中学数学基本能力培养21
如何培养学生的数学基本能力
如何培养学生的数学基本能力中学数学基本能力主要包括运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力。
如何培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，并在此基础上如何进一步培养一般能力，下面笔者分别探究培养学生这几种能力的基本途径：一、培养学生运算能力的基本途径运算的意义不仅局限于通常的加、减、乘、除、乘方、开方等代数运算，还包括数的计算、方程和不等式的恒等变形、函数的运算和求值、几何量的测量和计算以及数列、函数、集合、微分、积分、概率、统计的初步计算等。
1.牢固掌握基础知识，弄通算理、法则在数学学习中，运算不正确的原因常常是概念模糊，公式、法则遗忘，性质混淆或生搬死套，不注意适用条件等。
因此，学生只有透彻理解和牢固掌握各种运算所需要的数学概念、性质、定理、公理、法则和公式等数学基础知识，才能为提高运算能力打好基础。
在数学运算过程中，熟练准确地掌握基础知识是提高学生运算能力的必要途径。
2.提高记忆能力，加强运算基本功训练培养学生运算能力还要提高学生的记忆能力，讲究记忆方法，牢固掌握一些常用的数据和常用的公式和法则。
例如：均值不等式的试用条件，三角函数的图像及其性质，三角恒等变换公式，正余弦定理，等差等比数列的定义及性质，要讲究记忆方法，要在理解和运用中记忆，也可采用“口诀”帮助记忆。
3.加强运算练习，培养学生的运算能力我们知道任何能力都是有计划、有目的地训练出来的，提高学生的运算能力也必须加强练习，进行严格训练。
只有经过反复的训练，形成解题的技巧和技能，才可以节省时间和精力，达到迅速运算的目的，而且能避免繁琐的计算，减少错误发生的可能。
二、培养学生逻辑思维能力的基本途径注重提高学生的数学思维能力是高中数学课程的基本理念之一，也是高中数学教育的基本目标之一。
逻辑思维是借助于概念、判断、推理等思维形式所进行的思考活动，是一种有条件、有步骤、有根据、渐进式的思维方式，是学生数学能力的核心。
在教学中，发展学生的逻辑思维是发展学生思维的中心环节和主要标志。
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第9章中学数学基本能力培养教学目的：通过本章的学习，使学生掌握在教学中如何培养三种能力，即如何培养学生的运算能力，思维能力和空间想象能力，并在此基础上如何进一步培养一般能力，如观察能力，理解能力，记忆能力和运用能力等。
教学内容：1、运算能力的培养。
2、空间想象能力的培养。
3、分析和解决实际问题的能力培养。
4、逻辑思维能力的培养。
教学重、难点：三种能力的培养既是本章的重点又是难点。
教学方法：讲授法教学过程：§9．1 运算能力的培养9．1．1 什么是运算能力运算的意义不仅局限于通常的加、减、乘、除、乘方开方等代数运算，还包括初等函数的运算和求值，各种几何量的测量和计算，求数列与函数极限以及微分、积分等分析运算，还有概率、统计的初步计算等．特别要指出的是几何的平移、旋转、对称、伸缩等“变换”也可称为“几何运算”．在一些高中数学教材和中等专业技术学校使用的数学课本中，还简单介绍了逻辑代数知识，“与”，“或”、“非”这是“逻辑运算”．对于集合求其交集、并集及全集，是进行集合运算．如果对于运算作上述广义的理解，那么我们就不会再片面地说运算只是算术和代数的事了．因此，培养学生正确和迅速的运算能力是整个中学数学教学中的任务．9．1．2 培养学生运算能力的基本途径怎样才能使学生具有正确迅速的运算能力呢？在小学、初中与高中这几个阶段中，都必须有计划有步骤地进行培养，由算术运算到代数运算；由代数运算到分析运算、几何运算、集合运算、逻辑运算，由口算、笔算到表算、工具算等都要切实抓好.总之，一要学习,即学习与运算有关的知识；二要训练，即精心选择一部分习题，让学生独立完成．下面谈一谈培养学生运算能力的基本途径．1、牢固掌握基础知识，弄通算理、法则要使运算正确而又迅速就要牢固地掌握与运算有关的概念、公式法则以及变形化简等思维方法．同时要多练习，常反复，形成熟练的技能技巧．但也不能“死练”，在练之前，要使得学生懂得“算理”使其懂得“怎样算”，“为什么这样算”．只有“计有据”，才能“算有准”．如果教师只教给学生“怎样算”，而学生并不明白“为什么这样算”，“为什么这样算就正确”，那么学生的运算能力就不会始终保持其正确性，也形成不了什么运算能力．例1 讲异分母分数的加减时，如果只教给学生要先通分，变成同分母的分数之后，再按同分母的分数进行加减运算，而不讲清为什么要这样算，有的学生对运算的方法是记不牢的，时间一长，往往会遗忘，甚至会出现523121=+之类的笑话． 因此，教师必须在学生学习通分算法之初，就教学生“算理”，让学生清楚地懂得：如果两个分数分母不同，分数的单位就不同，每份的大小也就不同，而单位不同的分数是不能直接相加减的．只有经过通分之后，它们的分母相同了，即分数的单位相同了，每份的大小是一样的，从而就可以直接进行加减运算了．例2 如化简()οο10tan 3150sin +⋅，则需要灵活运用和角三角函数公式来进行推理，计算如下： 原式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=οοοοο10cos 10sin 60cos 60sin 150sin οοοοοοο10cos 60cos 10sin 60sin 10cos 60cos 50sin +=()οοοοο10cos 60cos 1060cos 50sin -⋅= οοο10cos 2150cos 50sin =110cos 10cos 10cos 100sin ===οοοο 这里，三角函数公式的应用，恒等变形的使用都给培养正确的、迅速的运算能力提供了前提．例3 如解方程()21lg 2=-x ，首先应该知道方程的解域是1≠x ，再进行同解变形得第 245 页 ()100lg 1lg 2=-x 从而有（x -1）2＝100，解此方程得x ＝11或x = -9但要注意，如果把原方程变为：()()11lg 21lg 2=-⇒=-x x 由于未知数取值范围缩小为x ＞1，于是产生减根．显见这种解法是错的．在例2和例3的运算过程中，每步推导都是依理进行的．事实上，在培养运算能力的过程中，逻辑思维能力的培养也在其中了．例 4 实系数方程013=++mx x 的三根在复平面上构成正三角形的三个顶点，则m 的值的是：（A ）－1； （B ）0； （C ）1； （D ）2． 答案（ ） 解 因为三点不可能都在实数轴上，所以方程至少有一个虚根，又因为实系数为一元三次方程，故必有一个实根．设三根为α，a+bi ，a-bi （α、a 、b ∈R ，α≠0）它们的对应点分别为A （α,0），B （a,b ），C （a,-b ），其中A 在实轴上．由韦达定理，可得α+（a+bi ）（a-bi ）＝0所以：α＝-2a故A 与B 、C 位于y 轴两侧．设B 、C 连线交x 轴于D 点，则有|OD|=|a||OA|＝|-2a|＝2|a|所以O 为ΔABC 的中心．|OB|＝2|a|，a 2+b 2＝4a 2 ∴b ＝±3a所以三根为-2|a|，a （1+3i ），a （1-3i ）又因为（-2a ）a （1+3i ）a （1-3i ）＝-1解得a=21，则α＝-2a ＝-1将α＝-1代入原方程，得（-1）3＋m （-1）＋1＝0，故m=0，故选择（B ）．本题推理丝丝入扣，逻辑严谨．各步判断有根有据，然而各步判断均和计算结果直接相关．由此可见运算能力的培养有助于推理判断能力的培养．除此，运算能力的培养在运算型的证明题中也能得到较好的体现．总而言之，在运算过程中，“言之有据”是应该遵循的重要原则之一．下面再举一例，以说明在逻辑运算中，也必须弄通算理，才能使运算达到正确迅速．例5 某年级先后举行数、理、化三种竞赛，学生中至少参加一科的：数学201人，物理177人，化学163人；参加两科的：数学、物理141人，数学、化学114人，物理、化学95人；三科都参加的87人．问参加竞赛的学生总数是多少？解 这是一道涉及到逻辑运算的运算题．如学生弄不通算理，如学生弄不通算理，不懂逻辑运算法则，还照以往代数中的运算一样去运算，即将各类竞赛者一加求和了事，那就出现错误了．所以说，一些与运算相关的新的数学概念、法则、公式的引入都需要加以格外留意，以免在运算过程中，因算理不通，铸成谬误．对本题可作如下解答：设A 、B 、C 分别表示参加数学、物理化学每一科竞赛学生的集合（如图9-1）,并且以n（S ）表示有限集合S 的元素个数．则有 n （A ∪B ∪C ）=n （A ）+n （B ）+n （C ）-n （A ∩B ）-n （A ∩C ）-n （B ∩C ）+n （A ∩B ∩C ）=201+177+163-141-114-95+87=2782、提高记忆能力，加强运算基本功训练培养学生运算能力，还要提高学生的记忆能力，牢固掌握一些常用的数据、常用的公式和法则．尤其要加强运算基本功训练，籍以形成熟练的技能技巧．A ∩C A ∩B B ∩C A ∩B ∩C B A C 图9-1第 247 页（1）一般来说，在小学阶段，作为运算的基本功主要是：i ）熟练掌握整数、小数、分数的四则运算；ii ）20以内的口算加减法与表内乘法、相应的除法，要达到“直呼”的程度：熟悉分数、小数互化运算，熟悉一些分数互化的数值．例如：5.021=、25.041=、75.043=、125.081=等等． （2）在初中阶段，作为运算的基本功主要是：i ）熟练掌握有理数的四则运算和有理指数、常用对数、锐角三角函数的运算，特别还要加强整式、分式与根式的运算训练．ii ）要熟记一些重要数据，讲究记忆方法和规律，最好能达到“直呼”的程度：a 、多位数与一位数相乘，直接得积；b 、1－20的平方数，1－10的立方数．c 、将被开方数化为质因数乘积求方根；d 、特殊角的三角函数值；角度制与弧度制互换．e 、乘法公式．（3）在高中阶段，要通过复习以巩固上述初等运算的能力．要学习一些初等函数的恒等变形；学习行列式和复数的运算；学习极限与微积分运算；还要学会集合的运算、逻辑运算．这阶段的运算基本功主要是：i ）熟练掌握指数、对数式与三角函数式的恒等变形，初步掌握极限与微积分运算．ii ）熟记基本公式、重要的极限等、以提高计算速度．例如：1log =a a ，01log =a ，（0>a 且1≠a ）；()βαβαβα +=+sin cos cos sin sin ； e n nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim ；1sin lim 0=→x x x ； 微积分基本公式等．为了使学生练习基本功，一要理解运算所依据的道理；二要记住常用的公式、法则；三要通过练习才能落实到学生身上．下面选一组指数、对数的基础练习和一组心算练习题，供参考．i ）化简计算：①()()()222314.3-----οπ； ②843333⋅⋅；③113243--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-； ④8lg 3236.0lg 23lg 38lg 2+++． ii ）比较大小①π⎪⎭⎫ ⎝⎛21，13.321⎪⎭⎫ ⎝⎛； ②25.0log ，55.0log ；③ο80cos ，1lg ； ④8log 2，3；⑤32log 32，234-⎪⎭⎫ ⎝⎛-； ⑥12log 3，12log 10． iii ）求函数的定义域；①4lg -=x y ； ②()x y lg lg =；③()x y +=1log 12； ④13log 2-=x y ． iv ）求值：①已知lg x ＝6，lg y ＝3，求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅322lg y x x y 的值． ②已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求318lg 的值．③已知ΔABC 中，∠C ＝90°，三边长a 、b 、c ，求()()b c c b a a -++log log ． v ）解方程：①x x x 36124=+； ②102tan 2x x x =-． 心算练习题：①a 为实数，a 2永远为正数，对吗？第 249 页②代数式2+x 2的值，最小可能是几？③代数式1－y 2的值，最大可能是几？ ④211x +的值能否大于1？为什么？ ⑤下列哪些式子相等，哪些不相等；a 、62·64与68；b 、（24）3与212；c 、（2·3·5）2与22·32·52；d 、（-7·14）4与-74·144．⑥“a 加b 平方”与“a 与b 和的平方”意思一样吗？分别写出表达式来．⑦若3x <x ，x 的值会怎样？⑧想出一个数c ，使c 2＞c 而2c <c ． ⑨方程11616-+=-+x x x x 与166+=+x x 是否同解？ ⑩为什么方程组⎩⎨⎧=+=+3221y x y x 无解？ 练好运算的基本功，并使运算具有一定的速度，是培养学生正确迅速的运算能力不可缺少的．3、加强运算练习，培养学生的运算能力我们知道任何能力都是可以有计划、有目的地训练出来的，提高学生运算能力必须加强练习，严格训练．加强练习就要按规律进行多练、巧练、反复练．题目由浅到深，基本题、引伸题、创新题依次出现，这样不但可训练学生的运算技能技巧，而且可培养学生的运算能力．严格训练就要做到高质量、高效率，即学生练习要做到正确、迅速、合理．从某种意义上讲，运算能力的培养实际上就是对合理进行计算的能力培养．而这种合理性的发现，“简捷算法”的寻得，首先就需要有很好的观察力和对基础知识的良好掌握．例如计算()()41022551025++⋅-+． 有观察习惯的人绝不一见题就用乘法分配律展开，而是对55、22都含有11具有“好奇心”，并接着会想从第一个因式中提取公因式5，从第二个因式中提取公因式2，看它们会变成什么样子？即 原式＝()()225112112255++⋅-+至此，就容易进一步想到用乘法公式作进一步的化简了．由于每个人在观察时，抓住问题的特点不同，或者运用的知识不同，对同一个问题可能得到几种不同的解法，这就是“一题多解”，“多解”之中一般总有较为简捷的解法．经常引导学生重视“简捷算法”与“一题多解”的训练，可以培养学生思维的敏捷性和灵活性．只有思想上“迅速”了，行动上才能“迅速”起来；只有解法上“合理”了，即在应有的水平上达到了“最佳选择”，才能获得最快的速度．当然“简捷算法”与“一题多解”的训练必须紧密结合教学内容进行；必须从小学到中学，一贯重视这种能力的培养，循序渐进地提高要求，才能使学生学到运算技能和技巧，得到系统的巩固和提高，从而形成一种运算能力，进而去探索未知领域，获得新知识．当然这种未知领域对于学生来说是先前未曾感知过的，而对教师来说是可能感知过的．在低年级，一般宜进行“简捷运算”的训练．因为学生年龄尚小，所学知识也不多，他们往往会为获得一种“简捷运算”而欢欣鼓舞，可以说简捷运算容易引起学生的学习兴趣．当然在高年级也要寻求“简捷算法”，即使搞“一题多解”训练，最后也要比较，看哪种解法最为简捷．例1 化简3181434313128⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⋅⋅⋅--a x a x a ． 分析 这是一道根指数，分数指数的综合运算题，首先要确定统一成哪种指数形式进行运算较为简捷． 原式＝18616161213111=⋅⋅+--+--x a ．例2 已知直角三角形两直角边的长分别为5cm 和12cm ，求斜边上的高．第 251 页解 若用射影定理计算高就繁了．所以先求斜边长，得1312522=+，再由面积相等求出斜边上的高为138413512=⨯． 例3 已知51-=x ，求314524+--x x x 的值．分析 若用51-=x 直接代入求值就太繁了．所以，我们改变一个角度，由51-=x 得51=-x ，所以5122=+-x x ，422+=x x ，所以1616424++=x x x ，把它代入原式，则问题就解决了．解 由51-=x ，得51=-x ，所以422+=x x ，1616424++=x x x ，所以原式31451616422+--++=x x x x151********=+++-=++-=x x x x ．以上三例都显示了简捷运算的优点．但这种简捷运算的获得，是经过认真分析，进行选择的结果，这个过程，一题多解的思想已包含在其中了．采用多样化方法解题，不但可以发展学生的思维能力与运算能力，而且还可以提高学生的学习积极性，培养创造精神．为了提倡“一题多解”，在教学中教师要经常进行“一题多解”的典型示范，同时引导学生判断哪种方法较简捷，从而进行选择，加强解题的预见性，做到解题时思维敏捷，避繁就简，达到正确迅速的要求．对于学生有创见的解法，也要善于引导，爱护他们独立思考的积极性，同时帮助他们分析具体错误的症结．例4 计算ο15sin ο15cos +． 解①原式＝2630cos 45sin 275sin 15sin ==+οοοο； ②原式＝()264515sin 215cos 2115sin 212=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+οοοο； ③原式＝()2630sin 115cos 15sin 2115cos 15sin 2=+=+=+οοοοο； ④原式＝432432230cos 1230cos 1++-=++-οο()()()()264132413281381322=++-=++-=． 显然解法①是最简捷的，但解法③也很巧妙．例5 已知ax 4+bx 3+1能被（x -1）2整除，求a 、b 之值．解法一用竖式除法，即得余式为 （3b +4a ）x +（1-2b -3a ）＝0解得 a =3，b =-4解法二用比较系数法．令()()r qx px x bx ax ++-=++223411将等号右边展开，两边比较系数，解方程组得：a =3，b ＝-4，p ＝3，q ＝2，r ＝1，例4、例5 在完成运算之后可知有较简捷算法存在，而例1、例2、例3是在未完成运算之前就作出合理选择，从而采用了简捷算法，实质上，前3例也进行了“一题多解”的思维过程，只不过表述成文字的是一种简捷的算法．运算能力形成的重要性，不仅仅在于它能够从事一系列的运算，甚至具有一定的技能技巧，而更重要地在于它能帮助人们去开拓新知识领域． 例6 计算 1＋2＋3＋……＋100这是历史上很有名的一道题．据说高斯在六岁的时候，就以老师不敢相信的速度得出了正确的答案5050．高斯是如何进行运算的呢？我们可以推测，他可能是观察之后，发现了1＋100＝2＋99＝……＝50＋51，然后利用加法的交换律、结合律及乘法的定义进行运算的，即1＋2＋3＋……＋100＝（1＋100）+（2＋99）+……+（50＋51）＝101＋101＋……＋101＝101×50＝5050第 253 页所用知识是有限的，是人所共知的，然而他将这些知识选择，组合的方法是别有洞天的．再朝前走一步，自然数列求和公式不就应运而生了吗？例7 求自然数倒数平方的级数和：++++16191411…… 解 这是数学家伯努利（Bernoulli ，1654－1705）的一个级数求和难题，伯努利是17世纪杰出的数学家，他是古典概率论的创始人，对古典微积分学以及级数求和等问题都有贡献，但是他却没有办法算出自然数倒数平方的级数和．于是他公开征解，可惜直到他逝世时还未见到有人解出此难题．这个难题过了数十年之后才由欧拉解答出来．在这里欧拉巧妙地利用了类比推理完成了一项非常有趣的发现，给出了伯努利所未能找到的级数和．首先，对于只含偶数次项的2n 次代数方程-+-42210x b x b b ……()012=-+n n n x b ，（00≠b ）假设有2n 个互不相同的根：,,,,2211ββββ--……n n ββ-,,．则得-+-42210x b x b b ……()n n n x b 21-+ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=222212011ββx x b ……⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-221n x β 把乘积展开出来，易见x 2项的系数为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=2222101111n b b βββΛ 以上所述为一般代数方程式论中的初等知识．欧拉又考虑了三角方程：+-+-=!7!5!31sin 642x x x x x ……0= 他把它看成是只含有偶次项的无穷次代数方程．由于此方程含有相异根π±，π2±，π3±……于是欧拉采用了类比法，即仿照上述2n 次多项式分解成乘积的形式，把这里出现的所谓无限次多项式也照样分解成因式乘积形式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππ91411sin 22222x x x x x …… 这便是著名的“欧拉乘积公式”．这样一来，再把右边的乘积展开，便发现x 2项的系数是：++++=222216191411!31ππππ…… 即++++16191411……62π=． 奇迹出现了．在数学中经常给学生出一些创新题去运算，对学生的运算能力培养是十分有益的．当然这些创新题应是学生力所能及的，那种一提“创造”就认为是让学生解答数学家所未能解答的问题的态度，显然是不可取的．9．2 空间想象能力的培养9．2．1 什么是空间想象能力想象是一种特殊的思维活动，即在头脑中表象出某种未曾感知的东西，或者创造某种未曾感知过的物体和现象的形象，或者专门产生某些新事物的概念．空间想象不应只局限于三维空间．如果我们认为空间想象乃是全部数学中的形象思维，它就和逻辑思维相辅相成了．通过逻辑思维，由具体到抽象，又通过空间想象，由抽象到具体，波浪式地发展着．实际上，在平面几何中，特别是在平面解析几何中，时常要想象图象的运动．在代数和三角中，空间想象也扮演着重要的角色．例如由函数的图像，便易于掌握函数的性质．代数和分析中的许多概念，如果明确了它们的几何解释，就能使本来很抽象的概念变得生动、直观、形象起来，例如导数和定积分概念就是这样，特别是复数的几何意义的获得，对复数的研究更起了重大的作用．总之，培养学生的空间想象能力应是整个中学数学教学的任务．其中立体几何教学在培养学生的空间想象能力方面所起到的特殊作用是明显的．空间想象能力的培养应当包括哪些要求？一般认为大体上包括下列三个方面的要求：1、对于客观存在的空间形式，能在头脑中反映出正确的形象来，即形成空间概念．2、能将空间形式，按照统一规定，绘成平面图形，反之，能从已知的平面图形想象出它所表达的空间形式．3、不但能进行逻辑思维，而且能进行形象思维，也就是说能运用图形的几何直觉去研究某些问题．9．2．2 培养学生空间想象能力的基本途径如同培养学生的运算能力一样，培养学生的空间想象能力也需要认真学习，牢固掌握基础知识，要会绘图会看图，还要进行一系列的关于加强空间想象能力的训练．具体地说，培养学生空间想象能力的基本途径可有以下几条：1、学好有关空间形式的基础知识想象是客观现实在人脑中的一种反映，所以学生学好有关空间形式的数学知识是提高学生空间想象能力的根本．中学数学中有关空间形式的知识不仅是几何的知识，还有数形结合的内容．如数轴、坐标法、函数图象、三角函数的几何意义、方程与曲线，几何量的度量与计算等内容都可以通过数量分析的方法对几何图形加强理解，掌握这些有利于培养学生的空间想象能力．从研究数量之间的关系，到研究图形之间的关系，数形之间的关系，这是一个很大的变化，虽然在小学里学生已接触过一些几何图形，数形结合的知识，但是学生的空间概念还是很薄弱的，要使学生熟悉图形之间的关系、数形间的关系，还是较为困难的问题，需要有一个逐步培养的过程．对于某一图形所反映的空间形式，怎样使学生形成关于它的空间概念第 255 页呢？一般认为，大致需要经过如下过程．（1）运用实物、模型等进行直观教学，使学生在头脑中形成空间概念的整体形象．（2）通过教师和学生绘制草图和示意图，使头脑中形成的空间概念的形象“具体化”．（3）研究图形的组成元素及其性质，深入了解空间形式的内部结构和特性．（4）根据给定条件，运用画图工具作图，切实掌握空间形式的常用表达方法．总之，空间概念的形成必须经过由画图到看图的一系列训练．例如：在“直线和平面”这一章的教学中，为了有步骤地培养学生的空间想象能力，首先要着重向学生指出现在研究的图形是在空间里，是空间图形，它和平面几何中学习的图形有着本质的区别．其次在教学中，应尽可能多地利用模型实物的直观性，并结合模型绘制草图；往后则逐渐有意识地减弱模型的作用，增强图形的作用；再后则完全不要模型，只利用图形，以培养学生通过图形来想象实际各种元素在空间的位置关系．最后，再进一步既不用模型，也不用图形，而能解决一些比较简单的问题（包括计算题、证明题和作图题），从而不断发展学生的空间想象能力．2、从事数学实习活动通过对实物的观察、解剖、分析或者制作模型、实地测量、作图等数学实习活动也是培养学生空间想象能力的重要途径．人们以现实世界中客观事物为观察研究对象，通过抽象，通过抽象概括，舍弃了诸多的特性，保留了数量关系和空间形式，这种数量关系和空间形式在人们给出了相应的表达方式之后，使人们能够见数、形就能想象出客观事物．或者见到客观事物可抽象出数、形．人们经常从事这种数学实习活动，无疑会加强空间想象能力．例如，在立体几何教学中，对物体或模型的直观分析，在机械制图的教学中通过活动影片来分析视图的性质，在解三角形的教学中测量不可及物体的“高深远近”，凡此种种，对培养学生的空间想象能力都会收到良好的效果．3、加强空间想象能力的训练，不断发展空间想象能力在中学数学课里，不仅要研究图形及其性质，还要研究作图方法，而且要研究图形之间的联系以及数、形之间的联系．这些研究不仅要在一维空间中进行，而且要在二维、三维或高维抽象空间中进行．因此对学生加强下面的训练，将可以发展学生的空间想象能力．（1）研究同类图形之间的联系，丰富学生的空间想象能力在平面几何课里，最重要的图形是三角形和圆，在立体几何里最重要的基本图形是直线和平面．在教学中，在同类图形之间，研究其线面位置和量的关系，会有助于培养学生的空间想象能力．事实上，对各种位置和量的关系理解得越清楚，空间想象能力就越强．现举例如下：例延长等边△ABC的各边BA、CB、AC到D、E、F，使AD＝CF＝BE．求证：△DEF也为等边三角形（如图9－2所示）证因为AB＝BC＝CA， AD＝BE＝CF，所以AF＝BD＝CE， AD＝BE＝CF，又因为∠DAF＝∠EBD＝∠FCE＝180°－60°＝120°所以△DAF≌△EBD≌△FCE （SAS）所以DF＝ED＝EF，即△DEF为正三角形．例已知两圆相切，求证连心线垂直于过切点的公切线．已知：如图9－3，⊙O1和⊙O2外切于P点．AB为过P点的公切线．求证：O1O2⊥AB．证分别连O1P，O2P，因为P为切点，所以O1P⊥AB，O2P⊥AB，所以∠O1∠O2PA=180°，故O1，P，O2共线，所以O1O2图9-2图9-3第 257 页⊥AB讨论：本题两圆相内切的情形，读者可以自己证明．例3 多面体中，线面间的位置和量的关系．解①正棱柱a、上下底面是对应边互相平行的全等的正多边形．b、侧面是全等的矩形．c、侧棱互相平行且相等．d、两底面中心连线垂直于底面．②平行六面体a、对面平行且平等．b、对角线交于一点且在这点互相平分．c、对角线的平方和等于各棱的平方和．③长方体a、对角线的平方等于长宽高的平方和．b、体积等于长宽高之积．④正棱锥a、各侧棱相等．b、侧面为全等的等腰三角形．c、斜高都相等．d、顶点和底面中心的连线段和底面垂直．e、高上任一点到底面各顶点、到各侧面的距离分别相等．f、相邻侧面所成二面角都相等．g、侧面和底面所成二面角都相等．h、侧棱、高、底面半径组成一个以侧棱为弦的直角三角形．i、斜高、高、底面边心距组成一个以斜高为弦的直角三角形．j、侧棱、斜高、底面边长之半组成一个以侧棱为弦的直角三角形．⑤正棱台第 259 页a 、上下底面是相似正多边形．b 、侧棱都相等．c 、侧面为全等的等腰梯形．d 、斜高都相等．e 、两个底面中心连接线段和两底面垂直．f 、侧棱、高、上下底面半径组成一个直角梯形．g 、斜高、高、上下底面边心距组成一个直角梯形．h 、侧棱、斜高、上下底面边长之半组成一个直角梯形．（2）研究不同类图形之间的联系，发展学生的空间想象能力圆和多边形的联系是平面几何中最主要的内容之一，大量的习题都与它们有关，在数学教学中应当引导学生重视这类问题的分析，并加以训练．例 已知：如图9－4所示，四边形ABCD 内接于⊙O ．求证：AC ·BD ＝AB ·CD ＋AD ·BC证 如图，作∠DAE ＝∠BAC ，E 在BD 上．在△DAE 和△CAB 中，∠DAE ＝∠CAB ，又因为∠EDA ＝∠BCA ，所以△DAE ∽△CAB ，所以CB DE AC AD =，即 AC ·DE=AD ·BC （1）在△ABE 和△ACD 中，∠ABE ＝∠ACD ，∠BAC ＝∠DAE ，所以∠BAE ＝∠CAD ，所以△ABE ∽△CAD ，所以DCBE AC AB =，即 AC ·BE=AB ·CD （2）（1）＋（2）得AC （DE ＋BE ）＝AB ·CD ＋AD ·BC所以 AC ·BD ＝AB ·CD ＋AD ·BC 本题证明过程中，同弧上的圆周角相等这种关系的应用是十分重要的．B 图9-4。
中学生数学自学能力培养
浅谈中学生数学自学能力的培养教育家叶圣陶先生曾说“教是为了不教”。
教师不但要向学生传授知识，而且更要教给学生学习的方法，以及研究问题和解决问题的方法，从而培养学生自我获取知识的能力。
作为教师，除了教给学生一些基本知识以外，更主要是培养学生的自学能力，从而为学生今后的可持续发展打下坚实的基础。
自学能力是一个人获得和更新知识的重要能力，也是现代人的基本素质之一。
现行教学改革要求改变单纯接受式学习，讲究从“一刀切”教学向关注个体差异的教学转变，强调发现学习、探究学习、研究学习、自主学习显得更加重要。
正因为如此，培养学生自主学习数学的能力显得十分重要。
那么，怎样才能更好地培养学生自学能力呢？一、激发学生学习动机，培养学生学习兴趣1、激发学生的强烈求知欲望，给学生留有充分的自由想象空间。
在教授新知识之前，要了解学生的思维特点，认知情况。
每个学生对未知的领域都有很强的求知欲望，要设法把学生的这种欲望激发出来，转化为强有力的动力，这就是培养学生主动思维的内驱力，这种力量越强大，主动学习的积极性就越高。
基于这种认识，教师在教学中不能把教学知识一下子全部告诉学生，而要给学生留下一个适当的可以自由想象的空间。
例如，在教学中讲旋转体知识时，在学习了矩形绕其一直角边旋转一周得旋转体是圆柱之后，引导学生自由想象：直角三角形，直角梯形绕其直角边旋转一周应该得到一个什么样的几何体呢？同学们的兴趣一下子就被调动起来了，就会主动探究未知的新领域，自然而深刻地感受新课题，形成质疑，继而产生强烈的解疑释惑的渴望。
给学生的想象插上翅膀，他们就会主动自觉地学习。
2、积极创设学生自行探究知识的问题情境。
学生能否主动积极地学习，在很大程度上取决于教师的引导。
教师在教学中要遵循启发诱导的教学原则，在知识的转折处设问，在关键的知识点设问，在不理解的疑问处设问，在规律的探求中设问，创设适宜的，有助于学生积极参与的问题情境，这是培养学生自学能力的很重要的一方面。
浅谈初中数学基本能力的培养
浅谈初中数学基本能力的培养中学数学的教学目标就是加强数学基础知识的教学和基本能力的培养，培养学生对数学学习的兴趣、积极的态度和正确的价值观，为今后的数学学习奠定基础。
中学数学基本能力包括：运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力。
一、运算能力的培养中学数学的运算包括数的计算、方程和不等式的同解变形、初等函数的运算和求值、各种几何图形的测量与计算、概率统计的初步计算等。
在初中阶段，培养学生正确迅速的运算能力应做到以下几点。
1.加强基础知识的教学。
在教学中要求学生真正理解和牢固掌握各种运算所需要的数学概念、性质、公式、定理、公理、法则等数学知识，这是最基本的，也是提高学生运算能力的关键所在。
例如，在学习二次根式的运算时，要使学生正确理解二次根式的概念——正数和零的算术平方根；同时要使他们牢固掌握有关运算的各种公式，否则就会造成错误。
在培养学生运算能力的过程中，不仅要重视算法和结果，还要重视运算的推理过程，在运算练习时，使学生做到“言必有据”。
例如，对任意实数a＜b，则5a＜5b，有的学生的证明为：因为当a=2、b=3时，52＜53，所以对任意实数a＜b有5a＜5b。
这种证明是错误的，是“偷换论题，以特殊代一般”。
2.加强基本技能和技巧的训练。
在初中数学教学中加强这方面的训练，在以后的应试中能够节约时间，达到迅速运算的目的。
我们数学教师要在平时给学生总结一些重要的数据和结论。
例如在计算152、252、352……（个位上是5的数字的平方）时，让学生掌握其速算方法，就是先写上25，在25的前面写上比十位数大1的数与十位数上的数的乘积。
例如：“152=225，结果225”是这样得来的，先写25，百位上的2是1和2（比十位数1大1的数）相乘得到的，结果就是：225。
学生掌握了其方法后就能快速地口算出此类数的值。
再比如说我们要让学生记住1到20之间数的平方，还要记住2和5的平方根等一系列重要的数据。
因此在初中数学教学中，要使学生掌握运算规律，对常用的技能技巧让学生进行足够的练习，以此提高运算的速度和准确率。
【高中数学】数学课中应注意培养学生的五种能力
【高中数学】数学课中应注意培养学生的五种能力一、要重视学生思维能力的培养《初中数学新课程标准》指出：“数学可以帮助人们更好地探索客观世界的规律，对现代社会的大量复杂信息做出恰当的选择和判断，为人们提供一种有效而简单的信息交流手段。
”从教学目标来看，中学数学教学更加注重培养和提高学生的思考能力和解决问题的能力。
中学生的思维普遍不成熟，大多数学生的思维能力也不完善。
因此，教师必须从实际情况出发，不断探索和改进自己的教学方法，努力开放学生的思维，让学生展翅高飞，有效优化课堂教学效果，实现教学目标。
二、数学应用能力的培养新课程标准提出“注重数学与现实生活的联系，注重实际应用”。
注重数学应用意识和能力的培养是数学课程改革的重点之一现代信息技术的飞速发展极大地促进了应用数学和数学应用的发展，使数学渗透到几乎每一个科学领域和人们生活的每一个方面。
自然科学的深入发展越来越依赖于数学，而社会科学和人文科学也越来越依赖于数学知识及其思想方法。
数学作为科学语言和推动科学发展的重要工具，在人类发展史上发挥着不可替代的作用，并将在未来的社会发展中发挥更大的作用。
因此，培养具有数学应用意识的新一代人才应该是数学教育工作者的重要任务和责任。
然而，培养学生的数学应用意识和能力并不是一件简单的事情。
作为一名教师，我们应该努力为学生提供教学背景和机会，使学生逐步形成数学应用意识和能力。
让学生利用所掌握的知识发现生活中的各种问题，体验数学的神秘和深远价值，学会用数学思维方式观察和分析社会，解决日常问题，从而激发学生的数学应用意识，培养学生的数学应用能力。
三、数学自学能力的培养作为21世纪的中学数学教师，如何教学生将基础知识和基本能力转化为学习能力，形成良好的自学习惯，掌握良好的自学方法，成为未来学习和生活中具有再学习能力的创新型人才，值得广大教育工作者认真思考。
笔者认为，在全面实施素质教育的今天，一是激发学生自学的兴趣，让学生树立自学的观念；第二，加强学习方法的指导，让学生掌握自学的方法；三是找到学生思维的闪点，让学生充分发挥自己的潜能地展开思维的翅膀,去“标新立异”、“异想天开”;让学生在无拘无束的争论中碰撞出智慧的火花,教会学生把基础知识和基本能力转化为再学习能力,才能培养学生的自学能力,给课堂注入生机。
培养中学生的计算思维能力
培养中学生的计算思维能力计算思维能力对于中学生的发展和学习具有重要意义。
它不仅仅帮助学生在数学领域取得好成绩，还能培养他们的逻辑思维、问题解决能力和创新精神。
在这篇文章中，我将探讨如何有效地培养中学生的计算思维能力。
一、培养数学兴趣对于培养中学生的计算思维能力，首先要激发他们对数学的兴趣。
数学是一门需要逻辑思维和抽象能力的学科，许多学生在初中阶段就对数学失去了兴趣。
因此，教师应该采用一些有趣的教学方法，如游戏、案例分析等，让学生感受到数学的乐趣。
二、强化基础知识建立扎实的基础知识对于培养中学生的计算思维能力非常重要。
只有掌握了基本的算数、代数和几何概念，学生才能更好地理解和运用数学知识。
因此，教师要注重基础知识的讲解和练习，帮助学生打下坚实的数学基础。
三、开展数学建模活动数学建模是培养中学生计算思维能力的有效方式之一。
通过实际问题的模拟和求解，学生不仅可以巩固和运用所学的数学知识，还能提高他们的问题分析和解决能力。
教师可以设计一些生活中的数学建模问题，引导学生进行求解，激发他们的创新思维。
四、提供合适的学习资源为了培养中学生的计算思维能力，学校和教师应提供合适的学习资源。
这包括数学课本、参考书籍、在线教育平台等。
学生可以通过阅读和实践，不断探索和学习新的数学知识，拓展他们的思维边界。
五、注重思维训练思维训练是培养中学生计算思维能力的必备环节。
通过一些适合的训练方法，如数学竞赛、解题训练等，学生可以提高他们的思维灵活性和解决问题的能力。
教师可以定期组织这样的活动，让学生感受到思维训练的重要性，并充分展示他们在计算思维方面的才能。
六、引导学生独立思考培养中学生的计算思维能力，关键在于引导他们独立思考。
学生应该主动思考问题，挖掘问题背后的道理和规律，而不仅仅是记住解题方法。
教师可以在课堂上引导学生深入思考，提出问题，进行讨论，使学生逐渐形成独立思考和解决问题的习惯。
总结起来，培养中学生的计算思维能力需要教师精心设计教学环节，提供合适的学习资源，进行思维训练，并引导学生主动思考和解决问题。
数学基本能力的培养浅谈
数 学学 习与 研 究 ２ １ ．２ ０ ０２
结解 题 规 律 ， 强 对 学 生 素 质 的训 练 ． 加
３ 养 成 熟 练技 巧 和机 敏 创 造 的 思维 能 力 ．参加 现代 化 生 ．
产 和学 习 现 代科 学 技 术 ， 生 有 必 要 达 到 解 题 的熟 练 及 准 确 学
例 如 ，在 有 理 数 范 围 内 分 解 因 式 一４＝ （ ＋２ （ 一 ） ２ 。 是 在 实数 范 围 内 ， 样 推 出来 的 结 果就 不 正 确 了 ． ）但 这 因 此 ． 数 学 教 学 过 程 中 进 行 逻 辑 论 证 时 ， 须 使 学 生 在 必 首 先 搞 清楚 这 个 问题 是在 哪个 范 围 内考 虑 的 ， 后 再 用 正确 然
精 一 设 计题 目， 当练 习 ． 格 训 练 就要 做 到高 质 量 、 效 率 ， １ ２ ， 适 严 高 即学 生 练 习 要做 到正 确 、 速 、 迅 合理 ． 二 、 养 学 生 逻 辑 思 维能 力的 途 径 培 初 中数 学 内 容 是 通 过 逻 辑 论证 来 叙 述 的 ， 数学 中 的 运 算 证 明作 图都 蕴含 着 逻 辑 推 理 的 过程 ． １ 在 传 授 数 学 知 识 过 程 中 ，教 师 要 严 格 遵 守 逻 辑 规 律 ， ＿
则 等 ．要 使 运 算 正确 而 又迅 速 就 要 牢 固地 掌 握 与 运 算有 关 的 概念 、 式 法则 以及 变形 化 简 等思 维 方 法 ． 时要 多 练 习 ， 公 同 常反 复， 形成 熟 练 的技 能技 巧． 也 不能 “ 练”在 练之 前 ， 使 得学 但 死 ， 要 生 懂得 “ 理 ” 其懂 得 “ 样 算 ” 为 什 么 这 样算 ” 有 “ 有 算 使 怎 “ ． 只 计 据 ”才 能 “ 。 算有 准 ” 果教 师 只教 给 学 生 “ ． 如 怎样 算 ”而学 生 并不 ， 明 白“ 什 么这 样算 ” 为什 么 这样 算 就正 确 ” 那 么学 生 的运 算 为 “ ，
高中数学教学中学生解题能力的培养策略
高中数学教学中学生解题能力的培养策略司佩明(江苏省宿豫中学㊀㊀江苏宿迁㊀㊀２２３８００)摘要:在数学学习过程中,解题能力的高低直接影响着学习效率与成绩.这就需要教师引导学生认真审题,弄清题目中的数学问题和隐藏条件,学会从多角度思考问题,突破解题思维定式,寻找到正确的解题方案,还要注重解题后的自我反思与回顾.这样既能强化对知识的理解与记忆,又能避免再犯类似错误,从而有效促进数学解题能力的提升.关键词:高中数学㊀㊀解题能力㊀㊀培养策略㊀㊀«普通高中数学课程标准»明确指出: 高中数学教学应注重提高学生的数学思维能力,这是数学教育的基本目标之一. 数学教育的目标之一就是培养学生的数学思维和问题解决能力.当前由于高考压力,高中数学学习仍然处于 题海战术 的怪圈中,不少数学课堂教学变成了教师讲题㊁学生做题.这样的教学模式让师生都疲惫不堪,往往成效不大.要摆脱这种教学困境,培养学生的数学解题能力是关键.一㊁认真读题审题,弄清数学问题认真审题,弄清题目中所涉及的数学问题,是正确解题的重要前提.然而,在教学实践中发现,审题是学生在解题过程中最为容易忽视的一个环节.因此,要在高中数学教学中培养学生的解题能力,首要步骤是培养学生的审题能力.在审题过程中,需要弄清楚题目问的是什么,这样才能在解题时根据问题,积极挖掘题目中的已知条件㊁隐藏条件以及与所求问题之间的关系,帮助学生厘清解题的思路.ʌ案例１ɔ已知关于x的一元二次方程(５b－２) x２－５x＋３＝０有两个不等实根,求b的取值范围.在求解这道题时,我首先要求学生认真读题审题,并将题目中所给出的已知条件标注出来.题目中给出的 一元二次方程 ,我们发现在二次项的系数中含有参数,从中可以找到蕴含的隐藏条件是二次项系数不能为零,即:５b－２ʂ０.此时,再阅读题目 一元二次方程有两个不等实根 ,也就是说:Δ＝(－５)２－４ˑ(５b－２)ˑ３＞０.这样结合b的两个取值,就能得出正确的答案.如果学生在解题时未能认真审题,就很容易忽视 一元二次方程二次项系数不能为零 这个隐藏条件,必然会造成解题错误.二㊁有效提取组合,拟定解题方案审题结束后,如何根据已知条件探索解题的方案,是数学解题过程中至关重要的环节,也是最困难㊁最耗时的环节.费里德曼曾经说过: 解题就是把题归结为已经解过的题.解过的题形成了自己的解题经验. 数学问题求解的本质就是将一些未知的问题转化为我们所熟悉的问题.因此,我向学生给出了以下解题步骤:首先,在读题的过程中,将题目中的文字语言转化为数学语言,并列出条件与问题;其次,在读题的过程中思考,通过阅读,自己能联想到哪些数学知识?对于一些新的问题是否可以化归为类似的题目或我们比较熟悉的问题?问题的求解需要运用到哪些数学定义㊁公式㊁定理?在把握题目的信息后,直接运用公式㊁定理进行求解,或从中挖掘出数量㊁图形㊁符号之间隐藏的关系,从而找到解题的思路.ʌ案例２ɔ已知数列{a n}中,其首项为a１＝１,第n＋１项为a n＋１＝２a n＋３n,求数列{a n}的通项公式.通过审题发现:已知条件是数列的首项和第n 项,题目的问题是求数列{a n}的通项公式.通过观２２高中数学教学中学生解题能力的培养策略㊀㊀㊀察式子,我们可以联想到类似数列的递推模型a n＋１＝２a n＋３,在求解这道题目时,采用的是待定系数法,通过重新构造等比数列a n＋１＋３＝２(a n＋３)进行求解.这样就可以尝试将新的问题化归为已有的数学问题,通过构造a n＋１＋３n＋１＝２(a n－３n)来进行求解.利用类比迁移,学生就能顺利地进行求解.此时,我再给出以下变式:ʌ案例３ɔ已知数列{a n}中,其首项为a１＝１,第n＋１项为a n＋１＝３a n＋３n,求数列{a n}的通项公式.通过对比发现,两道题类型完全一样,虽然只是改变了a n＋１公式中a n前面的系数,但若仍采用上述方法就不适合了.为此,我继续引导学生分析,仍然采用a n＋１＝２a n＋３这个模型,但此时可以对等式两边同时除以３n,就能得到a n＋１３n＋１＝a n３n＋１,这样就可以将题目转化为b n＋１＝b n＋１这个学生比较熟悉的等差数列模型进行求解.由于学生在解题过程中容易形成惯性思维,在求解某些数学问题时,这种思维定势会使学生心理产生一种已有的预备状态,而这种状态会影响解题的思路.在遇到一些新问题时,如果照搬过去的经验,往往会导致解题出错,尤其是当学生遇到一些比较熟悉的问题时,就会想当然地认为是自己见过的题型,从而对实际情况不加考虑就直接按照原理的解题方法进行求解,这样,出错的概率将会大大增加.为此,在数学教学过程中,教师要准确把握学生在解题时可能会遇到哪些问题㊁在哪些地方出现了思路的阻碍,再通过合理引导,充分展示学生的思维过程,帮助学生突破思维定式,培养学生的探索精神.三㊁注重解题反思,提升解题能力反思是提高数学解题能力的重要方式.解题反思是指在解决问题后,对自己的解题过程㊁解题思路㊁解题方法㊁解题技巧和解题答案的反思.波利亚说过: 想要从解题中得到最大的收获,应当深入理解是如何解题的,思考是否还有更简单的解题方法㊁如何克服障碍㊁本问题中是否隐含重要的思想方法等等. 但在现阶段的数学教学中,很多学生迫于高考的压力,在数学解题过程中追求的是量的积累,以为多做题就能提高成绩.这种 题海战术 并未带来质的变化,究其原因,是学生在解题过程中缺少了自我反思与解题回顾的过程.只有通过反思,才能让学生真正了解到出错的原因,在今后的解题中才不会再犯类似的错误.ʌ案例４ɔ若xɪ(０,π),求函数y＝s i n x＋４s i n x 的最小取值.很多学生在求解这道题时直接利用基本不等式的方式进行求解,计算得出函数最小值为４.这个结果显然是错的,因为学生忽视了xɪ(０,π)这个重要的已知条件.为此,教学中我这样引导学生反思:得出结果是４的学生,请回顾自己的解题思路,想一想自己是否认真审题了,是否充分利用了题目中所给出的条件.当函数最小取值为４时,只有当s i n x ＝２时才能满足.此时我们再来看题目中给出的已知条件,当xɪ(０,π),我们知道正弦函数的取值范围s i n xɪ(０,１],在定义域内,根本不存在xɪ(０,π)使得s i n x＝２.这样从答案入手,引导学生对自己的解题思路与方法进行反思,有利于改善学生对一些似懂非懂的模糊知识的认知,理解基本概念的本质,在以后的解题过程中就不会再犯类似错误了.四㊁结语总而言之,在高中数学教学中培养学生的数学解题能力,是有效提升学生数学解题正确率和数学成绩的重要渠道.更为重要的是,对学生课堂知识的巩固㊁迁移与运用,对于学生数学综合素养与能力的形成具有极为重要的作用.这就需要我们教师重视自己的教学方法,掌握数学知识的重难点,从学生的审题能力㊁解题思路与改错能力等方面入手,给学生科学的指导,帮助学生掌握正确的解题方法和解题步骤,使学生能够有效地应对各种各样的数学难题,实现数学解题能力的提升.参考文献:[１]吴素杰．论高中数学教学中学生解题能力的培养[J]．西部素质教育,２０１８(８):６４．[２]冯龙云．掌握解题技巧,创新解题思路[J]．数学学习与研究,２０１９(１):１２５．３２。
如何在中学数学培养学生的三大基本能力
浅谈如何在中学数学培养学生的三大基本能力中学数学教学大纲中规定“培养学生的运算能力，逻辑思维能力和空间想象的能力”。
运算能力就是指利用数学中的数字和各阶段所学到的公式进行的数字运算。
逻辑思维能力是指在公式转化与转换过程中所运用的知识合体，来共同解决问题的思维过程。
空间想象能力是指对空间图形的想象能力，比如我们在几何中学到的各种图形。
运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力三者之间既有区别又有联系，它们的培养途径既有相同也有不同，下面我分别介绍这三种基本能力的培养途径。
一、运算能力运算能力反映在运算的准确、合理和敏捷的程度上，它的基础是牢牢地掌握好运算的公式和法则。
运算在中学数学中是普遍的计算过程。
学生运算能力的好坏，应以掌握有关运算的基础知识和基本技能为基础，同时也要运用自己的运算能力技巧。
首先，教师要使学生正确理解和掌握数学基础知识，只有掌握了这些最基本的东西才会展开以后的运算。
教师要教给学生正确运用相关的概念、法则和公式，然后不断地去练习和实践。
因为数学基础知识掌握的好坏直接影响着运算的正确性和效率性。
其次，提高学生运用运算公式和性质进行推理的能力。
数学运算是一个比较广泛的概念，因此，运算过程的实质是一种推理的过程，在中学数学中，有好多都是运用公式去推理的，有的时候一道题有好多种计算方法。
因此，中学数学教师一定要着重培养学生的运算能力，这里就要培养学生多练习的好习惯，使学生多动手、多动脑，总结经验力争创新。
因此，教师在教学过程中必须有目的、有计划地加强学生的运算练习，这是提高学生运算能力的最好办法。
另外，还要抓好运算技巧的训练，让学生的运算能力得到全面提高。
二、逻辑思维能力逻辑思维能力一般包括抽象想象能力和推理论证能力。
在数学运算中逻辑思维能力也起着很重要的作用，需要老师不断地进行引导和数学练习。
要培养学生的数学逻辑思维能力，必须让学生能够对教材内容进行分析和综合、比较和对照、抽象和概括、判断和推理等思维活动。
论中学数学课学生自学能力的培养 毕业论文
论中学数学课学生自学能力的培养毕业论文摘要：数学是科学的一门基础学科，中学数学是数学教育的基础。
中学数学课程对于学生的成长和发展非常重要。
本文由数学自学的必要性入手，阐述了中学数学自学的目的、方法和步骤，切实提高了中学数学学习者的自学能力。
关键词：中学数学，自学能力，方法，步骤，提高一、引言高中数学课程是整个数学教育的基础，是接受中学数学教育的重要阶段。
中学数学学习关系到学生的终身发展和未来的职业发展。
中学数学学科的特点是其高度的抽象性、高度的逻辑性、高度的综合性和高度的应用性。
在中学数学学习过程中，注重发挥学生的自学能力，是十分必要和重要的事情。
二、中学数学的学习特点1. 抽象性：中学数学是一门高度抽象的学科。
中学数学是基于自然科学和逻辑学等学科出发的，以形式化和逻辑思考为基础的高度抽象的数学建立的。
要想学好中学数学，就必须把握其抽象性，建立良好的基础概念。
2. 逻辑性：中学数学是一门高度逻辑的学科。
中学数学不仅要求学生具备良好的逻辑思维能力，而且还要求学生能够善于运用已经掌握的知识，去推导新知识。
3. 综合性：中学数学是一门高度综合性的学科。
中学数学学科涉及到数学基本概念、数学基础知识和数学基本技能的理解和掌握，同时还要求学生在数学应用领域中实践“数学思想”的应用和实现。
三、中学数学学习中自学能力的重要性1. 自学能力可以与教师教学相辅相成，在学生之间进行信息交流、共同学习。
2. 自学能力被认为是一种自主学习的能力，可以满足个性化学习的需求，提升中学生的学业表现。
3. 培养中学生自学能力，可以让他们更好的分析和理解数学知识，进而更好的运用到实践当中。
4. 提高中学生自学能力，可以提高他们的自我管理能力，从而更好地适应未来的职业发展。
四、中学数学学习的自学方法1. 阅读教科书通过对教科书的阅读，可以更好地理解教师讲授的知识点。
如果教科书上的内容不能理解，那就可以和同学一起讨论来解决问题。
2. 课外拓展通过课外拓展，可以加深对某个知识点的理解和应用，同时可以解决更具体的问题。
核心素养视角下初中数学教学中学生运算能力的培养
核心素养视角下初中数学教学中学生运算能力的培养1. 引言1.1 背景介绍面对这一现状，学者们开始关注核心素养视角下初中数学教学中学生运算能力的培养。
核心素养作为21世纪素养体系的重要组成部分，强调学生综合能力的培养。
在数学教学中，核心素养视角下更注重学生的思维能力、创新能力、问题解决能力等方面的培养，进一步促进学生的数学运算能力的提升。
本文将从核心素养视角出发，探讨初中数学教学中如何有效地培养学生的数学运算能力，以期能够为教育工作者提供一些可行的教学策略和方法。
1.2 研究意义数达到1000字、2000字等。
【研究意义】的内容如下：数学运算能力在学生学习数学过程中起着至关重要的作用，它是学生进行数学运算和解决实际问题的基础。
而初中阶段正是学生数学基础打下的关键时期，培养学生的数学运算能力具有重要的意义。
数学运算能力的培养可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高数学学习的效果。
通过锻炼学生的运算能力，可以增强其数学思维能力和逻辑推理能力，培养学生对数学的兴趣和自信心，进而激发学生对数学的学习热情。
数学运算能力的培养也有利于学生在日常生活和工作中更好地运用数学知识解决实际问题，提高他们的综合素质和实践能力。
随着教育教学改革的不断深入，核心素养的培养逐渐成为教育教学的重要目标。
数学运算能力作为核心素养之一，对于促进学生全面发展和素质教育具有重要意义。
研究和探讨如何通过初中数学教学有效地培养学生的运算能力，具有重要的现实意义和教育意义。
2. 正文2.1 数学运算能力的定义数学运算能力是指学生在数学学习中运用基本的数学知识和技能进行计算、推理和解决问题的能力。
它包括四则运算、代数运算、几何计算、概率统计等方面的计算能力。
数学运算能力的核心是逻辑思维能力，主要表现在学生能够运用正确的方法解决复杂的数学问题，提高自己的数学应用能力。
数学运算能力的培养需要学生掌握基本的数学运算规则，理解数学概念的内在联系，培养逻辑思维和推理能力，以及提高问题解决能力。
人教版9下 数学能力培养
人教版9下数学能力培养
人教版九年级下册数学教材中，能力培养是一个重要的教学目标。
在教学中，教师应该注重培养学生的数学思维能力、运算能力、空间想象能力和解决实际问题的能力。
例如，在全等三角形这一章中，教师可以通过让学生观察图形，动手操作，引导学生发现全等三角形的性质和判定定理。
通过这样的教学方法，可以培养学生的观察力和动手能力，同时也能够激发学生对数学的兴趣。
此外，在解决问题的过程中，教师应该鼓励学生运用所学知识独立思考，提出解决问题的方法。
例如，在解决与实际生活相关的问题时，教师可以引导学生运用所学知识分析问题，提出解决方案。
这样不仅能够锻炼学生的运算能力，还能够培养学生解决实际问题的能力。
在人教版九年级下册数学教学中，教师应该注重培养学生的数学思维能力、运算能力、空间想象能力和解决实际问题的能力。
通过这样的教学方法，可以帮助学生更好地掌握数学知识，为今后的学习打下坚实的基础。
中学数学基本能力的培养
两方面的训练 ： １加强 口算速算方法的严格训 练；２ 进行运算 （） （）
技巧的严格训练 。进行运算技巧 的训练 ，首先要 引导学生养成 仔细审题 ， 观察分析题 目特点的 良好习惯 。根据题 目特点 ， 择 选
一
种最合理 、 最简捷 的解法 ， 减少失误机会 ， 保证运算正确 。此
力。在教学 中对空间图形的想象， 往往还借助于逻辑推理与运 算， 才能确定它的形状 、 大小 、 位置关 系。因此 ， 间想象 能力 、 空 逻辑思维能力 、 运算能力都有着密切 的联系。
原式 【 ２９ （ ． ） 一＿ ） ＋． ） ＋导）（ ÷］ ＝一． ） 一 ６ Ｈ（１７ （１７ （ ３ ＋ ７１ ５ ＋ ５ Ｈ（３ ＋一 ＋ ２ 【一 １） 一２ ］ 一０＋＋＋ ）（３）（ ８＋＋ ） （ ＋ ３— ＝ １） （１ ＋一８＝一 ）（１ ５ （ 孚） （ ０ ４
中学数学基本能力主要包括运算能力、逻辑思维能力和空
问想象能力 。运算能力就是指进行数和式 的代数运算 、初等超 越运 算 、 微积分 中微分 和积分 的初步运算 以及集合的简单运算
等能力 。逻辑思维能力是指正确运用逻辑思维的形式 、规律和
方法 进 行 思 考 的 能力 。空 间想 象 能 力是 指 对 空 间 图 形 的想 象 能
、
运 算 能 力
运算能力反映在运算 的准确 、合理和敏捷的程度上 。运算 能力是在掌握运算技能 的基础上发展起来的 ，但 它主要表现在 灵活运用运算 的法则 、 性质 、 公式 ， 善于观察 、 比较 、 分析 、 综合 、
成 和发展逻辑思维能力将是一句空话 。
概括 、 推理等 。学生运算能力的形成 ， 以掌握有关运算的基础 应
谈谈中学数学课自学能力的培养.doc
谈谈中学数学课自学能力的培养摘要：新课程的改革在全国隆隆的响起，也在飞速实现，效果也很显著。
这说明新课程的改革是毋庸置疑的，作为改革下的数学老师就必须理解其理念，从过去的传统教育中走出来。
而在数学教学中，培养学生的自学能力更显得十分必要。
关键字：数学自学能力培养有道曰：“授人以鱼，不如授人以渔。
”把知识机械地传授给学生，不如教给学生学习方法，教会学生自己学习，培养学生的自学能力，让学生自己积极主动地去观察、实验、分析，自己探索知识，发现知识，掌握知识，形成一定的数学技能，从而达到“不教”的目的。
陶行知先生有句话说：“教，是为了不教”就是这个意思。
就数学学科自身而言，它有自身的逻辑严密性，知识的系统性、抽象性、逻辑性、科学性都比较强，数学知识必须在学生的头脑中经过学生周密细致的思考，与已有的数学知识紧密联系起来，同化到已有的知识结构中去，学生才能较好地掌握数学知识，形成数学能力。
即使传统的数学课堂教学，也离不开学生的自学。
离开了学生的自学、思考，教师传授的知识是死板的，零星的，学生不会应用。
这与没学没什么两样。
所以在数学教学中，培养学生的自学能力更显得十分必要。
古代大教育家孟子说：“君子深造以道，欲其自得之也。
自得之，则居之安；居之安，则资之深；资之深，则取之左右逢其源，故君子欲其自得之也。
”一个人要有较深的造诣，必须用自学的方法达到。
这样，他的学问就扎实，积累就深厚，应用起来就左右逢源，得心应手。
美国教育家布鲁纳倡导的“发现法”也主张学生用自己的头脑主动去获取知识，解决问题，培养学生的自学能力。
我国倡导的“卢仲衡自学辅导教学法”，胡炯涛的“中学数学研究创造教学法”，邱学华的“尝试教学法”都重视培养学生的数学自学能力。
《基础教育课程改革纲要》也明确提出：“改革课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力，获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力。
数学入门基本能力的培养
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数学入 门基 本能力 的培 养
◎谢 柏 松 （ 江省 上 虞 市崧 厦 镇 中学 浙 ３ ２ ６） １３ ５ 初一新生在学习数学习惯上要求他们 动手实践 、 自主 探 索 、 作 交 流 ； 识 内容 上 引 入 负 数 ． 数 扩 充 到 有 理 数 ； 合 知 把 计 算 方 法 上 ， 式进 行 运 算 ， 未 知 数 解 方 程 ， 一 个 过 渡 适 应 对 设 有 的过 程 ． 学 生顺 利 完 成 初 中 的 数 学 课 程 ，改 变 初 二 两 极 分 使 决和获取． 如在 学 习 了有 理数 的加 法运 算 后 ．得 到 两 个 有 理 数相加的法则． 在学 习有 理数 的减 法 时 ，将 它 转 化 到 有 理 数
数 学 知 识 我 们 是 分 类 学 习 的 ， 用 知 识 解 决 问题 ． 时 利 有 需 要 分 类 讨 论 ． 类 应 确 定 一 个 标 准 ，根 据 数 量 的 大 小 、 分 性
质 、 置 等 。 到 不 重 复 也 不 遗 漏 ， 一 题 多 解 的依 据 ， 求 位 做 是 要
．
文 字 叙 述 的 数 学 语 言 能 力 ，一 般 分 为 对 事 物 下 定 义 、 式
和 图 形 的性 质 、 算 法 则 等 ． 运
对 概 念 下 定 义 的 语 言 能 力 ， 先 应 提 供 学 生 在 生 活 中 熟 首
解 ２ （ 值法 ） 一 差
ａ ａ ＋ ， 孔
５ｃ ． ２ 若 点 ， Ｃ在 同 一 个 平 面 上 ， 则 ５ｅ ≤ ＡＣ ≤ ｍ （ ） 日， ｍ 解 题 不 能 合 理 分 类 ， 误 率 将 会 大 增 ， 打 击 学 生 学 习 错 会 数 学 的 自信 心 ， 时 要 养 成 分 类 讨 论 的 习惯 ， 高 解 题 正 确 平 提 率， 激发 学 习数 学 的兴 趣 ． 分 类 讨 论 和 转 化思 想 相 结 合 ， 是解 决 综 合 问题 的关 键 ． 在
中学数学教学中的综合素养培养策略
中学数学教学中的综合素养培养策略数学是一门抽象而又实用的学科，而中学数学教学的目标不仅仅是传授学生基本的数学知识和技能，更重要的是培养学生的综合素养。
综合素养包括数学思维能力、创新能力、实践能力以及沟通能力等方面。
本文将从不同的角度探讨中学数学教学中的综合素养培养策略。
首先，数学思维能力是培养学生综合素养的关键。
在数学教学中，教师应该注重培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
例如，在解决数学问题时，教师可以引导学生运用归纳法、演绎法等思维方法，培养学生的逻辑思维能力。
同时，教师还可以设计一些开放性问题或者多种解法的问题，激发学生的思维活跃性，培养他们独立思考和解决问题的能力。
其次，创新能力在中学数学教学中也是非常重要的。
数学是一门富有创造性的学科，培养学生的创新能力可以激发他们对数学的兴趣和热爱。
教师可以通过提供一些有挑战性的问题，鼓励学生进行探索和创造。
同时，教师还可以引导学生运用数学知识解决实际问题，培养他们的实践能力和创新思维。
实践能力也是培养学生综合素养的重要方面。
数学是一个与实际生活紧密相关的学科，教师应该注重将数学知识与实际问题相结合，培养学生的实践能力。
例如，在教学中引入一些实际问题，如测量、统计等，让学生亲自动手解决问题，培养他们的实际操作能力。
同时，教师还可以鼓励学生参与数学建模比赛等活动，提高他们解决实际问题的能力。
另外，沟通能力也是中学数学教学中需要培养的重要素养之一。
数学是一门需要交流和合作的学科，教师应该鼓励学生积极参与课堂讨论，提高他们的口头表达和沟通能力。
同时，教师还可以设计一些小组合作的活动，让学生在团队中合作解决问题，培养他们的团队合作和沟通能力。
综上所述，中学数学教学中的综合素养培养策略包括培养学生的数学思维能力、创新能力、实践能力和沟通能力等方面。
教师应该注重培养学生的逻辑思维和分析问题的能力，激发他们的创新思维和实践能力，并鼓励他们积极参与课堂讨论，提高他们的沟通能力。
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把条件的各个部分分开.你能否把它们
（对称、和谐、简化） （5）对猜想的结果必须进行严格逻辑证明
小结
▪ 三大基本能力互相联系，互相渗透，相辅相 成。
▪ 循序渐进地培养各种能力
“无知便无能，无知便无德，无知便无情” ——杨叔子
分析和解决实际问题能力的培养
➢ 实际问题：现实生活中的一些具体问题；数学学习中
的一些具体问题。
➢ 解数学题是培养学生分析和解决实际问题能力的主要
（4）配方变换. （5）分解变换. （6）形态变换. （7）换元变换.
x2y2(xy)22xy
1 1 1 n(n1) n n1
loaN gbabN
3.熟悉计算的技能、技巧.
（1）善于进行口算和速算的技能.
（2）熟练使用计算器等计算工具的技巧.
（3）熟记一些常用数据.
（4）灵活运用还原法、代值法、估值法等方法进行 验算的技能.
例2 已知实数x,y,z满足
1xy2yzz2z10
2
4
求 (z y)x 的值。
3.教会学生运用逻辑常识
消除学生理解困难的关键。
数学概念，公式、定理等数学知识间的逻辑关系； 论证方法的逻辑依据；数学命题间的关系等。
4.加强逻辑思维能力的训练
循序渐进；各科渗透；重点突出
例3 P246，”谁先说到66谁便输，如何玩法，胜 者是谁？要想得胜，应如何玩这个游戏？
例4
已知
f(x1)x2 1
x
x2
，则
f (x1)的表达式为
_____
5.重视运用数学符号语言进行推理论证 6.重视新旧知识间的逻辑联系
二、创造性思维的培养
▪ 组织和改造已经获得的知识，使之适应当前 问题。
1、发散思维能力的培养 发散思维能力的内容 （1）善于举一反三，触类旁通 （2）善于正反面考虑问题 （3）善于用多种方法解决问题并从中选优。
的联系，丰富学生的空间想象能力
（2）深入研究异类图形之间的联系，发展学生的空 间想象能力
（3）有效利用数形结合，锻炼学生的空间想象能力
例1 四个半径为1的等球，每一个与其余三个都 相切，三球在下，置于一平面上，求最上一 球的球心到平面的举例。 A
B
C
O
1
例2 任意的三角形都是等腰三角形。
A
F
O
E
B
D
C
OB=OC OE=OF FB=EC AF=AE AB=AC
数学思维能力及其培养
▪ 数学思维能力是指人们对数学对象（数量关 系和空间形式）的本质的认识能力。
▪ 数学思维的分类： （1）逻辑思维能力 （2）创造性思维能力
发散思维能力、直觉思维能力
一、逻辑思维能力的培养
➢ 逻辑思维能力是指在一定的逻辑法则下进行思考活
发散思维能力的培养途径
▪ 注意知识之间的纵向和横向联系，培养学生 的转化思想。
▪ 注意变式方法在教学中的应用 （1）一式多变 “1” （2）一图多画 （3）一题多解 （4）一题多变 （5）一题多问
▪ 加强逆向思维的训练 公式、法则和概念的逆用；分析法的运用等
▪ 思维发散后要及时评价择优 发散——集中——再发散——再集中
动的一种思维能力。它是最基本、最重要的能力， 是发展学生思维的基础、中心环节和主要标志。
➢ 逻辑思维能力的基本内容：
（1）能正确理解和运用各种逻辑推理方法 演绎、归纳、类比
（2）能正确理解和运用各种论证方法 分析、综合、反证法、同一法、比较、抽象、概
括等 （3）思维过程目的明确、条理清楚 （4）善于将知识系统化，结构化
空间想象能力的培养
➢数学中的空间想象能力是指对物体（客观存
在着的空间形式）的形状、结构、大小、位 置关系的想象能力。
➢基本内容
（1） 建构 （2）识别 （3）再认 （4）表述 （5）制图 （6）改造
基本要求：
1.能够由形状简单的实物想象出几何图形，由 几何图形想象出相应的实物形状；
2.能够由复杂的平面图形分解出简单的、基本 的图形；
1.重视数学基础知识的教学 绝对值概念、三角形相似，全等的判定等
例1 已知方程 x22xa0(a0)的两根是 , 求 的值。
2 .教师要重视论证格式的教学，并作出正确的 示范
在教学过程中，教师要通过示例训练学
生掌握如下论证格式：综合法、分析法、反 证法和归纳法等。
论证思考过程和书写格式的正确示范。
➢ 运算教学中还应注意以下几点：
1.掌握运算通法、通则. （1）先高级后低级.四则运算. （2）先内层后外层. （3）先局部后整体. （4）先化简后求值. （5）先明显后隐蔽.多项式的因式分解. 2.熟悉数式的基本变换. （1）符号变换. 去括号、添括号时的符号变换 （2）互逆变换. a-b=a+(-b) （3）移项变换.移加作减
逻辑思维能力的层次
（1）给出条件和结论，能说明推理的依据； 若给出条件和依据，能得出结论，并了解基 本推理格式。
（2）根据给出条件能完成一步推理过程，并 掌握简单的证明方法。
（3）能够独立完成两步和两步以上的推理论 证过程，并能说明依据。
（4）能够独立分析具有综合性和实际应用性 的问题。
➢培养学生逻辑思维能力的基本途径
2.直觉思维的培养
▪ 直觉思维能力的基本内容 （1）能够再各种条件和结论中迅速取舍 （2）善于在一题多解的各种解法中择优 （3）大胆猜想，善于在不同问题之间建立起联
系
▪ 直觉思维能力的培养途径
（1）注意类比，归纳思想的培养 （2）注意整体思想的培养 （3）注意逻辑推理过程的合理简化与跳跃 （4）注意培养学生对数学美的感受能力。
途径
➢ 解题在数学教育中的作用 ➢ 关于数学解题的教学
1.认真审题，理解题意； 2.机动灵活，题的基本要求：
正确、合理、简捷、完满、清楚
波利亚“怎样解题表”
弄清问题
第一，你
必须弄清 问题.
未知数是什么？已知数是什么？条件 是什么？满足条件是否可能？要确定 未知数，条件是否充分？或者它是否 不充分？或者是多余的？或者是矛盾 的？ 画张图.引入适当的符号.
3.能够在基本的图形中找出基本元素及其关系； 4.能够根据文字或符号表述的条件作出或画出
图形，对图形能够用文字或语言来表述。
➢培养学生空间想象能力的基本途径
1.学好有关空间形式的基础知识
2.加强数学的直观教学，从事数学实习 活动
▪ 3.加强空间想象能力的训练 （1）深入研究同类图形或某个重要图形各要素之间