温度变化，现 测得一组数据如下表
t (℃) l（mm）
20 1000.36
30 1000.53
i1
的最小值确定f 中的待定常数
最小二乘法
乐经良
设 l a bt ，那么引进
驻点满足
5
Q(a, b) (li (a bti )) 2 i 1
Q
5
a
2 (li
i 1
a bti ) 0
Q
5
b
2 (li
i1
a bti )ti
0
从中可解出a,b的值，从而得到函数 l a bt
Chap8 ―8
多元函数的极值
上海交大乐经良
8.8.1 二元函数的Taylor公式
函数f(x,y)在P0(x0,y0)的邻域有n+1阶连续偏导数 设函数
F (t) f (x0 tx, y0 ty) t [0, 1]
将此函数用Taylor公式展开且取t=1,得到
f
(x0
x, y0
y)
n k 0
二. 极值的必要条件
f(x,y)在P0(x0,y0)处取得极值，且f 可微，则
f x (x0 , y0 ) f y (x0 , y0 ) 0
（满足此式的 点称驻点）
乐经良
注意 驻点未必是极值点 例 考察函数 f (x, y) x在y (0,0)的情况
三. 极值的充分条件
函数在点P0(x0,y0)的邻域内有连续的二阶 偏导数， f x (x0 , y0 ) f y (x0 , y0 ) 0, 记