第一章知识点(高等代数)
高等代数知识点总结
f : A B, a f (a).
如果 f (a) b B ，则 b 称为 a 在 f 下的像， a 称为 b 在 f 下的原像。 A 的所有元素
称为矩阵的行（列）初等变换。
定义（齐次线性方程组） 数域 K 上常数项都为零的线性方程组称为数域 K 上的齐次
线性方程组。 这类方程组的一般形式是
a11x1 a12 x2 a1n xn 0, a12 x1 a22 x2 a2n xn 0, ...... am1x1 am2 x2 amn xn 0.
f (x) a0 (x 1 )(x 2 )......(x n ) 证明 利用高等代数基本定理和命题 1.3，对 n 作数学归纳法。
2．高等代数基本定理的另一种表述方式
定义 设 K 是一个数域， x 是一个未知量，则等式
a0 x n a1 x n1 ...... an1 x an 0
命题 变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解； 证明 对变元个数作归纳。 说明 线性方程组的解的存在性与数域的变化无关（这不同于高次代数方程）。事实上， 在（通过矩阵的初等变换）用消元法解线性方程组时，只进行加、减、乘、除的运算。如果
所给的是数域 K 上的线性方程组，那么做初等变换后仍为 K 上的线性方程组，所求出的解 也都是数域 K 中的元素。因此，对 K 上线性方程组的全部讨论都可以限制在数域 K 中进行。
命题 n 次代数方程在复数域C内有且恰有 n 个根（可以重复）。
命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C上两个n次、m次多项式
高等代数知识点总结笔记
高等代数知识点总结笔记一、集合论基础1. 集合的定义和表示2. 集合的运算：交集、并集、补集、差集3. 集合的基本性质：幂集、空集、自然数集、整数集等4. 集合的关系：子集、相等集、包含关系5. 集合的基本运算律：结合律、交换律、分配律二、映射和函数1. 映射的定义和表示2. 映射的类型：单射、满射、双射3. 函数的定义和性质4. 函数的运算：复合函数、反函数5. 函数的极限、连续性6. 函数的导数、几何意义三、向量空间1. 向量和向量空间的定义2. 向量的线性运算：加法、数乘、点积、叉积3. 向量空间的性质：线性相关、线性无关、维数、基和坐标4. 线性变换和矩阵运算5. 特征值和特征向量四、矩阵与行列式1. 矩阵的定义和基本性质：零矩阵、单位矩阵、方阵2. 矩阵的运算：加法、数乘、矩阵乘法、转置、逆矩阵3. 行列式的定义和性质：行列式的展开法则、克拉默法则4. 线性方程组的解法：克拉默法则、矩阵消元法、逆矩阵法五、线性方程组1. 线性方程组的定义和分类2. 线性方程组的解法：高斯消元法、矩阵法、逆矩阵法3. 线性方程组的特解和通解：齐次线性方程组、非齐次线性方程组4. 线性方程组的解的性质：解的唯一性、解空间六、特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义和性质2. 矩阵的对角化和相似矩阵3. 特征值和特征向量的应用：矩阵的对角化、变换矩阵4. 矩阵的谱定理和矩阵的相似对角化5. 实对称矩阵和正定矩阵的性质七、多项式与代数方程1. 多项式的定义和性质：零次多项式、一次多项式、多项式的加减乘除2. 代数方程的解法：一元一次方程、一元二次方程、高次方程3. 代数方程的根与系数的关系：韦达定理、牛顿定理、斯图姆定理4. 代数方程的不可约性和可解性八、群、环、域1. 代数结构的定义和性质2. 群的定义和性质：群的封闭性、结合律、单位元、逆元3. 环的定义和性质：交换环、整环、域4. 域的定义和性质：有限域、无限域、极大理想以上就是高等代数的一些基本知识点总结，希望对大家有所帮助。
高等代数第一章
定理1.3.2（第二数学归纳法） 设有一个与正整数n 有关的命题. 如果 ① 当n=1时命题成立； ② 假设命题对于一切小于k的自然数来说成立，则 命题对于k也成立； 那么命题对于一切自然数n来说都成立.
作业：P17
1，2，3.
1.4 整数的一些整除性质
一、内容分布 整除与带余除法 最大公因数 互素 素数的简单性质 二、教学目的 1.理解和掌握整除及其性质。 2.掌握最大公因数性质、求法。 3.理解互素、素数的简单性质。 三、重点、难点 整除、最大公因数性质、互素有关的证明 。
三、 映射的合成 g : B C 是B 到 设 f : A B 是A到B 的一个映射，
( f ( x )) 是C中 C 的一个映射. 那么对于每一个 x A g， 的一个元素. 因此，对于每一 x A ，就有C 中唯一的 确定的元素 g ( f ( x )) 与它对应，这样就得到A到C 的一个
| r r || a ( q q ) || a | 由此或者 r | a | r | a |，或者 r | a | r | a | 。不论是哪 一种情形，都将导致矛盾。这样必须 q q 0 ，从而 r -r 0 ，也就是说 q q , r r .
一、整除与带余除法
设a，b是两个整数，如果存在一个整数d，使得 b=ad，那么就说a整除b（或者说b被a整除）。用符号 a|b表示a整除b。这时a 叫作b 的一个因数，而b叫做a的 一个倍数。如果a不整除b，那么就记作 .
② a | b , a | c a | (b c ) ① a | b, b | c a | c ③ a | b, 而 c Z a | bc ④ a | bi , 而 c i Z , i 1,2, , t a | (b1 c1 bi c i ) ⑤ 每一个整数都可以被1和 - 1整除。 ⑥ 每一个整数a都可以被它自己和它的相反数 - a整除
高等代数
说明
的标准分解式, ① 若已知两个多项式 f ( x ), g ( x ) 的标准分解式, 则可直接写出
( f ( x ), g( x ) ) .
f ( x ), g ( x ) 的标准
( f ( x ), g( x ) ) 就是那些同时在
分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积, 分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积,所带 方幂指数等于它在 f ( x ), g ( x ) 中所带的方幂指数 中较小的一个. 中较小的一个.
(
)(
x2 + 2
)
(在有理数域上) 在有理数域上)
= x 2 = x 2
(
)(
x+ 2
)(
x2 + 2
)
(在实数域上) 在实数域上)
(
) ( x + 2 ) ( x 2i ) ( x +
在复数域上) 2i (在复数域上)
)
§1.5 因式分解定理
一,不可约多项式
定义: 定义: 设 p( x ) ∈ P[ x ] ,且 ( p ( x ) ) ≥ 1 ,若 p( x )
f ( x ) = p1 ( x ) p2 ( x ) ps ( x )
= q1 ( x )q2 ( x ) qt ( x )
⑴
pi ( x ), q j ( x ) ( i = 1,2, , s ; j = 1,2, , t . ) 都是不可约
多项式. 多项式 作归纳法. 对 s 作归纳法. 若 s = 1, 则必有 s = t = 1, f ( x ) = p1 ( x ) = q1 ( x )
§1.5 因式分解定理
例如, 例如,若 f ( x ), g ( x ) 的标准分解式分别为
大一高等代数第一章知识点总结
大一高等代数第一章知识点总结导读：在大一高等代数第一章学习中，我们了解了数学中的代数运算、集合论、函数与映射、二次函数等重要基础知识。
本文将对这些知识点进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和掌握这些概念。
一、代数运算1. 代数运算的基本性质：加法和乘法运算的结合律、交换律和分配律。
这些性质是进行代数运算的基础，通过它们可以将复杂的代数式简化，或将代数式转换为更方便计算的形式。
2. 代数运算的逆元：对于加法运算，零是唯一的单位元，每个元素都有唯一的相反元；对于乘法运算，一是唯一的单位元，每个非零元素都有唯一的倒数。
3. 代数方程与不等式：代数方程是由字母和数构成的等式，通过方程解的求解过程，可以得到含有未知数的具体数值；不等式则是不等关系构成的不等式。
二、集合论1. 集合的概念：集合是由一定规则约定所组成的一种对象的整体。
2. 集合的运算：包括交集、并集、补集和差集等。
运用这些运算可以对集合元素进行组合或筛选，从而得到满足一定条件的集合。
3. 集合的表示方法：包括列举法、描述法、乘积集和无穷集等。
不同的表示方法适用于不同的问题求解。
三、函数与映射1. 函数的概念：函数是两个集合之间的一种对应关系，每个自变量对应唯一的因变量。
2. 函数的性质：包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
这些性质描述了函数的基本特征，可以帮助我们更好地理解和分析函数。
3. 映射的概念：映射是一种更广义的函数，它可以是一对一的、多对一的或一对多的关系。
四、二次函数1. 二次函数的概念与性质：二次函数是一种具有二次项和一次项的一元多项式函数。
它的图像呈现抛物线形状，关键点包括顶点、焦点和对称轴等。
2. 二次函数的图像与方程：通过观察二次函数的图像可以了解其方程的特征，反之也可以通过方程描述二次函数的图像。
3. 二次函数的应用：二次函数在实际生活中有广泛应用，如物体抛出运动、摄影中焦距的调整等。
通过掌握二次函数的性质和应用，能够更好地理解和解决相关实际问题。
大一上期高等代数知识点
大一上期高等代数知识点高等代数是大一上学期的一门重要课程，主要涉及代数方程、线性代数等内容。
下面将介绍一些大一上期高等代数的核心知识点。
一、代数方程1. 一次方程与二次方程一次方程是形如ax + b = 0的方程，其中a和b为已知数。
解一次方程的方法包括等式两边同时加减同一个数，合并同类项等。
二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数，并且a ≠ 0。
解二次方程的方法包括配方法、因式分解和求根公式等。
2. 求根与判别式二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a)，其中√表示平方根。
判别式Δ = b² - 4ac可用来判断二次方程的解的性质。
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ < 0时，方程无实数根。
二、线性代数1. 矩阵与行列式矩阵是一个由m行n列数组成的矩形阵列，常用大写字母表示。
行列式是一个用来描述矩阵性质的数值，常用竖线符号表示。
行列式的计算包括对角线法则和展开法则等。
2. 线性方程组线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组。
求解线性方程组的方法包括消元法、逆矩阵法等。
消元法通过行变换将线性方程组转化为相等的简化形式，从而求得方程组的解。
逆矩阵法利用矩阵的逆矩阵来求解线性方程组，前提是矩阵存在逆矩阵。
三、向量与空间1. 向量向量是用来表示方向和大小的量，常用小写字母表示。
向量的运算包括加法、减法及数量乘法等。
向量的模表示向量的大小，向量的内积和外积是常见的向量运算。
2. 空间与子空间空间是指向量所在的集合，常用R^n表示n维空间。
子空间是指在一个空间中的子集，满足一些特定条件，比如封闭性和包含零向量等。
以上是大一上期高等代数的一些核心知识点。
通过学习这些知识，我们可以理解和解决代数方程、线性方程组等问题，为后续学习打下坚实基础。
高等代数讲义 (PDF经典版)
第一学期第一次课第一章 代数学的经典课题§1 若干准备知识1.1.1 代数系统的概念一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。
1.1.2 数域的定义定义（数域）设K 是某些复数所组成的集合。
如果K 中至少包含两个不同的复数，且K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K 内任意两个数a 、b （a 可以等于b ），必有b a K a b K K b ab ∈≠∈/0时，，且当，∈±为一个数域。
，则称K 例1.1 典型的数域举例： 复数域C ；实数域R ；有理数域Q ；Gauss 数域：Q (i) = {i |∈Q }，其中i =b a +b a ,1−。
命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。
证明 设K 为任意一个数域。
由定义可知，存在一个元素0≠∈a K a ，且。
于是K aaK a a ∈=∈−=10，。
进而Z ,∈∀m 0>K m ∈+……++=111。
最后，Z ，∈∀n m ,0>K n m ∈，K nmn m ∈−=−0。
这就证明了Q ⊆K 。
证毕。
1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念定义(集合的交、并、差) 设是集合，与S A B 的公共元素所组成的集合成为与A B 的交集，记作B A ∩；把和B 中的元素合并在一起组成的集合成为与A A B 的并集，记做B A ∪；从集合中去掉属于A B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B 的差集，记做。
A B A \定义（集合的映射） 设、A B 为集合。
如果存在法则，使得中任意元素在法则下对应f A a f B 中唯一确定的元素（记做），则称是到)(a f f A B 的一个映射，记为).(,:a f a B A f a →如果B b a f ∈=)(，则称为在下的像，a 称为在下的原像。
的所有元素在下的像构成的b a f b f A f B 的子集称为A 在下的像，记做，即f )A (f {}A a f A f ∈a =|)()(。
高等代数知识点
高等代数知识点高等代数是大学数学专业的一门核心课程，主要研究线性代数的更深层次的内容和推广。
它是数学中的一门基础学科，对于很多数学分支都有着重要的应用。
下面是高等代数的主要知识点：1.向量空间理论：向量空间是高等代数的核心概念之一、它研究向量的基本性质和运算规律，包括向量的加法、数乘、内积、外积等。
2.线性变换和矩阵理论：线性变换是向量空间中的一个重要概念，它是一种保持向量加法和数乘运算的函数。
矩阵是线性变换在两个有限维向量空间基下的坐标矩阵表示。
3.特征值和特征向量：特征值和特征向量是线性变换中重要的概念，它们描述了一个线性变换在一些向量上的作用。
特征值是一个标量，特征向量是满足特定条件的非零向量。
4.行列式和特征多项式：行列式是一个方阵所确定的一个标量值，它描述了一个矩阵的一些特征。
特征多项式则是通过行列式来描述一个线性变换的特征。
5.正交性和正交矩阵：正交性是线性代数中重要的概念，它描述了向量空间中向量的垂直性质。
正交矩阵是一种特殊的方阵，它的列向量两两正交并且长度为16.线性方程组：线性方程组是高等代数中一个基本的研究对象。
通过矩阵的运算和消元法可以求解线性方程组的解。
7.广义逆矩阵和正规方阵：广义逆矩阵是矩阵理论的重要扩展，它在未必是方阵的情况下，求解矩阵方程和线性方程组具有重要应用。
正规方阵则是满足一定条件的方阵。
8.特殊矩阵：特殊矩阵是高等代数中特别重要的一类矩阵，包括对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵等。
9.特征值分解和奇异值分解：特征值分解是一种将线性变换表示成特征向量和对应特征值的形式的方法，奇异值分解则是一种将矩阵表示成特征值和特征向量的形式的方法。
10. Jordan标准形和Schur分解：Jordan标准形是复矩阵的一种标准形式，它可以将复矩阵进行相似变换后表示成一个特殊的形式。
Schur分解是一种将矩阵表示成三角形的形式的方法。
这些是高等代数的主要知识点，掌握了这些知识点，就能够理解和应用高等代数的基本原理和方法，为后续更深入的数学学习打下坚实的基础。
大一高等代数知识点
大一高等代数知识点高等代数是大一学生必修的一门数学课程，主要研究抽象代数结构及其相应的运算规则。
在学习高等代数的过程中，掌握一些重要的知识点是非常关键的。
本文将介绍大一高等代数的一些重要知识点，帮助学生们更好地理解与应用这些知识。
一、向量空间向量空间是高等代数的基础概念之一，它是由一组向量组成的集合，并满足一定的性质。
一个向量空间必须满足以下条件：1. 封闭性：对于任意两个向量u和v，它们的线性组合u + v也在向量空间中。
2. 零向量：向量空间中存在一个特殊的零向量0，使得对任意向量u，有u + 0 = u。
3. 反向法则：对于任意向量u，存在一个负向量-v，使得u + (-v) = 0。
4. 数乘性：对于任意向量u和标量k，它们的标量倍u * k也在向量空间中。
二、线性方程组线性方程组是高等代数中的另一个重要概念，它由一组线性方程组成，其中每个方程都是变量的线性组合。
解线性方程组就是找到满足所有方程的变量值。
解线性方程组的方法有很多种，包括高斯消元法、矩阵法等。
三、矩阵和行列式矩阵是高等代数中的重要工具，它是由数构成的矩形阵列。
矩阵可以进行加法、乘法等运算，是解线性方程组和表示线性变换的有效工具。
行列式是矩阵的一个重要概念，它可以用来判断矩阵的可逆性。
四、特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵的另一个重要概念。
一个矩阵A的特征值是满足方程Av = λv的数λ，其中v是非零向量。
特征向量是与特征值相对应的向量。
特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵的性质和变换。
五、线性映射和线性变换线性映射和线性变换是高等代数中的重要概念。
线性映射是指满足两个条件的映射：对于任意两个向量u和v以及标量k，有f(u + v) = f(u) + f(v)和f(uk) = kf(u)。
线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，它是一种保持线性结构的变换。
六、欧几里得空间和内积空间欧几里得空间是一个带有内积的向量空间，内积是一种向量与向量之间的运算。
高等代数知识点总结课件
行列式的展开定理
• 总结词：行列式的展开定理是行列式计算的核心，它提供了计算行列式 值的有效方法。
• 详细描述：行列式的展开定理指出，一个$n$阶行列式等于它的主对角线上的元素的乘积与其它元素乘积的代数和的相 反数。具体来说，对于一个$n$阶行列式$|\begin{matrix} a{11} & a{12} & \cdots & a{1n} \ a{21} & a{22} & \cdots & a{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a{n1} & a{n2} & \cdots & a{nn} \end{matrix}|$，其值等于 $a{11}A{11} + a{21}A{21} + \cdots + a{n1}A{n1}$，其中$A{ii}$表示去掉第$i$行和第$i$列后得到的$(n-1)$阶行列 式的值。
04
线性函数与双线性函数
线性函数的定义与性质
线性函数的定义
线性函数是数学中的一种函数，其图 像为一条直线。在高等代数中，线性 函数是指满足 f(ax+by)=af(x)+bf(y) 的函数。
线性函数的性质
线性函数具有一些重要的性质，如加 法性质、数乘性质、零元素性质和负 元素性质等。这些性质在解决实际问 题中具有广泛的应用。
欧几里得空间与酉空间
欧几里得空间
欧几里得空间是一个几何空间，它满足 欧几里得几何的公理。在欧几里得空间 中，向量的长度和角度都可以用实数表 示。
VS
酉空间
酉空间是一种特殊的线性空间，它满足酉 几何的公理。在酉空间中，向量的长度和 角度都可以用复数表示。酉空间在量子力 学、信号处理等领域有广泛应用。
第一章 高等代数多项式
根据数集对运算的封闭情况，可以得到两类数集：
一、数环
定义1：若P是由一些复数组成的非空集合，若数集P对加、 减、乘三种运算都封闭，即对a，b∈P，总有a+b，a-b， a•b∈P，则称数集P是一个数环。 例如：整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C都是数环。 例 1 除了以上数环外，是否还有其他数环？有没有最小数环？ 例 2 一个数环是否一定包含0元？除零环外，是否还有只包含 有限个元素的数环？
《高等代数题解精粹》 钱吉林著
多项式
第一章
多项式
绪论与准备知识
一、复
◆
数
复数的概念
复数的实部与虚部；模与幅角 复数的三角表示，欧拉公式
◆
◆
◆
代数基本定理
◆
z 1
n
的根
准备知识
二、 数 域 的 概 念
1、数的认识过程
自然数 整数 有理数 实数 复数
N
Z
Q
R
C
2、数的范围对问题的影响
●
域内就可以分解。
加法结合律：
乘法交换律： 乘法结合律：
[f (x)+g(x)]+h(x)=f (x)+[g(x)+h(x)]
f (x)•g(x)=g(x)•f (x) [f (x)•g(x)]•h(x) = f (x)•[g(x)•h(x)] f (x)•[g(x)+h(x)]=f (x)•g(x)+f (x)•h(x)
例 1 用带余除法，求g(x)除 f (x)所得的商式和余式，其中
f ( x) x3 x 2 x, g ( x) x 1 2i
多项式
§3 整除的概念和性质
二、多项式的整除性
高等代数_精品文档
乘三种运算封闭，但对除法并不封闭；而有理数集
多 项
对加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都封闭。 同样，实数集、复数集对加、减、乘、除四种运算 都封闭。
式
高 根据数对运算的封闭情况，我们把数集分为两类： 等 数环和数域。
代
一、数环
数
定义1：设S是由一些复数组成的一个非空集合，
如果对 a,b S ，总有 a b, a b, a b S
右边 g xh x 中r次项的系数是： bjck jk r
高 等 代
右边
f
xg xhx 的t次项的系数是：
ai bjck
ai b j ck
数
i r t
j k r
i jkt
左、右两边同次项的系数相等，
乘法满足结合律。
三、多项式的次数定理
1
定理2.1.1：设 f x 0, g x 0
等
证：若f=0或g=0，则必有fg=0。
代 反之，若 数
f x 0, g x 0
f xgx f xgx 0
f x g x 0 ，矛盾。
乘法消去律成立。
1
推论2：若 f x g x f xhx 且 f x 0
多 则gx hx
项
证： f x g x h x 0
式
由于 f x 0 故 g x hx 0
乘法交换律：f x g x g x f x
乘法结合律： f x g x h x f x g xhx
1 乘法对加法的分配律：
f x g x hx f x g x f xhx 多 项 式
高 下面证明多项式乘法满足结合律。
等 代
n
m
l
证：设 f x ai xi , g x bj x3, h x ck xk
第一章知识点(高等代数)
第1章多项式1.1知识点归纳与要点解析一．多项式的定义与运算1.定义形式表达式110()n n n n f x a x a x a L 称为数域P 上以x 为文字的一元多项式,其中01na ,a ,a P L ,n 是非负整数.当0n a 时,称多项式()f x 的次数为n ,记为()f x n ,并称n n a x 为()f x 的首项,n a 为()f x 的首项系数.i i a x 为()f x 的i 次项,i a 称为()f x 的i 次项系数.当11000n n a a a ,a L时,称多项式()f x 为零次多项式,即()0f x ;当1100n n a a a a L 时,称()f x 为零多项式.注：零多项式是唯一不定义次数的多项式. 2.多项式的相等数域P 上以x 为文字的两个一元多项式()f x 与()g x 相等是指它们有完全相同的项. 注：证明两个多项式的相等除了利用定义外，还可以在它们首项系数相等的情况下，证明两个多项式相互整除. 3.多项式次数设()()[]f x g x P x ,, 性质1.当()()0f x g x 时，(()())(()),(())f x g x max f x g x ；性质2.(()())(())+(())f x g x f x g x . 二．多项式的整除1.带余除法(1)定义：设()()[]f x g x P x ,, ()0g x ,则存在唯一的多项式()q x ,()[]r x P x ,使()()()+()f x q x g x r x =.其中()=0r x 或()()r x g x .其中()q x 为()g x 除()f x 的商式, ()r x 为()g x 除()f x 的余式.注：带余除法是多项式分类的工具,是辗转相除法的基础,也是求最大公因式的基础. 2.综合除法3.整除的判定(1)定义设()()[]f x g x P x ,，如果存在()[]q x P x ，使得()()()f x q x g x =,则称()g x 整除。
高等代数 北京大学 第一章 多项式知识点总结
第一章 多项式（ * * ）一、复习指导：多项式这一章节在历年真题中只出现过一次，近几年考中的频率比较低，但是根据2015年的真题多项式这一章节考到过一次，并且分值占了20分。
所以，我们要把多项式这一章也掌握全面，作为次重点章节来复习。
其中需要着重掌握：判断多项式的不可约性，多项式的整除，公因式，素数，互素。
二、考点精讲：（一） 多项式的定义和运算 1.多项式的定义令 R 是一个数环,并且 R 含有数 1,因而 R 含有全体整数.在这一章里,凡是说到数环,都作这样的约定,不再每次重复。
先讨论R 上一元多项式定义1：数环 R 上一个文字 x 的多项式或一元多项式指的是形式表达式n n x a x a x a a ,2210 +++ ， （１）这里 n 是非负整数而n a a a a ,,,,210 都是 R 中的数. 在多项式(1)中,0a 叫做零次项或常数项, x a 1 叫做一次项,一般, ii x a 叫做 i 次 项, i a 叫做 i 次项的系数. 一元多项式常用符号 f(x),g(x),⋯来表示. 2.相等多项式定义2：若是数环 R 上两个一元多项式 f(x)和 g(x)有完全相同的项,或者只 差一些系数为零的项,那么 f(x)和 g(x)说是相等; f (x)=g(x)非负整数 n 叫做多项式nn x a x a x a a ,2210 +++ ,( 0≠n a )的次数 。
系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做零多项式。
按照定义2,零多项式总可以记为 0.以后谈到多项式 f(x)的次数时,总假定 f(x)≠0. 多项式的次数有时就简单地记作()()x f 0∂. 3.多项式的运算 （1）多项式加法()n n x a x a a x f +++= 10，()m m x b x b b x g +++= 10是数环 R 上两个多项式，并且设 m ≤n ，多项式 f(x)与 g(x)的和 f(x)+g(x)指的是：()()()()n n n m m m x b a x b a x b a b a +++++++++ 1100，这里当 m<n 时,取01===+n m b b 。
《高等代数》：学习笔记
《高等代数(上)》：学习笔记这是我自学的笔记做成的电子档，其中有许多注释，尽量深入浅出，以供大家学习。
有些笔误也修正差不多了。
课本和王德明老师的符号略有不同，但意思是一样的，祝大家都能通过考试。
第一章 行列式§1.1 定义D =|2314|=2×4−3×1=5 A =[2314]≡(2314) 这是行列式（或写为|D|）这是矩阵，注意区别{a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3=b 1a 21x 1+a 22x 2+a 23x 3=b 2a 31x 1+a 32x 2+a 33x 3=b 3这是三元线性方程组=|a 11a 12a 13a 22a 23a 32a 33|=a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32−a 11a 23a 32−a 12a 21a 33−a 13a 22a 31§1.2 逆序数τ§1.3 n 阶行列式的代数和D =|a 11a 12⋯a 1n a 21a 22⋯a 2n⋯⋯⋯⋯⋯⋯a n1a n2⋯|=j 1,j 2,⋯,j n )1,j a 1j 1a 2j 2⋯a nj n§1.4 行列式性质1、行列式转置值不变： D T =D2、k 可以乘上某行(列)： kD row i3、加法：某行之和 展开为两行列式之和： D row(a+b)=D row(a)+D row(b)4、互换两行(列)：负号 D row i ↔row k =−D5、两行相同(成比例)：零值 D row i =k×row k =06、某行乘以k 加到另一行：值不变D k×row i +row k =D右下斜线为正 左下斜线为负代数和n 阶排列，有n!个逆序数 偶排列，正号 奇排列，负号阶排列§1.5 代数余子式=ij|D|=a k1A k1+a k2A k2+⋯+a kn A kn (k =1,2,⋯,n )即展开第k 行(列)§1.6 范德蒙行列式|D|=|111⋯1a 1a 2a 3⋯a n a 12a 22a 32⋯a n 2⋯⋯a 1n−1a 2n−1a 3n−1|=∏(a i −1≤j<i≤na j )第二章 线性方程组§2.1 克莱姆法则D 1=|b 1a 12a 13b 2a 22a 23b 3a 32a 33| D 2、D 3 类似左边 解集：x i =D i D(D ≠0) 当D ≠0时，方程组有唯一解：x 1=D 1D,x 2=D 2D,x 3=D 3D.(D ≠0)§2.2 消元法初等变换：反复对方程进行row 变换，最后剩下一个上三角矩阵。
《高等代数》第一章 多项式
§1 数域关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的.定义1 设P 是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是中的数，那么P 就称为一个数域.显然全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域.这三个数域分别用字母Q 、R 、C 来代表.全体整数组成的集合就不是数域.如果数的集合P 中任意两个数作某一种运算的结果都仍在P 中，就说数集P 对这个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成，如果一个包含0，1在内的数集P 对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么P 就称为一个数域.例1 所有具有形式2b a +的数（其中b a ,是任何有理数），构成一个数域.通常用)2(Q 来表示这个数域.例2 所有可以表成形式m m nn b b b a a a ππππ++++++ 1010 的数组成一数域，其中m n ,为任意非负整数，),,1,0;,,1,0(,m j n i b a j i ==是整数.例 3 所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭的.性质：所有的数域都包含有理数域作为它的一部分.一、一元多项式定义2 设n 是一非负整数，形式表达式111a x a x a x a n n n n ++++-- ,(1) 其中n a a a ,,,10 全属于数域P ，称为系数在数域P 中的一元多项式，或者简称为数域P 上的一元多项式.在多项式（1）以后用 ),(),(x g x f 或 ,,g f 等来表示多项式.注意：这里定义的多项式是符号或文字的形式表达式.定义3 如果在多项式)(x f 与)(x g 中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等)()(x g x f =.系数全为零的多项式称为零多项式，记为0.在（1）中，如果0≠n a n a 称为首项系数，n 称为多项式（1）的次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式)(x f二、多项式的运算设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--0111)(b x b x b x b x g m m m m ++++=--是数域P 上两个多项式，那么可以写成∑==ni i i x a x f 0)(∑==mj j j x b x g 0)(在表示多项式)(x f 与)(x g 的和时，如m n ≥，为了方便起见，在)(x g 中令011====+-m n n b b b ，那么)(x f 与)(x g 的和为∑=---+=++++++++=+n i i i i n n n n n n xb a b a x b a x b a x b a x g x f 00011111)()()()()()()(而)(x f 与)(x g 的乘积为其中s 次项的系数是∑=+--=++++s j i j i s s s sb a b a b a b a b a 011110所以)(x f )(x g 可表成显然，数域P 上的两个多项式经过加、减、乘运算后，所得结果仍然是数域P 上的多项式.对于多项式的加减法，不难看出对于多项式的乘法，可以证明，若0)(,0)(≠≠x g x f ，则0)()(≠x g x f ，并且由以上证明看出，多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积.显然上面的结果都可以推广到多个多项式的情形.多项式的运算满足以下的一些规律：1. 加法交换律：)()()()(x f x g x g x f +=+.2. 加法结合律：))()(()()())()((x h x g x f x h x g x f ++=++3. 乘法交换律：. )()()()(x f x g x g x f =4. 乘法结合律：))()()(()())()((x h x g x f x h x g x f =5. 乘法对加法的分配律：)()()()())()()((x h x f x g x f x h x g x f +=+6. 乘法消去律：若)()()()(x h x f x g x f =且0)(≠x f ，则)()(x h x g =.定义4 所有系数在数域P 中的一元多项式的全体，称为数域P 上的一元多项式环，记为][x P ，P 称为][x P 的系数域.§3 整除的概念在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算—除法—并不是普遍可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系.一、整除的概念带余除法 对于][x P 中任意两个多项式)(x f 与)(x g ，其中0)(≠x g ，一定有][x P 中的多项式)(),(x r x q 存在，使(1))(),(x r x q 是唯一决定的.带余除法中所得的)(x q 通常称为)(x g 除)(x f 的商，)(x r 称为)(x g 除)(x f 的余式.定义5 数域P 上的多项式)(x g 称为整除)(x f ，如果有数域P 上的多项式)(x h 使等式成立.用表示)(x g 整除)(x f ，用“)(|)(x f x g /”表示)(x g 不能整除)(x f .当)(|)(x f x g 时，)(x g 就称为)(x f 的因式，)(x f 称为)(x g 的倍式.当0)(≠x g 时，带余除法给出了整除性的一个判别条件.定理1 对于数域P 上的任意两个多项式)(x f ，)(x g ，其中0)(≠x g ，)(|)(x f x g 的充要条件是)(x g 除)(x f 的余式为零.带余除法中)(x g 必须不为零.但)(|)(x f x g 中，)(x g 可以为零.这时0)(0)()()(=⋅=⋅=x h x h x g x f .当)(|)(x f x g 时，如0)(≠x g ，)(x g 除)(x f 的商)(x q 有时也用)()(x g x f 来表示.二、整除的性质1. 任一多项式)(x f 一定整除它自身.2. 任一多项式)(x f 都能整除零多项式.3. 零次多项式，即非零常数，能整除任一个多项式.4. 若)(|)(),(|)(x f x g x g x f ，则)()(x cg x f =,其中c 为非零常数.5. 若)(|)(),(|)(x h x g x g x f ，则)(|)(x h x f （整除的传递性）.6. 若r i x g x f i ,,2,1),(|)( =，则))()()()()()((|)(2211x g x u x g x u x g x u x f r r +++ ,其中)(x u i 是数域P 上任意的多项式.通常，)()()()()()(2211x g x u x g x u x g x u r r +++ 称为)(,),(),(21x g x g x g r 的最后，两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变.即若)(x f ，)(x g 是][x P 中两个多项式，P 是包含P 的一个较大的数域.当然，)(x f ，)(x g 也可以看成是][x P 中的多项式.从带余除法可以看出，不论把)(x f ，)(x g 看成是][x P 中或者是][x P 中的多项式，用)(x g 去除)(x f 所得的商式及余式都是一样的.因此，若在][x P 中)(x g 不能整除)(x f ，则在][x P 中，)(x g 也不能整除)(x f .例1 证明若)()(|)(),()(|)(2121x f x f x g x f x f x g -+，则)(|)(),(|)(21x f x g x f x g例2 求l k ,，使1|32++++kx x l x x .例3 若)(|)(),(|)(x h x g x f x g /，则)()(|)(x h x f x g +/.§4 多项式的最大公因式一 、多项式的最大公因式如果多项式)(x ϕ既是)(x f 的因式，又是)(x g 的因式，那么)(x ϕ就称为)(x f 与)(x g 的一个公因式.定义 6 设)(x f 与)(x g 是][x P 中两个多项式. ][x P 中多项式)(x d 称为)(x f ，)(x g 的一个公因式,如果它满足下面两个条件：1）)(x d 是)(x f 与)(x g 的公因式；2）)(x f ，)(x g 的公因式全是)(x d 的因式.例如，对于任意多项式)(x f ，)(x f 就是)(x f 与0的一个最大公因式.特别地，根据定义，两个零多项式的最大公因式就是0.引理 如果有等式)()()()(x r x g x q x f += (1)成立，那么)(x f ，)(x g 和)(x g ，)(x r 有相同的公因式.定理2 对于][x P 的任意两个多项式)(x f ，)(x g ，在][x P 中存在一个最大公因式)(x d ，且)(x d 可以表成)(x f ，)(x g 的一个组合，即有][x P 中多项式)(),(x v x u 使由最大公因式的定义不难看出，如果)(),(21x d x d 是)(x f ，)(x g 的两个最大公因式，那么一定有)(|)(21x d x d 与)(|)(12x d x d ，也就是说0),()(21≠=c x cd x d .这就是说，两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的.两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式.在这个情形，我们约定，用来表示首项系数是1的那个最大公因式.定理证明中用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法(division algorithm).例 设343)(234---+=x x x x x f32103)(23-++=x x x x g求（)(x f ，)(x g ），并求)(),(x v x u 使)()()()()(x g x v x f x u x d +=.注：定理2的逆不成立.例如令1)(,)(+==x x g x x f ,则122)1)(1()2(2-+=-+++x x x x x x .但1222-+x x 显然不是)(x f 与)(x g 的最大公因式.但是当(2)式成立，而)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个公因式，则)(x d 一定是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式.二、多项式互素定义7 ][x P 中两个多项式)(x f ，)(x g 称为互素（也称为互质）的，如果显然,两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式，反之亦然.定理3 ][x P 中两个多项式)(x f ，)(x g 互素的充要条件是有][x P 中多项式)(),(x v x u 使推论2 如果1))(),((1=x g x f ,1))(),((2=x g x f ,那么1))(),()((21=x g x f x f 推广：对于任意多个多项式)2)((,),(),(21≥s x f x f x f s ，)(x d 称为)2)((,),(),(21≥s x f x f x f s 的一个最大公因式，如果)(x d 具有下面的性质：1）s i x f x d i ,,2,1),(|)( =;2）如果s i x f x i ,,2,1),(|)( =ϕ，那么)(|)(x d x ϕ.我们仍用))(,),(),((21x f x f x f s 符号来表示首项系数为1的最大公因式.不难证明)(,),(),(21x f x f x f s 的最大公因式存在，而且当)(,),(),(21x f x f x f s 全不为零时，))()),(,),(),(((121x f x f x f x f s s -就是)(,),(),(21x f x f x f s 的最大公因式，即))(,),(),((21x f x f x f s =))()),(,),(),(((121x f x f x f x f s s -同样，利用以上这个关系可以证明，存在多项式s i x u i ,,2,1),( =,使))(,),(),(()()()()()()(212211x f x f x f x f x u x f x u x f x u s s s =+++如果1))(,),(),((21=x f x f x f s ，那么)(,),(),(21x f x f x f s 就称为互素的.同样有类似定理3的结论.注意 1)当一个多项式整除两个多项式之积时,若没有互素的条件,这个多项式一般不能整除积的因式之一.例如222)1()1(|1-+-x x x ,但22)1(|1+/-x x ,且22)1(|1-/-x x .2) 推论1中没有互素的条件,则不成立.如1)(2-=x x g ,1)(1+=x x f , )1)(1()(2-+=x x x f ,则)(|)(),(|)(21x g x f x g x f ,但)(|)()(21x g x f x f .注意:s )2(≥s 个多项式)(,),(),(21x f x f x f s 互素时,它们并不一定两两互素.例如,多项式34)(,65)(,23)(232221+-=+-=+-=x x x f x x x f x x x f是互素的,但2))(),((21-=x x f x f . 令P 是含P 的一个数域, )(x d 是][x P 的多项式)(x f 与)(x g 在][x P 中的首项系数为1的最大公因式,而)(x d 是)(x f 与)(x g 在][X P 中首项系数为1的最大公因式,那么)()(x d x d =.即从数域P 过渡到数域P 时, )(x f 与)(x g 的最大公因式本质上没有改变. 互素多项式的性质可以推广到多个多项式的情形：1)若多项式),()()(|)(21x f x f x f x h s )(x h 与)(,),(),(,),(111x f x f x f x f s i i +- 互素，则)1)((|)(s i x f x h i ≤≤.2) 若多项式)(,),(),(21x f x f x f s 都整除)(x h ，且)(,),(),(21x f x f x f s 两两互素，则)(|)()()(21x h x f x f x f s .3) 若多项式)(,),(),(21x f x f x f s 都与)(x h 互素，则1))(),()()((21=x h x f x f x f s .§5 因式分解定理一、不可约多项式Con i x i x x x R on x x x Q on x x x )2)(2)(2)(2()2)(2)(2()2)(2(42224+-+-=++-=+-=-. 定义8 数域P 上次数1≥的多项式)(x p 称为域P 上的不可约多项式(irreducible polynomical)，如果它不能表成数域P 上的两个次数比)(x p 的次数低的多项式的乘积.根据定义，一次多项式总是不可约多项式.一个多项式是否可约是依赖于系数域的.显然，不可约多项式)(x p 的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍)0)((≠c x cp 这两种，此外就没有了.反过来，具有这个性质的次数1≥的多项式一定是不可约的.推广：如果不可约多项式)(x p 整除一些多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的乘积)()()(21x f x f x f s ，那么)(x p 一定整除这些多项式之中的一个.二、因式分解定理因式分解及唯一性定理 数域P 上次数1≥的多项式)(x f 都可以唯一地分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ==,那么必有t s =，并且适当排列因式的次序后有s i x q c x p i i i ,,2,1,)()( ==.其中),,2,1(s i c i =是一些非零常数.应该指出，因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性，但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法.实际上，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的.在多项式)(x f 的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使它们成为首项系数为1的多项式，再把相同的不可约因式合并.于是)(x f 的分解式成为)()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r =,其中c 是)(x f 的首项系数，)(,),(),(21x p x p x p s 是不同的首项系数为1的不可约多项式，而s r r r ,,,21 是正整数.这种分解式称为标准分解式.如果已经有了两个多项式的标准分解，就可以直接写出两个多项式的最大公因式.多项式)(x f 与)(x g 的最大公因式)(x d 就是那些同时在)(x f 与)(x g 的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带的方幂的指数等于它在)(x f 与)(x g 中所带的方幂中较小的一个.由以上讨论可以看出，带余除法是一元多项式因式分解理论的基础.若)(x f 与)(x g 的标准分解式中没有共同的不可约多项式，则)(x f 与)(x g 互素.注意：上述求最大公因式的方法不能代替辗转相除法，因为在一般情况下，没有实际分解多项式为不可约多项式的乘积的方法，即使要判断数域P 上一个多项式是否可约一般都是很困难的.例 在有理数域上分解多项式22)(23--+=x x x x f 为不可约多项式的乘积.§6 重因式一、重因式的定义定义9 不可约多项式)(x p 称为多项式)(x f 的k 重因式,如果)(|)(x f x p k ,但)(|)(1x f x p k /+.如果0=k ，那么)(x p 根本不是)(x f 的因式；如果1=k ，那么)(x p 称为)(x f 的单因式；如果1>k ，那么)(x p 称为)(x f 的重因式.注意. k 重因式和重因式是两个不同的概念,不要混淆.显然，如果)(x f 的标准分解式为)()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r =,那么)(,),(),(21x p x p x p s 分别是)(x f 的1r 重，2r 重，… ,s r 重因式.指数1=i r 的那些不可约因式是单因式；指数1>i r 的那些不可约因式是重因式.使得)()()(x g x p x f k =,且)(|)(x g x p /.二、重因式的判别设有多项式0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ,规定它的微商（也称导数或一阶导数）是1211)1()(a x n a nx a x f n n n n ++-+='--- .通过直接验证,可以得出关于多项式微商的基本公式:).()()()()()(()())((),()())()((x g x f x g x f x g x f x f c x cf x g x f x g x f '+'=''=''+'='+）))()(())((1x f x f m x f m m '='-同样可以定义高阶微商的概念.微商)(x f '称为)(x f 的一阶微商；)(x f '的微商)(x f ''称为)(x f 的二阶微商；等等. )(x f 的k 阶微商记为)()(x f k .一个)1(≥n n 次多项式的微商是一个1-n 次多项式；它的n 阶微商是一个常数；它的1+n 阶微商等于0.定理6 如果不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的一个)1(≥k k 重因式,那么)(x p 是微商)(x f '的1-k 重因式.分析: 要证)(x p 是微商)(x f '的1-k 重因式,须证)(|)(1x f x p k '-,但)(|)(x f x p k '/.注意:定理6的逆定理不成立.如333)(23++-=x x x x f , 22)1(3363)(-=+-='x x x x f ,1-x 是)(x f '的2重因式,但根本不是)(x f 是因式.当然更不是三重因式.推论 1 如果不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的一个)1(≥k k 重因式,那么)(x p 是)(x f ，)(x f ',…,)()1(x f k -的因式,但不是)()(x f k 的因式.)(x f 与)(x f '的公因式.推论3 多项式)(x f 没有重因式1))(),((='⇔x f x f这个推论表明，判别一个多项式有无重因式可以通过代数运算——辗转相除法来解决，这个方法甚至是机械的.由于多项式的导数以及两个多项式互素与否的事实在由数域P 过渡到含P 的数域P 时都无改变,所以由定理6有以下结论:若多项式)(x f 在][x P 中没有重因式,那么把)(x f 看成含P 的某一数域P 上的多项式时, )(x f 也没有重因式.例1 判断多项式2795)(234+-+-=x x x x x f有无重因式三、去掉重因式的方法设)(x f 有重因式,其标准分解式为s r s r r x p x p x cp x f )()()()(2121 =.那么由定理5),()()()()(1121121x g x p x p x p x f s r s r r ---='此处)(x g 不能被任何),,2,1)((s i x p i =整除.于是11211)()()()())(),((21---=='s r s r r x p x p x p x d x f x f用)(x d 去除)(x f 所得的商为)()()()(21x p x p x cp x h s =这样得到一个没有重因式的多项式)(x h .且若不计重数, )(x h 与)(x f 含有完全相同的不可约因式.把由)(x f 找)(x h 的方法叫做去掉重因式方法.例2 求多项式16566520104)(23456++++--=x x x x x x x f的标准分解式.§7 多项式函数到目前为止，我们始终是纯形式地讨论多项式，也就是把多项式看作形式表达式.在这一节，将从另一个观点，即函数的观点来考察多项式.一、多项式函数设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- (1)是][x P 中的多项式，α是P 中的数，在(1)中用α代x 所得的数0111a a a a n n n n ++++--ααα称为)(x f 当α=x 时的值,记为)(αf .这样，多项式)(x f 就定义了一个数域上的函数.可以由一个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式函数.因为x 在与数域P 中的数进行运算时适合与数的运算相同的运算规律，所以不难看出，如果,)()()(,)()()(21x g x f x h x g x f x h =+=那么.)()()(,)()()(21ααααααg f h g f h =+=定理7(余数定理)用一次多项式去除多项式)(x f ，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值)(αf .如果)(x f 在α=x 时函数值0)(=αf ，那么α就称为)(x f 的一个根或零点. 由余数定理得到根与一次因式的关系.推论 α是)(x f 的根的充要条件是)(|)(x f x α-.由这个关系，可以定义重根的概念. α称为)(x f 的k 重根，如果)(α-x 是)(x f 的k 重因式.当1=k 时，α称为单根；当1>k 时，α称为重根.定理8 ][x P 中n 次多项式)0(≥n 在数域P 中的根不可能多于n 个，重根按重数计算.二、多项式相等与多项式函数相等的关系在上面看到，每个多项式函数都可以由一个多项式来定义.不同的多项式会不会定义出相同的函数呢？这就是问，是否可能有)()(x g x f ≠,而对于P 中所有的数α都有)()(ααg f =?由定理8不难对这个问题给出一个否定的回答.定理9 如果多项式)(x f ,)(x g 的次数都不超过n ,而它们对n+1个不同的数有相同的值即)()(i i g f αα=,1,,2,1+=n i ,那么)(x f =)(x g .因为数域中有无穷多个数，所以定理9说明了，不同的多项式定义的函数也不相同.如果两个多项式定义相同的函数，就称为恒等，上面结论表明，多项式的恒等与多项式相等实际上是一致的.换句话说，数域P 上的多项式既可以作为形式表达式来处理，也可以作为函数来处理.但是应该指出，考虑到今后的应用与推广，多项式看成形式表达式要方便些.三、综合除法根据余数定理,要求)(x f 当c x =时的值,只需用带余除法求出用c x -除)(x f 所得的余式.但是还有一个更简便的方法,叫做综合除法.设n n n n n a x a x a x a x a x f +++++=---122110)(并且设r x q c x x f +-=)()()(. (2)其中.)(12322110-----+++++=n n n n n b x b x b x b x b x q比较等式(2)中两端同次项的系数.得到.,,,,121112201100-----=-=-=-==n n n n n cb r a cb b a cb b a cb b a b a⇒ .,,,,112121210100n n n n n a cb r a cb b a cb b a cb b a b +=+=+=+==---- 这样,欲求系数k b ,只要把前一系数1-k b 乘以c 再加上对应系数k a ,而余式r 也可以按照类似的规律求出.因此按照下表所指出的算法就可以很快地陆续求出商式的系数和余式:rb b b b cb cb cb cb a a a a ac n n n n n |)|12101210121---------------------------------+ 表中的加号通常略去不写.例1 用3+x 除94)(24-++=x x x x f .例2 求k 使355)(234+++-=kx x x x x f 能被3-x 整除注意 :若)(x f 缺少某一项,在作综合除法时该项系数的位置要补上零.四、拉格朗日插值公式已知次数n ≤的多项式)(x f 在)1,,2,1(+==n i c x i 的值)1,,,2,1()(+==n i b c f i i .设∑+=++-----=111111)())(()()(n i n i i i c x c x c x c x k x f依次令c x =代入)(x f ,得)())(()(1111++-----=n i i i i i i i i c c c c c c c c b k ∑+=++-++---------=1111111111)())(()()())(()()(n i n i i i i i i n i i i c c c c c c c c c x c x c x c x b x f 这个公式叫做拉格朗日(Lagrange)插值公式.例3 求次数小于3的多项式)(x f ,使3)2(,3)1(,1)1(==-=f f f .下面介绍将一个多项式表成一次多项式α-x 的方幂和的方法.所谓n 次多项式)(x f 表成α-x 的方幂和，就是把)(x f 表示成0111)()()()(b x b x b x b x f n n n n +-++-+-=--ααα的形式.如何求系数011,,,,b b b b n n -，把上式改写成01211)]()()([)(b x b x b x b x f n n n n +-++-+-=---ααα ,就可看出0b 就是)(x f 被α-x 除所得的余数，而12111)()()(b x b x b x q n n n n ++-+-=--- αα就是)(x f 被α-x 除所得的商式.又因为123121)]()()([)(b x b x b x b x q n n n n +-++-+-=---ααα .又可看出1b 是商式)(1x q 被α-x 除所得的余式，而233122)()()()(b x b x b x b x q n n n n +-++-+-=---ααα .就是)(1x q 被α-x 除所得商式.这样逐次用α-x 除所得的商式，那么所得的余数就是n n b b b b ,,,,110- .例4 将5)2()2(3)2(2)2()(234+-+---+-=x x x x x f 展开成x 的多项式. 解 令2-=x y ，则2+=y x .于是532)2(234++-+=+y y y y y f .问题变为把多项式532234++-+y y y y 表成2+y （即x ）的方幂和,-2 | 1 2 -3 1 5+) -2 0 6 -14--------------------------------------------------------2 | 1 0 -3 7 | -9+) -2 4 -2-------------------------------------------------------2 | 1 -2 1 | 5+) -2 8------------------------------------------------2 | 1 -4 | 9+) -2----------------------------------1 | -6所以9596)(234-++-=x x x x x f .注意：将)(x f 表成α-x 的方幂和，把α写在综合除法的左边，将α-x 的方幂和展开成x 的多项式，那么相当于将)(x f 表成c c x +-)(的方幂和，要把c -写在综合除法的左边.§8 复系数和实系数多项式的因式分解一、 复系数多项式因式分解定理代数基本定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一个根.利用根与一次因式的关系，代数基本定理可以等价地叙述为：每个次数1≥的复系数多项式在复数域上一定有一个一次因式.由此可知，在复数域上所有次数大于1的多项式都是可约的.换句话说，不可约多项式只有一次多项式.于是，因式分解定理在复数域上可以叙述成：复系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.因此，复系数多项式具有标准分解式s l s l l n x x x a x f )()()()(2121ααα---=其中s ααα,,,21 是不同的复数，s l l l ,,,21 是正整数.标准分解式说明了每个n 次复系数多项式恰有n 个复根（重根按重数计算）.二、实系数多项式因式分解定理对于实系数多项式，以下事实是基本的：如果α是实系数多项式)(x f 的复根，那么α的共轭数α也是)(x f 的根,并且α与α有同一重数.即实系数多项式的非实的复数根两两成对.实系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与含一对非实共轭复数根的二次因式的乘积.实数域上不可约多项式,除一次多项式外,只有含非实共轭复数根的二次多项式.因此，实系数多项式具有标准分解式r s k r r k l s l l n q x p x q x p x c x c x c x a x f )()()()()()(211221121++++---= 其中r r s q q p p c c ,,,,,,,,111 全是实数，s l l l ,,,21 ,r k k ,,1 是正整数，并且),,2,1(2r i q x p x i i =++是不可约的，也就是适合条件r i q p i i ,,2,1,042 =<-..代数基本定理虽然肯定了n 次方程有n 个复根，但是并没有给出根的一个具体的求法.高次方程求根的问题还远远没有解决.特别是应用方面，方程求根是一个重要的问题，这个问题是相当复杂的，它构成了计算数学的一个分支.三、n 次多项式的根与系数的关系.令.)(11n n n a x a x x f +++=- (1)是一个n (>0)次多项式,那么在复数域C 中)(x f 有n 个根,,,,21n ααα 因而在][x C 中)(x f 完全分解为一次因式的乘积:).())(()(21n x x x x f ααα---=展开这一等式右端的括号,合并同次项,然后比较所得出的系数与(1)式右端的系数,得到根与系数的关系.,)1(),()1(),(),),(21323112111124213213131212211n n n n n n n n n n n n n n a a a a a αααααααααααααααααααααααααααααα-=+++-=+++-=+++=+++-=------（其中第),,2,1(n k k =个等式的右端是一切可能的k 个根的乘积之和,乘以k )1(-.若多项式 n n n a x a x a x f +++=- 110)(的首项系数,10≠a 那么应用根与系数的关系时须先用0a 除所有的系数,这样做多项式的根并无改变.这时根与系数的关系取以下形式:.)1(,),(21013121022101n n n n n n a a a a a a αααααααααααα-=+++=+++-=-利用根与系数的关系容易求出有已知根的多项式.例1 求出有单根5与-2,有二重根3的四次多项式.例2. 分别在复数域和实数域上分解1-n x 为标准分解式.§9 有理系数多项式作为因式分解定理的一个特殊情形，有每个次数≥1的有理系数多项式都能分解成不可约的有理系数多项式的乘积.但是对于任何一个给定的多项式，要具体地作出它的分解式却是一个很复杂的问题，即使要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个容易解决的问题，这一点是有理数域与复数域、实数域不同的.在这一节主要是指出有理系数多项式的两个重要事实：第一，有理系数多项式的因式分解的问题，可以归结为整（数）系数多项式的因式分解问题，并进而解决求有理系数多项式的有理根的问题.第二，在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式.一、有理系数多项式的有理根设011)(a x a x a x f n n n n +++=--是一个有理系数多项式.选取适当的整数c 乘)(x f ，总可以使)(x cf 是一个整系数多项式.如果)(x cf 的各项系数有公因子，就可以提出来，得到)()(x dg x cf =,也就是)()(x g cd x f = 其中)(x g 是整系数多项式，且各项系数没有异于±1的公因子.如果一个非零的整系数多项式011)(b x b x b x g n n n n +++=-- 的系数01,,,b b b n n -没有异于±1的公因子,也就是说它们是互素的,它就称为一个本原多项式.上面的分析表明，任何一个非零的有理系数多项式)(x f 都可以表示成一个有理数r 与一个本原多项式)(x g 的乘积，即)()(x rg x f =.可以证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的.亦即，如果)()()(11x g r x rg x f ==,其中)(),(1x g x g 都是本原多项式，那么必有)()(,11x g x g r r ±=±=因为)(x f 与)(x g 只差一个常数倍，所以)(x f 的因式分解问题，可以归结为本原多项式)(x g 的因式分解问题.下面进一步指出，一个本原多项式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积的问题是一致的.定理10(Gauss 引理) 两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理11 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定可以分解两个次数较低的整系数多项式的乘积.以上定理把有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题归结到整系数多项式能否分解成次数较低的整系数多项式的乘积的问题.推论 设)(x f ，)(x g 是整系数多项式，且)(x g 是本原多项式，如果)()()(x h x g x f =，其中)(x h 是有理系数多项式，那么)(x h 一定是整系数多项式.这个推论提供了一个求整系数多项式的全部有理根的方法. 定理12 设011)(a x a x a x f n n n n +++=--是一个整系数多项式.而sr是它的一个有理根,其中s r ,互素,那么(1) 0|,|a r a s n ;特别如果)(x f 的首项系数1=n a ，那么)(x f 的有理根都是整根，而且是0a 的因子.(2) ),()()(x q srx x f -= 其中)(x q 是一个整系数多项式.给了一个整系数多项式)(x f ,设它的最高次项系数的因数是k v v v ,,,21 ,常数项的因数是.,,,21l u u u 那么根据定理12,欲求)(x f 的有理根,只需对有限个有理数ji v u 用综合除法来进行试验.当有理数jiv u 的个数很多时,对它们逐个进行试验还是比较麻烦的.下面的讨论能够简化计算.首先,1和-1永远在有理数jiv u 中出现,而计算)1(f 与)1(-f 并不困难.另一方面,若有理数)1(±≠a 是)(x f 的根,那么由定理12,)()()(x q x x f α-=而)(x q 也是一个整系数多项式.因此商)1(1)1(),1(1)1(--=+-=-q af q af 都应该是整数.这样只需对那些使商a f a f +--1)1(1)1(与都是整数的ji v u来进行试验.(我们可以假定)1(f 与)1(-f 都不等于零.否则可以用1-x 或1+x 除)(x f 而考虑所得的商.)例1 求多项式2553)(234-+++=x x x x x f的有理根.例2 证明15)(3+-=x x x f在有理数域上不可约.二、有理数域上多项式的可约性定理13 (艾森斯坦(Eisenstein)判别法) 设011)(a x a x a x f n n n n +++=--是一个整系数多项式.若有一个素数p ,使得1. n a p |/;2. 021,,,|a a a p n n --;3. 02|a p /.则多项式)(x f 在有理数域上不可约.由艾森斯坦判断法得到:有理数域上存在任意次的不可约多项式.例如2)(+=n x x f .,其中n 是任意正整数.艾森斯坦判别法的条件只是一个充分条件.有时对于某一个多项式)(x f ,艾森斯坦判断法不能直接应用,但把)(x f 适当变形后,就可以应用这个判断法.例3 设p 是一个素数,多项式1)(21++++=--x x x x f p p叫做一个分圆多项式,证明)(x f 在][x Q 中不可约.证明：令1+=y x ，则由于1)()1(-=-p x x f x ,yCyC y y y yf p pp ppp 1111)1()1(--+++=-+=+ ,令)1()(+=y f y g ，于是1211)(---+++=p p p p p C yC y y g ,由艾森斯坦判断法，)(y g 在有理数域上不可约，)(x f 也在有理数域上不可约.第一章 多项式(小结)一元多项式理论,主要讨论了三个问题:整除性理论(整除,最大公因式,互素);因式分解理论(不可约多项式,典型分解式,重因式);根的理论(多项式函数,根的个数).其中整除性是基础,因式分解是核心.一、基本概念.1.一元多项式(零多项式),多项式的次数.多项式的相等,多项式的运算,一元多项式环.2．基本结论:(1) 多项式的加法,减法和乘法满足一些运算规律.(3) 多项式乘积的常数项(最高次项系数)等于因子的常数项(最高次项系数)的乘积.二、整除性理论1.整除的概念及其基本性质.2.带余除法. (1) 带余除法定理.(2) 设1)()()()(|)(,0)(][)(),(=⇔≠∈x r x f x g x f x g x g x F x g x f 的余式除，. 因此多项式的整除性不因数域的扩大而改变.3. 最大公因式和互素. (1) 最大公因式,互素的概念.(2) 最大公因式的存在性和求法------辗转相除法.(3) 设)(x d 是)(x f 与)(x g 的最大公因式,反之不然.三、 因式分解理论 1.不可约多项式(1) 不可约多项式的概念.(2) 不可约多项式p(x)有下列性质:(4) 艾森斯坦判断法. 2.因式分解的有关结果: (1) 因式分解及唯一性定理.(2) 次数大于零的复系数多项式都可以分解成一次因式的乘积.(3) 次数大于零的实系数多项式都可以分解成一次因式和二次不可约因式的乘积.3.重因式(1) 重因式的概念.(2) 若不可约多项式)(x p 是)(x f 的k 重因式)1(≥k ,则)(x p 是)(x f 的1-k 重因式.(4) 消去重因式的方法:))(),(()(x f x f x f '是一个没有重因式的多项式,它与)(x f 具有完全相同的不可约因式.四、多项式根的理论1.多项式函数,根和重根的概念.2.余数定理.c x -去除)(x f 所得的余式为)(x f ,则.0)()(|=⇔-c f x f c x3.有理系数多项式的有理根的求法.4.实系数多项式虚根成对定理.5.代数基本定理.每个)1(≥n n 次复系数多项式在复数域中至少有一个根.因而n 次复系数多项式恰有n 个复根(重根按重数计算).6.韦达定理.。
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第 1章 多项式
知识点归纳与要点解析
一．多项式的定义与运算
1.定义
形式表达式110()n n n n f x a x a x a --=+++称为数域P 上以x 为文字的一元多项式,其中
01n a ,a ,a P ∈,n 是非负整数.当0n a ≠时,称多项式()f x 的次数为n ,记为()()f x n ∂=,并称n n a x 为()
f x 的首项,n a 为()f x 的首项系数.i i a x 为()f x 的i 次项,i a 称为()f x 的i 次项系数.当
11000n n a a a ,a -====≠时,称多项式()f x 为零次多项式,即()()0f x ∂=;当1100n n a a a a -=====时,称()f x 为零多项式.
注：零多项式是唯一不定义次数的多项式.
2.多项式的相等
数域P 上以x 为文字的两个一元多项式()f x 与()g x 相等是指它们有完全相同的项.
注：证明两个多项式的相等除了利用定义外，还可以在它们首项系数相等的情况下，证明两个多项式相互整除.
3.多项式次数
设()()[]f x g x P x ∈,,
性质1.当()()0f x g x ±≠时，{}(()())(()),(())f x g x max f x g x ∂±≤∂∂；
性质2.(()())(())+(())f x g x f x g x ∂=∂∂.
二．多项式的整除
1.带余除法
(1)定义：
设()()[]f x g x P x ∈,, ()0g x ≠,则存在唯一的多项式()q x ,()[]r x P x ∈,使()()()+()f x q x g x r x =.其中()=0r x 或()()()()r x g x ∂<∂.其中()q x 为()g x 除()f x 的商式, ()r x 为()g x 除()f x 的余式.
注：带余除法是多项式分类的工具,是辗转相除法的基础,也是求最大公因式的基础.
2.综合除法
3.整除的判定
(1)定义
设()()[]f x g x P x ∈,，如果存在()[]q x P x ∈，使得
()()()f x q x g x =,则称()g x 整除。