第一章 利息理论

例：

把 1000 元存入银行，第 1 年末存款余额为 1020 元，第 2 年末存款余额为 1050 元，求 第一年和第二年的实际利率分别是多少？
解：
1.3 单利 (simple interest)

假设在期初投资 1 单位，在每个时期末得到完全 相同的利息金 i ，即只有本金产生利息，而利息 不会产生新的利息，这种计息方式称为 单利 ， i 称为单利率。 单利的积累函数满足下述性质：
金融数学
孟生旺 中国人民大学统计学院
考试方式 ：

闭卷笔试。 平时成绩占 20 ％（作业，测验），期末成绩占 80 %
教材和参考书：

孟生旺，《 金融数学 》，中国人民大学出版社，2007 刘明亮，《利息理论及其应用》，中国金融出版社， 2007。
第一章 利息的度量
（ Measurements of interest ）
上述 3 个函数是否满足积累函数的性质？
金额函数（ Amount function ）

定义：
当原始投资不是 1 个单位的本金，而是 k 个单位时，则把 k 个单位本金的原始投资在 时刻 t 的积累值记为 A ( t ) , 称为 金额函数 。


性质：
利息（ interest ）的数学定义

从投资之日算起，在第 n 个时期所获得的利息 金额记为 I ( n ) ，则


Fra Baidu bibliotek
上述单利的积累函数对
t ≥ 0 的整数值才有定义。
当t 为非整数时，单利的累积函数（ 了 解 ）：

考虑单利的一个直观性质：
从时间 t 开始到时间 t ＋ s 所产生的利 息等于从时间 0 开始到时间 s 所产生的 利息。即相同的时期产生相同的利息。

假设 a ( t ) 可导，由导数的定义有
例

按复利或单利分别计算，当年利率为 11 ％时， 开始应投资多少元钱才能使第 5 年的本金和利 息总和积累到 1000 元 ?
1.5 贴现函数



思考 ：在期初开始时应投资多少，才能使得 年末的本金和利息总额恰好为 1? 这是一个求现值的过程，即贴现过程，与累积 过程互逆。 时刻 t 的1个货币单位在时刻 0 的价值称为贴 现函数。用 表示。

如果用贴现率计算累积值和现值 ，则有
1.7 名义利率

问题： 考虑下述两笔贷款： 贷款 100 万，年利率为 12 ％，每年末支付一 次利息，每次支付12 万。 贷款 100 万，年利率为 12 ％，每月末支付一 次利息，每次支付 1 万。
这两个利率有何不同？你愿意选择哪笔贷款？ 为什么？

a (0) = 1 ； a ( t ) 通常是时间的递增函数；
当利息是连续产生时， a ( t ) 是时间的连续函 数。当利息是跳跃产生时， a ( t ) 是间断函数。
例：
考察下面常见的积累函数 （ 1 ）常数： a ( t ) = 1 （ 2 ） 线性： a ( t ) = 1 + 0.1 t a(t ) (1 0.1)t （ 3 ） 指数：
利率i与贴现率d的关系（5）
解释 ：1元本金在期末时可以赚取 i 元利息， (1–d ) 元本金在期末时可以赚取 d 元利息。 产生 ( i – d ) 元利息差额的原因就在于原始本金存在 d元差额。 而这 d 元本金差额在本期可以赚取的利息正好是 id 。
利率i与贴现率d的关系（6）
例



在日常生活中： 如何度量速度？距离 / 时间 ----瞬时速度 如何度量利率？利息 / 本金 ----利息力（连续复利）
1.1 利息的基本函数


利息（ interest ）的定义： 借用他人资金所需支付的成本，或出让资金所 获得的报酬。 利息存在的合理性 （1）资金的稀缺性 （2）时间偏好 （3）资本生产力
因此，实际利率是 n 的递减函数。 思考 : 为什么在每个时期所获的利息金额相等， 而实际利率却越来越小呢？
例
若每年单利为 8 ％，求投资 2000 元在 4 年后的 积累值和利息。
累积值为：
所得利息的金额为
单利的应用 : 投资时间 t 的确定

（ 1 ） “ 实际/365 ” 规则 ：即投资天数按两个 日期之间的实际天数计算，每年按 365 天计算。
在单利情形下，前面时期所获得的利息并没有 在后面的时期获取利息。 假设你今年初存入 1000 元，每年的利率为 5 ％，则每年末可获利 50 元，因此在年末有 1050 元可以用来投资。如果按照 1050 元来 计算，你将在明年末获得利息为 52.5 元，比 只按照 1000 元投资要多获得利息 2.5 元。 复利的基本思想：利息收入被再次计入下一期 的本金，即所谓的 “ 利滚利 ” 。
期末的 1 元在期初的现值为：
此现值用贴现率d表示即为：
故有下图：
根据利率的定义，有
利率i与贴现率d的关系（3）
注：把期末支付的利息i 贴现到期初，即得iv ，等 于在期初支付的d。 换言之， 期末的 i 相当于期 初的d 。
利率i与贴现率d的关系（4）
解释 ：期末的 1 元在期初的现值既可以表示为v ，也 可以表示为 1– d 。
复利的积累函数




考虑期初投资 1 ，它在第一年末的积累值为 1 ＋i; 余额 1 ＋ i 可以在第二期初再投资，在第二期末 积累值将达到 在第三期末将达到 一直持续下去 …… ， 对于整数时期 t ， 积累函数为

对于非整数t，利用复利的直观含义 （ 了解 ）
因此
将t换成r，并将等式从0到t积分，有

答案：第一个 12 ％是年实际利率，第二个是 年 名义利率 ,对应的年实际利率为 12.68 ％。

何谓名义利率？

实际利率 ： 在每个度量时期末结转一次利息 （或称为复利一次）的利率，即在每个度量 时期末，将当期的利息结转为下期的本金。
名义利率 ：在一个度量时期内分多次结转利息 的利率。


I (n) A(n) A(n 1), n 1.
利息金额 I ( n ) 在整个时期内产生，但在 最后时刻实现（支付、得到）。

金额函数 A ( t ) 在时间段 [ t 1 , t 2 ] 内所获得 的利息金额为

I (t1 , t2 ) A(t2 ) A(t2 ), n 1.
1.2 实际利率 （ effective rate of interest ）

实际利率 i 等于某一时期开始时投资 1 单位本金，在此期间末应获得的利息：
i a(1) a(0)
实际利率 i 是某个时期获得的利息金额与 期初本金之比：

当期利息 a(1) a(0) A(1) A(0) I (1) i 期初本金 a(0) A(0) A(0)
在上式中，用 s 代替 t ，并在等式两端从 0 到 t 积分，即得
现在只需求出 a′(0) ，即可求得单利条件下 的累积函数，若令 t = 1 ，则由上式有
而由前面可知，
上述推导过程没有限制 t 为正整数，因此 对一切大于零的时间 t 都是成立的。
单利的累积函数
单利与实际利率的关系：

常数的单利并不意味着实际利率 (effective rate) 是常数！
关于利息的几个基本概念

本金 （ principal ） ： 初始投资的资本金额。
（ accumulated value ） ： 过一段时期后 收到的总金额。 利息 （ interest ） —— 累积值与本金之间的差额。
累积值

累积函数 (Accumulation function)

定义： 累积函数是指期初的 1 元本金在时刻 t 时的累 积值 ， 通常被记为 a ( t ) 。 性质：
若取 t =1, 则有
又因为
故
可见，对于非整数 t ， 同样有
复利的累积函数
复利与实际利率的关系

常数的复利率意味着实际利率也为常数
单利与复利之间的关系（下图）


单利的实际利率逐期递减，复利的实际利率 保持恒定。 当0<t<1时，单利比复利产生更大的积累值。 当t>1时，复利比单利产生更大的积累值。 当t=1或0时，单利和复利产生相同的累积值。
（ 2 ）在 “ 实际 /360 ” 规则下，实际天数为267 ， 因此 t = 267/360
（ 3 ）在 “ 30/360 ” 规则下，两个日期之间的天数为： 因此 t = 263/360 ，利息金额为：
单利的缺陷：不满足一致性

令 则
1.4 复利(compound interest)



名义利率度量的是资本在一个小区间内（如一 个月，一个季度等）的实际利率。例如：
假设月实际利率为
1% ，那么与这个月实际利率 相对应的年名义利率被定义为 1% × 12 = 12% 。
如果一个季度的实际利率为
3% ，那么与这个季 实际利率相对应的年名义利率被定义为 3% × 4 = 12% 。
名义利率的表述

季度的实际利率为 3% ：
年名义利率为 12% ，每年结转 4 次利息； 年名义利率为 12% ，每年复利 4 次； 年名义利率为 12% ，每个季度结转一次利息； 年名义利率为 12% ，每个季度复利一次。


相关术语
利息结转期：
interest conversion period ； 每月结转一次： convertible monthly ； 每季支付一次： payable quarterly ； 每半年复利一次： compound semiannually ；
贴现函数 (discount function )

单利的贴现函数

复利的贴现函数
单利和复利的现值比较：金额为 1
单利和复利的现值比较：金额为 1
注：


除非特别申明，今后一概用复利计算现值。
称为1在t时期末的累积值，
称为t时期末支付 1 元的现值。
几个术语：
1.6贴现率
实际贴现率等于一个时期的利息收入与 期末 累积值之比： 实 际 贴 现 率 ＝ 期 末 累 积 值/当 期 利 息 利息 —— 按期初余额计算，在期末支付。 贴现 —— 按期末余额计算，在期初支付。
单贴现与复贴现的关系（ 了解 ）

单贴现和复贴现对单个时期产生的结果相同。 对于较长时期，单贴现比复贴现产生较小的现值， 而对较短时期情况则相反。 单贴现模式并不对应着单利的贴现模式，而复贴 现模式对应复利的贴现模式。
小结：


计算累积值和现值，既可以用利率，也可以用 贴现率。 如果 用利率计算累积值和现值 ，则有
（ 2 ）银行家规则 ( banker ’ s rule ) ： “ 实际/360 ” ，投资天数按两个日期之间的实际 天数计算，而每年按 360 天计算。

（ 3 ） “ 30/360 ” 规则 ：在计算投资天数时，每 月按 30 天计算，每年按 360 天计算。在此规则下， 两个给定日期之间的天数可按下述公式计算：




例：A向银行借100元，为期1年，银行预收6 的利息，而仅给A支付94元，一年后A还给银 行100元。贴现率为 6 ％。利率是多少？

第n个时期的实际贴现率等于

当单利率为i，单贴现率
是n的递减函数。

当复利率为i，复贴现率
是常数。
利率i与贴现率d的关系（1）
利率i与贴现率d的关系（2）

例：

若在 1999 年 6 月 17 日存入 1000 元，到 2000 年 3 月 10 日取款，年单利利率为 8 ％，试分别 按下列规则计算利息金额：
1 ） “ 实际 /365 ” 规则。 2 ） “ 实际 /360 ” 规则。
（ （ （
3 ） “ 30/360 ” 规则。
（ 1 ）从 1999 年 6 月 17 日到 2000 年 3 月 10 日的精确天数为267 ，因此在 “ 实际 /365 ” 规则下， t = 267/365 ，利息金额为：
附注：

实际利率经常简称为利率，用百分比来表示，如 8% 利息是在期末支付的； 本金在整个时期视为常数；
通常的计息期为标准时间单位，如年、月、 日。若无特别说明，实际利率是指年利率。 实际利率可对任何时期来计算。第 n 个时期的实际利率为

A(n) A(n 1) I ( n) in A(n 1) A(n 1)
若现有面额为 100 元的零息债券在到期前一 年的时刻价格为 95 元，同时，一年期储蓄的 利率为 5.25 ％，如何进行投资选择 ? 存款还 是购买债券？
解：

从贴现的角度看，

从利息的角度看，
贴现方式

单贴现（ 了解 ）：每个时期的贴现金额都是 常数。在 t 时期末产生积累值 1 的本金为
复贴现：