传染病的数学模型

传染病模型详解/,SI SIS SIR 经典模型经典的传播模型大致将人群分为传播态S ，易感染态I 和免疫态R 。

S 态表示该个体带有病毒或谣言的传播能力，一旦接触到易感染个体就会以一定概率导致对方成为传播态。

I 表示该个体没有接触过病毒或谣言，容易被传播态个体感染。

R 表示当经过一个或多个感染周期后，该个体永远不再被感染。

SI 模型考虑了最简单的情况，即一个个体被感染，就永远成为感染态，向周围邻居不断传 播病毒或谣言等。

假设个体接触感染的概率为β，总人数为 N ，在各状态均匀混合网络中建立传播模型如下：dS SI dt N I SIdt N ββ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 从而得到(1)di i i dtβ=- 对此方程进行求解可得： 0000(),01tt i e i t i i i i eββ==-+（） 可见，起初绝大部分的个体为I 态，任何一个S 态个体都会遇到I 态个体并且传染给对方，网络中的S 态个数随时间成指数增长。

与此同时，随着I 态个体的减少，网络中S 态个 数达到饱和，逐渐网络中个体全部成为S 态。

然而在现实世界中，个体不可能一直都处于传播态。

有些节点会因为传播的能力和意愿 的下降，从而自动转变为永不传播的R 态。

而有些节点可能会从S 态转变I 态，因此简单的SI 模型就不能满足节点具有自愈能力的现实需求，因而出现SIS 模型和SIR 模型。

SIR 是研究复杂网络谣言传播的经典的模型。

采用与病毒传播相似的过程中的S ，I ，R 态 代表传播过程中的三种状态。

Zanetee ，Moreno 先后研究了小世界传播过程中的谣言传播。

Moreno 等人将人群分为S （传播谣言）、I （没有听到谣言），R （对谣言不再相信也不传播）。

假设没有听到谣言I 个体与S 个体接触，以概率()k λ变为S 个体，S 个体遇到S 个体 或R 个体以概率()k α变为R ，如图 所示。

建立的平均场方程：()()()()()()()()()()[()()]()()()[()()]di tk i t s tdtds tk i t s t k s t s t r tdtdr tk s t s t r tdtλλαα⎧=-⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+⎪⎩与之前人得到的均匀网络的病毒传播的结论相反，谣言在均匀网络中传播没有阈值。

Moreno 等人将此模型推广到幂率分布的网络，考察了R态的稳定值和耗散时间，得出R态稳定值与感染概率()kα有着紧密联系，而与传播源的度ik无关。

这与一般意义下的病毒传播的结论“传播各状态的密度与传染源节点的度紧密相连”有很大不同。

SIS 模型与SIS 模型的区别就在于节点成为传播态之后的恢复的状态不同。

在SIR 模型中，传播态节点在传播过程中会根据概率成为免疫状态，而在SIS 模型中每一个传播节点会以恒值γ成为I 态，如图。

从而得到SIS 模型的微分方程：dsi sidtdisi idtγββγ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化简得到：)()()()tti ei ti eβγβγβγβγβ---=-+（从而得到其稳态值为11iβγβλ-==-。

若1λ<，那么()i t指数下降区域零，意味着谣言不再扩散。

在这之后，许多学者在这些经典模型的基础上提出了改进的模型。

如周苗苗等人在经SIR谣模型的基础上研究了社会网络上的谣言传播并构建了数学模型，得出了最终集合As 的期望值的相关结论。

孙庆山等人在经典SIS和SI模型的基础上，研究了社会网络的谣言传播，首次将信息的吸引力作为传播因素引入传播模型中。

Vespignani 提出了网络动力学传播模型，详尽分析了单种群中的动力学过程[31]。

这些模型有的已经摆脱了平均场方程的表达传播过程方法，采用元胞自动机以及随机过程的方法表达，但是思想仍是采用SIR 这样的传播状态和规则。

国内外关于建立网络谣言传播模型方面和网络免疫策略方面的研究已取得了一些有益进展。

Zanette D H率先在小世界网络上建立谣言传播模型。

Moreno Y等人在无标度网络上建立了谣言传播模型，通过随机分析方法以及计算机仿真得出结论。

文献利用构建改进的Potts 自旋系统来量化谣言传播因素并建立起基于Potts 谣言传播模型。

元胞自动机作为研究传播的方法之一也取得了较多成果。

宣慧玉和张发利用元胞自动机研究了谣言在个体之间流传的的局部交互的过程。

刘常昱等人利用元胞自动机和Agent 设计个体的局部相互作用规则来研究了基于小世界模型构建的人际关系网络中的舆论传播。

除此以外，人们发现谣言传播与网络的拓扑性质也有着密切的联系，汪小帆团队发现网络的聚类系数对传播的影响并给出了相应抑制谣言的策略。

针对各种谣言传播模型的免疫干扰研究也是相对比较成熟。

免疫策略可分为随机免疫，熟人免疫和目标免疫。

随机免疫方法就是完全随机的选取网络中的节点进行免疫。

但在无标度网络中使用随机免疫策略的话，几乎要对网络中所有的节点进行免疫才可能使谣言不得扩散出去。

相对随机免疫的缺陷，目标免疫通过去除网络中少量度大的节点的连边，切断传播的途径来降低谣言的散步范围就更有实际意义，。

虽然目标免疫的效果比较明显，但是要是想目标免疫能够发挥威力就必须知道网络的全局信息从而选择目标节点，而在庞大且复杂的社会网络中获取全局信息是难以做到的。

熟人免疫策略巧妙的回避了这一点，它从N 个节点中随机选取一部分节点，在从每个一个被选出来的节点中随机选取一个邻居节点进行免疫。

但是熟人免疫也存在着局限性，比如随机选取的节点可能会拥有部分共同好友，就会导致免疫的重复和浪费，因此，免疫策略的进一步研究离不开对网络深层次拓扑特征的探索。

近年来网络中重要节点排序和衡量取得很大的突破，如基于Pagerank 的重要节点算法以及K-核算法的提出为网络拓扑结构的进一步研究打下了坚实的基础。

虽然SIR 传播模型在许多网络中得到了扩展和研究，也是当前研究的热点，然而却不能准确的表达当前在线社交网络的传播现实，如谣言传播过程中的从众性、传播意愿的累积性等，因此根据传播关键因素建立合理的传播模型是当前研究的重点。

第四章基于SIR 改进的SHKR 谣言传播模型问题描述与建模问题描述在SNS 中，当一个好友发布了某消息，好友往往就会以一定的概率将此消息传播出去。

若该好友对其内容不具有传播意愿则成为知道谣言但不会传播的人；若该好友对这则内容相信或感兴趣则会分享，那么此好友就成为传播者；有部分好友，一开始不相信，后来在周围好友多次的传播分享下，意愿受到强化而成为传播者也是很常见的。

考虑到以上的传播规则，本文对传统的谣言传播模型将人群分为传播，免疫和未感染三类进行了改进。

我们把网络中的节点分为传播节点S，健康节点H，知道谣言但不传播的节点K，免疫节点R 四种状态。

传播节点表示该节点接受信息并具有传播能力的节点。

健康节点表示没有接触到谣言的节点，对谣言处于未知状态。

知道信息但不传播的节点表示知道了谣言但对谣言没有传播的人。

免疫节点表示永远不会传播谣言的人。

可见，谣言在传播过程中，不仅与节点自身的状态有关，也与节点的邻居节点的状态相关。

传播的规则如下，如图 所示：（1）当谣言传播节点与健康节点接触时，健康节点以概率1P 变为传播节点 S ，以概率2P 变为接受谣言但不传播的节点 K ，以概率3P 成为免疫者 R ；（2）当谣言传播节点与知道谣言但不传播的节点接触，作传播节点则以概率4P 变为传 播节点。

3）传播节点不会一直传播谣言，会以速度v 转化为免疫者，v 就为遗忘率。

在第二章提到，SIR 传播模型虽然应用的比较广研究也较多但是对于当前在线社交网络的中的传播现实却不能准确的表达，如谣言传播过程中的从众性、传播意愿的累积性等。

此外，谣言传播与病毒传播明显的区别就在于其多次传播对节点的影响，这点在 MIT 斯隆管理学院的博士的实验结果也得到了体现。

斯隆管理学院的博士等在两个不同网络中，每个志愿者分别以邮件的方式邀请好友注册论坛，如果好友完成了注册即会以邮件的方式向他（她）的好友继续发邮件邀请他们注册论坛。

在这次实验中，网络中的一个用户往往会被其周围的好友多次邀请而强化了其注册的意愿。

可见在谣言传播过程中，本来不传播的节点受到社会强化作用变为传播者，所以本文提出了一个新的状态，即知道谣言不传播的状态且在一定的概率作用下会改变为传播节点。

那么在这样的传播机制下，每个节点都会对谣言的传播及相信与否做出自己的选择，这更贴近现实的真实情况，因为并不是每个人听到谣言都会传播。

则基于以上定义：（1）分别定义 H(t)，S(t)，K(t)，R(t)为健康者，传播者，知道谣言但不传播者和免疫者的比重。

显然 H(t)+ S(t)+K(t)+ R(t)=1。

（2）在消息传播过程中，不考虑人数的迁入迁出及出生和死亡，即总人数不随时间的改变而改变。

（3）假设总人数为 N 。

数学建模（1）健康者 H考察t 到t t +∆时间按内各人数的变化情况：这段时间内，健康者的人数增加了*[(()]N H t t H t +∆-，而每个传播者可以让123*()*()*()*N S t P P P H t t ++∆由健康者变为其他状态的节点，则可列出满足条件的方程：123*[()()]*()*()*()*N H t t H t N S t p p p H t t +∆-=-++∆两边同除t ∆，则得到微分方程：123()()()()dH t p p p H t S t dt =-++（2）免疫者 R这段时间内，免疫者增加的人数*[()()]N R t t R t +∆-，每个传播者可以让**()N v S t 成为免疫者，则可得到微分方程：4()()()()(())k k k dR t vS t p S t H t H t dt η=+（3）传播者 S这段时间内，传播者增加的人数为*[()()]N S t S t t -+∆，健康者变为传播者的人数为1*()**()N S t p H t ，传播者变为免疫者的人数为**()N v S t ，知道谣言并不传播者变为传播者的人数为4*(**()N S t p K t ），则可得到微分方程为：14()()()()()()dS t p S t H t p S t K t vS t dt=+- （4）知道但不传播谣言者 K这段时间内，增加的人数为*[()()]N K t t K t +∆-，而健康者变为知道但不传播者的人数为2*)**()N St p H t （， 而 知 道 谣 言 但 不 传 播 者 在 这 段 时 间 内 变 为 传 播 者 的 人 数 是4*()**()N S t p K t ，则得到微分方程为：24()()()()()dK t p S t H t P S t K t dt =-联立可得为微分方程组：12341424()(+)()()(()()()()()()()()()()()()()()dH t p p p S t H t dt dR t vS t p S t H t dt dS t p S t H t p S t K t vS t dt dK t p S t H t p S t K t dt⎧=-+⎪⎪⎪=+⎪⎨⎪=+-⎪⎪⎪=-⎩） 考虑到传播节点和未感染节点之间不可能始终是均匀分布。