方差的性质

9
一般地，一般地，
若 i ~ N(µi ,σi2 ), i =1 2,L , 且互立则 X , n 相独，
C1X1 +C2 X2 +L+Cn Xn +C ~ N∑Ciµi +C, i=1
n
∑C σ . i=1
n 2 2 i i
这， 1,C2,L Cn是全 0 常。里 C , 不为的数
i=1 i =1 i =1 j≠i n n n n
2
性质4: 若随机变量性质若随机变量X1, X2, …, Xn相互独立，相互独立，则
Var( X1 + L+ X n ) = Var( X1 ) + L+ Var( X n )
n＝2时由于＝时由于 Var(X±Y)= Var(X) +Var(Y) ±2E(X-EX)(Y-EY) ± 独立，若X, Y 独立，则 Var(X±Y)= Var(X) +Var(Y) ±
23
例9. 设 ( X ,Y ) ~ N ( µ1, σ12,µ2,σ22,ρ), 求 ρXY 解: cov( X,Y) = ∫−∞ ∫−∞(x − µ1)( y − µ2) f (x, y)dxdy
x−µ1 令 =s
+∞ +∞
σ1 y−µ2 =t σ2
+∞ +∞ σ1σ2 = ∫−∞ ∫−∞ ste 2π 1− ρ2
E | X | = ∫ | x | f (x)dx≥ ∫ | x | f (x)dx+ ∫ | x |α f (x)dx
−∞ −ε −∞
α
α
α
ε
≥ ∫ ε f (x)dx+ ∫ ε f (x)dx

方差的性质(经典实用)

方差的性质（经典实用）方差是一个定量描述数据变异性的数据，原本它有一丛经典实用的性质，可以帮助我们理解观测数据的分布情况。

首先，方差不改变绝对值：方差是数据相对于其数学期望之间的偏差平方值度量，它并不改变绝对值，我们可以把它表示成一个新的集合，而不管原始数据的绝对值是多少。

比如，原始数据集 {1,2,3,4} 的数学期望是2.5，这时我们可以把数据变换成新的集合{-1.5,-0.5,+0.5,+1.5}，同样的偏差平方值（方差）都是2.5。

其次，方差以均方差形式表示：方差就是数据集中每个数据与数学期望之差的平方和，它可以用均方差来表示，这样就可以把一组数据（比如，测量一个产品的能耗）变换成一个数字，更加容易理解，方便与其他数据进行比较。

第三，方差描述了变量的变异性：方差描述了一组数据的变异性，更大的方差表明这组数据波动性更大。

例如，如果我们测量一组西瓜的重量，如果方差很小，表明这一组西瓜大小比较接近，如果方差很大，表明这一组西瓜大小波动性很大。

第四，方差可以用来分析数据间的关联：如果某一组数据和另外一组数据呈现高度关联，那么方差往往会很小。

例如，如果对一组身高和体重的样本进行计算，如果发现两个变量的方差很小，这表明身高和体重之间存在较强的相关性。

此外，方差也可以帮助我们检测某一变量是否因为与另一变量之间存在关联所造成的波动性太大。

另外，方差也可以用于协方差来比较和分类两组数据的差异，协方差是两变量之间的方差，表示的是同时变动的趋势的程度，它的绝对值越大，说明两个变量变化的趋势越相关，如果它的绝对值较小，说明两个变量之间的关联越弱。

总而言之，方差的经典实用的特性让它成为理解数据变异性以及研究变量相关性的重要手段。

它可以帮助我们对数据进行更深入的分析，从而更好地发现规律、进行预测以及分析关联性。

高中方差知识点总结

高中方差知识点总结一、方差的定义方差是用来衡量数据偏离其平均值的程度的统计量。

它是各个数据与其均值之间差值的平方的平均值。

对于一组数据集合X={x1,x2,x3,...,xn}，其均值为μ，则方差的计算公式为：\[S^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2\]其中，S^2表示方差，n表示数据的个数，xi表示第i个数据，μ表示数据的平均值。

方差的单位是原数据单位的平方，它的值越大表示数据的变异程度越大，反之亦然。

二、方差的性质1. 方差永远大于0方差是各个数据与其均值之间差值的平方的平均值，所以方差永远大于等于0。

当方差等于0时，表示数据集合中的所有数值都等于其均值，即数据没有任何偏离。

2. 方差的大小决定了数据的分散程度方差的值越大表示数据偏离均值的程度越大，数据的分散程度越大；而方差的值越小表示数据偏离均值的程度越小，数据的集中程度越大。

3. 方差与原数据单位相关方差是原数据单位的平方，所以在比较不同数据集合的方差时，应当考虑数据单位的影响。

通常情况下，可以使用标准差来度量数据的变异程度，它是方差的平方根，单位与原数据一致。

三、方差的应用1. 评价数据集的稳定性方差可以用来评价数据集的稳定性，当数据的方差较小时，表示数据的稳定程度较高，反之较低。

2. 比较不同数据集的分散程度方差可以用来比较不同数据集的分散程度，当数据的方差较大时，表示数据的分散程度较高，反之较低。

3. 帮助进行统计推断在统计推断中，方差可以用来帮助进行假设检验和置信区间估计，它是许多统计量的基础。

四、方差的计算在实际应用中，方差的计算可以分为两种情况：总体方差和样本方差。

1. 总体方差的计算总体方差的计算公式是：\[σ^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - μ)^2\]其中，σ^2表示总体方差，N表示总体的数据个数，xi表示第i个数据，μ表示总体的平均值。

随机变量方差的定义及性质

方差与期望值的离散程度有关。如果一个随机变量的取值比较离散，即取值比较分散，那么其方差就比较大；如果一个随机变量的取值比较集中，即取值比较接近期望值，那么其方差就比较小。
02
CATALOGUE
方差的性质
方差的非负性
总结词
方差具有非负性，即对于任何随机变量X，其方差Var(X)总是非负的。
详细描述
方差的独立性
要点一
总结词
如果两个随机变量X和Y是独立的，那么Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)。
要点二
详细描述
这是方差的一个重要性质，表明如果两个随机变量相互独立，那么它们的和的方差等于它们各自方差的和。这个性质在概率论和统计学中非常重要，因为它允许我们通过独立随机变量的方差来计算复合随机变量的方差。
度。
方差主要关注数据点的离散程度，而峰态则关注数据点的集中趋
势。
如果数据分布更加尖锐，即数据点更加集中在平均值附近，则方差可能会减小，因为数据点之间
的差异较小。
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方差还可以表示为
Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2。这个公式可以用来计算方差，其中E(X^2)表示随机变量X的平方的期望值，E(X)表示随机变量X的期望值。
方差与期望值的关系
方差的大小与期望值有关。如果一个随机变量的期望值越大，其方差也越大；如果一个随机变量的期望值越小，其方差也越小。
03
CATALOGUE
方差的应用
方差在统计学中的应用
描述数据分散程度
方差是衡量随机变量取值分散程度的量，用于描述数据的离散程度。
检验假设
在统计学中，方差分析（ANOVA）等方法用于检验多个总体均值是否相等，从而判断假设是否成立。

方差的无偏估计量

方差的无偏估计量一、引言方差是统计学中非常重要的一个概念，它用来衡量一组数据的离散程度。

在实际应用中，我们经常需要对样本方差进行估计，以便推断总体方差。

然而，样本方差的估计存在偏差问题，因此需要使用无偏估计量来解决这个问题。

二、方差的定义和性质1. 方差的定义：方差是指随机变量与其数学期望之间差的平方值的期望值。

2. 方差的性质：（1）非负性：方差始终大于等于0。

（2）可加性：若X和Y是独立随机变量，则Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)。

（3）线性性：对于任意常数a和b，有Var(aX+b)=a^2Var(X)。

（4）标准化：将随机变量X减去其数学期望后再除以标准差，则新变量具有均值为0、方差为1的标准正态分布。

三、样本方差和总体方差1. 样本方差：样本方差是指抽取n个样本后，根据这些样本计算出来的离散程度。

公式为S^2=∑(X_i-X_bar)^2/(n-1)，其中X_i表示第i 个样本值，X_bar表示样本均值。

2. 总体方差：总体方差是指所有可能的样本中，每个样本的方差的平均值。

公式为σ^2=∑(X_i-μ)^2/N，其中X_i表示第i个样本值，μ表示总体均值，N表示总体大小。

三、样本方差估计的偏差问题1. 样本方差的无偏估计量：在计算样本方差时，我们通常使用S^2=∑(X_i-X_bar)^2/n来估计总体方差σ^2。

然而，这种估计存在偏差问题，即E(S^2)≠σ^2。

因此需要使用无偏估计量来解决这个问题。

无偏估计量是指期望等于被估计参数真实值的统计量。

2. 样本方差无偏估计量的推导：设S_n^2=∑(X_i-X_bar)^2/(n-1)为样本方差的无偏估计量，则有E(S_n^2)=σ^2。

证明如下：E(S_n^2)=E[∑(X_i-X_bar)^2/(n-1)]=E[∑((X_i-μ)-(X_bar-μ))^2/(n-1)]=E[∑((X_i-μ)^2+(X_bar-μ)^2-2(X_i-μ)(X_bar-μ))/(n-1)]=E[∑(X_i-μ)^2/(n-1)+(X_bar-μ)^2]=E[∑(X_i-μ)^2/(n-1)]+E[(X_bar-μ)^2]=σ^2+(σ^2/n)=(n-1)/n*σ^2因此，S_n^2是样本方差的无偏估计量。

总结归纳方差的性质

总结归纳⽅差的性质总结归纳⽅差的性质⽅差是在概率论和统计⽅差衡量随机变量或⼀组数据时离散程度的度量。

概率论中⽅差⽤来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。

统计中的⽅差（样本⽅差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平⽅值的平均数。

在许多实际问题中，研究⽅差即偏离程度有着重要意义。

以下是⼩编整理的总结归纳⽅差的性质，⼀起来看看吧。

总结归纳⽅差的性质篇1 ⼀.⽅差的概念与计算公式例1 两⼈的5次测验成绩如下： X： 50，100，100，60，50 E(X )=72; Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y )=72。

平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离⼤。

⽅差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。

单个偏离是消除符号影响⽅差即偏离平⽅的均值，记为D(X )：直接计算公式分离散型和连续型，具体为：这⾥是⼀个数。

推导另⼀种计算公式得到：“⽅差等于平⽅的均值减去均值的平⽅”。

其中，分别为离散型和连续型计算公式。

称为标准差或均⽅差，⽅差描述波动⼆.⽅差的性质 1.设C为常数，则D(C) = 0(常数⽆波动); 2. D(CX )=C2 D(X ) (常数平⽅提取); 证：特别地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )(⽅差⽆负值) 特别地独⽴前提的逐项求和，可推⼴到有限项。

⽅差公式：平均数：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n (n表⽰这组数据个数，x1、x2、x3……xn表⽰这组数据具体数值) ⽅差公式：S=〈(M-x1)+(M-x2)+(M-x3)+…+(M-xn)〉╱n 三.常⽤分布的⽅差 1.两点分布 2.⼆项分布 X ~ B ( n, p ) 引⼊随机变量 Xi (第i次试验中A 出现的次数，服从两点分布)， 3.泊松分布(推导略) 4.均匀分布另⼀计算过程为 5.指数分布(推导略) 6.正态分布(推导略) 7.t分布 :其中X~T(n)，E(X)=0;D(X)=n/(n-2); 8.F分布：其中X~F(m,n),E(X)=n/(n-2); ~ 正态分布的后⼀参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度(随机波动)，这与图形的特征是相符的总结归纳⽅差的性质篇2 第⼀章实数⼀、重要概念 1.数的分类及概念数系表：说明："分类"的原则：1)相称(不重、不漏) 2)有标准 2.⾮负数：正实数与零的统称。

方差与标准差的性质

方差与标准差的性质方差与标准差是统计学中常用的两个概念，它们在描述数据分布的离散程度和波动性方面起着重要的作用。

在实际应用中，我们经常会遇到方差和标准差，因此了解它们的性质对于正确理解数据分布具有重要意义。

首先，我们来看一下方差的性质。

方差是衡量数据离散程度的指标，它的计算公式为每个数据与均值的差的平方和的平均值。

方差的性质包括以下几点：1. 方差永远大于等于0。

这是因为方差是由数据与均值的差的平方和求得的，而平方和不可能为负数，因此方差必然大于等于0。

2. 当且仅当所有数据相等时，方差为0。

这是因为在这种情况下，每个数据与均值的差都为0，平方和也为0，因此方差为0。

3. 方差的单位是原数据单位的平方。

这是因为方差的计算公式中包含了数据与均值的差的平方，因此方差的单位是原数据单位的平方。

接下来，我们来看一下标准差的性质。

标准差是方差的平方根，它也是衡量数据离散程度的指标，通常用来描述数据的波动性。

标准差的性质包括以下几点：1. 标准差永远大于等于0。

这是因为标准差是方差的平方根，而方差永远大于等于0，因此标准差也必然大于等于0。

2. 当且仅当所有数据相等时，标准差为0。

这是因为在这种情况下，方差为0，标准差也为0。

3. 标准差的单位与原数据的单位相同。

这是因为标准差是方差的平方根，而方差的单位是原数据单位的平方，因此标准差的单位与原数据的单位相同。

综上所述，方差与标准差都是衡量数据离散程度的重要指标，它们都具有非负性的性质，且都能反映数据的波动情况。

在实际应用中，我们可以根据数据的方差和标准差来判断数据的离散程度，进而进行合理的分析和决策。

因此，对方差与标准差的性质有深入的理解，对于正确处理和解释数据具有重要意义。

方差(概率论与数理统计)

方差分析的基本思想
方差分析通过比较不同组数据的分散程度，判断不同因素对数据变异的贡献程度，从而进行多因素比较。
方差分析的适用条件
进行方差分析前需要满足独立性、正态性和方差齐性等条件，以确保分析结果的准确性和可靠性。
方差分析的步骤
包括建立假设、计算自由度、计算F值、进行显著性检验等步骤，最终得出各因素对数据变异的贡献程度和显著性水平。
统计学推断
在统计学中，方差分析、回归分析和生存分析等方法都涉及到方差的概念和应用。
质量控制
在生产过程中，方差分析可以用于检测产品质量的一致性和稳定性。
社会科学研究
在社会学、心理学和经济学等社会科学领域，方差分析常用于研究不同组别之间的差异和变化。
02
方差的计算方法
离差平方和的分解
离差平方和是由数据点与平均值的偏差平方和组成的，即每个数据点与平均值的差的平方的总和。
其中，n是数据点的数量，组内离差平方和是每个数据点与其所属类别的平均值的偏差平方和的总和，组间离差平方和是不同类别的平均值之间的偏差平方和。
方差的计算实例
首先计算每个数据点与平均值的偏差的平方： {0, 1, 2, 3, 4}。
最后，根据方差的计算公式，方差 = (5-1) / 5 * 30 + 1 / 5 * 0 = 24。
假设有一个数据集{1, 2, 3, 4, 5}，其平均值为3。
然后求出偏差的平方的总和：0 + 1 + 4 + 9 + 16 = 30。
03
方差与其他统计量的关系
方差与期望值的关系
方差是衡量数据离散程度的统计量，而期望值是数据的平均水平。方差和期望值之间存在密切的关系，通常表示为方差等于期望值的平方减去数据点的平方。

方差性质及应用

方差性质及应用方差是描述一组数据分布的离散程度的统计量，它可以帮助我们了解数据的波动程度和稳定性。

方差的计算方法是将每个数据点与数据的平均值相减，然后求平方，最后将这些差的平方求和并除以数据的个数。

方差的计算公式如下：\[s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}\]其中，\(s^2\)表示方差，\(x_i\)表示第i个数据点，\(\bar{x}\)表示数据的均值，n表示数据的个数。

方差的性质：1. 方差是非负数，即方差的值始终大于或等于零，当方差等于零时，表示数据的波动程度为零，即所有的数据点都与均值相等。

2. 如果一个常数k被加到数据中的每个数上，方差不变，即对数据进行平移对方差没有影响。

3. 如果一个常数k被乘到数据中的每个数上，方差成为原方差的k的平方倍，即对数据进行缩放会影响方差的值。

4. 如果我们有两组数据，第一组数据是第二组数据每个数据点的k倍，那么第一组数据的方差是第二组数据方差的k的平方倍。

5. 如果数据是独立的，那么它们的方差加起来等于它们的和的方差。

方差的应用：1. 方差可以用来衡量一组数据的离散程度，当数据的方差较大时，表示数据的波动较大，反之，当数据的方差较小时，表示数据的波动较小。

2. 方差可以用来比较不同组数据的稳定性，当两组数据的方差相差较大时，表示它们的波动程度不同，可以用来选择稳定性更好的数据。

3. 方差可以用来评估一个模型的拟合程度，当模型的预测值与实际值的方差较大时，表示模型的拟合程度较差，需要进一步优化。

4. 方差还可以用来进行假设检验，通过比较两组数据的方差来检验它们是否来自同一个总体，从而进行统计推断。

总而言之，方差是一种非常重要的统计量，它能够帮助我们全面了解数据的分布，衡量数据的稳定性和波动程度，评估模型的拟合程度，以及进行假设检验。

在实际应用中，方差被广泛应用于统计学、经济学、金融学等领域，是一种非常有用的工具。

一随机变量方差的定义及性质

D( X ) 100 2
250 1 100 2
0.975
(2)设需要做n次独立试验,则X ～ B(n,0.5),求n使得
P0.35
X n
0.65
P0.35
n
0.5
n
X
0.5n
0.65n
0.5n
PX 0.5n 0.15n 0.95
成立,由切比谢夫不等式得
DX
0.25n
P X 0.5n 0.15n 1 (0.15n)2 1 (0.15n)2
10 D(C ) 0; 20 D(CX ) C 2D( X ); 30 当X,Y独立时，D( X Y ) D( X ) D(Y ).
4. 契比雪夫不等式
P{ X
μ
ε}
σ2 ε2
P{ X
μ
ε
}
1
σ2 ε2
.
5. 矩是随机变量的数字特征.
随机变量 X 的数学期望 E( X ) 是 X 的一阶原点矩;
12 p 02 (1 p) p2 pq
2. 二项分布
设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为
P{ X k} n pk (1 p)nk ,(k 0,1,2,,n),
k
则有
0 p 1.
EX
n
k0
k
n k
p
k
(1
p)nk
np
E( X 2 ) E[X ( X 1) X ]
(3) 在实际应用中,高于 4 阶的矩很少使用.
三阶中心矩E{[X E( X )]3 }主要用来衡量随
机变量的分布是否有偏. 四阶中心矩 E{[X E( X )]4 } 主要用来衡量随机变量的分布在均值附近的陡峭程度如何.

方差概念及计算公式

方差概念及计算公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1方差概念及计算公式一．方差的概念与计算公式例1两人的5次测验成绩如下：X： 50，100，100，60，50 E(X )=72；Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y )=72。

平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。

方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。

单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为D(X )：直接计算公式分离散型和连续型，具体为：这里是一个数。

推导另一种计算公式得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”，即，其中分别为离散型和连续型计算公式。

称为标准差或均方差，方差描述波动程度。

二．方差的性质1．设C为常数，则D(C) = 0（常数无波动）；2．D(CX )=C2D(X ) （常数平方提取）；证：特别地D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )（方差无负值）3．若X、Y相互独立，则证：记则前面两项恰为D(X )和D(Y )，第三项展开后为当X、Y 相互独立时，，故第三项为零。

特别地独立前提的逐项求和，可推广到有限项。

三．常用分布的方差1．两点分布2．二项分布X ~ B( n, p )引入随机变量X i（第i次试验中A出现的次数，服从两点分布），3．泊松分布（推导略）4．均匀分布另一计算过程为5．指数分布（推导略）6．正态分布（推导略）~正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度（随机波动），这与图形的特征是相符的。

例2求上节例2的方差。

解根据上节例2给出的分布律，计算得到求均方差。

均方差的公式如下：（xi为第i个元素）。

S = ((x1-x的平均值)^2 + (x2-x的平均值)^2+(x3-x的平均值)^2+...+(xn-x的平均值)^2)/n)的平方根大数定律表表明：事件发生的频率依概率收敛于事件的概率p，这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。

方差的性质

由方差的定义,可以得到方差的基本性质(假定所遇到的方差都存在, 其中c, k为常数).性质1.D(c)=0；性质2.D(cξ)=c2D(ξ)；特别地，当c =-1时D(-ξ)=D(ξ)；性质3.D(ξ+c)= D(ξ)；性质4.D(kξ+c)= k2D(ξ)；性质5.若ξ, η相互独立, 则D(ξ+η)=D(ξ)+D(η)．注．若一个随机变量的取值不影响另一随机变量的取值，则称两个随机变量是相互独立的．本课程略去了关于随机变量相互独立的严格数学描述．例3.5.13. 设离散型随机变量X具有概率分布律X-2 -1 0 1 2 3P(X=x k) 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1求E(X), D(X), D(2X+3).解.由离散型随机变量的数学期望的定义得E(X)=(-2)×0.1+(-1)×0.2+0×0.2+1×0.3+2×0.1+3×0.1=0.4；E(X2)=(-2)2×0.1+(-1)2×0.2+02×0.2+12×0.3+22×0.1+32×0.1=2.2；再由方差计算公式D(X)=E(X2)-(E(X))2=2.2-0.42=2.04；∴D(2X+3)=4D(X)=4×2.04=8.16 .例3.5.14 设连续型随机变量X具有概率密度：求(1)常数A；(2)D(-X-2).解. (1)根据密度函数的性质∴计算上述积分,可得A=e/2.(2)要求方差,首先要求数学期望.∴D(X)=E(X2)-(E(X))2=11/4-16/9=35/36 ；D(-X-2)=D(X)=35/36。

方差性质的应用及拓展

㊀㊀㊀方差性质的应用及拓展◉甘肃省天水市秦安县第二中学㊀任亚丽摘要:在统计中方差是刻画数据波动程度的量,根据方差的定义可以得到方差的两条性质．结合实例分析说明合理灵活地应用方差的性质,可巧妙解决多元变量问题．关键词:方差;求值;证明;解方程;拓展１方差的性质若x－为一组数据x１,x２,x３, ,x n的平均数,S２为这组数据的方差,则有S２＝１n[(x１－x－)２＋(x２－x－)２＋＋(x n－x－)２]＝１n[(x１２＋x２２＋＋x２n)－n x－２],由方差定义公式,容易得出方差的两条性质．性质１:S２ȡ０,即任何一组实数的方差都是非负实数．性质２:当且仅当x１＝x２＝＝x n时,S２＝０,即若一组实数数据的方差为零,则该组每个数据均相等,且都等于该组数据的平均数．运用这两个性质和方差计算公式,常可帮助我们快捷解决一类与之相关的问题．２方差性质的应用２．１求值例１㊀已知x＋y＝８,x y－z２＝１６,求x＋y＋z的值．解:因为x,y的平均数为x＋y２＝４,x y＝１６＋z２,所以x,y的方差为s２＝１２[(x－４)２＋(y－４)２]＝１２[x２＋y２－８(x＋y)＋３２]＝１２[(x＋y)２－２x y－８(x＋y)＋３２]＝１２[６４－２(１６＋z２)－６４＋３２]＝－z２．由性质①,得－z２ȡ０,所以z２ɤ０．z２＝０,即z＝０,所以s２＝０．由性质②,得x＝y＝４．所以x＋y＋z＝４＋４＋０＝８．２．２求最值例２㊀设m,n,p均为正实数,且m２＋n２－２p２＝０,求pm＋n的最小值．解:m,n的平均数x－＝m＋n２．m,n的方差为s２＝１２[(m－x－)２＋(n－x－)２]＝１２[(m２＋n２)－２(m＋n)x－＋２x－２]＝１２[(m２＋n２)－(m＋n)２＋１２(m＋n)２]＝１２[２p２－１２(m＋n)２]．由性质①,得１２[２p２－１２(m＋n)２]ȡ０．所以２p２－１２(m＋n)２ȡ０,所以(p m＋n)２ȡ１４．因为m,n,p为正实数,所以p m＋nȡ１２．２．３证明不等式例３㊀已知x＋y＋z＝a,求证:x２＋y２＋z２ȡ１３a２．证明:设x２＋y２＋z２＝ω,由方差公式,得x,y,z的方差为s２＝１３[(x２＋y２＋z２)－１３(x＋y＋z)２]＝１３(ω－１３a２)．因为s２ȡ０,所以１３(ω－１３a２)ȡ０．所以ωȡ１３a２,即x２＋y２＋z２ȡ１３a２．２．４证明等式例４㊀已知实数a,b,c满足a＝６－b,c２＝a b－９,求证:a＝b．６９教育纵横师生园地㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年５月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀证明:由已知得a ＋b ＝６,则a ２＋b ２＝３６－２a b ＝３６－２(c ２＋９)＝１８－２c ２．由方差公式,得实数a ,b 的方差为s ２＝１２[(a ２＋b ２)－１２(a ＋b )２]＝１２[(１８－２c ２)－１２ˑ６２]＝－c ２．因为s ２ȡ０,所以－c ２ȡ０．所以c ＝０,因此s ２＝０,则a ＝b ．２．５解方程例５㊀解方程:４(x ＋y －１＋z －２)＝x ＋y ＋z ＋９．解:设x ＝a ,y －１＝b ,z －２＝c ．则x ＝a ２,y ＝b ２＋１,z ＝c ２＋２,原方程可化为４(a ＋b ＋c )＝a ２＋b ２＋c ２＋１２．所以a ２＋b ２＋c ２＝４(a ＋b ＋c )－１２．由方差公式,得a ,b ,c 的方差为s ２＝１３[(a ２＋b ２＋c ２)－１３(a ＋b ＋c )２]＝１３[４(a ＋b ＋c )－１２－１３(a ＋b ＋c )２]＝－１９(a ＋b ＋c －６)２．因为s ２ȡ０,所以(a ＋b ＋c －６)２ɤ０．因此a ＋b ＋c ＝６．于是s ２＝０,a ＝b ＝c ＝２．所以x ＝４,y ＝５,z ＝６．经检验,x ＝４,y ＝５,z ＝６是原方程的解．２．６判断三角形形状例６㊀设әA B C 的三边a ,b ,c 满足:b ＋c ＝８,b c ＝a ２－１２a ＋５２,试问әA B C 是什么三角形(按边分类)?并证明你的结论．解:әA B C 为等腰三角形,证明如下:由已知得b ２＋c ２＝６４－２b c ＝－２a ２＋２４a －４０．由方差公式,得b ,c 的方差为S ２＝１２[(b ２＋c ２)－１２(b ＋c )２]＝１２[(－２a ２＋２４a －４０)－１２ˑ８２]＝－(a －６)２．因为S ２ȡ０,所以－(a －６)２ȡ０,即a ＝６,于是S ２＝０．所以,b ＝c ＝４．故әA B C 是以a 为底,以b ,c 为腰的等腰三角形．３引伸与推广定理:若a １,a ２,a ３, ,a n ɪR ,则n (a ２１＋a ２２＋a ２３＋＋a ２n )ȡ(a １＋a ２＋a ３＋＋a n )２．证明:n 个数a １,a ２,a ３, ,a n 的方差为S ２＝１n[(a ２１＋a ２２＋a ２３＋＋a ２n )－n(a １＋a ２＋a ３＋＋a nn)２]．因为S ２ȡ０,所以n (a ２１＋a ２２＋a ２３＋＋a ２n )ȡ(a １＋a ２＋a ３＋＋a n )２．当且仅当a １＝a ２＝a ３＝＝a n ＝１n(a １＋a ２＋a ３＋＋a n )时,取＝号．该定理反映了 n 个数的平方和与 n 个数的和的平方之间的内在联系．例７㊀已知a ,b ,c ɪR ,且a ＋b ＋c ＝１,求证１３a ＋１＋１３b ＋１＋１３c ＋１ɤ４３．证明:由定理知３[(１３a ＋１)２＋(１３b ＋１)２＋(１３c ＋１)２]ȡ(１３a ＋１＋１３b ＋１＋１３c ＋１)２．所以(１３a ＋１＋１３b ＋１＋１３c ＋１)２ɤ３[１３(a ＋b ＋c )＋３],即１３a ＋１＋１３b ＋１＋１３c ＋１ɤ４３,当且仅当１３a ＋１＝１３b ＋１＝１３c ＋１,且a ＋b ＋c ＝１,即a ＝b ＝c ＝１３时取＝号．４结语由上面几道例题我们可以知道,方差中的大多数问题都是利用方差大于零或者是方差等于零时建立等式与不等式(即方差的非负性)来作为突破口解决的．方差性质的运用往往能使同样的一道题由繁变简,由难变易,并能快速求解．参考文献:[１]章启平．应用方差公式妙求代数最值[J ]．中学生数学,２０２１(１２)．[２]于志洪．方差公式在求最大值和最小值中的应用[J ]．现代中学生(初中版),２０２１(Z １)．７９２０２２年５月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀师生园地教育纵横Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

随机变量的方差和标准差

P|
x
EX
|
f
|xEX |
( x)dx
1
2
(x
EX
)2
f
(x)dx
DX
2
例4.11 设随机变量X的数学期望为μ，方差为，2 则由切
贝绍夫不等式，有
P 3 X 3 P X 3 1 1 0.89 9 然而，假如 X ~ N(, 2 ) 则利用附表1，可得
P
3
X
3
P|
X
|
3
一、随机变量的方差和标准差的概念和性质
1、方差和标准差的定义 X－EX表示随机变量 X 对数学期望 EX 的离差；为避免离差符号的影响，人们常使用X 对数学期望 EX 的平方离差 (X EX )2 它显然也是随机变量；称 (X EX )2 的数学期望
DX E(X EX )2 EX 2 (EX )2
二、切贝绍夫不等式
设随机变量X的数学期望和方差都存在，则对于任意ε>0，事件{|X－EX|≥ε}的概率有如下估计式——切贝绍夫不等式：
P
X
EX
DX
2
或
P X EX
1
DX
2
证明 (1) 设X是非负离散型随机变量，其一切可能值为{Xi}，
则对于任意ε>0，有
P X EX PX xi
xi EX
1
2 xi EX
( X EX )2 P
X xi
1
2
xi
(X
EX )2 PX
xi
DX
2
,
其中前两个和式∑表示对于满足| xi －EX|≥ε的X 的一切可能值xi求和，后一个和式∑表示对于X 的一切可能值xi求和．

平均数方差的运算性质

平均数、方差的运算性质
一、平均数、方差的性质：
⑴如果数据12,,,n x x x ⋯⋯的平均数为x ，方差为2s ,那么一组新数据12,,n x b x b x b ++⋯⋯+的平均数为x b +，方差是2s .
⑵如果一组数据12,,,n x x x ⋯⋯的平均数为x ,方差为2s ，那么一组新数据12,,,n ax ax ax ⋯⋯的平均数为ax ,方差是22a s .
⑶如果数据12,,,n x x x ⋯⋯的平均数为x ，方差为2s ,那么一组新数据12,,,n ax b ax b ax b ++⋯⋯+的平均数为ax b +,方差是22a s .
二、典型例题：
例1、如果一组数据12,,,n a a a ⋯⋯的方差是2,那么一组新数据
122,2,,2n a a a ⋯⋯的方差是（ )
.A ２ .B 4 .C 8 .D 16
【答案】：.C
例2、已知样本1235,35,,35n x x x ++⋯⋯+,若12,,,n x x x ⋯⋯的方差是2，则
1235,35,,35n x x x ++⋯⋯+的方差是（）
.A 11 .B １８ .C 23 .D ３6
【答案】：.B
例3、某班期末英语考试的平均成绩为75分，方差为225分，若每个学生都多考5分，下列说法正确的是（）
.A 方差不变,平均分不变 .B 平均分变大,方差不变 .C 平均分不变，方差变大 .D 平均分变大，方差变大
【答案】：.B。

方差的三个重要结论

方差的三个重要结论一、方差的定义和计算方法方差是描述随机变量离散程度的一个统计量，用于衡量数据的波动程度。

方差的计算方法是将每个数据点与其均值之差的平方相加，再除以数据点的个数。

方差的公式可以表示为：Var(X) = Σ(Xi - X̄)² / n，其中Xi表示第i个数据点，X̄表示数据的均值，n表示数据点的个数。

二、方差的性质1. 方差是非负的：方差的计算方法中用到了平方，而平方的结果总是非负的，因此方差也是非负的。

当方差等于零时，意味着所有数据点与均值之间的差异都为零，即数据完全相同。

2. 方差的单位是原数据单位的平方：方差的计算方法中要对数据点与均值之差进行平方运算，所以方差的结果单位是原数据单位的平方。

例如，如果数据是以米为单位的长度，那么方差的单位将是平方米。

3. 方差与数据的缩放无关：方差的计算不受数据的缩放影响。

如果对原始数据进行线性变换（如乘以一个常数或加上一个常数），则方差的值也会按照相应的缩放进行变化。

但方差的相对大小不会受到缩放的影响，即各个数据点之间的差异程度不会改变。

三、方差的应用1. 在金融领域，方差被广泛应用于投资组合的风险评估。

通过计算不同资产在组合中的方差，可以评估投资组合的整体风险水平。

较高的方差表示投资组合的波动性较大，风险水平较高。

2. 方差还可以用于统计分析中的假设检验。

通过比较样本方差与理论方差之间的差异，可以判断样本数据是否符合某个特定的分布假设。

如果差异较大，则可以拒绝该假设。

3. 方差也常用于质量控制中，用于评估生产过程中的变异程度。

通过计算产品的方差，可以判断生产过程是否稳定，是否需要进行调整或改进。

方差是描述数据波动程度的重要统计量。

它的计算方法简单明了，且具有一些重要的性质。

方差在金融、统计分析和质量控制等领域都有广泛的应用，对于评估风险、假设检验和控制生产过程的稳定性都起着重要的作用。

因此，对于方差的理解和应用具有重要的意义。

方差的性质

方差的性质1、设C是常数，则D（C）=02、设X是随机变量，C是常数，则有D（CX）=C2D（X），D（X+C）=D（X3、设X与Y是两个随机变量，则D（X土Y）=D（X）+D（Y）土2Cov（X，Y）其中协方差Cop（X，Y）=E{[X-E（X）][Y-E（Y）]}特别的，当X，Y是两个不相关的随机变量则D（X土Y）=D（X）+D（Y）此性质可以推广到有限多个两两不相关的随机变量之和的情况。

4、D（X）=0的充分必要条件是X以概率1取常数E（X），即P{X=E （X）}=1（当且仅当X取常数值E（X）时的概率为1时，D（X）=0.）注：不能得出X恒等于常数，当x是连续的时候X可以在任意有限个点取不等于常数c的值。

5、D（aX+bY）=a2DX+b2DY+2abCov（X，Y）。

证明1、D（C）=E{[C-E（C）]2}=02、D（CX）=E{[CX-E（CX）]}=C2E{[X-E（X）]}=C2D（X）D（X+C）=E{[X+C-E（X+C）]}=E{[X-E（X）}=D（X）3、D（X土Y）=E{（X+Y）-E（X+Y）]}=E{[（X-E（X）+（Y-E （Y）]}=E{（X-E（X））2}+E{（Y-E（Y））2}+2E{[X-E（X）][Y-E（Y）}上式右端第三项为。

2E{[X-E（X））[Y-E（Y）]=2E[XY-XE（Y）-YE（X）+E（X）E（Y）]=2{E （XY）-E（X）E（Y）-E（Y）E（X）+E（X）E（Y）}=2{E（XY）-E （X）E（Y）}若X，Y相互独立，由数学期望的性质知道上式为0.4、充分性：P{X=E（X）}=1，则有P{x2=[E（X）}=1，E（X2）=E{[E（X）2}=[E（X）]2D（X）=E{[X-E（X）]}2=E{x2-2XE（X）+[E （X）}D（X）=E（x2）-[E（X）]2=0必要性：用反证法，概率不会大于1，只需考虑是否等于1或小于1.假设P{X=E（X）}<1，则对于某--个数ε>0，P{|X-E（X）|≥e}>0.但是由切比雪夫不等式，当D（X）=0，满足P{|X-E（X）|≥e}≤0与上式矛盾。