必修五 等比数列的性质
人教版高数必修五第6讲：等比数列的概念、性质(学生版)
等比数列的概念、性质__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________教学重点： 掌握并理解等比数列的概念及性质，通项公式的求解，等比数列与指数函数的关系 教学难点： 理解等比数例性质及与指数函数的关系1. 等比数列的概念一般地，如果一个数列从第_______项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_________，公比通常用__________表示。
2. 等比数列的通项公式____________________3. 等比中项如果三个数,,x G y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，其中___________4. 等比数列的性质（1）公比为q 的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m ，所得数列仍是等比数列，公比仍为q（2）若,,,,m n p q m n p q N ++=+∈，则__________________（3）若等比数列{}n a 的公比为q ，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以_________为公比的等比数列 （4）等比数列{}n a 中，序号成等差数列的项构成等比数列（5）若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则{}n n a b 也为等比数列5. 等比数列与指数函数的关系等比数列{}n a 的通项公式111n n n a a a q q q-== 当0q >且1q ≠时，x y q =是一个指数函数，设1a c q=则n n a cq =，等比数列{}n a 可以看成是函数x y cq =，因此，等比数列{}n a 各项所对应的点是函数x y cq =的图像上的一群孤立的点。
高中数学人教版必修5课件：2.4.2等比数列的性质(共13张PPT)
等比数列
学习目标
1、进一步巩固等比数列的定义和通项公式。 2、掌握等比数列的性质，会用性质灵活解决
问题。
• 重、难点：等比数列性质的灵活运用。
抛 砖 在等比数列{an}中： 引 玉 an=a1qn-1
猜想an=amq ? ,你能证明这个结论
吗？
1、等比数列性质一：
• 设数列{an}是公比为q的等比数列，则：
2.4.2 等比数列的性质
Yesterday once more
等差数列
等比数列
定义
an+1-an=d
公差（比）
d
q
递推公式
通项公式 等差(比)
中项
an=an-1+d an= a1+(n-1)d
an=an-1 q an=a1qn-1
性质一 性质二
等差数列
an=am+(n-m)d 若 m+n=p+q ， 则 am+an=ap+aq 。
2、等比数列性质二：
• 在等比数列{an}中，若m+n=p+q，m、n、p、
q∈N*，则 am·an=ap·aq 。 • 特别地，若m+n=2k，则am·an=＿ak＿·a＿k=＿(a＿k)2 。
• 由1+5=6，则a1·a5=a6吗？
【注】等式两边相乘的项数必须一样多！
Hale Waihona Puke 追 踪利用等比数列的性质填空：
练 在等比数列{an}中： 习 (1)若a5=2，a10=10，则a15=＿＿，
a6·a9=＿＿。
(2)若a13·a22=14，a10=4 ，则a25=＿＿＿。
(3)若a2·a4=4，则a3=＿＿＿。
人教版高中数学必修五课件：第二章 数列2-4-2 等比数列的性质
【所以自主{an解2}答是】首1项.因为为1，an公=2比n-为1，4所的以等a比ann数122 列，22nn=故1 242a，n2=4n-1.
答案：an2=4n-1
2.由a4·a7=-512，得a3·a8=-512.
由
解得a3=-4，a8=128或a3=128，a8=-4(舍).
所以aaq33 =a8a
am·an=ak·al
2.等比数列的单调性
(1)当a1>0，_q_>_1_或a1<0，_0_<_q_<_1_时，{an}为递增数列. (2)当____，0<q<1或a1<0，____时，{an}为递减数列. (3)当_a_1>_0_时，{an}为常数列q.>1
q=1
1.在等比数列{an}中，a6=6，a9=9，则a3=( )
(3)若m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)，那么aman=apal吗？ 提示：相等，aman=2m-1×2n-1=2m+n-2， apal=2p-1×2l-1=2p+l-2，因为m+n=p+l， 所以m+n-2=p+l-2，所以aman=apal.
探究2：对任意的等比数列{an}，若有m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)， 那么aman=apal吗？ 提示：相等，设等比数列{an}的公比为q，则am=a1qm-1， an=a1qn-1，ap=a1qp-1，al=a1ql-1，aman= a1qm-1×a1qn-1=a12 qm + n-2， apal= a1qp-1×a1ql-1=a12qp + l-2， 因为m+n=p+l，所以aman=apal.
高二人数学必修五课件时等比数列的性质
以上内容仅供参考，具体教学 内容和顺序请根据实际教学情 况进行调整。
04
等比数列在生活中的应用举例
储蓄存款中的复利计算
复利概念
储蓄存款中的复利是指本金和利 息共同产生的利息，即“利滚利
”现象。
等比数列与复利
在复利计算中，每期产生的利息构 成等比数列，首项为本金与利率的 乘积，公比为1加上利率。
计算方法
02
自然界中的等比现象
自然界中许多现象也呈现出等比关系，如音阶中相邻两个音的频率之比
、斐波那契数列中相邻两项的比值趋近于黄金分割比等。这些现象可以
用等比数列进行描述和分析。
03
计算机科学中的应用
在计算机科学中，等比数列也有广泛应用，如数据压缩算法中的哈夫曼
编码、图像处理中的图像缩放算法等。这些算法利用等比数列的性在概率论中，当事件相互独立时，可以利用等比数列的性 质计算多个事件同时发生的概率。
概率生成函数
概率生成函数是概率论中用于描述离散随机变量分布的一 种函数，它与等比数列密切相关，可以通过等比数列的性 质研究概率生成函数的性质和计算方法。
统计推断中的应用
在统计推断中，有时需要利用等比数列的性质对样本数据 进行处理和分析，如计算样本的几何均值和调和均值等。
现了高效的数据处理和图像变换。
05
等比数列与其他知识点联系
与等差数列对比分析
定义差异
等差数列是相邻两项之差为常数，而等比数列是相邻两项之比为常 数。
性质对比
等差数列具有线性性质，如求和公式和通项公式；等比数列具有指 数性质，如求和公式和通项公式涉及指数运算。
应用场景
等差数列在解决线性增长或减少的问题中常见，如计算平均速度；等 比数列在解决指数增长或减少的问题中常见，如计算复利。
等比数列的概念与性质
等比数列的概念与性质等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项与同一常数的乘积。
等比数列的概念与性质在数学中占有重要地位，对于理解数列的变化规律以及解决实际问题都有着重要的意义。
一、等比数列的概念等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项与同一常数的乘积。
设等比数列的首项为a，公比为r（r≠0），则等比数列的前n项可以用以下公式表示：an = a * r^(n-1)，其中n为项数。
二、等比数列的性质1. 公比的意义：公比决定了等比数列中相邻两项之间的比值关系。
当公比r大于1时，等比数列呈现递增趋势；当公比r小于1但大于0时，等比数列呈现递减趋势；当公比r等于1时，等比数列的各项相等。
2. 通项公式：等比数列的第n项可以使用通项公式an = a * r^(n-1)来表示，其中a 为首项，r为公比。
3. 前n项和的计算：等比数列的前n项和Sn可以使用等比数列求和公式来计算，公式为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)，其中n为项数，a为首项，r为公比。
4. 无穷项和的计算：当公比的绝对值小于1时，等比数列的无穷项和可以通过求和公式求得：S∞ = a / (1 - r)，其中a为首项，r为公比。
5. 等比数列的性质：等比数列中的任意三项可以构成一个等比比例。
根据这个性质，可以使用等比数列来解决各种实际问题，如利润增长、贷款还款等。
三、等比数列的应用举例1. 财务管理：等比数列的概念和性质在财务管理中有广泛的应用。
例如，某公司的年度利润按等比数列增长，首年利润为10万元，公比为1.2。
我们可以利用等比数列的性质计算出第5年的利润为10万 * 1.2^(5-1) = 18.14万元。
2. 投资与滚动利息：等比数列的应用还可用于计算投资的滚动利息。
假设某人将1000元以5%的年利率存入银行，每年滚动利息再投入银行，求10年后的本息和。
我们可以利用等比数列的性质计算出10年后的本息和为1000 * (1.05^10) = 1628.89元。
等比数列知识点归纳总结
等比数列知识点归纳总结等比数列是指一个数列中每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
在等比数列中，我们可以通过一些重要的知识点来解决与数列相关的问题。
本文将对等比数列的概念、性质以及求和公式进行归纳总结。
一、等比数列的概念与性质1. 等比数列的概念：等比数列是指一个数列中，从第2项开始，每一项都是前一项乘以同一个常数的结果。
2. 公比的概念：在等比数列中，这个常数被称为公比，通常用字母q表示。
3. 公比的计算：公比q可以通过相邻两项的比值来计算，即等于后一项除以前一项。
公比q = 第(n+1) 项 / 第n 项4. 等比数列的性质：（1）任意项与它前一项的比值都等于公比q；（2）等比数列中，任意两项的比值都相等。
二、等比数列的求和公式在解决与等比数列相关的问题时，求和是一个重要的方面。
通过求和公式，我们能够快速计算等比数列的前n项的总和。
以下是等比数列的求和公式：Sn = a1*(1-q^n)/(1-q)其中，Sn表示前n项的和，a1表示第一项，q表示公比。
三、等比数列的常见问题解答1. 已知等比数列的首项a1和公比q，求出该数列的通项公式：通项公式可以通过逐项相除来得到。
假设通项公式为an，那么有：a2/a1 = a3/a2 = a4/a3 = ... = q根据这个比值相等的关系，可以得到通项公式：an = a1*(q^(n-1))2. 已知等比数列的部分项求和：有时候我们需要计算等比数列中从第m项到第n项的和，可以利用通项公式将问题转化为前n项和减去前m-1项和的差值。
S(m,n) = Sn - S(m-1)其中，S(m,n)表示从第m项到第n项的和。
3. 已知等比数列的前n项和Sn，求出该数列的通项公式：在这种情况下，可以通过求和公式逆推得到通项公式。
首先将求和公式改写为关于q的方程，然后解方程求得q的值，最后代入通项公式中即可得到结果。
以上是关于等比数列的概念、性质、求和公式以及常见问题的解答。
人教A版高中数学 必修五 2.4 第2课时 等比数列的性质(教案)
2.4等比数列（2）教学重点1.探究等比数列更多的性质;2.解决生活实际中的等比数列的问题.教学难点渗透重要的数学思想.教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等三维目标一、知识与技能1.了解等比数列更多的性质;2.能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决中;3.能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题.二、过程与方法1.继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;2.对生活实际中的问题采用合作交流的方法，发挥学生的主体作用，引导学生探究问题的解决方法，经历解决问题的全过程;3.当好学生学习的合作者的角色.三、情感态度与价值观1.通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;2.通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值.教学过程导入新课师教材中第59页练习第3题、第4题，请学生课外进行活动探究，现在请同学们把你们的探究结果展示一下.生由学习小组汇报探究结果.师对各组的汇报给予评价.师出示多媒体幻灯片一：第3题、第4题详细解答：第3题解答：(1)将数列{a n }的前k 项去掉，剩余的数列为a k+1，a k+2,….令b i =a k+i ,i=1,2,…, 则数列a k+1,a k+2,…,可视为b 1,b 2，…. 因为q a a b b ik i k i i ==++++11 (i≥1),所以，{b n }是等比数列，即a k+1，a k+2,…是等比数列. (2){a n }中每隔10项取出一项组成的数列是a 1,a 11,a 21，…,则109101101121111......q a a a a a a k k =====-+ (k≥1). 所以数列a 1,a 11,a 21,…是以a 1为首项，q 10为公比的等比数列.猜想：在数列{a n }中每隔m(m 是一个正整数)取出一项，组成一个新数列，这个数列是以a 1为首项、q m 为公比的等比数列.◇本题可以让学生认识到，等比数列中下标为等差数列的子数列也构成等比数列，可以让学生再探究几种由原等比数列构成的新等比数列的方法. 第4题解答：(1)设{a n }的公比是q ，则 a 52=(a 1q 4)2=a 12q 8, 而a 3·a 7=a 1q 2·a 1q 6=a 12q 8, 所以a 52=a 3·a 7. 同理,a 52=a 1·a 9.(2)用上面的方法不难证明a n 2=a n -1·a n +1(n ＞1).由此得出，a n 是a n -1和a n +1的等比中项，同理可证a n 2=a n -k ·a n +k (n ＞k ＞0).a n 是a n -k 和a n +k 的等比中项(n ＞k ＞0).师 和等差数列一样，等比数列中蕴涵着许多的性质，如果我们想知道的更多，就要对它作进一步的探究.推进新课 ［合作探究］ 师 出示投影胶片1例题1 (教材P 61B 组第3题)就任一等差数列{a n }，计算a 7+a 10，a 8+a 9和a 10+a 40，a 20+a 30，你发现了什么一般规律，能把你发现的规律用一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题.在等比数列中会有怎样的类似结论？师 注意题目中“就任一等差数列{a n }”，你打算用一个什么样的等差数列来计算？生 用等差数列1，2，3，…师 很好，这个数列最便于计算，那么发现了什么样的一般规律呢？ 生 在等差数列{a n }中，若k+s=p+q(k,s,p,q ∈N *)，则a k +a s =a p +a q .师 题目要我们“从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题”，如何做？ 生 思考、讨论、交流.师 出示多媒体课件一：等差数列与函数之间的联系. ［教师精讲］师 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{a n }的图象，可以看出qs a a p k a a q s p k ==,, 根据等式的性质，有1=++=++qp sk a a a a q p s k .所以a k +a s =a p +a q .师 在等比数列中会有怎样的类似结论？生 猜想对于等比数列{a n }，类似的性质为：k+s=p+t(k,s,p,t ∈N *)，则 a k ·a s =a p ·a t .师 让学生给出上述猜想的证明. 证明：设等比数列{a n }公比为q ， 则有a k ·a s =a 1q k-1·a 1q s-1=a 12·q k+s-2,a p ·a t =a 1q p-1·a 1q t-1=a 12·q p+t-2.因为k+s=p+t, 所以有a k ·a s =a p ·a t .师 指出：经过上述猜想和证明的过程，已经得到了等比数列的一个新的性质. 即等比数列{a n }中，若k+s=p+t(k,s,p,t ∈N *)，则有a k ·a s =a p ·a t . 师 下面有两个结论：(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积；(2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方. 你能将这两个结论与上述性质联系起来吗？ 生 思考、列式、合作交流，得到：结论(1)就是上述性质中1+n =(1+t)+(n -t)时的情形； 结论(2)就是上述性质中k+k=(k+t)+(k-t)时的情形. 师 引导学生思考，得出上述联系，并给予肯定的评价. 师 上述性质有着广泛的应用. 师 出示投影胶片2：例题2例题2（1）在等比数列{a n }中，已知a 1=5,a 9a 10=100,求a 18; （2）在等比数列{b n }中，b 4=3,求该数列前七项之积； （3）在等比数列{a n }中，a 2=-2,a 5=54,求a 8.例题2 三个小题由师生合作交流完成，充分让学生思考，展示将问题与所学的性质联系到一起的思维过程. 解答：(1)在等比数列{a n }中，已知a 1=5，a 9a 10=100，求a 18.解：∵a 1a 18=a 9a 10，∴a 18=51001109=a a a =20. (2)在等比数列{b n }中，b 4=3，求该数列前七项之积. 解：b 1b 2b 3b 4b 5b 6b 7=(b 1b 7)(b 2b 6)(b 3b 5)b 4.∵b 42=b 1b 7=b 2b 6=b 3b 5，∴前七项之积(32)3×3=37=2 187. (3)在等比数列{a n }中，a 2=-2，a 5=54，求a 8. 解：.∵a 5是a 2与a 8的等比中项，∴542=a 8×(-2). ∴a 8=-1 458. 另解：a 8=a 5q 3=a 5·2545425-⨯=a a =-1 458. ［合作探究］师 判断一个数列是否成等比数列的方法：1、定义法；2、中项法；3、通项公式法. 例题3：已知{a n }{b n }是两个项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格.从中你能得出什么结论？证明你的结论.a nb n a n ·b n 判断{a n ·b n }是否是等比数列例 n )32(3⨯-5×2n -1 1)34(10-⨯-n是自选1 自选2师 请同学们自己完成上面的表.师 根据这个表格，我们可以得到什么样的结论？如何证明？生 得到：如果{a n }、{b n }是两个项数相同的等比数列，那么{a n ·b n }也是等比数列. 证明如下：设数列{a n }的公比是p ，{b n }公比是q ，那么数列{a n ·b n }的第n 项与第n ＋1项分别为a 1p n -1b 1q n -1与a 1p n b 1q n ，因为pq qb p a q b p a b a b a n n nn n n n n ==•--++11111111, 它是一个与n 无关的常数，所以{a n ·b n }是一个以pq 为公比的等比数列. ［教师精讲］除了上面的证法外，我们还可以考虑如下证明思路： 证法二：设数列{a n }的公比是p ，{b n }公比是q ，那么数列{a n ·b n }的第n 项、第n -1项与第n ＋1项(n ＞1,n ∈N *)分别为a 1p n -1b 1q n -1、a 1p n -2b 1q n -2与a 1p n b 1q n ，因为 (a n b n )2=(a 1p n -1b 1q n -1)2=(a 1b 1)2(pq) 2(n -1),(a n -1·b n -1)(a n +1·b n +1)=(a 1p n -2b 1q n -2)(a 1p n b 1q n )=(a 1b 1)2(pq)2(n -1), 即有(a n b n )2=(a n -1·b n -1)(a n +1·b n +1)(n ＞1,n ∈N *),所以{a n ·b n }是一个等比数列.师 根据对等比数列的认识，我们还可以直接对数列的通项公式考察： 证法三：设数列{a n }的公比是p ，{b n }公比是q ，那么数列{a n ·b n }的通项公式为 a n b n =a 1p n -1b 1q n -1=(a 1b 1)(pq) n -1,设c n =a n b n ,则c n =(a 1b 1)(pq) n -1, 所以{a n ·b n }是一个等比数列. 课堂小结本节学习了如下内容：1.等比数列的性质的探究.2.证明等比数列的常用方法.布置作业课本第60页习题2.4 A组第3题、B组第1题.板书设计等比数列的基本性质及其应用例1例2例3。
等比数列的概念与性质
等比数列的概念与性质等比数列是数学中常见且重要的数列之一。
在等比数列中，每一项与它的前一项的比值都相等，这个比值称为公比。
本文将介绍等比数列的概念和性质，以及如何应用等比数列解决实际问题。
一、等比数列的概念等比数列是指数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
简而言之，等比数列满足以下条件：1. 第一项 a_12. 公比 r根据上述条件，等比数列的通项公式可以表示为 a_n = a_1 * r^(n-1)，其中 n 为项数。
二、等比数列的性质等比数列具有以下性质：1. 公比的符号决定数列的性质- 当公比 r 大于 1 时，数列是递增的。
- 当公比 r 介于 0 和 1 之间时，数列是递减的。
2. 等比数列的前 n 项和- 当公比 r 不等于 1 时，等比数列的前 n 项和可以表示为 S_n =a_1 * (1 - r^n) / (1 - r)。
- 当公比 r 等于 1 时，等比数列的前 n 项和为 n * a_1。
3. 等比数列的无穷项和- 当公比 r 的绝对值小于 1 时，等比数列的无穷项和可以表示为 S = a_1 / (1 - r)。
- 当公比 r 的绝对值大于等于 1 时，等比数列的无穷项和不存在。
4. 等比数列的前 n 项平方和- 当公比 r 不等于 1 时，等比数列的前 n 项平方和可以表示为 S_n' = (a_1^2 * (1 - r^2n)) / (1 - r^2)。
- 当公比 r 等于 1 时，等比数列的前 n 项平方和为 n * a_1^2。
三、等比数列的应用举例等比数列广泛应用于实际问题的求解中。
以下是几个应用等比数列的例子：1. 存款问题假设某人每年将存款的一定比例保留，其余部分用于消费。
如果从第一年开始，每年的存款比上一年减少 20%，那么第 n 年的存款是多少？解：假设第一年的存款为 a_1，公比为 r = 1 - 20% = 0.8。
根据等比数列的通项公式 a_n = a_1 * r^(n-1)，可以得到第 n 年的存款为 a_n = a_1 * 0.8^(n-1)。
等比数列的性质总结
1.等比数列的定义：()()*12,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比2.通项公式：()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m n m a a q-=，从而得n m n m a q a -=或n q =3.等比中项（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列{}n a 是等比数列⇔211n n n a a a -+=⋅4.等比数列的前n 项和n S 公式：(1)当1q =时，1n S na =(2)当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S qq --==--11''11n n n a a q A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数）5.等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有11(0)n n n n n a a qa q q a a ++==≠或为常数，⇔{}n a 为等比数列（2）等比中项：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}n a 为等比数列（3）通项公式：()0n n a A B A B =⋅⋅≠⇔{}n a 为等比数列（4）前n 项和公式：()'',,','n n n n S A A B S A B A A B A B =-⋅=-或为常数⇔{}n a 为等比数列6.等比数列的证明方法依据定义：若()()*12,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=⇔{}n a 为等比数列7.注意（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为q q8.等比数列的性质(1)当1q ≠时①等比数列通项公式()1110n n n n a a a q q A B A B q-===⋅⋅≠是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q ②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A q q q q--==-=-⋅=-----，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q(2)对任何m,n ∈*N ,在等比数列{}n a 中,有n m n m a a q -=,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
等比数列的性质和计算
等比数列的性质和计算等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项乘以一个常数的结果。
这个常数被称为公比，通常用字母q表示。
等比数列的性质和计算方法在数学中有着重要的应用。
一、等比数列的性质1. 公比与首项的关系：在等比数列中，公比q不等于0时，若首项为a，则第n项为an-1乘以公比q的n-1次方。
即，第n项为a * q^(n-1)。
2. 公比的绝对值小于1时：当公比q的绝对值小于1时（|q| < 1），等比数列的通项公式可以简化为：第n项为a * q^(n-1)，且随着项数的增加，数列逐渐趋近于0。
3. 公比的绝对值等于1时：当公比q的绝对值等于1时（|q| = 1），等比数列的通项公式可以简化为：若q = 1，则数列每一项都相等。
若q = -1，则数列的奇数项为相同的正数，偶数项为相同的负数。
4. 公比的绝对值大于1时：当公比q的绝对值大于1时（|q| > 1），等比数列的通项公式为：第n项为a * q^(n-1)，且随着项数的增加，数列的绝对值逐渐增大或减小。
二、等比数列的计算方法1. 求和公式：若公比q不等于1，则等比数列的前n项和为：Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1)，其中a为首项，q为公比。
2. 求数列中某一项：若已知等比数列的首项a和公比q，可以通过通项公式直接计算第n项。
3. 求等比数列的项数：若已知等比数列的首项a和公比q，以及数列中的某一项An，可以通过求对数的方法计算项数n。
4. 求等比数列的前n项和：若已知等比数列的首项a和公比q，以及数列的项数n，可以通过求和公式计算前n项和Sn。
例题一：已知等比数列的首项是3，公比是2，求该等比数列的第5项和前5项的和。
解：第5项：a * q^(n-1) = 3 * 2^(5-1) = 3 * 2^4 = 48。
前5项的和：Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1) = 3 * (2^5 - 1) / (2 - 1) = 3 * (32 - 1) = 3 * 31 = 93。
高中数学必修5《等比数列的性质》PPT (1)
等差数列定义：如果一个数列从第 2 项 起，每一项与它的前一项的差等于同一个常 数，那么这个数列就叫做等差数列.
等比数列定义：如果一个数列从第 2 项 起，每一项与它的前一项的比等于同一个常 数，那么这个数列就叫做等比数列.
探究新知
等差数列
当n 2时，
递推
关系
an an1 d
通项 公式
S3n
S2n成等比数列，公比为qn .（Sn，S2n
S
，
n
S3n S2n均不为0）
性质2 若m n r s，则am an ar as. 特别的,m n 2k,则am an ak2.
为什么推论2不能由等差数 列的推论2类比得出？
例1（2009.浙江文科16）设等差数列
an的前n项和为Sn，则S4，S8 S4，S12 S8，
课堂小结
内容 等比数列的性质. 数学思想 转化与化归. 课后作业 作业本2.4等比数列（二）.
巩固应用
思考 若数列an是等差数列，则
当bn
a1
a2
n
an 时，数列bn也是
等差数列；类比上述性质，若数列cn
是正项等比数列，当dn _________ 时，
数列d n 也是等比数列.
（1）若 a3 4 ， a9 1，则 a6 _____； 若 a3 4 ， a11 1，则 a7 _____
（2）若 a2a4 2a3a5 a4a6 36 ，则 a3 a5 _____； （3）若 an 0 ，a1a2a3 5 ，a7a8a9 10 ，则 a4a5a6 _____.
性质 3：设 an ，bn 是两个等比数列，
则
an
bn
，
an bn
是等比数列.
等比数列的性质与计算
等比数列的性质与计算等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的比值保持不变。
比如，1，2，4，8，16，32就是一个等比数列，其中的比值是2。
等比数列有一些独特的性质和计算方法。
下面我来详细介绍一下。
性质一：公比等比数列中，相邻项之间的比值称为公比，通常用字母q表示。
例如，在数列1，2，4，8，16，32中，公比q=2。
公比可以用来确定等比数列中的任意一项。
性质二：通项公式等比数列的通项公式可以表示为an = a1q^(n-1)，其中an是数列中第n项的值，a1是数列中第一项的值，q是公比。
通过这个公式，我们可以直接计算等比数列中的任意一项的值。
性质三：前n项和公式等比数列前n项和的公式可以表示为Sn = a1(1-q^n)/(1-q)，其中Sn表示前n项的和。
这个公式可以用来求解等比数列的前n项和。
性质四：性质转化对于等比数列的任意一组相邻项，将它们进行对数运算后，得到的数列是一个等差数列。
这个性质可以帮助我们在处理等比数列时，将问题转化为处理等差数列，从而简化计算步骤。
现在我们来通过一个例子来说明等比数列的计算方法。
例题：已知等比数列的首项是3，公比是2，求该等比数列的第8项的值及前8项的和。
解：首先，我们可以使用通项公式an = a1q^(n-1)来计算第8项的值：a8 = a1q^(8-1) = 3*2^7 = 3*128 = 384接下来，我们使用前n项和公式Sn = a1(1-q^n)/(1-q)来计算前8项的和：S8 = a1(1-q^8)/(1-q) = 3(1-2^8)/(1-2) = 3(1-256)/(-1) = 3*(-255) = -765所以，该等比数列的第8项的值是384，前8项的和为-765。
通过以上的例子，我们可以看到等比数列的性质与计算方法不仅能帮助我们求解特定项的值，还可以帮助我们计算前n项的和。
总结：等比数列具有公比、通项公式、前n项和公式以及性质转化等独特的性质和计算方法。
等比数列的性质与计算
等比数列的性质与计算等比数列是数学中常见的一种数列形式，它具有一些独特的性质和计算方法。
本文将深入探讨等比数列的性质，并介绍几种常见的计算方法。
一、等比数列的性质等比数列是由一个公比不为零的数不断地乘上前一项而得到的数列。
在等比数列中，有以下几个重要的性质。
1. 公比等比数列中相邻两项的比值称为公比，用字母q表示。
对于等比数列{a1，a2，a3，...}，公比q等于任意一项除以它的前一项，即 q =aᵢ/a₍ᵢ₋₁₎。
公比决定了数列的增长速度和方向。
2. 通项公式等比数列的通项公式可以用来计算数列中任意一项的值。
对于等比数列{a1，a2，a3，...}，通项公式为 an = a₁ * q^(n-1)，其中an表示第n项，a₁表示首项，q表示公比，n表示项数。
3. 前n项和公式等比数列的前n项和公式可以用来计算数列前n项的和。
对于等比数列{a1，a2，a3，...}，前n项和Sn表示前n项的和，Sn的计算公式为 Sn = a₁ * (q^n - 1) / (q - 1)。
二、等比数列的计算方法1. 求任意项的值已知等比数列的首项a₁和公比q，可以利用通项公式an = a₁ *q^(n-1)来计算数列中任意一项的值。
例如，已知首项a₁=2，公比q=3，求第5项的值可以通过代入公式得到：a₅ = 2 * 3^(5-1) = 162。
2. 求前n项的和已知等比数列的首项a₁和公比q，可以利用前n项和公式Sn = a₁* (q^n - 1) / (q - 1)来计算数列前n项的和。
例如，已知首项a₁=2，公比q=3，求前5项的和可以通过代入公式得到：S₅ = 2 * (3^5 - 1) / (3 - 1) = 242。
3. 求公比已知等比数列的任意两项可以求得公比。
例如，已知等比数列的第3项a₃=24，第4项a₄=72，求公比可以通过以下计算得到：q =a₄/a₃ = 72/24 = 3。
三、例题分析为了更好地理解等比数列的性质与计算，以下以几个例题进行分析。
等比数列性质归纳总结
等比数列性质归纳总结
等比数列是一类特殊的数列，其中任意项和它的前一项满足等比关系。
等比数列有诸多性质，下面将对这几个性质进行归纳总结。
一、公比性质
等比数列中任意项和它的前一项之间的比值称为公比，一般我们用 q 表示，如
a1,a2,a3,a4…an 为等比数列，那么有a2/a1=a3/a2=a4/a3……=q，即
a2=q·a1,a3=q·a2…an=q^(n-1)·a1 。
二、通项公式
如果等比数列的前 n 项的和构成等比数列的第 n+1 项，即 Sn+1=Sn，那么称此等比数列为等差数列的通项等比数列，称该通项等比数列的公比为 q，则有：an=a1·q^(n-1) 。
三、和性质
等比数列的和Sn=a1+a2+a3+…+an，当r≠1 时，有Sn=a1·(1-q^n)/(1-q) 。
五、比率性质
等比数列的任意相邻两项之比都相等，称为比率性质，即a2/a1=a3/a2=a4/a3…=q，其中 q 为等比数列的公比。
六、极限性质
当 q 大于 1 时，等比数列的和收敛于无穷，也就是说 an 趋向于无穷，即 Sn 趋向于无穷大，这就是等比数列的极限性质。
总结起来，等比数列的性质包括：公比性质、通项公式、和性质、首项与比率性质、比率性质以及极限性质。
它们都在运用等比关系思维方式，发现等比数列的特殊性质，为理解和解决含有等比性的问题提供了基础。
高中数学 必修5 14.等比数列的性质
14.等比数列的性质教学目标 班级：_____ 姓名：____________1.掌握等比数列的性质.2.能熟练应用等比数列的性质解决相关问题.教学过程一、等比数列的性质.1.等比数列的通项公式：____________________________2.等比数列的通项公式的推广形式：_____________________________3.若正整数m,n,p,q 满足q p n m +=+，则_____________________注意：（1）该性质可拓展至多项；（2）只有在等式两边“下标之和相等”且“项数相同”时才成立；（3）思想方法：在等比数列中，多项相乘通常转化为几个相同的项相乘，可求出一项.4.等比数列的函数性：等比数列{}n a 的通项公式是n a 关于n 的指数函数，常用解决指数函数模型问题.5.判断等比数列的方法：（1）定义法：)0(1≠=+q q a a nn （2）通项公式：11-⋅=n n q a a ),0(1*∈≠N n q a（3）等比中项的性质：221++⋅=n n n a a a ),0(*∈≠N n a n（4）若}{n a 、}{n b 都是等比数列，则“}1{n a ”、“}{n n b a ⋅”、“}{nn a b ”、 “|}{|n a ”（其中k 、p 、q 均为常数）也都是等比数列.（5）在等比数列}{n a 中，下标成等差数列的项,......,,2m k m k k a a a ++也成等比数列.二、等比数列性质的应用.例1：在正项等比数列}{n a 中，n n a a <+1，682=⋅a a ，564=+a a ，求57a a 的值.练1：在等比数列{}n a 中，48=a ，则_______142=⋅a a .例2：已知数列{}n a 是等比数列，（1）若0>n a ，且362645342=++a a a a a a ，求53a a +的值.（2）若7321=++a a a ，8321=a a a ，求数列{}n a 的通项公式.方法归纳：解决等比数列问题的两种思路：（1）方程思想：将各项化成1a 和q 的形式，列方程求解1a 和q ，再解其它项；（2）从数列的性质出发，找各项的关系，这样计算方便、简单.练2：在正项等比数列{}n a 中，1a ，99a 是方程016102=+-x x 的两个根，则605040a a a 的值为____________.作业：已知{}n a 为等比数列，274=+a a ，865-=a a ，则__________101=+a a。
高中数学必修5等比数列的性质
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探究 2 在探究 1 中，若将 an＋1＝2an＋1 两边都加 1，再观察等式的特点， 你能构造出一个等比数列吗？
【提示】 在 an＋1＝2an＋1 两边都加 1 得 an＋1＋1＝2(an＋1)，显然数列{an＋1}是以 a1＋1＝2 为首项，以 q＝2 为公比 的等比数列．
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a8＝
.
【解析】 ∵a6a10＝a28，a3a5＝a24，∴a24＋a28＝41， 又 a4a8＝4， ∴(a4＋a8)2＝a24＋a28＋2a4a8＝41＋8＝49， ∵数列各项都是正数，∴a4＋a8＝7. 【答案】 7
又 cn＝an－1，∴q＝12.
∴{cn}是以－12为首项，公比为12的等比数列．
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(2)由(1)可知 cn＝－12·12n－1＝－12n， ∴an＝cn＋1＝1－12n. ∴当 n≥2 时，bn＝an－an－1＝1－12n－1－12n－1＝12n－1－12n＝12n. 又 b1＝a1＝12，代入上式也符合，∴bn＝12n.
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已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－ 1(n≥2)，且 an＋Sn＝n.
(1)设 cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{bn}的通项公式． 【精彩点拨】 (1)先由 an＋Sn＝n，利用 Sn 与 an 的关系得{an}的递推关系式， 然后构造出数列{an－1}，利用定义证明即可． (2)由(1)求出 an 代入 bn＝an－an－1(n≥2)即可．
又 a1＝1，故 b1＝a1－1 2＝－1， 所以bn＋23是首项为－13，公比为 4 的等比数列，所以 bn＋23＝－13×4n－1， bn＝－4n3－1－23.
等比数列的性质与求和
等比数列的性质与求和等比数列是指一个数列中任意两项之间的比值相等的数列，这个比值称为公比，用字母q表示。
等比数列的性质和求和是数学中很重要的概念，有着广泛的应用。
本文将详细介绍等比数列的性质以及如何求等比数列的和。
一、等比数列的性质1. 等比数列的通项公式对于等比数列a1, a2, a3, ..., an，若公比为q，则其通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，an为第n项。
等比数列的第n项可以通过公比乘以前一项得到。
2. 等比数列的性质（1）任意两项的比值相等对于等比数列中的任意两项an和am，其中n和m为正整数且n > m，有an / am = a(n-m) / a0 = q^(n-m)，这个比值对于任意两项都是相等的。
（2）等比数列的前n项和等比数列的前n项和Sn可以通过以下公式计算：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中a1为首项，q为公比。
（3）等比数列的无穷项和当公比0 < q < 1时，等比数列的无穷项和S∞存在，并且可以通过以下公式计算：S∞ = a1 / (1 - q)。
二、求等比数列的和对于给定的等比数列，我们可以通过以下步骤求得其前n项和或无穷项和。
1. 求前n项和首先，我们需要知道等比数列的首项a1和公比q。
根据上述公式Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，可以将这些值代入公式，计算出前n项和Sn的值。
例如，假设我们有等比数列2, 4, 8, 16, ...，其中首项a1 = 2，公比q = 2。
我们要求前4项的和S4，代入公式得到S4 = 2 * (1 - 2^4) / (1 - 2)= 30。
2. 求无穷项和当需要求得等比数列的无穷项和时，我们需要先保证公比0 < q < 1，使得无穷项和存在。
然后，根据公式S∞ = a1 / (1 - q)计算即可。
例如，还是以等比数列2, 4, 8, 16, ...为例。
必修5 2.4.2等比数列的性质及简单应用
64
练习:
⒈在等比数列{an}中，a2=-2,a5=54，a8= -1458 . ⒉在等比数列{an}中，且an＞0，
6 _ a2 a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5= . ⒊在等比数列{an}中， a15 =10, a45=90,则 270 或-270 a60 =__________.
n
n 2
2an1 2(an1 2an )
∴ bn1 2bn
即 bn 是公比为2的等比数列 2 ∵
an cn n 2
bn 3 2n1
∴
n1
c n 1 cn
a n 1 a n a n 1 2a n bn 2 n 1 2 n 2 n 1 2 n 1
⒋在等比数列 {an} 中， a1+a2 =30, a3+a4 =120, 480 则a5+a6=_____ .
解题技巧的类比应用： 三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积 等于64，求这三个数。
分析：若三个数成等差数列，则设这三个数 为a-d,a,a+d.由类比思想的应用可得， 若三个数成等比数列，则设这三个数 a 再由方程组可得：q=2 为：， a,a • q. q
由①得：
q
2
代入②得： a 2 , q 5 或
5 a 9
4பைடு நூலகம் 2 a
38 ,q 5
5 38 1444 , , 故原来的三个数是：2,10,50. 或 9 45 9
Sn 是它的前 n 项和，并且 练习:已知数列 an 中，
a1 1, Sn1 4an 2.
1 2
设 bn an1 2an ,求证数列 bn 是等比数列； 设 cn
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第2课时等比数列的性质
课时过关·能力提升
1已知等比数列{a n}的公比q>0,且a3a9=2,a2=1,则a1等于().
A. B. C. D.2
解析:∵a3a9==2,∴q2==2.
又q>0,∴q=,
∴a1=.
答案:B
2等比数列{a n}的公比q=-,a1=,则数列{a n}是().
A.递增数列
B.递减数列
C.常数数列
D.摆动数列
解析:由于公比q=-<0,
所以数列{a n}是摆动数列.
答案:D
3在等比数列{a n}中,a3a4a5=3,a6a7a8=24,则a9a10a11的值等于().
A.48
B.72
C.144
D.192
解析:∵=q9=8,
∴a9a10a11=a6a7a8·q9=24×8=192.
答案:D
★4若数列{a n}是等比数列,则下列数列一定是等比数列的是().
A.{lg a n}
B.{1+a n}
C. D.{}
解析:当a n=-1时,lg a n与无意义,1+a n=0,则选项A,B,D都不符合题意;选项C中,设
a n=a1q n-1(q是公比),则
b n=,
则有=常数,
即数列是等比数列.
答案:C
5已知等差数列a,b,c三项之和为12,且a,b,c+2成等比数列,则a等于().
A.2或8
B.2
C.8
D.-2或-8
解析:由已知得
得故a=2或a=8.
答案:A
6等比数列{a n}的各项都为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10等于().
A.12
B.10
C.8
D.2+log35
解析:因为a5a6+a4a7=2a5a6=18,所以a5a6=9.
所以log3a1+log3a2+…+log3a10
=log3(a1a2…a10)=log3[(a1a10)(a2a9)…(a5a6)]
=log3[(a5a6)5]=log395=10.
答案:B
7在等比数列{a n}中,a2=2,a6=16,则a10=.
解析:∵a2,a6,a10成等比数列,
∴=a2a10.∴a10==128.
答案:128
8在等比数列{a n}中,a888=3,a891=81,则公比q=.
解析:∵a891=a888q891-888=a888q3,
∴q3==27.∴q=3.
答案:3
9在两数1,16之间插入3个数,使它们成等比数列,则中间的数等于.
解析:设插入的三数分别为a,b,c,则b2=16,∴b=±4.
设其公比为q,∵b=1·q2>0,∴b=4.
答案:4
10已知数列{a n}是等比数列,a3+a7=20,a1a9=64,求a11的值.
分析:要求出等比数列中的某一项,可先求出某项和q,再利用a n=a m q n-m求解.
解:∵数列{a n}为等比数列,∴a1a9=a3a7=64.
又a3+a7=20,
∴a3,a7是方程t2-20t+64=0的两个根.
解方程,得t1=4,t2=16,
∴a3=4,a7=16或a3=16,a7=4.
当a3=4时,a3+a7=a3+a3q4=20,
∴1+q4=5.∴q4=4.
∴a11=a3q8=4×42=64.
当a3=16时,a3+a7=a3(1+q4)=20,
∴1+q4=.∴q4=.
∴a11=a3q8=16×=1.
综上可知,a11的值为64或1.
11某厂生产微机,原计划第一季度每月增加的台数相同,在生产过程中,实际上二月份比原计划多生产10台,三月份比原计划多生产25台,这样三个月的产量正好成等比数列,而第三个月的产量比原计划第一季度总产量的一半少10台,问该厂第一季度实际生产微机多少台?
解:设该厂第一季度原计划三个月生产的微机台数分别为x-d,x,x+d(d>0),
则实际上三个月生产的微机台数分别为x-d,x+10,x+d+25.
由题意,得
解得
故(x-d)+(x+10)+(x+d+25)=3x+35=3×90+35=305(台),
所以该厂第一季度实际生产微机305台.
★12若数列{a n}是公差d≠0的等差数列,{b n}是公比q≠1的等比数列,已知a1=b1=1,且
a2=b2,a6=b3.
(1)求d和q;
(2)是否存在常数a,b,使对一切n∈N*都有a n=log a b n+b成立?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)由题意得
解得
(2)假设存在常数a,b.
由(1)得a n=3n-2,b n=4n-1,代入a n=log a b n+b得3n-2=log a4n-1+b,即(3-log a4)n+(log a4-b-2)=0对n∈N*都成立,
∴
∴存在常数a=,b=1使等式成立.。