中学数学基本能力培养21
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1.重视数学基础知识的教学 绝对值概念、三角形相似，全等的判定等
例1 已知方程 x22xa0(a0)的两根是 , 求 的值。
2 .教师要重视论证格式的教学，并作出正确的 示范
在教学过程中，教师要通过示例训练学
生掌握如下论证格式：综合法、分析法、反 证法和归纳法等。
论证思考过程和书写格式的正确示范。
例4
已知
f(x1)x2 1
x
x2
，则
f (x1)的表达式为
_____
5.重视运用数学符号语言进行推理论证 6.重视新旧知识间的逻辑联系
二、创造性思维的培养
▪ 组织和改造已经获得的知识，使之适应当前 问题。
1、发散思维能力的培养 发散思维能力的内容 （1）善于举一反三，触类旁通 （2）善于正反面考虑问题 （3）善于用多种方法解决问题并从中选优。
把条件的各个部分分开.你能否把它们
的联系，丰富学生的空间想象能力
（2）深入研究异类图形之间的联系，发展学生的空 间想象能力
（3）有效利用数形结合，锻炼学生的空间想象能力
例1 四个半径为1的等球，每一个与其余三个都 相切，三球在下，置于一平面上，求最上一 球的球心到平面的举例。 A
B
C
O
1
例2 任意的三角形都是等腰三角形。
A
F
O
E
空间想象能力的培养
➢数学中的空间想象能力是指对物体（客观存
在着的空间形式）的形状、结构、大小、位 置关系的想象能力。
➢基本内容
（1） 建构 （2）识别 （3）再认 （4）表述 （5）制图 （6）改造
基本要求：
1.能够由形状简单的实物想象出几何图形，由 几何图形想象出相应的实物形状；
2.能够由复杂的平面图形分解出简单的、基本 的图形；
➢ 运算教学中还应注意以下几点：
1.掌握运算通法、通则. （1）先高级后低级.四则运算. （2）先内层后外层. （3）先局部后整体. （4）先化简后求值. （5）先明显后隐蔽.多项式的因式分解. 2.熟悉数式的基本变换. （1）符号变换. 去括号、添括号时的符号变换 （2）互逆变换. a-b=a+(-b) （3）移项变换.移加作减
逻辑思维能力的层次
（1）给出条件和结论，能说明推理的依据； 若给出条件和依据，能得出结论，并了解基 本推理格式。
（2）根据给出条件能完成一步推理过程，并 掌握简单的证明方法。
（3）能够独立完成两步和两步以上的推理论 证过程，并能说明依据。
（4）能够独立分析具有综合性和实际应用性 的问题。
➢培养学生逻辑思维能力的基本途径
动的一种思维能力。它是最基本、最重要的能力， 是发展学生思维的基础、中心环节和主要标志。
➢ 逻辑思维能力的基本内容：
（1）能正确理解和运用各种逻辑推理方法 演绎、归纳、类比
（2）能正确理解和运用各种论证方法 分析、综合、反证法、同一法、比较、抽象、概
括等 （3）思维过程目的明确、条理清楚 （4）善于将知识系统化，结构化
2.直觉思维的培养
▪ 直觉思维能力的基本内容 （1）能够再各种条件和结论中迅速取舍 （2）善于在一题多解的各种解法中择优 （3）大胆猜想，善于在不同问题之间建立起联
系
▪ 直觉思维能力的培养途径
（1）注意类比，归纳思想的培养 （2）注意整体思想的培养 （3）注意逻辑推理过程的合理简化与跳跃 （4）注意培养学生对数学美的感受能力。
（4）配方变换. （5）分解变换. （6）形态变换. （7）换元变换.
x2y2(xy)22xy
1 1 1 n(n1) n n1
loaN gbabN
3.熟悉计算的技能、技巧.
（1）善于进行口算和速算的技能.
（2）熟练使用计算器等计算工具的技巧.
（3）熟记一些常用数据.
（4）灵活运用还原法、代值法、估值法等方法进行 验算的技能.
3.能够在基本的图形中找出基本元素及其关系； 4.能够根据文字或符号表述的条件作出或画出
图形，对图形能够用文字或语言来表述。
➢培养学生空间想象能力的基本途径
1.学好有关空间形式的基础知识
2.加强数学的直观教学，从事数学实习 活动
▪ 3.加强空间想象能力的训练 （1）深入研究同类图形或某个重要图形各要素之间
发散思维能力的培养途径
▪ 注意知识之间的纵向和横向联系，培养学生 的转化思想。
▪ 注意变式方法在教学中的应用 （1）一式多变 “1” （2）一图多画 （3）一题多解 （4）一题多变 （5）一题多问
▪ 加强逆向思维的训练 公式、法则和概念的逆用；分析法的运用等
▪ 思维发散后要及时评价择优 发散——集中——再发散——再集中
例2 已知实数x,y,z满足
1xy2yzz2z10
2
4
求 (z y)x 的值。
3.教会学生运用逻辑常识
消除学生理解困难的关键。
数学概念，公式、定理等数学知识间的逻辑关系； 论证方法的逻辑依据；数学命题间的关系等。
4.加强逻辑思维能力的训练
循序渐进；各科渗透；重点突出
例3 P246，”谁先说到66谁便输，如何玩法，胜 者是谁？要想得胜，应如何玩这个游戏？
（对称、和谐、简化） （5）对猜想的结果必须进行严格逻辑证明
小结
▪ 三大基本能力互相联系，互相渗透，相辅相 成。
▪ 循序渐进地培养各种能力
“无知便无能，无知便无德，无知便无情” ——杨叔子
分析和解决实际问题能力的培养
➢ 实际问题：现实生活中的一些具体问题；数学学习中
的一些具体问题。
➢ 解数学题是培养学生分析和解决实际问题能力的主要
Fra Baidu bibliotek
B
D
C
OB=OC OE=OF FB=EC AF=AE AB=AC
数学思维能力及其培养
▪ 数学思维能力是指人们对数学对象（数量关 系和空间形式）的本质的认识能力。
▪ 数学思维的分类： （1）逻辑思维能力 （2）创造性思维能力
发散思维能力、直觉思维能力
一、逻辑思维能力的培养
➢ 逻辑思维能力是指在一定的逻辑法则下进行思考活
途径
➢ 解题在数学教育中的作用 ➢ 关于数学解题的教学
1.认真审题，理解题意； 2.机动灵活，寻找途径； 3.加强练习，尽力创造.
➢ 数学解题的基本要求：
正确、合理、简捷、完满、清楚
波利亚“怎样解题表”
弄清问题
第一，你
必须弄清 问题.
未知数是什么？已知数是什么？条件 是什么？满足条件是否可能？要确定 未知数，条件是否充分？或者它是否 不充分？或者是多余的？或者是矛盾 的？ 画张图.引入适当的符号.
例1 已知方程 x22xa0(a0)的两根是 , 求 的值。
2 .教师要重视论证格式的教学，并作出正确的 示范
在教学过程中，教师要通过示例训练学
生掌握如下论证格式：综合法、分析法、反 证法和归纳法等。
论证思考过程和书写格式的正确示范。
例4
已知
f(x1)x2 1
x
x2
，则
f (x1)的表达式为
_____
5.重视运用数学符号语言进行推理论证 6.重视新旧知识间的逻辑联系
二、创造性思维的培养
▪ 组织和改造已经获得的知识，使之适应当前 问题。
1、发散思维能力的培养 发散思维能力的内容 （1）善于举一反三，触类旁通 （2）善于正反面考虑问题 （3）善于用多种方法解决问题并从中选优。
把条件的各个部分分开.你能否把它们
的联系，丰富学生的空间想象能力
（2）深入研究异类图形之间的联系，发展学生的空 间想象能力
（3）有效利用数形结合，锻炼学生的空间想象能力
例1 四个半径为1的等球，每一个与其余三个都 相切，三球在下，置于一平面上，求最上一 球的球心到平面的举例。 A
B
C
O
1
例2 任意的三角形都是等腰三角形。
A
F
O
E
空间想象能力的培养
➢数学中的空间想象能力是指对物体（客观存
在着的空间形式）的形状、结构、大小、位 置关系的想象能力。
➢基本内容
（1） 建构 （2）识别 （3）再认 （4）表述 （5）制图 （6）改造
基本要求：
1.能够由形状简单的实物想象出几何图形，由 几何图形想象出相应的实物形状；
2.能够由复杂的平面图形分解出简单的、基本 的图形；
➢ 运算教学中还应注意以下几点：
1.掌握运算通法、通则. （1）先高级后低级.四则运算. （2）先内层后外层. （3）先局部后整体. （4）先化简后求值. （5）先明显后隐蔽.多项式的因式分解. 2.熟悉数式的基本变换. （1）符号变换. 去括号、添括号时的符号变换 （2）互逆变换. a-b=a+(-b) （3）移项变换.移加作减
逻辑思维能力的层次
（1）给出条件和结论，能说明推理的依据； 若给出条件和依据，能得出结论，并了解基 本推理格式。
（2）根据给出条件能完成一步推理过程，并 掌握简单的证明方法。
（3）能够独立完成两步和两步以上的推理论 证过程，并能说明依据。
（4）能够独立分析具有综合性和实际应用性 的问题。
➢培养学生逻辑思维能力的基本途径
动的一种思维能力。它是最基本、最重要的能力， 是发展学生思维的基础、中心环节和主要标志。
➢ 逻辑思维能力的基本内容：
（1）能正确理解和运用各种逻辑推理方法 演绎、归纳、类比
（2）能正确理解和运用各种论证方法 分析、综合、反证法、同一法、比较、抽象、概
括等 （3）思维过程目的明确、条理清楚 （4）善于将知识系统化，结构化
2.直觉思维的培养
▪ 直觉思维能力的基本内容 （1）能够再各种条件和结论中迅速取舍 （2）善于在一题多解的各种解法中择优 （3）大胆猜想，善于在不同问题之间建立起联
系
▪ 直觉思维能力的培养途径
（1）注意类比，归纳思想的培养 （2）注意整体思想的培养 （3）注意逻辑推理过程的合理简化与跳跃 （4）注意培养学生对数学美的感受能力。
（4）配方变换. （5）分解变换. （6）形态变换. （7）换元变换.
x2y2(xy)22xy
1 1 1 n(n1) n n1
loaN gbabN
3.熟悉计算的技能、技巧.
（1）善于进行口算和速算的技能.
（2）熟练使用计算器等计算工具的技巧.
（3）熟记一些常用数据.
（4）灵活运用还原法、代值法、估值法等方法进行 验算的技能.
3.能够在基本的图形中找出基本元素及其关系； 4.能够根据文字或符号表述的条件作出或画出
图形，对图形能够用文字或语言来表述。
➢培养学生空间想象能力的基本途径
1.学好有关空间形式的基础知识
2.加强数学的直观教学，从事数学实习 活动
▪ 3.加强空间想象能力的训练 （1）深入研究同类图形或某个重要图形各要素之间
发散思维能力的培养途径
▪ 注意知识之间的纵向和横向联系，培养学生 的转化思想。
▪ 注意变式方法在教学中的应用 （1）一式多变 “1” （2）一图多画 （3）一题多解 （4）一题多变 （5）一题多问
▪ 加强逆向思维的训练 公式、法则和概念的逆用；分析法的运用等
▪ 思维发散后要及时评价择优 发散——集中——再发散——再集中
例2 已知实数x,y,z满足
1xy2yzz2z10
2
4
求 (z y)x 的值。
3.教会学生运用逻辑常识
消除学生理解困难的关键。
数学概念，公式、定理等数学知识间的逻辑关系； 论证方法的逻辑依据；数学命题间的关系等。
4.加强逻辑思维能力的训练
循序渐进；各科渗透；重点突出
例3 P246，”谁先说到66谁便输，如何玩法，胜 者是谁？要想得胜，应如何玩这个游戏？
（对称、和谐、简化） （5）对猜想的结果必须进行严格逻辑证明
小结
▪ 三大基本能力互相联系，互相渗透，相辅相 成。
▪ 循序渐进地培养各种能力
“无知便无能，无知便无德，无知便无情” ——杨叔子
分析和解决实际问题能力的培养
➢ 实际问题：现实生活中的一些具体问题；数学学习中
的一些具体问题。
➢ 解数学题是培养学生分析和解决实际问题能力的主要
Fra Baidu bibliotek
B
D
C
OB=OC OE=OF FB=EC AF=AE AB=AC
数学思维能力及其培养
▪ 数学思维能力是指人们对数学对象（数量关 系和空间形式）的本质的认识能力。
▪ 数学思维的分类： （1）逻辑思维能力 （2）创造性思维能力
发散思维能力、直觉思维能力
一、逻辑思维能力的培养
➢ 逻辑思维能力是指在一定的逻辑法则下进行思考活
途径
➢ 解题在数学教育中的作用 ➢ 关于数学解题的教学
1.认真审题，理解题意； 2.机动灵活，寻找途径； 3.加强练习，尽力创造.
➢ 数学解题的基本要求：
正确、合理、简捷、完满、清楚
波利亚“怎样解题表”
弄清问题
第一，你
必须弄清 问题.
未知数是什么？已知数是什么？条件 是什么？满足条件是否可能？要确定 未知数，条件是否充分？或者它是否 不充分？或者是多余的？或者是矛盾 的？ 画张图.引入适当的符号.