根号2为无理数的证明

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证明根号2是无理数的8种方法

证明根号2是无理数的8种方法
嘿，你知道吗，要证明根号 2 是无理数居然有 8 种方法呢！
第一种方法，反证法呀！假如根号 2 是有理数，那岂不是就和我们熟知的那些整数、分数一样了？哎呀，这怎么可能呢，感觉就不对劲嘛！就好比说狗怎么能和猫是同一种动物呢。

第二种，用奇偶性来分析。

想想看，如果根号 2 能表示成两个整数的比，那这两个数的奇偶性得有多奇怪呀，这不是很荒谬吗？就像说白天突然变成黑夜一样不可思议。

第三种，可以从无限不循环小数的角度切入呀。

有理数都是能循环的，可根号 2 它就是那么特别，就是不循环，咋就这么倔强呢，哈哈！好比一个特立独行的人不愿意随大流。

第四种，利用一些数学定理。

哎呀，那些定理就像是我们的秘密武器，来揭示根号 2 的无理本质，这多厉害呀！就好像侦探用各种线索破案一样。

第五种，代数的方法也能上呀。

通过一些代数运算，能发现根号 2 就是无法被有理数的规则所束缚，这不是很牛吗？就像一只鸟怎么也关不进笼子里。

第六种，几何的角度也能试试看呢。

把根号 2 放到几何图形里，一下子就看出它的特别之处了，这可真有趣！跟在一幅画里突然发现一个隐藏的宝贝一样。

第七种，分析它的近似值。

怎么找都找不到一个精确的有理数来表示根号 2 呀，这不就说明了问题吗？就好像怎么都找不到完全一样的两片树叶。

第八种，用极限的思想呀。

哎呀呀，发现根号 2 就是不会被有理数的极限所框住，厉害吧！就像一个超爱自由的人怎么也不愿意被束缚。

我觉得呀，这么多种方法都表明了根号 2 就是无理数，这是毫无疑问的呀！。

为什么说√2不是有理数

• 因为(n/m)^2=2,所以n/m不可能是整数，于是把它写成小数形式，而有限小数的平方不可能是整数。如果n/m不是有限小数的话，可以把它转换成另外的进制使得n/m是有限小数，因而上面的结论仍然成立。
为什么说√2不是有理数
—— √2为无理数的古关月
• 公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯有一种观点，即“万物皆数”，一切量都可以用真实或整数的比（分数）表示，后来，当这一学派的希帕索斯发现边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示，即√2 不是有理数时，毕达哥拉斯学派感到惶恐不安。由此还引发了一次数学危机„„
• 无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
假设根号2为有理数,那么存在两个互质的正整数p, q, 使得: √2=p/q 于是： p= （√2）q 两边平方得： p^2=2q^2 由2q^2是偶数，可得p^2是偶数。而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数。因此可设p=2s,代入上式，得： 4s^2=2q^2, 即，q^2=2s^2. 所以q也是偶数。这样，p, q都是偶数，不互质，这与假设p, q互质矛盾。这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数。
最后的结论用我们的话说就是，不存在一个数x使得BC和BD的长度都是x的整倍数。于是， BD/BC不能表示为两个整数之比p/q（否则BD/p=BC/q，这就成为了那个x）。
• 假设(p/q)^2=2，那么p^2=2q^2。我们将要证明，一个数的平方等于另一个数的平方的两倍是根本不可能的。如果对一个平方数分解质因数，它必然有偶数个因子。于是，p^2有偶数个质因子，q^2有偶数个质因子， 2q^2有奇数个质因子。等号左边的数有偶数个质因子，等号右边的数有奇数个质因子，大家都知道这是不可能的，因为同一个数只有一种分解质因数的方法。

为什么说√2不是有理数

• 无理数，即非有理数之实数，无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，后的数字有无限多个，并且不会循环。不会循环。
假设根号2为有理数,那么存在两个互质的正整数p, q, 使得: √2=p/q 于是： p= （√2）q 两边平方得： p^2=2q^2 由2q^2是偶数，可得p^2是偶数。而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数。因此可设p=2s,代入上式，得： 4s^2=2q^2, 即，q^2=2s^2. 所以q也是偶数。这样，p, q都是偶数，不互质，这与假设p, q互质矛盾。这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数。
• 因为(n/m)^2=2,所以n/m不因为(n/m)^2=2,所以n/m不 (n/m)^2=2,所以n/m 可能是整数，可能是整数，于是把它写成小数形式，成小数形式，而有限小数的平方不可能是整数。的平方不可能是整数。如 n/m不是有限小数的话不是有限小数的话，果n/m不是有限小数的话，可以把它转换成另外的进制使得n/m是有限小数， n/m是有限小数制使得n/m是有限小数，因而上面的结论仍然成立。而上面的结论仍然成立。
同样是证明不存在整数p, q，同样是证明不存在整数p, q，使得p^2=2q^2 p^2=2q^2，使得p^2=2q^2，这个证明只需一句话。假如p 一句话。假如p、q是最小的正整数使得p^2=2q^2 看图， p^2=2q^2，数使得p^2=2q^2，看图，两个边长为q 长为q的小正方形放在一个边长的大正方形里，为p的大正方形里，那么图中深灰色正方形的面积就等于两个白色正方形面积之和，色正方形面积之和，于是我们就找到了具有同样性质的更小的整仔细体会一下这个“ 数p和q。仔细体会一下这个“面积守恒” 如果A+B=C 那么A A+B=C，积守恒”，如果A+B=C，那么A和重复计算了的必然是C B重复计算了的必然是C里还没有算过的。算过的。

逻辑学剩余法简单举例

逻辑学剩余法简单举例1. 概述逻辑学中的剩余法（Reductio ad Absurdum）是一种推理方法，通过假设逆否命题为真然后推导出矛盾结论，从而证明原命题为真或假。

在本文中，我们将通过几个简单的例子来介绍剩余法的基本原理和应用。

2. 剩余法的基本原理剩余法的基本原理是通过假设一个逆否命题为真，然后利用推理推导出矛盾的结论，从而推翻了逆否命题的真实性。

它的主要思想是通过反证法来证明某个命题的正确性或错误性。

3. 剩余法的举例说明3.1 例子1：证明根号2是无理数我们假设根号2是有理数，即可以表示为两个整数的比值。

假设根号2可以表示为a/b，其中a和b互质。

然后我们将根号2的平方等于2，即(根号2)^2=2。

根据我们的假设，(a/b)2=2，两边同时乘以b2，得到a2=2b2。

这意味着a^2是2的倍数，即a是2的倍数。

那么我们可以将a表示为2k，其中k是一个整数。

代入得到(2k)2=2b2，即4k2=2b2。

这可以简化为2k2=b2，这说明b^2是2的倍数，即b也是2的倍数。

由于a和b都是2的倍数，它们有公共因子2，这与我们最初的假设矛盾。

所以我们可以推断根号2是无理数。

3.2 例子2：证明直角三角形的斜边长大于等于任意一条直角边的长度我们假设直角三角形的斜边长小于直角边的长度。

假设斜边长为c，直角边分别为a和b。

根据我们的假设，c<a和c<b。

由直角三角形的勾股定理可得c2=a2+b^2。

由于c<a和c<b，我们可以得到c2<a2和c2<b2。

将这两个不等式相加得到c2<a2+b^2，这与勾股定理的结果矛盾。

所以我们可以推断直角三角形的斜边长大于等于任意一条直角边的长度。

4. 剩余法的应用剩余法在逻辑学中有广泛的应用，它可以用来证明各种命题的真实性或错误性。

通过假设逆否命题为真，然后推导出矛盾的结论，我们可以得出结论。

剩余法的应用不仅局限于逻辑学领域，它在数学、哲学、科学等其他领域也有一定的应用。

数学的证明技巧

数学的证明技巧数学作为一门严谨而又精确的学科，证明是其核心内容之一。

无论是在高中数学教学中还是在科学研究中，证明技巧都扮演着重要的角色。

以下将介绍一些常用的数学证明技巧，帮助读者更好地理解和运用数学。

一、直接证明法直接证明法是数学证明中最常见和最简单的一种方法。

它通过逻辑推理和数学运算，直接从已知条件推导出所要证明的结论。

例如，要证明一个数是偶数，我们可以直接使用定义，通过将该数表示为2的倍数的形式来证明。

首先假设该数为2的倍数，然后利用数学运算和逻辑推理，展示该数可以被2整除，从而得出结论。

二、归纳法归纳法是一种常用于证明数学命题的方法，特别适用于证明与自然数相关的性质和公式。

它的基本思想是通过证明一个初始条件成立，并且如果某个命题对某个特定的数成立，那么它对该数的下一个相邻数也成立，从而推导出该命题对所有自然数都成立。

例如，要证明所有正整数之和的公式：1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2，我们可以使用归纳法。

首先证明当n=1时，等式成立；然后假设当n=k 时等式成立，即1 + 2 + 3 + ... + k = k(k+1)/2；接着证明当n=k+1时等式也成立，即1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = (k+1)(k+2)/2。

通过这种方式，我们可以得出结论：对于所有正整数n，等式都成立。

三、反证法反证法是一种常用的数学证明方法，通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出一种矛盾，从而得出原命题成立的结论。

例如，要证明根号2是一个无理数，我们可以使用反证法。

首先假设根号2是一个有理数，即可以写成两个整数的比值。

然后，通过对这两个整数的性质进行分析推论，可以得出根号2既不是有理数也不是无理数的矛盾。

因此，我们可以得出结论：根号2是一个无理数。

四、假设法假设法是一种常用于证明含有“若...则...”结构的命题的方法。

它通过假设若命题的条件成立，然后利用逻辑推理和数学运算推导出结论的方法。

判断无理数的四个方法

判断无理数的四个方法无理数是指不能表示为两个整数的比值的数，它的小数部分无限不循环。

在数学中，我们经常需要判断一个数是否为无理数。

下面将介绍四种常见的方法来判断一个数是否为无理数。

方法一：反证法反证法是一种常用的数学证明方法，用于证明某个命题的否定。

对于判断一个数是否为无理数，我们可以采用反证法。

假设一个数是有理数，即可以表示为两个整数的比值。

然后我们推导出一个矛盾的结论，即这个数同时也可以表示为两个互质的整数的比值。

因为有理数可以化简为最简形式，所以这个假设与无理数的定义相矛盾，从而证明了这个数是无理数。

方法二：连分数展开法连分数是一种将一个实数表示为一个无限连分数的方法。

对于一个无理数来说，它的连分数展开是无限不循环的。

因此，我们可以通过计算连分数展开的有限项来判断一个数是否为无理数。

如果连分数的展开具有循环结构，那么这个数就是有理数；如果连分数的展开没有循环结构，那么这个数就是无理数。

方法三：代数证明法有些无理数可以通过代数方程的解来表示，这种无理数称为代数无理数。

对于一些特定的代数无理数，我们可以通过代数运算和方程的性质来判断它们是否为无理数。

例如，根号2是一个代数无理数，我们可以通过假设根号2是有理数，然后推导出一个矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。

方法四：几何证明法几何证明法是通过几何图形的性质来判断一个数是否为无理数。

例如，我们可以通过构造正方形的对角线长度为1的等腰直角三角形来证明根号2是无理数。

假设根号2是有理数，那么我们可以构造出一个边长为1的正方形，然后根据勾股定理可以得到对角线的长度为根号2。

但是根号2是无理数，所以我们得出了一个矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。

通过以上四种方法，我们可以判断一个数是否为无理数。

无理数的研究在数学中有着重要的地位，它不仅与代数、几何等数学分支密切相关，还在物理、工程等应用领域有着广泛的应用。

因此，对于无理数的判断方法的研究和应用具有重要的意义。

数字的证明与推导方法

数字的证明与推导方法数字在今天的社会中扮演着至关重要的角色。

它们无处不在，我们使用数字来计算、衡量和描述世界。

然而，数字并非是尽管看似简单的东西，对数字的证明和推导需要一些技巧和方法。

本文将介绍一些常见的数字证明和推导方法，以帮助读者更好地理解数字的本质和应用。

一、归纳法归纳法是一种常见且有效的数字证明方法。

它通过证明一个基本情况成立，并证明如果一个特定情况成立，那么下一个情况也会成立。

通过递推这个过程，我们可以证明所有情况都成立。

举例来说，我们想要证明等差数列的求和公式：Sn = (n/2)(a + l)，其中Sn是前n个数的和，a是首项，l是末项。

首先，我们证明当n=1时公式成立，即S1 = a。

然后，我们假设当n=k时公式成立，即Sk = (k/2)(a + l)。

我们接着证明当n=k+1时公式也成立，即Sk+1 =(k+1)/2)(a + l)。

通过归纳法，我们可以证明该等差数列求和公式对于任意正整数n都成立。

二、反证法反证法是另一种常用的数字证明方法，用于证明某个命题的否定是不成立的。

它假设命题的否定成立，并通过推导得出矛盾的结论，从而推翻了假设，证明了命题本身的成立。

举例来说，我们要证明"根号2是无理数"这个命题。

我们假设根号2是有理数（可以表示为两个整数的比），即根号2 = p/q，其中p和q互质。

我们对此进行推导，并得出一个矛盾的结论：2 = p^2 / q^2。

由于等式右侧的分子和分母都是整数，那么2也应该能够表示为两个整数的比，与根号2是无理数的定义相矛盾。

因此，我们可以得出结论：根号2是无理数。

三、数学归纳法数学归纳法是一种常用于证明关于自然数的性质的方法。

它分为两个步骤：首先证明基准情况，然后证明如果某个特定情况成立，那么下一个情况也会成立。

举例来说，我们要证明1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2 这个等式对于所有正整数n都成立。

证明根号2是无理数的八种方法

怎样证明是一个无理数 22 是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲， 2 的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证.换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根 “晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明 2 是一个无理数，从而体会这一点.a 证法 1：尾数证明法.假设 2 是一个有理数，即 2 可以表示为一个分数的形式 2 = . b其中(a ,b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .由于完全平方数的尾数只能是 0、1、4、5、a 2b 2 b 2 6、9 中的一个，因此 2 的尾数只能是 0、2、8 中的一个.因为 2 ，所以与2 的尾 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 数都是 0，因此的尾数只能是 0 或 5，因此 a 与 b 有公因数 5，与(a ,b)=1 矛盾！因此 2 是 b 2 无理数.这个证法可以证明被开方数的尾数是 2、3、7、8 的平方根都是无理数.a 证法 2：奇偶分析法.假设 2 = .其中(a ,b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .可知 aa 2b 2 b 是偶数，设 a=2c ,则 4 2 ， 2 ，可知 b 也是偶数，因此 a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1 c 2 b 2 b 2 c 2 矛盾！因此 2 是无理数.希帕索斯就是用这种方法证明了 2 不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底.证法 3：仿上，得到 2 ，易见 b>1，否则 b=1，则 2 =a 是一个整数,这是不行的. a 2 b 2 a a 改写成 2 .因为 b>1，因此 b 有素因子 p ，因此 p 整除或 a ，总之，p 整除 a ， a 2 2b 2 b a 2 2因此 p 同时整除 a 与 b ，这与(a ,b )=1 矛盾.证法 4：仿上，得到 2 ，等式变形为b a b (a b )(a b) ，因为 b>1，因此a 2b 2 2 2 2 ，存在素因子 p p 整除 a+b 或 a-b 之一，则同时整除 a+b 与 a-b ，因此 p 整除 a ，因此 p 是 a 、 b 的公因数，与(a ,b )=1 矛盾.证法 5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此 a p p p ，b q q q ，其中 , , 与 , , p p q q r r r m s s s 1 2 1 2 n 1 2 m 1 2 n1 1 m n都是素数， r , ,r 与 s , s 都是正整数，因此 p p p =2q q q ，素数 2 n2 2r 2 2r m 2 2s 22 r s s 1 1 n 1 m 1 n 1 2 1 2 m 在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此 2 是无理数.a a 证法 6：假设 2 = ，其中右边是最简分数，即在所有等于的分数中，a 是最小的正整b b数分子，在 2 的两边减去 ab 有 2 ， ( ) (2 ) ，即 a 2 b 2 a 2 ab b 2 ab a a b b ba a 2b a 2 b a b b a a ，右边的分子 2 - < ，这与是最小的分子矛盾，因此 2 是无理数.a 1 证法 7：连分数法.因为( 2 1)( 2 1) =1，因此 2 1， 1 2 1 1 1 2 1 ，将分母中的 2 用1 代替，有 2 1 ，不断重复这个 1 1 2 1 2 2 1 2，这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都是 1 1 过程，得 2 =1 1 2 1 2 2分母为正整数的有限连分数，因此 2 是无理数.证法 8：构图法。

无理数的几何证明

无理数的几何证明一、无理数是啥呀？嘿呀，咱先得知道无理数是个啥玩意儿。

无理数呢，就是那些不能表示成两个整数之比的数。

简单说吧，像咱们平常熟悉的分数，那都是有理数，可无理数就不一样啦。

比如说圆周率π，还有根号2这些，它们的小数部分那是无限不循环的，可神奇啦。

二、根号2的几何证明。

那怎么证明根号2是无理数呢？咱假设根号2是有理数，那就可以写成两个整数之比，比如说根号2 = p/q（这里p和q是互质的整数哦，互质就是除了1以外没有其他公因数啦）。

然后呢，两边平方就得到2 = p²/q²，也就是p² = 2q²。

这就说明p²是个偶数呀，那p肯定也是偶数喽。

咱就设p = 2m（m是整数）。

把p = 2m代入p² = 2q²，就得到（2m）² = 2q²，化简一下就是4m² = 2q ²，再化简就是q² = 2m²。

这又说明q²是偶数，那q也是偶数。

这就矛盾啦，咱开始不是说p和q互质嘛，现在它们都是偶数，肯定有公因数2啦。

所以呀，咱们的假设是错的，根号2不能写成两个整数之比，它就是无理数。

三、其他无理数的几何关联。

其实呀，像圆周率π也和几何有很大的关系呢。

咱们都知道圆的周长C = 2πr （r是半径），圆的面积S = πr²。

从几何的角度去想，要精确地测量圆的周长和面积，就离不开这个无理数π。

而且呀，在很多几何图形的计算和构造里，无理数都起着非常重要的作用。

比如说一些特殊的三角形，它们的边长比例可能就涉及到无理数。

四、无理数在几何里的独特魅力。

无理数在几何里就像一个个小调皮鬼。

它们虽然不像有理数那么整整齐齐的，但是却让几何世界变得更加丰富多彩。

你看，要是没有无理数，咱们很多几何图形的精确描述就做不到啦。

就像那个正方形的对角线，如果没有根号2这个无理数，我们就不能准确地说出它的长度和边长的关系。

根号2无理数证明

根号2无理数证明
为了证明根号2是一个无理数，我们可以使用反证法。

第一步，我们假设根号2是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的比，即存在整数p和q（q ≠ 0）使得根号2 = p/q。

第二步，基于上述假设，我们可以得到2 = p^2/q^2，进一步得到p^2 = 2q^2。

第三步，根据整数的性质，我们知道p^2是偶数，那么p也必须是偶数。

因此，我们可以设p = 2r，其中r是整数。

第四步，将p = 2r代入p^2 = 2q^2，我们得到4r^2 = 2q^2，进一步得到q^2 = 2r^2。

第五步，同样根据整数的性质，我们知道q^2是偶数，那么q也必须是偶数。

第六步，根据第三步和第五步的结论，我们发现p和q都是偶数，这与我们的假设（p和q互质，即它们的最大公约数为1）相矛盾。

因此，我们的假设是错误的，根号2不能表示为两个整数的比，即根号2是一个无理数。

1。

判断无理数的三个方法

判断无理数的三个方法无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数，它们在数轴上没有固定的位置，也无法用分数或小数表示。

在数学中，我们经常需要判断一个数是否为无理数，下面我将介绍三种判断无理数的方法。

首先，我们可以使用平方根判定法。

对于一个正实数x，如果它的平方根不是整数，那么它就是一个无理数。

例如，根号2是一个无理数，因为它的平方根不是整数，而根号4是一个有理数，因为它的平方根是2，是一个整数。

这种方法可以简单快速地判断一个数是否为无理数，但并不适用于所有情况。

其次，我们可以使用小数判定法。

将一个数表示为小数形式，如果它是一个无限不循环小数，那么它就是一个无理数。

例如，π就是一个无理数，因为它的小数形式是一个无限不循环小数。

这种方法适用于大多数情况，但是对于一些特殊的无理数可能并不适用。

最后，我们可以使用反证法。

假设一个数是有理数，即可以表示为两个整数的比值，然后推导出一个矛盾的结论，那么这个数就是一个无理数。

例如，假设根号2是一个有理数，即可以表示为a/b，其中a和b都是整数且互质，那么我们可以得出2 = a^2 / b^2，即2b^2 = a^2。

这样一来，我们就得到了一个矛盾的结论，因为2b^2是偶数，而a^2是奇数，这与数学定理相矛盾，所以根号2是一个无理数。

这种方法是一种较为严谨的证明方法，但相对来说也更为复杂。

综上所述，判断无理数的三种方法分别是平方根判定法、小数判定法和反证法。

不同的方法适用于不同的情况，我们可以根据具体的问题选择合适的方法来判断一个数是否为无理数。

希望本文对您有所帮助。

五种方法证明根号2是无理数

五种⽅法证明根号2是⽆理数古希腊曾有“万物皆数”的思想，这种认为“⼤⾃然的⼀切皆为整数之⽐”的思想统治了古希腊数学相当长的⼀段时间，许多⼏何命题都是根据这⼀点来证明的。

当时的很多数学证明都隐性地承认了“所有数都可以表⽰为整数之⽐”，“万物皆数”的思想是古希腊数学发展的奠基。

直到有⼀天，毕达哥拉斯的学⽣Hippasus告诉他，单位正⽅形的对⾓线长度不能表⽰为两个整数之⽐。

被⼈们公认的假设被推翻了，⼤半命题得证的前提被认定是错的，古希腊时代的数学⼤厦轰然倒塌，数学陷⼊了历史上的第⼀次危机。

最后，Eudoxus的出现奇迹般地解决了这次危机。

今天我们要看的是，为什么单位正⽅形的对⾓线长度不能表⽰为两个整数之⽐。

单位正⽅形的对⾓线长度怎么算呢？从上⾯的这个图中我们可以看到，如果⼩正⽅形的⾯积是1的话，⼤正⽅形的⾯积就是2。

于是单位正⽅形的对⾓线是⾯积为2的正⽅形的边长。

换句话说，Hippasus认为不可能存在某个整数与整数之⽐，它的平⽅等于2。

中学课程中安排了⼀段反证法。

当时有个题⽬叫我们证根号2是⽆理数，当时很多⼈打死了也想不明⽩这个怎么可能证得到，这种感觉正如前⽂所说。

直到看了答案后才恍然⼤悟，数学上竟然有这等诡异的证明。

当然，我们要证明的不是“根号2是⽆理数”。

那个时候还没有根号、⽆理数之类的说法。

我们只能说，我们要证明不存在⼀个数p/q使得它的平⽅等于2。

证明过程地球⼈都知道：假设p/q已经不能再约分了，那么p^2=2*q^2，等式右边是偶数，于是p必须是偶数。

p是偶数的话，p^2就可以被4整除，约掉等式右边的⼀个2，可以看出q^2也是偶数，即q是偶数。

这样，p也是偶数，q 也是偶数，那么p和q就还可以继续约分，与我们的假设⽭盾。

根号2是⽆理数，我们证明到了。

根号3呢？根号5呢？你可能偶尔看到过，Theodorus曾证明它们也是⽆理数。

但Theodorus企图证明17的平⽅根是⽆理数时却没有继续证下去了。

(完整word版)证明根号2是无理数的八种方法

怎样证明2是一个无理数2是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证.换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数，从而体会这一点.证法1：尾数证明法.假设2是一个有理数，即2可以表示为一个分数的形式2=b a .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.由于完全平方数2b 的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此22b 的尾数只能是0、2、8中的一个.因为222b a =，所以2a 与22b 的尾数都是0，因此2b 的尾数只能是0或5，因此a 与b 有公因数5，与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数.这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数.证法2：奇偶分析法.假设2=ba .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.可知a 是偶数，设a =2c ,则2224b c =，222c b =，可知b 也是偶数，因此a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底.证法3：仿上，得到222b a =，易见b >1，否则b=1，则2=a 是一个整数,这是不行的.222b a =改写成a a b ⋅=22.因为b >1，因此b 有素因子p ，因此p 整除2a 或a ，总之，p 整除a ，因此p 同时整除a 与b ，这与(a,b )=1矛盾.证法4：仿上，得到222b a =，等式变形为))((222b a b a b a b -+=-=，因为b >1，因此存在素因子p ，p 整除a+b 或a-b 之一，则同时整除a+b 与a-b ，因此p 整除a ，因此p 是a 、b 的公因数，与(a,b )=1矛盾.证法5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此m r m r r p p p a 2121=，n sn s s q q q b 2121=，其中m p p ,,1 与n q q ,,1都是素数，m r r ,,1 与n s s ,1都是正整数，因此m r m r r p p p 2222121 =2n s n s s q q q 2222121 ，素数2在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此2是无理数.证法6：假设2=b a ，其中右边是最简分数，即在所有等于ba 的分数中，a 是最小的正整数分子，在222b a =的两边减去ab 有ab b ab a -=-222，)2()(a b b b a a -=-，即ba ab b a --==22，右边的分子2b -a <a ，这与a 是最小的分子矛盾，因此2是无理数. 证法7：连分数法.因为)12)(12(-+=1，因此21112+=-，21112++=，将分母中的2用2111++代替，有2112112+++=，不断重复这个过程，得2= ++++2121211，这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都是1分母为正整数的有限连分数，因此2是无理数.证法8：构图法。

反证法的一般步骤例子

反证法的一般步骤例子反证法是一种常用的数学证明方法，基本思想是通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出一个矛盾的结论，从而证明原命题是成立的。

下面将以一般步骤为题，列举10个反证法的例子。

一、证明1不是素数假设1是素数，根据素数的定义，素数只能被1和自身整除。

但是1只能被1整除，与素数的定义矛盾。

因此，假设不成立，1不是素数。

二、证明平方根2是无理数假设平方根2是有理数，即可以表示为两个互质整数的比值。

设√2=a/b，其中a、b为互质整数。

将等式两边平方得2=a^2/b^2，即2b^2=a^2。

左边是偶数，右边是奇数，矛盾。

因此，假设不成立，平方根2是无理数。

三、证明根号2的立方根是无理数假设根号2的立方根是有理数，即可以表示为两个互质整数的比值。

设∛2=a/b，其中a、b为互质整数。

将等式两边立方得2=a^3/b^3，即2b^3=a^3。

左边是偶数，右边是奇数，矛盾。

因此，假设不成立，根号2的立方根是无理数。

四、证明根号2和根号3是无理数假设根号2和根号3都是有理数，即可以表示为两个互质整数的比值。

设√2=a/b，√3=c/d，其中a、b、c、d为互质整数。

将等式两边平方得2=a^2/b^2，3=c^2/d^2。

再将两个等式相加得2+3=a^2/b^2+c^2/d^2，即5=a^2/b^2+c^2/d^2。

左边是奇数，右边是偶数，矛盾。

因此，假设不成立，根号2和根号3是无理数。

五、证明根号2和根号3的和是无理数假设根号2和根号3的和是有理数，即可以表示为两个互质整数的比值。

设√2+√3=a/b，其中a、b为互质整数。

将等式两边平方得2+2√6+3=a^2/b^2，即5+2√6=a^2/b^2。

移项得2√6=a^2/b^2-5，即2√6=(a^2-5b^2)/b^2。

左边是无理数，右边是有理数，矛盾。

因此，假设不成立，根号2和根号3的和是无理数。

六、证明根号2和根号3的积是无理数假设根号2和根号3的积是有理数，即可以表示为两个互质整数的比值。

证明根号2是无理数的八种方法

无理数证明证明

无理数证明证明今天咱们来聊聊无理数的证明，这可特别有趣呢！先给大家讲个小故事。

从前有个数学家，他在研究正方形的对角线和边长的关系时，发现了一个很奇怪的事情。

咱们都知道正方形吧，四条边都一样长。

假设这个正方形的边长是1。

那它的对角线有多长呢？这个数学家就开始算了起来。

他用勾股定理，就是直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

那在这个正方形里，对角线就是斜边呀。

所以对角线的长度就是1的平方加上1的平方，再开方，那就是根号2啦。

可是这个根号2特别奇怪。

这个数学家怎么也找不到一个分数能准确地表示它。

比如说，1/2呀，2/3呀，这些分数都不行。

他试了好多好多的分数，都不能完全等于根号2。

那怎么证明根号2是无理数呢？咱们可以这样想。

假如根号2是有理数，那它就可以写成一个分数，就像a/b这样，a和b都是整数，而且它们没有除了1以外的公因数，就是最简分数。

那如果根号2 = a/b，两边都平方一下，就得到2 = a²/b²，那就是a² = 2b ²。

这时候就很有趣啦。

咱们看a² = 2b²这个式子。

a²要是2的倍数，那a肯定也是2的倍数。

为啥呢？因为奇数的平方还是奇数，只有偶数的平方才是2的倍数呀。

那咱们就可以说a = 2k，k也是一个整数。

把a = 2k代入a² = 2b²里，就得到(2k)² = 2b²，也就是4k² = 2b²，化简一下就是2k² = b²。

那同样的道理，b²是2的倍数，b也得是2的倍数。

可是这样就矛盾啦。

咱们前面说a/b是最简分数，不能有除了1以外的公因数，可是现在a和b都是2的倍数，这就说明咱们最开始假设根号2是有理数是错的。

所以呀，根号2就是无理数。

再给大家举个例子，就像圆周率π。

咱们都知道圆的周长和直径的比就是π。

科学家们一直想找到一个准确的分数来表示π，可是怎么也找不到。

√2计算详细过程

√2计算详细过程√2，也被称为根号2，是一个无限不循环的无理数。

在数学中，计算√2的值是一个古老而有趣的问题。

下面将详细介绍如何计算√2的过程。

我们从一个简单的几何问题开始。

假设我们有一个正方形的边长为1。

现在我们要计算对角线的长度，也就是正方形的对角线AC的长度。

根据勾股定理，我们可以得到直角三角形ABC的斜边的平方等于两个直角边的平方和。

在这种情况下，斜边的平方等于1的平方加上1的平方，即2。

所以，根据勾股定理，我们可以得出√2的平方等于2。

现在，我们来计算√2的近似值。

在计算器或计算机中，可以直接使用√2的近似值，但我们将使用传统的方法来计算。

我们可以使用二分法逐步逼近√2的值。

首先，我们假设√2的值在1和2之间。

我们将这个范围分成两半，即1到1.5和1.5到2。

接下来，我们检查√2是否在第一个范围内。

在1到1.5的范围内，我们可以选择一个中间值，比如1.25。

我们将这个值的平方与2进行比较。

如果1.25的平方小于2，则√2的值在1.25和1.5之间。

否则，√2的值在1和1.25之间。

在这种情况下，我们发现1.25的平方大于2。

现在，我们将范围缩小到1.25和1.5之间。

我们选择一个中间值，比如1.375，再次将其平方与2进行比较。

如果1.375的平方小于2，则√2的值在1.375和1.5之间。

否则，√2的值在1.25和1.375之间。

在这种情况下，我们发现1.375的平方大于2。

通过反复使用二分法，我们可以逐步逼近√2的值。

每一次我们都将范围缩小一半，并根据中间值的平方与2进行比较。

最终，我们可以得到一个无限接近√2的值。

在实际计算中，我们可以使用更多的小数位数，以得到更精确的结果。

通过计算，我们可以得到√2的近似值为1.41421356。

这个值已经足够精确，可以满足大多数情况下的需求。

但需要注意的是，√2是一个无理数，它的小数部分是无限不循环的。

在数学中，√2是一个重要的无理数，它在几何学、代数学和分析学中都有广泛的应用。