方差的性质

由方差的定义,可以得到方差的基本性质(假定所遇到的方差都存在, 其中c, k为常数).

性质1.D(c)=0；

性质2.D(cξ)=c2D(ξ)；

特别地，当c =-1时D(-ξ)=D(ξ)；

性质3.D(ξ+c)= D(ξ)；

性质4.D(kξ+c)= k2D(ξ)；

性质5.若ξ, η相互独立, 则

D(ξ+η)=D(ξ)+D(η)．

注．若一个随机变量的取值不影响另一随机变量的取值，则称两个随机变量是相互独立的．本课程略去了关于随机变量相互独立的严格数学描述．

例3.5.13. 设离散型随机变量X具有概率分布律

X-2 -1 0 1 2 3

P(X=x k) 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1

求E(X), D(X), D(2X+3).

解.由离散型随机变量的数学期望的定义得

E(X)=(-2)×0.1+(-1)×0.2+0×0.2+1×0.3+2×0.1+3×0.1

=0.4；

E(X2)=(-2)2×0.1+(-1)2×0.2+02×0.2+12×0.3+22×0.1+32×0.1

=2.2；

再由方差计算公式

D(X)=E(X2)-(E(X))2

=2.2-0.42=2.04；

∴D(2X+3)=4D(X)=4×2.04=8.16 .

例3.5.14 设连续型随机变量X具有概率密度：

求(1)常数A；(2)D(-X-2).

解. (1)根据密度函数的性质

∴

计算上述积分,可得A=e/2.

(2)要求方差,首先要求数学期望.

∴D(X)=E(X2)-(E(X))2

=11/4-16/9=35/36 ；

D(-X-2)=D(X)=35/36