第四章练习题答案

6
4
2.
解：
∫
sin
sin x+
x cos
x
dx
sin(x + π − π )
=∫
4 2 sin(x +
4 π)
dx
=
1 2
∫
sin(x
+ π ) − cos(x + 4 2 sin(x + π )
π 4
)
dx
4
4
=
1 2
∫
(1−
cot( x
+
π 4
)dx
=
1 2
(x
−
ln
sin( x
+
π 4
))
+
ln(1+ t2 )dt = 2(t ln(1+ t2 ) − 2
t2 1+ t2 dt)
= 2t ln(1+ t2 ) − 4t + 4 arctan t + C = 2 x ln(1+ x) − 4 x + 4 arctan x + C ；
B
1. 求下列不定积分
∫ ∫ ∫ 1. 解： tan3 x ⋅sec4 xdx = tan3 x ⋅sec2 xd tan x = (tan5 x − tan3 x)d tan x = 1 tan6 x − 1 tan4 x + C ；
∫ ∫ ∫ ∫ 9. 解：当 x > 0 时， x2 − 9 dx = 3 tan t 3sec t tan tdt = 3 tan2 tdt = 3 (sec2 t −1)dt
x
3sec t
= 3 tan t − 3t + C = x2 − 9 + 3arccos 3 + C ， x
∫ ∫ 当 x < 0 时， x2 − 9 dx = u2 − 9 du = u2 − 9 + 3arccos 3 + C = x2 − 9 + 3arccos 3 + C ，
x
x=−u
u
u
−x
∫ 所以 x2 − 9 dx = x2 − 9 + 3arccos 3 + C ；
x
x
∫ ∫ ∫ 10. 解：
1 dx = (1+ x2 )3
1 sec3
t
sec2
tdt
=
cos tdt = sin t + C =
1 +C ； 1+ x2
∫ ∫ ∫ ∫ 11. 解：
arctan
xdx =
64
4
64
4
4
= 1 x3 + 1 x2 sin 2x + 1 x cos 2x − 1 sin 2x + C ；
64
4
8
4. 解：令
1+ x x
= t ，则 x
=
1， t2 −1
11
1
∫ ∫ ∫ 原式 =
ln(1 +
t)d
1 t2 −1
=
ln(1+ t) t2 −1
∫ 2. 若 f (2x)dx = 2 cos x + C ，则 f (x) = −2sin x .（两边求导得 f (2x) = −2sin x ，再换元） 2
3. 过点 (1,1) 且在任一点 (x, y) 处切线斜率为 x2
x
的曲线方程为
y
=
2
7
x2
+
5
.
77
∫ ∫ 4. 若 f (x)dx = x2 + x + C ，则 f (2x +1)dx = 1 [(2x +1)2 + 2x +1] + C .
∫ ∫ 1. 解：
x4 1+ x2
dx
=
(
x2
−1
+
1 1+ x2
)dx
=
1 3
x3
−
x
+
arctan
x
+
C
；
∫ ∫ ∫ 2. 解：
x3 1+ x2
dx
=
(x
−
x 1+ x2
)dx
=
1 2
x2
−
Байду номын сангаас1 2
1 1+ x2
d (1+
x2 )
=
1 2
x2
−
1 2
ln(1+
x2 )
+
C
；
∫ ∫ 3. 解： sin3 xdx = − (1− cos2 x)d cos x = − cos x + 1 cos3 x + C ；
C
；
∫ ∫ ∫ ∫ 3. 解： x2 ⋅ cos2 xdx = 1 x2 (1+ cos 2x)dx = 1 x3 + 1 x2d sin 2x = 1 x3 + 1 x2 sin 2x − 1 x sin 2xdx
2
64
64
2
∫ ∫ = 1 x3 + 1 x2 sin 2x + 1 xd cos 2x = 1 x3 + 1 x2 sin 2x + 1 x cos 2x − 1 cos 2xdx
arctan tdt2 = t2 arctan t −
t2 1+ t2
dt
=
t2
arctan t
−
(1
−
1
1 +t
2
)dt
= t2 arctan t − t + arctan t + C = (x +1) arctan x − x + C ；
∫ ∫ ∫ 12. 解：
ln(1+ x) dx = 2 x
2
5. 若 f ′(ex ) = 1+ x ，则 f (x) = x ln x + C . （由已知 f ′(x) = 1+ ln x ，再积分即可）
∫ 6. 若 f (x) 具有连续的一阶导数，则 ex [ f (x) + f ′(x)]dx =
前半部分抵消）
二、计算题
ex f (x) + C .（后半部分用分部积分可与
9 − x2
2 9 − x2
8. 解： ∫
9− x
x2
dx
=
∫
3cos t 3sin t
3cos tdt
=
3∫
1
− sin2 sin t
t
dt
=
3∫ (csct
− sin t)dt
= 3ln csc t − cot t + 3cos t + C = 3ln 3 − 9 − x2 + 9 − x2 + C ； x
2
2
∫ ∫ 5. 解：
x2
2x + + 3x
3 −10
dx
=
d (x2 + 3x −10) x2 + 3x −10
dx
=
ln
x2
+ 3x −10
+C
；
∫ ∫ 6. 解：
x dx = 1 d (x2 − 9) = x2 − 9 + C ；
x2 − 9
2 x2 − 9
∫ ∫ 7. 解：
x dx = − 1 d (9 − x2 ) = − 9 − x2 + C ；
3
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 4. 解：
x2
x +1 − 2x +
5
dx
=
1 2
x
2
2x − 2 − 2x +
5
dx
+
x2
−
2 2x
+
5
dx
=
1 2
d (x2 − 2x + 5) + x2 − 2x + 5
(x
2 − 1) 2
+
22
dx
= 1 ln x2 − 2x + 5 + arctan x −1 + C ；
不定积分练习题
A
一、填空题
∫ ∫ 1. 已 知 2 e2x 是 f (x) 的 一 个 原 函 数 ， 则 f ′(x)dx = 4e2x + C ， f (x)dx = 2e2x + C ，
∫ ∫ ∫ f (sin x) cos xdx = 2e2sin x + C ， f (x +1)dx = 2e2(x+1) + C ， xf ′(x)dx = 2(2x −1)e2x + C .