2021届高一数学单元测试卷(必修第一册)第八章数学建模(能力提升)(原卷版)
2021届高一数学单元测试卷(必修第一册)第八章 数学建模(能力提升)(解析版)
第八章 数学建模能力提升学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．有一组数据，如表所示：下列函数模型中，最接近地表示这组数据满足的规律的一个是（ ）． A ．指数函数 B ．反比例函数 C ．一次函数 D ．二次函数【答案】C 【解析】随着自变量每增加1函数值大约增加2， 函数值的增量几乎是均匀的，故一次函数最接近地表示这组数据满足的规律． 故选C ．2．某产品的总成本y （万元）与产量x （台）之间的函数关系式为20.3210x y -=⨯+（010x <<，*N x ∈），若每台产品的售价为6万元，则当产量为8台时，生产者可获得的利润为（ ） A ．18.8万元 B ．19.8万元 C ．20.8万元 D ．29.2万元【答案】A 【解析】∵总成本y （万元）与产量x （台）之间的函数关系式为20.3210x y -=⨯+（010x <<，*N x ∈），且产量为8台∵总成本为820.321029.2y -=⨯+=万元 ∵每台产品的售价为6万元∵当产量为8台时，生产者可获得的利润为6829.24829.218.8⨯-=-=万元 故选A3．蔬菜价格随着季节的变化而有所变化．根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知，购买2千克甲种蔬菜与1千克乙种蔬菜所需费用之和大于8元，而购买4千克甲种蔬菜与5千克乙种蔬菜所需费用之和小于22元．设购买2千克甲种蔬菜所需费用为A 元，购买3千克乙种蔬菜所需费用为B 元，则（ ）． A ．A B < B ．A B =C ．A B >D ．A ，B 大小不确定【答案】C 【解析】设甲、乙两种蔬菜的价格分别为x ，y 元，则284522x y x y +>⎧⎨+<⎩，2A x =，3B y =，两式分别乘以22，8， 整理得12180x y ->，即230x y ->， 所以A B >． 故选C ．4．下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据，判断它最可能的函数模型是（）A．一次函数模型B．二次函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型【答案】A【解析】【分析】观察图表中函数值y随自变量x变化规律，得到：随着自变量每增加1个单位，函数值增加2个单位，函数值是均匀增加的，由此可以确定该函数模型是一次函数模型.【详解】根据已知数据可知，自变量每增加1，函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型，故选A.【点睛】该题考查的是有关根据实际问题选择函数模型的问题，在解题的过程中，需要认真分析题中所给的表格，分析所给的数据之间的关系，从而得到结果，属于简单题目.5．向如下图所示的容器中匀速注水时，容器中水面高度h随时间t变化的大致图像是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】因为容器中间凸，所以匀速注水时，开始和结束时水位高度变化快中间时水位高度变化慢，可知选C.【详解】结合容器的形状，可知一开始注水时，水高度变化较快当水位接近中部时变慢并持续一段时间，接近上部时，水位高度变快，故选C.【点睛】本题主要考查了对函数概念的理解及函数图象的认识，结合生活实践，属于中档题.6．某学生在期中考试中，数学成绩较好，英语成绩较差，为了在后半学期的月考和期末这两次考试中提高英语成绩，他决定重点加强英语学习，结果两次考试中英语成绩每次都比上次提高了10％，但数学成绩每次都比上次降低了10％，期末时这两科分值恰好均为m分，则这名学生这两科的期末总成绩和期中比，结果（）A．提高了B．降低了C．不提不降（相同）D．是否提高与m值有关系【答案】B【解析】设期中考试数学和英语成绩为a 和b,则()()22110%110%a b m -=+=,,, 2.0620.81 1.210.81 1.21m m m m a b a b m m ∴==+=+≈>,所以总成绩比期中降低了,故选B. 7．某市家庭煤气的使用量3(m )x 和煤气费()f x (元) 满足关系,0()(),C x Af x C B x A x A <≤⎧=⎨+->⎩，已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表：若四月份该家庭使用了320m 的煤气，则其煤气费为（ ）元 A ．10.5 B ．10C ．11.5D ．11【答案】C 【解析】 由题意得：C=4，将（25，14），（35，19）代入f （x ）=4+B （x ﹣A ），得：4(25)144(35)19B A B A +-=⎧⎨+-=⎩ ∵A=5，B=12 ，故x=20时：f （20）=4+12（20﹣5）=11.5. 故选：C ．点睛：这是函数的实际应用题型，根据题目中的条件和已知点得到分段函数的未知量的值，首先得到函数表达式，再根据题意让求自变量为20时的函数值，求出即可。
《数学建模 建立函数模型解决实际问题》试卷及答案_高中数学必修第一册_人教A版
《数学建模建立函数模型解决实际问题》试卷(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、某公司每小时生产零件的数量与时间的关系可以用下面哪个函数模型来表示？每天工作8小时，且生产数量随着工龄增加而增加。
A、f(t) = 100 + 2tB、f(t) = 100 + 2t^2C、f(t) = 100 + 2t^3D、f(t) = 100 + 2e^t2、一个城市为了改善交通状况，计划拓宽一条现有道路。
现有道路的宽度为10米，经过调查发现，道路的宽度每增加1米，道路的日均车流量会减少100辆。
设道路宽度从10米增加到x米，日均车流量减少的辆数为(100(x−10))。
根据上述情况，下列哪个函数模型描述了道路宽度与日均车流量之间的关系？A.(y=1000x)B.(y=1000(10−x))C.(y=1000(x+10))D.(y=1000(10−x))3、已知某工厂生产某种产品，每增加一个工人的工作效率，每天能多生产50个产品。
现有10名工人，每天能生产1000个产品。
设工人人数为x，每天生产的产品数量为y，根据题意可建立函数模型为（）A. y = 50x + 1000B. y = 50x + 100C. y = 50x + 50D. y = 50x - 10004、某次数学建模活动中，参与者需要根据给定的数据建立一个线性函数模型来描述某种商品的销售量与价格之间的关系。
已知当价格为10元时，销售量为200件；当价格为15元时，销售量为150件。
若设销售量为y，价格为x，则建立的线性函数模型为（）。
x)A、(y=200−53x)B、(y=−200+53C、(y=−200+5x)D、(y=−200+10x)5、在研究某种商品的需求关系时，研究人员得到一组数据如下：商品价格（元）为10, 15, 20, 25, 30，商品销售量（件）为500, 450, 400, 350, 300。
为了建立商品价格与销售量之间的关系，最适合采用的数学模型是：A. 二次函数模型B. 线性函数模型C. 几何模型D. 对数函数模型6、在解决实际问题时，以下哪个函数模型最适合描述某城市人口随时间的变化？A、一次函数模型C、对数函数模型D、幂函数模型7、若一家工厂每天生产x件产品，每件产品的成本为c元，售价为p元，每天的固定成本为f元，则该工厂的日利润y与x的关系式为：A)y = x(p - c) - fB)y = x(c - p) - fC)y = x(c - p) + fD)y = x(p - c) + f8、已知某工厂生产一批产品，根据实验数据得出每增加一个工时，产品的合格率增加2%，生产x个工时后，产品的合格率为y%，那么函数模型可以表示为：A、y = 2x + 1B、y = 2x² + 1C、y = x + 2D、y = 2x² + 2(x + 1)二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、以下哪些函数模型可以用来描述现实生活中的实际问题？A. 线性函数模型B. 二次函数模型C. 指数函数模型D. 对数函数模型2、一个直角三角形的两直角边长分别为a和b，斜边长为c。
2020-2021学年新教材数学北师大版(2019)必修第一册练测评：8数学建模活动(一)含解析
第八章数学建模活动(一) §1走近数学建模§2数学建模的主要步骤必备知识基础练进阶训练第一层知识点一建立数学模型1.主要是为了保持体温．研究表明，消耗的能量E与通过心脏的血液量Q成正比；并且根据生物学常识知道，动物的体重与体积成正比．血流量Q 是单位时间流过的血量，脉博率f是单位时间心跳的次数；还有一些生物学假设，例如，心脏每次收缩挤压出来的血量q与心脏大小成正比，动物心脏的大小与这个动物体积的大小成正比．动物名体重/g脉搏率/(心跳次数·min－1)鼠25670大鼠200420豚鼠300300兔 2 000205小狗 5 000120大狗30 00085羊50 00070马45000038建立脉搏率与体重的关系，讨论你模型中的假设，并用上表中的数据检验模型．知识点二数学建模的主要步骤2.种纸卷，如图，两种纸具有同样的材质和厚度，纸卷的高度和单价也一样，若预购买这种卫生纸，但不知道哪种纸卷更合算，如果没有带尺子，用什么办法可以确定合算的纸卷？为什么？知识点三数学建模的主要过程3.在意外发生的时候，建筑物内的人员是否能尽快的疏散撤离是人们普遍关心的有关人身安全保障的最大问题．根据学校情况，选一角度并提出问题，完成开题报告．关键能力综合练进阶训练第二层1．下图中的两个图形，哪一个图形能一笔画成，哪个不能？为什么？2．在一摩天大楼里有三根电线从底层控制室通向顶楼，但由于三根电线各处的转弯不同而有长短，因此三根电线的长度均未知．现在工人师傅为了在顶楼安装电气设备，需要知道这三根电线的电阻，如何测量出这三根电线的电阻？3．你是否注意到北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层玻璃且中间留有一定空隙，如左图所示，两层厚度为d的玻璃夹着一层厚度为l的空气．据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失．我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的传导(即流失)过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗(如右图，玻璃厚度为2d)的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果．模型假设：(1)热量的传播过程只有传导，没有对流．即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的．(2)室内温度T1和室外温度T2保持不变，热传导过程已处于稳定状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数．(3)玻璃材料均匀，热传导系数是常数．在上述假设下热传导过程遵从下面的物理定律：厚度为d的均匀介质，两侧温度差为ΔT，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q与ΔT成正比，与d成反比，即Q＝k ΔTd，(*)k为热传导系数．从有关资料可知，常用玻璃的热传导系数k1＝4×10－3～8×10－3 J/cm·s·kW·h，不流通、干燥空气的热传导系数k2＝2.5×10－4 J/cm·s·kW·h.4．针对“北京市区道路交通流量随时间变化规律”这一选题进行分析、思考，完成其开题报告．学科素养升级练进阶训练第1．在商场中，我们经常可以看到同一种商品会有多种大小不同的型号，其价格也各不相同．对比型号和价格，我们很容易发现：当商品的“量”增加时，价格也会增加；但是价格的增加与“量”的增加是不成比例的，也就是说你买的商品的“量”越多，商品的平均价格越低，有人认为这是商家的营销策略，买得越多越划算，这样顾客往往倾向于购买大包装的商品．大包装的商品真的是薄利多销吗？就这一问题通过调查、分析、研究，完成选题，开题报告．第八章数学建模活动(一)§1走近数学建模§2数学建模的主要步骤§3数学建模活动的主要过程必备知识基础练1．解析：建模过程如下：(1)因为动物体温通过身体表面散发热量，表面积越大，散发的热量越多，保持体温需要的能量也就越大，所以动物体内消耗的能量E 与身体的表面积S 成正比，可以表示为E ＝p 1S .又因为动物体内消耗的能量E 与通过心脏的血流量Q 成正比，可以表示为E ＝p 2Q .因此得到Q ＝pS ，其中p 1，p 2和p 均为正的比例系数．另一方面，因为体积V 与体重W 成正比，可以表示为V ＝r 1W ；又因为表面积S 大约与体积V 的23次方成正比，可以表示为S ＝r 2V 23，因此得到S ＝rW 23，其中r 1，r 2，r 为正的比例系数．所以可以构建血流量与体重关系的数学模型Q ＝k 1W 23，其中k 1为正的比例系数．(2)根据脉搏率的定义f ＝Qq ，再根据生物学假设q ＝cW (c 为正的比例系数)，最后得到f ＝Q q ＝k 1W 23cW ，也就是f ＝kW －13，其中k 为正的待定系数．脉搏率与体重关系的数学模型说明，恒温动物体重越大，脉搏率越低；脉搏率与体重的13次方成反比，表中的数据基本上反映了这个反比例的关系．右图是以ln W 和ln f 为坐标的散点图．可以看出，数据取对数之后基本满足线性关系，因此得到体重和脉搏率的对数线性模型，可以把这个模型表达为ln f ＝ln k －ln W3.2．解析：合算就是纸的量多，因为纸卷的高度和单价一样，我们只要比较两种纸卷截面的面积，取较大的就合算，为此可以各取一个纸卷，令无芯纸卷截面的圆心压在有芯纸卷截面的芯(即小圆)上，如右图，然后看无芯纸卷截面上与有芯纸卷截面的芯相切的直径端点，若端点在有芯纸卷截面的大圆上，则两种纸卷的量相等；若在其内则买有芯纸卷合算；若在其外则买无芯纸卷合算．证明：设有芯纸卷截面的内、外半径分别为r，R，大圆内与小圆相切的弦长为d，无芯纸卷截面的直径为D，于是，⎝⎛⎭⎪⎫d22＝R2－r2，当D＝d时，S有芯＝π(R2－r2)＝π⎝⎛⎭⎪⎫d22＝π⎝⎛⎭⎪⎫D22＝S无芯，当D＞d时，S有芯＝π(R2－r2)＝π⎝⎛⎭⎪⎫d22＜π⎝⎛⎭⎪⎫D22＝S无芯．当D＜d时，S有芯＝π(R2－r2)＝π⎝⎛⎭⎪⎫d22＞π⎝⎛⎭⎪⎫D22＝S无芯．要解决的问题在教学楼一楼有一排四间教室，学生可以沿教室外走廊一直走到尽头的出口，试分析学生撤离所用时间选题的原因及意义建立数学模型给出最佳撤离方案，同时就教学楼设计给出合理化建议建模问题的可行性分析教师可在教学楼内组织学生进行多次演习，只需测量几个简单的参数．基本模型、解决问题的大体思路和步骤做出合理假设，列出有关的参数．队列中人与人之间的距离将为常数，记为d，队列行进的速度也是常数v，令第i个教室中的人数为n i＋1人，第i个教室的门口到前一个教室的门口的距离为L i，教室门的宽度为D.疏散时教室内第一个人到达教室门口所用的时间忽略不计．T1,2＝⎩⎪⎨⎪⎧(L1＋L2＋D＋n2d)/v(n1＋1)d≤L2＋D[L1＋(n1＋n2＋1)d]/v(n1＋1)d＞L2＋D预期结果和结果呈现方式建立一个来描述建筑物内人员疏散的最合适的模型，一份有求解过程的文字报告参考文献《数学模型与数学建模》北京师范大学数学科学学院其他说明关键能力综合练1．解析：(1)标点：标出双数点和单数点．(2)判断：第一个只有两个单数点，所以可以一笔画，第二个有4个单数点，所以不能一笔画，2．解析：不妨用a，b，c及a′，b′，c′分别表示三根电线的底端和顶端，并用aa′，bb′，cc′分别表示三根电线，假设x，y，z 分别是aa′，bb′，cc′的电阻，这是三个未知数，电表不能直接测量出这三个未知数．然而我们可以把a′和b′连接起来，在a和b处测量得电阻x＋y为l；然后将b′和c′连接起来，在b和c处测量得y＋z为m，连接a′和c′可测得x＋z为n，这样得三元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝ly＋z＝mx＋z＝n.由三元一次线性方程组解出x，y，z即得三根电线的电阻．3．解析：记双层窗内层玻璃的外侧温度是T a，外层玻璃的内侧温度是T b，如图，玻璃的热传导系数为k1，空气的热传导系数为k2，由(*)式单位时间单位面积的热量传导(即热量流失)为Q1＝k1T1－T ad＝k2T a－T bl＝k1T b－T2d，消去T a，T b，可得Q1＝k1(T1－T2)d(s＋2)，s＝h k1k2，h＝ld，对于厚度为2d的单层玻璃窗，容易写出其热量传导为Q2＝k1T1－T22d.二者之比为Q1Q2＝2s＋2，显然Q1＜Q2.为了得到更具体的结果，我们需要k1和k2的数据.16≤k1k2≤32.在分析双层玻璃窗比单层玻璃窗可减少多少热量损失时，我们作最保守的估计，即取k1k2＝16，可得Q1Q2＝18h＋1，h＝ld，比值Q1Q2反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与h＝ld有关，我们给出Q1Q2－h的曲线，当h增加时，Q1Q2迅速下降，而当h超过一定值(比如h＞4)后Q1Q2下降变缓，可见h不必选择过大．要解决的问题随着北京城市的不断发展，交通成了饱受关注的话题，那么北京市区主要道路交通流量随时间变化有什么样的规律？学科素养升级练主要过程 成本×(1＋利润率)，所以有y ∝P .而商品的成本主要分为生产成本和包装成本两部分，分别设为P 1和P 2，即有y ∝(P 1＋P 2)．商品的生产成本P 1与商品的质量x 成比例，即P 1∝x ；而商品的包装成本P 2与商品的表面积S 成比例，即P 2∝S ，而S ∝V 23，V ∝x (这里V指商品的体积)，故有P 2∝x 23.从而我们可以假设y ＝ax ＋bx 23. 下面我们用实际数据来检验这一函数表达式的准确性，因为在函数中有两个待定系数，所以我们只需要代入两组(x ，y )值即可求出a ，b 的值． 将(65,14)和(90,17.6)代入y ＝ax ＋bx 23中，可得⎩⎪⎨⎪⎧65a ＋6523b ＝1490a ＋9023b ＝17.6，解得a ≈0.0225，b ≈0.7756，所以y ＝0.0225x ＋0.7756x 23结果检验将x ＝120代入，得y ＝21.57，与实际价格21.60元相差0.03；再将x ＝180代入，得y ＝28.77，与实际价格28.30元相差0.47元．因此，我们推导出来的函数表达式还是比较准确的．这一步得到单位质量价格y ′＝0.0225＋0.7756x －13，由几何画板做出y ′－x 的关系图为可以看出随牙膏质量的增加，单位质量价格的减小量。
2021年高中数学建模(应用)能力展示活动测试题及参考解答
的球体，卫星运行时会产生一闪一闪的效果，易于地面观测，可以用肉眼看见．目前，已经升空 41
年的东方红一号卫星仍在环绕地球飞行．2021 年 1 月 12 日 13:21:02（协调世界时 UTC）时的数据显
示东方红一号卫星的轨道为椭圆，离心率为 0.1054463，近地点高度 428km，远地点高度 2033km，
地球的表面积
R 6400
4R 2
Q
3．
（满分 26 分）每个人都是独特的，人与人千差万别．如果对所有的人用一个维度且区分度良
好的方法去评价，可能只有个别人获得满分，不妨以满分作为优秀，就会导致优秀者寥寥．如果很
多人都去争取优秀，因为机会很小， 就不得不为小小的几分、甚至是为了 1 分的成绩，不惜代价拼
（满分 26 分）对地球半径的第一次估算通常归功于希腊天文学家埃拉托斯特尼（公元前 280195 年）
．埃拉托斯特尼住在位于埃及北部沿海的尼罗河口的亚历山大港，地理位置是北纬 31°12′，
东经 29°15′．塞恩市(即现在的阿斯旺)是埃及南方的一个重要城市，位于尼罗河东岸，地理位置是
北纬 23°35′，东经 32°31′，地球的北回归线几乎穿过这里．埃拉托斯特尼知道塞恩市有一口深井，每
这样的三维数组(a,b,c)对应的几何图形是三维直角坐标系中的直四面体 O-ABC 内部及各面上的
所有整数格点，其中 OA=OB=OC=p，如下图所示．
2021 年高中数学建模（应用）能力展示活动测试题及参考解答
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这样的(a,b,c)个数可以从顶点 A 开始向下计算，在每个整数坐标处做平行
2021年高一数学单元测试定心试卷：第八章 数学建模(基础过关)(原卷版北师大版必修一)
精品资源教育学院2021年高一单元测试定心试卷学校：姓名：班级：学号：老师：分数：第八章数学建模基础过关学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．“依法纳税是每个公民应尽的义务”，国家征收个人所得税是分段计算的，总收入不超过800元，-元，税率免征个人所得税，超过800元部分需征税，设全月纳税所得额为x，x=全月总收入800见下表：某人一月份应缴纳此项税款26.78元，则他当月工资总收入介于（）A．800~900元B．900~1200元C．1200~1500元D．1500~2600元2．据你估计，一种商品在销售收入不变的条件下，其销量y与价格x之间的关系最可能是下图中的（）A．B．C．D．3．如图是我国2008年—2017年GDP年增量统计图．下列说法正确的是（）A．2009年GDP比2008年GDP少B．与上一年比，GDP年增量的增量最大的是2017年C．从2011年到2015年，GDP年增量逐年减少D．2016年GDP年增长率比2012年GDP年增长率小4．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为()A．y＝0.2x(0≤x≤4 000)B ．y ＝0.5x (0≤x ≤4 000)C ．y ＝－0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)D ．y ＝0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)5．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费为：电动自行车1元/辆，普通自行车0.5元/辆．若该天普通自行车存车x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 与x 的函数关系式为（ ） A ．y ＝0.5x （0≤x ≤4 000）B ．y ＝1.5x （0≤x ≤4 000）C ．y ＝－0.5x ＋4 000（0≤x ≤4 000）D ．y ＝0.5x ＋4 000（0≤x ≤4 000）6．某研究小组在一项实验中获得一组关于,y t 之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中最能近似刻画y 与t 之间关系的是（ ）A ．22y t =B ．2t y =C ．2log y t =D ．3y t =7．某工厂在某年12月份的产值是这年1月份的产值的m 倍，则该厂在本年度的产值的月平均增长率为（ ）A ．11mB ．12m C．1 D18．某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d （每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度l 对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量q 满足关系式1122T q l d d λλλ∆=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其中玻璃的热传导系数31410λ-=⨯焦耳/（厘米·度），不流通、干燥空气的热传导系数42 2.510λ-=⨯焦耳/（厘米·度），T ∆为室内外温度差，q 值越小，保温效果越好，现有4。
2021-2022学年北师大版高中数学必修1全册检测含答案
本册综合测试时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共50分) 一、选择题(每小题5分，共50分)1．已知集合M ＝{x |－3<x <1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M ∩N ＝( C ) A ．{－2，－1,0,1} B ．{－3，－2，－1,0} C ．{－2，－1,0}D ．{－3，－2，－1}解析：由交集的意义可知M ∩N ＝{－2，－1,0}． 2．函数f (x )＝x －4lg x －1的定义域是( D ) A ．[4，＋∞) B ．(10，＋∞) C ．(4,10)∪(10，＋∞)D ．[4,10)∪(10，＋∞) 解析：要使函数有意义需⎩⎪⎨⎪⎧ x －4≥0，lg x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，x ≠10，解得：4≤x <10或x >10.3．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表，则f (x )的奇偶性是( C )A.奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数，又是偶函数解析：由2＝4α知α＝12，∴f (x )＝x 12 为非奇非偶函数．4．已知集合A ＝{2,0,1,4}，B ＝{k |k ∈R ，k 2－2∈A ，k －2∉A }，则集合B 中所有元素之和为( B )A ．2B ．－2C ．0D. 2 解析：A ＝{2,0,1,4}，B ＝{k |k ∈R ，k 2－2∈A ，k －2∉A }，①当k 2－2＝2时，k ＝±2，k ＝2时，k －2＝0∈A ，∴k ≠2；k ＝－2时，k －2＝－4∉A ，成立；②当k 2－2＝0时，k ＝±2，k －2＝±2－2∉A ，成立； ③当k 2－2＝1时，k ＝±3，k －2＝±3－2∉A ，成立； ④当k 2－2＝4时，k ＝±6，k －2＝ ±6－2∉A ，成立．从而得到B ＝{±2，±3，±6，－2}，∴集合B 中所有元素之和为－2.故选B. 5．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0”的是( C )A ．f (x )＝ln xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝1x ＋1D ．f (x )＝x 3 解析：对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，即x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，即有f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 对于A ，y ＝ln x 在(0，＋∞)上是增函数，故A 不满足；对于B ，函数在(－∞，1)上是减函数，(1，＋∞)上是增函数，故B 不满足； 对于C ，函数在(－1，＋∞)，(－∞，－1)上均为减函数，则在(0，＋∞)上是减函数，故C 满足；对于D ，函数在R 上是增函数，故D 不满足． 故选C.6．已知f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1，x <32，log 3(x 2－1)，x ≥32，则f (f (2))的值是( C )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：∵f (2)＝log 3(22－1)＝log 33＝1， ∴f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2.7．函数f (x )＝－x 2＋2(a －1)x ＋2在(－∞，4)上是增函数，则实数a 的范围是( D ) A ．a ≤－3 B ．a ≤5 C ．a ≥3D ．a ≥5解析：因为函数f (x )＝－x 2＋2(a －1)x ＋2在(－∞，4)上是增函数，所以－2(a －1)－2≥4，即a ≥5，故选D.8．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用( D )A ．一次函数B ．二次函数C ．指数型函数D ．对数型函数解析：由题意可知，函数模型对应的函数是个增函数，而且增长速度越来越慢，故应采用对数型函数来建立函数模型，故选D.9．函数f (x )的零点与g (x )＝4x ＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f (x )可以是( C )A ．f (x )＝e x －1B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝4x －1D ．f (x )＝ln(x －12)解析：g (12)＝2＋1－2＞0，g (14)＝2＋12－2＜0；且g (x )＝4x ＋2x －2连续，故g (x )＝4x ＋2x －2的零点在(14，12)上；f (x )＝e x －1的零点为0，f (x )＝(x －1)2的零点为1； f (x )＝4x －1的零点为14，f (x )＝ln(x －12)的零点为32；故选C.10．若函数y ＝f (x )定义域为R ，且满足f (－x )＝－f (x )，当a ，b ∈(－∞，0]时总有f (a )－f (b )a －b>0(a ≠b )，若f (m ＋1)>f (2)，则实数m 的取值范围是( B ) A ．－3≤m ≤1 B ．m >1C ．－3<m <1D ．m <－3或m >1解析：∵当a ，b ∈(－∞，0]时总有f (a )－f (b )a －b >0(a ≠b )，∴当a ，b ∈(－∞，0]，a －b 与f (a )－f (b )同号， ∴f (x )在(－∞，0]上单调递增， 又∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，∴f (x )在R 上为增函数， ∴由f (m ＋1)>f (2)得，m ＋1>2， ∴m >1.第Ⅱ卷(非选择题，共100分) 二、填空题(每小题5分，共25分)11．计算：lg 12－lg 58＋lg 252－log 89×log 278＝13.解析：lg 12－lg 58＋lg 252－log 89×log 278＝lg ⎝⎛⎭⎫12×85×252－2lg33lg2×3lg23lg3＝lg10－23＝1－23＝13. 12．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x >0时，f (x )＝2x －3，则f (－2)＝1. 解析：f (－2)＝f (2)＝22－3＝1.13．已知函数y ＝log a (14x ＋b )(a ，b 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图像如图所示，则a ＋b的值为34.解析：由图像知，log a b ＝2，log a (34＋b )＝0，解得，b ＝14，a ＝12；故a ＋b ＝34.故答案为：34.14．若函数f (x )＝x 2＋a |x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是[－4,0]．解析：f (x )＝x 2＋a |x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a ，x ≥2x 2－ax ＋2a ，x <2，要使f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则⎩⎨⎧－a2≤2a 2≤0，解得－4≤a ≤0；∴实数a 的取值范围是[－4,0]．故答案为[－4,0]． 15．下列叙述：①存在m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·x m 2－4m ＋3是幂函数； ②函数y ＝1x ＋1在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数；③函数y ＝log 2x ＋x 2－2在(1,2)内只有一个零点；④定义域内任意两个变量x 1，x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，则f (x )在定义域内是增函数．其中正确的结论序号是①③④.解析：①使f (x )＝(m －1)·x m 2－4m ＋3是幂函数，则 m －1＝1，得m ＝2，此时f (x )＝x －1，故①正确；②减区间应为(－∞，－1)和(－1，＋∞)不能合并，故②错误；③∵f (1)＝log 21＋1－2＝－1<0，f (2)＝lg 22＋22－2＝3>0，∴f (1)f (2)<0，且f (x )在(1,2)上单调递增．故③正确；④由已知得x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)同号，∴f (x )在定义域上为增函数．三、解答题(本题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本题满分12分)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＞4}，B ＝{x |－6＜x ＜6}． (1)求A ∩B ； (2)求∁R B ；(3)定义A －B ＝{x |x ∈A ，x ∉B }，求A －B ，A －(A －B )． 解：(1)∵A ＝{x |x ＞4}，B ＝{x |－6＜x ＜6}， ∴A ∩B ＝{x |4＜x ＜6}； (2)∁R B ＝{x |x ≥6，或x ≤－6}； (3)∵A －B ＝{x |x ∈A ，x ∉B }， ∴A －B ＝{x |x ≥6}， A －(A －B )＝{x |4＜x ＜6}．17．(本题满分12分)(1)计算：(8125)－ 13 －(－35)0＋160.75＋(0.25) 12 ；(2)已知：log 32＝a,3b ＝5，试用a ，b 表示log 330 . 解：(1)原式＝(1258) 13 －1＋16 34 ＋(25100)12＝52－1＋23＋510＝10； (2)∵3b ＝5，∴b ＝log 35，∴log 330＝12log 330＝12log 3(2×3×5)＝12(log 32＋log 33＋log 35)＝12(a ＋b ＋1)． 18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a ＋b x (b ＞0，b ≠1)的图像过点(1,4)和点(2,16)． (1)求f (x )的表达式； (2)解不等式f (x )＞(12)3－x 2；(3)当x ∈(－3,4]时，求函数g (x )＝log 2f (x )＋x 2－6的值域．解：(1)由题知⎩⎪⎨⎪⎧4＝a ＋b ，16＝a ＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝－3.(舍去)∴f (x )＝4x .(2)f (x )＞(12)3－x 2，∴4x ＞(12)3－x 2，∴22x ＞23－x 2，∴2x ＞x 2－3， 解得－1＜x ＜3.∴不等式的解集为(－1,3)．(3)∵g (x )＝log 2f (x )＋x 2－6＝log 24x ＋x 2－6 ＝2x ＋x 2－6＝(x ＋1)2－7， 又∵x ∈(－3,4]，∴g (x )min ＝－7，当x ＝4时，g (x )max ＝18.∴值域为[－7,18]．19．(本题满分12分)如图，有一块矩形空地，要在这块空地上辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB ＝a (a >2)，BC ＝2，且AE ＝AH ＝CF ＝CG ，设AE ＝x ，绿地面积为y .(1)写出y 关于x 的函数关系式，指出这个函数的定义域； (2)当AE 为何值时，绿地面积最大？ 解：(1)S △AEH ＝S △CFG ＝12x 2，S △BEF＝S △DGH ＝12(a －x )(2－x )．∴y ＝S ▭ABCD －2S △AEH －2S △BEF ＝2a －x 2－(a －x )(2－x )＝－2x 2＋(a ＋2)x . 由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，a －x >0，2－x ≥0，a >2，得0<x ≤2，∴y ＝－2x 2＋(a ＋2)x,0<x ≤2； (2)当a ＋24<2，即2<a <6时， 则x ＝a ＋24时，y 取最大值(a ＋2)28；当a ＋24≥2，即a ≥6时，y ＝－2x 2＋(a ＋2)x ，在(0,2]上是增函数，则x ＝2时，y 取最大值2a －4.综上所述：当2<a <6时，AE ＝a ＋24时，绿地面积取最大值(a ＋2)28；当a ≥6时，AE ＝2时，绿地面积取最大值2a －4.20．(本题满分13分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋a2x ＋1是奇函数．(1)求a 值；(2)判断并证明该函数在定义域R 上的单调性；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求实数k 的取值范围． 解：(1)由题设，需f (0)＝－1＋a2＝0，∴a ＝1，∴f (x )＝1－2x1＋2x，经验证，f (x )为奇函数，∴a ＝1.(3)由f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0， 得f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )，∵f (x )是奇函数，∴f (t 2－2t )<f (k －2t 2)， 由(2)知，f (x )是减函数， ∴原问题转化为t 2－2t >k －2t 2， 即3t 2－2t －k >0对任意t ∈R 恒成立， ∴Δ＝4＋12k <0，解得k <－13，所以实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－13. 21．(本题满分14分)已知函数f (x )＝bx －aax (a ＞0，x ＞0)的图像过点(a,0)．(1)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性并用函数单调性定义加以证明； (2)若a ＞15，函数f (x )在[15a ，5a ]上的值域是[15a，5a ]，求实数a 的值．解：(1)函数f (x )＝bx －a ax (a ＞0，x ＞0)的图像过点(a,0)，则0＝ab －aa 2，则b ＝1，则f (x )＝x －a ax ＝1a －1x， f (x )在(0，＋∞)上为增函数，证明如下：设0＜m ＜n ，则f (m )－f (n )＝1a －1m －(1a －1n )＝m －nmn ，由于0＜m ＜n ，则m －n＜0，mn ＞0，则f (m )－f (n )＜0，则f (x )在(0，＋∞)上为增函数． (2)由于f (x )在(0，＋∞)上为增函数，则函数f (x )在[15a ，5a ]上的值域是[f (15a)，f (5a )]，即有⎩⎨⎧1a －5a ＝15a1a －15a ＝5a，解得a ＝25.。
高一数学模块测试题课标社A必修1部分 试题
卜人入州八九几市潮王学校2021年高一数学模块测试题(必修1局部)说明：本试题分第I 卷和第II 卷两局部，总分值是120分，时间是90分钟一、 选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分一共计60分。
1.集合P={x|x 2-1=0}，T ＝｛-1，0，1｝，那么P 与T 的关系为〔〕A.PTB.PTC.P=TD.PT2.设A={x|20≤≤x }，B={y|12≤≤y },以下列图形表示集合A 到集合B 的函数图形的是〔〕4.以下列图像表示的函数能用二分法求零点的是〔〕A.3B.8C.18D.26.)(x f 0是定义在〔),0+∞上的单调增函数，假设)2()(x f x f ->，那么x 的范围是〔〕Ax>1B.x<1C.0<x<2D.1<x<27.假设函数c bx x x f ++=2)(对任意实数都有)2()2(x f x f -=+，那么〔〕A)4()1()2(f f f << B.)4()2()1(f f f << C.)1()4()2(f f f << D.)1()2()4(f f f <<），在（且0)10(|,|log )(∞-≠>=a a x x f a 上单调递增，那么)2()1(f a f 与+的大小关系为〔〕A)2()1(f a f =+B )2()1(f a f >+ C.)2()1(f a f <+9.集合A={5,6,7,8},设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应法那么分别如下表1和表2所示：⊂≠≠⊃⊆表1表2 那么与f 〔g 〔5〕〕的值一样的为〔〕A.g 〔f〔5〕〕B.g 〔f 〔6〕〕C.g 〔f 〔7〕〕D.g[f(8)]10.函数f(x)=x 2-4x+5在区间[0,m]上的最大值为5，最小值为1，那么m 的取值范围是〔〕 A.),2[+∞ B.[2,4]C.(]2,∞-D 。
2021-2022学年新教材高中数学 模块综合测评(含解析)新人教A版选择性必修第一册
模块综合测评(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线kx-y-1=0与直线x+2y-2=0的交点在第四象限,则实数k 的取值范围为( )A.(-12,12) B.(-12,0)C.(12,+∞) D.(-∞,-12){kx -y -1=0,x +2y -2=0,解得{x =41+2k ,y =2k -11+2k ,∴41+2k >0且2k -11+2k <0, ∴-12<k<12.2.(2020浙江湖州期末)在空间直角坐标系中,若直线l 的方向向量为a =(1,-2,1),平面α的法向量为n =(2,3,4),则( ) A.l ∥αB.l ⊥αC.l ⊂α或l ∥αD.l 与α斜交a ·n =1×2+(-2)×3+1×4=0,可知a ⊥n .∴l ∥α或l ⊂α.3.设直线l 1:y=k 1x+1,l 2:y=k 2x-1,其中实数k 1,k 2满足k 1k 2+2=0,则l 1与l 2的交点一定在( )A.2x 2+3y 2=1(x ≠0)上B.x 2+2y 2=1(x ≠0)上C.2x 2+y 2=1(x ≠0)上D.3x 2+2y 2=1(x ≠0)上l 1:y=k 1x+1,∴k 1=y -1x (x ≠0);直线l 2:y=k 2x-1,∴k 2=y+1x(x ≠0).又k 1k 2+2=0,∴y -1x ·y+1x +2=0,整理得2x 2+y 2=1(x ≠0),∴l 1与l 2的交点一定在2x 2+y 2=1(x ≠0)上.4.在下列条件中,使点M 与点A ,B ,C 一定共面的是( )A.OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗B.OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC⃗⃗⃗⃗⃗ C.MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0D.OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0A,由OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得1-1-1=-1≠1,所以M ,A ,B ,C 四点不共面; 对于B,由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得15+13+12≠1,所以M ,A ,B ,C 四点不共面;对于C,由MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为共面向量,即M ,A ,B ,C 四点共面;对于D,由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),其系数和不为1,所以M ,A ,B ,C 四点不共面.5.已知圆C 1:x 2+(y+m )2=2与圆C 2:(x-m )2+y 2=8恰有两条公切线,则实数m 的取值范围是( ) A.(1,3) B.(-1,1)C.(3,+∞)D.(-3,-1)∪(1,3)C 1:x 2+(y+m )2=2与圆C 2:(x-m )2+y 2=8恰有两条公切线,∴两圆相交.又C 1圆心为(0,-m ),半径为√2,C 2圆心为(m ,0),半径为2√2,∴√2<√2|m|<3√2,即1<|m|<3,解得-3<m<-1或1<m<3.6.(2020安徽池州模拟)已知MN 是正方体内切球的一条直径,点P 在正方体表面上运动,正方体的棱长是2,则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为( ) A.[0,4] B.[0,2] C.[1,4] D.[1,2]O ,则OM=ON=1,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵MN 为球O 的直径,∴OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1, ∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1. 又点P 在正方体表面上移动,当P 为正方体顶点时,|PO⃗⃗⃗⃗⃗ |最大,最大值为√3; 当P 为内切球与正方体的切点时,|PO⃗⃗⃗⃗⃗ |最小,最小值为1, ∴PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1∈[0,2],即PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[0,2].7.过双曲线C :x 2a 2−y2b2=1的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A ,若以双曲线C 的右焦点F 为圆心、以2为半径的圆经过A ,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的离心率为( ) A.√3B.2C.√5D.3y=±b a x ,所以A (a ,b )或A (a ,-b ),因此|AF|=c=2, 即√(2-a )2+b 2=2,整理可得a 2+b 2-4a=0. 因为a 2+b 2=c 2=4,解得a=1,所以双曲线的离心率为e=ca =2.8.(2021黑龙江大庆一模)由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面,用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质:一束平行于抛物线轴的光线,经过抛物面的反射集中于它的焦点.用一过抛物线轴的平面截抛物面,将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中,对称轴与x 轴重合,顶点与原点重合,如图,若抛物线过点A (14,1),平行于对称轴的光线经过点A 反射后,反射光线交抛物线于点B ,则线段AB 的中点到准线的距离为( )A.254B.258C.174D.2y 2=mx ,将A 的坐标代入可得12=14m ,可得m=4, 所以抛物线的方程为y 2=4x ,可得焦点F (1,0),准线方程为x=-1,由题意可得反射光线过焦点(1,0),所以直线AB 的方程为y -01-0=x -114-1,整理可得y=-43(x-1),联立{y =-43(x -1),y 2=4x ,解得{y 1=-4,y 2=1,代入直线方程可得{x 1=4,x 2=14,所以反射光线与抛物线的两个交点A (14,1),B (4,-4),所以AB 的中点为(178,-32),所以AB 的中点到准线的距离d=178+1=258.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点,如果AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0),AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-1),则下列结论正确的有( ) A.AP ⊥ABB.AP ⊥ADC.AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD 的一个法向量D.AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×(-1)+(-1)×2+(-4)×(-1)=0,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AP ⊥AB ,故A 正确; ∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1)×4+2×2+(-1)×0=0, ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AP ⊥AD ,故B 正确;由AP ⊥AB ,AP ⊥AD ,且AB ∩AD=A ,得出AP⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD 的一个法向量,故C 正确; 由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD 的法向量,得出AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故D 错误.10.设F 1,F 2分别是双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A 为双曲线的左顶点,以F 1,F 2为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M ,N 两点(M 在x 轴上方,N 在x 轴下方),c 为双曲线的半焦距,O 为坐标原点.则下列说法正确的是( ) A.点N 的坐标为(a ,b ) B.∠MAN>90°C.若∠MAN=120°,则双曲线C 的离心率为√213D.若∠MAN=120°,且△AMN 的面积为2√3,则双曲线C 的方程为x 23−y 24=1y=b a x ,代入圆x 2+y 2=c 2=a 2+b 2,解得M (a ,b ),N (-a ,-b ),故A 错误;由于A (-a ,0),M (a ,b ),N (-a ,-b ),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a ,b ),AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-b ),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-b 2<0,则∠MAN>90°,故B 正确;若∠MAN=120°, 由余弦定理得4c 2=(a+a )2+b 2+b 2-2√(a +a )2+b 2·b cos120°,化简得7a 2=3c 2,即e=c a =√213,故C 正确;由△AMN 的面积为2√3,得12ab ×2=2√3,再由a 2+b 2=c 2,7a 2=3c 2,解得a=√3,b=2,即有双曲线C 的方程为x 23−y 24=1,故D 正确.11.过抛物线y 2=2px (p>0)焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,作AC ,BD 垂直抛物线的准线l 于C ,D 两点,其中O 为坐标原点,则下列结论正确的是( )A.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA⃗⃗⃗⃗⃗ B.存在λ∈R ,使得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAO ⃗⃗⃗⃗⃗ 成立C.FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0D.准线l 上任意一点M ,都使得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >0⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故A 正确; 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),可得C (-p 2,y 1),D (-p2,y 2),又直线OA 的斜率k OA =y 1x 1=2p y 1,直线AD 的斜率k AD =y 1-y 2x 1+p 2,设直线AB 方程为x=my+p 2,代入抛物线的方程,可得y 2-2pmy-p 2=0,可得y 1y 2=-p 2,即有y 1(y 1-y 2)=y 12-y 1y 2=2px 1+p 2,则k OA =k AD ,即存在λ∈R ,使得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAO ⃗⃗⃗⃗⃗ 成立,故B 正确;FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-p ,y 1)·(-p ,y 2)=y 1y 2+p 2=0,故C 正确;由抛物线的定义可得|AB|=|AC|+|BD|,可得以AB 为直径的圆的半径与梯形ACDB 的中位线长相等,即该圆与CD 相切,设切点为M ,即AM ⊥BM ,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故D 不正确.12.(2021江苏海安检测)双纽线像数字“8”,不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美,同时也具有特殊的有价值的艺术美,是形成其他一些常见的漂亮图案的基石,也是许多设计者设计作品的主要几何元素.曲线C :(x 2+y 2)2=4(x 2-y 2)是双纽线,则下列结论正确的是( )A.曲线C经过5个整点(横、纵坐标均为整数的点)B.曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2C.曲线C关于直线y=x对称的曲线方程为(x2+y2)2=4(y2-x2)D.若直线y=kx与曲线C只有一个交点,则实数k的取值范围为(-∞,-1]∪[1,+∞)y=0时,x4=4x2,解得x=0或2或-2,即曲线过整点(0,0),(2,0),(-2,0),结合图象可知-2≤x≤2,令x=±1,得y2=2√3-3,不是整点,∴曲线C共经过3个整点,故A错误;x2+y2=4(x2-y2)≤4,曲线C上任取一点P(x,y)到原点的距离d=√x2+y2≤2,故B正确;x2+y2曲线C上任取一点M关于y=x的对称点为N,设N(x,y),则M(y,x),M在曲线C上,∴(x2+y2)2=4(y2-x2),故C正确;y=kx与曲线C一定有公共点(0,0),∵y=kx与曲线C只有一个公共点,则x4(1+k2)=4x2(1-k2),∴1-k2≤0,∴k≥1或k≤-1,故D正确.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.设向量a=(1,2,λ),b=(2,2,-1),若cos<a,b>=4,则实数λ的值为.9a=(1,2,λ),b=(2,2,-1),所以a ·b =2+4-λ=6-λ,|a |=√1+4+λ2=√5+λ2, |b |=√4+4+1=3.若cos <a ,b >=49,则a ·b |a ||b |=√5+λ2×3=49, 化简得7λ2+108λ-244=0, 解得λ=-1227或λ=2, 则实数λ的值为-1227或2.-1227或2 14.(2020浙江宁波期末)如图,在空间四边形OABC 中,E ,F 分别是AB ,BC 的中点,H 是EF 上一点,且EH=14EF ,记OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则(x ,y ,z )= ;若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∠BOC=60°,且|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,则|OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= .OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +14EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ −OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+14×12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=38OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +18OC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴(x ,y ,z )=(38,12,18). ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∠BOC=60°, 且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |=1, ∴OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(38OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +18OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=9 64|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |2+14|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |2+164|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2×12×18×cos60°=9 64+14+164+116=3064,∴|OH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√308.(3 8,12,18)√30815.(2021河北邢台检测)在△ABC中,A,B分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点C在椭圆上,且∠ABC=30°,(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则该椭圆的离心率为.,作平行四边形ABEC,由(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得AE⊥BC,故|AC|=|AB|=2c.又∠ABC=30°,∴|BC|=2×2c sin60°=2√3c.由椭圆的定义知2a=|AC|+|BC|=2(1+√3)c,故a=(√3+1)c,∴离心率e=ca =√3+1=√3-12.16.(2020山东临沂期末)如图,光线从P(a,0)(a>0)出发,经过直线l:x-3y=0反射到Q(b,0),该光线又在Q点被x轴反射,若反射光线恰与直线l平行,且b≥13,则实数a 的最小值是.P 关于直线l 的对称点P'(m ,n ),直线l 的斜截式方程y=13x ,所以{0+n2=13·a+m2,n -0m -a ·13=-1,解得{m =45a ,n =35a ,所以点P'(45a ,35a).根据两点式得到直线P'Q 的方程为y -035a -0=x -b45a -b ,整理可得3ax-(4a-5b )y-3ab=0. 因为反射光线恰与直线l 平行,所以3a 4a -5b =-13,所以a=513b. 又因为b ≥13,所以a ≥5, 则a 的最小值是5.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)(2020安徽黄山期末)圆心为C 的圆经过点A (-4,1),B (-3,2),且圆心C 在直线l :x-y-2=0上. (1)求圆C 的标准方程;(2)过点P (3,-1)作直线m 交圆C 于M ,N 两点且|MN|=8,求直线m 的方程.由已知直线AB 的斜率k AB =1,AB 中点坐标为(-72,32),所以AB垂直平分线的方程为x+y+2=0.则由{x+y+2=0,x-y-2=0,解得{x=0,y=-2,所以圆心C(0,-2),因此半径r=|AC|=5,所以圆C的标准方程为x2+(y+2)2=25.(2)由|MN|=8可得圆心C到直线m的距离d=√52-42=3,所以当直线m斜率不存在时,其方程为x=3,即x-3=0;当直线m斜率存在时,设其方程为y+1=k(x-3),则d=√k2+1=3,解得k=-43,此时其方程为4x+3y-9=0.所以直线m的方程为x-3=0或4x+3y-9=0.18.(12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中点.(1)借助向量证明平面A1BD∥平面B1CD1;(2)借助向量证明MN⊥平面A1BD.建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),A1(2,0,2),B(2,2,0),B1(2,2,2),C(0,2,0),D1(0,0,2),设平面A 1BD 的法向量为m =(x ,y ,z ),∵DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2),DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),∴{DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·m =0,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,即{2x +2z =0,2x +2y =0,令x=-1,则平面A 1BD 的一个法向量m =(-1,1,1).同理平面B 1CD 1的一个法向量为n =(-1,1,1), ∴m ∥n ,∴平面A 1BD ∥平面B 1CD 1.(2)∵M ,N 分别为AB ,B 1C 的中点, ∴M (2,1,0),N (1,2,1),∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,1),∴MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥m , ∴MN ⊥平面A 1BD.19.(12分)如图,在矩形ABCD 中,AB=3,AD=6,点E ,F 分别在AD ,BC 上,且AE=1,BF=4,沿EF 将四边形AEFB 折成四边形A'EFB',使点B'在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上.(1)求证:平面B'CD ⊥平面B'HD ; (2)求证:A'D ∥平面B'FC ;(3)求直线HC与平面A'ED所成角的正弦值.ABCD中,CD⊥DE,点B'在平面CDEF上的射影为H,则B'H⊥平面CDEF,且CD⊂平面CDEF,∴B'H⊥CD.又B'H∩DE=H,∴CD⊥平面B'HD.又CD⊂平面B'CD,∴平面B'CD⊥平面B'HD.A'E∥B'F,A'E⊄平面B'FC,B'F⊂平面B'FC,∴A'E∥平面B'FC.由DE∥FC,同理可得DE∥平面B'FC.又A'E∩DE=E,∴平面A'ED∥平面B'FC,∴A'D∥平面B'FC.,过点E作ER∥DC,过点E作ES⊥平面EFCD,分别以ER,ED,ES为x,y,z轴建立空间直角坐标系.∵B'在平面CDEF上的射影H在直线DE上,∴设B'(0,y,z)(y>0,z>0).∵F (3,3,0),且B'E=√10,B'F=4,∴{y 2+z 2=10,9+(y -3)2+z 2=16,解得{y =2,z =√6,∴B'(0,2,√6),∴FB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,-1,√6), ∴EA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14FB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-34,-14,√64. 又ED⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,5,0), 设平面A'DE 的法向量为n =(a ,b ,c ),则有{n ·EA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,n ·ED ⃗⃗⃗⃗⃗=0,即{-3a -b +√6c =0,5b =0,解得b=0,令a=1,得平面A'DE 的一个法向量为n =(1,0,√62). 又C (3,5,0),H (0,2,0), ∴CH ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,-3,0),∴直线HC 与平面A'ED 所成角的正弦值为sin θ=|cos <CH ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|CH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·n ||CH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=√1+0+4×√9+9+0=√55.20.(12分)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,点M 在抛物线C 上,点A (-2p ,0).若当MF ⊥x 轴时,△MAF 的面积为5. (1)求抛物线C 的方程;(2)若∠MFA+2∠MAF=π,求点M 的坐标.当MF ⊥x 轴时,点M (p 2,±p),F (p2,0),则|AF|=p 2+2p=5p2,|MF|=p , ∴S △MAF =12|AF|·|MF|=12×5p 2×p=5,解得p=2,∴抛物线方程为y 2=4x.(2)设M (x 0,y 0),由(1)可知A (-4,0),F (1,0),∴|AF|=5. ∵∠MFA+2∠MAF=π,在△FAM 中,有∠MFA+∠MAF+∠AMF=π, ∴∠MAF=∠AMF ,∴|FA|=|FM|. 又|MF|=x 0+p 2=x 0+1,∴x 0+1=5,∴x 0=4,∴y 0=±4.故点M 的坐标为(4,4)或(4,-4).21.(12分)(2021江苏南通模拟)如图,在四棱锥P-ABCD 中,四边形ABCD 是等腰梯形,AB ∥DC ,BC=CD=2,AB=4.M ,N 分别是AB ,AD 的中点,且PD ⊥NC ,平面PAD ⊥平面ABCD.(1)证明:PD ⊥平面ABCD ;(2)已知三棱锥D-PAB 的体积为23,求平面PNC 与平面PNM 的夹角的大小.DM ,则DC ∥BM 且DC=BM ,所以四边形BCDM 为平行四边形,所以DM ∥BC 且DM=BC ,所以△AMD 是等边三角形,所以MN ⊥AD.因为平面PAD ⊥平面ABCD ,且平面PAD ∩平面ABCD=AD ,所以MN ⊥平面PAD.因为PD ⊂平面PAD ,所以PD ⊥MN.又因为PD ⊥NC ,且MN ∩NC=N ,MN ⊂平面ABCD ,NC ⊂平面ABCD , 所以PD ⊥平面ABCD.BD ,则BD ∥MN ,所以BD ⊥AD ,BD ⊥PD.在Rt △DAB 中,DA 2+DB 2=AB 2, 又AD=2,AB=4,所以DB=2√3,故△DAB 的面积为S △DAB =12·DA ·DB=2√3. 由等体积法可得V D-PAB =V P-DAB =13·PD ·S △DAB =13·PD ·2√3=23,所以PD=√33. 建立空间直角坐标系如图所示,则D (0,0,0),N (1,0,0),C (-1,√3,0),M (1,√3,0),P (0,0,√33),所以PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-√33),NC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,√3,0),NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0). 设平面PNC 的法向量为n =(x ,y ,z ),则有{PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{x -√33z =0,-2x +√3y =0,令x=1,则y=2√33,z=√3,所以平面PNC 的一个法向量n =(1,2√33,√3).设平面PNM 的法向量为m =(a ,b ,c ),则有{PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,即{a -√33c =0,√3b =0,解得b=0,令a=1,则c=√3,所以平面PNM 的一个法向量m =(1,0,√3).所以n ·m =1+3=4,|n |=4√33,|m |=2,所以|cos <n ,m >|=|n ·m ||n ||m |=4√33×2=√32,则平面PNC 与平面PNM 的夹角的大小为30°.22.(12分)(2020江苏镇江期末)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)经过点P (2,1),且离心率为√32,直线l 与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M. (1)求椭圆C 的方程;(2)若∠APB 的角平分线与x 轴垂直,求PM 长度的最小值.因为椭圆经过点P ,且离心率为√32,所以{22a2+12b 2=1,ca=√32,其中a 2=b 2+c 2,解得{a 2=8,b 2=2,所以椭圆的方程为x 28+y 22=1.(2)因为∠APB 的角平分线与x 轴垂直,所以直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数.设直线PA 的斜率为k (k ≠0),则直线PA 的方程为y=k (x-2)+1,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{y =k (x -2)+1,x 28+y 22=1,得(1+4k 2)x 2+8k (1-2k )x+16k 2-16k-4=0,所以2x1=16k2-16k-41+4k2,即x1=8k2-8k-21+4k2,y1=k(8k2-8k-21+4k2-2)+1=-4k2-4k+11+4k2,即A(8k2-8k-21+4k2,-4k2-4k+11+4k2),同理可得B(8k2+8k-21+4k2,-4k2+4k+11+4k2),则M在直线x+2y=0上,所以PM的最小值为P到直线x+2y=0的距离,即d=√5=4√55,此时M(65,-35)在椭圆内,所以PM的最小值为4√55.。
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模块综合测评(教师用书独具)(满分：150分时间：120分钟)第Ⅰ卷一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． )1．若直线l 的方向向量为a ＝(1，0，2)，平面α的法向量为n ＝(－2，0，－4)，则( ) A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α相交但不垂直 B [因为a ∥n ，所以l ⊥α．]2．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA →1＋xAB →＋yAD →，则x 、y 的值分别为( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝1，y ＝12C ．x ＝12，y ＝12D ．x ＝12，y ＝1C [因为AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12AB →＋12AD →，所以x ＝12，y ＝12．]3．已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是( ) A ．x 2＝－12y B ．x 2＝12yC ．y 2＝－12xD ．y 2＝12xA [由抛物线开口向下，且焦准距为6知，其标准方程是x 2＝－12y ．] 4．已知双曲线y 2a2－x 2＝1的一条渐近线方程为y ＝3x ，则该双曲线的离心率是( )A ．23B ．3 C ．2 D ．233D [双曲线y 2a2－x 2＝1的渐近线为y ＝±ax ，又渐近线方程为y ＝3x ，所以a ＝3，b ＝1，所以c ＝2，所以离心率e ＝23＝233．]5．设抛物线C :y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若|AB |＝163，则p ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [由|AB |＝2p sin 2θ，得2p ＝|AB |sin 2θ＝163×34＝4，所以p ＝2．]6．将A 、B 、C 、D 四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且A 、B 两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有( )A ．15B ．18C ．30D ．36C [先分组，有C 24－1＝5种，再分配，有5A 33＝30种．]7．若直线ax ＋by ＝1经过点M (cos α，sin α)，则( ) A ．a 2＋b 2≥1B ．a 2＋b 2≤1 C ．a ＋b ≥1D ．a ＋b ≤1A [易知点M 在圆x 2＋y 2＝1上，所以直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1有公共点，所以|－1|a 2＋b 2≤1，所以a 2＋b 2≥1．]8．已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A ．x 22＋y 2＝1B ．x 23＋y 22＝1C ．x 24＋y 23＝1D ．x 25＋y 24＝1B [设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m ．由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．如图．不妨设A (0，－b )，由F 2(1，0)，AF 2→＝2F 2B →，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，b 2．由点B 在椭圆上，得94a 2＋b 24b 2＝1，得a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1．]二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)9．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)．若P (ξ＞2)＝0.023，则( ) A ．P (ξ<－2)＝0.023B ．P (ξ＞－2)＝0.977 C ．P (ξ＞0)＝0.5D ．P (－2≤ξ≤2)＝0.954 [答案]ABCD10．已知随机变量ξ＋η＝8，若ξ～B (10，0.6)，则下列说法正确的是( ) A ．E ξ＝6B ．D ξ＝2.4 C ．E η＝2D ．D η＝2.4ABCD[因为ξ～B(10，0.6)，所以Eξ＝10×0.6＝6，Dξ＝10×0.6×0.4＝2.4，又ξ＋η＝8，所以Eη＝E(8－ξ)＝－6＋8＝2，Dη＝D(8－ξ)＝(－1)2Dξ＝2.4．]11．若对圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上任意一点P(x，y)，||3x－4y＋a＋||3x－4y－9的取值与x，y无关，则实数a的可能取值是( )A．－4 B．－6 C．7 D．6CD[设z＝||3x－4y＋a＋||3x－4y－9＝5⎝⎛⎭⎪⎪⎫||3x－4y＋a5＋||3x－4y－95，故|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|可以看作点P到直线m：3x－4y＋a＝0与直线l：3x－4y －9＝0距离之和的5倍，∵取值5x，y无关，∴这个距离之和与P无关．如图所示，可知直线m向下平移时，点P到直线m，l间的距离之和均为m，l间的距离，即此时与x，y的值无关，当直线m与圆相切时，|3－4＋a|9＋16＝1，化简得|a－1|＝5，∴a ＝6或a＝－4(舍去)，∴a≥6，故选CD．]12．已知点F为抛物线C：y2＝2px，p＞0的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法正确．．的是( )A．使得△MFK为等腰三角形的点M有且仅有4个B．使得△MFK为直角三角形的点M有且仅有4个C．使得∠MKF＝45°的点M有且仅有4个D．使得∠MKF＝30°的点M有且仅有4个ABD [若KF ＝MF ，则M 有两个点，若MK ＝MF ，则M 不存在，若MK ＝KF ，则M 有两个点，故使得△MFK 为等腰三角形的点M 有且仅有4个．在△MFK 中，∠MFK 为直角的点M 有两个点，∠MKF 为直角的点M 不存在，∠FMK 为直角的点M 有两个点，故使得△MFK 为直角三角形的点M 有且仅有4个．若∠MKF ＝π4的M 在第一象限，可得直线MK ：y ＝x ＋p2，代入抛物线的方程可得x 2－px ＋p 24＝0，解得x ＝p2，由对称性可得在第四象限只有1个， 则满足∠MKF ＝π4的M 只有2个．使得∠MKF ＝π6的点M 在第一象限，可得直线MK ：y ＝33⎝⎛⎭⎪⎫x ＋p 2， 代入抛物线的方程，可得x 2－5px ＋p 24＝0，Δ＝25p 2－p 2＝24p 2＞0，可得点M 有2个，若点M 在第四象限，由对称性可得也有2个，则使得∠MKF ＝π6的点M 有且仅有4个．]第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －2x n的展开式中第三项的二项式系数比第二项的系数大35，则展开式中x 的系数为________(用数字作答)．560[第三项的二项式系数为C 2n ，第二项的系数为－2C 1n ，依题意C 2n ＋2C 1n ＝35，解得n＝7，所以T k ＋1＝C k 7x 7－k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2x k ＝C k 7(－2)k x 7－32k ，令7－32k ＝1，求得k ＝4，则 展开式中x 的系数为C 47(－2)4＝560．]14．已知随机变量的ξ的分布列为：ξ －1 0 2Px 13y若E ξ＝3，则D ξ＝________．149[依题意x ＋y ＋13＝1，所以x ＋y ＝23， 又E ξ＝－x ＋2y ＝13，解得x ＝y ＝13，所以D ξ＝[⎝⎛⎭⎪⎫－1－132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－132]×13＝149．]15．已知直线l ：mx －y ＝1．若直线l 与直线x －my －1＝0平行，则 (1)m 的值为________；(2)动直线l 被圆x 2＋2x ＋y 2－24＝0截得的弦长最短为________． －1 223[(1)当m ＝0时，不符合；当m ≠0时，由两直线平行，斜率相等得m ＝1m，解得m ＝1或－1，又当m ＝1时，两直线相同，不符合， 所以m ＝－1．(2)圆x 2＋2x ＋y 2－24＝0的圆心O (－1，0)，半径R ＝5， 所以圆心到直线l 的距离d ＝|－m －1|m 2＋1，所以弦长AB ＝225－m ＋12m 2＋1＝224－2mm 2＋1≥224－2m2m＝223，当m ＝1时，取等号．]16．如图，有7个白色正方形方块排成一列，现将其中4块涂上黑色，规定从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有________种．14[C36＝20(种)涂法，满足从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总少于白色方块的有：(1)第2，3格涂白色共4种涂法，(2)第2，4，5格涂白色共1种涂法，(3)第3，4，5格涂白色共1种涂法．∴满足从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有C36－4－1－1＝14(种)．]四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女1055合计法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望和方差．附：χ2＝n ad －bc2a ＋bc ＋da ＋cb ＋d，P (χ2≥k ) 0.1 0.05 0.01 k2.7063.8416.635[解](1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计7525100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得χ2＝n ad －bc2a ＋bc ＋da ＋cb ＋d＝100×30×10－45×15275×25×45×55＝10033≈3.030．因为3.030＞2.706，所以有90%的把握认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14．由题意X ～B (3，14)，从而X 的分布列为X 0 1 2 3 P27642764964164 EX ＝np ＝3×4＝4，DX ＝np (1－p )＝3×14×34＝916．18． (本小题满分12分)已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．(1)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； (2)ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．[解]记A 1、A 2分别表示依方案甲需化验1次、2次， B 1、B 2分别表示依方案乙需化验2次、3次，A 表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数．依题意知A 2与B 2独立．(1)P (A 1)＝1C 15＝15，P (A 2)＝A 14A 25＝15，P (B 2)＝C 24·C 12C 35·C 13＝25．又A ＝A 1＋A 2B 2，所以P (A )＝P (A 1＋A 2·B 2) ＝P (A 1)＋P (A 2·B 2)＝P (A 1)＋P (A 2)·P (B 2)＝15＋15×25＝725，所以P (A )＝1－P (A )＝1825＝0.72．(2)ξ的可能取值为2，3．P (ξ＝2)＝P (B 1)＝C 34C 35＋C 24C 35·C 13＝35，P (ξ＝3)＝P (B 2)＝25，所以E ξ＝2×35＋3×25＝125＝2.4(次)．19．(本小题满分12分)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2022年的粮食需求量．[解](1)由所给数据得出，年需求量与年份之间是近似直线上升的，下面求回归直线方程，为此对数据预处理如下：年份－2016－4－202 4需求量－257－21－1101929对预处理后的数据，容易算得x＝0，y＝3.2，b^＝－4×－21＋－2×－11＋2×19＋4×29－5×0×3.242＋22＋22＋42－5×02＝26040＝6.5，a^＝y－b^x＝3.2．由上述计算结果，知所求回归直线方程为Y－257＝b(X－2016)＋a＝6.5(X－2 016)＋3.2．①即Y＝6.5(X－2016)＋260.2．(2)利用直线方程①，可预测2022年粮食需求量为6.5(2 022－2 016)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)≈300(万吨)．20．(本小题满分12分)如图，E为等腰梯形ABCD的底边AB的中点，AD＝DC＝CB＝12AB＝2，将△ADE沿ED折成四棱锥ABCDE，使AC＝6．(1)证明：平面AED⊥平面BCDE；(2)求二面角EACB的余弦值．[解](1)证明：由题意可得△AED为等边三角形，取ED的中点为O，则AO＝3，OC＝3，∴AC 2＝AO 2＋OC 2，∴AO ⊥OC ，又AO ⊥ED ，ED ∩OC ＝O ， ∴AO ⊥平面ECD ，又AO ⊂平面AED ， ∴平面AED ⊥平面BCDE ．(2)如图建立空间直角坐标系，则EA →＝(0，1，3)，CA →＝(－3，0，3)，BC →＝(0，2，0)，设平面EAC 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，面BAC 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由⎩⎨⎧EA →·m ＝0CA →·m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋3z 1＝0－3x 1＋3z 1＝0，取z 1＝1，则x 1＝1，y 1＝－3，∴m ＝(1，－3，1)．由⎩⎨⎧BC →·n ＝0CA→·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2y 2＝0－3x 2＋3z 2＝0，取z 2＝1，则x 2＝1，y 2＝0，∴m ＝(1，0，1)，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m ||n |＝105．即二面角E AC B 的余弦值为105．21．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，以椭圆的2个焦点与1个短轴端点为顶点的三角形的面积为22．(1)求椭圆的方程；(2)如图，斜率为k的直线l过椭圆的右焦点F，且与椭圆交于A ，B两点，以线段AB为直径的圆截直线x＝1所得的弦的长度为5，求直线l的方程．[解](1)由椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为63，得c＝63a，b＝33a，由S＝12·2c·b＝23a2＝22得a＝6，b＝2，所以椭圆方程为x26＋y22＝1．(2)设直线l AB：y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y＝k x－2x2＋3y2－6＝0得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0，所以，x1＋x2＝12k21＋3k2，x1x2＝12k2－61＋3k2．所以|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝26·1＋k21＋3k2，x0＝6k21＋3k2，点M到直线x＝1的距离为d＝|x0－1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6k21＋3k2－1＝|3k2－1|1＋3k2．由以线段AB为直径的圆截直线x＝1所得的弦的长度为5得⎝⎛⎭⎪⎫|AB|22－d2＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫522，所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6·1＋k21＋3k22－⎝⎛⎭⎪⎫3k2－11＋3k22＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫522，解得k＝±1，所以直线l的方程为y＝x－2或y＝－x＋2．22．(本小题满分12分)已知椭圆C 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，两个焦点为(－1，0)，(1，0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．[解](1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 由题意，c ＝1，且11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3，b 2＝－34(舍去)． 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1．(2)设直线AE 方程为：y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－12＝0设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )，因为点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，所以x E ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－123＋4k 2，y E ＝kx E ＋32－k ，又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代k ，可得x F ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋k 2－123＋4k 2，y F ＝－kx F ＋32＋k ，所以直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E＝－k x F ＋x E ＋2k x F －x E＝－k ⎝⎛⎭⎪⎫4⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋k 2－123＋4k 2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－123＋4k 2＋2k4⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋k 2－123＋4k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－123＋4k 2＝12k3＋4k 224k 3＋4k 2＝12，即直线EF 的斜率为定值，其值为12．。
2021_2022学年新教材高中数学模块综合测评含解析新人教A版必修第一册202105152103
模块综合测评(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |x <－1或x >3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－2<x <－1} B ．{x |－2<x <3} C ．{x |－1<x <1}D ．{x |1<x <3}A [在数轴上表示出集合A ，B ，如图所示．由图知A ∩B ＝{x |－2<x <－1}．] 2．函数f (x )＝x －1x ＋1在区间[2,3]上的最大值为( )A ．13B ．1C ．2D ．12D [∵f (x )＝x －1x ＋1＝1－2x ＋1在区间[2,3]上单调递增，∴函数f (x )＝x －1x ＋1在区间[2,3]上的最大值为f (3)＝3－13＋1＝12，故选D.]3．已知α，β∈R ，则“存在k ∈Z 使得α＝k π＋(－1)k β”是“sin α＝sin β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 C [当k ＝2n 为偶数时，α＝2n π＋β， 此时sin α＝sin(2n π＋β)＝sin β，当k ＝2n ＋1为奇数时，α＝2n π＋π－β，此时sin α＝sin(π－β)＝sin β，即充分性成立，当sin α＝sin β，则α＝2n π＋β，n ∈Z 或α＝2n π＋π－β，n ∈Z ，即α＝k π＋(－1)kβ，即必要性成立，则“存在k ∈Z 使得α＝k π＋(－1)k β”是“sin α＝sin β”的充要条件，故选C.]4．已知x ，y ∈R ，则x >y >0，则( ) A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0D ．ln x ＋ln y >0 C [∵x ，y ∈R ，且x >y >0，则1x <1y ，sin x 与sin y 的大小关系不确定，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，ln x ＋ln y 与0的大小关系不确定．故选C.] 5．函数y ＝ln cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2的图象是()A. B.C. D.A [由偶函数排除B 、D ，∵0<cos x ≤1，∴y ≤0，∴排除C.故选A.]6．已知α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，则cos 2α＝( )A ．2425B ．725C ．－2425D ．±2425A [∵0<α<π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，∴π4<α＋π4<π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45， ∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝45×22－35×22＝210. ∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2102＝2425.故选A.]7．已知函数y ＝a x －2＋2(a >0，a ≠1)的图象恒过定点(m ，n )，且函数y ＝log 2(mx 2＋bx ＋n )在区间(－∞，1]上单调递减，则实数b 的取值X 围为( )A ．[－5，－4)B ．(－5，－4]C ．(－∞，－4)D ．(－∞，－4]B [∵函数y ＝a x －2＋2(a >0，a ≠1)的图象恒过定点(2,3)，∴m ＝2，n ＝3，∴y ＝log 2(2x 2＋bx ＋3)．又y ＝log 2(2x 2＋bx ＋3)在区间(－∞，1]上单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b 4≥12＋b ＋3>0，∴－5<b ≤－4，故选B.]8．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K1＋e －0.23t －53，其中K 为最大确诊病例数．当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( )A ．60B ．63C ．66D ．69C [由题意可知，当I (t *)＝0.95K 时，K1＋e －0.23t *－53＝0.95K ，即10.95＝1＋e －0.23(t *－53)，e －0.23(t *－53)＝119，e 0.23(t *－53)＝19，∴0.23(t *－53)＝ln 19≈3，∴t *≈66.故选C.]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2，则下列结论正确的是( )A ．a >0B ．b >0C ．c >0D ．a ＋b ＋c >0 BCD [因为不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2，故相应的二次函数f (x )＝ax 2＋bx＋c 的图象开口向下，所以a <0，故A 错误；易知2和－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则有c a ＝－1<0，－b a ＝32>0，又a <0，故b >0，c >0，故BC 正确；由二次函数的图象(图略)可知f (1)＝a ＋b ＋c >0，故D 正确．故选BCD.]10．对于函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋c (a ，b ∈R ，c ∈Z )，选取a ，b ，c 的一组值去计算f (－1)和f (1)，所得出的正确结果可能是( )A ．2和6B ．3和9C ．4和11D ．5和13ABD [函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋c ，所以f (1)＝a ＋b sin 1＋c ，f (－1)＝－a －b sin 1＋c .所以f (1)＋f (－1)＝2c ，因为c ∈Z ，所以f (1)＋f (－1)为偶数，故四个选项中符合要求的为ABD.故选ABD.]11．关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |的叙述正确的是( ) A ．f (x )是偶函数B ．f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递增C ．f (x )在[－π，π]有4个零点D ．f (x )的最大值为2AD [A.∵f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )是偶函数，故正确；B ．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，f (x )＝sin|x |＋|sin x |＝2sin x ，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，故错误；C ．当x ∈[0，π]时，令f (x )＝sin|x |＋|sin x |＝2sin x ＝0，得x ＝0或x ＝π，又f (x )在[－π，π]上为偶函数，∴f (x )＝0在[－π，π]上的根为－π，0，π，有3个零点，故错误；D ．∵sin|x |≤1，|sin x |≤1，当x ＝π2＋2k π(k ∈Z )或x ＝－π2－2k π(k ∈Z )时两等号同时成立，∴f (x )的最大值为2，故正确．故选AD.] 12．设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．1a <1bB ．ab <0C ．a ＋b <0D ．ab <a ＋bBCD [∵a ＝log 0.20.3＝lg 0.3－lg 5>0，b ＝log 20.3＝lg 0.3lg 2<0，∴1a >0>1b ，a ＋b ＝lg 0.3lg 2－lg 0.3lg 5＝lg 0.3lg 5－lg 2lg 2lg 5＝lg 0.3lg52lg 2lg 5，ab ＝－lg 0.3lg 2·lg 0.3lg 5＝lg 0.3·lg103lg 2lg 5，∵lg 103>lg 52，lg 0.3lg 2lg 5<0，∴ab <a ＋b <0.故选BCD.]三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．设扇形的周长为6，面积为2，则扇形中心角的弧度数是________．1或4[设扇形的半径为R ，圆心角为α，则⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋αR ＝6，12αR 2＝2，解得α＝1或4.]14．十九世纪德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就卓著，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q0，x ∈∁R Q被称为狄利克雷函数．狄利克雷函数是无法画出图象的，但它的图象却客观存在，若点(2，y )在其图象上，则y ＝________.0[∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q0，x ∈∁R Q，又2∈∁R Q ，∴y ＝0.]15．设ω>0，若函数f (x )＝2sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递增，则ω的取值X 围是________．(0,1]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤92，5[令2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k πω－π2ω≤x ≤2k πω＋π2ω(k ∈Z )，当k ＝0时，－π2ω≤x ≤π2ω，由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧π2ω≥π2ω>0，即0<ω≤1，当k ＝1时，3π2ω≤x ≤5π2ω，由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧5π2ω≥π23π2ω≤π3，即92≤ω≤5.故答案为(0,1]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤92，5.]16．设函数f (x )＝3xx 2＋9的最大值是a ，则a ＝_______.若对于任意的x ∈[0,2)，a >x 2－x＋b 恒成立，则b 的取值X 围是_______．(本题第一空2分，第二空3分)12⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32[当x ≤0时，f (x )≤0；当x >0时，f (x )＝3xx 2＋9＝3x ＋9x ≤32x ·9x＝329＝12， 当且仅当x ＝9x，即x ＝3时取等号，综上可得，f (x )max ＝12，即a ＝12.由题意知x 2－x ＋b <12在x ∈[0,2)上恒成立， 即x 2－x ＋b －12<0在x ∈[0,2)上恒成立． 令φ(x )＝x 2－x ＋b －12，x ∈[0,2)，则φ(x )<φ(2)，则4－2＋b －12≤0，即b ≤－32.]四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)计算下列各题：(1)0.008 1＋()42＋(8)－16－0.75； (2)(lg 5)2＋lg 2·lg 50＋2.[解](1)0.008 1＋()42＋()8－16－0.75 ＝(0.34)＋2＋2－24×(－0.75)＝0.3＋2－3＋2－2－2－3 ＝0.55.(2)(lg 5)2＋lg 2·lg 50＋2＝(lg 5)2＋lg 2·[lg(2×52)]＋2·2 ＝(lg 5)2＋lg 2·(lg 2＋2lg 5)＋2 5＝(lg 5＋lg 2)2＋2 5＝1＋25.18．(本小题满分12分)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表如下：ωx ＋φ 0 π2π 3π22π x π12π37π125π613π12 A sin (ωx ＋φ)4 0－4(1)(2)若函数f (x )的值域为A ，集合C ＝{x |m －6≤x ≤m ＋3}且A ∪C ＝C ，某某数m 的取值X 围．[解](1)根据表中已知数据，解得A ＝4，ω＝2， 即f (x )＝4sin(2x ＋φ)，又由当x ＝π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝4，解得φ＝－π6，函数表达式为f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (0)＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－2，f (π)＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－2.(2)由(1)可得f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈[－4,4]，所以A ＝[－4,4]，又A ∪C ＝C ，所以A ⊆C ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －6≤－4，m ＋3≥4，解得1≤m ≤2.所以实数m 的取值X 围是[1,2]．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6(a >0)，且满足________．(1)求函数f (x )的解析式及最小正周期；(2)若关于x 的方程f (x )＝1在区间[0，m ]上有两个不同解，某某数m 的取值X 围． 从①f (x )的最大值为1，②f (x )的图象与直线y ＝－3的两个相邻交点的距离等于π，③f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．[解](1)函数f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π6－1＝(a ＋1)sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1.若满足①f (x )的最大值为1，则a ＋1＝2，解得a ＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)令f (x )＝1，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1，解得2x －π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π3＋k π，k ∈Z ；若关于x 的方程f (x )＝1在区间[0，m ]上有两个不同解，则x ＝π3或4π3.所以实数m 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫4π3，7π3.若满足②f (x )的图象与直线y ＝－3的两个相邻交点的距离等于π，且f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，所以－(a ＋1)－1＝－3，解得a ＝1. 以下解法均相同．若满足③f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝(a ＋1)sin π6－1＝0，解得a ＝1.以下解法均相同．20．(本小题满分12分)已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图象上．(1)求f (x )的表达式； (2)设g (x )＝f (x )－x －2，求函数y ＝g (x )的零点，推出函数y ＝g (x )的另外一个性质(只要求写出结果，不要求证明)，并画出函数y ＝g (x )的简图．[解](1)因为f (x )为幂函数，所以设f (x )＝x a ，又(2，2)在f (x )的图象上，所以(2)a ＝2⇒a ＝2，所以f (x )＝x 2.(2)由(1)知f (x )＝x 2，故g (x )＝x 2－1x 2，令g (x )＝0，解得x ＝1或x ＝－1，故函数y ＝g (x )的零点为±1.g (x )＝x 2－1x 2，故其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R ，又g (－x )＝(－x )2－1－x 2＝x 2－1x2＝g (x )， 故g (x )为偶函数，根据单调性的性质可知g (x )在(0，＋∞)上单调递增，在 (－∞，0)上单调递减；(以上性质任选其一即可)函数y ＝g (x )的图象如图．21.(本小题满分12分)如图，在半径为3，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ ，使点Q 在OA 上，点N ，M 在OB 上，设矩形PNMQ 的面积为y .(1)按下列要求写出函数的关系式：①设PN ＝x ，将y 表示成x 的函数关系式；②设∠POB ＝θ，将y 表示成θ的函数关系式；(2)请你选用(1)中的一个函数关系式，求出y 的最大值．[解](1)①因为QM ＝PN ＝x ，所以MN ＝ON －OM ＝3－x 2－x 3， 所以y ＝MN ·PN ＝x ·3－x 2－33x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <32. ②当∠POB ＝θ时，QM ＝PN ＝3sin θ，则OM ＝sin θ，又ON ＝3cos θ， 所以MN ＝ON －OM ＝3cos θ－sin θ，所以y ＝MN ·PN ＝3sin θcos θ－3sin 2θ⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π3. (2)由②得，y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 θ＋π6－32， 当θ＝π6时，y 取得最大值为32. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3x3x －27， g (x )＝－lg[－f (x )]，设g (x )的定义域为A .(1)求A ；(2)用定义证明f (x )在A 上的单调性，并直接写出g (x )在A 上的单调性；(3)若g (a 2－sin x )≤g (a ＋1＋cos 2x )对一切x ∈R 恒成立，某某数a 的取值X 围．[解](1)g (x )＝－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 27－3x ， 要使函数有意义，则3x27－3x >0， 即27－3x >0，∴x <3，故函数的定义域为(－∞，3)．(2)f (x )在(－∞，3)上单调递减． 证明如下：设x 1<x 2<3， 则f (x 1)－f (x 2)＝3x 13x 1－27－3x 23x 2－27＝273x 2－3x 13x 1－273x 2－27， 又x 1<x 2<3，∴3x 2－3x 1>0,3x 1－27<0,3x 2－27<0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在(－∞，3)上单调递减， ∴g (x )在(－∞，3)上单调递减．(3)∵g (a 2－sin x )≤g (a ＋1＋cos 2x )对一切x ∈R 恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－sin x <3，a 2－sin x ≥a ＋1＋cos 2x ， 由a 2－sin x <3，可得a 2<3＋sin x ， 又3＋sin x ≥2，∴a 2<2，即－2<a < 2. 由a 2－sin x ≥a ＋1＋cos 2x ，可得 a 2－a ≥1＋cos 2x ＋sin x . 又1＋cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋2≤－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＋2＝94， ∴a 2－a ≥94，解得a ≤1－102，或a ≥1＋102. 又－2<a <2， 故a 的取值X 围为⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－2，1－102.。
高一数学必修模块一测试题必修一 试题
卜人入州八九几市潮王学校二十2021年高一数学必修模块一测试题班级总分一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题4分，一共48分.在每一小题的4个选项里面,只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的. 1.集合}0)2(|{=-=x x x A ，那么〔〕A.0∈AB.2∉AC.-1∈AD.0∉A 2.集合A 到B 的映射12:+=→x y x f ,那么A 中元素2在B 中的象是〔〕A.2B.5C.6D.83.4.A.y 25.在同一坐标系中，函数x y 2=与x y )2(=的图象之间的关系是〔〕A.关于y 轴对称B.关于x 轴对称C.关于原点对称D.关于直线x y =对称)2lg(1)(++-=x x x f 的定义域为〔〕7.以下函数中，在区间(0，+∞)上是减函数的是〔〕A.x x y 22+-= B.3x y = C.12+=-x y D.x y 2log =8.函数⎩⎨⎧><-=02012)(x x x x f x ,, ,那么)3(f 的值是〔〕A.8B.7C.6D.5 9.函数2)(x x f =，那么)1(+x f 等于〔〕AB C DA.22++x x B.12+x C.222++x x D.122++x x10.定义在R 上的函数)(x f 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数)(x f )一定存在零点的区间是〔〕A.(-∞，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，+∞) 11．假设偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，那么以下关系式中成立的是〔〕A ．)1()23()2(-<-<f f f B ．)2()23()1(f f f <-<-C ．)23()1()2(-<-<f f f D ．)2()1()23(f f f <-<-一组数据，将其整理得到如下列图 的散点图，以下函数中，最能近似 刻画y 与t 之间关系的是〔〕 A.2t y = B.22y t = C.3y t = D.2log y t =二、填空题：本大题一一共6小题,每一小题4分,一共24分.将答案填在题中横线上.{}{}{} ,,,,, ,,, ,,U a b c d e A c d e B a b e ===,那么集合=B A C U )(14.试比较2212208090log 71...., ., .的大小关系,并按照从小到大的顺序排列是.15.计算：=-)16(log 2log 23.)(x f 满足3)0(=f ，0)3()1(=-=f f ，那么)(x f =.17．假设函数22y x ax =++在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a 的取值范围是.18.)(x f 是定义在[)2,0-∪(]0,2上的奇函数，当0>x 时，)(x f 的图象如右图所示，那么)(x f 的值域是.三、解答题：本大题一一共4小题,一共48分.x1 2 3f (x )322xy O19.计算以下各式的值，写出计算过程〔I 〕3222132)278()21(1627-----+〔II 〕5lg 20lg )2(lg 2⨯+)(x f 是R 上的偶函数,且当0>x 时,函数的解析式为.)(12-=xx f (I)求)(1-f 的值;(II)用定义证明)(x f 在),(+∞0上是减函数;(III)求当0<x时,函数的解析式;21.某服装厂消费一种服装,每件本钱为40元,出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订购,决定当一次定购量超过100件时,每多订购一件，订购的全部服装的单价就降低0.02元.根据场调查,销售商一次的订购量不超过500件.(I)当一次订购量为x 件时,求出该服装的出厂单价;(II)当销售商订购了450件服装时,该服装厂获得的利润是多少元 22.函数()1f x x ax =++(a ∈R).〔I 〕试给出a 的一个值，并画出此时函数的图象； 〔II 〕假设函数)(x f 在R 上具有单调性，求a 的取值范围.二十2021年高一数学必修模块一测试题答案一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题4分，一共48分.在每一小题的4个选项里面,只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的. 1.集合A =｛x |x (x -1)=0｝，那么 A.0∈A B.1∉A C.-1∈A D.0∉A 答案：A说明：考察元素与集合的关系.A 课本习题-A 组-5-(2)改编.2.集合A 到B 的映射f ：x →y =2x +1，那么集合A 中元素2在B 中的象是 A.2B.5 C.6D.8 答案：B.说明：考察映射的概念.B 课本练习题-3改编. 3.以下四个图形中，不是．．以x 为自变量的函数的图象是答案：C4.A.y y 2C.yD.y =2x x答案：B.说明：考察函数的根本概念.A 课本例2改编. 5.在同一坐标系中，函数y =2x与y =1()2x的图象之间的关系是 A.关于y 轴对称B.关于x 轴对称 C.关于原点对称D.关于直线y =x 对称 答案：A. “考虑〞改编.)2lg(1)(++-=x x x f 的定义域为(B)7.以下函数中，在区间(0，+∞)上是减函数的是 A.y =-x 2+2xB.y =x 3C.y =2-x+1D.y =log 2xABC D答案：C.说明：考察根本初等函数的单调性.2021年夏季会考说明中例如题改编.8.函数f (x )=21,0,2,0,xx x x -<⎧⎨>⎩那么f (3)的值是 A.8B.7 C.6D.5 答案：A.说明：考察函数的表示，对分段函数的理解，2021年夏季会考题改编. 9.函数f (x )=x 2，那么f (x +1)等于A.x 2+x +2B.x 2+1C.x 2+2x +2D.x 2+2x +1答案：D.说明：考察函数的概念即函数的计算.B 课本练习5改编.10.定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x 1 2 3 f (x )那么函数f (x )一定存在零点的区间是 A.(-∞，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，+∞) 答案：C.说明：考察函数零点的概念及求法.A 课本习题-A 组-2改编. 11．假设偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，那么以下关系式中成立的是〔〕A ．)1()23()2(-<-<f f fB ．)2()23()1(f f f <-<-C ．)23()1()2(-<-<f f f D ．)2()1()23(f f f <-<-答案：A 考察函数单调性、奇偶性及其应用。
2021-2022学年新教材高中数学 模块综合测评训练(含解析)北师大版选择性必修第一册
模块综合测评(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020江西景德镇期末)直线kx-y-1=0与直线x+2y-2=0的交点在第四象限,则实数k 的取值范围为( )A.-12,12B.-12,0 C.12,+∞ D.-∞,-12{kx -y -1=0,x +2y -2=0,解得x=41+2k ,y=2k -11+2k ,∴41+2k >0且2k -11+2k <0, ∴-12<k<12.2.(2020浙江湖州期末)在空间直角坐标系中,若直线l 的方向向量为a =(1,-2,1),平面α的法向量为n =(2,3,4),则( ) A.l ∥αB.l ⊥αC.l ⊂α或l ∥αD.l 与α相交但不垂直a ·n =2×1+(-2)×3+1×4=0,可知a ⊥n .∴l ∥α或l ⊂α.3.已知圆C 1:x 2+(y+m )2=2与圆C 2:(x-m )2+y 2=8恰有两条公切线,则实数m 的取值范围是( )A.(1,3)B.(-1,1)C.(3,+∞)D.(-3,-1)∪(1,3)圆C1:x2+(y+m)2=2与圆C2:(x-m)2+y2=8恰有两条公切线,∴两圆相交.由圆心C1(0,-m),半径R=√2,圆心C2(m,0),半径r=2√2,则|C1C2|=√2|m|,若两圆相交,则满足r-R<|C1C2|<R+r,即√2<√2|m|<3√2,所以1<|m|<3,解得-3<m<-1或1<m<3.4.2位男生和3位女生共5位同学站成一排,若3位女生中有且只有2位女生相邻,则不同排法的种数是() A.36 B.24 C.72 D.144,分3步进行分析:①把3位女生分为2组,有C2=3种情况,3②将2位男生全排列,有A2=2种情况,2③2位男生全排列后形成的3个空位,在其中任选2个,安排2个女生组,需要考虑2个女生组内两人之间的顺序,有A 32A 22=12种情况,故有3×2×12=72种不同排法, 故选C.5.椭圆x 2m 2+1+y 2m 2=1(m>0)的焦点为F 1,F 2,上顶点为A ,若∠F 1AF 2=π3,则m=( )A.1 B .√2 C .√3 D.2O ,由题意可得c=√m 2+1-m 2=1,b=m ,又因为∠F 1AF 2=π3,可得∠F 1AO=π6, 可得tan ∠F 1AO=1m =√33,解得m=√3.6.过双曲线C :x 2a 2−y2b 2=1的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A ,若以双曲线C 的右焦点F 为圆心、半径为2的圆经过A ,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的离心率为( ) A .√3 B.2 C .√5 D.3y=±b a x ,所以A (a ,b )或A (a ,-b ),因此|AF|=c=2, 即√(2-a )2+b 2=2,整理可得a 2+b 2-4a=0, 因为a 2+b 2=c 2=4,解得a=1,所以双曲线的离心率为e=c a =2.7.(2020江苏如皋期末)埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜,它的神奇远远超过了人类的想象.在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857,因为142857×2=285714,142857×3=428571,142857×4=571428,…,所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下发现:142+857=999,428+571=999,285+714=999,…,从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数x,剩下的三个数字构成另一个三位数y,若x+y=999,则所有可能的有序实数组(x,y)的个数为()A.48B.60C.96D.120,数字142857中,两个数字之和为9的组合有1+8=9,2+7=9,4+5=9,共3组,若x+y=999,对于x,其百位数字可以为6个数字中任意1个,假设为1,则y的百位数字必须为8,则x,y的百位数字有C61种选法,x的十位数字可以为剩下4个数字中任意1个,假设为2,则y的十位数字必须为7,则x,y的十位数字有C41种选法,x的个位数字可以为剩下2个数字中任意1个,y的个位数字为最后1个,则x,y的个位数字有C21种选法,则所有可能的有序实数组(x,y)的个数为C61C41C21=48(个).8.某市为弘扬我国优秀的传统文化,组织全市10万中小学生参加网络古诗词知识答题比赛,总分100分,经过分析比赛成绩,发现成绩X服从正态分布N(82,16),请估计比赛成绩不小于90分的学生人数约为()参考数据:P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 4,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997 4A.2 280B.3 170C.3 415D.460N(82,16),可得μ=82,σ=4,则P(74<X<90)=P(82-2×4<X<82+2×4)≈0.9544.∴P(X≥90)≈1×(1-0.9544)=0.0228.2估计比赛成绩不小于90分的学生人数约为100000×0.0228=2280.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4),AD⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0),AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-1).下列结论正确的有()A.AP⊥ABB.AP⊥ADC.AP⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD的一个法向量⃗⃗⃗⃗⃗⃗D.AP⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BDA,AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ =2×(-1)+(-1)×2+(-4)×(-1)=0,∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AP⊥AB,A正确;对于B,AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1)×4+2×2+(-1)×0=0,∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AP⊥AD,B正确;对于C,由AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,且AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD⃗⃗⃗⃗⃗ ,得出AP⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD的一个法向量,C正确;对于D,由AP⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD的法向量,得出AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则D错误.10.(2020山东烟台模拟)已知ax 2+1√x n (a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1 024,则下列说法正确的是( ) A.展开式中奇数项的二项式系数和为256 B.展开式中第6项的系数最大 C.展开式中存在常数项D.展开式中含x 15项的系数为45解析∵ax 2+1√x n (a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,∴C n 4=C n 6,解得n=10.∵展开式的各项系数之和为1024, ∴(a+1)10=1024. ∵a>0,∴a=1.原二项式为x 2+1√x10,其展开式的通项公式为T r+1=C 10r·(x2)10-r·1√xr=C 10r x20-52r ,展开式中奇数项的二项式系数和为12×1024=512,故A 错;因为本题中二项式系数和项的系数一样,且展开式有11项,故展开式中第6项的系数最大,B 对;令20-52r=0⇒r=8,即展开式中存在常数项,C 对; 令20-52r=15⇒r=2,C 102=45,D 对. 11.在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球,4个白球,现从中任取4个小球,设取出的4个小球中白球的个数为X ,则下列结论正确的是( )A.P (X=2)=37B.随机变量X 服从二项分布C.随机变量X 服从超几何分布D.E (X )=85X 服从超几何分布,故B 错误,C 正确; 随机变量X 的所有可能为0,1,2,3,4,P (X=0)=C 64C 104=114,P (X=1)=C 41C 63C 104=821,P (X=2)=C 42C 62C 104=37,P (X=3)=C 43C 61C 104=435,P (X=4)=C 44C 104=1210,故E (X )=0×114+1×821+2×37+3×435+4×1210=85,故A,D 正确.故选ACD .12.(2021江苏海安检测)双纽线像数字“8”,不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美,同时也具有特殊的有价值的艺术美,是形成其他一些常见的漂亮图案的基石,也是许多设计者设计作品的重要几何元素.曲线C :(x 2+y 2)2=4(x 2-y 2)是双纽线,如图,则下列结论正确的是( )A.曲线C经过5个整点(横、纵坐标均为整数的点)B.曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2C.曲线C关于直线y=x对称的曲线方程为(x2+y2)2=4(y2-x2)D.若直线y=kx与曲线C只有一个交点,则实数k的取值范围为(-∞,-1]∪[1,+∞)0时,x4=4x2,x=0或2或-2,三个整点(0,0),(2,0),(-2,0),结合图象可知,-2≤x≤2,令x=±1,得y2=2√3-3<1,此时无整点解.∴曲线C经过横、纵坐标均为整数的点,共有3个整点,A错误;x2+y2=4(x2-y2)≤4,曲线C上任取一点P(x,y)到原点的距离d=√x2+y2≤2,B正确;x2+y2曲线C上任取一点M关于y=x的对称点为N,设N(x,y),则M(y,x),M在曲线C上,∴(x2+y2)2=4(y2-x2),C正确.y=kx与曲线C一定有公共点(0,0),∵y=kx与曲线C只有一个公共点,则x4(1+k2)2=4x2(1-k2),∴1-k2≤0,∴k≥1或k≤-1,D正确.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.某校一次高三数学成绩统计中,经过抽样分析,成绩X近似服从正态分布N(110,σ2),且P(90≤X≤110)=0.3,该校有1 000人参加此次统考,估计该校数学成绩不低于130分的人数为.X 近似服从正态分布N (110,σ2),且P (90≤X ≤110)=0.3, 所以P (90≤X<130)=2P (90≤X ≤110)=0.6,所以P (X ≥130)=12[1-P (90≤X<130)]=12×(1-0.6)=0.2, 1000×0.2=200(人),所以估计该校数学成绩不低于130分的人数为200.14.(2021浙江杭州月考)某种型号的机器使用总时间X (单位:年)(其中X ≥4,X ∈N +)与所需支出的维修总费用Y (单位:万元)的统计数据如表:根据表中数据可得Y 与X 之间的线性回归方程为Y=0.7X+a ^,若该设备维修总费用超过12万元就报废,据此模型预测该设备最多可使用 年(填整数).=14×(6+8+10+12)=9,y =14×(2+3+5+6)=4,样本中心为(9,4),代入线性回归方程求得a ^=-2.3,故线性回归方程为Y=0.7X-2.3,当Y=0.7X-2.3≤12⇒X ≤1437,故整数X 最大为20.15.(2020浙江丽水期末)四棱锥S-ABCD 的底面是平行四边形,SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AS⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x+y+z= .SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CS ⃗⃗⃗⃗ ,因为四棱锥S-ABCD 的底面是平行四边形,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CS ⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AS ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AS ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AS ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,又BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AS⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x=-13,y=23,z=13,故x+y+z=23.16.已知抛物线的顶点为坐标原点,焦点为F (1,0),过抛物线上的一点A (顶点除外)作切线l ,且切线l 与x 轴交于点B ,则抛物线的标准方程为 ;若|FA ||FB |=k ,则k= .2=4x 1,焦点为F (1,0),可得p=2,所以抛物线的方程为y 2=4x ,因为抛物线关于x 轴对称,所以只研究y=2√x 的情况,设A (m ,2√m ),易知过点A 的切线方程为y-2√m =√m(x-m ),所以B (-m ,0),由两点间距离公式可知|FA|=√(m -1)2+(2√m )2=1+m ,|FB|=1+m ,所以|FA ||FB |=1=k ,即k=1. 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)(2020安徽黄山期末)圆心为C 的圆经过点A (-4,1),B (-3,2),且圆心C 在直线l :x-y-2=0上. (1)求圆C 的标准方程;(2)过点P (3,-1)作直线m 交圆C 于点M ,N 且|MN|=8,求直线m 的方程.解(1)由已知得k AB =1,线段AB 的中点坐标为-72,32, ∴AB 的垂直平分线方程为x+y+2=0.则由{x +y +2=0,x -y -2=0,解得{x =0,y =-2,所以圆心C (0,-2),因此半径r=|AC|=5,所以圆C 的标准方程为x 2+(y+2)2=25.(2)由|MN|=8可得圆心C 到直线m 的距离d=√52-42=3,∴当直线m 斜率不存在时,其方程为x=3,当直线m 斜率存在时,设其方程为y+1=k (x-3),则d=√k 2+1=3,解得k=-43,此时m 的方程为4x+3y-9=0,所以直线m 的方程为x=3或4x+3y-9=0.18.(12分)(2020湖北宜昌期末)某校举行高一年级组织“知识竞答”活动.每位参赛者第一关需回答三个问题,第一个问题回答正确得10分,回答错误得0分;第二个问题回答正确得20分,回答错误得-10分;第三个问题回答正确得30分,回答错误得-20分.规定,每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功.若某位参赛者回答前两个问题正确的概率都是23,回答第三个问题正确的概率是12,且各题回答正确与否相互之间没有影响.(1)求这位参赛者仅回答正确两个问题的概率;(2)求这位参赛者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和期望; (3)求这位参赛者闯关成功的概率.设事件A i 表示“参赛者回答对第i 个问题”,i=1,2,3,则P (A 1A 2A 3)+P (A 1A 2A 3)+P (A 1A 2A 3)=23×23×12+23×13×12+13×23×12=49. (2)ξ=-30,-20,0,10,20,30,50,60,P (ξ=-30)=P (A 1A 2A 3)=118,P (ξ=-20)=P (A 1A 2A 3)=19, P (ξ=0)=P (A 1A 2A 3)=19,P (ξ=10)=P (A 1A 2A 3)=29, P (ξ=20)=P (A 1A 2A 3)=118,P (ξ=30)=P (A 1A 2A 3)=19,P (ξ=50)=P (A 1A 2A 3)=19, P (ξ=60)=P (A 1A 2A 3)=29, ∴ξ的分布列为:Eξ=-30×118-20×19+0×19+10×29+20×118+30×19+50×19+60×29=1959.(3)由(2)得这位参赛者闯关成功的概率为P (ξ=30)+P (ξ=50)+P (ξ=60)=49.19.(12分)如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AD=AA 1=1,AB=2,点E 在棱AB 上移动.(1)证明:D 1E⊥A 1D ;(2)当E 为AB 的中点时,求异面直线AC 与D 1E 所成角的余弦值; (3)AE 等于何值时,二面角D 1-EC-D 的大小为π4.D 为坐标原点,直线DA ,DC ,DD 1分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,设AE=x ,则A 1(1,0,1),D 1(0,0,1),E (1,x ,0),A (1,0,0),C (0,2,0),D (0,0,0).(1)∵DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1),D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,x ,-1), ∴DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+0-1=0,∴D 1E ⊥A 1D ;(2)∵E 为AB 中点,则E (1,1,0),从而D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,-1),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,0), 设AC 与D 1E 所成的角为θ,则cos θ=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×√3=√1515. (3)设平面D 1EC 的法向量为n =(a ,b ,c ),平面DEC 的一个法向量为DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,x-2,0),D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-1),DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1), 由{n ·D1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·CE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,有{2b -c =0,a +b (x -2)=0,令b=1,从而c=2,a=2-x ,∴n =(2-x ,1,2),由题意,cos π4=|n ·DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n ||DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x -2)+5=√22. ∴x=2+√3(不合题意,舍去),或x=2-√3. ∴当AE=2-√3时,二面角D 1-EC-D 的大小为π4. 20.(12分)(2020四川泸州期末)某品牌手机厂商推出新款旗舰机型,并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间(X 个月)市场占有率(Y %)的几组相关数据:根据表中的数据完成下列问题:(1)用最小二乘法求出Y 关于X 的线性回归方程;(2)用变量间的相关关系分析该款旗舰机型手机市场占有率的变化趋势,并预测自上市起经过多少个月,该款旗舰机型手机市场占有率能超过49%(精确到月). 附:最小二乘法估计分别为b ^=∑i=1nx i y i -nxy∑i=1nx i2-nx 2=∑i=1n(x i -x )(y i -y )∑i=1n(x i -x )2,a ^=y −b ^x ,其中x =3,y =10,∑i=15(x i -x )2=10.∵x =3,y =10,故∑i=15(x i -x )(y i -y )=-2×(-8)+(-1)×(-5)+0×1+1×4+2×8=41,已知∑i=15(x i -x )2=10,∴b ^=∑i=15(x i -x )(y i -y )∑i=15(x i -x )2=4110=4.1,a ^=y −b ^x =10-4.1×3=-2.3,∴Y 关于X 的线性回归方程为Y=4.1X-2.3;(2)由上面的线性回归方程可知,上市时间与市场占有率正相关,即上市时间每增加1个月,市场占有率都增加4.1个百分点,由Y=4.1X-2.3>49,解得X ≥12.5≈13,预测自上市起经过13个月,该款旗舰机型手机市场占有率能超过49%.21.(12分)(2020湖南湘潭月考)某相关部门推出了环境执法力度的评价与环境质量的评价系统,每项评价只有满意和不满意两个选项,市民可以随意进行评价,某工作人员利用随机抽样的方法抽取了200位市民的信息,发现对环境质量满意的占60%,对执法力度满意的占75%,其中对环境质量与执法力度都满意的有80人. (1)是否有99%的把握判断环境质量与执法力度有关?(2)为了改进工作作风,针对抽取的200位市民,对执法力度不满意的人抽取3位征求意见,用ξ表示3人中对环境质量与执法力度都不满意的人数,求ξ的分布列与期望. 公式:χ2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ),其中n=a+b+c+d.对环境满意的有200×60%=120(人), 对执法力度满意的有200×75%=150(人),对环境质量与执法力度都满意的有80人,填写列联表如下:满意对执对执总计算χ2=200×(80×10-40×70)2120×80×150×50=1009>6.635,所以有99%的把握判断环境质量与执法力度有关. (2)由题意知,随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3;计算P (ξ=0)=C 403C 503=247490,P (ξ=1)=C 101·C 402C 503=3998,P (ξ=2)=C 102·C 401C 503=998,P (ξ=3)=C 103C 503=3490.则ξ的分布列为:期望为Eξ=0×247490+1×3998+2×998+3×3490=35. 22.(12分)(2020江苏镇江期末)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)经过点P (2,1),且离心率为√32,直线l 与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M. (1)求椭圆C 的方程;(2)若∠APB 的角平分线与x 轴垂直,求PM 长度的最小值. 因为椭圆经过点P (2,1),且离心率为√32,所以{22a 2+12b 2=1,c a=√32,其中a 2=b 2+c2,解得{a 2=8,b 2=2,所以椭圆的方程为x 28+y 22=1.(2)因为∠APB 的角平分线与x 轴垂直,所以k PA +k PB =0,设直线PA 的斜率为k (k ≠0),则直线PA 的方程为y=k (x-2)+1,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{y =k (x -2)+1,x 28+y 22=1,得(1+4k 2)x 2+8k (1-2k )x+16k 2-16k-4=0,所以2x 1=16k 2-16k -41+4k 2,即x 1=8k 2-8k -21+4k 2, y 1=k8k 2-8k -21+4k 2-2+1=-4k 2-4k+11+4k 2,即A8k 2-8k -21+4k 2,-4k 2-4k+11+4k 2,同理可得B8k 2+8k -21+4k 2,-4k 2+4k+11+4k 2,则M 在直线x+2y=0上,所以PM 的最小值为P 到直线x+2y=0的距离,即d=|2+2|√5=4√55,此时M 65,-35在椭圆内, 所以PM 的最小值为4√55.。
2021年高一上学期第一次模块检测数学试题Word版含答案
2021年高一上学期第一次模块检测数学试题Word 版含答案说明：（1）本试卷分为第卷（填空题）和第Ⅱ卷（解答题）两部分。
（2） 请将答案填写在答题纸对应的区域内，否则答题无效一）填空题（共14题，每小题5分，共70分）1.求 ▲ 。
2.函数的定义域是 ▲ 。
3.函数的值域为 ▲ 。
4.已知,且,则 ▲ 。
5.已知集合{}{}(,)3,(,)31A x y y x B x y y x ==+==-，则 ▲ 。
6.已知函数则 ▲ 。
7.已知则函数的解析式 ▲ .8.已知函数是偶函数，则实数的值为 ▲ 。
9．已知集合,,若,则实数的取值范围为 ▲ 。
10.如果函数在区间（-∞，4]上单调递减，那么实数a 的取值范围是 ▲ 。
11.已知函数是奇函数，当时，则当时， ▲ 。
12. 已知是实数，若集合｛｝是任何集合的子集，则的值是 ▲ 。
13设定义在上的奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为 ▲ 。
14．已知函数f (x )对于任意的x ∈R ，都满足f (－x )＝f (x )，且对任意的a ，b ∈(－∞，0]，当a≠b 时，都有f (a )－f (b )a －b＜0．若f (m ＋1)＜f (2)，则实数m 的取值范围是 ▲ 。
二）解答题（共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
把答题过程写在答题纸中规定的位置上。
答错位置的该题不给分．．．．．．．．．．） 15)不用计算器求下列各式的值. （本题满分14分）⑴； （2）设，求16）（本题满分14分）已知，集合，.（Ⅰ）若，求,；（Ⅱ）若，求的范围.17）（本题满分14分）已知函数＝（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）利用函数单调性定义．．证明函数在区间上为增函数.18）（本题满分16分）已知函数（1）当时，判断并证明函数的单调性并求的最小值；（2）若对任意，都成立，试求实数的取值范围.19．（本题满分16分）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．若每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（１）当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车?（２）当每辆车的月租金定为多少元时, 租赁公司的月收益最大，最大月收益是多少?高一模块测试（一）数学答案二解答题15. (1)解：原式= ………………………………………………………6分= ………………………………………………7分（2），…………..14分16）（Ⅰ），…………………………………………………………………4分…………………………………………………………8分（Ⅱ）………………………………………………………12分………………………………………………………………………………14分17.解：（1）函数＝是奇函数………2分理由如下：，--------------7分（2）设为区间上的任意两个值，且，因为= …10分又故，，所以……12分即，故函数＝区间上为增函数.14分∵，∴∴∴f（x1）－f（x2）<0，f（x1）<f（x2）所以f（x）在上单调递增…………………6分所以x＝1时f（x）取最小值，最小值为2 …………………8分（2）若对任意x，f（x）>0恒成立，则>0对任意x恒成立，所以x2＋2x＋a>0对任意x恒成立，………10分令g（x）＝x2＋2x＋a，x因为g（x）＝x2＋2x＋a在上单调递增，…………………12分所以x＝1时g（x）取最小值，最小值为3＋a，…………………14分∵3＋a>0，∴a>－3. ……………………16分19）解：（１）当每辆车的月租金定为3600元时, 未租出的车为辆，所以租出了辆车；………………………………………………６分（２）设每辆车的月租金定为元，则租赁公司的月收益为()()50503000150503000100⨯---⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x x x f ，整理得 ()()3070504050501210001625022+--=-+-=x x x x f 所以当时，最大，其最大值为答：当每辆车的月租金定为元时, 租赁公司的月收益最大， 最大月收益是元．……………………………………………16分20）解：（1）因为，作图略------4分（2）①当时，，因为在递增所以 ----------6分 ②当时，当x=a 时， ---------8分 ③当时，，因为在递减所以 ---------10分 综上所述 ----------12分31916 7CAC 粬29153 71E1 燡23879 5D47 嵇34873 8839 蠹+20754 5112 儒22093 564D 噍34149 8565 蕥28344 6EB8 溸d @ z。
2021_2022学年新教材高中数学模块综合测评练习含解析北师大版必修第一册
模块综合测评限时120分钟 分值150分 战报得分______一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一个正确选项)1．已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{－2，－1，0，1，2，3，4}，则M ∩N ＝( ) A ．{－2，－1，0，1，2} B ．{－2，－1，0，1，4} C ．{－2，－1，0，1}D ．{－1，0，1}【解析】选C.2，3，4∉M ，由交集运算知M ∩N ＝{－2，－1，0，1}． 2．命题“∃x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( ) A ．∃x ∈R ，x 3－x 2＋1<0 B ．∃x ∈R ，x 3－x 2＋1≥0 C ．∀x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 D ．∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0【解析】选C.命题：∃x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0的否定为∀x ∈R ，x 3－x 2＋1>0. 3．设a ＝20.3，b ＝0.32，c ＝log 20.3，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．c <a <bD ．b <c <a【解析】选A.a ＝20.3>1，b ＝0.32<1，c ＝log 20.3<0，所以c <b <a . 4．已知实数0<x <12 ，则x (1－2x )的最大值为( )A ．1B ．18C ．4D ．14【解析】选B.因为0<x <12 ，则x >0，1－2x >0，所以x (1－2x )＝12 (2x )(1－2x )≤12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 2 2＝18 ，当且仅当2x ＝1－2x 时，即x ＝14 时取等号，所以x (1－2x )的最大值为18. 5．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征．我们从这个图片中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是()A.f(x)＝1||x|－1|B．f(x)＝1|x－1|C．f(x)＝1x2－1D．f(x)＝1 x2＋1【解析】选A.由图象知f(x)的定义域为{x|x≠±1}，排除选项B，D，又因为当x＝0时，C选项中f(0)＝－1，不符合图象f(0)＝1，所以排除C.6．已知函数f(x)＝lg (x2＋ax－a－1)，给出下列论述，其中正确的是() A．当a＝0时，f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．f(x)一定有最小值C．当a＝0时，f(x)的定义域为RD．若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥－4} 【解析】选A.对于A，当a＝0时，解x2－1>0得x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故A正确；对于B，当a＝0时，f(x)＝lg (x2－1)，此时x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，x2－1∈(0，＋∞)，此时f(x)＝lg (x2－1)的值域为R，故B错误；对于C，由A知，f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故C错误；对于D ，若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，此时y ＝x 2＋ax －a －1在[2，＋∞)上单调递增，所以对称轴x ＝－a2 ≤2，解得a ≥－4，但当a ＝－4时，f (x )＝lg (x 2－4x ＋3)在x ＝2处无定义，故D 错误．7．已知奇函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，且f (3)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x －2 <0的解集是( )A ．(－3，0)∪(0，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，－3)∪(0，3)C ．(－∞，－3)∪(0，2)∪(3，＋∞)D ．(－3，0)∪(0，3)【解析】选C.由f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，f (3)＝0得，f (－x )＝－f (x )，f (x )在(－∞，0)上单调递减，f (－3)＝0，所以当x ∈(－∞，－3)时，f (x )>0，当x ∈(－3，0)时，f (x )<0，当x ∈(0，3)时，f (x )>0，当x ∈(3，＋∞)时，f (x )<0，则f （x ）－f （－x ）x －2<0，即2f （x ）x －2 <0，则⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）>0，x －2<0 或⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）<0x －2>0 ，由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）>0，x －2<0 解得x <－3或0<x <2， 由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）<0，x －2>0解得x >3， 所以满足条件的x 的范围为(－∞，－3)∪(0，2)∪(3，＋∞).8．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，x >1，⎝⎛⎭⎫4－a 2x －2，x ≤1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(8，＋∞) C ．[4，8)D ．(1，8)【解析】选C.因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，x >1，⎝⎛⎭⎫4－a 2x －2，x ≤1是R 上的增函数， 所以⎩⎨⎧a >1，4－a2>0，4－a 2－2≤log a1解得4≤a <8，所以实数a 的取值范围为[4，8).二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．定义在(－∞，＋∞)上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )在[－1，0]上是单调递增的，则( )A ．f (x )是周期函数B ．f (x )的图象关于x ＝1对称C ．f (x )在[0，1]上是单调递增的D ．f (x )在[1，2]上是单调递减的 【解析】选AB.由于f (x ＋1)＝－f (x )，所以f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，周期为2，故A 正确；由于f (2－x )＝f (－x )＝f (x )，图象关于直线x ＝1对称，故B 正确；偶函数在定义域内关于坐标原点对称的区间上的单调性相反，故C 不正确； 根据周期性，函数在[1，2]上的单调性与[－1，0]上的单调性相同，故D 不正确．10．机器人(Robot)是一种能够半自主或全自主工作的智能机器，它具有感知、决策、执行等基本特征，可以辅助甚至替代人类完成危险、繁重、复杂的工作，提高工作效率与质量，服务人类生活，扩大或延伸人的活动及能力范围．为了研究A ，B 两专卖店的机器人销售状况，统计了2020年2月至7月A ，B 两店每月的营业额(单位：万元)，得到如下的折线图，则下列说法正确的是( )A．根据A店的营业额折线图可知，该店营业额的平均值在[34，35]内B．根据B店的营业额折线图可知，其营业额总体呈上升趋势C．根据A，B两店营业额的折线图，可得A店的营业额极差比B店大D．根据A，B两店营业额的折线图，可得B店7月份的营业额比A店多【解析】选ABD.根据A店的营业额折线图可知该店营业额的平均值为14＋20＋26＋45＋64＋366≈34.17，故A正确；根据B店的营业额折线图可知，其营业额总体呈上升趋势，故B正确；A店营业额的极差为64－14＝50，B店营业额的极差为63－2＝61，故A店营业额的极差比B店小，故C错误；由折线图可知，B店7月份的营业额比A店多，故D正确．11．定义域和值域均为[－a，a]的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示，其中a>c>b>0，给出下列四个结论正确的是()A．方程f[g(x)]＝0有且仅有三个解B．方程g[f(x)]＝0有且仅有四个解C．方程f[f(x)]＝0有且仅有八个解D ．方程g [g (x )]＝0有且仅有一个解【解析】选AD.对于A ，设t ＝g (x )，则由f [g (x )]＝0，得f (t )＝0，当f (t )＝0时，则t ＝g (x )有三个不同的值，由于y ＝g (x )是减函数，所以有三个解，所以A 正确； 对于B ，设t ＝f (x )，则由g [f (x )]＝0，即g (t )＝0，解得t ＝b ， 因为c >b >0，所以f (x )＝b 只有3个解，所以B 不正确；对于C ，设t ＝f (x )，若f [f (x )]＝0，即f (t )＝0，则t ＝－b 或t ＝0或t ＝b ，则 f (x )＝－b 或f (x )＝0或f (x )＝b ，因为a >c >b >0，所以每个方程对应着3个根，所以共有9个解，所以C 错误； 对于D ，设t ＝g (x )，若g [g (x )]＝0，即g (t )＝0，所以t ＝b ， 因为y ＝g (x )是减函数，所以方程g (x )＝b 只有1解，所以D 正确．12．函数f (x )的定义域为D ，若存在区间[m ，n ]⊆D 使f (x )在区间[m ，n ]上的值域也是[m ，n ]，则称区间[m ，n ]为函数f (x )的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是( ) A ．f (x )＝x B ．f (x )＝x 2－2x ＋2 C ．f (x )＝x ＋1xD ．f (x )＝1x【解析】选ABD.由题得，若f (x )在区间[m ，n ]上的值域也是[m ，n ]，则f (x )存在“和谐区间”[m ，n ]，可知，m <n ，则⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m ，f （n ）＝n 或⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝nf （n ）＝m ，A ：f (x )＝x (x ≥0)，若⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m ＝mf （n ）＝n ＝n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0n ＝1 ，所以f (x )＝x 存在“和谐区间”[0，1]；B ：f (x )＝x 2－2x ＋2(x ∈R )，若 ⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m 2－2m ＋2＝m f （n ）＝n 2－2n ＋2＝n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝2，所以f (x )＝x 2－2x ＋2存在“和谐区间” [1，2]；C ：f (x )＝x ＋1x(x ≠0)，若⎩⎨⎧f （m ）＝m ＋1m＝mf （n ）＝n ＋1n＝n ，得⎩⎨⎧1m＝01n ＝0，故无解；若⎩⎨⎧f （m ）＝m ＋1m＝nf （n ）＝n ＋1n＝m ，则m ＋1m ＋1m ＋1m ＝m ，即2m 2＋1m 3＋m＝0，故无解， 所以f (x )＝x ＋1x不存在“和谐区间”；D ：f (x )＝1x(x ≠0)，函数在(0，＋∞)，(－∞，0)上单调递减，则⎩⎨⎧f （m ）＝1m＝nf （n ）＝1n＝m ，不妨令⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12n ＝2，所以f (x )＝1x 存在“和谐区间”⎣⎡⎦⎤12，2 ；综上得：存在“和谐区间”的是ABD. 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经研究可知：在室温25 ℃下，某种绿茶用85 ℃的水泡制，经过x min 后茶水的温度为y ℃，且y ＝k ×0.908 5x ＋25(x ≥0，k ∈R ).当茶水温度降至55 ℃时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为________min(结果保留整数).(参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，ln 0.908 5≈－0.096 0)【解析】由题意可知，当x ＝0时，y ＝85，即85＝k ＋25，k ＝60，故y ＝60×0.908 5x ＋25. 当y ＝55时，55＝60×0.908 5x ＋25，0.908 5x ＝0.5， x ＝log 0.908 50.5＝－ln 2ln 0.908 5 ≈0.693 10.096 0 ≈7.答案：714．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，至多有一件一等品的概率是________．【解析】将3件一等品编号为1，2，3，2件二等品编号为4，5，从中任取2件有10种取法：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5).恰有2件一等品的取法有：(1，2)，(1，3)，(2，3).故恰有2件一等品的概率为P 0＝310 ，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P ＝ 1－P 0＝1－310 ＝710 .答案：71015．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0， 则f [f (1)]＝________；设g (x )＝f (x )＋x ＋a ，若函数g (x )存在2个零点，则实数a 的取值范围是________．【解析】因为f (1)＝ln 1＝0，所以f [f (1)]＝f (0)＝e 0＝1；因为g (x )有2个零点，所以y ＝f (x )，y ＝－x －a 的图象有两个交点，作出y ＝f (x )，y ＝－x －a 的图象如图所示：当y ＝f (x )，y ＝－x －a 有两个交点时，可知－a ≤1，所以a ≥－1，即a ∈[－1，＋∞). 答案：1 [－1，＋∞) 16．下列几个命题：①方程x 2＋(a －3)x ＋a ＝0若有一个正实根，一个负实根，则a <0； ②函数y ＝x 2－1 ＋1－x 2 是偶函数，但不是奇函数；③函数f (x )的值域是[－2，2]，则函数f (x ＋1)的值域为[－3，1]；④ 一条曲线y ＝|3－x 2|和直线y ＝a 的公共点个数是m ，则m 的值不可能是1. 其中正确的有________．【解析】①由一元二次方程根与系数的关系，得x 1x 2＝a <0，故①正确；②根据函数的定义域可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0解得：x ＝±1，此时y ＝0，所以y ＝0(x ＝±1) ，所以函数既是奇函数，又是偶函数；故②不正确；③y ＝f (x ＋1)由y ＝f (x )的图象向左平移一个单位而得，所以两个函数的值域相同，即函数f (x ＋1)的值域为[－2，2]，故③不正确；④因为y ＝|3－x 2|是偶函数，并且图象如图所示，y ＝a 与图象的交点有2个，3个或4个，不可能有1个的时候，故④正确．答案：①④四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知幂函数f (x )＝x －2m 2＋m ＋3(m ∈Z )是奇函数，且f (1)<f (2). (1)求m 的值，并确定f (x )的解析式；(2)求y ＝log 22 f (x )＋log 12[2f (x )]，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2 的值域． 【解析】(1)因为幂函数f (x )＝x －2m 2＋m ＋3(m ∈Z )是奇函数，且f (1)<f (2). 所以－2m 2＋m ＋3是正奇数，且m ∈Z ， 所以m ＝0，f (x )＝x 3.(2)y ＝ log 22 f (x ) ＋ log 12[2f (x )] ＝ log 22 x 3＋log 12 (2x 3)＝(3log 2x )2＋log 12 2＋log 12x 3＝9(log 2x )2－3log 2x －1＝9⎝⎛⎭⎫log 2x －16 2－54，因为x ∈⎣⎡⎦⎤12，2 ，所以－1≤log 2x ≤1，所以当log 2x ＝16 时，y 取最小值－54，当log 2x ＝－1时，y 取最大值11.所以y ＝log 22 f (x )＋log 12[2f (x )]，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2 的值域为⎣⎡⎦⎤－54，11 . 18．(12分)假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：(1)估计甲品牌产品使用寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率． 【解析】(1)甲品牌产品使用寿命小于200小时的频率为5＋20100 ＝14 ，用频率估计概率，所以，甲品牌产品使用寿命小于200小时的概率为14.(2)根据抽样结果，使用寿命大于200小时的产品有75＋70＝145个，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，使用寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是75145 ＝1529 ，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为1529.19．(12分)某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45 ，乙当选的概率为35 ，丙当选的概率为710.(1)求恰有一名同学当选的概率；(2)求至多有两人当选的概率．【解析】设甲、乙、丙当选的事件分别为A ，B ，C ，则有P (A )＝45 ，P (B )＝35 ，P (C )＝710 .(1)因为A ，B ，C 相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为P (A B C )＋ P (A B C )＋P (A B C )＝P (A )·P (B )·P (C )＋P (A )·P (B )·P (C )＋P (A )·P (B )·P (C )＝45 ×25 ×310 ＋15 ×35 ×310 ＋15 ×25 ×710 ＝47250.(2)至多有两人当选的概率为1－P (ABC )＝1－P (A )·P (B )·P (C )＝1－45 ×35 ×710 ＝83125 .20．(12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量n (单位：枝)整理得下表：①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)的平均数； ②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．【解析】(1)当日需求量n ≥17时，利润y ＝85.当日需求量n ＜17时，利润y ＝10n －85.所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －85，n <17，85，n ≥17， (n ∈N ).(2)①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为1100 (55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4(元).②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为p ＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.21．(12分)设a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋ae x －a (e 为常数，e ＝2.718 28…).(1)若a ＝1，求证：函数f (x )为奇函数； (2)若a <0.①判断并证明函数f (x )的单调性；②若存在x ∈[1，2]，使得f (x 2＋2ax )>f (4－a 2)成立，求实数a 的取值范围． 【解析】(1)当a ＝1时，函数f (x )＝e x ＋1e x －1 ，因为e x －1≠0，则x ≠0，所以f (x )的定义域为{x |x ≠0}，对任意x ≠0，f (－x )＝e －x ＋1e －x －1 ＝1＋e x1－e x ＝－f (x )，所以f (x )＝e x ＋1e x －1是奇函数．(2)①当a <0时，f (x )为R 上的单调增函数，证明如下：当a <0时，e x －a >0恒成立，故函数f (x )定义域为R .任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则e x 1<e x 2，因为f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2a e x 1－a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2a e x 2－a ＝2a （e x 2－e x 1）（e x 1－a ）（e x 2－a ） <0， 所以f (x )为R 上的单调增函数．②设命题p ：存在x ∈[1，2]，使得f (x 2＋2ax )>f (4－a 2)成立．下面研究命题p 的否定：p ：∀x ∈[1，2]，f (x 2＋2ax )≤f (4－a 2)恒成立． 若p 为真命题，由①知，f (x )为R 上的单调增函数，故∀x ∈[1，2]，x 2＋ 2ax ≤4－a 2恒成立．设g (x )＝x 2＋2ax ＋a 2－4，x ∈[1，2]，⎩⎪⎨⎪⎧a <0，g （1）≤0，g （2）≤0解得－3≤a <0.因为p 为真，则p 为假命题， 所以实数a 的取值范围为(－∞，－3).22．(12分)已知函数g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a >0)在区间[2，3]上有最大值4和最小值1.设f (x )＝g （x ）x .(1)求a ，b 的值；(2)若不等式f (log 2x )－2k log 2x ≥0在x ∈[4，8]上恒成立，求实数k 的取值范围； (3)若f (|2x －1|)＋k 2|2x －1| －3k ＝0有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．【解析】(1)函数g (x )＝ax 2－2ax ＋b ＋1＝a (x －1)2＋1＋b －a ， 因为a ＞0，所以g (x )在区间[2，3]上是增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧g （2）＝1，g （3）＝4 即⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1＝1，3a ＋b ＋1＝4 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.(2)由(1)可得f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x－2，不等式f (log 2x )－2k log 2x ≥0在x ∈[4，8]上恒成立，等价为log 2x ＋1log 2x －2≥2k log 2x 在x ∈[4，8]上恒成立，即2k ≤1（log 2x ）2 －2log 2x ＋1在x ∈[4，8]上恒成立，令t ＝1log 2x ，则2k ≤t 2－2t ＋1，因为x ∈[4，8]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤13，12 ，则函数m (t )＝t 2－2t ＋1在t ∈⎣⎡⎦⎤13，12 上递减，可得m (t )的最小值为m ⎝⎛⎭⎫12 ＝14 ，则2k ≤14 ，即k ≤18. (3)原方程可化为|2x －1|2－(3k ＋2)|2x －1|＋(2k ＋1)＝0， 可令t ＝|2x －1|，则t ＞0，由题意可得t 2－(3k ＋2)t ＋(2k ＋1)＝0有两个不等实根t 1，t 2， 其中0＜t 1＜1，t 2＞1或0＜t 1＜1，t 2＝1， 设h (t )＝t 2－(3k ＋2)t ＋(2k ＋1)，则⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋1>0，h （1）＝－k <0 或⎩⎨⎧2k ＋1>0，h （1）＝－k ＝0，0<3k ＋22<1解得k ＞0或k ∈∅， 则k 的取值范围是(0，＋∞).。