31全国优质课不等关系与不等式精品PPT课件
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不等关系与不等式ppt优秀课件
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
课件高一数学必修：不等关系与不等式PPT课件_优秀版
x
≥
0
y ≥ 0
这是一个二元一次不等式组的问题
例 1 比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．
解: ∵ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
作差
(a2 2a 15) (a2 2a 8) 变形
7
∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) <0 定符号
转化为数学问题：a 克糖水中含有 b 克糖(a>b>0)，
若再加 m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?
怎么解决这个数学问题?
分析:起初糖水的浓度为 b ,加入 m 克糖后的糖 a
水浓度为 b m ,只要证明 b m b 即可,怎么
am
am a
证呢? 这是一个不等式的证明问题
问题 2: 某杂志以每本 2.5 元的价格发行时，可以售出 8 万 册．经过调查，若价格每提高 0.1 元，销售量就相应减少 2000 册．要使杂志社的销售收入不低于 20 万元，每本杂志的价
得到相反的结论，从而误解。
1.不等关系和不等 0
小
a b ab 0
结
a b ab 0
3.作差法的步骤：
（1）作差→（2）变形→（3）定号→（4）结论
其中，变形的方法有：配方法；因式分解法；通分，分子 /分母有理化等，必要时进行讨论。
4、作商法步骤：（1）作商；（2）变形； （3）判断商与1的大小；（4）结论。
证明: =x2(x－1)+(x－1) ∵ b m b (b m)a (a m)b
作差
a m a (a m)a 今天的天气预报说：明天早晨最低温度t为7℃，明天白天的最高温度t为13℃;
=x2(x－1)+(x－1)
不等关系与不等式 课件
(2)要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条 性质是否具有可逆性．
用不等式(组)表示不等关系
[典例] 某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h的情 况下，生产空调、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20 台．已知生产这些家电产品每台所需工时如下表：
家电名称 空调
彩电
冰箱
工时(h)
1 2
用不等式性质求解取值范围 [典例] 已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值 范围． [解] ∵1＜a＜4,2＜b＜8，∴2＜2a＜8,6＜3b＜24. ∴8＜2a＋3b＜32. ∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2. 又∵1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)， 即－7＜a－b＜2. 故2a＋3b的取值范围是(8,32)，a－b的取值范围是(－7,2)．
数式的大小比较
[典例] (1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小；
(2)已知a>0，试比较a与1a的大小． [解] (1)(x3－1)－(2x2－2x) ＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1) ＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1)x－122＋34. ∵x<1，∴x－1<0.又x－122＋34>0， ∴(x－1)x－122＋34<0. ∴x3－1<2x2－2x.
(2)因为a－1a＝a2－a 1＝a－1aa＋1， 因为a>0，所以当a>1时，a－1aa＋1>0，有a>1a； 当a＝1时，a－1aa＋1＝0，有a＝1a； 当0<a<1时，a－1aa＋1<0，有a<1a. 综上，当a>1时，a>1a； 当a＝1时，a＝1a； 当0<a<1时，a<1a.
用不等式(组)表示不等关系
[典例] 某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h的情 况下，生产空调、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20 台．已知生产这些家电产品每台所需工时如下表：
家电名称 空调
彩电
冰箱
工时(h)
1 2
用不等式性质求解取值范围 [典例] 已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值 范围． [解] ∵1＜a＜4,2＜b＜8，∴2＜2a＜8,6＜3b＜24. ∴8＜2a＋3b＜32. ∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2. 又∵1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)， 即－7＜a－b＜2. 故2a＋3b的取值范围是(8,32)，a－b的取值范围是(－7,2)．
数式的大小比较
[典例] (1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小；
(2)已知a>0，试比较a与1a的大小． [解] (1)(x3－1)－(2x2－2x) ＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1) ＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1)x－122＋34. ∵x<1，∴x－1<0.又x－122＋34>0， ∴(x－1)x－122＋34<0. ∴x3－1<2x2－2x.
(2)因为a－1a＝a2－a 1＝a－1aa＋1， 因为a>0，所以当a>1时，a－1aa＋1>0，有a>1a； 当a＝1时，a－1aa＋1＝0，有a＝1a； 当0<a<1时，a－1aa＋1<0，有a<1a. 综上，当a>1时，a>1a； 当a＝1时，a＝1a； 当0<a<1时，a<1a.
3-1《不等式与不等关系》课件(共29张PPT)
判断两个实数大小的依据是：
abab0 a b ab 0 abab0
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质Байду номын сангаас基础.
作差比较法其一般步骤是:
作差→变形→判断符号→确定大小.
因式分解、配方、 通分等手段
比较两个数(式)的大小的方法:
例2．比较x2－x与x－2的大小.
am a
am a
作差
变形 定符号 确定大小
问题探究（三）不等式的性质的应用
性质１:对称性
a<b
b>a
性质２:传递性
a b，b c a c
性质３:可加性
a b ac bc
性质４:同正可乘性
a b，c 0 ac bc a b，c 0 ac bc
性质５:加法法则 (同向不等式可相加)
故选A．
变式 5、给出下列结论： ①若 ac>bc，则 a>b； ②若 a<b，则 ac2<bc2； ③若1a<1b<0，则 a>b； ④若 a>b，c>d，则 a－c>b－d； ⑤若 a>b，c>d，则 ac>bd. 其中正确结论的序号是________．
[答案] ③
问题探究（四）利用不等式的性质求取值范围
例 6、已知－6<a<8,2<b<3，分别求 2a＋b，a－b，ab的取值范围．
分析:欲求 a－b 的取值范围，应先求－b 的取值范围，欲求 ab的取值范围，应先求1b的取值范围．
解析:∵－6<a<8，∴－12<2a<16， 又∵2<b<3，∴－10<2a＋b<19. ∵2<b<3，∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6. ∵2<b<3，∴13<1b<12， ∵－6<a<8，∴－2<ab<4.
abab0 a b ab 0 abab0
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质Байду номын сангаас基础.
作差比较法其一般步骤是:
作差→变形→判断符号→确定大小.
因式分解、配方、 通分等手段
比较两个数(式)的大小的方法:
例2．比较x2－x与x－2的大小.
am a
am a
作差
变形 定符号 确定大小
问题探究（三）不等式的性质的应用
性质１:对称性
a<b
b>a
性质２:传递性
a b，b c a c
性质３:可加性
a b ac bc
性质４:同正可乘性
a b，c 0 ac bc a b，c 0 ac bc
性质５:加法法则 (同向不等式可相加)
故选A．
变式 5、给出下列结论： ①若 ac>bc，则 a>b； ②若 a<b，则 ac2<bc2； ③若1a<1b<0，则 a>b； ④若 a>b，c>d，则 a－c>b－d； ⑤若 a>b，c>d，则 ac>bd. 其中正确结论的序号是________．
[答案] ③
问题探究（四）利用不等式的性质求取值范围
例 6、已知－6<a<8,2<b<3，分别求 2a＋b，a－b，ab的取值范围．
分析:欲求 a－b 的取值范围，应先求－b 的取值范围，欲求 ab的取值范围，应先求1b的取值范围．
解析:∵－6<a<8，∴－12<2a<16， 又∵2<b<3，∴－10<2a＋b<19. ∵2<b<3，∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6. ∵2<b<3，∴13<1b<12， ∵－6<a<8，∴－2<ab<4.
不等关系与不等式 课件
不等式性质的应用
[探究问题] 1．小明同学做题时进行如下变形： ∵2<b<3， ∴13<1b<12， 又∵－6<a<8， ∴－2<ab<4. 你认为正确吗？为什么？
提示：不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变， 但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6<a<8.不明确 a 值 的正负．故不能将31<b1<21与－6<a<8 两边分别相乘，只有两边都是正数的同向 不等式才能分别相乘．
2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为正确吗？ 提示：不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能相减或相 除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意 “创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？ ∵－2<a－b<4， ∴－4<b－a<－2. 又∵－2<a＋b<2， ∴0<a<3，－3<b<0， ∴－3<a＋b<3. 这怎么与－2<a＋b<2 矛盾了呢？
0<x≤18，
x15－2x≥110.
[规律方法] 1．此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等 关系． 2．当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间 的不等关系，另外若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量 即可．
3．用不等式(组)表示不等关系的步骤： (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、不多于、 不少于等． (2)适当的设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．
3.1不等式与不等关系课(共32张PPT)
探究点1
不等式的性质
（对称性) (1)a > b b < a; (传递性) (2)a > b,b > c a > c；
(可加性) (3) a > b a + c > b + c；
由性质（3）可得：
a + b > c a + b +( - b )> c +( - b ) a > c - b .
解：因为15 < b < 36,所以 - 36 < -b < -15. 又因为12 < a < 60,所以12 - 36 < a - b < 60 - 15， 所以 - 24 < a - b < 45. 1 1 1 12 a 60 因为 < < ,所以 < < ， 36 b 15 36 b 15 1 a 所以 < < 4. 3 b
2.某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f应不少于2.5％ ，蛋白质的含量p应不少于2.3％，
f≥2.5% 写成不等式组为 p≥2.3% .
【即时练习】 某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h.
行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不
等式表示为( B )
A．v≤120 (km/h)或 d≥10 (m)
2.设M=x2，N=x-1，则M与N的大小关系为 ( A ) A．M>N C．M<N B．M=N D．与x有关
【解析】 ∵M－N＝x2－(x－1)＝x2－x＋1 1 3 ＝x －x＋ ＋ 4 4
2
12 3 ＝(x－ ) ＋ >0. 2 4 ∴M>N.
江西省吉安县第三中学高中数学必修五课件：31不等关系与不等式(共20张PPT)
预习导学
课堂讲义
课堂讲义
第三章 不等式
课堂小结
3.不等式的性质 (1)不等式的性质有很多是不可逆的，特别对同向不等式，只有同 向不等式才可以相加，但不能相减，而且性质不可逆．只有同向 且是正项的不等式才能相乘，且性质不可逆． (2)不等式的性质是解(证)不等式的基础，要依据不等式的性质进行 推导，不能自己“制造”性质运算． 4. 在利用不等式的性质进行证明、判断或者推理过程中，要注意 性质成立的条件，不能出现同向不等式相减、相除的情况，要特 别注意同向不等式相乘的条件为同为正．
预习导学
第三章 不等式
[预习思考] 根据p69ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ70页认识生活中的不等关系 1．不等式的概念
思
用 数 学 符 号 “ ≠” 、 “ >” 、 “ <” 、 “ ≥” 、 “ ≤” 连 接 两 个 数 或 代 数 式，以表示它们之间的__不__等__关__系__．含有这些不等号的
式子，叫作不等式．
2．符号“≥”和“≤”的含义
(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母
或分子有理化；⑤分类等．
2．作商法比较大小
作商法适用于幂式、积式、分式间大小的比较，作商后
可变形为能与 1 比较大小的式子，要注意利用函数的有
关性质进行比较．
预习导学
课堂讲义
课堂讲义
第三章 不等式
议
探究二 利用不等式性质判断命题的真假
例 2 判断下列不等式关系是否正确，并说明理由． (1)若ca2＞cb2，则 a＞b； (2)若 a>b，ab≠0，则1a＜1b； (3)若 a＞b，c＞d，则 ac＞bd.
议
∴aabb＝abba.
③当 a＜b 时，0＜ab＜1，a－b＜0，∴(ab)a－b＞1，
[课件]必修五 第三章 31不等关系与不等式
![[课件]必修五 第三章 31不等关系与不等式](https://img.taocdn.com/s3/m/8ba1c36801f69e31433294ba.png)
证明: a b a b 0
(a b) 0
ba 0
即：a>b⇔ b<a
ba
思考2：若甲的身材比乙高，乙的身材比丙高， 那么甲的身材与丙的有什么大小关系？ 性质 2 ：如果 a > b ，且 b > c ，那么 a > c．(传递性) 即：a > b，b > c a > c．
必修五
3.1 不等关系与不等式
一.问题情境
实际生活中
长短
轻重
大小
高矮
远横 近看 高成 低岭 各侧 不成 同峰
你能发现下列成语、谚语中反映的不等关系吗?
雷声大，雨点小 捡了芝麻，丢了西瓜
道高一尺，魔高一丈
三个臭皮匠，抵过一个诸葛亮
说一说
我们生活中的到处都有不等关系 在数学中我们如何表示不等关系?
作差比较法
这既是比较大小 ( 或证明大小 ) 的基本方 法,又是推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是:
作差→变形→判断符号→确定大小.
例5．比较x2－x与x－2的大小. 解：(x2－x)－(x－2)= x2－2x+2
=(x－1)2+1， 因为(x－1)2≥0， 所以(x2－x)－(x－2)>0， 因此x2－x>x－2.
思考5：如果a＞b，那么ac>bc吗？
如果a＞b，c>0，那么ac与bc的大小关系如何？ a ＞b ，c ＞0
a ＞b ，c ＜0
证明:
ac＞bc；
ac＜bc
(可乘性)
a b a b 0 c0
(a b)c 0 ac bc 0
ac bc
思考6：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac与bd的 大小关系如何？为什么？
(a b) 0
ba 0
即：a>b⇔ b<a
ba
思考2：若甲的身材比乙高，乙的身材比丙高， 那么甲的身材与丙的有什么大小关系？ 性质 2 ：如果 a > b ，且 b > c ，那么 a > c．(传递性) 即：a > b，b > c a > c．
必修五
3.1 不等关系与不等式
一.问题情境
实际生活中
长短
轻重
大小
高矮
远横 近看 高成 低岭 各侧 不成 同峰
你能发现下列成语、谚语中反映的不等关系吗?
雷声大，雨点小 捡了芝麻，丢了西瓜
道高一尺，魔高一丈
三个臭皮匠，抵过一个诸葛亮
说一说
我们生活中的到处都有不等关系 在数学中我们如何表示不等关系?
作差比较法
这既是比较大小 ( 或证明大小 ) 的基本方 法,又是推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是:
作差→变形→判断符号→确定大小.
例5．比较x2－x与x－2的大小. 解：(x2－x)－(x－2)= x2－2x+2
=(x－1)2+1， 因为(x－1)2≥0， 所以(x2－x)－(x－2)>0， 因此x2－x>x－2.
思考5：如果a＞b，那么ac>bc吗？
如果a＞b，c>0，那么ac与bc的大小关系如何？ a ＞b ，c ＞0
a ＞b ，c ＜0
证明:
ac＞bc；
ac＜bc
(可乘性)
a b a b 0 c0
(a b)c 0 ac bc 0
ac bc
思考6：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac与bd的 大小关系如何？为什么？
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(1)作差比较法是比较大小的主要方法， 它是将两个数(或式子)作差，并由“差”与0 的大小关系，即“差”的正负号而比较出两 个数的大小关系．
(2)作商比较法的前提条件是两个正数的 大小比较，特别适合一些指数幂式子的大 小比较，它是将两个正数(或式子)作商，并 由“商”与1的大小关系而得到两个数的大小 ．
得a＋c>b＋d.
答案：D
4．已知a<b<0，那么下列不等式成立的是
()
A．a3<b3
B．a2<b2
C．(－a)3<(－b)3
D．(－a)2<(－b)2
解析：∵a<b<0，∴a3<b3.
答案：A
1．两个实数比较大小关系
在数学问题中经常要遇到比较大小问题
，其方法有两个，一是作差比较法；二是 作商比较法．
练习
1．已知a<b<c，且a＋b＋c＝0，则
()
A．b2－4ac>0
B．b2－4ac＝0
C．b2－4ac<0
D．不能确定b2－4ac的符号
解析：∵a<b<c，且a＋b＋c＝0，∴a<0，c>0，
∴b2－4ac≥－4ac>0.
答案：A
2．x＝(a＋3)(a－5)与y＝(a＋2)(a－4)的大
小关系是
()
A．x>y
B．x＝y
C．x<y
D．不能确定
解析：x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝
－7<0，∴x<y.
答案：C
3．已知a>b，c>d，且c、b不为0，那么下
列不等式成立的是
()
A．ab>bc
B．ac>bd
C．a－c>b－d
D．a＋c>b＋d
解析：∵a>b，c>d，由同向不等式可加性
（错误命题）易混淆，其中，应注意它们的区别，
前一个各项为正，后一个没有正负，故不成立．
典例剖析
题型一 比较大小
【例1】 比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小． 解： (2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝ x＋122＋34.∵x＋122≥0，∴x＋122＋34≥34>0， ∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0， ∴2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2.
性质８:开方法则
a b （0 n N*, n ≥ 2） n a n b 0
1．不等关系与不等式有什么区别？ 答案：不等关系强调的是量与量之间的关系 ，可以用符号“>”、“<”、“≠”、“≥”或“≤”表示 ；而不等式则是用来表示不等关系的，可用 “a>b”、“a<b”、“a≠b”、“a≥b”或“a≤b”等式子 表示，不等关系是通过不等式来体现的．
性质３:可加性
a b ac bc
性质４:可乘性
a b，c 0 ac bc a b，c 0 ac bc
性质５:可加性
(同向不等式可相加)
a b，c d a c b d
性质６:
(正数同向不等式可相乘)
a b 0，c d 0 ac bd
性质７:乘方法则
a b （0 n N*） an bn 0
3．如果a>b，b>c，那么a________c. 答案：> 4．如果a>b，c∈R那么a＋c________b＋c. 答案：> 5．如果a>b，c>0，那么ac________bc.如果a>b ，c<0，那么ac________bc. 答案：> < 6．如果a>b，c>d，那么a＋c________b＋d. 答案：>
(a2 2a 15) (a2 2a 8)
7 0. (a 3)(a 5) (a 2)(a 4).
比较两个数(式)的大小的方法: 作差,与零比较大小.
练习：已知x 0,比较 x2 1 2与x4 x2 1的大小.
想一想 : 在上例中,如果没有x 0这个条件 , 那么两式的大小 关系如何 ?
2．利用不等式性质判断不等关系 不等式的性质是判断不等关系的理论依据和方 法．不等式的性质较多，要注意识记和准确地理解 与应用．特别要注意某些性质的限制条件，以防乱 用和混用． (1)同向不等式不能相减． (2)异向不等式不能相加． (3)两边同乘或除以一个负数，不等式要反向． (4)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 与a>b，c>d⇒ ac>bd
3.1 不等关系与 不等式
1．如果a－b是正数，那么a________b；如果a －b等于零，那么a________b；如果a－b是________ 数，那么a<b，反过来也对．
答案：> ＝ 负 2．如果a>b，那么b________a；如果 b________a，那么a>b，即>b⇔b________a. 答案：< < <
步骤：比较大小的一般步骤是：作差——变形 ——定号，变形是比较大小的关键，是最重要的一 步，因式分解，配方，凑成若干个平方和等，是“变 形”的常用方法．
1．设m＝(x＋6)(x＋8)，n＝(x＋7)2，则 ( ) A．m>n B．m≥n C．m<n D．m≤n 解析：∵m－n＝(x＋6)(x＋8)－(x＋7)2＝x2＋14x ＋48－(x2＋14x＋49)＝－1<0，∴m<n. 答案：C
7．如果a>b>0，c>d>0，那么ac________bd.
答案：>
8．如果a>b>0，那么an________bn，(n∈N，
n≥2)．
答案：>
9．如果
a>b>0，那么n
n a________
b，(n∈N，
n≥2)．
答案：>
性质１:反对称性
a<b
b>a
性质２:传递性
a b，b c a c
题型二 不等式的性质的应用
【例 2】 判断下列各题的对错：
(1)ac<bc且 c>0⇒a>b
(2)a>b 且 c>d⇒ac>bd
(3)a>b>0 且 c>d>0⇒
a d>
b c
(4)ca2>cb2⇒a>b
解：(1) acc><0bc⇒1a<1b，当 a<0，b>0 时，此式成立，
推不出 a>b，∴(1)错． (2)当 a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3 时，命题显然
不等式基本原理
a － b > 0 <=> a > b a － b = 0 <=> a = b a － b < 0 <=> a < b
比较两数（式）的大小的最基本和首选的方法：
例1 比较(a 3)(a 5)与(a 2)(a 4)的大小.
解: (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
(2)作商比较法的前提条件是两个正数的 大小比较，特别适合一些指数幂式子的大 小比较，它是将两个正数(或式子)作商，并 由“商”与1的大小关系而得到两个数的大小 ．
得a＋c>b＋d.
答案：D
4．已知a<b<0，那么下列不等式成立的是
()
A．a3<b3
B．a2<b2
C．(－a)3<(－b)3
D．(－a)2<(－b)2
解析：∵a<b<0，∴a3<b3.
答案：A
1．两个实数比较大小关系
在数学问题中经常要遇到比较大小问题
，其方法有两个，一是作差比较法；二是 作商比较法．
练习
1．已知a<b<c，且a＋b＋c＝0，则
()
A．b2－4ac>0
B．b2－4ac＝0
C．b2－4ac<0
D．不能确定b2－4ac的符号
解析：∵a<b<c，且a＋b＋c＝0，∴a<0，c>0，
∴b2－4ac≥－4ac>0.
答案：A
2．x＝(a＋3)(a－5)与y＝(a＋2)(a－4)的大
小关系是
()
A．x>y
B．x＝y
C．x<y
D．不能确定
解析：x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝
－7<0，∴x<y.
答案：C
3．已知a>b，c>d，且c、b不为0，那么下
列不等式成立的是
()
A．ab>bc
B．ac>bd
C．a－c>b－d
D．a＋c>b＋d
解析：∵a>b，c>d，由同向不等式可加性
（错误命题）易混淆，其中，应注意它们的区别，
前一个各项为正，后一个没有正负，故不成立．
典例剖析
题型一 比较大小
【例1】 比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小． 解： (2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝ x＋122＋34.∵x＋122≥0，∴x＋122＋34≥34>0， ∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0， ∴2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2.
性质８:开方法则
a b （0 n N*, n ≥ 2） n a n b 0
1．不等关系与不等式有什么区别？ 答案：不等关系强调的是量与量之间的关系 ，可以用符号“>”、“<”、“≠”、“≥”或“≤”表示 ；而不等式则是用来表示不等关系的，可用 “a>b”、“a<b”、“a≠b”、“a≥b”或“a≤b”等式子 表示，不等关系是通过不等式来体现的．
性质３:可加性
a b ac bc
性质４:可乘性
a b，c 0 ac bc a b，c 0 ac bc
性质５:可加性
(同向不等式可相加)
a b，c d a c b d
性质６:
(正数同向不等式可相乘)
a b 0，c d 0 ac bd
性质７:乘方法则
a b （0 n N*） an bn 0
3．如果a>b，b>c，那么a________c. 答案：> 4．如果a>b，c∈R那么a＋c________b＋c. 答案：> 5．如果a>b，c>0，那么ac________bc.如果a>b ，c<0，那么ac________bc. 答案：> < 6．如果a>b，c>d，那么a＋c________b＋d. 答案：>
(a2 2a 15) (a2 2a 8)
7 0. (a 3)(a 5) (a 2)(a 4).
比较两个数(式)的大小的方法: 作差,与零比较大小.
练习：已知x 0,比较 x2 1 2与x4 x2 1的大小.
想一想 : 在上例中,如果没有x 0这个条件 , 那么两式的大小 关系如何 ?
2．利用不等式性质判断不等关系 不等式的性质是判断不等关系的理论依据和方 法．不等式的性质较多，要注意识记和准确地理解 与应用．特别要注意某些性质的限制条件，以防乱 用和混用． (1)同向不等式不能相减． (2)异向不等式不能相加． (3)两边同乘或除以一个负数，不等式要反向． (4)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 与a>b，c>d⇒ ac>bd
3.1 不等关系与 不等式
1．如果a－b是正数，那么a________b；如果a －b等于零，那么a________b；如果a－b是________ 数，那么a<b，反过来也对．
答案：> ＝ 负 2．如果a>b，那么b________a；如果 b________a，那么a>b，即>b⇔b________a. 答案：< < <
步骤：比较大小的一般步骤是：作差——变形 ——定号，变形是比较大小的关键，是最重要的一 步，因式分解，配方，凑成若干个平方和等，是“变 形”的常用方法．
1．设m＝(x＋6)(x＋8)，n＝(x＋7)2，则 ( ) A．m>n B．m≥n C．m<n D．m≤n 解析：∵m－n＝(x＋6)(x＋8)－(x＋7)2＝x2＋14x ＋48－(x2＋14x＋49)＝－1<0，∴m<n. 答案：C
7．如果a>b>0，c>d>0，那么ac________bd.
答案：>
8．如果a>b>0，那么an________bn，(n∈N，
n≥2)．
答案：>
9．如果
a>b>0，那么n
n a________
b，(n∈N，
n≥2)．
答案：>
性质１:反对称性
a<b
b>a
性质２:传递性
a b，b c a c
题型二 不等式的性质的应用
【例 2】 判断下列各题的对错：
(1)ac<bc且 c>0⇒a>b
(2)a>b 且 c>d⇒ac>bd
(3)a>b>0 且 c>d>0⇒
a d>
b c
(4)ca2>cb2⇒a>b
解：(1) acc><0bc⇒1a<1b，当 a<0，b>0 时，此式成立，
推不出 a>b，∴(1)错． (2)当 a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3 时，命题显然
不等式基本原理
a － b > 0 <=> a > b a － b = 0 <=> a = b a － b < 0 <=> a < b
比较两数（式）的大小的最基本和首选的方法：
例1 比较(a 3)(a 5)与(a 2)(a 4)的大小.
解: (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)