实验五 经验分布函数图形的绘制与演示
函数图像绘制技巧与分析
函数图像绘制技巧与分析函数图像是数学中常见的一种形式，它能够直观地展现函数的性质和特点。
在学习和研究函数时，绘制函数图像是一种非常重要的方法。
本文将介绍一些函数图像绘制的技巧，并对函数图像进行一些分析。
一、函数图像绘制的基本步骤绘制函数图像的基本步骤包括确定函数的定义域、确定坐标轴范围、选择合适的点进行绘制、绘制曲线、标注关键点和分析曲线的性质。
首先，确定函数的定义域是绘制函数图像的基础。
函数的定义域是指函数能够取值的范围。
例如，对于函数y = 1/x，其定义域为x ≠ 0。
在确定定义域后，我们可以确定坐标轴的范围，使得函数图像能够在坐标系中完整地展示。
其次，选择合适的点进行绘制。
为了准确地绘制函数图像，我们需要选择一些关键的点来代表函数的特点。
一般来说，选择函数的零点、极值点、拐点等作为绘制的点是比较常见的方法。
通过计算函数在这些点的取值，我们可以得到这些点的坐标，从而绘制出函数图像。
然后，绘制曲线。
通过连接选择的点，我们可以绘制出函数的曲线。
在绘制曲线时，可以使用直线段和曲线段相结合的方式，使得曲线更加平滑和自然。
接下来，标注关键点。
在绘制完曲线后，我们可以通过标注关键点的方式来更好地展示函数的性质。
例如，在函数图像上标注函数的零点、极值点等，有助于读者更加直观地理解函数的特点。
最后，分析曲线的性质。
通过观察函数图像，我们可以分析函数的增减性、奇偶性、周期性等特点。
例如，如果函数图像在某个区间上是递增的，那么我们可以得出函数在该区间上是增函数的结论。
通过对函数图像的分析，我们可以更深入地理解函数的性质。
二、函数图像绘制的技巧在绘制函数图像时，有一些技巧可以帮助我们更加准确和高效地完成任务。
首先，利用对称性。
许多函数具有对称性，例如偶函数和奇函数。
对于偶函数，其函数图像关于y轴对称；对于奇函数，其函数图像关于原点对称。
通过利用对称性，我们可以只绘制函数图像的一部分，然后通过对称性得到整个函数图像。
实验五 经验分布函数图形的绘制与演示
实验六 经验分布函数图形的绘制与演示6.1 实验原理设()F x 是总体X 的分布函数，12,,,n X X X "是来自总体X 的简单随机样本．对任意一个实数x ，定义函数#()(),i n X x F x x n≤=−∞<<∞. (6.1) 其中#()i X x ≤表示样本分量12,,,n X X X "中小于或等于x 的个数，或者说，()n F x 是事件“X x ≤”发生的频率．易见)(x F n 满足分布函数的性质（单增、有界、右连续等），故)(x F n 为一分布函数，称)(x F n 为总体X 的经验分布函数．由格列汶科定理知lim sup ()()0 1.n n x P F x F x →∞−∞<<∞⎛⎞−==⎜⎟⎝⎠该定理说明)(x F n 在整个实数轴上以概率1均匀收敛于()F x ．当样本容量n 充分大时，经验分布函数)(x F n 可以作为总体分布函数()F x 的一个良好的近似，这是数理统计学中以样本推断总体的理论依据．当给定样本值1212(,,,)(,,,)n n X X X x x x =""时，若将12,,,n x x x "从小到大排序：(1)(2)()n x x x ≤≤≤"，得到有序样本)()2()1(,,,n x x x "，由定义(6.1)知，)(x F n 的形式为(1)()(1)()0,,(),,1,2,,1,1,.n k k n x x k F x x x x k n nx x +<⎧⎪⎪=≤<=−⎨⎪>⎪⎩" (6.2)这就是根据样本观测值得到的经验分布函数的具体形式．6.2 实验目的及要求理解经验分布函数的构成，经验分布函数是样本的函数，随着样本观测值的变化而变化，通过实验学习经验分布函数图形的绘制方法和动态演示过程．具体要求为1. 任意产生一组随机样本，对该样本从小到大排序；2. 利用排序后的样本作经验分布函数图形；3. 让样本动态变化，观察相应的经验分布函数图形的变化，写出实验体会．6.3 实验过程为了说明经验分布函数图形的绘制和动态演示过程，我们通过一个实例来进行讲解． 例6.1 在Excel 中随机产生一个服从均匀分布(1,6)U 的，样本容量=4n 的随机样本．如图6.1，在单元格A2中输入产生均匀分布(1,6)U 随机数命令“=1+5*RAND( )”，再将其拖放填充至A5，就可在单元格区域A2:A5中产生了4个样本观测值1234,,,x x x x ，每按一次F9键，这些随机数都会发生变化，这为我们进行动态演示带来方便，这里1 3.82,x =2 2.81,x =3 1.32,x = 4 4.44x =. 接着我们把观测值1234,,,x x x x 从小到大排序，在单元格区域B2:B5中分别使用命令“=SMALL($A$2:$A$5, k)” (k=1,2,3,4) 得到顺序样本观测值：(1)(2)(3)(4)1.32, 2.81, 3.82, 4.44x x x x ====.在此基础上，我们可以利用条件语句和散点图绘制经验分布函数的图形．由(6.2)可知，此时经验分布函数的表达式为0, 1.32,0.25, 1.32 2.81,()0.5 2.81 3.82,0.75, 3.82 4.44,1,4.44.n x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩(6.3)图6.1 样本容量n= 4的样本观测值及其对应的经验分布函数图在单元格C2内输入起始值0，点击【编辑】/【填充】/【系列】，在出现的对话框中如图6.2输入相应选项，就可以在单元格区域C2:C702中顺序产生0，0.01，0.02，…，7共703个自变量x 的取值序列．图6.2 产生自变量x 的取值序列对于单元格区域C2:C702中任意一个单元格中x 的取值，其右侧（D 列）对应的单元格内为相应经验分布函数)(x F n 的值，)(x F n 的值按公式（6.3）来计算，具体计算公式为“(1)(2)(3)(4)IF(,0,IF(,0.25,IF(,0.5,IF(,0.75,1))))x x x x x x x x =<<<<”.例如，单元格D2内的计算公式就应为“=IF(C2<$B$2, 0, IF(C2<$B$3, 0.25, IF(C2<$B$4, 0.5, IF(C2<$B$5, 0.75, 1))))”.再利用拖放填充功能将单元格D2内的计算公式复制到整个单元格区域D2:D702中，就自动计算出所有)(x F n 的取值．最后，利用单元格区域C2:C702中自变量x 的取值和D2:D702中经验分布函数)(x F n 的值画出散点图，经过修饰调整后如图 6.1. 图中每一条水平线段右端的空心点可这样画出，鼠标右击图形中任一数据点，在弹出对话框中选择【设置数据系列格式】，再在弹出对话框中选【数据标记选项】/【内置】，类型选择“○”，大小选5磅，就可得出图6.1的效果．注意：最后一个数据点(7, 1)的“数据点格式”要改成实心点，以体现经验分布函数右连续的性质．只要双击最后一个数据点，在弹出对话框中选【数据标记填充】/【纯色填充】，颜色选“深蓝色”即可．6.4 讨论经验分布函数(6.2)可以看成服从离散均匀分布(1)(2)()111n x x x n n n ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠"" 的随机变量X 的分布函数．但要注意)()2()1(,,,n x x x "只是顺序统计量(1)(2)(),,,n X X X "的一组取值，而后者随着样本12,,,n X X X "的不同而随机变化的．上面设计的这个实验恰好能反映这种随机变化过程，每按一次F9键，1234,,,x x x x 发生一次变化，(1)(2)(3)(4),,,x x x x 也随之发生相应变化，经验分布函数的图形6.1也随之发生动态变化，这就给我们留下生动而直观的印象，加深对经验分布函数)(x F n 的理解．。
小学数学知识点函数像的绘制与分析
小学数学知识点函数像的绘制与分析小学数学知识点：函数图像的绘制与分析函数是数学中的重要概念之一，它在解决实际问题和数学推理中具有广泛的应用。
通过学习函数的图像绘制与分析，我们可以更好地理解函数的性质和特点。
本文将介绍小学数学中常见的函数图像，以及如何进行相关的分析。
一、线性函数的图像与分析线性函数是最简单的函数类型之一，其图像为一条直线。
一般形式为f(x) = kx + b，其中k和b为常数。
线性函数的图像在坐标系中具有以下特点：直线斜率与函数的k值有关，斜率越大，直线越陡；常数项b决定了直线与纵轴的交点。
通过这些特点我们可以绘制线性函数的图像，并进行相关的分析。
二、二次函数的图像与分析二次函数是小学数学中另一个常见的函数类型，其图像为一条抛物线。
一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数。
二次函数的图像在坐标系中具有以下特点：抛物线开口向上或向下取决于二次项a的正负；平移和拉伸通过一次项b和常数项c来实现。
通过这些特点我们可以绘制二次函数的图像，并进行相关的分析。
三、绝对值函数的图像与分析绝对值函数是一种特殊的函数类型，其图像为一条V字型曲线。
一般形式为f(x) = |x|。
绝对值函数的图像在坐标系中具有以下特点：曲线在原点处取得最小值，两边逐渐向上增长；函数值的正负取决于自变量x的正负。
通过这些特点我们可以绘制绝对值函数的图像，并进行相关的分析。
四、常数函数的图像与分析常数函数是最简单的一类函数，其图像为一条水平的直线。
一般形式为f(x) = k，其中k为常数。
常数函数的图像在坐标系中具有以下特点：直线与纵轴平行，与横轴相交于k。
通过这些特点我们可以绘制常数函数的图像，并进行相关的分析。
五、分段函数的图像与分析分段函数是由多个函数拼接而成的函数，其图像会根据不同的条件而变化。
常见的分段函数包括阶梯函数和条件函数。
通过确定不同条件下的函数表达式，我们可以绘制分段函数的图像，并进行相关的分析。
用几何画板绘制函数图像技巧三例
图 0 从" 坐 标 平 移 ( 的 角 度 看 ! 函 数 !+! 45A8&:& 4; 在 以 点
8& 4> ! 4; 为 原 点 的 直 角 坐 标 系 中 的 图 像 与 函 数 !+A8&; 在 原
坐标系中的图像形状是相同的’
三 ! 分段函数的图像
设 分 段 函 数 为 B8&;+
"
&
0
8C & ,;
-"-T22(
!""#$ %
!"
软件研制
经 过 系 统 计 算 器 的 计 算 ! 化 为" 数 对 # $ 代 数 % ! 再 把 数 对 用 点$ 几 何 % 表 示 ! 通 过 主 动 点 与 被 动 点 之 间 的 制 约 关 系 作 出 点 的 运 动 轨 迹& && 函 数 的 图 像 ’
第 七 步 ! 先 后 选 择 度 量 值 & B+,<,3 * B8&;+2<J2 ! 并 选 择 ) 图 表 ! 绘 制 8&> !; # 命 令 ! 绘 制 出 点 K8& H> H8&;; ’ 第 八 步 ! 同 时 选 择 点 H * L ! 并 选 择) 构 造 ! 轨 迹 # 命 令 ! 得 到 函 数 B 8&; +
34 ( " 再 选 择& 构 造 # 线 段 上 的 点 $ 命 令 %
第 四 步 " 选 中 点 5 " 并 选 择& 度 量 # 横 坐 标 $ 命 令 " 得
经验分布函数图形的绘制与演示
1、经验分布函数的作图n=4。
1在Excel中产生一个服从均匀分布U(1,6)的样本容量n=4的随机样本。在单元格A2中输入产生均匀分布U(1,6)的随机数命令“=1+5*RAND()”，再将其拖放填充至A5,就可在单元格区域A2:A5中产生4个样本观测值x1,x2,x3,x4,每按一次F9键，这些随机数就会发生变化，这为我们进行动态显示带来方便。接着我们把样本观测值x1,x2,x3,x4从小到大排序，在单元格B2：B5中分别使用命令“=SMALL($A$2:$A$5,1)”(k=1,2,3,4)得到顺序样本观测值。
实验二经验分布函数图形的绘制与演示
实验序号：2日期：2014年5月29日
班级
数学学院2012级F班
学号
124080Leabharlann 45姓名王信实验名称
经验分布函数图形的绘制与演示
问题的背景和目的：
设X1,X2,…,Xn是取自总体X的随机样本，Fn(x)是总体X的经验分布函数，当n→∞时由格列汶科定理知
该定理说明Fn(x)在整个实数轴上一概率1均匀收敛于F(x)。当样本容量n充分大时，经验分布函数Fn(x)可以作为总体分布函数F(x)的一个良好的近似，这是数理统计学中以样本推断总体的理论依据。
2在单元格C2内输入起始值0，单击【编辑】/【填充】/【系列】，在出现的对话框输入相应选项（如图1所示），就可在单元格区域C2：C702中顺序产生0,0.01,0.02,…,7共703个自变量x的取值序列。
图1
3在D2单元格内输入公式“=IF(C2<$B$2,0,IF(C2<$B$3,1/4,IF(C2<$B$4,2/4,IF(C2<$B$5,3/4,1))))”，再利用拖放填充功能将D2单元格内的计算公式复制到整个单元格区域D2:D702,就自动计算出所有Fn(x)的取值。
教你绘制频数分布图
教你绘制频数分布图教你绘制频数分布图频数分布直⽅图和频数分布折线统计图是描述数据的两种重要统计图，⽤这两种统计图把数据描述出来，就以直观地了解数据的分布情况及变化规律.下⾯谈谈这两种统计图的画法：⼀、频数分布直⽅图画频数分布直⽅图⼀般按下列步骤：1．计算极差（最⼤值与最⼩值的差）.2．决定组数.3．列出频数分布表.4．画出频数分布直⽅图.例⼩明调查了他们班54名学⽣的⾝⾼，结果(单位:cm)如下:141 154 149 154 162 165 168 150 155 163 144 168 150 156 155 168 155 160 145 163 145 155 152 160 148 145 169 152 160 163 158 157 159 169 168 155 158 152 157 150 157 159 157 162 145 172 150 158 144 155 160 161 159 163 请将数据适当分组,并绘制相应的频数分布直⽅图.分析：要绘制频数分布直⽅图，需要把数据适当分组，数出每⼀组的频数，得出频数分布表，在此基础上绘制频数分布直⽅图.解：通过观察得到上⾯数据的最⼤值是172cm,最⼩值是141cm,它们的差是(172-141)=31cm.将该组数据按⾝⾼的范围分为141≤x<145,145≤x<149, ≤分成7组.整理可得下列统计表:⽤横轴表⽰⾝⾼,⽤纵轴表⽰频数,并在纵轴上等距离标出5,10,15,以各组学⽣⼈数为⾼画出与此组对应的长⽅形,得到频数分布直⽅图(如图1).图1⼆、频数折线图频数折线图画法如下：1.在频数分布直⽅图的基础上画频数折线图.（1）取频数分布直⽅图中每个长⽅形上边的中点；（2）在横轴上取两个频数为0的点，在直⽅图横轴的左边取点（139，0），在直⽅图横轴的右边取点（175，0）；（3）将这些点⽤线段依次连接起来就得到了频数折线图（如图2）.图22．根据已有的数据直接画频数折线图.（1）把数据分组，求出每个⼩组两端点的平均数，这些平均数称为组中值，如图141≤x<145这个⼩组的组中值为(141+145)÷2=143.（2）⽤横轴表⽰⾝⾼,⽤纵轴表⽰频数,以各⼩组的组中值为横坐标,各⼩组对应的频数为纵坐标描点,另取两个点(139,0)和(175,0).(3)依次连接这些点就得到了频数折线图(如图3).图3。
用Excel绘制函数图像：[1]1.函数图像
![用Excel绘制函数图像：[1]1.函数图像](https://img.taocdn.com/s3/m/00f61e43f7ec4afe04a1df47.png)
步骤阅读 .12然后，在设置一下函数图像的线条颜色和线型，鼠标在函数图像上右击，在弹出的快捷菜单中选择“设置数据系列格式”。
步骤阅读 .13在弹出的“设置数据系列格式”对话框中的“线条颜色”、“线型”栏目中，分别设置函数图像的线条颜色和线型。
步骤阅读 .14最后给每个图像添加一个函数表达式，先单击选择一个函数图像，然后在一个数据点上单击选择一个数据点，再在数据点右击，在弹出的快捷菜单中选择“添加数据标签”。
步骤阅读 .9其次两个坐标轴的刻度还不符合要求，为了更好的调整坐标轴，先要把图表区调成正方的，在“格式”选项卡“大小”组中，把高度和宽度调成一样的。
步骤阅读 .10鼠标在每一个坐标轴上右击，在弹出的快捷菜单中选择“设置坐标轴格式”。
步骤阅读 .11在弹出的“设置坐标轴格式”对话框中的“坐标轴选项”栏目中，将“最小值”、“最大值”、“主要刻度单位”的值设置为“固定”，并在后面的文本框中分别输入“-6”、“6”、“1”，单击“关闭”按钮。两个轴进行同样的设置。
在功能区中选择“插入”选项卡，在“图表”组中依次单击“散点图→带平滑线的散点图”。
步骤阅读 .4Excel将插入如下图所示的图表区，并在功能区中增加图表工具的“设计”、“布局”“格式”选项卡。
步骤阅读 .5首先要选择图表的数据，鼠标在图表区内右击，在弹出的快捷菜单中选择“选择数据”。
步骤阅读 .2B列和C列为两个函数应变量的值。在B列的B1单元格输入函数式的一般书面表达形式，y=sin(x)，可以加一些说明性字符；在B2单元格中根据函数表达式输入公式“=SIN（A2）” 然后选中B2单元格，填充下拉。同样在C列输入函数达形式和公式。如图，这样数据就准备好了。
步骤阅读 .3二、绘制函数图像
用计算机绘制函数图像
用计算机绘制函数图像（Excel图表功能绘制函数曲线）
以绘制y=|lg（6+x^3）|的曲线为例，操作如下：建立空白的工作表，先输入函数的自变量：在A列的A1格输入自变量"X="，再在A列的A2及以后的格内用等差数列输入法逐次从小到大输入自变量的各个值；先输入前二个值，定出自变量中数与数之间的步长，然后选中A2和A3两个单元格。
输入函数式：在B列的B1格输入函数式的一般书面表达形式，y=|lg （6+x^3）|；在B2格输入“=ABS（LOG10（6+A2^3））”，B2格内马上得出了计算的结果。
这时，再选中B2格，让光标指向B2矩形右下角的“■”，当光标变成"＋"时按住光标沿B列拖动到适当的位置即完成函数值的计算。
图1
绘制曲线：点击工具栏上的“图表向导”按钮，选择“X，Y散点图”（如图1），然后在出现的“X，Y散点图”类型中选择“无数据点平滑线散点图”；单击“下一步”按钮，选中“数据产生在列”项，给出数据区域，这时曲线（如图2）。
图2。
函数像的绘制和分析
函数像的绘制和分析函数图像的绘制和分析函数图像是数学中常用的一种工具，用于描述数学函数在平面上的几何特征。
在本文中，我们将重点讨论函数图像的绘制和分析方法，并探讨如何从函数图像中获取有关函数行为的信息。
一、函数图像的绘制函数图像的绘制通常可分为以下几个步骤：1. 确定定义域：首先要确定函数的定义域，即该函数能够取到的输入值的范围。
这一步骤很重要，因为函数在定义域之外没有定义。
2. 确定值域：接下来要确定函数的值域，即函数能够取到的输出值的范围。
同样地，值域也对后续的绘图起到了指导作用。
3. 确定关键点：关键点是指函数图像上的特殊点，如函数的零点、极值点、拐点等。
通过找出这些关键点，可以更好地描绘出函数图像的形状和特征。
4. 绘制坐标轴：在绘制函数图像之前，需要先确定坐标轴的范围和纵横比例，以确保整个函数图像能够在坐标系中完整展现出来。
5. 绘制函数图像：根据确定的关键点和坐标轴，开始绘制函数图像。
可以使用手绘或者计算机绘图软件来完成绘图工作。
二、函数图像的分析函数图像的绘制完成后，我们可以对其进行进一步的分析，以获得更多关于函数行为的信息。
以下是一些常用的函数图像分析方法：1. 零点和极值：通过观察函数图像，我们可以找到函数的零点和极值点。
函数的零点是指使函数取零值的输入值，而极值点则是函数取得最大值或最小值的点。
2. 对称性：函数图像可能具有不同的对称性，如偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于坐标原点对称。
通过观察函数图像，我们可以判断函数是否具有某种对称性。
3. 渐近线：函数图像可能会趋近于某些直线，这些直线称为渐近线。
常见的渐近线有水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。
通过确定函数图像的渐近线，我们可以推断函数的行为和趋势。
4. 函数的增减性和凸凹性：通过观察函数图像的上升和下降，可以判断函数在定义域上的增减性。
而函数图像的凸起和凹陷则揭示了函数的凸凹性。
这些性质对于函数的分析和优化非常重要。
第49讲 直方图和经验分布函数
§6.2直方图和箱线图在数理统计中，我们常常用图形来直观地显示观察到的数据，以便对总体X的分布有一个直观、粗略的了解。
四川大学徐小湛本节讲以下图形：直方图箱线图（自学）经验分布函数及其图形直方图（频率直方图）Histogram百度传课我们通过一个例子来说明直方图的作法。
25 19 39 72 49 58 65 75 68 66 61 78 51 60 45 74 73 77 29 16 90 12 64 61 40 57 40 46 81 51 52 58 73 70 87 33 49 61 83 41 52 46 38 77 63 75 61 45 51 62 51 59 66 68 97 53 54 70 54 54 38 50 83 50最低分和最高分分别是 12 和 97例1 设有64个学生的考试成绩如下：四川大学 徐小湛25 19 39 72 49 58 65 75 68 66 61 78 51 60 45百74度73传7课7显得杂乱无章29 16 90 12 64 61 40 57 40 46 81 51 52 58 73 70 87 33 49 61 83 41 52 46 38 77 63 75 61 45 51 62 51 59 66 68 97 53 54 70 54 54 38 50 83 50 四川大学 徐小湛 用Excel 作出数据的条形图(柱形图)(Bar Chart)四川大学用Excel将成绩排序：121619252933383839404041454546 464949505051515151525253545454 575858596061616161626364656666 68687070727373747575777778818383 87 90 97百度传课12161925 29 33 38 38 39 40 40 41 45454646 49 49 50 50 51 51 51 51 52525354 54 54 57 58 58 59 60 61 61616162 63 64 65 66 66 68 68 70 70727373 74 75 75 77 77 78 81 83 83 87 90 97下面来分析各分数段得分的人数和频率将分数分成9段将区间(9.5, 99.5) 等分成9个子区间每个区间长(99.5-9.5)/9=1083 87 90 97百度传课分 组 频数 f i9.5~19.5 3 19.5~29.5 2 29.5~39.5 4 39.5~49.5 9 49.5~59.5 16 59.5~69.5 13 69.5~79.5 11 79.5~89.5 4 89.5~99.5212 16 19 25 29 33 38 38 39 40 40 41 45 45 46 46 49 49 50 50 51 51 51 51 52 52 53 54 54 54 57 58 58 59 60 61 61 61 61 62 63 64 65 66 66 68 68 70 70 72 73 73 74 75 75 77 77 78 81 83 将区间(9.5, 99.5) 等分成 9 个子区间每个区间长 1032 4911频数直方图161342百度传课四川大学徐小湛9.5 19.5 29.5 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 99.5百度传课分组频数fi 频率fi/649.5~19.530.0469 19.5~29.520.0313 29.5~39.540.0625 39.5~49.590.1406 49.5~59.5160.2500 59.5~69.5130.2031 69.5~79.5110.1719 79.5~89.540.0625 89.5~99.520.0313四川大学徐小湛9.5 19.5 29.5 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 99.50.04690.03130.06250.14060.25000.20310.1719频率直方图0.0313矩形面积之和64 ( f i 9∑ i =1 64 i i =19⨯10) = 10 ∑ f 64 = 10 ⨯ 64 = 10 0.0625不满足规范性百度传课四川大学徐小湛分组频数fi 频率fi/64矩形高f i /64/109.5~19.530.04690.0047 19.5~29.520.03130.0031 29.5~39.540.06250.0063 39.5~49.590.14060.0141 49.5~59.5160.25000.0250 59.5~69.5130.20310.0203 69.5~79.5110.17190.0172 79.5~89.540.06250.0063 89.5~99.520.03130.00310.00470.0031 0.00630.01410.02500.02030.01720.00630.0031矩形面积之和9 fii=164⨯10∑ 964 if( ⨯10) = 1 ∑i =1164=⨯64 =1百度传课满足规范性频率直方图Frequencyhistogram四川大学徐小湛9.5 19.5 29.5 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 99.59.5 19.5 29.5 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 99.5 这几个直方图的形状是一样的，区别只是纵坐标的刻度不一样。
《函数图像的画法》课件
学习函数图像的画法对我们来说是非常重要的。本课程将介绍函数图像的基 本概念以及画法的方法和技巧。Biblioteka 为什么需要学习函数图像的画法
1 直观理解功能
函数图像可以帮助我们 直观理解不同函数之间 的关系和特性。
2 应用到实际问题
了解函数图像的画法可 以帮助我们解决实际问 题，如优化、模拟和预 测。
总结
1 函数图像的作用
2 重要性
函数图像帮助我们直观 理解函数的特性和关系。
学习函数图像的画法对 数学学习和解决实际问 题有重要意义。
3 学习建议
多进行练习，理解不同 函数的图像特点，掌握 画函数图像的方法。
基本函数的图像
常数函数
直线与坐标轴平行，表示自变量和因变量之间 没有关系。
恒等函数
直线与一次函数相同，表示自变量和因变量相等。
一次函数
直线的斜率不为零，表示因变量与自变量之间 线性关系。
二次函数
曲线呈现抛物线的形状，表示因变量与自变量 之间二次关系。
常用函数的图像
正弦函数
曲线在坐标系中以波浪形式进行周期性变化。
余弦函数
曲线在坐标系中以波浪形式进行周期性变化，与 正弦函数相似。
正切函数
曲线与坐标轴的交点形成周期性的锐角和钝角。
反正切函数
曲线与坐标轴的交点形成周期性的斜率。
高级函数的图像
绝对值函数
曲线以V字形状绘制，表示自变量与因变量之间 的绝对值关系。
幂函数
不同幂次的曲线呈现多样的形状，表示自变量 与因变量之间的幂次关系。
3 提高数学能力
学习函数图像的画法可 以提高我们的数学能力， 培养逻辑思维和分析能 力。
函数图像的基本概念
经验频率曲线
1. 累积频率的含义 2. 经验（累积）频率的绘制
频率与概率
回顾
频率
P(x)=m/n P(x)=m/n
经验值
随机试验
n→∝
概率
理论值
总体
频率
某桥位处测得40年最高水位资料，如表2.1.
W(H= 30m)=5%
W(H= 25m)=25%
经验（累积）频率曲线
某桥位处测得40年最高水位资料，如表2.1，求水 位H≥25m的累积频率。
30m5频率与累积频率1015202530354045102030402040608010010203040频率概率密度累积频率概率分布经验累积频率曲线经验累积频率曲线以经验累积频率为横坐标某水文特征值流量或水位值为纵坐标绘出的曲线
水文学与供水水文地质
张改红
环境与市政工程系
经验（累积）频率曲线
掌握内容：
xi
2. 经验（累积）频率的绘制
谢
谢！
经验（累积）频率曲线
经验（累积）频率曲线
P=
m/(n＋1）x100%
n=24
Q(m /s) 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 P(%)
3
经验（累积）频率曲线的绘制步骤
• • • • 将水文特征值不论年序从大到小排列并编号； 确定资料的总项数n及m值； 用数学期望公式计算各实测值的经验频率； 以实测值x为纵坐标，累积频率P为横坐标，将 各实测值点据点绘于坐标纸上； • 穿过点群分布中心，目估连成一条光滑曲线， 即经验频率曲线； • 若资料足够则可在此曲线上求的所需设计频率 的流量。
W(H= 25m)=25%
初二数学解析函数图像的绘制与分析
初二数学解析函数图像的绘制与分析在初二数学的学习中，函数图像的绘制与分析是一个重要的知识点，它不仅能够帮助我们更直观地理解函数的性质，还能为解决实际问题提供有力的工具。
接下来，让我们一起深入探讨这个有趣又实用的数学内容。
一、函数图像的基本概念函数图像是函数关系的一种直观表示。
对于一个给定的函数，如果把自变量 x 的值和对应的函数值 y 作为坐标（x，y），在平面直角坐标系中描出这些点，然后用平滑的曲线连接起来，就得到了函数的图像。
例如，对于一次函数 y ＝ 2x ＋ 1，我们可以通过列表、描点、连线的步骤来绘制它的图像。
先选取一些 x 的值，比如－2、－1、0、1、2，分别计算出对应的 y 值，得到一系列的坐标点，然后在坐标系中描出这些点，最后用直线连接起来，就得到了这条直线的图像。
二、函数图像的绘制步骤1、列表选取适当的自变量的值，并计算出相应的函数值，列出表格。
在选择自变量的值时，要注意取值的代表性和均匀性，通常包括正数、负数和零。
2、描点根据表格中的坐标值，在平面直角坐标系中描出对应的点。
描点时要注意准确性，点的位置要标清楚。
3、连线用平滑的曲线（对于一次函数是直线）将描出的点连接起来。
如果所绘制的函数图像是一条直线，那么只需连接两个端点即可；如果是曲线，则要尽量使曲线通过所有的点，并且保持曲线的平滑。
三、常见函数图像的特点1、一次函数一次函数的图像是一条直线，其一般式为 y ＝ kx ＋ b（k、b 为常数，k ≠ 0）。
当 k ＞ 0 时，直线从左到右上升，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大；当 k ＜ 0 时，直线从左到右下降，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小。
2、正比例函数正比例函数是一次函数的特殊形式，即 b ＝ 0，其表达式为 y ＝ kx （k ≠ 0）。
它的图像经过原点（0，0），当 k ＞ 0 时，图像经过一、三象限；当 k ＜ 0 时，图像经过二、四象限。
3、反比例函数反比例函数的表达式为 y ＝ k/x（k ≠ 0），其图像是双曲线。
总体与样本直方图、条形图及经验分布函数
如前所述，数理统计所研究的实际问题（总体） 的分布一般来说是未知的，需要通过样本来推 断．但如果对总体一无所知，那么，做出推断的 可信度一般也极为有限．在很多情况下，我们往 往可以通过具体的应用背景或以往的经验，再通 过观察样本观测值的分布情况，对总体的分布形 式有个大致了解．观察样本观测值的分布规律， 了解总体X的概率密度和分布函数，常用直方图 和经验分布函数.
36
X
i
近似
服从正态分布 N(54,45)，所以
i1
P {5.4 0Y6.8 4 }P 5.4 05 4Y5 46.8 45 4 45 45 45
(1.6)1 ( 0.5)4 0 .941 6 0 3 .705 0 .64517
6.1 总体和样本
概率论与数理统计
1
前几章我们学习了概率论的基本知识，从本章 开始将学习数理统计的基本知识、理论和方 法．数理统计是以对随机现象观测所取得的资料 （数据）为出发点，以概率论为基础来研究随机 现象的一门学科．
概率论中，往往是在已知随机变量分布的条件 下，去研究它的性质、特点和规律性，比如求随 机变量取某些特定值的概率、求随机变量的数字 特征、研究多个随机变量之间的关系等．
【质量控制问题】
某食盐厂用包装机包装的食盐，每袋重量500g， 通常在包装机正常的情况下，袋装食盐的重量X服 从正态分布，均值为500g，标准差为25g．为进行 生产质量控制，他们每天从当天的产品中随机抽 出30袋进行严格称重，以检验包装机工作是否正 常．某日，该厂随机抽取30袋盐的重量分别为：
475 500 485 454 504 439 492 501 463 461
皮尔逊kpearson18571936的分布理论统计学家戈赛特wsgosset18761937的小样本t分布理论统计学家费歇尔rafisher18901962的f分布理论和试验设计方法波兰统计学家尼曼jneyman和英国统计学家皮尔逊espearson18951980的置信区间理论和假设检验理论以及非参数统计法序贯抽样法多元统计分析法时间序列跟踪预测法都应运而生并逐步成为现代统计学的主要内容
频数分布直方图的画法举例
频数分布直方图的画法举例山东于秀坤频数分布直方图是描述数据的一种常用的方法.将收集到的数据转化为直方图需要以下几个步骤：1．计算最大值与最小值的差，找出数据的转化范围.2．决定组距与组数，找出分点.3．列频数分布表.4．画频数分布直方图.下面给出具体的例子，说说频数分布正方图的画法.例1 某班一次数学竞赛成绩(单位:分)如下:77, 74, 65,53,95,87,75,82,71,67,85,88,90,86,81,87,70,70, 89,69,61,94,79,81,76,67,80,63,84,91,53,69,81,61,69,91, 78,75,81,87(1)将数据适当分组,并绘制相应的频数分布直方图.(2)从统计图中你能得到什么信息?分析：制作频数分布直方图首先将数据进行分组,统计每个分数段的人数,列出统计表,再根据统计表绘制频数分布直方图.解：先将成绩按10分的距离分段,统计出每个分数段学生出现的频数,如下表:成绩x(分) 学生数(频数)50≤x<60 260≤x<70 正 970≤x<80 正正 1080≤x<90 正正 1490≤x<100 正 5根据上表绘制直方图,如图1.从图中可以清楚地看出80分到90分这个分数段的学生数最多,90分以上的同学较少,60分以下的学生最少.图1例2 小明家开了一个报亭，为了使每天进的某种报纸适量，小明对这种报纸40天的销售情况作了调查，这40天卖出这种报纸的份数如下：136，175，153，135，161，140，155，180，179，166，188，142，144，154，155，157，160，162，135，156，148，173，154，145，158，150，154，168，168，155，169，157，157，149，134，167，151，144，155，131将上面数据适当分组，作出适当的统计图，说明小明家每天进多少这种报纸比较合适？分析：根据数据特点：数据分布比较集中，要求分析这些数据的主要集中在哪一段，所以应作出频数分布直方图，因为数据的最大值是188，最小值为131，最大与最小的差为57，所以取组距为10，分六组比较合适.解：通过观察可知这组数据的最大值为188，最小数据为131，它们相差57，所以取组距为10，分六组.作频数分布表：份数（x）划记频数130≤x<140 正 5140≤x<150 正7150≤x<160 正正正15160≤x<170 正8170≤x<180 3180≤x<190 2画出直方图如图2所示.图2由图更能直观地观察到，每天进150～160份比较合适.例3 已知某班50名同学的身高（单位：cm）数据如下：158，162，169，165，151，160，161，158，172，149，168，158，165，166，158，163，159，168，170，168，155，162，171，153，159，163，165，162，164，156，170，166，159，164，171，168，168，164，166，168，160，154，154，157，155，164，163，156，159，164(1)根据上述的数据画频数分布直方图.(2)根据统计图描述该班数学身高情况.分析：根据画频数分布直方图的步骤，先计算最大和最小值的差，最大值为171，最小值为149，其差为172-149=23，取组距为4，分6组.数出每一组的频数，得到频数分布表，在此基础上画出频数分布直方图.解: (1)制作统计表:身高x(cm) 划记频数(学生人数)149≤x<153 2153≤x<157 正7157≤x<161 正正11161≤x<165 正正12165≤x<169 正正12169≤x<173 正 6画直方图如图3所示.图3(2)从统计图上可以看出身高在161cm～165cm和165cm～169cm间的人数较多.【总结】1.频数直方图的横轴是由数据组成,纵轴是由频数组成,每个小长方形的宽度一样,高表示相应各组数据的频数.2.长方形越高,频数越大,长方形等高,频数相同.3.所有频数的和等于数据的总个数.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实验六 经验分布函数图形的绘制与演示
6.1 实验原理
设()F x 是总体X 的分布函数，12,,,n X X X "是来自总体X 的简单随机样本．对任意一个实数x ，定义函数
#()(),i n X x F x x n
≤=−∞<<∞. (6.1) 其中#()i X x ≤表示样本分量12,,,n X X X "中小于或等于x 的个数，或者说，()n F x 是事件“X x ≤”发生的频率．易见)(x F n 满足分布函数的性质（单增、有界、右连续等），故)(x F n 为一分布函数，称)(x F n 为总体X 的经验分布函数．由格列汶科定理知
lim sup ()()0 1.n n x P F x F x →∞−∞<<∞⎛⎞−==⎜⎟⎝⎠
该定理说明)(x F n 在整个实数轴上以概率1均匀收敛于()F x ．当样本容量n 充分大时，经验分布函数)(x F n 可以作为总体分布函数()F x 的一个良好的近似，这是数理统计学中以样本推断总体的理论依据．
当给定样本值1212(,,,)(,,,)n n X X X x x x =""时，若将12,,,n x x x "从小到大排序：(1)(2)()n x x x ≤≤≤"，得到有序样本)()2()1(,,,n x x x "，由定义(6.1)知，)(x F n 的形式为
(1)()(1)()0,,(),,1,2,,1,1,.
n k k n x x k F x x x x k n n
x x +<⎧⎪⎪=≤<=−⎨⎪>⎪⎩" (6.2)
这就是根据样本观测值得到的经验分布函数的具体形式．
6.2 实验目的及要求
理解经验分布函数的构成，经验分布函数是样本的函数，随着样本观测值的变化而变化，通过实验学习经验分布函数图形的绘制方法和动态演示过程．具体要求为
1. 任意产生一组随机样本，对该样本从小到大排序；
2. 利用排序后的样本作经验分布函数图形；
3. 让样本动态变化，观察相应的经验分布函数图形的变化，写出实验体会．
6.3 实验过程
为了说明经验分布函数图形的绘制和动态演示过程，我们通过一个实例来进行讲解． 例6.1 在Excel 中随机产生一个服从均匀分布(1,6)U 的，样本容量=4n 的随机样本．如图6.1，在单元格A2中输入产生均匀分布(1,6)U 随机数命令“=1+5*RAND( )”，再将其拖放填充至A5，就可在单元格区域A2:A5中产生了4个样本观测值1234,,,x x x x ，每按一次F9键，这些随机数都会发生变化，这为我们进行动态演示带来方便，这里1 3.82,x =2 2.81,x =3 1.32,x = 4 4.44x =. 接着我们把观测值1234,,,x x x x 从小到大排序，在单元格区域B2:B5中分别使用命令“=SMALL($A$2:$A$5, k)” (k=1,2,3,4) 得到顺序样本观测值：
(1)(2)(3)(4)1.32, 2.81, 3.82, 4.44x x x x ====.
在此基础上，我们可以利用条件语句和散点图绘制经验分布函数的图形．由(6.2)可知，此时经验分布函数的表达式为
0, 1.32,0.25, 1.32 2.81,()0.5 2.81 3.82,0.75, 3.82 4.44,1,
4.44.n x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩
(6.3)
图6.1 样本容量n= 4的样本观测值及其对应的经验分布函数图
在单元格C2内输入起始值0，点击【编辑】/【填充】/【系列】，在出现的对话框中如图6.2输入相应选项，就可以在单元格区域C2:C702中顺序产生0，0.01，0.02，…，7共703个自变量x 的取值序列．
图6.2 产生自变量x 的取值序列
对于单元格区域C2:C702中任意一个单元格中x 的取值，其右侧（D 列）对应的单元格内为相应经验分布函数)(x F n 的值，)(x F n 的值按公式（6.3）来计算，具体计算公式为
“(1)(2)(3)(4)IF(,0,IF(,0.25,IF(,0.5,IF(,0.75,1))))x x x x x x x x =<<<<”.
例如，单元格D2内的计算公式就应为
“=IF(C2<$B$2, 0, IF(C2<$B$3, 0.25, IF(C2<$B$4, 0.5, IF(C2<$B$5, 0.75, 1))))”.
再利用拖放填充功能将单元格D2内的计算公式复制到整个单元格区域D2:D702中，就自动计算出所有)(x F n 的取值．
最后，利用单元格区域C2:C702中自变量x 的取值和D2:D702中经验分布函数)(x F n 的值画出散点图，经过修饰调整后如图 6.1. 图中每一条水平线段右端的空心点可这样画出，鼠标右击图形中任一数据点，在弹出对话框中选择【设置数据系列格式】，再在弹出对话框中选【数据标记选项】/【内置】，类型选择“○”，大小选5磅，就可得出图6.1的效果．
注意：最后一个数据点(7, 1)的“数据点格式”要改成实心点，以体现经验分布函数右连续的性质．只要双击最后一个数据点，在弹出对话框中选【数据标记填充】/【纯色填充】，颜色选“深蓝色”即可．
6.4 讨论
经验分布函数(6.2)可以看成服从离散均匀分布
(1)(2)()111n x x x n n n ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠
"" 的随机变量X 的分布函数．但要注意)()2()1(,,,n x x x "只是顺序统计量(1)(2)(),,,n X X X "的一组取值，而后者随着样本12,,,n X X X "的不同而随机变化的．上面设计的这个实验恰好能反映这种随机变化过程，每按一次F9键，1234,,,x x x x 发生一次变化，(1)(2)(3)(4),,,x x x x 也随之发生相应变化，经验分布函数的图形6.1也随之发生动态变化，这就给我们留下生动而直观的印象，加深对经验分布函数)(x F n 的理解．。