2013高考数学(理)二轮复习课件(解析版)：专题7 数学思想方法(湖北省专用)

第21讲│ 要点热点探究
变式题 (1)已知向量 a＝(2,4)，b＝(1,1)，若向量 b⊥(λa＋b)， 则实数 λ 的值为________． (2)函数 f(x)的定义域为 D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函 数 f(x)满足：①f(x)在[a，b]内是单调函数；②f(x)在[a，b]上的值 域为[2a,2b]，则称区间[a，b]为 y＝f(x)的“倍值区间”．下列函数 中存在“倍值区间”的有( ) ①f(x)＝x2(x≥0)；②f(x)＝ex(x∈R)； 1 4x x ③f(x)＝ 2 (x≥0)；④f(x)＝logaa －8(a>0，a≠1) x ＋1 A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①③
第21讲│ 要点热点探究
[答案]
(1)A
5 (2) 6
[解析] (1)本题考查构造函数、利用函数性质来实现判断 逻辑推理的正确与否，考查观察、构想、推理的能力．若 2a ＋2a＝2b＋3b，必有 2a＋2a>2b＋2b.构造函数：f(x)＝2x＋2x， 则 f(x)＝2x＋2x 在 x＞0 上单调递增， a＞b 成立， A 正确， 即 故 B 错误．其余选项用同样方法排除．
第21讲 │ 二轮复习建议
数形结合思想主要围绕选择题和填空题展开，其知识背景 有函数、函数与方程、不等式、简单的线性规划、三角函数、 平面向量、解析几何等，命题通常围绕上述内容设计使用数形 结合思想解决的问题或者依靠数形结合找到解题思路的问题， 目的是考查数形结合的思想意识在解题中的应用程度． 预计2013年对上述两种数学思想方法的考查仍然有较高的 频度，会在近年的基础上有所突破和创新． 复习建议：数学思想方法贯穿数学学习的始终，单纯依靠 一个讲次不可能解决问题，设置本讲的目的是给学生一个整体 上的认识，即认识这些数学思想方法的含义，它可以解决哪些 方面的问题，这些思想方法对解题有什么好处，因此本讲的重 点是强化使用数学思想方法指导解题的思想意识．
第21讲│ 要点热点探究
[思考流程] (1)(分析)欲得出结论需观察各选项的结构 ⇨ (推理)问题等价于由 2a＋2a>2b＋2b,2a－2a<2b－2b 在 a>0， b>0 时推知 a，b 的大小关系 ⇨ (结论)构造函数 f(x)＝2x＋2x，g(x) ＝2x－2x 后研究这两个函数的单调性． (2)(分析)欲求|AF|只需求出点 A 的横坐标 ⇨ (推理)设出直 线 AB 方程与抛物线方程联立消元可得点 A，B 的横坐标之和， 根据抛物线定义和已知可得点 A，B 的横坐标之和 ⇨ (结论)组 成方程组解之即得．
第21讲│ 要点热点探究
1 y＝x ＋a 可得 y′＝2x，令 y′＝2x＝1，则 x＝ ，在曲线 C1 上对 2 1 1 1 1 应的点 P2，4＋a， 所以曲线 C1 到直线 l 的距离即为点 P2，4＋a 1 1 1 1 － －a －a －a 2 4 4 4 到直线 l 的距离，故 ＝ ，所以 ＝ 2，可得 2 2 2 1 7 9 7 7 a－ ＝2，a＝－ 或 a＝ ，当 a＝－ 时，曲线 C1：y＝x2－ 与 4 4 4 4 4 9 直线 l：y＝x 相交，两者距离为 0，不合题意，故 a＝ . 4
2
第21讲│ 要点热点探究
[点评] 本例两个题目中都没有确定是图形问题， 但是在解 题中我们是借助图形找到“数式”所满足的条件的，这是数形 结合思想的主要方面，即“以形助数”．
第21讲│ 要点热点探究
x2 2 变式题 (1)经过椭圆 ＋y ＝1 的一个焦点作倾斜角为 45° 的直 2 → 线 l， 交椭圆于 A， 两点． O 为坐标原点， → · 等于________． B 设 则OA OB 1 1 (2)给出定义：若 m－ <x≤m＋ (其中 m 为整数)，则 m 叫做离实数 2 2 x 最近的整数，记作{x}，即{x}＝m.在此基础上给出下列关于函数 f(x) ＝|x－{x}|的四个命题： 1 ①函数 y＝f(x)定义域是 R，值域是0，2； k ②函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝ (k∈Z)对称； 2 ③函数 y＝f(x)是周期函数，最小正周期是 1； 1 1 ④函数 y＝f(x)在－2，2上是增函数． 则其中真命题是( ) A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
第21讲│ 要点热点探究
1 的坐标为2，0，设
(2)由抛物线方程可知 p＝1，焦点 F
25 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋1＝ ，所 12 1 13 以 x1＋x2＝ .设直线 AB 的方程为 y＝kx－2，代入抛物线 y2 12 2 1 k2 ＝2x，得 k2x －x＋4＝2x，即 k2x2－(k2＋2)x＋ ＝0，x1＋x2 4 k2＋2 13 k2 ＝ 2 ＝ ，所以 k2＝24，将 k2＝24 代入 k2x2－(k2＋2)x＋ k 12 4 1 p ＝0，因为|AF|＜|BF|，所以解方程得 x1＝ ，所以|AF|＝x1＋ 3 2 5 ＝ . 6
第21讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
第21讲 │ 主干知识整合
第21讲 │ 主干知识整合
第21讲│ 要点热点探究
要点热点探究
► 探究点一 函数与方程思想的应用 例 1 (1)[2012· 浙江卷] 设 a>0，b>0( ) A．若 2a＋2a＝2b＋3b，则 a>b B．若 2a＋2a＝2b＋3b，则 a<b C．若 2a－2a＝2b－3b，则 a>b D．若 2a－2a＝2b－3b，则 a<b (2)过抛物线 y2＝2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A，B 两 25 点，若|AB|＝ ，|AF|＜|BF|，则|AF|＝________. 12
专题七
数学思想方法
第21讲 函数与方程和数形结 合思想 第22讲 分类与整合和化归与 转化思想
专题七 数学思想方法
第21讲 函数与方程和数形结合思想
第21讲 │ 云览高考
[云览高考]
考例(难度) 2010湖北卷19(B)，2010 湖北卷20(B)， 2011湖北卷6(B)，2011 选择(2) 考点1 函数与方 湖北卷17(A)， 程思想 解答(5) 2011湖北卷19(C)，2012 湖北卷21(C)， 2012湖北卷9(B) 2010湖北卷9(B)，2010 选择(2) 说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题． 考点2 数形结合 湖北卷15(C)， 频率为近三年湖北真题情况，2010年，2011年为大纲卷． 思想 填空(1) 2012湖北卷8(B) 考点统计
第21讲│ 要点热点探究
4x 4x 在[0,1]上单调递增， 方程 2 ＝2x 的解是 x＝0， x＝1， 2 x ＋1 x ＋1 4x 故[0,1]是函数 f(x)＝ 2 的倍值区间；根据复合函数的单调性无 x ＋1 x 1 论 0<a<1 还是 a>1，函数 f(x)＝logaa －8都是单调递增函数，方 2 1± 2 1 2 1 1 x 2x x x 程 logaa －8＝2x，即 a －a ＋ ＝0，解得 a ＝ ＝ ± ，且 8 2 2 4 1 2 1 3－2 2 － －8＝ 8 >0，所以方程 2 4 1 1 x 1 2 2 logaa －8＝2x 有两个不同的根 loga － ，loga ＋ ，故 4 4 2 2 x 1 函数 f(x)＝logaa －8存在倍值区间． f(x)＝
第21讲│ 要点热点探究
[点评] 本例第一题是函数思想的应用，从题目看不出函数 的痕迹，但在解题中需要构造函数，研究函数的性质得出问题 的答案，这是函数思想的深层次运用；第二题是方程思想的应 用，方程思想是高中数学解题中使用最广泛的数学思想方法， 解决许多函数、解三角形、数列、不等式、解析几何问题都离 不开方程思想．
题型(频率)
第21讲 │ 二轮复习建议
二轮复习建议
命题角度：函数与方程思想主要围绕下面几点展开．第一点是 函数，设计函数解析式的求解、构造函数解决问题，目的是考查最 基本的函数与方程思想；第二点是围绕解析几何展开，设计使用方 程思想求曲线方程，建立函数关系求最值、范围等问题，从深层次 上考查函数与方程思想；第三点是围绕数列展开，设计使用方程思 想求数列的通项公式，使用函数思想求解数列中的范围、最值，或 者不等式等问题，也是从深层次上考查函数与方程思想；第四点是 围绕解三角形展开，设计使用方程思想解三角形，使用函数思想求 解其中的最值、范围等问题，也是深层次地考查函数与方程思想； 第五点是围绕导数解答题展开，设计使用方程思想确定待定系数， 构造函数解决不等式、方程等问题，是从更深的层次上考查函数与 方程思想．
第21讲│ 要点热点探究
1 [答案] (1) － 3
(2)A
[解析] (1) 结合图形，不妨设直线 l 的方程为 y＝x＋1，则 4 1 → · ＝0－1＝－1. → A(0,1)，B－ ，－ ，∴OA OB 3 3 3 3
第21讲│ 要点热点探究
„ x，－1<x≤1， 2 2 1 3 x－1， <x≤ ， (2)∵x－{x}＝ 2 2 3 5 x－2，2<x≤2， „ 可由此作出 f(x)＝|x－{x}|的图象， 如上图， 结合图象可知， 命题①②③是真命题．
Baidu Nhomakorabea
第21讲│ 要点热点探究
9 (2) 4
[答案]
(1)A
[解析] (1)由 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)· (x－1)＝0⇒x＝± 1，结 合 f(x)的图象可知只要 f(－1)＝0 或 f(1)＝0 即可，故解得 c＝－2 或 2，故选 A. (2)本题在新定义背景下考查直线、圆和抛物线的方程，一、 二次曲线之间的位置关系与导数的几何意义等基础知识，考查综 合运用知识的能力以及函数与方程和数形结合的数学思想．求出 曲线 C1 到直线 l 的距离和曲线 C2 到直线 l 的距离，建立等式，求 出参数 a 的值. 曲线 C2：x2＋(y＋4)2＝2 到直线 l：y＝x 的距离为 －4 圆心到直线的距离与圆的半径之差， d－r＝ 即 － 2＝ 2， 由 2
第21讲│ 要点热点探究
► 探究点二 数形结合思想的应用 例 2 (1)已知函数 y＝x3－3x＋c 的图象与 x 轴恰有两个公共点， 则 c＝( ) A．－2 或 2 B．－9 或 3 C．－1 或 1 D．－3 或 1 (2)[2012· 浙江卷] 定义：曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小 值称为曲线 C 到直线 l 的距离．已知曲线 C1：y＝x2＋a 到直线 l： y＝x 的距离等于曲线 C2：x2＋(y＋4)2＝2 到直线 l：y＝x 的距离， 则实数 a＝________.
第21讲│ 要点热点探究
[思考流程] (1)(分析)欲得 c 值需知 c 满足什么条件 ⇨ (推理) 已知的三次函数有两个极值点，结合函数图象可知只要这两个极 值点有一个为零即可 ⇨ (结论)计算后确定选项． (2)(分析)欲求实数 a 的值需知其满足的方程 ⇨ (推理)与已知 直线平行的曲线的切线的切点即为所求的点，根据导数求出切点 坐标 ⇨ (结论)使用点线距离公式建立方程解之．
第21讲│ 要点热点探究
[答案]
1 (1)－ 3
(2)C
1 [解析] (1)因为向量 b⊥(λa＋b)， 所以 b· (λa＋b)＝0， λ＝－ . 得 3 (2)函数 f(x)＝x2(x≥0)是增函数， 方程 f(x)＝2x 的解是 x＝0， x＝2， 故[0,2]是函数 f(x)＝x2(x≥0)的倍值区间；函数 f(x)＝ex(x∈R)是单 调递增函数，方程 f(x)＝2x，即 ex＝2x 无解，证明如下：设 g(x) ＝ex－2x，则 g′(x)＝ex－2，可得 x＝ln2 是函数 g(x)在定义域上 唯一的极小值点也是最小值点，故 g(x)≥g(ln2)＝2－2ln2>0；函数