双曲线的简单几何性质(教案)(精)

双曲线的简单几何性质

山丹一中周相年

教学目标:

(1 知识目标

能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程等,熟练掌握双曲线的几何性质 .

(2能力目标

通过类比椭圆的简单几何性质的方法来研究双曲线的简单几何性质, 在老师的指导下让学生积极讨论、归纳,培养学生的观察、研究能力,增强学生的自信心 .

(3 情感目标

通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动,培养学生自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能和主人翁意识、集体主义精神 . 教学重点:双曲线的几何性质 .

教学难点:双曲线的渐近线 .

教学方法:启发诱导、练讲结合

教学用具 :多媒体

教学过程:

一、复习回顾,问题引入:

问题 1:双曲线的定义及其标准方程?

问题 2:椭圆的简单几何性质有哪些?我们是如何研究的?双曲线是否也有类似性质?又该怎样研究?

二、合作交流,探究性质: 类比椭圆的几何性质的研究方法,我们根据双曲线的标准方程 0, 0(122

22>>=-b a b

y a x 研究它的几何性质 1. 范围:

双曲线在不等式x ≥ a 与x ≤-a 所表示的区域内 .

2. 对称性:

双曲线关于每个坐标轴和原点都对称, 这时, 坐标轴是

双曲线的对称轴, 原点是双曲线的对称中心, 双曲线的对称

中心叫双曲线中心 .

3.顶点:

(1 双曲线和它的对称轴有两个交点 A1(-a,0 、 A2(a,0,

它们叫做双曲线的顶点 .

(2 线段 A1A2叫双曲线的实轴, 它的长等于 2a,a 叫做双曲线的实半轴长; 线段B1B2叫双曲线的虚轴,它的长等于 2b, b叫做双曲线的虚半轴长 .

(3实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线,其方程为: 练一练:

1. 若点 P (2, 4在双曲线上,下列是双曲线上的点有

(1 P (-2, 4 (2 P (-4, 2 (3 P(-2, -4 (4 P (2, -4

2. 求适合下列条件的双曲线的标准方程:

0(22≠=-m m y x

(1焦点在 x 轴上,实轴长是 10,虚轴长是 8,则方程是

(2焦点在 y 轴上,焦距是 10,虚轴长是 8,则方程是 :

4. 渐近线

(1概念:双曲线 0, 0(12222>>=-b a b

y a x 的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近!故把这两条直线叫做双曲线的渐近线!

(2双曲线 12222=-b

y a x 的渐近线方程为:x a b y ±= ,即 0=±b y a x (3等轴双曲线的渐近线方程为:x y ±=.

(4 利用双曲线的渐近线, 可以帮助我们较准确地画出双

曲线的草图 . 具体做法是:画出双曲线的渐近线, 先确定双

曲线顶点及第一象限内任意一点的位置,然后过这两点并

根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分,最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线 .

5. 离心率:

(1定义:双曲线的焦距与实轴长的比 e=a

c ,叫双曲线的离心率 .

(2范围:由 c>a>0可得 e>1.

思考:离心率可以刻画椭圆的扁平程度,双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征?

(3含义 :离心率是表示双曲线开口大小的一个量 , 离心率越大开口越大 . 思考:你能到处双曲线 0, 0(12222>>=-b a b x a y 的性质吗? 三、学以致用,巩固双基:

例 1 求双曲线 9y 2-16x 2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程 .

练习 1 求双曲线 9y 2-16x 2=-144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程 .

思考 1:请你写出一个以为渐近线的双曲线方程 .

思考 2:你能写出所有以为渐近线的双曲线方程吗 ?

练习 2 求渐近线为 x y 34

±=,且过点 4, 3(的双曲线的标准方程 .

四、小结反思,总结提高:

1. 双曲线 0, 0(122

22>>=-b a b x a y 的简单几何性质:范围,对称性,顶点,离心率,渐进线

2. 比较双曲线的几何性质与椭圆的几何性质的异同

五、作业布置 :

必做:作业案 1-10 选做:作业案 11-12

x y 34

±=x y 34

±=

六、教学反思

渐近线是双曲线的特有性质,也是教学的难点,但课程标准要求相对较低,不要求严格证明,为了突破难点,通过问题引导学生从已有认知水平出发,来发现双曲线的渐近线,然后充分利用多媒体展示,帮助学生进一步直观理解渐近线“渐近”的含义。