_定积分的应用和导数的几何意义

【两年

真题重温】

【2011⋅新课标全国理，9】由曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为

( )． A ．

103 B ．4 C ．163

D ．6 【答案】C

(Ⅰ) 设(),M x y ，由已知得(),3B x -，()0,1A -.

所以(),1,MA x y =---，()0,3,MB y =--，(),2AB x =-. 再由题意可知()

0MA MB AB +⋅=，即()(),4,2,20x y x ---⋅=. 所以曲线C 的方程为2

124

y x =

-．

2.从近几年的高考试题来看，导数的几何意义是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中档左右，在考查导数的概念及其运算的基础上，又注重考查解析几何的相关知识．预测2012年高考仍将以导数的几何意义为背景设置成的导数与解析几何的综合题为主要考点．重点考查运算及数形结合能力．

【最新考纲解读】

1.导数概念及其几何意义

(1)了解导数概念的实际背景． (2)理解导数的几何意义． 2．定积分与微积分基本定理（理）

(1)了解定积分的实际背景，基本思想及概念． (2)了解微积分基本定理的含义．

000000

()()()()

()lim

lim x o

x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. （2.）导数的几何意义：

导数0000()()

()lim

x f x x f x f x x

∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映

的函数)(x f y =在点0x 处变化．．的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点

（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='-

例1 已知曲线C ：3

()2f x x x =-+，则经过点(1,2)P 的曲线C 的切线方程是 . 解析：设经过点P （1，2）的直线与曲线C 相切于点00(,)x y ，则由'

2

()31f x x =-， 得在点00(,)x y 处的斜率'

2

00()31k f x x ==-，

有在点00(,)x y 处的切线的方程为2

000(31)()y y x x x -=--.

又因为点00(,)x y 与点P （1，2）均在曲线C 上，

有3

0002

00022(31)(1)

y x x y x x ⎧=-+⎪⎨-=--⎪⎩，消去0y 得320000(31)(1)x x x x -=--，

解得01x =或012x =-

，于是2k =或1

4

-，

A. 033=+-y x

B. 022=+-y x

C. 012=+-y x

D. 013=+-y x 【答案】C

【解析】依题意得'

cos x

y x e =+，曲线sin x

y x e =+在点()0,1处的切线的斜率等于

0cos02e +=，因此该切线方程是12y x -=，即210x y -+=，选C.

3.（2012广西柳铁一中第一次月考）

已知a 为实数，函数x a ax x x f )2()(2

3

-++=的导函数)('

x f 是偶函数，则曲线)(x f y =在原点处的切线方程是（ ）

A. x y 3-=

B. x y 2-=

C. x y 3=

D. x y 2=

A.

2ln 2- B. 42ln 2-

C. 4ln 2-

D. 2ln 2 【答案】B

【解析】所求封闭图形的面积[]4

4

4

4222

2

2

21(1)2ln 2S x dx dx x x x x ⎡⎤

=

--=--⎢⎥⎣⎦⎰

⎰

84222ln 42ln 242ln 2=--+-+=-.

7.（2012届江西省重点中学协作体高三第一次联考） 如图，设D 是图中所示的矩形区域，E 是D 内函数

x y cos =图象上方的点构成的区域，向D 中随机投

一点，则该点落入E （阴影部分）中的概率为（ ）

A ．

π2

B ．π

1 C ．21 D ．ππ2-

【答案】 A

【解析】在直角坐标系内，画出曲线和直线围成的封闭图形，如图所示， 由2

2,x x x +=解得两个交点坐标为（-1,0）和（0,0）， 利用微积分的几何含义可得封闭图形的面积为

:

2321

011111

((2)()().132326S x x x dx x x -=-+=--=--=-⎰

故答案为A.

12．【唐山市2011—2012学年度高三年级第一次模拟考试理】

(A) 3 (B) 4 (C) 3.5 (D) 4.5 【答案】

C

232032

-2

2

114(2)()|=2)(2).333S x x dx x x -=--=--⨯+-=⎰（- 15.【保定市2011—2012学年度第一学期高三期末调研考试理】

1

1

(sin 1)x dx -+⎰

的值为

A. 2 B 、O C 、22cos1+ D. 22cos1- 【答案】

A

项

为366216

6((2)r r

r

r r r r T C x C x --+==-，由3602

r -=得4r =，代到展开式的通项中得240.