新人教版九年级上册数学：《二次函数》课件
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人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2的图象与性质》二次函数PPT精品课件
课堂检测
巩固练习
对应训练
第二十二章 二次函数
《超越训练》 P34：例2+达标训练
课堂检测
基础巩固题
第二十二章 二次函数
1.函数y=2x2的图象的开口向上 , 对称轴y轴
是 (0,0) ; 在对称轴的左侧，y随x的增大而 减小 ,
,顶点 y
在对称轴的右侧, y随x的增大而 增大 .
O
x
2.函数y=-3x2的图象的开口 向下 ,对称 y轴
2
口大小与a的大小有什么关系？
的图象开
当a<0时，a越小（即a的绝对 值越大），开口越小.
－4 －2 －2
24
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
知识探究 归纳
y＝ax2 图象
位置开 口方向
对称性 顶点最值
增减性
第二十二章 二次函数
1.y＝x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
y y=x2
o
x
知识探究
第二十二章 二次函数
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交
流.
1.y＝-x2的图象是一条 抛物线;
y
o
x
2.图象开口向下;
3.图象关于y轴对称;
画出函数y=-x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y -4 -2 0 2 4 x
-3
-6 -9
最新人教版初中九年级上册数学《二次函数》精品课件
别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
二次项
常数项
分别指出下列二次函数解析式的自变量、各项 及各项系数。
①y=6x2 ,
②m 1 n2 1 n ,
22
③ y=20x2+40x+20 .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
出题角度一 二次函数的识别
下列函数中是二次函数的有 ①⑤⑥ 。
①√ y= 2x2 2
×③y x2(1 x2 ) 1 最高次数是4
⑤√ y=x( x 1)
×②y 2x2 x(1 2x) a=0
×④y
1 x2
x2
√⑥y
x4 x2 x2 1
=x2
二次函数：y=ax²+bx+c （a，b，c为常数，a≠0）
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的 步骤： （1）将函数解析式右边整理为含自变量的代 数式，左边是函数（因变量）的形式； （2）判断右边含自变量的代数式是否是整式； （3）判断自变量的最高次数是否是2； （4）判断二次项系数是否不等于0.
产品原产量是20t，一年后的产量是原产量的 (1+x) 倍； 两年后的产量是一年后的产量的 (1+x) 倍.于是两年后的产 量y与增加的倍数x的关系式为 y=20(1+x)2 .
y=20(1+x)2
y=20x2+40x+20 y是x的函数吗？
y=20x2+40x+20表示两年后的产量y与计划增产的倍数x的关
6. 一辆汽车的行驶距离s（单位：m）与行驶时间t（单位：s） 的函数关系式为s=9t+0.5t2，则经过12s汽车行驶了 180 m，行 驶380m 需 20 s.
人教版九年级数学上册课件：二次函数的定义优秀ppt课件
解：（1）a 0 (2)a 0,b 0
(3)a 0,b 0,c 0
人教版九年级数学上册课件：2二2.次1.函1 数二的次定函 义数优的秀定p义pt(共 课2件1 张PPT)
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展示才智
注意：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量
x的 整式。
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有
一次项和常数项，但不能没有二次项。 （4）x的取值范围是任意实数。
人教版九年级数学上册课件：2二2.次1.函1 数二的次定函 义数优的秀定p义pt(共 课2件1 张PPT)
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数， 叫做正比例函数,其中k叫做比例系数。
一般地，形如y=kx+b（k，b为常数， k≠０）的函数，叫做一次函数.
合作学习，探索新知 :
请用适当的函数解析式表示下列问题情 境中的两个变量 y 与 x 之间的关系：
(1)正方体的棱长为a ，表面积为S。S与a 之间有什么关系呢？S =6a2
２、下列函数中，哪些是二次函数？
(1) y 3x2 2 (2) y x2 1
x (3) y (x 2)(x 3)
(是 ) ( 否) ( 是)
(4)y x2 2x 3
( 否)
Байду номын сангаас
(5) y (x 2)( x 2) (x 1)2 ( 否 )
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九年级数学
第22章
第一节
二次函数
(3)a 0,b 0,c 0
人教版九年级数学上册课件：2二2.次1.函1 数二的次定函 义数优的秀定p义pt(共 课2件1 张PPT)
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展示才智
注意：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量
x的 整式。
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有
一次项和常数项，但不能没有二次项。 （4）x的取值范围是任意实数。
人教版九年级数学上册课件：2二2.次1.函1 数二的次定函 义数优的秀定p义pt(共 课2件1 张PPT)
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数， 叫做正比例函数,其中k叫做比例系数。
一般地，形如y=kx+b（k，b为常数， k≠０）的函数，叫做一次函数.
合作学习，探索新知 :
请用适当的函数解析式表示下列问题情 境中的两个变量 y 与 x 之间的关系：
(1)正方体的棱长为a ，表面积为S。S与a 之间有什么关系呢？S =6a2
２、下列函数中，哪些是二次函数？
(1) y 3x2 2 (2) y x2 1
x (3) y (x 2)(x 3)
(是 ) ( 否) ( 是)
(4)y x2 2x 3
( 否)
Байду номын сангаас
(5) y (x 2)( x 2) (x 1)2 ( 否 )
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九年级数学
第22章
第一节
二次函数
人教版九年级上册数学课件22.1.1二次函数(共19张PPT)
探究二：利用二次函数的表达式表示实际问题。 练习：
重点、难点知识★▲
某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可
卖出20件，现需降价处理，且经市场调查发现：每件服装每降价2元，每
天可多卖出1件。在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x元，每天售出
服装的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ A ）。
二次函数
（1）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常 数，a≠0）。 （2）正比例函数的一般形式是：y=kx（k≠0，k为常数）。 （3）一次函数的一般形式是：y=kx+b（k≠0，k、b为常数）。
探究一：二次函数的概念及其解析式。
重点知识★
归纳： 1. 二次函数的概念：把形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 的函数叫做x的二次函数，其中：ax2为二次项，a为二次项系数；bx 为一次项，b为一次项系数；c为常数项。 2.二次函数的解析式： 二次函数的一般式：y=ax2+bx+c （a，b，（2）y=ax2+c （a≠0，b=0，c≠0）； （3）y=ax2+bx （a≠0，b≠0，c=0）。
综上所述，a=-1。
探究二：利用二次函数的表达式表示实际问题。
重点、难点知识★▲
活动1 通过实例，探究归纳。
例1：某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准 备多种一些橙子树以提高产量（果园最多能种150棵橙子树），但是 如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。 根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。 （1）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有橙子树_（__1__0_0_+__x_）____ 棵，这时平均每棵树结橙子_（___6_0_0__-5__x_）____个。
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数与一元二次方程PPT课件
新知探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的
根有什么关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
一元二次方程ax2+bx+c=0
与x轴的公共点的个数
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
P(2,-2)
重复上述过程，不断缩小根的范围，根所在两端的值就越来越
接近根的值.因而可以作为根的近似值。
尝试求出方程y = 2 − 2 − 2两个根的近似值？
课堂练习
1. 抛物线 = 2 + 2 − 3与轴的交点个数有(
. 0个
. 1个
Ｃ．2个
C ).
Ｄ．3个
【分析】解二次函数 = 2 + 2 − 3得1 =
第二十二章 二次函数
2 2 . 2 二次函数与一元二次方程
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.二次函数与一元二次方程之间的联系。
2.二次函数的图象与x轴交点的三种位置关系。
3.利用二次函数图象求它的实数根。
重点难点
重点：让学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系。
难点：让学生理解函数图象交点问题与对应方程间的相互转化，及用图象求方程
x1=x2 =-
x
2
与x轴没有
交点
一元二次方程
ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
x
没有实数根
新知探究
人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》课件(共22张)
解：因为第1档次的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元，每 提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件， 所以第 x 档次，提高了(x−1)档，利润增加了 2(x−1)元． 所以 y＝[6＋2(x−1)][95−5(x−1)]， 即 y＝−10x2＋180x＋400(其中 x 是正整数，且1≤x≤10)．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
人教版九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》二次函数PPT优秀课件
函数
与一元二次方程
人教版九年级上册数学
回顾旧知
二次函数的一般式：
y ax2 bx c （a≠0）
___x___是自变量，__y__是__x__的函数。
当 y = 0 时， ax²+ bx + c = 0
ax²+ bx + c = 0
这是什么方程？ 一元二次方程与二次函数 有什么关系？
上一章中我们学习了“一元二次方程”
当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。
探究
下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗? 若有，求出交点坐标.
（1） y = 2x2＋x－3
y
（2） y = 4x2 －4x +1
（3） y = x2 – x+ 1
o
x
令 y= 0，解一元二次方程的根
实际问题
以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，球的 飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t – 5 t 2
考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间? （2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间? （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间?
探究
（1） y = 2x2＋x－3 y
解：当 y = 0 时， 2x2＋x－3 = 0
（2x＋3）（x－1） = 0
3
o
x 1 =－ ，x 2 = 1
x
2
所以与 x 轴有交点，有两个交点。
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数的图像和性质PPT课件全文
你还记得如何画出一次函数的图像吗？
描点法画函数图像的一般步骤如下：
描点法
第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
（3）|a|越大，抛物线的开口越小.
课堂练习
1.填表：
抛物线
y = ax2（a>0）
y = ax2（a＜0）
顶点坐标
你能通过这种方法画出二次函数的图像吗？
新知探究
二次函数=^2 的图像
通过描点法画出 = 的图像？
【列表】
在 = 中，自变量可以取任意实数，列表取几组对应值：
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
2
…
新知探究
二次函数=^2 的图像
y
通过描点法画出 = 的图像？
9
【描点】
事实上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者
3
向上或者向下．一般地，二次函数 y =ax2+bx +c（a≠0）
的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
-3
O
3
x
新知探究
二次函数=^2 的性质
观察 = 2 的图像，它有对称轴在哪里？图像与y轴的交点在哪里？
描点法画函数图像的一般步骤如下：
描点法
第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
（3）|a|越大，抛物线的开口越小.
课堂练习
1.填表：
抛物线
y = ax2（a>0）
y = ax2（a＜0）
顶点坐标
你能通过这种方法画出二次函数的图像吗？
新知探究
二次函数=^2 的图像
通过描点法画出 = 的图像？
【列表】
在 = 中，自变量可以取任意实数，列表取几组对应值：
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
2
…
新知探究
二次函数=^2 的图像
y
通过描点法画出 = 的图像？
9
【描点】
事实上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者
3
向上或者向下．一般地，二次函数 y =ax2+bx +c（a≠0）
的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
-3
O
3
x
新知探究
二次函数=^2 的性质
观察 = 2 的图像，它有对称轴在哪里？图像与y轴的交点在哪里？
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一 元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值 为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
人教版九年级数学上册：22.1.1 二次函数 课件(共21张PPT)
(5)y= _1_ -x x²
常数项: 4
(2) y=x+
_1_ x
不是二次函数.
不是二次函数. (6) v=8π r² 是二次函数.
(3) s=3-2t²是二次函数.
二次项系数: 8π
二次项系数: -2 一次项系数: 0 常数项: 3
一次项系数: 0 常数项: 0
例4. 已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时,函数 值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函 数的解析式.
22.1.1 二次函数
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2。一次函数、正比例函数的定义 是什么？
问题：
（1）你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道：投篮时，篮球运动的 路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最 高点时的高度？
请用适当的函数解析式表示下列问题情 境中的两个变量 y 与 x 之间的关系：
(4) y=(x+3)²－x²
(5)y= _x1_²－x
(6) v=8π r²
解: (1)y=3(x-1)²+1 =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1
(4) y=(x+3)²-x²=x2+6x+9-x2
即 y=6x+9
即 y=3x2-6x+4
不是二次函数.
是二次函数.
二次项系数: 3 一次项系数: -6
(1)圆的面积 y ( cm 2 )与圆的半径 x ( cm )
y =πx2 (2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月 份利润逐月增长，这两个月利润的月平 均增长率为x，3月份的利润为y
y = 2(1+x)2(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果
人教版初中数学九年级上册第二十二章二次函数1.1二次函数 优秀课件
分析： 这种产品的原产量是20 t，一年后的 产量是20(1+x) t，再经过一年后的产 量是20(1+x)(1+x) t，即两年后的产量
y 20(1 x)2 20 x2 40 x 20 （3）
思考
函数（1）（2）（3）有什么共同 点？
一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数，叫做二次函数.
y=6x2. （1）
问题1 n个球队参加比赛，每两队之 间进行一场比赛.比赛的场次数m与球 队数n有什么关系？
分析：每个队要与其他（n-1）支球 队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与
乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所 以比赛的场次数是
1 n(n 1) 2
（2）
m 1 n2 1 n 22
问题2 某种产品现在的年常量是20 t，计划今后两 年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍， 那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的 值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
数学 九年级 上册 R
第 二十二 章 二次函数
22.1 二次函数的图像和性质
22.1.1 二次函数
问题引入
函数
一次函数 反比例函数 二次函数
y=kx+b (k≠0)
y=
k x
k
≠
0
正比例函数
y=kx(k≠0)
双曲线
一条直线
图喷片泉欣(1赏)
图片欣赏
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探究
正方体的六个面是全等 的正方形，设正方体的棱长 为x，表面积为y.显然，对于x 的每一个值，y都有一个对应 值，即y是x的函数，它们的 具体关系可以表示为
二次项 系数
自变量
y 20(1 x)2 20 x2 40 x 20 （3）
思考
函数（1）（2）（3）有什么共同 点？
一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数，叫做二次函数.
y=6x2. （1）
问题1 n个球队参加比赛，每两队之 间进行一场比赛.比赛的场次数m与球 队数n有什么关系？
分析：每个队要与其他（n-1）支球 队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与
乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所 以比赛的场次数是
1 n(n 1) 2
（2）
m 1 n2 1 n 22
问题2 某种产品现在的年常量是20 t，计划今后两 年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍， 那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的 值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
数学 九年级 上册 R
第 二十二 章 二次函数
22.1 二次函数的图像和性质
22.1.1 二次函数
问题引入
函数
一次函数 反比例函数 二次函数
y=kx+b (k≠0)
y=
k x
k
≠
0
正比例函数
y=kx(k≠0)
双曲线
一条直线
图喷片泉欣(1赏)
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探究
正方体的六个面是全等 的正方形，设正方体的棱长 为x，表面积为y.显然，对于x 的每一个值，y都有一个对应 值，即y是x的函数，它们的 具体关系可以表示为
二次项 系数
自变量
人教版数学九级上册..二次函数优质课件
人 教 版 数 学 九年级 上册22 .1.1二 次函数 课件
问题3:
某种产品现在的年产量是20t，计划今 后两年增加产量。如果每年都比上一年产 量的增加x 倍，那么两年后这种产品的产 量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之 间的关系应怎样表示？
分析：现在的产量是（20）t,一年后的产量是 （20(1+x）) t，两年后的产量是（20(1+x)2）t.
22.１.１ 二次函数
数学来源于生活
奥运赛场腾空的篮球
运动场上飞舞的跳绳
节日里的喷泉
人 教 版 数 学 九年级 上册22 .1.1二 次函数 课件
学习目标：
1、你能从实际情景中探索分析和建立两个变量之 间的二次函数关系的过程吗？如何用数学的方 法去描述变量之间的数量关系呢？
2、会理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。
c为常数项。
人 教 版 数 学 九年级 上册22 .1.1二 次函数 课件
人 教 版 数 学 九年级 上册22 .1.1二 次函数 课件
二次函数的一般形式: y＝a x ²＋b x ＋c (其中a、b、c是常数,a≠0) 二次函数的特殊形式：
当c＝0时， y＝a x ²＋bx 当b＝0时， y＝ax²＋c 当b＝0，c＝0时， y＝ax²
•
1.历史上无数英雄随着时光流逝而一 去不返 ，可是 他们却 给后人 留下了 耐人寻 味的故 事，让 后人代 代咀嚼 和品味 ，一个 个故事 凝成了 厚重隽 永的华 夏文化 ，哺育 着后人 。
•
2. 项羽不 屑小计 谋是真 诚的， 他梦想 用他所 崇尚的 武力去 解决一 切问题 ，最终 ，项羽 用性格 的笔为 世人书 写下了 只属于 他的人 生篇章 ，算是 一种对 自己的 薄奠。
人教版九年级数学上册《二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质》二次函数PPT精品教学课件
2
2
轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.
根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是 抛物线 ；
(2)三条抛物线的开口方向__向__下___;
(3)对称轴分别是__x=_-_1_,_x_=_1__；
(4) 从左到右顶点坐标分别是(_-_1_,_0_)___(_1_,_0_)_;
y 1 x+12
y y = 2x2+1 y = 2x2 -1
把抛物线y=2x2 向上 平移 1 个单位就得到
8 y = 2x2
抛物线y=2x2+1;把抛物线y=2x2向下平移 1 个单
6
位就得到抛物线y=2x2-1.
4
2
所以，y = 2x2 -1的图象还可以由抛物线
y = 2x2+1 向下 平移 2 个单位得到.
-4 -2 O 2 4 x -1
2
y 1 (x 1)2 2
画出二次函数 y 1 x 12 , y 1 x 12 的图象，并考虑它们的开口方向、对称
2
2
轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.
(5)顶点都是最__高__点，函数都有最__大__值，最 _大___值均为__y_=_0_； (6)函数的增减性都相同： 对称轴左边时_y_随__x_增__大__而__增__大_， 对称轴右边时_y_随__x_增__大__而__减__小__.
y 3x2
顶点 (0,0)
y 3x2 2
y 3x2 3
向下平移
向上平移
两个单位长度
5个单位长度
(0, -2)
(0, 3)
巩固练习
1.下列抛物线的顶点坐标为(0,1)的是( A )
人教版九年级数学上册第22章第1节二次函数的图像和性质(共46张PPT)
1.y=x2 8x 7
2.y=-2x2 9x 17
3.y=mx2 kx-4k2
x
⑶a，b决定抛物线对称轴的位置: 对称轴是直线x =
b 2a
① a，b同号＜＝＞ 对称轴在y轴左侧；
② b=0 ＜＝＞ 对称轴是y轴；
③ a，b异号＜＝＞ 对称轴在y轴右侧
y
左同右异
o
x
练习：
1.若抛物线yax2 bxc的图象如图，说出a，b，
c的符号。
2.若抛物线yax2 bxc经过原点和第一二三
象限，则a，b，c的取值范围分别是
3.若抛物线yax2 bxc的图象
如图所示，则一次函数y=ax+bc
的图象不经过
。y
。 y ox
o 图1
x 图2
y abc 0 （ 4 ） 与 直 线 x1 交 点 y a b c 0
y a b c 0
方法归纳
1
配方法
2
公式法
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4acb2 4a
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
小结 拓展 回味无穷 驶向胜利 的彼岸
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax²的关系
2.不同点:
(1)位置不同(2)顶点不同:分别是
b 2a
,
4acb2 4a
人教版数学九年级上册第二十二章二次函数课件22.1.1二次函数(共32张ppt)
∴点P(2
020a,2
020-a)的坐标为
2
1 020
,2
020,∴点P关于y轴的对称点是 -
2
1 020
,2
020
.
故选B.
3.(2019湖北荆门沙洋期中)如图,用一段长为40 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形
菜园ABCD,墙长为18 m,设AD的长为x m,菜园ABCD的面积为y m2,则y关于自变量x
资源拓展
1.(2020广东阳江江城期中,4,★★☆)对于任意实数m,下列函数一定是二次函数的
是( )
A.y=mx2+3x-1
B.y=(m-1)x2
C.y=(m-1)2x2
D.y=(-m2-1)x2
答案 D 选项A,当m=0时,不是二次函数;选项B,当m=1时,m-1=0,不是二次函数; 选项C,当m=1时,(m-1)2=0,不是二次函数;选项D,当m取任意实数时,-m2-1≠0,是二次 函数.故选D.
2.函数y=(a-1) xa21+x-3是二次函数时,点P(2 020a,2 020-a)关于y轴的对称点是 ( )
A.
2
1 020
,2
020
C.
2
1 020
,-2
020
B.
-
2
1 020
,2
020
D.(2 019,2 020)
答案 B ∵y=(a-1)xa21 +x-3是二次函数,∴a2+1=2且a-1≠0,解得a=-1,
人均可支配收入为y万元,平均每个季度城镇居民人均可支配收入增长的百分率为
x,则y与x之间的函数表达式是
.
答案 y=0.75(1+x)2
新人教版九年级数学上册《二次函数》精品课件
18．一块矩形的草坪，长为8 m，宽为6 m，若将长和宽都增加x m， 设增加的面积为y m2. (1)求y与x的函数关系式； (2)若使草坪的面积增加32 m2，求长和宽都增加多少米？ 解：(1)y＝x2＋14x(x≥0) (2)当y＝32时，x2＋14x＝32，x1＝2，x2＝－16(舍去)， 即长和宽都增加2 m
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
19．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，
动点P从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，
动点 Q从 点 B开始 沿边 BC向C以4 mm/s的 速度 移动 (不 与 点C重
合)．如果P，Q分别从A，B同时出发，设运动的时间为x s，四边
形APQC的面积为y mm2.
22．1 二次函数的图象和性质
22．1.1 二次函数
1．设一个正方形的边长为x，则该正方形的面积y＝___x_2 __，其 中变量是__x_，__y__，___y____是____x___的函数．
2．一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(___a_，__b_，__c_为__常__数__且__a_≠_0______) 的函数，叫做二次函数，其中x是自变量，a，b，c分别为二次项系 数、一次项系数、常数项．
比，设边长为x厘米，当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边
长为( A )
A．6厘米 B．12厘米
C．24厘米
D．36厘米
16．某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体 形，抽屉底面周长为180 cm，高为20 cm.设底面的宽为x，抽屉的 体积为y时，求y与x之间的函数关系式．(材质及其厚度等暂忽略不 计) 解：根据题意得y＝20x(90－x)，整理得y＝－20x2＋1800x 17．某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单 价是13.5元时，平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元， 平均每天就可以多售出100件．假定每件商品降价x元，商店每天销 售这种小商品的利润是y元，请写出y与x之间的函数关系式，并注 明x的取值范围． 解：降低x元后，所销售的件数是(500＋100x)， 则y＝(13.5－2.5－x)(500＋100x)， 即y＝－100x2＋600x＋5500(0＜x≤11)
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正方形棱长为 x,表面 积为 y,则 y 关于 x的关系式 为________y_=. 6x2
此式表示了正方体的表面积y与棱长x之间的关系,对 于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数.
合作探究 达成目标
探究点一 二次函数及其相关概念
问题2:
n个球队参加比赛，每两个队之间进行一 场比赛，比赛的场次m与球队n之间有什么
5.矩形的边长分别为2cm和3cm，若每边长都增加xcm,则面积增 加ycm2，则y与x的函数关系式是_______________.
6.某工厂实行技术改造，产量每年增长x%，已知2013年的产量 为a，那么2015年的产量y与x之间的函数关系式为 _______________.
总结梳理 内化目标
y=20(1+x)2=20x2+40x+20
此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x 之间的关系,对于x的每一个值,y都有一个对 应值,即y是x的函数.
合作探究 达成目标
探究点一 二次函数及其相关概念
观察下列函数有什么共同点: y=6x2
y=20x2+40x+20
函数都是用自变量的二次式表示的.
一次函数
y=kx+b (k≠0)
正比例函数
y=kx (k≠0)
二次函数
创设情境 明确目标
创设情境 明确目标 观察姚明的投篮……
创设情境 明确目标
创设情境 明确目标
创设情境 明确目标
创设情境 明确目标
创设情境 明确目标
创设情境 明确目标
创设情境 明确目标
创设情境 明确目标
奥运赛场腾空的篮球
关系？
此式表示了比赛的场次m与球队n之间的关系,对于n 的每一个值,m都有一个对应值,即m是n的函数.
合作探究 达成目标
探究点一 二次函数及其相关概念
问题3:
某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两 年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么 两年后这种产品的产量y将由计划所定的x的值而确定, y与x之间的关系怎样表示?
(3)等式右边的最高次数为2，可以没有一次项和常数项， 但不能没有二次项 .
(4) 自变量x的取值范围是 任意实数
1.下列函数属于二次函数的是： （ A ）
A.y 8x2 1
C. y 3x2 1 x
B. y 2x 3 D. y 3
x
2.若y=(b-1)x2+3是二次函数，则b__≠_1_____.
∴ x 的取值范围是 92＜x＜9，
∴ S矩形 = xy = x（9-x）=-x2+9x．
（2）当矩形面积 S矩形 = 18 时，即 - x2 + 9x = 18，
解得 x1 = 3，x2 = 6． 当 x = 3 时，y = 9 - 3 = 6，但 y＞x ，不合题意，舍 去． 当 x = 6 时，y = 9 - 6 = 3． 所以当绿地面积为 18 m2 时，矩形的长为 6 m ，宽 为 3 m．
例 某小区要修建一块矩形绿地，设矩形的边长为x米，宽为y 米，面积为S平方米，（x＞y）． （1）如果用18米的建筑材料来修建绿地的边框（即周长）， 求S与x的函数关系，并求出x的取值范围． （2）根据小区的规划要求，所修建的绿地面积必须是18平方 米，在满足（1）的条件下，矩形的长和宽各为多少米？
思考（1） 题目中蕴涵的公式是什么？第（2）问就是已知 _S_（_函__数_值__），求___x（__自_变_量__）_的问题． （2）根据实际问题列二次函数关系式的一般步骤有哪些？求 自变量的值或二次函数值与以前学过的哪些知识相关？
解：（1）由题意，得 2x 2y 18，y 9 x． ∵ x＞y＞0，
创设情境 明确目标
河上架起的拱桥，公园的喷泉喷出 的水，投篮球或掷铅球时球在空中经过 的路线都会形成一条曲线，这些曲线是 否能用函数关系式来表示？它们的形状 是怎样画出来的？
1. 理解二次函数及有关概念． 2. 能够表示简单变量之间的二次函数关系.
合作探究 达成目标
探究点一 二次函数及其相关概念
二次函数的定义：一般地，形如 y ax2 bx c （a ，b ，c 是常数，a≠0） 的函数，叫做二次函数．其中， x 是自变量，a， b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项 系数和常数项．
注意: (1)等号左边是函数y，右边是关于自变量x的 整式
(2) a,b,c为常数，且 a≠0.
3.若函数y=(m2+m)x2m-2+3是二次函数，则m=___2_____.
4.已知函数y=(m2-m)x2+mx+(x+1)(m是常数）， 当m为何值时：
（1）当m__=_1___时，函数是一次函数； （2）当m__≠_0_和_1_____时，函数是二次函数。
合作探究 达成目标
探究点二 列出实际问题中的二次函数解析式
二次函数的一般形式： y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)
其中,是x自变量,a,b,c分别是函数表达式 的二次项系数、一次项系数和常数项.
达标检测 反思目标
C
3
2
1
解：m的值为3.
y=50(1+x)2
• 上交作业：教科书第 41页第3，5题 ．
• 课后作业：“学生用 书”的“课后作业” 部分．
知识回顾
函数的概念： 在某变化过程中的两个变量x、y，当变量
x在某个范围内取一个确定的值，另一个变量 y总有唯一的值与它对应。这样的两个变量之 间的关系我们把它叫做函数关系。对于上述 变量x、y，我们把y叫x的函数。 x叫自变量， y叫应变量。
目前，我们已经学习了那几种类型的函数？
变 量 之 间函 的数 关 系
此式表示了正方体的表面积y与棱长x之间的关系,对 于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数.
合作探究 达成目标
探究点一 二次函数及其相关概念
问题2:
n个球队参加比赛，每两个队之间进行一 场比赛，比赛的场次m与球队n之间有什么
5.矩形的边长分别为2cm和3cm，若每边长都增加xcm,则面积增 加ycm2，则y与x的函数关系式是_______________.
6.某工厂实行技术改造，产量每年增长x%，已知2013年的产量 为a，那么2015年的产量y与x之间的函数关系式为 _______________.
总结梳理 内化目标
y=20(1+x)2=20x2+40x+20
此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x 之间的关系,对于x的每一个值,y都有一个对 应值,即y是x的函数.
合作探究 达成目标
探究点一 二次函数及其相关概念
观察下列函数有什么共同点: y=6x2
y=20x2+40x+20
函数都是用自变量的二次式表示的.
一次函数
y=kx+b (k≠0)
正比例函数
y=kx (k≠0)
二次函数
创设情境 明确目标
创设情境 明确目标 观察姚明的投篮……
创设情境 明确目标
创设情境 明确目标
创设情境 明确目标
创设情境 明确目标
创设情境 明确目标
创设情境 明确目标
创设情境 明确目标
创设情境 明确目标
奥运赛场腾空的篮球
关系？
此式表示了比赛的场次m与球队n之间的关系,对于n 的每一个值,m都有一个对应值,即m是n的函数.
合作探究 达成目标
探究点一 二次函数及其相关概念
问题3:
某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两 年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么 两年后这种产品的产量y将由计划所定的x的值而确定, y与x之间的关系怎样表示?
(3)等式右边的最高次数为2，可以没有一次项和常数项， 但不能没有二次项 .
(4) 自变量x的取值范围是 任意实数
1.下列函数属于二次函数的是： （ A ）
A.y 8x2 1
C. y 3x2 1 x
B. y 2x 3 D. y 3
x
2.若y=(b-1)x2+3是二次函数，则b__≠_1_____.
∴ x 的取值范围是 92＜x＜9，
∴ S矩形 = xy = x（9-x）=-x2+9x．
（2）当矩形面积 S矩形 = 18 时，即 - x2 + 9x = 18，
解得 x1 = 3，x2 = 6． 当 x = 3 时，y = 9 - 3 = 6，但 y＞x ，不合题意，舍 去． 当 x = 6 时，y = 9 - 6 = 3． 所以当绿地面积为 18 m2 时，矩形的长为 6 m ，宽 为 3 m．
例 某小区要修建一块矩形绿地，设矩形的边长为x米，宽为y 米，面积为S平方米，（x＞y）． （1）如果用18米的建筑材料来修建绿地的边框（即周长）， 求S与x的函数关系，并求出x的取值范围． （2）根据小区的规划要求，所修建的绿地面积必须是18平方 米，在满足（1）的条件下，矩形的长和宽各为多少米？
思考（1） 题目中蕴涵的公式是什么？第（2）问就是已知 _S_（_函__数_值__），求___x（__自_变_量__）_的问题． （2）根据实际问题列二次函数关系式的一般步骤有哪些？求 自变量的值或二次函数值与以前学过的哪些知识相关？
解：（1）由题意，得 2x 2y 18，y 9 x． ∵ x＞y＞0，
创设情境 明确目标
河上架起的拱桥，公园的喷泉喷出 的水，投篮球或掷铅球时球在空中经过 的路线都会形成一条曲线，这些曲线是 否能用函数关系式来表示？它们的形状 是怎样画出来的？
1. 理解二次函数及有关概念． 2. 能够表示简单变量之间的二次函数关系.
合作探究 达成目标
探究点一 二次函数及其相关概念
二次函数的定义：一般地，形如 y ax2 bx c （a ，b ，c 是常数，a≠0） 的函数，叫做二次函数．其中， x 是自变量，a， b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项 系数和常数项．
注意: (1)等号左边是函数y，右边是关于自变量x的 整式
(2) a,b,c为常数，且 a≠0.
3.若函数y=(m2+m)x2m-2+3是二次函数，则m=___2_____.
4.已知函数y=(m2-m)x2+mx+(x+1)(m是常数）， 当m为何值时：
（1）当m__=_1___时，函数是一次函数； （2）当m__≠_0_和_1_____时，函数是二次函数。
合作探究 达成目标
探究点二 列出实际问题中的二次函数解析式
二次函数的一般形式： y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)
其中,是x自变量,a,b,c分别是函数表达式 的二次项系数、一次项系数和常数项.
达标检测 反思目标
C
3
2
1
解：m的值为3.
y=50(1+x)2
• 上交作业：教科书第 41页第3，5题 ．
• 课后作业：“学生用 书”的“课后作业” 部分．
知识回顾
函数的概念： 在某变化过程中的两个变量x、y，当变量
x在某个范围内取一个确定的值，另一个变量 y总有唯一的值与它对应。这样的两个变量之 间的关系我们把它叫做函数关系。对于上述 变量x、y，我们把y叫x的函数。 x叫自变量， y叫应变量。
目前，我们已经学习了那几种类型的函数？
变 量 之 间函 的数 关 系