分析力学第三章
合集下载
分析力学第03章
所以平移变换下拉氏量等价， 即系统在这种变换下不变 。这种情况不能直接用 Noether’ s theorem，注意系统具有某种变换不变性是指系统拉氏量在这种变换下等价，与拉氏量在某种 变换下不变还是有一点区别。 另一方面，对于变换参量展开，保留一阶项
∂L d ∂L &' ) = L( q , q & ) + ∑ δa i & ) + ∑ δa i L( q' , q ∂q = L( q , q &i dt i i i ∂q d ∂L d 1 + − eB ( δa x y − δa y x ) = 0 代入上面式得 ∑ δa i & i dt 2 dt ∂q i ∂L 1 − eB( δa x y − δa y x ) = const . i i 2 & − eBy )δa x + ( m y & + eBx )δa y + m z &δ a z = const . 整理 ( mx
(3. 27)
all
& ∂ L ∂Q i + & i ∂s j ∂q s= 0
all
=0 s =0
j = 1,2,L , n
(3.28)
由拉氏方程
pi = ∂L &i ∂q ∂L &i = p ∂q i (3.29)
又
& ∂Q i = ∂s j (3.28)式可化为
∂Qi d ∑ pi dt i ∂s j =0
∂L d ∂L = , & ∂q dt ∂ q p= ∂L ，代入（３．２０）整理得 & ∂q
分析力学PPT课件
则约束方程为：
x 2 y 2 z 2 (R0 bt)2
f (x, y, z,t) x 2 y 2 z 2 (R0 bt)2 0
（3）可解约束和不可解约束 a 可解约束：只从一侧限制系统运动的约束，
即单方向约束 如甲虫在气球内（或外）但可飞离球面 x2 y2 z2 R2 或 x2 y2 z2 R2
1、广义坐标定义 任何 f 个可以完全确定（刻化）系统（f 个
自由度）位置的变量 q1, q2 , q f 称为该系统的广
义坐标，其对时间的导数则称广义速度。 （1）对完整约束，广义坐标数目与自由度数
目相等; （2）广义坐标的选择不是唯一的，并且是任
意的，长度、角度、面积、能量、电量、电流， 电极化强度 P ，磁化强度 M 等都可以作广义坐标;
2、问题的提出：导出理论的思路 实际问题是每个质点受到的作用力中还包括由
于维持约束而出现的约束力（或约束反力），这些 力都是未知的，而且与体系的运动有关，这使问题 更为复杂。分析力学把这类力的存在当做处理难点 来建立力学理论。
还是从质点组出发，但用一个受有约束的质点 组可以概括广泛的力学研究对象——非自由体系。
反映约束条件的方程称其约束方程
2、约束力：为维持约束而加于系统的力称为约 束力（也称约束反力）
（1）约束力可以是物体间相互接触而产生的力 （如桌面对其上物体的支持力），也可以是物体内 各部分的相互作用力（刚体内各质点间的作用力） （2）约束力在动力学问题未解出之前一般是未知 的 （特 殊 情 况 为 已 知 如 桌 面 对 物 体 的 支 撑 力 为 mg ），约束的存在并没有因事先知道了部分运动 情况而使求解变得简单，常常反而使问题变得更复 杂了
（3）约束力的大小和方向与约束有关，还与 外力及运动状态有关，可按约束运动的需要自动 调节，是一种因运动，外力而变化的被动力
x 2 y 2 z 2 (R0 bt)2
f (x, y, z,t) x 2 y 2 z 2 (R0 bt)2 0
（3）可解约束和不可解约束 a 可解约束：只从一侧限制系统运动的约束，
即单方向约束 如甲虫在气球内（或外）但可飞离球面 x2 y2 z2 R2 或 x2 y2 z2 R2
1、广义坐标定义 任何 f 个可以完全确定（刻化）系统（f 个
自由度）位置的变量 q1, q2 , q f 称为该系统的广
义坐标，其对时间的导数则称广义速度。 （1）对完整约束，广义坐标数目与自由度数
目相等; （2）广义坐标的选择不是唯一的，并且是任
意的，长度、角度、面积、能量、电量、电流， 电极化强度 P ，磁化强度 M 等都可以作广义坐标;
2、问题的提出：导出理论的思路 实际问题是每个质点受到的作用力中还包括由
于维持约束而出现的约束力（或约束反力），这些 力都是未知的，而且与体系的运动有关，这使问题 更为复杂。分析力学把这类力的存在当做处理难点 来建立力学理论。
还是从质点组出发，但用一个受有约束的质点 组可以概括广泛的力学研究对象——非自由体系。
反映约束条件的方程称其约束方程
2、约束力：为维持约束而加于系统的力称为约 束力（也称约束反力）
（1）约束力可以是物体间相互接触而产生的力 （如桌面对其上物体的支持力），也可以是物体内 各部分的相互作用力（刚体内各质点间的作用力） （2）约束力在动力学问题未解出之前一般是未知 的 （特 殊 情 况 为 已 知 如 桌 面 对 物 体 的 支 撑 力 为 mg ），约束的存在并没有因事先知道了部分运动 情况而使求解变得简单，常常反而使问题变得更复 杂了
（3）约束力的大小和方向与约束有关，还与 外力及运动状态有关，可按约束运动的需要自动 调节，是一种因运动，外力而变化的被动力
第3章分析力学基础-文档资料
V F iy yi
F iz
V zi
V V V ( x y z V i i i) x y z i i i
Nn
n n x y z i i i F F F 设： Q k ix iy iz q q q i 1 1 1 k i k i k n
则：
W Q q 0
F k 1 k k
N
q k :
Qk :
为广义虚位移
称为广义力 δk为线位移， Qk 量纲是力的量纲； δk为角位移， Qk 量纲是力矩的量纲。
同理：
yi zi
N
N
k 1
yi qk q k zi qk q k
k 1
q k 为广义虚位移。虚位移用广义坐标表示。
×
§ 3-2 以广义坐标表示的质点系平衡条件
在虚位移原理中，以质点直角坐标的变分表示虚位移。 这些虚位移通常不独立，需要建立虚位移之间的关系。 若直接用广义坐标变分来表示虚位移，广义虚位移之间相互独 立，虚位移原理可表示为简洁形式。
n W F r ( F x F y F z ) i i ix i iy i iz i F n i 1 i 1
n N N N
xi
N
k 1 N
xi q qk yi q qk zi q qk
k
x y z yi i i i ( F q F q F q ) i x k i y k i z k q q q i 1 k 1 k k 1 k k 1 k
分析力学基础
n k n k
( e)
ri 则 ( Fi mi ai )dri Q jdq j mi ai ( dq j ) i 1 j 1 i 1 j 1q j dvi ri (Q j mi )dq j 0 dt q j j 1 i 1
k n
dvi ri Q j mi 0 dt q j i 1
(i 1,2,, n)
用广义坐标表示虚位移： N ri δ ri δ qk (i 1,2,, n) k 1 qk
广义虚位移
6
§3-2 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
7
虚功方程
ri δ ri δ qk k 1 qk
N
(i 1,2,, n)
δ W Q1 δ q1
2. 解析法
Qk ( Fxi
i 1 n
Q1
δW δ q1
9
xi yi zi Fyi Fzi ) qk qk qk
例题 1
杆 OA 和 AB 以铰链连接， O端悬挂于圆柱铰链上，如 图所示。杆长OA=a，AB=b, 杆重和铰链的摩擦都忽略 不计。今在点 A 和 B 分别作 用向下的铅垂力 FA 和 FB ， 又在点 B 作用一水平力 F 。 试求 平衡 时 1 ， 2 与 FA ， FB ，F之间的关系。
10
例 题 1
解： 杆 OA和 AB的位置可由点 A和 B的四个坐标
xA ，yA和xB ，yB完全确定，由于OA和AB杆的长 度一定，可列出两个约束方程
2 2 xA yA a2
O
x
( xB x A ) 2 ( y B y A ) 2 b2
因此系统有两个自由度。现选择1和2为系统的 两个广义坐标，计算其对应的广义力Q1和Q2。
( e)
ri 则 ( Fi mi ai )dri Q jdq j mi ai ( dq j ) i 1 j 1 i 1 j 1q j dvi ri (Q j mi )dq j 0 dt q j j 1 i 1
k n
dvi ri Q j mi 0 dt q j i 1
(i 1,2,, n)
用广义坐标表示虚位移： N ri δ ri δ qk (i 1,2,, n) k 1 qk
广义虚位移
6
§3-2 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
7
虚功方程
ri δ ri δ qk k 1 qk
N
(i 1,2,, n)
δ W Q1 δ q1
2. 解析法
Qk ( Fxi
i 1 n
Q1
δW δ q1
9
xi yi zi Fyi Fzi ) qk qk qk
例题 1
杆 OA 和 AB 以铰链连接， O端悬挂于圆柱铰链上，如 图所示。杆长OA=a，AB=b, 杆重和铰链的摩擦都忽略 不计。今在点 A 和 B 分别作 用向下的铅垂力 FA 和 FB ， 又在点 B 作用一水平力 F 。 试求 平衡 时 1 ， 2 与 FA ， FB ，F之间的关系。
10
例 题 1
解： 杆 OA和 AB的位置可由点 A和 B的四个坐标
xA ，yA和xB ，yB完全确定，由于OA和AB杆的长 度一定，可列出两个约束方程
2 2 xA yA a2
O
x
( xB x A ) 2 ( y B y A ) 2 b2
因此系统有两个自由度。现选择1和2为系统的 两个广义坐标，计算其对应的广义力Q1和Q2。
《分析力学》大学笔记
《分析力学》大学笔记第一章引言1.1 学科背景介绍分析力学，作为物理学领域的一股重要力量，其诞生可追溯到对经典力学体系的深度反思与根本性重构。
在经典力学的框架内，力被视为描述物体运动状态改变的核心概念。
分析力学的出现，对这一传统观念进行了革命性的颠覆。
它不再将力作为最基本的物理量，而是转而聚焦于能量、动量等更为本质、更为普遍的物理属性。
这一转变并非凭空而来，而是基于现代数学工具的不断发展与完善，尤其是变分法和哈密顿原理的引入，为分析力学提供了坚实的数学基础。
通过这些高级数学手段，分析力学得以对力学系统进行更为精确、更为全面的描述。
它不仅极大地简化了复杂力学问题的求解过程，更在深层次上揭示了物理现象之间的内在联系与规律。
分析力学的兴起，不仅仅是对经典力学的一次重大革新，更是对整个物理学、数学乃至工程学领域产生了深远的影响。
在物理学的范畴内，分析力学的出现为后续的量子力学、相对论等前沿理论的发展奠定了坚实的基础。
在数学领域，分析力学所运用的高级数学方法推动了数学本身的进步与创新。
而在工程学实践中，分析力学的理论与方法被广泛应用于航空航天、机械制造、土木工程等诸多领域，为现代工程技术的飞速发展提供了有力的支撑。
分析力学的诞生与发展并非一帆风顺。
在其演进过程中，曾遭遇过诸多质疑与挑战。
但正是这些不断的争论与探索，使得分析力学得以不断完善与成熟，最终成为物理学领域中一门不可或缺的重要学科。
分析力学还与其他学科之间保持着密切的交叉与融合。
例如，在控制论中，分析力学的理论与方法被广泛应用于系统的稳定性分析与优化控制设计；而在生物学领域，分析力学的原理也被用于描述生物体的运动规律与能量转换过程。
这些跨学科的应用不仅展示了分析力学的广泛适用性，也进一步推动了相关学科的发展与创新。
分析力学作为物理学的一个重要分支，其背景深厚、影响深远。
它不仅在理论层面上对经典力学进行了深刻的反思与重构，更在实践层面上为众多领域的发展提供了强有力的支持。
理论力学3分析力学基础课后答案
代入拉格朗日方程，得
则 3-3
[
]
质量为 m 的质点悬在 1 线上，线的另 1 端绕在 1 半径为 R 的固定圆柱体上，如图
250
3-3 所示。设在平衡位置时，线的下垂部分长度为 l，且不计线的 质量。求此摆的运动微分方程。 解 取 θ 为广义坐标，设小球的静平衡位置为其零势能点。 系统势能
V = mg [(l + R sin θ ) − (l + θR ) cosθ ]
A
A x
& & x
θ
C
θ
FN
ϕ
θ −ϕ
l & ϕ 2 y
θ
& & x
θ
x′ B
C mg B
(c)
l && ϕ 2 y
(a)
& （见图 3-7b） & 、ϕ 解 2 自由度，给广义坐标 x， ϕ ，则广义速度为 x
(b) 图 3-7
l & & − cos(θ − ϕ )ϕ vCx = x 2 l & sin(θ − ϕ ) vCy = ϕ 2
x A = x B = 0, y A = −2a sin θ ， y B = 2a sin θ , xO = 2a cosθ
对相应坐标的变分
δ x A = δ x B = 0,δ y A = −2a cosθδ θ ,δ y B = 2a cosθδ θ δ xO = −2a sin θδ θ
根据动力学普遍方程，有
系统动能
势能
m 2 m 2 l2 2 m 1 m 2 & 2 = (x & + ϕ & − lx &ϕ & cos(θ − ϕ )) + l 2ϕ &2 (vCx + vCy ) + ⋅ l 2ϕ 2 2 12 2 4 24 m 2 m 2 2 m & + lϕ & − lx &ϕ & cos(θ − ϕ ) = x 2 6 2 l V = − mgx sin θ − mg cos ϕ （设初始 A 处势能为零） 2 T= ∂L m & cos(θ − ϕ ) & − lϕ = mx & ∂x 2 d ∂L m m && cos(θ − ϕ ) − lϕ & sin(θ − ϕ )ϕ & & − lϕ ( ) = m& x & dt ∂x 2 2
大学力学第三章教案
一、教学目标1. 理解牛顿运动定律的基本内容，掌握牛顿第一定律、第二定律和第三定律。
2. 熟悉力的分解与合成，掌握力的平行四边形法则。
3. 掌握动量定理、动量守恒定律和冲量定理，并能应用于实际问题。
4. 提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容1. 牛顿运动定律1.1 牛顿第一定律：惯性定律1.2 牛顿第二定律：加速度定律1.3 牛顿第三定律：作用与反作用定律2. 力的分解与合成2.1 力的分解：将一个力分解为两个或多个分力2.2 力的合成：将两个或多个分力合成为一个力3. 动量定理、动量守恒定律和冲量定理3.1 动量定理：物体动量的变化等于作用在物体上的合外力与作用时间的乘积3.2 动量守恒定律：在一个封闭系统中，如果没有外力作用，系统的总动量保持不变3.3 冲量定理：物体动量的变化等于作用在物体上的冲量三、教学重点与难点1. 教学重点：1.1 牛顿运动定律的基本内容1.2 力的分解与合成1.3 动量定理、动量守恒定律和冲量定理2. 教学难点：1.1 牛顿第三定律的理解与应用1.2 动量守恒定律在不同场景下的应用四、教学过程1. 引入新课：通过生活中的实例，让学生了解力学在自然界和工程技术中的应用，激发学生的学习兴趣。
2. 讲授新课：2.1 牛顿运动定律：讲解牛顿第一定律、第二定律和第三定律的基本内容，通过实例分析，使学生理解定律的内涵。
2.2 力的分解与合成：讲解力的分解与合成的概念，并运用实例进行演示，使学生掌握力的平行四边形法则。
2.3 动量定理、动量守恒定律和冲量定理：讲解动量定理、动量守恒定律和冲量定理的基本内容，通过实例分析，使学生理解并掌握这些定理。
3. 学生练习交流：让学生分组讨论，解决一些实际问题，如汽车刹车、抛物运动等，提高学生的综合分析能力。
4. 课后作业：布置一些与本章内容相关的练习题，巩固学生的知识。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的学习态度、参与度和提问情况。
第三章二自由度系统
为了完全确定物体的位置而选定的任意一组彼此独立的 坐标参数，称为这个物体的广义坐标。在选定坐标时，除去 直角坐标Ｘ、Ｙ、Ｚ之外，我们也可以用角度φ、θ及从物体 中的一点到某些固定点的距离等参数来确定物体在空间的位 置。
二自由度系统振动 / 不同坐标系的运动微分方程
以汽车的二自由度振动模型为例
汽车板簧以上部分被简化成为一根刚性杆，具有质量m和绕质心 的转动惯量Ic。质心位于C 点。分别在A点和B点与杆相联的弹性 元件k1、k2为汽车的前，后板簧。
若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维矩阵或列向量
二自由度系统振动 / 运动微分方程
式中：
[M
]
m11 m21
m12
m22
m1
0
0
m2
[K
]
k11 k 21
[C]
c11 c21
k12
k
22
k1 k2
k2
c12
c22
2 ET x1x1
2 ET x12
m1
m12
2 ET x1x2
2 ET x2x1
m21
0
m22
2ET x2x2
2 ET x22
m2
[M
]
m11 m21
m12
m22
m1
0
0
m2
二自由度系统振动 / 能量法
(t ) (t)
如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
二自由度系统振动 / 不同坐标系的运动微分方程
以汽车的二自由度振动模型为例
汽车板簧以上部分被简化成为一根刚性杆，具有质量m和绕质心 的转动惯量Ic。质心位于C 点。分别在A点和B点与杆相联的弹性 元件k1、k2为汽车的前，后板簧。
若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维矩阵或列向量
二自由度系统振动 / 运动微分方程
式中：
[M
]
m11 m21
m12
m22
m1
0
0
m2
[K
]
k11 k 21
[C]
c11 c21
k12
k
22
k1 k2
k2
c12
c22
2 ET x1x1
2 ET x12
m1
m12
2 ET x1x2
2 ET x2x1
m21
0
m22
2ET x2x2
2 ET x22
m2
[M
]
m11 m21
m12
m22
m1
0
0
m2
二自由度系统振动 / 能量法
(t ) (t)
如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
分析力学第三章
M
当其不为零时，是在点M处的切 当其不为零时，是在点M处的切 线上，且其方向恒指向t 线上，且其方向恒指向 值增大 的一方。 的一方。 导矢的几何意义： 导矢的几何意义： 导矢在几何上为一矢端曲线的 切向矢量， 切向矢量，指向对应自变量值 增大的一方。 增大的一方。
r A '(t )
N
r A(t )
§2.2 矢性函数的导数与微分
2、 、 的几何意义 r r r r 矢性函数 A(t ) = Ax (t )i + Ay (t ) j + Az (t )k
r dr ds
矢量分析简介
r r r r 其终点M(x,y,z)的矢径函数： r = xi + yj + zk 的矢径函数： 其终点 的矢径函数 其中 x = Ax (t ), y = Ay (t ), z = Az (t )
ds 表示路程对时间的变化率，表示在点 处质点运动速度的 表示路程对时间的变化率，表示在点M处质点运动速度的 大小， 表示； dt 大小，有v 表示；则 r dr r = vτ dt
表示质点M运动的速度的大小和方向，速度矢量： 表示质点 运动的速度的大小和方向，速度矢量： 运动的速度的大小和方向
r r dr r v= = vτ dt
矢量分析简介 §2.2 矢性函数的导数与微分 r r d r r dA r r dB ( A B) = B+ A dt dt dt r r dA r2 r r d r2 A = 2A , ( A = A A) dt dt r r d r r dA r r dB ( A × B) = × B + A× dt dt r dt r 复合函数求导： 复合函数求导：若 A = A(u ) u = u (t ) 则 r r dA dA du = dt du dt
当其不为零时，是在点M处的切 当其不为零时，是在点M处的切 线上，且其方向恒指向t 线上，且其方向恒指向 值增大 的一方。 的一方。 导矢的几何意义： 导矢的几何意义： 导矢在几何上为一矢端曲线的 切向矢量， 切向矢量，指向对应自变量值 增大的一方。 增大的一方。
r A '(t )
N
r A(t )
§2.2 矢性函数的导数与微分
2、 、 的几何意义 r r r r 矢性函数 A(t ) = Ax (t )i + Ay (t ) j + Az (t )k
r dr ds
矢量分析简介
r r r r 其终点M(x,y,z)的矢径函数： r = xi + yj + zk 的矢径函数： 其终点 的矢径函数 其中 x = Ax (t ), y = Ay (t ), z = Az (t )
ds 表示路程对时间的变化率，表示在点 处质点运动速度的 表示路程对时间的变化率，表示在点M处质点运动速度的 大小， 表示； dt 大小，有v 表示；则 r dr r = vτ dt
表示质点M运动的速度的大小和方向，速度矢量： 表示质点 运动的速度的大小和方向，速度矢量： 运动的速度的大小和方向
r r dr r v= = vτ dt
矢量分析简介 §2.2 矢性函数的导数与微分 r r d r r dA r r dB ( A B) = B+ A dt dt dt r r dA r2 r r d r2 A = 2A , ( A = A A) dt dt r r d r r dA r r dB ( A × B) = × B + A× dt dt r dt r 复合函数求导： 复合函数求导：若 A = A(u ) u = u (t ) 则 r r dA dA du = dt du dt
分析力学基础-3
弹簧的变形为 st
这一位置为平衡位置 称为静变形
st P / k
取重物的平衡位置点O为坐标原点
取x 轴的正向铅直向下 则
F k k (st x)
其运动微分方程为
d2 x m 2 P k ( st x) dt
st P / k
d2 x m 2 kx dt
上式表明： 物体偏离平衡位置于坐标x处将受到与偏离距离成正 比而与偏离方向相反的合力 恢复力 只在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动
2 0
k m
d2 x m 2 kx dt
d x 2 0 x 0 dt 2
－－无阻尼自由振动微分方程的标准形式
2
其解具有如下形式
其中r为待定常数 本征方程 本征方程的两个根为
当物块碰上弹簧时，取时间t=0，作为振动的起点
0.5kg 9.8m/s2 sin 30 x0 0 3.06 103 m 0.8N/m 1000
v0 2 gh 2 9.8m/s 2 0.1m 1.4m/s
A x
2 0
2 v0 2 0
系统的势能为
V mg ( R r )(1 cos ) 2mg ( R r ) sin
2
2
当圆柱体作微振动时， 可认为 sin
2
பைடு நூலகம்
2
1 V mg ( R r ) 2 2
设系统作自由振动时θ的变化规律为 A sin(0t )
3m 2 (R r ) 2 0 A2 则系统的最大动能 Tmax 4 1 2 系统的最大势能 Vmax mg ( R r ) A 2
这一位置为平衡位置 称为静变形
st P / k
取重物的平衡位置点O为坐标原点
取x 轴的正向铅直向下 则
F k k (st x)
其运动微分方程为
d2 x m 2 P k ( st x) dt
st P / k
d2 x m 2 kx dt
上式表明： 物体偏离平衡位置于坐标x处将受到与偏离距离成正 比而与偏离方向相反的合力 恢复力 只在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动
2 0
k m
d2 x m 2 kx dt
d x 2 0 x 0 dt 2
－－无阻尼自由振动微分方程的标准形式
2
其解具有如下形式
其中r为待定常数 本征方程 本征方程的两个根为
当物块碰上弹簧时，取时间t=0，作为振动的起点
0.5kg 9.8m/s2 sin 30 x0 0 3.06 103 m 0.8N/m 1000
v0 2 gh 2 9.8m/s 2 0.1m 1.4m/s
A x
2 0
2 v0 2 0
系统的势能为
V mg ( R r )(1 cos ) 2mg ( R r ) sin
2
2
当圆柱体作微振动时， 可认为 sin
2
பைடு நூலகம்
2
1 V mg ( R r ) 2 2
设系统作自由振动时θ的变化规律为 A sin(0t )
3m 2 (R r ) 2 0 A2 则系统的最大动能 Tmax 4 1 2 系统的最大势能 Vmax mg ( R r ) A 2
分析力学课件、答案 chap3
带入比莱公式：
pθ2u 2 ( 8a 2u 3 − u + u ) = − mF
θ
r
2a
整理之后可得：
8 pθ2 a 2u 5 1 F= ∝ u5 = 5 −m r
所以有心力与距离成五次方成反比。
3、在一个顶角为2α 的圆锥形光滑杯中放置一个质量为 m的质点。圆锥的轴沿竖直方向，杯口向上。求证当 E > 0 时，质点在两个水平圆环之间的杯壁上运动， 并写出决定这两个圆环半径的方程。 解：系统的约束方程为 f = z − ρ cot α = 0 系统的拉格朗日为
α
rn
+
β
r2
当 r → 0 时，上式的第二项是主要部分。则
U 有效 ≈
β
r
2
→∞
而 E = Ek + U 有效 ，粒子的能量是有限的。所以上式不可能成立，也就是 粒子不能落到力心。
下面计算粒子落到质心的截面：设粒子的苗追距离为b，则有效势能为
U 有效
再求有效势能的极值
mb 2υ 2 =− n + r 2r 2
2 2
2 2 n n−2
n n−2
mb υ 1 1 2 mυ ≥ α (n − 2) 2 2 nα
2 2− n n
⇒ b ≤ n( n − 2)
所以，粒子落入质心的总截面为
α 2 mυ
2−n n
2 n
σ = π b 2 = π n(n − 2)
α 2 mυ
[ ρmin , ρmax ]之间运动。
4、由椭圆的焦点F引一条线段，以均匀的角速度 ω 绕F点转动，求证此线 段与椭圆的交点M的速度为 υ = rω r (2a − r ) / b，其中a和b是椭圆的半长轴 和半短轴。 解：由椭圆的极坐标方程 p r= , (0 < e < 1, p = b 2 / a, e = c / a ) 1 − e cos θ 所以 ds d d dϑ ɺ ɺ ɺ υ = = ∫ r 2 (ϑ ) + r 2 (ϑ )dϑ = r 2 (θ ) + r 2 (θ )dϑ = ω r 2 (θ ) + r 2 (θ ) ∫ dt dt dϑ dt 而 d p −ep sin ϑ ɺ r= = F dϑ 1 − e cos ϑ (1 − e cos ϑ )2
pθ2u 2 ( 8a 2u 3 − u + u ) = − mF
θ
r
2a
整理之后可得：
8 pθ2 a 2u 5 1 F= ∝ u5 = 5 −m r
所以有心力与距离成五次方成反比。
3、在一个顶角为2α 的圆锥形光滑杯中放置一个质量为 m的质点。圆锥的轴沿竖直方向，杯口向上。求证当 E > 0 时，质点在两个水平圆环之间的杯壁上运动， 并写出决定这两个圆环半径的方程。 解：系统的约束方程为 f = z − ρ cot α = 0 系统的拉格朗日为
α
rn
+
β
r2
当 r → 0 时，上式的第二项是主要部分。则
U 有效 ≈
β
r
2
→∞
而 E = Ek + U 有效 ，粒子的能量是有限的。所以上式不可能成立，也就是 粒子不能落到力心。
下面计算粒子落到质心的截面：设粒子的苗追距离为b，则有效势能为
U 有效
再求有效势能的极值
mb 2υ 2 =− n + r 2r 2
2 2
2 2 n n−2
n n−2
mb υ 1 1 2 mυ ≥ α (n − 2) 2 2 nα
2 2− n n
⇒ b ≤ n( n − 2)
所以，粒子落入质心的总截面为
α 2 mυ
2−n n
2 n
σ = π b 2 = π n(n − 2)
α 2 mυ
[ ρmin , ρmax ]之间运动。
4、由椭圆的焦点F引一条线段，以均匀的角速度 ω 绕F点转动，求证此线 段与椭圆的交点M的速度为 υ = rω r (2a − r ) / b，其中a和b是椭圆的半长轴 和半短轴。 解：由椭圆的极坐标方程 p r= , (0 < e < 1, p = b 2 / a, e = c / a ) 1 − e cos θ 所以 ds d d dϑ ɺ ɺ ɺ υ = = ∫ r 2 (ϑ ) + r 2 (ϑ )dϑ = r 2 (θ ) + r 2 (θ )dϑ = ω r 2 (θ ) + r 2 (θ ) ∫ dt dt dϑ dt 而 d p −ep sin ϑ ɺ r= = F dϑ 1 − e cos ϑ (1 − e cos ϑ )2
力学--(角)动量与能量守恒定律
第三章 （角）动量守恒定律和能量守恒定律
4
物理学
第五版
1 动量定理与动量守恒定律
t2 1、冲量： Fdt（过程量） I
t1
2、动量定理（质点或质点系）
t2 Fdt dp t Fdt p p0 1 动量： p mv （状态量）
用 于 碰 撞
1子弹与细棒碰撞过程角动量守恒mglgl子弹与细棒从竖直位置运动到水平位置过程中子弹细棒和地球组成的系统机械能守恒两个守恒的应用物理学第五版第三章角动量守恒定律和能量守恒定律24mglgl2细棒和子弹系统开始下落瞬间的角加速度物理学第五版第三章角动量守恒定律和能量守恒定律252角动量方法时间能量方法角动量守恒能量守恒求解力学问题的路径突出过程矢量性与瞬时性牛顿运动定律转动定律突出始末状态矢量关系的角动量定理突出始末状态标量关系的动能定理功能原理机械能守恒定律能量转化与守恒定律物理学第五版第三章角动量守恒定律和能量守恒定律26
第三章 （角）动量守恒定律和能量守恒定律
(2)
23
物理学
第五版
4例 两个守恒的应用
（2）细棒和子弹系统开始下落瞬间的角加速度
M J
1 M m0 gL mgL 2
O
1 2 J m0 L mL 3
2
v0
m0
m
1 m0 g mg 2 1 m0 L mL 3
第三章 （角）动量守恒定律和能量守恒定律
15
物理学
第五版
1 功
力的功： W F dr
力矩的功：W
3 功 动能定理
2
1
Md
2 动能定理: W Ek Ek 0 1 质点(系)： E k mv 动 2
4
物理学
第五版
1 动量定理与动量守恒定律
t2 1、冲量： Fdt（过程量） I
t1
2、动量定理（质点或质点系）
t2 Fdt dp t Fdt p p0 1 动量： p mv （状态量）
用 于 碰 撞
1子弹与细棒碰撞过程角动量守恒mglgl子弹与细棒从竖直位置运动到水平位置过程中子弹细棒和地球组成的系统机械能守恒两个守恒的应用物理学第五版第三章角动量守恒定律和能量守恒定律24mglgl2细棒和子弹系统开始下落瞬间的角加速度物理学第五版第三章角动量守恒定律和能量守恒定律252角动量方法时间能量方法角动量守恒能量守恒求解力学问题的路径突出过程矢量性与瞬时性牛顿运动定律转动定律突出始末状态矢量关系的角动量定理突出始末状态标量关系的动能定理功能原理机械能守恒定律能量转化与守恒定律物理学第五版第三章角动量守恒定律和能量守恒定律26
第三章 （角）动量守恒定律和能量守恒定律
(2)
23
物理学
第五版
4例 两个守恒的应用
（2）细棒和子弹系统开始下落瞬间的角加速度
M J
1 M m0 gL mgL 2
O
1 2 J m0 L mL 3
2
v0
m0
m
1 m0 g mg 2 1 m0 L mL 3
第三章 （角）动量守恒定律和能量守恒定律
15
物理学
第五版
1 功
力的功： W F dr
力矩的功：W
3 功 动能定理
2
1
Md
2 动能定理: W Ek Ek 0 1 质点(系)： E k mv 动 2
【理论力学2】第三章分析力学基础
n xi yi z i ( Fxi Fyi Fzi )q k 0 q k q k q k k 1 i 1
（3－6）
如令
Qk ( Fxi
i 1 n
xi y z Fyi i Fzi i ) (k 1 ， 2， ，N ) （3－7） qk qk qk
如图所示
由式（b）的变分
可得一组虚位移 y A y B a sin 11 ，xB a cos11 则对应于 1的广义力为
Q1
（e ）
W1 FAy A Fy B Fx B 1 1
将式（e）代入上式 得 保持 1不变 只有2 时 如图所示 由式（b）的变分 可得另一组虚位移 y A 0 ，y B b sin 2 2 ，xB b cos 2 2 代入对应于 2 的广义力表达式 得
W A FAx A PC yC ( FA PC )x A
对应广义坐标 x A 的广义力为 WA 1 QxA PC FA x A 2
1 2
（a）
再令y B向下 x A 0
同理可解得 （b）
1 PC 2 P ，FA PC P 2 因此平衡时 要求物块与台面间静摩擦因数 FA f 0.5 2P 如果作用在质点系上的主动力都是有势力 则势能应为各点坐标的函数 记为
（3－13）
这样 由广义坐标表示的平衡条件可写成如下形式 V Qk 0 (k 1 ， 2， ，N ) （3－14） qk 即 在势力场中具有理想约束的质点系的平衡条件是势能对于 每个广义坐标的偏导数分别等于零 稳定平衡 不稳定平衡 在稳定平衡的平衡位置处 系统势能具有极小值 在不平衡位置上 系统势能具有极大值 对于随遇平衡 系统在某位置附近其势能是不变的 所以其附近任何可能位置都是平衡位置
分析力学(1~4章)
かみ Crucis
第一章 低速宏观运动：牛顿第二定律的解析表达形式 拉格朗日形式：巧妙消除约束，减少未知量个数 哈密顿形式：整齐对称 约束：限制物体运动的位置，位置坐标不再相互独立 无约束：自由度等于坐标数目。 保守力场：力做功与路径无关。 约束反力：受外界物作用力。 拉格朗日方程：(保守系) m������ = ������ = − ������ ������������ ������������ − =0 ������������ ������������������ ������������������ 有心力场—— 笛卡尔坐标系：������ = 柱坐标系：������ = 球坐标系：������ =
������
δU =
������ =1
������������ ������������ ������������������ ������
最小作用量原理： 一个物理系统实际发生的真实运动状态是所对应的 作用量具有最小值的那个状态。 δS = δ =
������ 2 ������ 1
������ ������ ������ , ������ ������ , ������ ������������ = 0
第二项为零
������ =
′ ′ ������������ × ������������ ������������ + ������������ ×
′ ������������ ������������ +
������������ ������������ × ������
′
������ =0 ������ ′ 系为质心系
かみ Crucis
������离心
2 ������������ = 2������������ 2
第一章 低速宏观运动：牛顿第二定律的解析表达形式 拉格朗日形式：巧妙消除约束，减少未知量个数 哈密顿形式：整齐对称 约束：限制物体运动的位置，位置坐标不再相互独立 无约束：自由度等于坐标数目。 保守力场：力做功与路径无关。 约束反力：受外界物作用力。 拉格朗日方程：(保守系) m������ = ������ = − ������ ������������ ������������ − =0 ������������ ������������������ ������������������ 有心力场—— 笛卡尔坐标系：������ = 柱坐标系：������ = 球坐标系：������ =
������
δU =
������ =1
������������ ������������ ������������������ ������
最小作用量原理： 一个物理系统实际发生的真实运动状态是所对应的 作用量具有最小值的那个状态。 δS = δ =
������ 2 ������ 1
������ ������ ������ , ������ ������ , ������ ������������ = 0
第二项为零
������ =
′ ′ ������������ × ������������ ������������ + ������������ ×
′ ������������ ������������ +
������������ ������������ × ������
′
������ =0 ������ ′ 系为质心系
かみ Crucis
������离心
2 ������������ = 2������������ 2
分析力学基础(3)
m1l 2 sin ( FT1 FT2 )sin 0 m1 g ( FT1 FT2 )cos 0
0
FT1＝FT3 ,
FT1＝
m2 g , 2cos
FT1＝FT1
m1 m2 cos g 2 m1l
质点的惯性力与动静法
例 题2
y 振动筛
第3章 达朗伯原理
刚体惯性力系的简化
刚体惯性力系的简化
刚体惯性力系特点 刚体惯性力系简化结果 ——惯性力系主矢与主矩 刚体惯性力系主矢与主矩与动量 和动量矩之间的关系
刚体惯性力系的简化
刚体惯性力系特点
刚体惯性力系的简化
刚体惯性力系特点
刚体惯性力的分布与刚体的质量分布以及 刚体上各点的绝对加速度有关。
F F
i i i Ni
FIi＝0
i
M
i
O
( Fi ) M O ( FNi ) M O ( FIi )＝0
i i
F F
i i i
Ni
FIi＝FR ＝0
i
M
i
O
( Fi ) M O ( FNi ) M O ( FIi )＝ M O＝0
i i
y
O
平衡位置
y＝a sin t 求：颗粒脱离台面的 最小振动频率
质点的惯性力与动静法
例 题2
解：通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定 颗粒脱离台面的位置和条件。 y y FI FN m
y
a W O
平衡位置
y
O FN m a
平衡位置
FI
W
质点的惯性力与动静法
例 题2
解：通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定 颗粒脱离台面的位置和条件。 应用动静法 y FN m
3章1理想流体动力学基本方程
一、Lagrange法（拉格朗日法）
“跟踪”的方法
基本思想：跟踪每个流体质点的运动全过程，记录它 们在运动过程中的各物理量及其变化规律。
x x(a，b，c，t ) y y(a，b，c，t ) 流体质点的位置坐标： z z (a，b，c，t )
基本参数： 位移
独立变量：（a,b,c,t）——区分流体质点的标志 几点说明：
欧拉(Euler)：
瑞士数学家及自然科学家。1707年4月15日出生於瑞士的 巴塞尔，1783年9月18日於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师 家庭，自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学 毕业，16岁获硕士学位。 欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界 作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。他是数学史上 最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量 的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引 论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学中的经 典著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支 中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。
2. 速度：
x ( a，b，c，t ) t y( a，b，c，t ) v v ( a，b，c，t ) t z ( a，b，c，t ) w w ( a，b，c，t ) t u u( a，b，c，t )＝
u(a，b，c，t ) 2 x (a，b，c，t ) a x a x ( a，b，c，t )＝ t t 2 2 3. 流体质点的加速度：a a (a，b，c，t ) v (a，b，c，t ) y(a，b，c，t ) y y t t 2 2 w (a，b，c，t ) z (a，b，c，t ) a y a y ( a，b，c，t ) t t 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
的
广义力：
拉氏方程
有核模型解释实验
射弹粒子： 粒子＝2p+2n， 电荷：+2e， 质量: m=4u 靶粒子：金核＝Zp+(A-Z)n，电荷：+Ze, 质量：M＝197u
评论：这里忽略了电子的电荷！
二题问题、平反反比斥力：
运用前面的知识
粒子的运动轨道： M m, 假定M
能量守恒 角动量守恒
b
r
M
——卢瑟福公式 一点数学问题： 1、哪个方向出射了最多的 粒子？ 2、总截面
只包含一个变量r, 是标量。形式上等效一维运动。
等效势能 离心势
等效力 惯性离心力
等效一维运动是在以
转动的坐标系中得到，此系是非惯性系。
二、运动区域
情形1：
2 m 2 p E r U (r) 0 2 2 2mr
O
情形2：
2 m 2 p E r U (r) 守恒 2 2 2mr
本节我们主要讨论 固定靶实验、弹性碰撞。
实验室系：射弹粒子: 靶粒子: 0.
碰撞：求解粒子运动 轨迹和末态动量
b:瞄准距离
散射：散射角的概率分布 （末态动量角度分布）
微分散射截面
x
射弹流 z 靶 y
微分散射截面 总散射截面
微分散射截面
如果散射问题具有绕Z轴的轴对称性
db
b 则微分截面只依赖于 而不依赖于
选择运动平面为为xz平面，则：
一、有心力场的两个守恒量
1、与循环变量 对应的广义动量
2、L不显含t 能量守恒
1、 等面积定律
矢径r在时间 内扫过的面积 O 两边除以 ，再取极限 ，得到
——质点的矢径在单位时间内扫过的面积是常数， 在相等的时间内扫过的面积相等。
2、
2 m 2 p E r U (r) 守恒 2 2 2mr
§1.3.3 平方反比引力
开普勒问题
平方反比力， 例：万有引力，点电荷之间的库仑力 我们先讨论平方反比引力的运动规律：运动形式的分类 运动轨道 再讨论行星的运动，开普勒问题：从轨道获得力学关系
一、平方反比引力运动形式的分类 设：平方反比引力为
质点移动
，F做功：
对dw积分，得势能：
E>0
O E<0
如果 E 0, 束缚运动 当U ( r ) 0， 如果 E 0, 无限运动
E<0
三、运动方程的解
能量守恒：
分离变量：
再积分，得
分离变量，再积分，得 运动学方程就已经完全求解了。
四、运动微分方程 (比耐公式)
由能量守恒 由角动量守恒 令 则
d 2u m dU / d p p u 2 d p du / d
E<0: e<1 E=0: e=1 E>0: e>1
椭圆轨道
(束缚运动)
抛物线轨道 (无限运动) 双曲线轨道 (无限运动)
三、行星的运动
开普勒问题：从轨道获得力学关系
开普勒的天文观测，总结为行星运动三定律 第一定律：行星绕太阳作椭圆运动，并以太阳为椭圆 的一个焦点；
第二定律：从太阳引向行星的矢径在相等时间内扫过 相等的面积；
§1.3.1 二体问题
两个质点 ，矢径
折合质量
暂不考虑外场
由于势能只依赖于r，故作如下变量代换
整体质量
折合质量
L中没有r和R的交叉项，所以二体问题可分解为：
整体运动： 相对运动： ——有心力场中的运动
每个质点运动都是 这两种运动的叠加
§1.3.2 有心力场中运动的一般分析
有心力场角动量守恒 平面运动。 例：太阳系八大行星的运动近似在一个平面上。
第三定律：行星公转周期的平方和轨道半长轴的立方 成正比。
矢径r在时间
内扫过的面积
O 开普勒第二定律
开普勒第一定律
代入比耐公式
——行星受到太阳的平方反比力 太阳和行星之间相互作用力的具体形式是什么？
开普勒第三定律
相互作用的对称性
——万有引力定律
§1.3.4 碰撞与散射
卢瑟福公式
•碰撞: 两个粒子从相互远离的地方飞拢，然后再飞开。 例：两个台球、两个天体、两个粒子（如电子）都可发生碰撞。 弹性碰撞： 初态二粒子，末态还是这两个粒子。 非弹性碰撞：至少有一个入射粒子被打破了。 例：高能碰撞质子－质子碰撞、核核碰撞 固定靶实验中，两个碰撞粒子分别被称为 射弹 和 靶。 对撞机实验中，射弹和靶是相对的。 • 散射：一束射弹粒子以不同瞄准距离ｂ与靶发生碰撞。 如果说一次碰撞就是一个事件， 那么散射对应的是一个事件集合。
一点物理讨论：
射弹粒子： 粒子＝2p+2n，电荷：+2e， 质量: m=4u 靶粒子：金核＝Zp+(A-Z)n，电荷：+Ze, 质量：M＝197u
评论：这里忽略了电子的电荷，实验现象却得到了解释。 这说明了什么？ 正电荷均匀分布模型：
The end.
例子2：对在有心力场中运动的质点，有
对应于广义坐标 广义动量：
质点组在惯性系K和质心系K’之 间
内能 ＋ 整体运动能量 内禀角动量 ＋ 整体角动量
第三章
有心力场中的运动
二体问题（两体问题）：N＝2的质点组的运动问题，例
宇观：行星绕太阳的运动 微观：电子绕原子核的运动 多体问题： N 3 比较复杂，难以直接求解运动学方程。
指导思想： 将二体运动分解为内部运动（相对运动）和整体运动 1）怎样实现？ 2）主要结论？
从瞄准距离b 和散射角 的关系 b( ) b
则从方位角d 2 sin d 出射的粒子数
则三、 粒子的散射Fra bibliotek卢瑟福公式
历史： 散射实验是研究物质的微观结构的有力工具 • 1909年盖革、马斯登运用 粒子束透过金膜的散射实验
• 卢瑟福假定原子是有核的，解释了实验结果。 • 原子结果模型：卢瑟福的有核模型 取代了 汤姆孙的枣糕模型。 为什么有核模型可以解释实验，为什么枣糕模型解释不了？
E>0
O
E<0
运动区域取决于 E U eff E 0, 无限运动 E 0, 束缚运动
两体问题的分类
束缚运动：如果两个质点之间有吸引力，则在一定的初始条件 下，它们可能形成一个束缚体系，在有限空间范围内运动；
碰撞： a、在另一些初始条件下，它们也可能相互飞开，无限远离。 如果两个质点先互相飞近，然后再飞开，就称为碰撞； b、两个质点之间是排斥力，则它们不可能形成束缚体系， 而只能发生碰撞。 E>0
运动区域取决于 E U eff
E 0, 无限运动 E 0, 束缚运动
二、运动轨道
比耐公式
令 其解为： 即
则
——谐振动方程
其中,
2 离心率 e Ap / am 2 焦点参数 p p / am
由能量守恒 由角动量守恒
运动轨道:
r r ( )
能量与偏心率的关系: