全国大学生数学竞赛试题及答案

河北省大学生数学竞赛试题及答案

一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1

lim

222222--++-+-∞→n n n n n

n 。 【解】 ))1(21(12

22222--++-+-=

n n n n n

S n

因

21x -在]1,0[上连续，故dx x ⎰1

02-1存在，且

dx x ⎰

1

2

-1=∑-=∞→-1

21

.)(1lim n i n n n i ，

所以，=

∞

→n n S lim

n dx x n 1lim

-11

2∞→-⎰

4

-1102π

==⎰dx x 。 二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1

lim 22

0c t

dt t ax x x b x =+-⎰→

【解】注意到左边得极限中，无论a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必 须为无穷小量，于是可知必有0=b

，当0=b 时使用洛必达法则得到

22

022

01)(cos lim

1sin 1lim x

a x x t dt t ax x x x x +-=+-→→⎰， 由上式可知：当0→x 时，若1≠a ，则此极限存在，且其值为0；若1=a ，则

21)1(cos lim 1sin 1lim 22

220-=+-=+-→→⎰x

x x t dt t ax x x x b x ，

综上所述，得到如下结论：;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。

三、(本题满分10 分) 计算定积分⎰

+=

2

2010tan 1π

x

dx

I 。

【解】 作变换t x -=

2

π

，则

=I

22

20π

π

=

⎰dt ，

所以，4

π=

I 。

四、(本题满分10 分) 求数列}{1n

n

-

中的最小项。

【解】 因为所给数列是函数x

x

y 1-

=当x 分别取 ,,,3,2,1n 时的数列。

又)1(ln 21-=--x x

y x

且令e x y =⇒='0，

容易看出：当e x <<0时，0<'y ；当e x >时，0>'y 。

所以，x

x

y 1-=有唯一极小值e

e

e y 1)(-=。

而3

3

1

2

132>

⇒

<

n -的最小项

3

3

1

。

五、(本题满分10 分) 求∑∞

=-+01n n

n e 。

【解】 考虑幂级数∑∞

=+0

1n n

n x 。

其收敛半径为 1，收敛区间为)1,1(-，

当1-=x 时，∑∑∞=∞

=+-=+0

011)1(1n n

n n n n x 收敛； 当1=x 时，∑∑∞=∞

=+=+001

1

1n n n n n x 发散，因此其收敛域为)1,1[-。

设其和函数为)(x s ，则

)1,1(-∈∀x ，x x x dt n t dt n t dt t s n n n x n x n n x

-==+=+=∑∑⎰⎰

∑⎰∞=+∞=∞

=111)(0

1

000

00

。

于是， .)

1(1)1(

)(2

x x x x s -='-= 故，2121

0)()(1

--∞

=-==+∑e e e s n e n n 。

六、(本题满分10 分) 设⎰

--=x

dt t f t x x x f 0

)()(sin )(，其中f 为连续函数，求)(x f 。

【解】 原方程可写为

⎰⎰+-=x

x

dt t tf dt t f x x x f 0

)()(sin )(，

上式两端对x 求导得

⎰⎰

-=+--='x

x

dt t f x x xf x xf dt t f x x f 0

)(cos )()()(cos )( （*）

两端再对x 求导得

即 x x f x f sin )()(-=+''

这是一个二阶线性常系数非齐次方程，由原方程知0)0(=f ，由（*）式知1)0(='f 。 特征方程为

012

=+λ，i ±=λ

齐次通解为 x C x C y cos sin 21+=

设非齐次方程特解为 )cos sin (*x b x a x y +=，代入x x f x f sin )()(-=+''得 2

1

,0=

=b a

。 则非齐次方程通解为

x x

x C x C y cos 2

cos sin 21++=

由初始条件 0)0(=y 和1)0(='y 可知， 0,2

1

21

==

C C 。 七、(本题满分10 分) 在过点O(0,0)和,0) A(π的曲线族0) (a asin x y >=中，求一条曲线L ，

使沿该曲线从O 到A 的积分⎰

+++L

dy y x dx y )2()1(3的值最小。

【解】 =

)(a I dx x a x a x x a dy y x dx y L

⎰⎰

+++=+++π

333]cos )sin 2(sin 1[)2()1(

3

3

44a a +

-=π。