必修五 等比数列的性质

第2课时等比数列的性质

课时过关·能力提升

1已知等比数列{a n}的公比q>0,且a3a9=2,a2=1,则a1等于().

A. B. C. D.2

解析:∵a3a9==2,∴q2==2.

又q>0,∴q=,

∴a1=.

答案:B

2等比数列{a n}的公比q=-,a1=,则数列{a n}是().

A.递增数列

B.递减数列

C.常数数列

D.摆动数列

解析:由于公比q=-<0,

所以数列{a n}是摆动数列.

答案:D

3在等比数列{a n}中,a3a4a5=3,a6a7a8=24,则a9a10a11的值等于().

A.48

B.72

C.144

D.192

解析:∵=q9=8,

∴a9a10a11=a6a7a8·q9=24×8=192.

答案:D

★4若数列{a n}是等比数列,则下列数列一定是等比数列的是().

A.{lg a n}

B.{1+a n}

C. D.{}

解析:当a n=-1时,lg a n与无意义,1+a n=0,则选项A,B,D都不符合题意;选项C中,设

a n=a1q n-1(q是公比),则

b n=,

则有=常数,

即数列是等比数列.

答案:C

5已知等差数列a,b,c三项之和为12,且a,b,c+2成等比数列,则a等于().

A.2或8

B.2

C.8

D.-2或-8

解析:由已知得

得故a=2或a=8.

答案:A

6等比数列{a n}的各项都为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10等于().

A.12

B.10

C.8

D.2+log35

解析:因为a5a6+a4a7=2a5a6=18,所以a5a6=9.

所以log3a1+log3a2+…+log3a10

=log3(a1a2…a10)=log3[(a1a10)(a2a9)…(a5a6)]

=log3[(a5a6)5]=log395=10.

答案:B

7在等比数列{a n}中,a2=2,a6=16,则a10=.

解析:∵a2,a6,a10成等比数列,

∴=a2a10.∴a10==128.

答案:128

8在等比数列{a n}中,a888=3,a891=81,则公比q=.

解析:∵a891=a888q891-888=a888q3,

∴q3==27.∴q=3.

答案:3

9在两数1,16之间插入3个数,使它们成等比数列,则中间的数等于.

解析:设插入的三数分别为a,b,c,则b2=16,∴b=±4.

设其公比为q,∵b=1·q2>0,∴b=4.

答案:4

10已知数列{a n}是等比数列,a3+a7=20,a1a9=64,求a11的值.

分析:要求出等比数列中的某一项,可先求出某项和q,再利用a n=a m q n-m求解.

解:∵数列{a n}为等比数列,∴a1a9=a3a7=64.

又a3+a7=20,

∴a3,a7是方程t2-20t+64=0的两个根.

解方程,得t1=4,t2=16,

∴a3=4,a7=16或a3=16,a7=4.

当a3=4时,a3+a7=a3+a3q4=20,

∴1+q4=5.∴q4=4.

∴a11=a3q8=4×42=64.

当a3=16时,a3+a7=a3(1+q4)=20,

∴1+q4=.∴q4=.

∴a11=a3q8=16×=1.

综上可知,a11的值为64或1.

11某厂生产微机,原计划第一季度每月增加的台数相同,在生产过程中,实际上二月份比原计划多生产10台,三月份比原计划多生产25台,这样三个月的产量正好成等比数列,而第三个月的产量比原计划第一季度总产量的一半少10台,问该厂第一季度实际生产微机多少台?

解:设该厂第一季度原计划三个月生产的微机台数分别为x-d,x,x+d(d>0),

则实际上三个月生产的微机台数分别为x-d,x+10,x+d+25.

由题意,得

解得

故(x-d)+(x+10)+(x+d+25)=3x+35=3×90+35=305(台),

所以该厂第一季度实际生产微机305台.

★12若数列{a n}是公差d≠0的等差数列,{b n}是公比q≠1的等比数列,已知a1=b1=1,且

a2=b2,a6=b3.

(1)求d和q;

(2)是否存在常数a,b,使对一切n∈N*都有a n=log a b n+b成立?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.

解:(1)由题意得

解得

(2)假设存在常数a,b.

由(1)得a n=3n-2,b n=4n-1,代入a n=log a b n+b得3n-2=log a4n-1+b,即(3-log a4)n+(log a4-b-2)=0对n∈N*都成立,

∴

∴存在常数a=,b=1使等式成立.