实验五 经验分布函数图形的绘制与演示

实验六 经验分布函数图形的绘制与演示

6.1 实验原理

设()F x 是总体X 的分布函数，12,,,n X X X "是来自总体X 的简单随机样本．对任意一个实数x ，定义函数

#()(),i n X x F x x n

≤=−∞<<∞. (6.1) 其中#()i X x ≤表示样本分量12,,,n X X X "中小于或等于x 的个数，或者说，()n F x 是事件“X x ≤”发生的频率．易见)(x F n 满足分布函数的性质（单增、有界、右连续等），故)(x F n 为一分布函数，称)(x F n 为总体X 的经验分布函数．由格列汶科定理知

lim sup ()()0 1.n n x P F x F x →∞−∞<<∞⎛⎞−==⎜⎟⎝⎠

该定理说明)(x F n 在整个实数轴上以概率1均匀收敛于()F x ．当样本容量n 充分大时，经验分布函数)(x F n 可以作为总体分布函数()F x 的一个良好的近似，这是数理统计学中以样本推断总体的理论依据．

当给定样本值1212(,,,)(,,,)n n X X X x x x =""时，若将12,,,n x x x "从小到大排序：(1)(2)()n x x x ≤≤≤"，得到有序样本)()2()1(,,,n x x x "，由定义(6.1)知，)(x F n 的形式为

(1)()(1)()0,,(),,1,2,,1,1,.

n k k n x x k F x x x x k n n

x x +<⎧⎪⎪=≤<=−⎨⎪>⎪⎩" (6.2)

这就是根据样本观测值得到的经验分布函数的具体形式．

6.2 实验目的及要求

理解经验分布函数的构成，经验分布函数是样本的函数，随着样本观测值的变化而变化，通过实验学习经验分布函数图形的绘制方法和动态演示过程．具体要求为

1. 任意产生一组随机样本，对该样本从小到大排序；

2. 利用排序后的样本作经验分布函数图形；

3. 让样本动态变化，观察相应的经验分布函数图形的变化，写出实验体会．

6.3 实验过程

为了说明经验分布函数图形的绘制和动态演示过程，我们通过一个实例来进行讲解． 例6.1 在Excel 中随机产生一个服从均匀分布(1,6)U 的，样本容量=4n 的随机样本．如图6.1，在单元格A2中输入产生均匀分布(1,6)U 随机数命令“=1+5*RAND( )”，再将其拖放填充至A5，就可在单元格区域A2:A5中产生了4个样本观测值1234,,,x x x x ，每按一次F9键，这些随机数都会发生变化，这为我们进行动态演示带来方便，这里1 3.82,x =2 2.81,x =3 1.32,x = 4 4.44x =. 接着我们把观测值1234,,,x x x x 从小到大排序，在单元格区域B2:B5中分别使用命令“=SMALL($A$2:$A$5, k)” (k=1,2,3,4) 得到顺序样本观测值：

(1)(2)(3)(4)1.32, 2.81, 3.82, 4.44x x x x ====.

在此基础上，我们可以利用条件语句和散点图绘制经验分布函数的图形．由(6.2)可知，此时经验分布函数的表达式为

0, 1.32,0.25, 1.32 2.81,()0.5 2.81 3.82,0.75, 3.82 4.44,1,

4.44.n x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩

(6.3)

图6.1 样本容量n= 4的样本观测值及其对应的经验分布函数图

在单元格C2内输入起始值0，点击【编辑】/【填充】/【系列】，在出现的对话框中如图6.2输入相应选项，就可以在单元格区域C2:C702中顺序产生0，0.01，0.02，…，7共703个自变量x 的取值序列．

图6.2 产生自变量x 的取值序列

对于单元格区域C2:C702中任意一个单元格中x 的取值，其右侧（D 列）对应的单元格内为相应经验分布函数)(x F n 的值，)(x F n 的值按公式（6.3）来计算，具体计算公式为

“(1)(2)(3)(4)IF(,0,IF(,0.25,IF(,0.5,IF(,0.75,1))))x x x x x x x x =<<<<”.

例如，单元格D2内的计算公式就应为

“=IF(C2<$B$2, 0, IF(C2<$B$3, 0.25, IF(C2<$B$4, 0.5, IF(C2<$B$5, 0.75, 1))))”.

再利用拖放填充功能将单元格D2内的计算公式复制到整个单元格区域D2:D702中，就自动计算出所有)(x F n 的取值．

最后，利用单元格区域C2:C702中自变量x 的取值和D2:D702中经验分布函数)(x F n 的值画出散点图，经过修饰调整后如图 6.1. 图中每一条水平线段右端的空心点可这样画出，鼠标右击图形中任一数据点，在弹出对话框中选择【设置数据系列格式】，再在弹出对话框中选【数据标记选项】/【内置】，类型选择“○”，大小选5磅，就可得出图6.1的效果．

注意：最后一个数据点(7, 1)的“数据点格式”要改成实心点，以体现经验分布函数右连续的性质．只要双击最后一个数据点，在弹出对话框中选【数据标记填充】/【纯色填充】，颜色选“深蓝色”即可．

6.4 讨论

经验分布函数(6.2)可以看成服从离散均匀分布

(1)(2)()111n x x x n n n ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠

"" 的随机变量X 的分布函数．但要注意)()2()1(,,,n x x x "只是顺序统计量(1)(2)(),,,n X X X "的一组取值，而后者随着样本12,,,n X X X "的不同而随机变化的．上面设计的这个实验恰好能反映这种随机变化过程，每按一次F9键，1234,,,x x x x 发生一次变化，(1)(2)(3)(4),,,x x x x 也随之发生相应变化，经验分布函数的图形6.1也随之发生动态变化，这就给我们留下生动而直观的印象，加深对经验分布函数)(x F n 的理解．