优选高斯定理及应用

E dS
S
Φe
q
0
0
S4
r
π
2
q
0
r
2
dS
r
dS
+
点电荷在任意封闭曲面内
电荷发出的电场线是连续的, 通过球面S的电场线也必全部
通通过量任相意 等曲面eS'，即SE它 d们S 的 电qo
点电荷在封闭曲面之外
穿进曲面的电场线条数等于穿
出曲面的电场线 条数 。
e
E dS 0
S
S
+r
S
S
+
点电荷系产生电场的电通量
o Rr
例4 求均匀带电球体的场强分布。（已知球体半径
为R，带电量为q，电荷密度为）
解： 对称性分析可知场强方向
E
（1）球外某点的场强
E dS
q
S
o
q 4 R3
3
r
R
E dS E 4 r2 q
S
o
E
q
4or 2
R3
3r 2
(r≥R)
（2）球体内一点的场强
E
dS
qi
S
o
r
R
E
dS
2） 静电场电场线不闭合
3） 电场线不相交 +
4） 电场线密集处,电场强度较大, 电场线稀疏处电场强度较小。
注意：电场线是为了描述电场分布而引 入的曲线,不是电荷的运动轨迹
2、 电场强度通量(E 通量/电通量)
通过电场中某一个面的电场线数叫做通过 这个面的电场强度通量.
均匀电场 ，E垂直平面
Φe ES
4、 高斯定理的应用—求电场强度
高斯定理计算场强的条件： (1) 带电体的电场分布要具有高度的对称性; (2) 高斯面上的电场强度大小处处相等； (3) 面积元dS的面矢量方向与该处电场强度的方 向一致。 求电场强度的步骤
对称性分析；
根据对称性选择合适的高斯面；
应用高斯定理计算,获得电场强度.
例3 均匀带电球壳的电场强度
s 2）哪些电荷对闭合曲面 的 Φe 有贡献 ？
讨论
1 高斯面的电通量为?
2 将 q2从A移到B点，穿过高斯面 的电通量有否变化？P点的电场强
度是否变化？
q2 A P*
q2 B
s
q1 q3
高斯定理的证明
库仑定律 电场强度叠加原理
高斯 定理
点电荷激发电场的电通量
点电荷位于高斯球面中心
q
Φe
E 4π
S
1
o
4
q R3
4
33
r3
E 4 r 2 qr3
Q E 4 π0R2
E
oR3
o
Rr
E
qr
4 o R3
r3 3 o
（r < R）
解毕
思考：
两个半径为R1 、 R2的导体球壳， 带电量分别为Q1 、 Q2 ，求空 间的电场分布
例5 无限大均匀带电平面的电场强度
无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电
4 πr 2
Φe
q
0
将例题2与例题1 比较，关于E 通量的值是否为零有什么想法
3、高斯定理
在真空中,通过任一闭合曲 面的电场强度通量,等于该曲面 所包围的所有电荷的代数和除
以 0 .(与面外电荷无关，闭合
曲面称为高斯面）.
Φe
E dS
1
S
0
n
qi
i 1
请思考：1）高斯面上的 E 与哪些电荷有关 ？
r 荷面密度为 ，求距平面为 处的电场强度.
解 对称性分析：E垂直平面
选取闭合的柱形高斯面
E
dS
S＇
S
0 底面积
2S＇E S＇
E
S＇
0
S＇ E
S＇
E 20
E
2 0
E
EE
E
讨论
无的 限电 大场 带叠 电加 平问 面题
0
0
0
0
0
0
例6 无限长均匀带电直线的电场强度
无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即
电通量的求解
例1 如图所示 ，有一
个三棱柱体 放置在电场强度 E 200i N C1 的匀强
电场中 . 求通过此三棱柱体 的电场强度通量 .
E
2 dS1 dS 2 E2
1 E1
y
E
o
z
x
解 Φe Φe前 Φe后
y
P
S右
Φe左 Φe右 Φe下 Φe前 Φe后 Φe下
N
o
E
Rx
sE
物理学方法概论
优选高斯定理及应用
1、电场线 （电场的直观表示法） 规定 1） 曲线上每一点切线方向为该点电场方向, 2） 通过垂直于电场方向单位面积电场线数为
该点电场强度的大小.
S
E
各类点电荷的电场线
+
+
++
2q
q
+++++++
电场线特性
1） 始于正电荷,止于负电荷(或来自无 穷远,去向无穷远)，在没有电荷的地方 电场线不会中断
h 0
2 πrhE
z
+
E
+
E 2π 0r
r h
+
+o
y
x+
思考： 如果直线状带电体变成圆柱面带
电体，结果会是如何？ 总结：高斯面的选择 选择原则：观察带电体的形状,根据其对称性而定 球(壳)状带电体——同心高斯球面
r 电荷线密度为 ，求距直线为 处的电场强度.
解 对称性分析：轴对称
z
选取闭合的柱形高斯面
e
E dS
S
E dS E dS E dS
s(柱面）
s(上底）
s (下底）
E dS
+
+
r h
+
+o
x+
E
y
s (柱面）
E dS EdS 2 πrhE
S
s ( 柱面）
Φ e
dS
0
zM
Q
Φe左
E S左
ES 左
cos π
ES 左
Φe右 E S右 ES右 cos ES左
Φe Φe前 Φe后 Φe左 Φe右 Φe下 0
例2 点电荷位于半径为 r 的球面中心，求通 过该球面的电通量
E
4π
q
0r2
Φe
E dS
S
E dS
S
dS
+
E
dS
S
q
4 π 0r 2
E E1 E2
q1
q2
Φe
E dS
S
S
Ei dS
i
s qi
i(内） S
Ei
dS
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i（外）
S
Ei
dS
i（外）
S
Ei
dS
0 1
Φe
i（内） S
Ei
dS
0
qi
i (内）
证毕
高斯定理 Φe
E dS
1
S
0
n
qi
i 1
2总结
1）高斯面为封闭曲面. 2）穿进高斯面的电通量为负，穿出为正. 3）仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献. 4）高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度.
均匀电场 ，E 与平面不垂直
Φe
ES cos
Φe E S 面矢量
S
E
en
S
E
非均匀电场,曲面电通量 dΦe E dS
Φe dΦe s E dS
S 为闭合面
Φe
E dS
S
E cosdS
S
E
dS
E
E
1
2
, de1
0
2
π 2
, de2
0
电场线穿进闭合面,电
通量为负；穿出,为正.
E
求半径为R, 均匀带电Q 的薄球壳 . 求球壳内外任意点的电场强 度.
对称性分析可知场强方向
r S +
r +
+
O
+ 1+ + +
解（1）0 r R
E dS ES 0 E 0
S1 （2） r R
E dS
Q
S2
0
4π r2E Q
E
Q
4π 0r2
0
+R +
s +++ 2
QE
4π 0R2