泛函分析答案2：
泛函分析习题标准答案
第二章 度量空间作业题答案提示 1、试问在R 上，()()2,x y x y ρ=-能定义度量吗？答：不能，因为三角不等式不成立。
如取则有(),4x y ρ=,而(),1x z ρ=，(),1z x ρ= 2、试证明：（1）()12,x y x y ρ=-;(2)(),1x y x y x yρ-=+-在R 上都定义了度量。
证：（1）仅证明三角不等式。
注意到21122x y x z z y x z z y ⎛⎫-≤-+-≤-+- ⎪⎝⎭故有111222x y x z z y -≤-+-（2）仅证明三角不等式 易证函数()1xx xϕ=+在R +上是单调增加的， 所以有()()a b a b ϕϕ+≤+,从而有1111a b a b a ba b a bab++≤≤+++++++令,,x y z R ∀∈,令,a z x b y z =-=- 即111y x z x y z y xz xy z---≤++-+-+-4.试证明在[]b a C ,1上，)12.3.2()()(),(⎰-=ba dt t y t x y x ρ定义了度量。
证：（1）0)()(0),(≡-⇔=t y t x y x ρ（因为x,y 是连续函数） 0),(≥y x ρ及),(),(x y y x ρρ=显然成立。
[]),(),()()()()()()()()()()(),()2(y z z x dtt y t z dt t z t x dtt y t z dt t z t x dtt y t x y x bab ab aba ρρρ+≤-+-≤-+-≤-=⎰⎰⎰⎰5.试由Cauchy-Schwarz 不等式证明∑∑==≤⎪⎭⎫⎝⎛ni in i i x n x 1221证：∑∑∑∑=====⋅≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni in i n i i n i i x n x x 1212122118.试证明下列各式都在度量空间()11,ρR 和()21,R R 的Descartes 积21R R R ⨯=上定义了度量{}212/1222121,max ~~)3(;)(~)2(;)1(ρρρρρρρρρ=+=+= 证：仅证三角不等式。
泛函分析考试题型及答案
泛函分析考试题型及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设函数空间E为所有连续函数的集合，定义泛函F(u)=∫₀¹u(x)dx，则F(u)是线性的。
A. 正确B. 错误答案：A2. 每一个线性泛函都可以表示为一个内积。
A. 正确B. 错误答案：B3. 泛函分析中的“泛函”一词指的是函数的函数。
A. 正确B. 错误答案：A4. 弱收敛和强收敛是等价的。
A. 正确B. 错误答案：B5. 紧算子总是有界算子。
A. 正确B. 错误答案：A6. 每一个闭算子都是有界的。
A. 正确B. 错误答案：B7. 每一个有界线性算子都是紧算子。
A. 正确B. 错误答案：B8. 每一个线性泛函都可以用Riesz表示定理表示。
A. 正确B. 错误答案：A9. 每一个线性算子都可以分解为一个紧算子和一个有界算子的和。
A. 正确B. 错误答案：B10. 每一个线性算子都可以分解为一个有界算子和一个紧算子的和。
A. 正确B. 错误答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设X是赋范线性空间，如果对于X中的每一个序列{x_n}，都有‖x_n‖→0当且仅当x_n→0，则称X是______空间。
答案：完备2. 设T是线性算子，如果T(X)是X的闭子空间，则称T是______算子。
答案：闭3. 设E是Hilbert空间，如果对于每一个x∈E，都有∥Tx∥≥∥x∥，则称T是______算子。
答案：正4. 设E是Banach空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑‖x_n‖<∞当且仅当∑x_n收敛，则称E是______空间。
答案：自反5. 设E是线性空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑x_n收敛当且仅当∑‖x_n‖<∞，则称E是______空间。
答案：序列完备三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述Hahn-Banach定理的内容。
答案：Hahn-Banach定理指出，如果X是一个赋范线性空间，p是X 的一个线性子空间，f是p上的一个线性泛函，并且存在一个常数M使得对于所有x∈p，有|f(x)|≤M‖x‖，则存在X上的一个线性泛函F，使得F|p=f，并且对于所有x∈X，有|F(x)|≤M‖x‖。
泛函分析(证明)答案
三、证明1.若(,)x ρ是度量空间，则1d ρρ=+也使X 成为度量空间。
证明：,,x y z X ∀∈显然有 （1）(,)0d x y ≥，(,)0d x y =当且仅当x y =。
（2）(,)(,)d x y d y x = （3）由1()111t f t tt==-++，(0)t >关于t 单调递增，得(,)(,)(,)(,)1(,)1(,)(,)x z x y y z d x z x z x y y z ρρρρρρ+=≤+++(,)(,)1(,)1(,)x y y z x y y z ρρρρ≤+++(,)(,)d x y d y z =+ 故d 也是X 上的度量。
2、 设H是内积空间，,,,n n x x y y H ∈，则当,n n x x y y →→时，(,)(,)n n x y x y →，即内积关于两变元连续。
证明：22|(,)(,)||(,)|||||||||n n n n n n x y x y x x y y x x y y -=--≤-⋅-已知 ,n n x x y y →→，即||||0,||||0n n x x y y -→-→。
故有 2|(,)(,)|0n n x y x y -→即 (,)(,)n n x y x y →。
3.考虑[,]C a b 上的非线性积分方程()(,,())(b ax t k t s x s d s tλϕ-=⎰其中[,],(,,)C a b k t s ϕω∈是[,][,]a b a b R ⨯⨯上的连续函数，满足1212|(,,)(,,)|||k t s k t s b ωωωω-≤- 证明当||λ足够小时，此方程存在唯一解0[,]x C a b ∈。
证明：令()()(,,())b aT x t t k t s x s d sϕλ=+⎰则T 是[,][,]C a b C a b →的算子。
并且12,[,]x x C a b ∀∈1212|()()||(,,())(,,())|bbaaTx t Tx t k t s x s ds k t s x s ds λλ-=-⎰⎰ 12|||(,,())(,,())|bak t s x s k t s x s ds λ≤-⎰12|||||()()|bab x s x s ds λ≤-⎰12||||()||||b b a x x λ≤-- 所以1212||||||||()||||Tx Tx b b a x x λ-≤--。
实变函数论与泛函分析课后答案
第一章习题参考解答3．等式)()(C B A C B A --=⋃-成立的的充要条件是什么？解： 若)()(C B A C B A --=⋃-，则 A C B A C B A C ⊂--=⋃-⊂)()(. 即，A C ⊂.反过来, 假设A C ⊂, 因为B C B ⊂-. 所以, )(C B A B A --⊂-. 故,C B A ⋃-)(⊂)(C B A --.最后证，C B A C B A ⋃-⊂--)()(事实上，)(C B A x --∈∀, 则A x ∈且C B x -∉。
若C x ∈，则C B A x ⋃-∈)(；若C x ∉，则B x ∉，故C B A B A x ⋃-⊂-∈)(. 从而, C B A C B A ⋃-⊂--)()(.A A CB AC B A C =∅-⊂--=⋃-⊂)()(. 即 A C ⊂.反过来，若A C ⊂，则 因为B C B ⊂-所以)(C B A B A --⊂- 又因为A C ⊂，所以)(C B A C --⊂故 )()(C B A C B A --⊂⋃-另一方面，A x C B A x ∈⇒--∈∀)(且C B x -∉，如果C x ∈则 C B A x )(-∈；如果,C x ∉因为C B x -∉，所以B x ∉故B A x -∈. 则 C B A x ⋃-∈)(. 从而C B A C B A ⋃-⊂--)()(于是，)()(C B A C B A --=⋃-4．对于集合A ，定义A 的特征函数为⎩⎨⎧∉∈=Ax Ax x A ,0,1)(χ， 假设 n A A A ,,,21是一集列 ，证明：（i ）)(inflim )(inf lim x x nnA nnA χχ=（ii ）)(sup lim )(sup lim x x n nA nnA χχ=证明：（i ）)(inf lim n nm N n n nA A x ≥∈⋂⋃=∈∀，N ∈∃0n ，0n m ≥∀时，m A x ∈.所以1)(=x m A χ，所以1)(inf=≥x mA n m χ故1)(inf sup )(inf lim ==≥∈x x mnA nm N b A nχχN n A x n n∈∀⇒∉∀inf lim ，有n k A x n n nm ≥∃⇒⋂∉≥有0)(inf0=⇒=⇒∉≥x A x mnk m A nm A k χχ，故0)(i n f s u p =≥∈x mA nm N b χ ，即)(in f l i m x nA nχ=0 ，从而)(inflim )(inf lim x x nnA nnA χχ=5．设}{n A 为集列，11A B =，)1(11>⋃-=-=i A A B j i j i i 证明（i ）}{n B 互相正交（ii ）i ni i ni B A N n 11,===∈∀证明：（i ）m n N m n ≠∈∀,,；不妨设n>m ，因为m n i n i n n A A A A B -⊂-=-=11，又因为m m A B ⊂，所以m n m n n B A A A B -⊂-⊂，故 ∅=m n B B ，从而 {∞=1}n n B 相互正交.（ii ）因为)1(n i i ≤≤∀，有i i A B ⊂，所以i n i i n i A B 11==⋃⊂⋃，现在来证：i ni i n i B A 11==⋃⊂⋃当n=1时，11B A =；当1≥n 时，有：i ni i ni B A 11===则)()()()()(11111111111i ni n i n i i n i n i n i n i n i i n i B B B A A A A A A =+==++=+=+=-=-==事实上，i ni A x 1=⋃∈∀，则)1(n i i ≤≤∃使得i A x ∈，令}{ni A x i i i ≤≤∈=1|m in 0且则 i ni i i i i i B B A A x 111000=-=⊂=-∈ ，其中，当10=i 时，∅=-=i i i A 110 ，从而， i ni i n i B A 11===6．设)(x f 是定义于E 上的实函数，a 为常数，证明： （i ）})(|{a x f x E >=}1)({1n a x f n +≥∞=(ii)})(|{a x f x E ≥=}1)({1na x f n ->∞=证明：（i ）})(|{a x f x E x >∈∀E x ∈⇒且a x f >)(}1)(|{1)(,na x f x E x E x a n a x f N n +≥∈⇒∈>+≥∈∃⇒且使得 ∈⇒x ⊂>⇒+≥∞=})(|{}1)(|{1a x f x E n a x f x E n }1)(|{1na x f x E n +≥∞=反过来，{N n n a x f x x E x n ∈∃+≥∈∀∞=},1)(|{1 ，使}1)(|{n a x f x E x +≥∈即E x a na x f ∈>+≥且1)( 故})(|{a x f x E x >∈ 所以 })(|{}1)(|{1a x f x E na x f x E n >⊂+≥⋃∞= 故}1)(|{})(|{1n a x f x E a x f x E n +≥>∞=7．设)}({x f n 是E 上的实函数列，具有极限)(x f ，证明对任意常数a 都有：}1)(|{inf lim }1)(|{inf lim })(|{11k a x f x E k a x f x E a x f x E n n k n n k +<=+≤=≤∞=∞=证明：N ∈∀≤∈∀k a x f x E x },)(|{，即k a a x f 1)(+≤≤，且E x ∈ 因为N n x f x f n n ∈∃=∞→，)()(lim ，使n m ≥∀，有ka x f n 1)(+≤，故，)}(1)(|{n m k a x f x E x m ≥∀+≤∈ 所以∈x }1)(|{ka x f x E m n m +≤≥ }1)(|{k a x f x E x m n m N n +≤∈≥∈ = }1)(|{inf lim ka x f x E m n +≤，由k 的任意性：}1)(|{inf lim 1k a x f x E x n n k +≤∈∞= ，反过来，对于}1)(|{inf lim 1ka x f x E x n n k +≤∈∀∞= ，N k ∈∀，有 }1)(|{inf lim k a x f x E x m n +≤∈= }1)(|{ka x f x E m n m N n +≤≥∈ ，即n m N n ≥∀∈∃，时，有：k a x f m 1)(+≤且E x ∈，所以，ka x f x f m m 1)()(lim +≤≤且E x ∈.∞→k 又令，故 E x a x f ∈≤且)( 从而})(|{a x f x E x ≤∈故 })(|{a x f x E ≤=}1)(|{inf lim 1ka x f x E n n k +≤∞=8． 设)}({x f n 是区间（a ，b ）上的单调递增的序列，即≤≤≤≤)()()(21x f x f x f n若)(x f n 有极限函数)(x f ，证明：R a ∈∀，})({})({1a x f E a x f E n n >⋃=>∞=证明： })({a x f E x >∈∀，即：E x ∈且a x f >)(，因为)()(lim x f x f n n =∞→所以00,n n N n ≥∀∈∃，恒有：E )(∈>x a x f n 且，从而，})({0a x f E x n >∈})({1a x f E n n >⊂∞=反过来，N n a x f E x n n ∈∃>∈∀∞=01},)({ ，使})({0a x f E x n >∈，故0n n ≥∀，因此，a x f x f x f n n n >≥=∞→)()()(lim 0且E x ∈,即，})({a x f E x >∈，从而，})({})({1a x f E a x f E n n >=>∞=10．证明：3R 中坐标为有理数的点是不可数的。
泛函分析习题及参考答案
泛函分析习题及参考答案一、在2R 中定义如下三种距离：21212(,),(,)x x x y y y R ==∈，1(,)d x y =21122(,)max{,}d x y x y x y =−−，31122(,)d x y x y x y =−+−，试证：212d d ≤≤3132d d d ≤≤，2322d d d ≤≤，从而这三种距离诱导出的极限是等价的。
二、设),(y x d 为空间X 上的距离，试证：),(1),(),(~x y d x y d x y d +=也是X 上的距离。
证明：显然,0),(~≥y x d 并且y x y x d y x d =⇔=⇔=0),(0),(~。
再者，),(~),(1),(),(1),(),(~y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+=；最后，由tt t +−=+1111的单调增加性及),(),(),(y z d z x d y x d +≤，可得 ),(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(~y z d z x d y z d y z d z x d z x d y z d z x d y z d z x d y x d y x d y x d +++++=+++≤+= ),(~),(~),(1),(),(1),(y z d z x d y z d y z d z x d z x d +=+++≤。
三、设1p ≥，1()()(,,,)i n n pn x l ξξ=∈ ， ,2,1=n ，1(,,,)pi x l ξξ=∈ ，则n →∞时，1()1(,)0ppn n i i i d x x ξξ∞=⎛⎞=−→⎜⎟⎝⎠∑的充要条件为)1(n →∞时，()n i i ξξ→，1,2,i = ；)2(0ε∀>，存在0N >，使得()1pn p ii N ξε∞=+<∑对任何自然数n 成立。
《泛函分析》习题解答(不完全版)
( x1 , y) ( x1 , x2 ) ( x2 , y) , ( x2 , y ) (x2 , x1 ) (x1 , y ).
对两端关于 y A 取下确界, 可以得到 . inf ( x1 , y) ( x1 , x2 ) inf ( x2 , y) , inf (x2 , y ) (x2 , x1 ) inf (x1 ,y )
1 1
f ( x) L1 ([a, b]) , 需要证明: 对于任意的 0 , 存在 g ( x) C[a, b] , 使得
( f , g)
[ a ,b ]
| f ( x ) g ( x) | dx .
事实上, 首先根据积分的绝对连续性, 存在 0 , 使得当 E [a, b] , 只要 mE , 就有
x n , 0 x 1, f n ( x ) : 1, 1 x 2.
则 { f n ( x )} C ([0,2]) 在本题所定义的距离的意义下是 Cauchy 列, 因为
( f n , f m ) | f n ( x) f m ( x) | dx
因此, 根据 Lebesgue 有界收敛定理, 可以得到
( f n , g ) | f n ( x ) g ( x ) | dx
0
1
| x n 0 | dx x n dx
0 0
1
1
1 0. n 1
但 g ( x) C ([0,2]) . (2) C ([a, b]) 的完备化空间是 L ([a, b]) . 因为 (i) 在距离 的意义下, C ([a, b]) 是 L ([a, b]) 的稠密子集. 事实上, 任意取定一个
泛函分析 答案(张恭庆)2.4节
= ( 1) , 但 (
) &
1
.
M i = span x j ,
1 j n j&i
{ }
di =
( xi , M i ) ,
d i > 0,
7
" fi =1 f fi = d i ' i ' fi x j = 0 ( j & i ) , # f i ( Mi ) = 0 ' f i ( xi ) = d i ' $ f i ( xi ) = 1. 2.4.8 M 是极大线性子空间的充分且 必要条件是， M 是线性真子空间, 并且 x0 X M 有 X = x0 | R1 (M .
须对
n
1
{
}
k f ( xk ) = f
n
xk
!
f
k =1
k
xk
M
k =1
k
xk .
若所说的不等式成立，设 E = span { xn , n 1} ,
x=
定义
n
k =1
k
xk
E,
,
j
2
,
,
n
K , 有
n j =1 j
f0 ( x ) =
特别是 假设,
n k =1 k
Ck ,
并由充分性
|
( )
j =1
= inf + f ( x ) df ( y ) , . y B( ,1) = f ( x ) d ( x ) sup f ( y )
y B ( ,1)
x = ( 4 ,5 ) 到通过原点的直线(即 含有零点的超平面) H0 f = { x = ( 4 ,5 ) | f ( x ) = 4 + 05 = 0}
泛函分析答案2.3
: X X / X0 ，定义为 : x [ x] x X ，其中 [ x] 表 示含 x 的 商类. 求证 是开映 射. 证法1 用开映射定理, 只需证明
满射. 事实上,
[ x] X X0, 任取 x [ x], 则有 x X, x = [ x].
x =1
x =1
( ) = ( sup p ei( x = ( sup p( x)
x =1
x =1
(x 1 = (
( ) x 1
( R1 .
注
x X, x = 1
11
( ) y=ei( x
y =1
p ei( x = p( y) sup p( y) = sup p( x)
y =1
x =1
( ) sup p ei( x sup p( x);
%
* f , x = (k)k;
k =1 n
* fn , x = (k)k
k =1
( ) ( ) fn
p + = L p ,K , 且 lim n%
fn , x = f , x . 由习题2.3.7,
( ) f
p +.
下面证明 ( = {(k } q .
n
N, 取 x(n) , 其坐标
16
为
又
xk( n )
U L( X ,Y ) ，设方程 Ux = y 对每 一个 y Y 有解 x X ， 并且
m > 0 ，使得 Ux m x , x X .
求证： U 有连续逆 U 1 ，并且
2
U 1 1/ m . 证明 由条件, U 是满射,且是单 射. 所以根据Banach定理,
泛函分析部分课后习题答案
T : R n E ，对于 1 , 2 n R n ， 。
下证 T 为同构映射。 显 然 T 为 单 射 ， 容 易 证 T 也 为 满 射 。 事 实 上 ， 对 于 x E ， 令
n
ci x, ei R, i 1, 2, n ，必有 T c1 , c2 cn ci ei x 。
f x 为
n
Cauchy 列 ， 则 f n x , f n1 x 0 n ， 由
f ni x f ni1 x f n , f n 1 0 n 知 f ni x 也为 Cauchy 列。由 Cauchy
由于时间和能力有限，只完成了部分习题，仅供参考，有错误的请指出，大家共同进步！——陈建军
习题 1 1、解： C a,b 按 是非完备的。
n1
令函数列 Pn x
i 0
b
xi ，显然 Pn C a,b ，且有 2i
b
Pn , Pn1 Pn1 Pn dx
T x1 , x2 , xn 0, x1 , x2 , xn 1 , S x1 , x2 , xn 0, x2 , xn 。易证 T，S 为线性算
子。取点 1,0, 0 R n ，显然有 TS 1, 0, 0 T 0,0, 0 0, 0, 0 ，
n k 1
fi x f ek ，显然 f X 且 fi i 1 为 X 的基。令 T : X X ，使得
f f e1 , f e2 , f en ，易证 T 为双射。命题得证。
《泛函分析》作业答案汇总(修改)
《泛函分析》作业1、对,x y R ∀∈，令21(,)()d x y x y =-，2(,)d x y =，问1(,)d x y ，2(,)d x y 是度量空间吗？2、)(2E L 表可测集E 的平方L e b e s g u 可积函数，2,()x y L E ∀∈令{}122(,)()()Ed x y x t y t dt=-⎰，证明2((),)L E d 是度量空间。
3、S 表示所有数列组成的集， S y x ∈∀,,}{},{i i y y x x ==，令||1||21),(1i i i i i iy x y x y x d -+-=∑∞=，则S 是度量空间。
4、}|{122∞<=∑∞=i i i x x l ，2,l y x ∈∀，2121})({),(i i i y x y x d -=∑∞=，证明),(2d l 是度量空间。
5、度量空间的收敛点列是有界的。
6、设),(2d R 是度量空间，,n x y R ∈，1(,)n x x x = ，1(,)n y y y = ，||max ),(1i i ni y x y x d -=≤≤，{}()(,),(1,2,)m n x R d m ⊂= ，()1(,)m m m n x x x = ，),....,()0()0(1)0(n x x x=，(,)n x R d ∈，，证明()()(1)m x x m i i x →→∞⇔∀≤≤，()()m ii x x m →→∞。
7、证明,0),,(,0>∃∈∀r r x s x 使),(),(0,0r x s r x s ⊂。
8、证明：,),(,0O ≠⋂>∀⇔∈-A x s A x εε用此结论证,AB A B = 。
9、证明（1）任意闭集交是闭集。
（2）有限个闭集的并是闭集。
10、证明开球是开集，闭球是闭集。
11、设(,)X d 是度量空间，A B C X ⊆，，，若B 在A 中稠密，C 在B 中稠密，，证明C 在A 中稠密。
泛函分析答案(完整版)
1.}{ .1的极限是唯一的中的收敛列证明距离空间n x X *.** 0*)**,( )( 0*)*,(*),(*)**,(0)( *** x x x x n x x x x x x n x x x x n n n n ==∞→→+≤≤∞→→→，即所以，则，设ρρρρ第七章距离空间、赋范线性空间2.* }{* }{ .2x x X x x X n n 的任一子列收敛于收敛于中的序列试证距离空间⇔∈.* 0*),( 0*),(}{}{)( *x x x x x x x x n x x kkk n n n n n n →→→∞→→，所以，故的任一子列，依条件，是，设ρρ.*}{.*}{*),( }{}{*),(0*}{*}{000x x x x x x x x x x N n N x x x x n n n n n n n n k k k收敛于此与假设矛盾，故不收敛于显然使的一个子列，于是可选取，使，都存在，使对任意的自然数则必存在，不收敛于，如果的任一子列收敛于反之，设ερερε≥≥>>3),(),(|),(),(| )ii (),(|),(),(| )i ( .3w z y x w y z x y x z y z x X w z y x ρρρρρρρ+≤−≤−：中的任意四个点，证明是距离空间、、、设),(|),(),(|)2()1()2( ),(),(),( ),(),(),()1( ),(),(),( ),(),(),( )i (y x z y z x y x z x z y z x x y z y y x z y z x z y y x z x ρρρρρρρρρρρρρρρ≤−≤−+≤≤−+≤即得：、结合得再由得由),(),(|),(),(|)4()3()4( ),(),(),(),( ),(),(),(),()3( ),(),(),(),( ),(),(),(),(),(),( )ii (w z y x w y z x w z y x z x w y w z z x x y w y w z y x w y z x z w w y y x z y y x z x ρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρ+≤−+≤−++≤+≤−++≤+≤即得：、结合得再由得由4距离吗？是定义在实数集合上的2)(),( .4y x y x −=ρ.,24120),(),(),(),(.)(),(2上式就不成立时，，，比如取满足、、不能对所有的因为的距离不是定义在实数集合上>===+≤⋅⋅−=z y x y z z x y x z y x y x y x ρρρρρ.),( }{}{ .5收敛中的基本列，证明是距离空间、设n n n n n y x X y x ρα=.Cauchy }{),(),( |),(),(|||),( 0),( ),( 0),(数列，故收敛是即知再由依条件：n m n m n m m n n m n m n m n y y x x y x y x m n y y m n x x αρρρρααρρ+≤−=−∞→→∞→→5的闭包是闭集。
泛函分析讲义第二版课后答案
泛函分析讲义第二版课后答案第一章函数的概念1.定义函数：函数是一种特殊的数学关系，它把一个或多个自变量映射到一个或多个因变量。
它可以用来描述物理现象、经济关系、社会现象等。
2.定义函数的基本要素：函数的基本要素包括：自变量、因变量、函数表达式、函数图像。
3.定义函数的基本性质：函数的基本性质包括：单调性、可导性、可积性、可级数展开性、可积分性、可极限性、可微分性、可反函数性。
4.定义函数的基本概念：函数的基本概念包括：定义域、值域、增函数、减函数、奇函数、偶函数、有界函数、无界函数、连续函数、间断函数、有穷函数、无穷函数、可积函数、不可积函数、可微分函数、不可微分函数、可反函数函数、不可反函数函数。
第二章函数的极限1.定义极限：极限是指当自变量的值趋近于某一特定值时，函数的值趋近于某一特定值。
2.定义极限的基本性质：极限的基本性质包括：极限的存在性、极限的结合性、极限的分配性、极限的交换性、极限的绝对值性质、极限的恒等性、极限的连续性。
3.定义极限的基本概念：极限的基本概念包括：极限的定义、极限的计算、极限的应用、极限的性质、极限的极限点、极限的极限线、极限的极限面、极限的极限空间。
第三章函数的微分1.定义微分：微分是指求函数的导数，即求函数在某一点处的切线斜率。
2.定义微分的基本性质：微分的基本性质包括：微分的存在性、微分的结合性、微分的分配性、微分的交换性、微分的绝对值性质、微分的恒等性、微分的连续性。
3.定义微分的基本概念：微分的基本概念包括：微分的定义、微分的计算、微分的应用、微分的性质、微分的微分点、微分的微分线、微分的微分面、微分的微分空间。
08级泛函分析习题参考答案(2)
08级泛函分析习题参考答案（2）一、设对于任何实数1p ≥，12(,,,,)p n x l ξξξ=∈ ，试证：lim pp xx ∞→+∞=。
证明：不妨设12(,,,,)0n x ξξξ=≠ ，令nn xξη∞=，()12,,,,n y ηηη= ，则1n η≤，py l ∈，p p x y x∞=,1y∞=。
由此可知，对于0ε∀>，0N ∃>，n N>时，使得1pn n N ηε∞=+<∑，并存在0n ，使得011n εη-<≤。
由()11101111ppp N p p p n n n n pn n n N yN εηηηηε∞∞===+⎛⎫⎛⎫-<≤==+≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑可得，0ε∀>，11ppp p lim ylim yε→+∞→+∞-≤≤≤，从而lim 1pp y→+∞=。
由此可得，lim pp xx ∞→+∞=。
二、设X 一个线性空间，范数1x 与2x 等价的充分必要条件是存在两个正数b a ,，使得不等式212x b x xa ⋅≤≤⋅，对任何X x ∈成立。
证明：充分性是显然的，只需证明必要性。
假设不存在0>b ，使得21x b x ⋅≤成立，则对每一个自然数n ，存在X x n ∈，使得21n nx n x ⋅>，从而n x x n n121<，但111=n n x x ，这与范数1x 与2x 等价相矛盾。
因而存在0>b ，使得对任何X x ∈， 21x b x⋅≤成立。
同理可证，存在0>'a ，使得12x a x⋅'≤。
令aa '=1，则0>a ，并且对任何X x ∈，成立着12x xa ≤⋅。
三、设 ,2,1,0,0,,=≠≠∈n x x X x x n n ，并且∞→→n x x n ,，则xxx x n n →。
证明：由x x n →及x x x x n n -≤-（或范数的连续性）,可得x x n →。
电子科技大学 泛函分析(江泽坚) 作业题答案
P46:第一章习题：1.验证(),()d m gg 满足距离定义。
解：设{}i x ξ=，{}i y η=属于X ，α是数，()1,sup .j j j d x y ξη≥=-(1)对j ∀，有0j j ξη-≥，所以1sup j j j ξη≥-，(),0d x y ≥，且1sup 00j j j j j j j ξηξηξη≥-=⇔-=⇔=，即(),0d x y =当且仅当.x y =(2) ()()11,sup sup ,j j j j j j d x y d y x ξηηξ≥≥=-=-=；(3)设{}i z ζ=()()1111,sup sup ()()sup sup ,(,)j j j j j j j j j j j j j j d x z d x y d y z ξζηξξζηξξζ≥≥≥≥=-≤-+-≤-+-=+综上(1)，(2)，(3)，(),d gg 满足距离定义。
3.试证明：在空间()s 中的收敛等价于坐标收敛。
证：设{}()(),1,2,n n jx s n ξ=∈=L，{}()(0)0jx s ξ=∈，()⇒若0n x x →，则必有()(0)lim ,1,2,n j j n j ξξ→∞==L ，否则，j N +∃∈，00ε>，与正整数列的子序列{}1k k n ∞=，使()(0)0,1,2,k n j j k ξξε-≥=L ，因为()1tf t t=+是单调递增， 所以()()(0)00()(0)011,,1,2,2211k k k n j j n j jn j jd x x k ξξεεξξ-≥⋅≥⋅=++-L ， 这与()0,0k n d x x →矛盾， 故()s 中的收敛可推出坐标收敛。
()⇐若()(0)lim ,1,2,n j j n j ξξ→∞==L ，则对j ∀，0ε∀>，0N N +∃∈，0n N ∀>，()(0)2n j jεξξ-<，()()(0)0()(0)1111,,1,2,2211n j j n j j n j j j j d x x k ξξεεξξ∞∞==-=⋅<⋅=++-∑∑L ，由ε的任意性得()0,0.n d x x → 故命题得证。
泛函分析(西交版)答案
Q =[0,1]。故， Q Q Q =[0,1]。
② 设 a 是 Q 中的点，因 a 所在的邻域 ( , ) 必含有无理数点，故 a 所在邻域都不会包含于
Q 内（因为 Q 是有理点集） ，故 Q 没有内点。
12 ． 设 f ( x) 是 直 线 R 上 的 连 续 函 数 ， a 为 任 一 常 数 ， 试 证 {x | f ( x) a} 为 开 集 ，
n
A。
(2)充分性
x n 是单调数列，不妨设 x n 单调增，由 lim xn A 知 lim xn A ，且对 0 ，
n
k
n
k
k 0 ，当 k> k 0 时，有 x n A A n k x n k ，取 N nk ，当 n N 时，
1 1 1 1 x x0 x x0 1 1 f ( x) f ( x0 ) sin sin 2 cos sin x x0 2 2 x x0 x x0 xx0 2 xx0
2 sin
由
x0 x0 x x0 x ， 1 x0 1 x0 xx0
1 2
n 1
sin m sin n sin m sin n 1 1 1 1 n n m n 2 * n n 1 ， 0 ， 由 m m 2 2 2 2 2 2 2 2
1
，取 N 1 log 2
得， n 1 log 2
1 ，当 m>n>N 时，有 x m x n ，
x n x N 0 1 x N 0 1 x n x N 0 1 1 ，从而数列 x n 的前 N 0 项， x 1，x 2 , x N 0 是有界
刘炳初等 《泛函分析》第二版课后习题答案
刘炳初等 《泛函分析》第二版课后习题答案习题二1.设(,)X 是赋范空间. 对于,,x y X ∈令10,,1,,x y d x y x y =⎧=⎨-+≠⎩ 证明：1d 是X 上的距离但不是由范数诱导的距离.证明：显然1d 满足距离公理1)、2). 若x y =，显然有111(,)0(,)(,)d x y d x z d z y =≤+； 若x y ≠，则当,x z z y ≠≠时，111(,)112(,)(,)d x y x y x z z y x z z y d x z d z y =-+≤-+-+≤-+-+≤+； 当,x z z y =≠时，1111(,)11(,)(,)(,)d x y x y z y d z y d x z d z y =-+=-+==+； 当,x z z y ≠=时，1111(,)11(,)(,)(,)d x y x y x z d x z d x z d z y =-+=-+==+； 因此，1(,)d x y 满足距离公理3).但10,,(,)1,,x d x x x θθθ=⎧=⎨+≠⎩显然不满足11(,)(,)d x d x αθαθ=，因此1d 不是由范数诱导的距离.2.在l ∞中，按坐标定义线性运算且对,k x l x ξ∞∈=定义sup n nx ξ=，证明l ∞是一个赋范空间.证明：显然这是一个范数.3.设M 是空间l ∞中除有穷个坐标之外为0的元之全体构成的子空间. 证明M 不是闭子空间.证明：令01111111,,,,,0,0,,1,,,,,2323n x x nn⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则显然我们有n x M ∈，且01110,0,,,,0()121n x x n n n n ⎛⎫-==→→∞ ⎪+++⎝⎭，但0x M ∉，因此M 不是l ∞得闭子空间.4.试举例说明，在赋范空间中，由1n n x ∞=<∞∑，一般地不能推出1n n x ∞=∑收敛.例： 5. 设(,)X 是赋范空间，0X 是X 中的稠密子集，证明：对于每一x X ∈,存在{}0n x X ⊂，使得1n n x x ∞==∑，并且1n n x ∞=<∞∑.证明：取10x X ∈，使得112x x -<，则112x x ≤+；0X X =，∴可取20x X ∈，使得12212x x x --<，则2121211122x x x x x x ≤--+-<+<；同理可取30x X ∈，使得123312x x x x ---<，则31231223111222x x x x x x x x ≤---+--<+<；继续此法，可得{}0n x X ⊂，使得112ni ni x x =-<∑，且21(2,3,)2nn x n -<=，由此知1n n x x ∞==∑，并且1n n x ∞=<∞∑11112n n x ∞-=⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭∑.6. 设(,)X 是赋范空间，{}0X ≠，证明：X 是Banach 空间，当且仅当，X 中的单位球面{}:1S x X x =∈=是完备的.证明：必要性是显然的(S 为X 中闭集)，下证充分性.若S 是完备的，设{}n x 为X 中的Cauchy 列，由于m n m n x x x x -≤-，从而lim n n x →∞存在，不妨设lim n n x a →∞=. 若0a =，则显然0()n x n →→∞.若0a ≠，不妨设0n x ≠，则n n x S x ⎧⎫⎪⎪⊂⎨⎬⎪⎪⎩⎭，因为11()0m n n m m n n m n m nn m nm nm nx xx x x x x x x x x x x x x x x x -=-≤-+-→也即n n x x ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭为S 中的Cauchy 列，由S 的完备性，lim n n n x x →∞存在，不妨设limn n n x x S x →∞=∈，从而有1lim 0n n n nn n x a ax ax x x x x x x a →∞-=-→-=，故lim 0n n x ax →∞-=，即{}n x 收敛，从而证得X 是Banach 空间.7. 证明0c 是可分的Banach 空间. 证明：分以下三步来证明：1). 证明0c 是l ∞的线性子空间. 事实上收敛列必有界，从而显然0c l ∞∈，且设()()12120,,,,,,,,,n n x y c ξξξηηη==∈，则()1122,,,,n n x y αβαξβηαξβηαξβη+=+++，由于lim 0n x y αβ→∞+=，从而我们有0x y c αβ+∈，即0c 是l ∞的线性子空间.2). 证明0c 是l ∞的闭子空间. 事实上，设()()()()120,,,,,k k k k n x c ξξξ=∈()(0)(0)(0)012,,,,n x ξξξ=，并且()(0)0sup 0()k k n n nx x k ξξ-=-→→∞，因此0ε∀>，1N ∃，使得当1k N >时，()(0)0sup 2k k n n nx x εξξ-=-<. 由于(0)()()(0)()1()2k k k n n n n n k N εξξξξξ≤+-<+>，又因0k x c ∈，()0()k n n ξ→→∞，故存在()1N N ≥，使得当n N >时恒有()2k n εξ<，从而(0)n ξε<，n N ∀>，即00x c ∈，由此知0c 是l ∞的闭子空间.3). 由于l ∞为Banach 空间，而0c 是l ∞的闭子空间，从而0c 是Banach 空间，下证0c 是可分的. 设M 为一切有限有理数列全体，即()12,,,,n n x M ξξξξ=∈⇔全为有理数，且存在x N ，使得当x n N >时，0n ξ=. 显然1n n MQ ∞=，可知M 可数.()1200,,,,,n y c εηηη∀>=∈，由于0n η→，故存在N ，使得当n N >时，n ηε<. 对()12,,,N N R ηηη∈，存在()12,,,N N Q ξξξ∈，使得1sup n n n Nηξε≤≤-<，从而存在()012,,,,0,0,N x M ξξξ=∈，使得0y x ε-<，即M 在0c 中稠密.综上可知0c 是可分的Banach 空间. 8. 设(,)n nX 是一列赋范空间，{}(),1,2,n n n x x x X n =∈=且满足条件1pkk x ∞=<∞∑，用X 表示所有x 的全体，按坐标定义线性运算构成的线性空间，在X 中定义11(1)ppkk x x p ∞=⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭∑，证明(,)X 是一个赋范空间.证明：只需证明是一个范数即可. 事实上，显然0x ≥，且0x =，即10pkk x ∞==∑，从而有0(1,2,)kkx k ==，又k X 是赋范空间，故(1,2,k x k θ==，从而可得x θ=，即证明了范数公理的条件1)成立，而条件2)显然成立，下证条件3)成立. 设{}{}(),,,1,2,n n n n n x x y y x y X n ==∈=，由离散情形的Minkowski 不等式，我们有111111ppppp p kk kk k k k x y x yx y x y ∞∞∞===⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+≤+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑,从而证得是一个范数，从而(,)X 是一个赋范空间.9. 证明：1) 离散情形的Hölder 不等式与Minkowski 不等式；2) ()1p l p ≥是可分的Banach 空间.证明：1). 首先证明离散情形的Hölder 不等式，即证明下列不等式成立：11111pqp q k k k k k k k ξηξη∞∞∞===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，其中111,1p p q ≥+=. 令11,pqpqk kk k A B ξη∞∞====∑∑，由不等式pqabab p q ≤+可得11p qk kk kAB p A q Bξηξη≤+从而有1111111111pqpq pqk kk kkk k k k k k A B AB p A q Bpqp qξηξηξη--∞∞∞∞∞=====≤+=+=+=∑∑∑∑∑，所以11111pqp q k k k k k k k AB ξηξη∞∞∞===⎛⎫⎛⎫≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 由离散情形的Hölder 不等式，我们可以推导相应的Minkowski 不等式：111111pppp p p k k k k k k k ξηξη∞∞∞===⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑事实上，由Hölder 不等式，我们得到111111111(1)(1)1111111111,pp p k k k k kk k kk k k pqpqp q p p q p k k k k k k k k k k qp p p p pk k k k k k k ξηξξηηξηξξηηξηξηξη∞∞∞--===∞∞∞∞--====∞∞∞===+≤+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑由此即可得到111111pppp p p k k k k k k k ξηξη∞∞∞===⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑.2). 首先，由于(){}12,,,,,1,2,,n n i Q r r r r r Q i n ==∈=为n R 中全体有理点集，它是n R 中稠密的可数集，因此n R 是可分空间. 令(){}12,,,,;,,1,2,,n i M r r r r n N r Q i n ==∈∈=，易知M 为p l 的可数子集，下证p M l =. 事实上，设()12,,,,,0,p n x l ξξξε=∈∀>存在()N ε，使得12ppi i N εξ∞=+<∑，从而有()12,,,,0,N y r r r M =∈，使得111122p ppNpp p i i i pi i N x yr εεξξε∞==+⎛⎫⎛⎫-=-+<+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，因此p M l =，即()1p l p ≥是可分的Banach 空间.10. 证明任意线性空间中存在Hamel 基.证明：设E 是线性空间X 中的线性无关集，令集合M 为包含E 的所有线性无关集全体，在M 上定义偏序关系为''''⊂,显然M 的全序子集都有上界(所有集合的并集)，由Zorn 引理，M 有极大元，不妨设为B ,下证B 即为X 的Hamel 基，如若不然，则存在y X ∈，但y B ∉，即y 与B 中任何元素都线性无关，从而{}y B M ∈，这与B 的极大性矛盾.11. 设A 是线性空间X 中的子集. 证明：111():,01.nn n k k k k Co A x x X n x A αααα=⎧⎫=++∈∈≥=⎨⎬⎩⎭∑是任意自然数，且证明：若令S 表示上式右端，则A S ⊂而且S 是凸集，从而()Co A S ⊂. 反之，设F 是包含A 的任一凸集，那么(1,2,,)i x F i n ∈=，从而1ni i i x F α=∈∑，即得S F ⊂，从而()S Co A ⊂.12. 设E 是直线上的Lebesgue 可测集，且mE <∞，用p表示()(1)p L E p ≥的范数，∞表示()L E ∞的范数. 证明：对于每一()x L E ∞∈，lim pp x x ∞→∞=.证明：设xM ∞=，若0mE =或0M =，显然成立，下设0,0mE M ≠≠：i). 根据本性上确界的可达性，即存在0E E ⊂，使得00mE =，并且0\sup ()E E M x t =，所以0\\()d ()d d ppp pEE E E E x t t x t t M t M mE =≤=*⎰⎰⎰，所以()1ppxM mE ≤*. 因为当p →∞时，()11pmE →，即lim pp xM x ∞→∞≤=；ii). 对任意的0ε>，令{}1:()E t E x t M ε=∈>-，由上确界定义易知10mE >，从而11()d ()d ()ppp EE x t t x t t M mE ε≥≥-*⎰⎰，令p →∞，则lim pp xM ω→∞≥-，由ε的任意性，知lim pp xM →∞≥.从而lim pp xM x ∞→∞==.13. 设()11,X ，()22,X 是赋范空间，在乘积线性空间12XX ⨯中定义()1212112212,max ,z x x z x x =+=，其中()1212,,z X X z x x ∈⨯=.证明1z ，2z 是12X X ⨯上的等价范数.证明：显然2122z z z ≤≤，从而它们是等价范数.14．设X 是区间[],a b 上所有连续函数全体按通常方式定义线性运算所成的线性空间，对于x X ∈定义1sup ();()d ba a t bx x t x x t t ≤≤==⎰.证明：和1是X 上两个不等价的范数. 证明：显然和1是X 上的两个范数，且1()x b a x ≤-，要证两个范数不等价，则只需证明不存在0c >，使得1x c x ≥，即证明存在[]C ,n x a b ∈，使得1n nx x →∞.令()()(),,2()2,,20,,n b aa n t a a t a nb a nbb ax t a b a t a b a n nb a a t b n-⎧+-≤≤+⎪⎪--⎪=--++≤≤+⎨-⎪⎪-+≤≤⎪⎩则()()12,,2n n b a b a x x b n-+==()()122n nx nx b b a b a =→∞-+.15. 设Banach 空间(,)X 具有Schauder 基{}n e ，用M 表示所有使得1k k k e ξ∞=∑在X 中收敛的数列{}k ξ的全体，按通常方式定义线性运算构成的线性空间，对于每一{}k x M ξ=∈，定义11supnk knk x eξ==∑，证明(,)M 是Banach 空间.证明：首先易知1是范数.设{}()m x M ∈是Cauchy 列，()()()()()12,,,,m m m m n x ξξξ=16. 设(,)X 是赋范空间，Y 是X 的子空间，对于x X ∈，令(),inf y Yd x Y x y δ∈==-.如果存在0y Y ∈，使得0x y δ-=，称0y 是x 的最佳逼近. 1) 证明：如果Y 是X 的有穷维子空间，则对每一x X ∈，存在最佳逼近.2) 试举例说明，当Y 不是有穷维空间时，1)的结论不成立. 3) 试举例说明，一般地，最佳逼近不惟一.4) 证明对于每一点x X ∈，x 关于子空间Y 的最佳逼近点集是凸集.证明：1).有下确界定义，0,n y Y ε∀>∃∈，使得n x y δδε≤-<+.因为Y 是有穷维子空间，从而存在子列{}{}k n n y y ⊂，使得0k n y y →，将上面不等式中的n 改为k n ，并令k →∞，便有0x y δδε≤-<+，由ε的任意性即可得到0x y δ-=，即0y 就是x 的最佳逼近元.2).例：在0c 空间中，令{}011:02n n nn n M x c ξξ∞∞==⎧⎫==∈=⎨⎬⎩⎭∑，则易证M 是0c 的闭子空间. 设()02,0,,0,x =，下面说明对此0x ，M 中不存在最佳逼近元. 事实上，N m ∀∈，令()111,1,,1,0,0,2m m m x M -⎛⎫⎪=---∈ ⎪ ⎪⎝⎭个，则()00111(,)12m m m x x d x M →∞--=+⇒≤.下证0,1y M x y ∀∈->.用反证法.假设存在()12,,,,k y M ξξξ=∈，使得01x y -≤，则()0122,,,,k x y ξξξ-=---，011,2,12 1.kk x y ξξ⎧≤≥-≤⇒⎨-≤⎩又由()12211,21222kkk kkk k k ξξξξ∞∞==≤≥⇒≤<⇒<∑∑.这与121ξ-≤矛盾.所以0,1y M x y ∀∈->.两边取下确界，得到0(,)1d x M ≥，从而我们可以得到0(,)1d x M =，即在M 上找不到一点，使得该点是0x 的最佳逼近. 3).例：在2R 中，对()212,x x x R ∀=∈，定义范数12max(,)x x x =，并设()00,1x =,()11,0e =，a R ∈，则(){}01,1max ,1x ae a a -=-=，从而01min 1a Rx ae ∈-=，但最佳逼近元{}11a ae ≤不惟一.4).设M 为x 关于子空间Y 的最佳逼近点集，则对[]12,,0,1y y M λ∀∈∈，12(,)x y x y d x Y -=-=，从而()()()121212(1)(1)(1)(,)x y y x y x y x y x y d x Y λλλλλλ-+-=-+--≤-+--=又显然()12(1)(,)x y y d x Y λλ-+-≥，从而()12(1)(,)x y y d x Y λλ-+-=，即12(1)y y M λ+-∈，所以M 是凸集.17. 设(,)X 是赋范空间，如果对任意,,x y X x y ∈≠且1x y ==必有2x y +<，称(,)X 是严格凸赋范空间. 1) 证明赋范空间(,)X 是严格凸的，当且仅当，对任意,x y X ∈，x y x y +=+必有(0)x y αα=>.2) 证明在严格凸赋范空间中，对于每一个x X ∈，x 关于任意子空间Y 的最佳逼近是惟一的.证明：1). 必要性. 设x y x y +=+，则11x y x y xyx y x y x x yy+=⇒+=+++，由严格凸性，x y c x y =，即c x x y y=，令c x yα=，即可得到x y α=.充分性.用反证法，如果存在,,x y X x y ∈≠且1x y ==，使得(1)1x y ββ+-=，即(1)(1)x y x y ββββ+-=+-，由假设，必存在α，使得(1)x y βαβ=-，又因为1x y ==，从而可得x y =，矛盾.2).用反证法.事实上，若(),0d x Y >,并有12(,)x y x y d x Y -=-=，则对[]0,1α∀∈，由严格凸性有()()()12121211(1)(1)(,)(,)(1)1(,)(,)x y y x y x y d x Y d x Y x y x y d x Y d x Y αααααα-+-=-+--⎛⎫⎛⎫--=+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()12(1)(,)x y y d x Y αα-+-<，这显然与(,)d x Y 的定义矛盾.但若(),0d x Y =，12,y y 是相应的最佳逼近元，则必有12y x y ==，从而最佳逼近元必是惟一的.18．设(,)X 是赋范空间，如果对任意0ε>，存在0δ>，当x y ε-≥，1x y ==时必有2x y δ-≤-，称(,)X 是一致凸的. 证明： 1) 一致凸赋范空间必是严格凸的. 2) [],C a b 不是一致凸的. 3) []1,L a b 不是一致凸的.证明：设X 是一致凸的赋范空间，,,x y X x y ∈≠且1x y ==，则必存在00ε>，使得0x y ε-≥(若不然，对0ε∀>，都有x y x y ε-<⇒=，矛盾). 由一致凸性，对此00ε>，必存在0δ>，使得22x y δ-≤-<，从而X 是严格凸的. 2). 由1),只需证明[],C a b 不是严格凸的即可.以[]0,1C 为例.取()1,()x t y t t ≡= 都满足1x y ==，但2x y +=.从而不是严格凸的.3). 同理. 取()1,()2x t y t t ≡=，都满足1x y ==，但2x y +=.从而不是严格凸的.习题三1. 设1sup n n α≥<∞，在1l 上定义算子:T y Tx =，其中{}{},k k x y ξη==，k k k ηαξ=(1,2,)k =. 证明T 是1l 上的有界线性算子并且1sup n n T α≥=.证明：111,sup k k k k k k k k k k x ηαξηαξα∞∞≥====≤∑∑，()112,,,,,k x l ξξξ∀=∈()112,,,,k y l ηηη∴=∈，且1sup k k Tx x α≥≤，1sup k k T α≥∴≤.另一方面，由上确界定义，对任意的n ，存在k n ，使得11sup k n k k nαα≥>-. 取()010,0,,1,0,k n x =第项为,则显然01x =，且00k n Tx T x T α=≤=，从而11sup k k T nα≥-<. 令n →∞，则有1sup k k T α≥≤. 所以1sup k k T α≥=.3. 证明Banach 空间X 是自反的，当且仅当*X 是自反的.证明：必要性. 设X 是自反的，:**()J X X J X →=为典型映射，现证*X 也自反. 任取****:x x J X =→k ，显然**x X ∈. 因为()****()()(*)x Jx x x Jx x ==，及X 的自反性得()**R J X =，因此对任意的****x X ∈，()*******(*)x x x x =，由此知1****J x x =，其中1:****J X X →为典型映射，且()1***R J X =，从而*X 是自反的.充分性. 设*X 自反，假设X 不是自反的，即0()J X X =为**X 的真闭子空间(因为J 是X 到0X 上的等距同构映射，且X 完备)，由Hann —Banach 定理，存在0******x X ∈，满足0***1x =，且()**x J X ∀∈，()0*****0x x =. 因为()1****J X X =，故存在*0*x X ∈，使得********001001,()x x J x x ===，********001001,()x x J x x ===，因而对任意的****x X ∈，()****00(**)**x x x x =，但()()*****000()0,x x x x Jx x X ===∀∈，因此*0*x X θ=∈，这与*01x =矛盾，从而设X 是自反的.20. 设X 是一致凸赋范空间，()0,1,2,n x x X n ∈=. 证明如果()0Wn x x n −−→→∞且 ()0n x x n →→∞，则()0n x x n →→∞.证明：不妨设00,n x x θ≠≠，用反证法. 为简单起见，设01n x x ==，且n x 不按范数收敛于0，那么可设00ε∃>，使得00n x x ε-≥，由空间的一致凸性，0δ∃>，使得02n x x δ+≤-. 由于0Wn x x −−→，故*f X ∀∈，且1f =有()()0n f x f x →，从而有()()002n f x x f x +→. 由于()002n n f x x f x x δ+≤+≤-及()()0001112sup sup lim22n n f fx f x f x x δ→∞==-==+≤知01x <，这与01x =矛盾，从而必有()0n x x n →→∞.22. 证明空间(1)pl p <<∞上的有界线性泛函的一般形式为()1k kk f x αξ∞==∑，其中{}pk x l ξ=∈，{}111qk y l p q α⎛⎫=∈+= ⎪⎝⎭并且11q k k f q α∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，()*p q l l =.证明：令()0,,0,1,0,n e =，显然()12,,,,pn x lξξξ∀=∈，有1i ii x eξ∞==∑. 设()1i i i f x ξη∞==∑，其中()12,,,,q n y l ηηη=∈，则由Hölder 不等式，我们可以得到 ()11111qpqpi i i i i i i f x y x ξηηξ∞∞∞===⎛⎫⎛⎫=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，从而可知()*pf l ∈，且f y ≤.反之，对任一()*p f l ∈，()()1,2,i i f e i η==，()12,,,,n y ηηη=，下证qy l ∈且()1i i i f x ξη∞==∑及f y =. 事实上，令11sgn nq p n ii i i x e l ηη-==∈∑，则()()111sgn nnq qn ii i i n i i f x f e fx ηηη-====≤∑∑. 由于()11111nnppp q q n ii i i x ηη-==⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，因此()111,2,nqq i i fn η=⎛⎫≤= ⎪⎝⎭∑，令n →∞得11nqq i i y fη=⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭∑，令(),:*p q Tf y T l l =→，则y T f f =≤，从而y T f f ==. 又显然T 是线性算子，且为满射，故为()*p l 到q l 上的等距同构映射，从而()*p q l l =.习题四1. 设12,,,,n H H H 是一列内积空间，令{}21:,.n n n nn H x x H x ∞=⎧⎫=∈<∞⎨⎬⎩⎭∑对于{}{},n n x y H ∈，定义{}{}{}(,)n n n n x y x y αβαβαβ+=+∈k ，{}{}(),n n x y ()1,n n n x y ∞==∑.证明H 是内积空间，并且当每一个n H 都是Hilbert 空间时，H 是Hilbert 空间. 证明：先证H 是内积空间. 因为()()11222211111,,n n n n n n n n n n n n n x y x y x y x y ∞∞∞∞∞=====⎛⎫⎛⎫≤≤≤<∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑， 故定义{}{}(),nnx y ()1,nnn x y ∞==∑是有意义的. 又由{}{}{}()()()(){}{}(){}{}()111,,,,,,nnnnn n n n n n n n n n n n n x y z xy z x z y z x z y z αβαβαβαβ∞∞∞===+=+=+=+∑∑∑及{}{}()()()(){}{}()111,,,,,nnnnnnnnnnn n n x y x y y x y x y x ∞∞∞=======∑∑∑，而且{}{}()()1,,0nnnnn x x x x ∞==≥∑及{}{}()()(),0,01,2,n n n n x x x x n =⇔==⇔(){}1,2,n n x n x θθ==⇔=，由内积定义可知H 是内积空间.再证H 是完备的. 设{}()1i i x ∞=是H 中的Cauchy 列，其中()()()()()12,,,,i i i i n x x x x =.由定义00,i ε∀>∃，使得当0,i j i >时，有()()i j x x ε-<，即122()()1i jn nn x x ε∞=⎛⎫-< ⎪⎝⎭∑，于是()()i j n nx x ε-<，所以{}()1i nn x ∞=是n H 中的Cauchy 列(n 固定)，设()(0)i n n x x →，并令()(0)(0)(0)12,,,,n x x x x =，由前证122()()1i j n n n x x ε∞=⎛⎫-< ⎪⎝⎭∑，0,i j i ∀>，故对固定的k 使得2()()21ki j n nn x x ε=-<∑. 令j →∞，则2()(0)21ki n nn x x ε=-≤∑，再令k →∞，就有2()(0)21i n nn x x ε∞=-≤<∞∑，即()i x x H -∈. 因为H 是线性空间，于是有()()()i i x x x x H =--∈，故点列()()1,2,i x i =按H 中范数收敛于x ，于是H 是完备的，即是Hilbert 空间.2. 设H 是Hilbert 空间，M 是H 的闭子空间. 证明M 是H 上某个非零连续线性泛函的零空间，当且仅当M ⊥是一维子空间.证明：必要性. 若M 是H 上某个非零连续线性泛函的零空间，由Riesz 表示定理知存在f y H ∈，使得()(),,f f x x y x H =∀∈，于是()(){}{}:,0,f f f M x f x x y y H y ⊥===∈=，由本节题4知.{}(){}span f fM y y ⊥⊥⊥==是一维子空间.充分性. 若M ⊥是非零元y 生成的一维子空间，,x H ∀∈令()(),f x x y =，则显然有()0f x x y =⇔⊥，即()x M M ⊥⊥∈=，所以M 是非零连续线性泛函f 的零空间.4. 设M 是Hilbert 空间H 上的非空子集，证明()M ⊥⊥是包含M 的最小闭子空间.证明：记span Y M =，则Y 是包含M 的最小闭子空间，故只需证()M Y ⊥⊥=.事实上，x Y ∀∈，有s p a n n x M ∈，使得n x x →. y M ⊥∀∈有()(),lim ,0n n x y x y →∞==,故()x M ⊥⊥∈，即有()Y M ⊥⊥⊂. 又因为Y 是闭子空间，故有()Y Y ⊥⊥=(证明见指南P63例5). 于是由M Y ⊂可得Y M ⊥⊥⊂，进而可得()()M Y Y ⊥⊥⊥⊥⊂=，所以可得()span M Y M ⊥⊥==.5. 设H 是内积空间，M 是H 的线性子空间. 证明如果对于每一个x H ∈，它在M 上的正交投影存在，则M 必是闭子空间.证明：x M ∀∈，存在{}n x M ⊂，使得lim n n x x →∞=. 由条件0101,,x x x x M x M ⊥=+∈∈,于是001n x x x x x M ⊥-→-=∈. 注意到0n x x M -∈，故有()()1101,lim ,0n n x x x x x →∞=-=即1x θ=，从而0x x M =∈，从而M 是闭子空间.6. 证明在可分内积空间中，任一标准正交系最多为一可数集.证明：设H 为可分的内积空间，{}1n n x ∞=为H 的可数稠密子集，又设{}:e λλ∈Λ为H 中任意一簇标准正交系，则,n x λ∀∈Λ∃，使得n x e λ-<. 若Λ不可数，则必有{}1k n n x x ∞=∈以及,','λλλλ∈Λ≠，使得'k k x e x e λλ-<-<''k k e e x e x e λλλλ-≤-+-<，但由勾股定理，有222''2e e e e λλλλ-=+=，即'e e λλ-=H 中的任一标准正交系最多为可数集. 7. 设{}e I αα∈是内积空间H 中的标准正交系. 证明对于每一个x H ∈，x 关于这个标准正交系的Fourier 系数(){},:x e I αα∈中最多有可数个不为零.证明：记{}:F e I αα=∈，由Bessel 不等式， x X ∀∈，若取n 个F 中元素e λ排成一列，不妨设为12,,,n e e e ，则有()221,ni i x e x =≤∑，于是在F 中使(),x e λ≥得e λ只能为有限个，记():,,n F e x e λλλ⎧=∈Λ≥⎨⎩及1ˆnn F F ∞==. 显然ˆF 为可数集，且当ˆe F F λ∈-时，(),0x e λ=，即x 的Fourier 系数(){},:x e I αα∈中最多有可数个不为零.8. 设H 为Hilbert 空间，()0,1,2,n x x H n ∈=.当n →∞时，0Wn x x −−→，且 0n x x →，证明()0n x x n →→∞.证明：由()()()()()2,,,,,n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x -=--=--+，故当n →∞时，()2222,0n x x x x x -→-=，即()0n x x n →→∞.11. 设T 是Hilbert 空间H 上的线性算子且对所有,x y H ∈，()(),,Tx y x Ty =.证明T 是有界算子.证明：只需证明T 是H 上的闭线性算子. 设n x H ∈，且满足00,n n x x Tx y →→，则y H ∀∈，由条件()(),,n n Tx y x Ty =. 令n →∞，则有()()()000,,,y y x Ty Tx y ==，故00y Tx =，即T 是闭线性算子，从而由闭图像定理可知T 有界.13. 设H 是Hilbert 空间，(),x y ϕ是定义在H H ⨯上的泛函且关于x 是线性的，关于y 是共轭线性的并且存在常数C ，使得()(),,x y C x y x y H ϕ≤∈.证明：存在惟一算子()A B H ∈，使得对所有,x y H ∈，()(),,x y Ax y ϕ=且A ϕ=，其中()11sup ,x y x y ϕϕ===.证明：因(),x y ϕ关于y 是共轭线性的，故(),x y ϕ关于y 是线性的，固定x H ∈，则(),x y ϕ为H 上的有界线性泛函，由Riesz 表示定理，存在惟一*x H ∈，使得()(),,*x y y x ϕ=，即()(),*,x y x y ϕ=. 作映射:*A xx ，有()()(),*,,x y x y Ax y ϕ== 由于()()()()()()()()1212121212,,,,,,,A x x y x x y x y x y Ax y Ax y Ax Ax y αβϕαβαϕβϕαβαβ+=+=+=+=+，即()1212A x x Ax Ax αβαβ+=+又因为()()2,,Ax Ax Ax x Ax x y ϕϕ==≤，即A ϕ≤，所以()A B H ∈.再由Schwartz 不等式，有()(),,x y Ax y Ax y A x y ϕ=≤≤，故A ϕ≤，于是 A ϕ=. 若设()T B H ∈，且满足()(),,x y Tx y ϕ=，则()(),,,,A xy T x y xy H =∀∈，即()(),0,,A T x y x y H -=∀∈. 特别地，令()y A T x =-，得()20A T x -=，因此(),A T x x H θ-=∀∈，故0A T -=，所以A T =.14. 设{}n T 是Hilbert 空间H 上的有界自共轭算子列且()0n T T n -→→∞. 证明T 也是自共轭的.证明：由()()***0n n n T T T T T T n -=-=-→→∞，即可得**n T T →，由n T 的自共轭性即可得T 也是自共轭的.2011年博士研究生第二次公开招考报考须知发布时间：2011-02-24 08:37 来源：本站点击量：303一、报名2011博士研究生第二次公开招考网上报名时间：2011年3月4日-13日，网址：/hityzb/zs.jsp?cla=2。
泛函分析知到章节答案智慧树2023年长安大学
泛函分析知到章节测试答案智慧树2023年最新长安大学第一章测试1.距离函数满足的三个基本条件是正定性，对称性和三角不等式。
（）参考答案:对2.距离空间的完备性是指基本列都不是收敛列。
（）参考答案:错3.压缩映射原理是设X是一个完备的度量空间，T是映X到自身的压缩映射，则T在X上存在唯一的不动点。
（）参考答案:对4.距离空间的可分是指不存在可数稠密子集。
（）参考答案:错5.紧集上的连续函数具有什么性质。
（）参考答案:一致连续;达到上、下确界;有界第二章测试1.设某线性空间中有一组线性无关的向量，则从中任意抽取一部分向量够的向量组一定是线性无关的。
（）参考答案:对2.有穷维线性空间上定义的任何两个范数是不等价的。
（）参考答案:错3.当空间X是严格凸的赋范线性空间，则任意指定元素在给定有穷维子空间上的最佳逼近元存在唯一。
（）参考答案:对4.若赋范线性空间任意有界集是列紧的，则该空间是有穷维的。
（）参考答案:对5.Schauder不动点定理：设C是赋范线性空间X中的一个闭凸子集，T是映C到自身的连续映射且T的值域列紧，则T在C上必有一个不动点。
（）参考答案:对第三章测试1.为了在赋范线性空间上引入内积，当且仅当范数满足四边形等式。
（）参考答案:错2.内积空间X上的两个元素x与y称为是正交的是指x与y的内积为1。
（）参考答案:错3.Zorn引理：设X是一个半序集，如果它的每一个全序子集都有一个上界，那么X有一个极大元。
（）参考答案:对4.为了Hilbert空间X是可分的，当且仅当存在至多可数的正交规范基。
（）参考答案:对5.如果C是Hilbert空间X中的闭凸子集，那么在C上存在唯一元素取到最大模。
（）参考答案:错第四章测试1.若线性算子在其定义域的某一点连续则它在定义域上处处连续。
（）参考答案:对2.有界线性算子将有界集映成无界集，不是有界线性算子称为无界线性算子。
（）参考答案:错3.按照算子范数的定义，恒等算子的范数为1，零算子的范数为0。
泛函分析答案2：
泛函分析期末复习题（2005-2006年度）（1）所有矩阵可以构成一个线性空间。
试问这个线性空间中的零元素是什么？（2）什么是线性空间的子空间？子空间是否一定包含零元素？为什么？（3）什么是线性流形？（4）什么是线性空间中的凸集？（5）如果一个度量能够成为一个线性空间上定义的距离，那么这个度量必须满足什么条件？试给出几个在维欧几里德空间上常用的距离定义（6）距离空间上的收敛是如何定义的？（7）线性空间上定义的范数必须满足哪些条件？（8）什么是巴拿赫空间？赋范空间中的基本列一定收敛吗？（9）有限维的线性赋范空间都是巴拿赫空间吗？（10）什么是希尔伯特空间？（11）空间是如何构成的？在怎样的内积定义下其可以成为一个希尔伯特空间？（12）什么是算子？为什么要求算子的定义域是一个子空间？（13）算子的范数是如何定义的？从直观角度谈谈对算子范数定义的理解。
（14）线性算子的零空间一定是值域空间中的子空间吗？（15）什么是有界算子？举一个无界算子的例子。
（16）算子的强收敛是如何定义的？（17）设为一个线性赋范空间，而为一个Banach空间。
那么从到的线性算子所构成的空间是否构成一个Banach空间？（18）什么是压缩映像原理？它在力学中有什么重要应用？（19）什么是泛函？什么是泛函的范数？（20）什么是线性赋泛空间的共轭空间？线性赋泛空间的共轭空间是否总是完备的？（21）什么是弱收敛？弱收敛与强收敛之间是什么关系？（22）什么是的Gateaux微分？（23）什么是泛函的（一阶）变分？它是如何定义的？（24）形如的泛函，其对应的Euler-Lagrange方程是什么？（25）什么是结构的应变能密度？什么是余能密度？二者关系如何？试画图说明。
（26）有限元方法的本质是什么？瑞兹＋具有局部紧支集的分片插值函数（27）什么是最小势能原理？最小势能原理中的基本未知函数是什么？对这些基本未知函数有什么要求？推导并证明使得势能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的位移场。
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试问这个线性空间中的零元素是什么？（2）什么是线性空间的子空间？子空间是否一定包含零元素？为什么？（3）什么是线性流形？（4）什么是线性空间中的凸集？（5）如果一个度量能够成为一个线性空间上定义的距离，那么这个度量必须满足什么条件？试给出几个在维欧几里德空间上常用的距离定义（6）距离空间上的收敛是如何定义的？（7）线性空间上定义的范数必须满足哪些条件？（8）什么是巴拿赫空间？赋范空间中的基本列一定收敛吗？（9）有限维的线性赋范空间都是巴拿赫空间吗？（10）什么是希尔伯特空间？（11）空间是如何构成的？在怎样的内积定义下其可以成为一个希尔伯特空间？（12）什么是算子？为什么要求算子的定义域是一个子空间？（13）算子的范数是如何定义的？从直观角度谈谈对算子范数定义的理解。
（14）线性算子的零空间一定是值域空间中的子空间吗？（15）什么是有界算子？举一个无界算子的例子。
（16）算子的强收敛是如何定义的？（17）设为一个线性赋范空间，而为一个Banach空间。
那么从到的线性算子所构成的空间是否构成一个Banach空间？（18）什么是压缩映像原理？它在力学中有什么重要应用？（19）什么是泛函？什么是泛函的范数？（20）什么是线性赋泛空间的共轭空间？线性赋泛空间的共轭空间是否总是完备的？（21）什么是弱收敛？弱收敛与强收敛之间是什么关系？（22）什么是的Gateaux微分？（23）什么是泛函的（一阶）变分？它是如何定义的？（24）形如的泛函，其对应的Euler-Lagrange方程是什么？（25）什么是结构的应变能密度？什么是余能密度？二者关系如何？试画图说明。
（26）有限元方法的本质是什么？瑞兹＋具有局部紧支集的分片插值函数（27）什么是最小势能原理？最小势能原理中的基本未知函数是什么？对这些基本未知函数有什么要求？推导并证明使得势能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的位移场。
（28）什么是最小余能原理？最小余能原理中的基本未知函数是什么？对这些基本未知函数有什么要求？推导并证明使得余能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的应力场。
（29）什么是Hellinger-Reissner混合变分原理？推导并证明使得余能泛函取最小值的位移函数和应力函数对应结构真实的位移场和应力场。
泛函分析答案：1、 所有元素均为0的n ×n 矩阵2、 设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x ，y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。
子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。
3、 设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L ，则集合x 0+L={x 0+l ，l ∈L}称为E 中一个线性流形。
4、 设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x ，y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。
5、 设x ，y 是线性空间E 中的两个元素，d(x ，y)为其之间的距离，它必须满足以下条件：（1） 非负性：d(x ，y)＞0，且d(x ，y)＝0＜―――＞x=y （2） 对称性：d(x ，y)=d(y ，x)（3） 三角不等式：d(x ，y)≤d(x ，z)+d(y ，z) for every x ，y ，z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义：设x={x 1，x 2，…x n }T ，y={y 1y 2，…y n }Td 2(x ，y)=(21||niii x y=-∑)1/2d 1(x ，y)=1||ni i i x y =-∑d p (x ，y) = (1||np iii x y=-∑ )1/p d ∞(x ，y)=1max ||i i i nx y ≤≤-6、距离空间(x ，d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ，x 0)→0(n →∞)，这时记作0lim nn xx -->∞=，或简单地记作x n →x 07、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0，且||x||＝0 iff x=0 （2）||λx||=λ||x||，λ为常数（3）||x+y||≤||x||+||y||，for every x ，y ∈E8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0，总存在自然数N ，使得当n>N ，m>N 时，均有|x m -x n |<ε，则称序列{x n }是E 中的基本列。
若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。
线性赋范空间中的基本列不一定收敛。
9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。
10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。
11、L 2（a ，b ）为定义在(a ，b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2（a ，b ），2|()|baf t dt⎰＜∞。
当L 2（a ，b ）中内积的定义为（f ，g ）=_____()()baf tg t dt ⎰(其中f(t)，g(t)∈L 2（a ，b ）)时其为Hilbert 空间。
★ 12、算子表示一种作用，一种映射。
设X 和Y 是给定的两个线性赋范空间，集合D ⊂X ，若对D 中的每一个x ，均有Y 中的一个确定的变量y 与其对应，则说这种对应关系确定了一个算子T ，记为y=T(x)，y 为x 的像，x 为y 的原像。
13、算子的范数：设T 为有界线性算子，则对一切x ∈D(T)，使不等式||Tx||Y ≤M||x||X 的正数M 的下确界称为T 的范数，||T||=sup||Tx||/||x||，||x||≠0。
直观的理解就是||x||的最大放大率。
★14、根据线性算子零空间的定义：对线性算子T ：E →E 1，必有T0=0，则称集合{x ∈E|Tx=0}为T 的零空间，它是E 的线性子空间，并不一定是值域E 1的子空间。
15、如果存在一正常数M ，使得对每一个x ∈D(T)，都有||Tx||Y ≤M||x||X ，则称T 为有界算子。
无界算子：设算子T ：C 1[0，1]→C[0，1]定义为：(Tx)(t)=x '(t)，则T 是线性算子，若视C 1[0，1]为C[0，1]的子空间，则T 是无界的。
16、设{T n }=L(X ，Y)，T ∈L(X ，Y)，如果对任何一个x ∈X ，均有||T n x-Tx||→0(n →∞)，则T n 弱收敛于T 。
17、L(X ，Y)是BANACH 空间。
*18、压缩映像原理又叫BANACH 不动点定理，其具体内容如下：设X 为BANACH 空间，F 为X →X 的算子，且D(F)∩R(F)≠Φ，如果x *∈X ，满足F(x *)=x *，称x *为F 的不动点。
设集合Q ⊂D(F)，如果存在常数q ∈(0，1)使得对任何x '，x ''∈Q ，有||F(x ')-F(x '')||≤q||x '-x ''||，称F 为Q 上的压缩算子，q 为压缩系。
压缩映像原理：设算子F 映BANACH 空间X 的闭子集Q 为其自身且F 为压缩算子，压缩系为q ，则算子F 在Q 内存在唯一的不动点x *，若x 0为Q 内的任意点，作序列x n+1=F(x n )，n=0，1，2，…，则{x n }∈Q ，x n →x *，而且有估计||x n -x *||≤q/(1-q)||F(x n )-F(x 0)||。
简单地说即赋范空间的完备子集上压缩映射存在唯一的不动点，且该不动点可由该完备子集上的任一点作为初始值用迭代法得到。
19、设X 是实数域上的线性赋范空间，D 是X 的线性子空间，f:D →R ，如果f 满足：对任何α，β∈R ，x ，y ∈D ，f(αx+βy)=αf(x)+βf(y)，则f 是D 上的一个线性泛函，或者说由X →R 的算子为泛函。
泛函f 的范数定义如下：||f||=|f|=sup|f(x)|(||x||=1)=sup(|f(x)|/||x||)(||x||≠0)=sup|f(x)|(||x||≤1)，并且有|f(x)|≤||f||×||x||。
20、定义在整个线性赋范空间X 上的所有有界线性泛函的全体构成的空间L(X ，R)称为空间X 的共轭空间，又叫对偶空间，其是完备的。
21、弱收敛：X 为线性赋范空间，{x n }⊂X ，x 0∈X ，如果对任何一个f ∈x *均有0lim ()()n n f x f x ->∞=，则称{x n }弱收敛于x 0。
弱收敛不一定强收敛，强收敛一定弱收敛。
22、泛函的GATEAUR 微分：设X 为线性赋范空间，x 0∈X ，f(x)的x 0及其领域内有定义，如果对任意h ∈X ，极限：000()()limt f x th f x t->+-存在，则称f(x)在x 0处对方向h 存在GA TEAUR 导数，记为0(,)f x h δ。
又称为泛函f(x)在x 0处对于方向h 的一阶变分。
23、0(,)f x h δ称为泛函f(x)在x 0处对于方向h 的一阶变分。
令0()(),t f x th φ=+则'00)()(0)(0)lim(,)t t f x h tφφφδ->-==。
24、'''0x x d g g dt-=25、应变能密度：0()()ij kl kl ij ij W d εεσεε=⎰ 应变余能密度：0()ijij ij c ijW d σεσσ=⎰其关系如下图所示： σ26的本质是：有限元=瑞兹法+具有局部紧支集27、,,1[()](),()2i ij i i i ij i j j i V V S u x W dV f u dV P u ds u u σπεε-=--=+⎰⎰⎰，其中[()]u x π为系统的总势能，()ij V W dV ε⎰为应变能，后两项为外力势能，f i 为体积力分量，i P -为给定S σ边界上的外力。
最小势能原理：在所有满足边界条件(i i u u -= on S u )和必要的连续性条件的位移场中，系统的总势能最小，即对所有可能的位移，真实位移使得系统势能()u π最小。
其基本的未知函数是位移场u i ，其应该满足：(1)单值、连续，满足适当的可微性，应该满足小位移应变关系，,,1/2()ij i j j i u u ε=+。