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二年级重叠问题
重叠问题---趣味数学
例：某小学二（1）班人人都参加课外活动，有20人参加数学兴趣班，有25人参加作文兴趣班，其中5人两项都参加，问二（1）班共有多少人？
动脑筋：图中左圈中表示数学兴趣班的人数，右圈表示作文兴趣班的人数，两圈重叠的部份（即图中阴影部份），表示两项都参加的人数。
从图中可以看出，两项都参加的5人被算了2次，重复了。
所以要从两组共有的人数中减去重复的5人。
列式如下：
20+25=45（人）45-5=40（人）
答：二（1）班共有40人。
我会啦！
1、二（2）班同学人人都订阅报纸，订《数学报》的有38人，订
《中国儿童报》的有30人，其中8人这两种都订，问二（2）
班共有多少人？
2、老师出了两组题给全班45名同学做，做对第一组有38人，做
对第二组的有42人，两组题全做对的有多少名同学？
数独-----九宫格。
二年级思维训练 重叠问题
二年级思维训练重叠问题（一）同学们排队上体育课，从前面数小菲排在第15个，从后面数是第8个。
问：这一队共有多少同学呢？计算这个排队问题中的人数，不能简单地通过相加来求得，应该怎么求解呢？【例题1】某校二年级（甲）班同学平均排成三排队，在操场上做广播操，已知小菲左面有8人，右面有9人。
问：二（甲）班有同学在做操？【思路】根据题意画一队同学排队的示意图。
○○○○○○○○●○○○○○○○○○这道题的关键在于小菲左面有8个人，右面有9个人，算上小菲自己，这队的总人数是：8+9+1=18（人）。
或者，从左边数小菲是第9个人，从右边数小菲是第10人。
在计算总人数时不可把小菲重复计算，则这一队人数是9+10-1=18（人）。
根据题意，二（甲）班有相同的三排队员，则总人数时一队人数乘以3。
【解答】8+9+1=18（人）18×3=54（人）【诀窍】数队伍人数的问题就是求重叠问题的应用题，解题时可画图帮助思考分析。
【仿练】1、一队少先队员排队步行去市民广场做义务宣传员，从前面数，小红是第13人，从后面数，小红也是第13人。
问：这队少先队员共有多少人呢？2、一行大雁在空中一字排开向南飞，从左数一只深灰色的大雁排在第7，从右数，它排在第6。
问：这队大雁共有多少只？3、学校大门的一边插着一排彩旗，共30面。
从左边数，橙色的那面旗排在第20面，问：从右边数，橙色旗应该排在第几面？【拓展练习】1、27名同学排成一队报数，从左边报起，小宇报18，从右边报起，小豪报19。
问：小宇和小豪中间有几个同学？2、二（3）班同学排成整齐的两行，小伍所站的那行，从左边数他排在第12个，从右边数他排在第9个。
问：二（3）班有多少同学？3、学校武术队训练十字队形，队形无论怎样旋转，刘刚同学都站在原地不动，不论从什么方向数，他都是第5个。
问：正在训练队形的武术队员有多少人？4、二（2）班同学在操场上排成整齐的三行，小平所站的第三行，从左边数他排第7个，从右边数他排第8个。
二年级奥数重叠问题
图中间重叠部分表示两道题都做对的人数，把做第一道题和做对第二道题的人数加起来得21＋18=39人，这39人比全班总人数36多出了39－36=3人，这多出的3人既在做对第一题的人数中算过，也在做对第二道题的人数中算过，即表示两道题都做对的人数。
1
2
例
160厘米
90厘米
？厘米
90+90-160=20（厘米） 答：中间钉在一起的部分长20厘米。
把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这块钉在一起的木板长8米，中间重叠部分是2米，这两块木板各长多少米？
【思路导航】把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠的部分是2米，所以这两块木板的总长度是8+2＝10米，每块木板的长度是10÷2=5米。
重
叠
问
题
两块木板各长80厘米，如下图，钉在一起。中间钉在一起的地方是15厘米。这两块钉起来的木板长多少厘米？
例
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
15厘米
80厘米
80厘米
80+80-15=145（厘米） 答：这两块钉起来的木板长145厘米。
两块各长90厘米的木板钉成一块长160厘米的木板，中间钉在一起的部分长多少厘米？
39+42=81（人） 81-50=31（人） 答：有31人语文、数学都得了100分。
50个同学参加期末考试，每个同学至少有一门是100分。语文得100分的39人，数学得100分的是42人，请问有多少人语文、数学都得了100分？
例
一次数学测试，全班36人中，做对第一道聪明题的有21人，做对第二道聪明题的有18人，每人至少做对一道。问两道聪明题都做对的有几人？ 【思路导航】根据题意，画出下图：
二年级奥数-第二学期-010重叠问题(二)
二年级创新思维春季班讲义：第十讲重叠问题（二）姓名：【例4】（1）如果将两块同样长的木条钉在一起共长15厘米，中间钉在一起的长度是3厘米，问：原来每块木条长多少厘米？答：原来每块木条长（）厘米。
（2）两块木条各有8厘米，如果把他们钉在一起时，中间重合部分是3厘米，钉成后这块木条有多少厘米？答：钉成后这块木条有（）厘米。
（3）两块木条各有9厘米，钉成一块长14厘米的木条，中间重合的部分是几厘米？答：中间重合的部分是（）厘米。
练一练（四）1、（1）两块木条各长40厘米，把它们钉在一起，中间钉在一起的地方是10厘米，这块钉起来的木条长多少厘米？答：这块钉起来的木条长（）厘米。
（2）两块木条各长40厘米，钉在一起的木条长70厘米，中间钉在一起的地方长多少厘米？答：中间钉在一起的地方长（）厘米。
2、有两块同样长的木条，钉成了一块长13分米的长木条，中间顶在一起的重叠部分长1分米，这两块木条原来各有多少分米？答：这两块木条原来各有（）分米。
【例5】王老师出了两组数学兴趣题给18名同学做，做对第一组的有10名同学，做队第二组的有12名同学，两题都做对的有多少名同学？答：两题都做对的有（）名同学。
练一练（五）1、有一个班英语、数学期终考试得100分的共有8人，其中英语100分的有5人，数学100分的有6人，两门学科都得100分的有几人？答：两门学科都得100分的有（）人。
2、有100个同学带矿泉水和水果去春游，带矿泉水的有78人，带水果的有71人，两样都带有至少有多少人？答：两样都带有至少有（）人。
3、二（3）班有39人，全班都订了报，订《少年报》的有35人，订《拼音报》有8人，两样报纸都订的有多少人？答：两样报纸都订的有（）人。
4、三年级学生中，音乐爱好者有38名，电脑爱好者有64名，两项都爱好的有27名，这个年级有多少名学生？答：这个年级有（）名学生。
5、在1～30中，既不是3的倍数，又不是5的倍数的数有多少个？答：又不是5的倍数的数有（）个。
二年级奥数 第七讲：重叠问题
第七讲 重叠问题 哪吒智闯水晶宫---哪吒被骗了哪吒继续往前去寻宝，只见一位白胡子老爷爷拿着哪吒地乾坤圈站在大厅中间。
“那是我的乾坤圈！”哪吒激动的叫起来。
哪吒赶紧跑过去一看，“怎么有两个乾坤圈？” 白胡子老爷爷微笑的说：“哪吒不认识我了？”哪吒仔细打量了这位老爷爷后说：“我记起来了，你是太白金星。
”太白金星：“哪吒，我听说了你的事后，特意来帮助你的，你看，我帮你把乾坤圈要回来了。
”哪吒：“那怎么有两个乾坤圈？”太白金星：“这其中一个是我的金钢圈，另一个是你的乾坤圈，刚才我拿一个圈称连我共重67千克，拿另一个圈称连我共重68千克，我的金刚圈比你的乾坤圈重，你猜得出来你的乾坤圈和我的金刚圈多重，我就把你的宝贝还给你”哪吒：“太白金星，你说话可得算数！”太白金星：“那当然了，我胡子都白了，还会骗你？你就在这里想吧，我有事先走，一会儿就回来”哪吒在原地想了一天一夜，也没有想出答案，他明白了，他并不知道太白金星的体重是不可能算出乾坤圈和金刚圈的重量的，他被骗了，那个老人根本不是太白金星！他不过是中了龙王的圈套而已，哪吒气冲冲的继续前进，心想，要再被我碰到这假冒的太白金星，我一定把他的胡子拔了！例题精讲例1 小朋友们排队练体操，小红的左边有6个人，右边有2个人，这一排共有几个人？6 小红 2分析：由图知道，小红所在一队的小朋友，可以分成三部分：第一部分是小红的左边的6个人，第二部分是小红这1个人，第三部分是小红右边的2个人。
要求一共有多少人，就是把这三部分加起来。
即6+1+2=9（人）。
小朋友排队去春游，小云的前面有5个同学，小云的后面有几个同学？小云分析：这一队的小朋友，可以分成三部分：要求小云后面有几个同学，就要从总人数12里面去掉小云前面的5个同学，再去掉小云1个人，才能求出问题。
即12―5―1=6（人）。
例3 幼儿园小朋友排队参观盆景，从前面数，小林是第10个，从后面数，小林是第17个，这一排共有几个小朋友？分析：“从前面数，小林是第10个”说明小林和他前面同学一共是10人，这个“10”里面包括小林，也包括他前面的同学；“从后面数，小林是第17个”，说明小林和他后面同学一共是17人，这个“17”里面包括小林，也包括他后面的同学。
(小学奥数)几何中的重叠问题
1. 瞭解容斥原理二量重疊和三量重疊的內容；2. 掌握容斥原理的在組合計數等各個方面的應用．一、兩量重疊問題 在一些計數問題中，經常遇到有關集合元素個數的計算．求兩個集合並集的元素的個數，不能簡單地把兩個集合的元素個數相加，而要從兩個集合個數之和中減去重複計算的元素個數，即減去交集的元素個數，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符號“”讀作“並”，相當於中文“和”或者“或”的意思；符號“”讀作“交”，相當於中文“且”的意思．)則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合A B 、的並集AB 的元素的個數，可分以下兩步進行：第一步：分別計算集合A B 、的元素個數，然後加起來，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”進來，加在一起)；第二步：從上面的和中減去交集的元素個數，即減去C AB =(意思是“排除”了重複計算的元素個數)． 二、三量重疊問題A 類、B 類與C 類元素個數的總和A =類元素的個數B +類元素個數C +類元素個數-既是A 類又是B 類的元素個數-既是B 類又是C 類的元素個數-既是A 類又是C 類的元素個數+同時是A 類、B 類、C 類的元素個數．用符號表示為：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．圖示如下：教學目標知識要點7-7-3.幾何中的重疊問題1．先包含——A B +重疊部分A B 計算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重疊部分A B 減去．在解答有關包含排除問題時，我們常常利用圓圈圖(韋恩圖)來幫助分析思考．【例 1】 把長38釐米和53釐米的兩根鐵條焊接成一根鐵條．已知焊接部分長4釐米，焊接後這根鐵條有多長？【考點】幾何中的重疊問題 【難度】1星 【題型】解答【解析】 因為焊接部分為兩根鐵條的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接後這根鐵條長3853487+-=(釐米)．【答案】87釐米【巩固】 把長23釐米和37釐米的兩根鐵條焊接成一根鐵條．已知焊接部分長3釐米，焊接後這根鐵條有多長？【考點】幾何中的重疊問題 【難度】1星 【題型】解答【解析】 焊接部分為兩根鐵條的重合部分，由包含排除法知，焊接後這根鐵條長：2337357+-=(釐米)．【答案】57釐米【例 2】 兩張長4釐米，寬2釐米的長方形紙擺放成如圖所示形狀．把它放在桌面上，覆蓋面積有多少平方釐米？【考點】幾何中的重疊問題 【難度】1星 【題型】解答例題精講圖中小圓表示A 的元素的個數，中圓表示B 的元素的個數，大圓表示C 的元素的個數．1．先包含：A B C ++ 重疊部分A B 、B C 、C A 重疊了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重疊部分A B C 重疊了3次，但是在進行A B C ++- A B B C A C --計算時都被減掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．图32厘米4厘米【解析】 兩個長方形如圖擺放時出現了重疊(見圖中的陰影部分)，重疊部分恰好是邊長為2釐米的正方形，如果利用兩個42⨯的長方形面積之和來計算被覆蓋桌面的面積，那麼重疊部分在兩個長方形面積中各被計算了一次，而實際上這部分只需計算一次就可以了．所以，被覆蓋面積=長方形面積之和-重疊部分．於是，被覆蓋面積4222212=⨯⨯-⨯=(平方釐米)．【答案】12釐米【巩固】 如圖3，一張長8釐米，寬6釐米，另一個正方形邊長為6釐米，它們中間重疊的部分是一個邊長為4釐米的正方形，求這個組合圖形的面積．【考點】幾何中的重疊問題 【難度】1星 【題型】解答图3【解析】 兩個圖形如圖擺放時出現了重疊(見圖中的陰影部分)，重疊部分恰好是邊長為4釐米的正方形，如果利用長方形和正方形面積之和來計算被覆蓋桌面的面積，那麼重疊部分在長方形和正方形面積中各被計算了一次，而實際上這部分只需計算一次就可以了．所以，組合圖形的面積=長方形面積+正方形面積-重疊部分．於是，組合圖形的面積：86664468⨯+⨯-⨯=(平方釐米)．【答案】68平方釐米【巩固】 一個長方形長12釐米，寬8釐米，另一個長方形長10釐米，寬6釐米，它們中間重疊的部分是一個邊長4釐米的正方形，求這個組合圖形的面積．【考點】幾何中的重疊問題 【難度】1星 【題型】解答【解析】 兩個長方形如圖擺放時出現了重疊(見圖中的陰影部分)，重疊部分恰好是邊長為4釐米的正方形，如果利用兩個長方形面積之和來計算被覆蓋桌面的面積，那麼重疊部分在兩個長方形面積中各被計算了一次，而實際上這部分只需計算一次就可以了．所以，組合圖形的面積=長方形面積之和-重疊部分．於是，組合圖形的面積12810644140=⨯+⨯-⨯=(平方釐米)．【答案】140平方釐米【例 3】三個面積均為50平方釐米的圓紙片放在桌面上(如圖)，三個紙片共同重疊的面積是10平方釐米．三個紙片蓋住桌面的總面積是100釐米．問：圖中陰影部分面積之和是多少？【考點】幾何中的重疊問題【難度】2星【題型】解答C BA10【解析】將圖中的三個圓標上A、B、C．根據包含排除法，三個紙片蓋住桌面的總面積=(A圓面積B+圓面積C+圓面積-）（A與B重合部分面積A+與C重合部分面積B+與C重合部分面積+）三個紙片共同重疊的面積，得：100505050A=++-（）（與B重合部分面積A+與C重合部分面積B+與C重合部分面積10+），得到A、B、C三個圓兩兩重合面積之和為：16010060-=平方釐米，而這個面積對應於圓上的那三個紙片共同重疊的面積的三倍與陰影部分面積的和，即：60103=⨯+陰影部分面積，則陰影部分面積為：603030-=(平方釐米)．【答案】30平方釐米【巩固】如圖，已知甲、乙、丙3個圓的面積均為30，甲與乙、乙與丙、甲與丙重合部分的面積分別為6，8，5，而3個圓覆蓋的總面積為73．求陰影部分的面積．【考點】幾何中的重疊問題【難度】2星【題型】解答【解析】設甲圓組成集合A，乙圓組成集合B，丙圓組成集合C．A B C===30，A B=6，B C=8，A C=5，A B C=73，而A B C=A B C+--A B B C A C A B C--+.有73=30×3-6-8-5+A B C，即A B C=2，即甲、乙、丙三者的公共面積(⑧部分面積)為2．那麼只是甲與乙(④)，乙與丙(⑥)，甲與丙(⑤)的公共的面積依次為6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有陰影部分(①、②、③部分之和)的面積為73-4-6-3-2=58．【答案】58【例 4】如圖，三角形紙板、正方形紙板、圓形紙板的面積相等，都等於60平方釐米．陰影部分的面積總和是40平方釐米，3張板蓋住的總面積是100平方釐米，3張紙板重疊部分的面積是多少平方釐米？【考點】幾何中的重疊問題【難度】3星【題型】解答【解析】了三次．所以三張紙重疊部分的面積60310040220（）(平方釐米)．=⨯--÷=【答案】20平方釐米【巩固】如圖所示，A、B、C分別是面積為12、28、16的三張不同形狀的紙片，它們重疊在一起，露在外面的總面積為38．若A與B、B與C的公共部分的面積分別為8、7，A、B、C這三張紙片的公共部分為3．求A與C公共部分的面積是多少？【考點】幾何中的重疊問題【難度】3星【題型】解答【解析】設A與C公共部分的面積為x，由包含與排除原理可得：⑴先“包含”：把圖形A、B、C的面積相加：12281656++=，那麼每兩個圖形的公共部分的面積都重複計算了1次，因此要排除掉．⑵再“排除”：5687x---，這樣一來，三個圖形的公共部分被全部減掉，因此還要再補回．⑶再“包含”：56873x---+，這就是三張紙片覆蓋的面積．根據上面的分析得：5687338x=．x---+=，解得：6【答案】6。
2019年二年级奥数重叠问题
知识要点：前面已学过排队问题，从前面数，从后面数，丽丽都排第6，这一排共有几个人？这里丽丽被重复数了两次，有时我们也把这类问题叫重叠问题。
[ 例1 ]洗好的8块手帕夹在绳子上晾干，同一个夹子夹住相邻的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子？分析：由图知道，两块手帕有一边重叠，用3个夹子。
三块手帕有两边重叠，用4个夹子，我们发现夹子数总比手帕数多1，因此8块手帕就要用9个夹子。
[ 例2 ]把图画每两张重叠在一起钉在墙上，现在有5张画要多少个图钉呢？分析：每排两张画要6个图钉，每排三张画要8个图钉，每排四张画要10个图钉。
可以看出，图画每增加一张，图钉就要增加2颗，那么5张画要12个图钉。
[ 例3 ]有两块一样长的木板，钉在一起，如果每块木板长25厘米，中间钉在一起的长5厘米，现在长木板有多长？分析：把两块木板钉起来，钉在一起的地方的长度就是重叠的部分。
现在的总长就是原来两个总长的和减去重叠的部分。
算式：25+25-5=45（厘米）所以现在木板长45厘米。
[ 例4 ]张老师出了两道题，做对第一题的有13人，做对第二题的有22人，两道题都做对的有8人，这个班一共有多少人？分析：做对第一题的13个人里，有8个人也做对第二题，那么做对第二题的22个人里这8个人就又重复数了一次，因此把做对第一题的人数和做对第二题的人数和起来，再减去重复数的这8个人。
算式：13+22-8=27（人）所以这个班一共有27人。
[ 例5 ]四根长都是8厘米的绳子，把它们打结连在一起，成为一根长绳，打结处每根绳用去1厘米，绳结长度不计，现在这根长绳长多少厘米？分析：两根绳有一个结，三根绳有两个结，那么四根绳有三个结。
一个结用去1+1=2厘米，那么三个结用去2+2+2=6厘米，绳子总长8+8+8+8=32厘米，减去打结的6厘米，32-6=26，现在这根长绳是26厘米。
2019年二年级奥数重叠问题1，小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。
【奥数】二年级下册数学奥数课件-第12讲《重叠问题》 全国通用
A
B
A∩B
巩固提升
作业1：有两根铁丝,一根长为 30 厘米,另一根长为 50 厘米,将这两根铁丝 焊接成一根长为 75厘米的长铁丝．那么,中间的焊接重叠部分长为多少厘米？ 答案：5厘米
巩固提升
作业2：明明用胶水将两张同样长的纸粘成了一张长为 195 厘米的长纸条,其 中粘在一起的部分长 5 厘米,这两张纸条各长多少厘米？ 答案：都是100厘米
例题讲解
练习3：有蓝色和红色两种珠花,每人至少选一种,共有 48 人,有 30 人选了 蓝色珠花,有 13 人两种都选了,那么选红色珠花的有多少人？ 答案：31人
例题讲解
例题4：二年级同学有 56 人参加科技和美术两个课外兴趣小组,其中参加科 技小组的有 36 人,两个小组都参加的有 8 人,参加美术小组的有多少人？ 答案：28人
例题讲解
例题1：把两根长为 20 寸的短尺用绳子捆成一根长尺,中间捆在一起的重叠 部分是 3 寸.捆成的长尺多少寸？
答案：37寸
例题讲解
练习1：将两张同样长的纸粘成了一张长为 80 寸的长纸条,其中粘在一起的 部分长 10 寸,这两张纸条各长多少寸？ 答案：45寸
例题讲解
例题2：学校的学生人人参加比赛,有 20 人参加足球比赛,有 26 人参加毽子 比赛．其中有 4 人两种比赛都参加．一共有学生多少人？ 答案：42人
例题讲解
练习4：有 60 人学习制作镜子,经过一段时间的训练后,有 33 人学会了制作 星云镜,有 25 人学会了制作幻镜,其中既会制作星云镜又会制作幻镜的有 10 人．那么既不会制作星云镜又不会制作幻长都是 8 厘米的绳子,把它们打结连在一起,成为一根长绳,打结 处每根绳用去 1 厘米,绳结长度不计．现在这根长绳长多少厘米？ 答案：26厘米
小学奥数专题-重叠问题(精华版)
小学奥数重叠问题专题日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题。
重叠问题中涉及到的容斥原理是奥数的四大原理之一，是奥数重要知识点。
学生学习奥数，一定要掌握容斥原理。
下面小编给大家分享解决重叠的方法。
1. 解答重叠问题要用到数学中一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
2. 解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次。
明确需要要求的是哪一部分，从而找出解答方法。
3. 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的部代表集合和集合之间的关系。
这种图称为韦恩图（也叫文氏图）。
4. 解答重叠问题的常用方法是：先不考虑重叠的情况，把有重复包含的几个计数部分加起来，再从它们的和中排除重复部分元素的个数，使得计算的结果既无遗漏又不重复。
这个原理叫做包含与排斥原理，也叫容斥原理。
5. 容斥原理1：如果被计数的对象，被分为A、B两大类，则：被计数对象的总个数=A 类元素的个数+B类元素的个数-同时属于A类和B类的元素个数。
..容斥原理2：如果被计数的对象，被分为A、B、C三大类，则：被计数对象的总个数=A类元素的个数+B类元素的个数+C类元素的个数-同时属于A类和B类元素的个数-同时属于A类和C类元素个数-同时属于B类和C类元素个数+同时属于A类、B类、C类元素个数。
..一、重叠问题之长度：（1）拼接（对接）（2）搭接（3）打结题目1：（搭接正问题：求总长度）把两段同样是20厘米长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。
中间重叠的部分是6厘米，粘好的纸条长多少厘米？题目2：（搭接反问题一：等长搭接，求原来长度）把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。
二年级数学7-重叠问题
<例1> 把两根长为 20 厘米的筷子用绳子捆成一根长筷子，中间捆在一起的重叠部分是 3 厘米。捆成的筷子长多少厘米？
分析：问捆成的，是现在还是原来？现在长。两根筷子捆在一起肯定变长了吧， 那用什么方法？加法。直接加就做完了吗？没有，还有重叠的，要减去。算式： 20+20=40（厘米），40-3=37（厘米）40 是捆在一起，原来总长，3 是重叠部 分，37 是现在总长。现总长=原总长-重叠
49名 算式：至少会一样：30+28-13=45（名）
都不会：49-45=4（名） 答
学校乐器队按计划招收了42名新学员会拉小提琴的有27人会弾电子琴又会拉小提琴的有16人两项都不会的有1人
第七讲：重叠问题 ——学而思 赵杨老师
一．总长 1. 现总长=原总长-重叠 关键：重叠数=总数-1 2. 原总长=现总长+重叠 3.重叠=原总长-现总长 二．韦恩图 （大饼A，大饼B，重叠部分AB） 1. 总数=A+B-AB 2. AB=A+B=总数 3. B=总数-A+AB
（1） 求一共的，知道英语班、电脑班，还知道重叠的，总共的：20+26-4=42 （人）
（2） 总结：这个图不叫饼图，叫韦恩图，左圈叫A，右圈叫B，中间重叠的叫 AB。总数=A+B-AB
每周一练
<拓1> 把10根长为10cm的筷子，捆成一根长的筷子，中间重叠部分为2cm，问捆成后 的筷子长多少cm？
答案解析
（1）分析：10根筷子9处重叠 算式：10*10-（10-1）*2=82cm 答
（2）分析：四根铁丝3处重叠 算式：（40*4-130）/(4-1)=10cm 答
（3）分析：画韦恩图 小1人
二年级数学重叠问题
二年级数学重叠问题一、知识点讲解1. 重叠问题的概念在数学中，重叠问题是指有部分元素在不同的集合中重复出现的情况。
例如，同学们参加语文小组和数学小组，有一些同学既参加了语文小组又参加了数学小组，这就是重叠部分。
2. 解决重叠问题的方法常用的方法是画韦恩图（集合图）来直观地表示各个集合以及它们之间的重叠关系。
另外，也可以通过计算来解决，计算时要注意避免重复计算重叠部分。
例如：计算参加两个小组的总人数时，如果直接把参加语文小组的人数和参加数学小组的人数相加，就会把既参加语文小组又参加数学小组（重叠部分）的人数多计算一次，所以需要减去重叠部分的人数。
二、经典例题及解析1. 例题1题目：二（1）班同学参加课外活动，有20人参加英语班，25人参加电脑班，其中有10人两个班都参加了。
二（1）班一共有多少人参加课外活动？解析：我们可以画韦恩图来理解。
先画两个相交的圆，一个圆表示参加英语班的同学，另一个圆表示参加电脑班的同学，相交的部分就是两个班都参加的同学。
如果直接把参加英语班的20人和参加电脑班的25人相加：20 + 25=45（人），这里面把两个班都参加的10人重复计算了一次。
所以正确的计算方法是：20+25 10 = 35（人）。
2. 例题2题目：学校乐器队招收了42名新学员，其中会拉小提琴的有25名，会弹钢琴的有22名，两项都不会的有3名。
两项都会的有多少名？解析：我们知道总共有42名新学员，其中两项都不会的有3名，那么至少会一项乐器的学员有42 3 = 39（名）。
会拉小提琴的有25名，会弹钢琴的有22名，那么25+22 = 47（名），这个数字比至少会一项乐器的39名多。
多出来的部分就是两项都会的人数，即47 39 = 8（名）。
3. 例题3题目：把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板，中间重叠部分长11厘米。
这两块木板各长多少厘米？解析：两块木板钉在一起后总长度是35厘米，但是中间重叠了11厘米。
二年级奥数-第二学期-009重叠问题(一)
二年级创新思维春季班讲义：第九讲重叠问题（一）姓名：【例1】小朋友排队做操，从前面数平平在第三位，从后往前数平平排第9位，这一排共有多少人在排队做操？答：这一排共有（）人在排队做操。
练一练（一）1、小青和同学们排成一队做游戏，小青的位置，从前往后数是第5个，从后往前数是第13个，他们一共有多少人在做游戏？答：他们一共有（）人在做游戏。
2、迎新年超市门口挂了一串不同颜色的彩灯，无论是从左边数还是从右边数，第16盏灯都是红灯，这一行挂了多少盏灯？答：这一行挂了（）盏灯。
3、40个小朋友排成一队，从左数起小华是第11个，从右数起小刚是地16个，小华和小刚之间隔着几个人？答：小华和小刚之间隔着（）个人。
4、在一个环行的赛车的跑道上，马克驾驶的赛车从前往后看在第5个，从后往前看也在第5个，有多少人在进行比赛？答：有（）人在进行比赛。
5、二（1）班学生做操，排成人数相等的两行，小名所站的那行从前往后数，小名排11个，从后往前数排第15个，问：这个班有多少人在排队？答：这个班有（）人在排队。
【例2】同学们进行队列操排练，排成“十”字形，，无论从前面数、后面数，还是从左面数、右面数，小君都是第8个，每行人数相等，问：排队列操的有多少人？答：排队列操的有（）人。
练一练（二）1、学校军鼓队的同学在训练时排成一个“十”字形，指挥的同学恰好站在中间，无论从前面数、后面数，还是从左面数、右面数，指挥的同学都是第13个，学校军鼓队有多少名学生？答：学校军鼓队有（）名学生。
2、同学们做操，排成方正形的队伍，无论从前面数、后面数，还是从左面数、右面数，小君都是第5个，这个方正队伍共有多少人？答：这个方正队伍共有（）人。
3、一年级三个班到小剧院看电影，坐成方正形位置，凯凯的位置无论从前面数、后面数，还是从左面数、右面数，都是第6个，共有多少个小朋友在看电影？答：共有（）个小朋友在看电影。
【例3】幼儿园李老师将8块手帕用夹子夹在绳子上晾晒，每一块手帕的两边必须用夹子夹住，同一个夹子夹住相邻的2块手帕的两边，李老师一共要用多少个夹子？答：李老师一共要用（）个夹子。
二年级奥数.杂题.重重叠叠
之前，我们遇到过这样一些问题，两根木头钉在一起还有多长；把两块毛巾挂在铁丝上需要几个夹子等等.解答这些问题的时候都要考虑重叠的部分.在这节课中我们将这些类似的问题归纳在一起，让学生通过有目的的研究，来找到解决重叠问题的方法.同学们，我们都玩过剪纸，如果把两张纸用胶水粘贴在一起，两张纸必然会有一端上下重合在一起，这重合的部分就是重叠部分.以前我们也遇到过一些重叠问题，解决重叠问题首先要弄清楚是哪部分重叠，还要弄清重叠了几部分，然后再来根据题目的意思具体分析.这节课我们就专门来研究这个问题.【例1】 洗好的8块手帕用夹子夹在绳子上晾干，每一块手帕的两边必须用夹子夹住，同1个夹子夹住相邻的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子?【例2】 把两根长为20厘米的筷子用绳子捆成一根长筷子，中间捆在一起的重叠部分是3厘米.捆成的长筷子长多少厘米？【例3】 小玲用胶水将两张同样长的纸粘成了一张长为80厘米的长条，其中粘在一起的部分长10厘米，这两张纸条各长多少厘米？【例4】 有两根铁丝，一根长为30厘米，另一根长为50厘米，将这两根铁丝焊接成一根长为75厘米的长铁丝.那么，中间的焊接重叠部分长为多少厘米？例题精讲 知识框架 重重叠叠巧求周长【例5】有四块各长80厘米的木板，钉成一块木板(如图)，中间钉在一起重叠的部分是10厘米，钉成的木板长多少厘米?【例6】把10张图片用图钉像下图那样钉在橱窗里，一共要用多少个图钉?……【例7】二（1）班同学人人参加课外活动，有20人参加英语班，有26人参加电脑班.其中4人两个班都参加.二（1）班一共有多少人？【例8】20个同学报名参加美术组和舞蹈组，其中有16人参加了美术组，12人参加了舞蹈组.问两个小组都参加的有多少个同学？【例9】某班有20个同学参加作文和数学竞赛，其中参加数学竞赛的有15人，参加作文竞赛的有13人，问只参加数学竞赛和只参加作文竞赛的各有多少人？【例10】学校乐器队按计划招收了42名新学员，会拉小提琴的有27人，会弹电子琴又会拉小提琴的有16人，两项都不会的有1人.会弹电子琴的有多少人?课堂检测【随练1】小朋友们去喝冷饮，只能选择可乐和雪碧两种饮料.可以选择一种或两种，也可以不选.选择可乐的有18名，不选雪碧的有15名，两种都选的有10名，两种都没选的有多少名？【随练2】春天来了，全班52人到北海公园划船，有27人划了手摇船，29人划了脚踏船，4名同学因身体不好没有划船而去游览了白塔.问：既划了手摇船也划了脚踏船的同学有多少人？家庭作业【作业1】有两块木板，一块长72厘米，另一块长56厘米，如果把两块木板重叠后钉成一块木板，重叠部分是20厘米.求钉成后的木板长多少厘米?【作业2】三年级同学参加科技和美术两个课外兴趣小组，参加科技组的有36人，参加美术组的有28人，两个小组都参加的有8人，三年级一共有多少人参加课外兴趣小组?【作业3】四根长都是8厘米的绳子，把它们打结连在一起，成为一根长绳，打结处每根绳用去1厘米，绳结长度不计.现在这根长绳长多少厘米?【作业4】三年级同学有56人参加科技和美术两个课外兴趣小组，其中参加科技组的有36人，参加美术组的有28人，两个小组都参加的有多少人?【作业5】二年级有40名同学参加跳绳和拍球两项比赛，有12人没有获奖，其中拍球获奖的有18人，拍球和跳绳两项比赛都获奖的有10人，跳绳比赛获奖的有多少人?【作业6】老师出了两道测试题，全班每个同学都至少答对了一道，答对第一道题的有30人，答对第二道题的有28人，两道都答对的有16人，那么全班同学总共有多少人？【作业7】有101个同学带着水壶和水果去春游，其中带水壶的有78人，带水果的有71人，只带水壶和只带水果的各有多少人?【作业8】有40人参加测验，答对第一题的有21人，答对第二题的有30人，两道题都答对的有15人，两道题都没答对的有多少人?【作业9】把10块木块用铁钉钉成一条长木条，每两块之间加钉4个，如下图，共需钉上多少个钉？【作业10】学校开设了自然和趣味数学两门选修课，每个同学至少要选一门，二(3)班共有48人，有30人选了自然课，有13人两门都选了，那么选趣味数学课的同学有多少人？。
小学奥数专题-重叠问题(精华版)
小学奥数重叠问题专题日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题。
重叠问题中涉及到的容斥原理是奥数的四大原理之一，是奥数重要知识点。
学生学习奥数，一定要掌握容斥原理。
下面小编给大家分享解决重叠的方法。
1. 解答重叠问题要用到数学中一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
2. 解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次。
明确需要要求的是哪一部分，从而找出解答方法。
3. 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合和集合之间的关系。
这种图称为韦恩图（也叫文氏图）。
4. 解答重叠问题的常用方法是：先不考虑重叠的情况，把有重复包含的几个计数部分加起来，再从它们的和中排除重复部分元素的个数，使得计算的结果既无遗漏又不重复。
这个原理叫做包含与排斥原理，也叫容斥原理。
5. 容斥原理1：如果被计数的对象，被分为A、B两大类，则：被计数对象的总个数=A 类元素的个数+B类元素的个数-同时属于A类和B类的元素个数。
容斥原理2：如果被计数的对象，被分为A、B、C三大类，则：被计数对象的总个数=A 类元素的个数+B类元素的个数+C类元素的个数-同时属于A类和B类元素的个数-同时属于A类和C类元素个数-同时属于B类和C类元素个数+同时属于A类、B类、C类元素个数。
一、重叠问题之长度：（1）拼接（对接）（2）搭接（3）打结题目1：（搭接正问题：求总长度）把两段同样是20厘米长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。
中间重叠的部分是6厘米，粘好的纸条长多少厘米？题目2：（搭接反问题一：等长搭接，求原来长度）把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。
这段更长的纸条长30厘米，中间重叠的部分是6厘米，原来两条纸条各长多少厘米？题目3：（搭接反问题一：不等长搭接，求原来长度）两根木棍放在一起，从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间重叠部分长12厘米。
2年级奥数重叠问题
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8+6-1=13（人）
例题【一】（★ ★ ）
下面的图中，共可以数出( )个正方形。
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四根铁丝的总长：40×4=160（厘米） 重叠部分的总长：160-130=30（厘米） 重叠次数：3处
知识链接（ ★ ★ ★ ）
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一个九宫格中含有14个正方形！ 一共：14×2=28
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（1）先不管重复的
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（2）再减去重复的
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拓展（ ★ ★ ★ ）
把四根一样长的铁丝，每根长40厘米，绑成一根长130厘米 的长铁丝，那么每两根中间的重叠部分长多少厘米？
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知识要点：前面已学过排队问题，从前面数，从后面数，丽丽都排第 6，这一排共有几个人？这里丽丽被重复数了两次，有时我们也把这类问题叫重叠问题。
[例1 ]洗好的8块手帕夹在绳子上晾干，同一个夹子夹住相邻的两
块手帕的两边，这样一共要多少个夹
子？
分析：由图知道，两块手帕有一边重叠，用 3 个夹子。
三块手帕有两边重叠，用 4 个夹子，我们发现夹子数总比手帕数多1，因此 8 块手帕就要用 9 个夹子。
[例2 ]把图画每两张重叠在一起钉在墙上，现在有 5 张画要多少个图钉呢？
分析：每排两张画要 6 个图钉，每排三张画要 8 个图钉，每排四张画要 10 个图钉。
可以看出，图画每增加一张，图钉就要增加 2 颗，那么 5 张画要 12 个图钉。
[例3 ]有两块一样长的木板，钉在一起，如果每块木板长25 厘米，中间钉在一起的长 5 厘米，现在长木板有多长？
分析：把两块木板钉起来，钉在一起的地方的长度就是重叠的部分。
现
在的总长就是原来两个总长的和减去重叠的部分。
算式：25+25-5=45（厘米）所以现在木板长 45 厘米。
[ 例 4 ] 张老师出了两道题，做对第一题的有 13 人，做对第二题的有 22 人，两道题都做对的有 8 人，这个班一共有多少人？
分析：做对第一题的 13 个人里，有 8 个人也做对第二题，那么做对第二题的 22 个人里这 8 个人就又重复数了一次，因此把做对第一题的人数和做对第
二题的人数和起来，再减去重复数的这8 个人。
算式： 13+22-8=27（人）所以这个班一共有 27 人。
[ 例 5 ] 四根长都是 8 厘米的绳子，把它们打结连在一起，成为一根长
绳，打结处每根绳用去 1 厘米，绳结长度不计，现在这根长绳长多少厘米？
分析：两根绳有一个结，三根绳有两个结，那么四根绳有三个结。
一个
结用去 1+1=2 厘米，那么三个结用去 2+2+2=6厘米，绳子总长 8+8+8+8=32厘米，减去打结的 6 厘米， 32-6=26，现在这根长绳是 26 厘米。
重叠问题
练习一
1，小朋友排队做操，小明从前数起排在第 4 个，从后数起排在第7 个。
这队小朋友共有多少人？
2，学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12 个，从右数起是第21个。
这一行座位有多少个？
3，同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第 8 个。
这一排共有多少个同学？
练习二
1，同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。
小红的位置无论从前数从
后数，从左数还是从右数起都是第 4 个。
跳舞的共有多少人？
2，为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左
数第 2 个，从右数第 4 个；从前数第 3 个，从后数第 5 个。
鲜花队共多少人？
3，三（ 4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从
前数是第 6 个，从后数是第 5 个；从左数、从右数都是第 3 个。
三（ 4）班共有学生多少人
.
练习三
1，把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。
这段更长的
纸条长 30 厘米，中间重叠部分是 6 厘米，原来两段纸条各长多少厘米？
2，把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长 35 厘米的木板。
中间重合部
分长 11 厘米，这两块木板各长多少厘米？
3，两根木棍放在一起（如图），从头到尾共长66 厘米，其中一根木棍长48 厘米，中间重叠部分长12 厘米。
另一根木棍长多少厘米？
练习四
1，三（1）班有学生 55 人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种。
已知
参加赛跑的有 36 人，参加跳绳的有 38 人。
两项比赛都参加的有几人？
2，两块木板各长 75 厘米，像下图这样钉成一块长 130 厘米的木板，中间重合部分是多少厘米？
3，三（ 5）班有 42 名同学，会下象棋的有 21 名同学，会下围棋的有 17 名，两种棋都不会的有 10 名。
两种棋都会下的有多少名？
练习五
1，三（4）班做完语文作业的有 37 人，做完数学作业的有 42 人，两种作业都完成的有 31 人，每人至少完成一种作业。
三（ 4）班共有学生多少人？
2，两块木板各长90 厘米，像下图这样钉成一块木板，中间重合部分是
15厘米，这块钉在一起的木板总长多少厘米？
3，三年级有 107 个小朋友去春游，带矿泉水的有 78 人，带水果的有 77 人，每人至少带一种。
三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人？。