化工原理 伯努利方程

伯努利方程

流体宏观运动机械能守恒原理的数学表达式。1738年瑞士数学家D.伯努利在《水动力学──关于流体中力和运动的说明》中提出了这一方程。它可由理想流体运动方程（即欧拉方程）在定态流动条件下沿流线积分得出；也可由热力学第一定律导出。它是一维流动问题中的一个主要关系式，在分析不可压缩流体的定态流动时十分重要，常用于确定流动过程中速度和压力之间的相互关系。

方程的形式 对于不可压缩的理想流体，密度不随压力而变化，可得：

Zg+2

2

u P +ρ＝常数

式中Z 为距离基准面的高度;P 为静压力;u 为流体速度;ρ为流体密度;g 为重力加速度。方程中的每一项均为单位质量流体所具有的机械能，其单位为N ·m/kg ，式中左侧三项，依次称为位能项、静压能项和动能项。方程表明三种能量可以相互转换，但总和不变。当流体在水平管道中流动时Z 不变，上式可简化为：

ρ

P

u +22＝常数 此式表述了流速与压力之间的关系:流速大处压力小,流速小处压力大。 对于单位重量流体,取管道的1、2两截面为基准,则方程的形式成为：

g

u g P Z g u g P Z 2222

2

22111++=++ρρ 式中每一项均为单位重量流体的能量，具有长度的因次，三项依次称为位头、静压头和动压头（速

度头）。

对于可压缩理想流体，密度随压力而变化。若这一变化是可逆等温过程，则方程可写成下式：

121

12

22211ln 22P P

P u gZ u gZ ρ++=+

若为可逆绝热过程，方程可写为：

121

1222211ln 22P P

P u gZ u gZ ρ++=+

式中γ为定压比热容Cp 和定容比热容Cv 之比，即比热容比，也称为绝热指数。

对于粘性流体，流动截面上存在着速度分布，如用平均流速u 表达动能项，应对其乘以动能校正系数d ο。此外,还需考虑因粘性引起的流动阻力,即造成单位质量流体的机械能损失h f ，

若在流体流动过程中，单位质量流体又接受了流体输送机械所做的功W ，在这些条件下,若取处于均匀流段的两截面1和2为基准，则方程可扩充为：

α值可由速度分布计算而得, 流体在圆管内作层流流动时α=2；作湍流流动时，α≈1.06。 方程的应用 伯努利方程阐明的位能、动能、静压能相互转换的原理，可用来分析计算一些实际问题，例如：

①计算流体从小孔流出的流速 设在容器中盛有液体，液面维持不变,距液面下h 处的容器壁面上开有一小孔，液体在重力作用下自小孔流出。据伯努利方程可以计算出液体由小孔流出时的平均流速为：

gh Cd u 2=

式中C d 为孔流系数，其值由实验确定，约为0.61～0.62；g 为重力加速度。由上述速度及已知的小孔面积,可算出通过小孔的流量；或由这一关系，计算确定达到一定流量所必须维持的液面

高度。若气体在一定压力差作用下由容器壁上的小孔流出，当速度不过大时，可视为不可压缩流体，其流量也可以利用伯努利方程来估计。

②毕托管 设均匀气流以等速u

0绕过某物体流动，气流受阻后在物体前缘（A 处）停滞，形成驻点（图1驻点），该点处的压力称为驻点压力p A 。若未受扰动的某点O 压力为p o ，由伯努利方程可得

测出p A 与p o 的差值, 即可算出流速u

0。据此原理计设的测速装置，称测速器,又称毕托管。毕

托管（图2毕托管结构）由一个圆头的双层套管组成，在圆头中心处开有与内套管相连的小孔,内套管与测压计的一头联接,以测定驻点压力p A ；在外套管侧表面一定距离处，沿周向均匀地开一排与管壁垂直的静压孔，外套管与测压计的另一头相联，以测定压力

p 0。根据测得的压力差

h,可计算测点处的流速。

③文丘里管 又称文氏管(图3 文丘里管)，是一种先收缩而后逐渐扩大的管道。由于截面积有变化，流速改变，根据伯努利方程，压力也随之改变。量出管前与喉管处的压力差，即可推算流量。用于测量流量的文丘里管，称文丘里流量计。又由于文丘里管喉部形成高速气流，会产生负压而抽吸液体，使气液密切接触，用于完成气体的洗涤、冷却、吸收和反应等操作。用于这类操作的文丘里管称为文丘里洗涤器。

关于伯努利方程

1.伯努利其人

1700年1月29日，伯努利出生于瑞士．他不仅是一位物理学家，还是一位数学家．18世纪40年代末，他出版了著名的著作《流体力学》一书，书中用能量守恒定律解决流体的流动问题，他分析流体流动时压强和流速的关系并得出方程，这就是后来以他的名字命名的伯努利方程，书中伯努利还明确叙述了分子动理论，认为气体作用在器壁上的压力可以用大量的分子快速来回运动来解释，他还发表了海水潮汐.弦振动问题等论文，在有关微积分、微元方程和概率论等数学方面，他也做出了卓越的贡献，在1725～1749年期间，伯努利曾十次荣获法国科学院年度奖．

伯努利通过实验得出：理想流体在做稳定流动时，流速大的地方压强小，流速小的地方压强大(但并非反比关系)，其数学表达式为

p +ρv ２／２＋ρgh ＝恒量 这就是著名的伯努利方程.

2.利用伯努利方程来解决实际问题 (1)确定静止液面下深度为h 处的压强

如右图所示，在装有液体的容器里取液面上的点A 和在液面下深h 处的点B 来研究，以点B 处的水平面作为零(势能)参考面，则

h Ａ＝ｈ1，ｈB ＝０，ｐA ＝ｐ0

又因液体静止v 1＝ｖ2＝０，代入伯努利方程得 p Ｂ＝ｐA ＋ρgh ＝ｐ0＋ρgh

(2)求液体从小孔中流出的流速

设在液面下深为h 的容器壁上有一小孔，液体从小孔中流出，取在液面上点A 和小孔处点B 来研究，因为容器的截面比小孔的截面大得多，所以容器中水面的下降很慢，点A 处的液体微粒的流速可以不计，即v A ＝０，以B 点处高度为零，则h A ＝ｈ，ｈB ＝０，点A 、B 处与大气接触，所以p A ＝ｐB ＝ｐ