高考数学专题：圆锥曲线

①证明直线AE过定点,并求出定点坐标. ②△ABE的面积是否存在最小值？若存在,请求出最小值； 若不存在,请说明理由.
规范解答
解 (1)由题意知 F(p2，0). p＋2t
设 D(t,0)(t>0)，则 FD 的中点为( 4 ，0). 因为|FA|＝|FD|,
由抛物线的定义知 3＋p2＝t－p2，
过定点x0,y0；若是动态的曲线方程,将动态的曲线方程转 化成fx,y＋λgx,y＝0的形式,则λ∈R时曲线恒过的定点即 是fx,y＝0与gx,y＝0的交点； 第四步：下结论； 第五步：回顾反思.在解决圆锥曲线问题中的定点、定值问 题时,引进参数的目的是以这个参数为中介,通过证明目标 关系式与参数无关,达到解决问题的目的.
所以|AE|＝|AF|＋|FE|
＝(x0＋1)＋x10＋1＝x0＋x10＋2.
[10 分]
设直线AE的方程为x＝my＋1. 因为点 A(x0，y0)在直线 AE 上，故 m＝x0y－0 1. 设 B(x1，y1).直线 AB 的方程为 y－y0＝－y20(x－x0)，
由于 y0≠0，可得 x＝－y20y＋2＋x0，
[14分]
评分细则
第(1)问得分点 1.求出t的值,得2分,列出关于t的方程,求解结果错误只得1 分. 2.得出抛物线方程得2分.
第(2)问得分点
1.写出直线l1在y轴上的截距得2分. 2.得出直线AE过定点得3分,只考虑当y 20≠4,且得出此时 直线AE过定点,只能得2分,只考虑当y ＝4且20 得出此时直 线AE过定点,只能得1分.
解得t＝3＋p或t＝－3(舍去).
[2分]
p＋2t 由 4 ＝3，解得 p＝2. 所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)①由(1)知F(1,0). 设A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0). 因为|FA|＝|FD|,则|xD－1|＝x0＋1, 由xD>0得xD＝x0＋2,故D(x0＋2,0), 故直线 AB 的斜率 kAB＝－y20.
直线 AF 的斜率为233，O 为坐标原点. (1)求E的方程； (2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面 积最大时,求l的方程.
规范解答
解 (1)设 F(c,0)，由条件知，2c＝233，得 c＝ 3.[2 分]
又 e＝ac＝ 23，所以 a＝2，b2＝a2－c2＝1. 故 E 的方程为x42＋y2＝1.
从而|PQ|＝
k2＋1|x1－x2|＝4
k2＋1· 4k2－3
4k2＋1
.
又点 O 到直线 PQ 的距离 d＝ k22＋1，
所以△OPQ
的面积
S△OPQ＝12d|PQ|＝4
4k2－3 4k2＋1 .
[9
分]
设 4k2－3＝t，则 t>0，S△OPQ＝t2＋4t 4＝t＋4 4t .
因为 t＋4t ≥4，当且仅当 t＝2， 即 k＝± 27时等号成立，且满足 Δ>0，
可得直线 AE 的方程为 y－y0＝y024－y04(x－x0). 由 y20＝4x0， 整理可得 y＝y024－y04(x－1)，
直线AE恒过点F(1,0).
当 y20＝4 时，直线 AE 的方程为 x＝1，过点 F(1,0)，
所以直线AE过定点F(1,0).
[9分]
②由①知直线AE过焦点F(1,0),
3.求出|AE|的长,且结论正确给1分,只给出弦长值而没有 过程,不得分. 4.正确得出B到直线AE的距离得2分；只写对结果,但没 有过程只能得1分. 5.求出面积的最小值得2分,没有指出等号成立的条件扣 1分.
答题模板
第一步：引进参数.从目标对应的关系式出发,引进相关参 数.一般地,引进的参数是直线的夹角、直线的斜率或直线 的截距等； 第二步：列出关系式.根据题设条件,表达出对应的动态直 线或曲线方程； 第三步：探求直线过定点.若是动态的直线方程,将动态的 直线方程转化成y－y0＝kx－x0的形式,则k∈R时直线恒
即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0. 圆心O到直线AB的距离
d＝
|2x0－ty0| y0－22＋x0－t2.
又 x20＋2y20＝4，t＝－2xy00，
故 d＝
x202＋x0y＋20＋2xy40x02y2020＋4＝
4＋x02 x40＋x80 x20＋16＝ 2.
2x20
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切.
[11 分]
所以，当△OPQ 的面积最大时 l 的方程为 y＝ 27x－2 或
y＝－ 27x－2.
[12 分]
评分细则
第(1)问得分点 1.由直线的斜率,得出c值,得2分,列出关于c的方程,求解结 果错误只得1分. 2.由椭圆的离心率求得a值得2分,得出E的方程得1分.
第(2)问得分点 1.设出直线l的方程得1分,没有考虑斜率不存在,直接设 出直线方程不得分. 2.直线方程与椭圆方程联立,得出一元二次方程得1分,方 程不正确,不得分. 3.求出弦长给1分,只给出弦长值而没有过程,不得分.
[5 分]
(2)当l⊥x轴时,不合题意,
故设l：y＝kx－2,P(x1,y1),Q(x2,y2), [6分] 将 y＝kx－2 代入x42＋y2＝1 得 (1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
当 Δ＝16(4k2－3)>0，即 k2>34时， 8k±2 4k2－3
x1,2＝ 4k2＋1 .
[7分]
(2)过点(1,0)作直线l交E于P、Q两点,试问：在x轴上是否存在 一个定点M,使 M→P为·M→定Q值？若存在,求出这个定点M的坐标； 若不存在,请说明理由. 解 假设存在符合条件的点M(m,0), 设P(x1,y1),Q(x2,y2), 则M→P＝(x1－m，y1)，M→Q＝(x2－m，y2)，M→P·M→Q＝(x1－m)(x2
[4分]
因为直线l1和直线AB平行, 设直线 l1 的方程为 y＝－y20x＋b， 代入抛物线方程得 y2＋y80y－8yb0 ＝0， 由题意 Δ＝6y420 ＋3y20b＝0，得 b＝－y20.
设 E(xE，yE)，则 yE＝－y40，xE＝y420.
[6 分]
当 y20≠4 时，kAE＝yxEE－ －yx00＝－y420y4－0＋y420y0＝y204－y04，
y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]
＝－2k2k＋2 1，
所以M→P·M→Q＝22kk22－ ＋21－m·2k42k＋2 1＋m2－2k2k＋2 1
2m2－4m＋1k2＋m2－2
＝
2k2＋1
.
因为对于任意的 k 值，M→P·M→Q为定值， 所以 2m2－4m＋1＝2(m2－2)，得 m＝54. 所以 M54，0，此时，M→P·M→Q＝－176.
－m)＋y1y2＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2.
①当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y＝k(x－1),
由x22＋y2＝1， y＝kx－1，
得 x2＋2k2(x－1)2－2＝0，
即(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0,
则 x1＋x2＝2k42k＋2 1，x1x2＝22kk22－ ＋21，
第二篇 看细则,用模板,解题再规范
第5讲 圆锥曲线
题型一 直线与圆锥曲线的综合问题 题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题
题型一 直线与圆锥曲线的综合问题
例 1 (12 分)(2014·课标全国Ⅰ)已知点 A(0，－2)，椭圆 E：
ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 23，F 是椭圆 E 的右焦点，
即 tx0＋2y0＝0，解得 t＝－2xy00.
当 x0＝t 时，y0＝－t22，代入椭圆 C 的方程，得 t＝± 2， 故直线 AB 的方程为 x＝± 2，
圆心 O 到直线 AB 的距离 d＝ 2.
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切. 当 x0≠t 时，直线 AB 的方程为 y－2＝yx00－－2t (x－t).
因此 a＝2，c＝ 2.
故椭圆
C
的离心率
e＝ac＝
2 2.
(2) 设 O 为 原 点 , 若 点 A 在 椭 圆 C 上 , 点 B 在 直 线 y ＝ 2 上 , 且 OA⊥OB,试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系,并证明 你的结论. 解 直线AB与圆x2＋y2＝2相切.证明如下： 设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x0≠0. 因为 OA⊥OB，所以O→A·O→B＝0，
题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题
例2 (14分)(2014·山东)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦 点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另 一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐 标为3时,△ADF为正三角形. (1)求C的方程. (2)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,
跟踪训练2 已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆
上的点到焦点的距离的最小值为 2 －1，离心率为e＝ 22.
(1)求椭圆E的方程； 解 设椭圆 E 的方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)，
a－c＝ 2－1，
a＝ 2，
由已知得ac＝ 22，
解得c＝1.
所以 b2＝a2－c2＝1.所以椭圆 E 的方程为x22＋y2＝1.
代入抛物线方程得 y2＋y80y－8－4x0＝0， 所以 y0＋y1＝－y80，
可求得 y1＝－y0－y80，x1＝x40＋x0＋4. 所以点B到直线AE的距离为
d＝x40＋x0＋4＋1＋mmy02＋y80－1 ＝4x0＋x0 1＝4 x0＋ 1x0.
[12 分]
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则△ABE的面积 S＝12×4 x0＋ 1x0x0＋x10＋2≥16， 当且仅当x10＝x0，即 x0＝1 时等号成立. 所以△ABE的面积的最小值为16.
4.求出三角形的面积得1分；只写出面积公式没有代入数 据,不给分. 5.求出k值得2分,没有验证是否满足方程的判别式扣1分. 6.写出直线l的方程得1分.
答题模板
第一步：由圆锥曲线几何性质及已知条件求参数a,b,c,e中 某个值； 第二步：求圆锥曲线方程； 第三步：分析直线与圆锥曲线的关系,联立方程,得一元二 次方程；
②当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x＝1,
则 x1＋x2＝2，x1x2＝1，y1y2＝－12，
由 m＝54，得M→P·M→Q＝－176. 综上，符合条件的点 M 存在，且坐标为54，0.
第四步：由“Δ”或根与系数的关系,弦长公式等,寻找解决 问题的思路； 第五步：通过化简、运算,得出结果； 第六步：回顾反思,查验问题的完备性.
跟踪训练1 (2014·北京)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.
(1)求椭圆C的离心率； 解 由题意得，椭圆 C 的标准方程为x42＋y22＝1， 所以 a2＝4，b2＝2，从而 c2＝a2－b2＝2.