地下水动力学地下水流基本微分方程及定解条件(1)
地下水动力学概念总结
地下水动力学：研究地下水岩石空隙中运动规律的科--（它是模拟地下水流基本状态和地下水中溶质运移过程，对地下水从数量上和质量进行定量评价和合理开发利用，以及兴利除害的理论基础。
主要研究重力水的运动规律)渗透：重力地下水在岩石空隙中的运动渗流：整个含水层全部被地下水占据，不考虑骨架。
考虑地下水的整体运动方向，不必研究个别孔隙之间的运动途径。
满足渗流的条件：1)假想水流的性质与真实水流相同;2)、假想水流运动时所受阻力与真实水流相同;3)通过任一断面的流量和任一点的压力或水头和实际水流相同。
渗流量：流量，单位时间内通过过水断面(包括含水层空隙和骨架所占面积)的水体积，同Q表示，单位m3/d。
渗流速度：又称渗透速度、比流量，是渗流在过水断面（包括含水层空隙和骨架所占面积）上的平均流速。
它不代表任何真实水流的速度，只是一种假想速度。
记为v，单位m/d。
贮水系数：称释水系数或储水系数，指面积为一个单位、厚度为含水层全厚度M的含水层柱体中，当水头改变一个单位时弹性释放或贮存的水量。
μ* = μs M。
既适用于承压含水层，也适用于潜水含水层。
贮水率：指当水头下降（或上升）一个单位时，由于含水层内骨架的压缩（或膨胀）和水的膨胀（或压缩）而从单位体积含水层柱体中弹性释放（或贮存）的水量，量纲1/L。
μs = ρg (α+nβ)。
导水系数：是描述含水层出水能力的参数；水力坡度等于1时，通过整个含水层厚度上的单宽流量；亦即含水层的渗透系数与含水层厚度之积，T=KM。
它是定义在一维或二维流中的水文地质参数。
单位：m2/d。
非均质介质：如果在渗流场中，所有点不都具有相同的渗透系数，则称该岩层是非均质的。
各向异性介质：渗流场中某一点的渗透系数取决于方向，渗透系数随渗流方向不同而不同。
达西定律：是描述（条件：以粘滞力为主、雷诺数Re< 1~10的层流状态下的地下水渗流）基本定律，指出渗流速度V与水力梯度J成线性关系，V=KJ，或Q=KAJ，为水力梯度等于1时的渗流速度。
《地下水动力学》复习要点
内容主要有：（1）渗流理论基础；（2）地下水向河渠的稳定运动；（3）地下水向完整井的稳定运动；（4）地下水向完整井的非稳定运动；（5）地下水向边界附近井的稳定和非稳定运动。
重点考核地下水运动的基本概念、基本原理和方法。
题目类型有名词解释、判断题、作图题和计算题等，其中计算题占试题总分数的65%。
《地下水动力学》复习要点第一章 渗流理论基础一、基本内容1、基本概念：多孔介质、贮水率、贮水系数（弹性给水度）、渗流、渗流速度及与实际速度关系、水头（位置水头、测压管水头）、水力坡度、渗透系数、渗透率、导水系数、各向异性介质、各向同性介质、均质与非均质、水流折射原理、流网、dupuit 假设、第一类边界条件、第二类边界条件等2、基本定律：达西定律及适用范围3、描述地下水运动的方程：渗流连续性方程、承压水运动的基本微分方程、潜水运动的基本微分方程、越流含水层地下水非稳定流运动方程4、定解条件（初始条件、边界条件），数值方法基本思想二、要求1、理解并掌握上述概念和理论2、用达西定律分析水头线的变化或根据流网分析水文地质条件变化；3、给定水文地质条件，能正确画出反映地下水运动特点的流网图；4、给定水文地质模型和水文地质条件，写出反映地下水运动的基本方程（给定假设条件，建立数学模型，包括初始条件、边界条件）第二章 河间地块地下水的稳定运动一、基本内容有入渗时河间地块潜水的稳定运动问题（水文地质模型、假设条件、数学模型、流网、任意过水断面流量、分水岭移动规律、水头线）、无入渗时潜水的稳定运动、承压水的稳定运动，水在承压—无压含水层中的运动，非均质含水层中水的运动问题。
二、学习要求根据给定问题的水文地质条件，用相关公式计算过水断面流量或水位。
三、常用公式 1、承压含水层（达西定律） l H H m m kq 21212++= x lH H H H 211--= 2、无入渗潜水含水层（达西定律）l h h h h k q 21212-+= x lh h h h 2122212-+= 3、有入渗时潜水 wx wl l h h k q +--=2122221 )(22122212x lx kw x l h h h h -+-+= 4、分水岭位置 l h h w k l a 222221--= 5、其它流动问题（水平层状含水层、非均质含水层、承压—无压含水层、厚度或水流厚度沿流向变化等）第三章 地下水向完整井的稳定运动一、 基本概念：完整井、不完整井、水井及周围水位（水头）、稳定井流条件（定水头边界、越流、入渗补给）、井损与水跃、影响半径与引用影响半径、叠加原理、均匀流及平面或剖面流网二、学习要求1、掌握地下水向承压水井和潜水井运动问题的假设条件、数学模型、平面或剖面流网特征2、利用有关公式计算抽水量、降深或利用抽水试验资料（已知降深或水位），求含水层参数（导水系数或渗透系数）3、应用叠加原理地下水向完整井群的稳定运动问题。
《地下水动力学》课程总结
求水文地质参数
K、T、μ、μ*、B…
计算运动要素
Q、q、H、s、t….
模型识别
判断水文地质条件 如边界性质
1、介质（为描述介质特性提出的一些概念）
连续介质模型-典型单元体 渗透性：
渗透系数（K）、等效渗透系数 均质、非均质 各向同性、各向异性
2、渗流场
渗流特征 运动要素：实际流速、渗透流速、质点流速、单个孔隙
5、水文地质参数及获取方法
渗透系数K 入渗强度W 导水系数T=KM 弹性释水系数μ* 给水度μ 阻越流系数B 压力传导系数a =T/ μ*
配线法 直线图解法 水位恢复资料法
1、达西定律
dH Q = -KA
ds
dH v = -K
ds
适用条件：1<Re<10的层流
2、 Dupuit假定，Dupuit微分方程
Kz
∂ ∂z
s(r, H 0 ,t )
=
-μ
∂ ∂t
s(r, H 0 ,t )
方程解析解
s(r, z, t) Q
4 T
1
0
4
yJ 0
(
y
2
)[ 0
(
y)
n ( y)]dy
n 1
• 纽曼解的特点
5、地下水向不完整井的运动
• 不完整井流特点（三点）
• 地下水向不完整井的稳定运动
井底进水的承压水不完整井（空间汇点法）
井壁进水的承压水不完整井（空间汇线法）
∫ Q
s = 4πK(z2 - z1)
[z2
1
+
z1 (z - η）2 +r 2
1
]dη
(z + η）2 +r 2
第二章 地下水运动的基本微分方程及求解条件
第二章地下水运动的基本微分方程及求解条件一、填空题1. 渗流连续方程是质量守恒定律在地下水运动中的具体表现。
2. 地下水运动基本微分方程实际上是地下水水量均衡方程，方程的左端表示单位时间内从水平方向和垂直方向进入单元含水层内的净水量，右端表示单元含水层在单位时间内质量变化量。
3. 越流因素Ｂ越大，则说明弱透水层的厚度越大，其渗透系数越小，越流量就越小。
4. 单位面积(或单位柱体)含水层是指底面积为一个单位，高等于含水层厚度柱体含水层。
5. 在渗流场中边界类型主要分为水头边界、流量边界以及混合边界。
二、判断题1. 地下水连续方程和基本微分方程实际上都是反映质量守恒定律。
(√)2. 潜水和承压水含水层的平面二维流基本微分方程都是反映单位面积含水层的水量均方程。
(√ )3. 在潜水含水层中当忽略其弹性释放水量时，则所有描述潜水的非稳定流方程都与其稳定流方程相同。
(×)4. 越流因素B和越流系数σ都是描述越流能力的参数。
(√)5. 在实际计算中，如果边界上的流量和水头均已知，则该边界既可作为第一类边界，也可作为第二类边界处理。
(√)6. 凡是边界上存在着河渠或湖泊等地表水体时，都可以将该边界作为第一类边界处理。
(×)7. 同一时刻在潜水井流的观测孔中，测得的平均水位降深值总是大于该处潜水面的降深值。
(√)三、分析建模题1. 一口井位于无限分布的均质、各向同性潜水含水层中，初始时刻潜水水位在水平不透水底板以上高度为H 0（x ，y ），试写出下列两种情况下地下水流向井的非稳定流数学模型（已知水流为二维非稳定流）。
（1）井的抽水量Q w 保持不变；解：数学模型如下t H K K Q y H H y x H H x W ∂∂=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂μ；（x,y ）∈D,t ≥0 ① H （x,y ，0）=H 0（x ，y ）；（x,y ）∈D ，t=0② H （x,y ，t ）|Γ1=H 0（x ，y ）；（x,y ）∈Γ1,t>0③ Wr Q n HT W π2-=∂∂Γ；（x,y ）∈Γw,t>0（Γw 为井壁） （2）井中水位H w 保持不变。
第二章地下水运动的基本微分方程及定解条件
第二章一、填空题 1．渗流连续方程是 现。
地下水运动的基本微分方程及定解条件在地下水运动中的具体表 。
2．试写出在忽略含水层骨架压缩情况下的地下水连续方程 3．地下水运动基本微分方程实际上是 时间内从 层在单位时间 方向和 。
、方程，方程的左端表示单位方向进入单元含水层的净水量， 右端表示单元含水4．地下水平面二维、三维流基本微分方向的数学意义分别表示渗流区内 的渗流规律， 它们的物理意义分别表示任一 5．裘布依假设的要点是 直的，流线 体含水层。
7．贮水率的物理意义是：当水头 中由于水 是 ，后者是 ，以及介质骨架的 ，二是释放出 水量。
、 以及 。
时，从 ，而释放（贮存）的 含水层 水 不同，前者 以及没有 。
，高等于 柱 的水量均衡方程。
是铅 ，实际上意味着6．单位面积（或单位柱体）含水层是指量。
贮水系数与贮水率比较，主要差别有两点：一是含水层 水量，后者则完全是 二、判断题 1．对含水层来说其压缩性主要表现在空隙和水的压缩上。
（ 2．贮水率 μt=ρg (α+nβ)也适用于潜水含水层。
（ 3．贮水率只用于三维流微分方程。
（ ） ）不同，前者有疏干重力水和弹性8．在渗流场中边界类型主要分为）4．贮水系数既适用承压含水层，也适用于潜水含水层。
（ （ ） 6．潜水含水层的给水度就是贮水系数。
（ ））5．在一定条件下，含水层的给水度可以是时间的函数，也可以是一个常数。
7．在其它条件相同而只是岩性不同的两个潜水含水层中。
在补给期时，给水 度 µ 大，水位上升大，µ 小，水位上升小，在蒸发期时，µ 大，水位下降大，µ 小，水位下降小。
（ ）8．地下水连续方程和基本微分方向实际上都是反映质量守恒定律。
（9． 地下水三维流基本微分方程 div (K·gradH) = 于潜水。
（ ））m s = ¶H / ¶t 既适用于承压水也适用10．潜水和承压水含水层的平面二维流基本微分方向都是反映单位面积含水 层的水量均衡方程。
第5章地下水运动的基本微分方程及定解条件
潜水面渗流速度为 ，当潜水面坡度很小、渗径∂s由∂x代替时，得到
（5—41）
实质是在潜水含水层渗流中，垂直分量流速vz远远小于水平分量流速vx和vy，而vz可以忽略，即假定等水头面是铅垂面，渗流被视为是水平流。这就是裘布依假定。单位宽度含水层断面上的流量为
（5—42）
该方程称为裘布依方程。
可见由质量守恒建立的渗流连续性方程（地下水运动的连续性方程）更具有普遍意义，它包括了潜水含水层、承压含水层及越流系统中水流运动的守恒原理。连续性方程表示出地下水任意点A到B的连续性。
5.1渗流连续性方程
依据质量守恒定律：在饱水含水层内选定小立方体：△x∙△y∙△z=V0；依据质量守恒定律→单位时间内，流入与流出小立方体的质量变化=单位时间内，小立方体水质量的变化。
注意：（1）水头减小引起的含水层中介质及水的3个变化，和相反过程。它确定了弹性释水、弹性储存的概念，忽略第三种变形。（2）为何弹性储存与重力储存的不同？何为弹性变形、塑性变形？弱透水层中和潜水含水层中有没有弹性储存？
5.2.2含水层水体压缩与膨胀方程
由上述分析，确定多孔介质固体颗粒为不可变形的刚性体，当含水层抽水或放水时所产生的水量，由两部分组成，一是水体积膨胀所释放出的水量；二是固体骨架压密所释放出来的水量。
孔隙含水层，尤其是细粒孔隙含水层，抽水（或放水）含水层水头（或水位）下降时，释放出来的水量与含水层水头（或水位）增大相同值时，含水层中压缩储存的水量是不相等的。所以有弹性储存与重力储存的区别；能够恢复的部分为弹性变形，不能恢复的部分为塑性变形；弱透水层中也有弹性储存；潜水含水层中也存在有弹性储存，只是它与重力储存相比小的多，一般情况下可忽略。
（*）
图5-1多孔介质单元水均衡要素图
第二章地下水运动的基本微分方程及定解条件
第二章一、填空题 1．渗流连续方程是 现。
地下水运动的基本微分方程及定解条件在地下水运动中的具体表 。
2．试写出在忽略含水层骨架压缩情况下的地下水连续方程 3．地下水运动基本微分方程实际上是 时间内从 层在单位时间 方向和 。
、方程，方程的左端表示单位方向进入单元含水层的净水量， 右端表示单元含水4．地下水平面二维、三维流基本微分方向的数学意义分别表示渗流区内 的渗流规律， 它们的物理意义分别表示任一 5．裘布依假设的要点是 直的，流线 体含水层。
7．贮水率的物理意义是：当水头 中由于水 是 ，后者是 ，以及介质骨架的 ，二是释放出 水量。
、 以及 。
时，从 ，而释放（贮存）的 含水层 水 不同，前者 以及没有 。
，高等于 柱 的水量均衡方程。
是铅 ，实际上意味着6．单位面积（或单位柱体）含水层是指量。
贮水系数与贮水率比较，主要差别有两点：一是含水层 水量，后者则完全是 二、判断题 1．对含水层来说其压缩性主要表现在空隙和水的压缩上。
（ 2．贮水率 μt=ρg (α+nβ)也适用于潜水含水层。
（ 3．贮水率只用于三维流微分方程。
（ ） ）不同，前者有疏干重力水和弹性8．在渗流场中边界类型主要分为）4．贮水系数既适用承压含水层，也适用于潜水含水层。
（ （ ） 6．潜水含水层的给水度就是贮水系数。
（ ））5．在一定条件下，含水层的给水度可以是时间的函数，也可以是一个常数。
7．在其它条件相同而只是岩性不同的两个潜水含水层中。
在补给期时，给水 度 µ 大，水位上升大，µ 小，水位上升小，在蒸发期时，µ 大，水位下降大，µ 小，水位下降小。
（ ）8．地下水连续方程和基本微分方向实际上都是反映质量守恒定律。
（9． 地下水三维流基本微分方程 div (K·gradH) = 于潜水。
（ ））m s = ¶H / ¶t 既适用于承压水也适用10．潜水和承压水含水层的平面二维流基本微分方向都是反映单位面积含水 层的水量均衡方程。
2地下水渗流基本方程及数学模型
安徽理工大学 地球与环境学院 水资源与规划系
Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型
地下水动力学
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Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型
*范围值：n×10-3~ n×10-5； 范围值：0.05~ 0.30。实际测出的值往往小于理论值。
上述两参数之间的不同，还在于潜水含水层存在滞后疏干现象。 弹性释水与重力给水: 对于含水层而言，由于受埋藏条件的限制，抽水时，水的给 出存在着不同。 潜水含水层在抽水过程中，大部分水在重力作用下排出，疏干作用于水位变动带（
为反映含水层地下水运动的普遍规律，我们选定在各向异性多孔介 质中建立地下三维不稳定流动连续性方程。
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Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型
由于渗流场中各点的渗流速度大小、方向都不同，为了反映液体运动的 质量守恒关系，需要在三维空间中建立微分方程形式表达的连续性方程。
则有：
即：
将
代入整理得：
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Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型
所以有
上式为三维流微分方程，也可写成：
物理意义：渗流空间内任一单位体积含水层在单位时间内流入与流出该体 积含水层中的弹性水量的变化量，即单位体积含水层的水量均衡方程。
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= =
由含水层状态方程，
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Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型
因为 则可得到： 所以有 ，Z为定值，则
于是连续性方程变为：
水动力学基本微分方程
ds
由于 很小， tg sin
相当于忽略了渗透速度的垂直分量 Vz ，
H(x, y, z,t) H(x, y,t) 代替，在铅垂面上各点的水头都是相
等的；或者说，水头不随深度而变化，同一铅直面上各点 的水力坡度和渗透速度都相等，渗透速度可表示为：
dH vx K dx , H H (x)
分给水能力用给水度 （Specific yield）表示；
给水度的物理意义：当含水层中水头下降一个单 位时，在单位体积含水层中，由重力疏干所排出的 水量。
4.贮水率与给水度的区别
① 弹性释水由减压引起， s 为压力变化所给出的水量， 为重力疏干排出的水量；
② 贮水率与整个含水层厚度上的岩性、液体性质有关， 给水度仅与水位波动带的岩性、液体性质有关；
（二）越流含水层中渗流基本微分方程 1.假定
a.忽略弱透水层的弹性释水； b.水流在弱透水层中是垂向运动，而在主含水层中
折射为水平运动；
2.方程的建立
在主含水层中取一微分柱体（其长宽分别为dx、 dy，高为含水层厚度m）作为均衡单元。下面分析在 dt时段内，微分柱体的水均衡问题。
P(x，y）
设P(x, y)位于柱体中心，
上述分析表明：H降低，承压含水层释 放部分地下水；H增大，承压含水层贮存部 分地下水，这部分水量称为弹性贮存量。
弹性贮水量的大小与含水层的岩性和 结构有关，为了表征含水层弹性释水（储 水）的能力，下面将给出弹性贮水率和贮 水系数的概念。
2.含水层的贮水率和贮水系数
１.贮水率（Specific storativity）用 s 表示
越流系数反映越流量的大小， 越大，相同水
头下的越流量也越大。
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§1-1 渗流的基本概念
一、渗流及连续介质假说
1 多孔介质(porous medium)与连续介质(continuous medium) 多孔介质很难给出其精确定义，在地下水动力学中，把具有孔隙的岩石称为多孔介质。它包括孔隙介质和裂隙介
质。 一般来说，具有以下特点的物质就称为多孔介质。
际平均流速,则有:
v nu
(1-3)
2 水头(Hydraulic head)与水力坡度(Hydraulic gradient)
水头(H):--水头的概念来自贝努利方程的总水头,分别由位置水头、压强水头和流速水头组成,即
H
z
p
v2 2g
(1-4)
由于地下水运动缓慢,流速水头可忽略不计,故在研究地下水运动时,将测压水头和总水头不加区别,统称为水头. 水头值的大小与所取的基准面有关,决定地下水流向的控制因素是水头,而不是压强或位置高度, 水力坡度(J):--在地下水动力学中,把大小等于水头梯度,方向沿着等水头面法线方向并指向水头降低方向的矢量 称为水力坡度.
地质水文地质实体水文地质概念模型水文地质数学模型随机模型关系式中含有一个或多个随机变量描述地下水流问题的数学模型确定性模型各变量之间有严格的确定关系一个或一组能描述地下水运动规律的基本微分方程确定性数学模型必备条件能反映地质水文地质条件的定解条件二渗流的连续性方程该方程反应一般情况下液体运动中的质量守恒关系它与在水力学中讲到的液体运动连续性微风方程是一样的都是质量守恒关系的体现
u u
V
3
u
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
1.0地下水流动定解问题
略去二阶导数以上的高次项， 略去二阶导数以上的高次项， 时间内由abcd面流入单 得∆t时间内由 时间内由 面流入单 元体的质量为： 元体的质量为：
1 ∂ (ρvx ) ρvx − 2 ∂x ∆x ∆z∆y∆t
同理，通过 ´ ´ ´ ´面流出单元体的质量为： 同理，通过a´b´c´d´面流出单元体的质量为：
∂Q y ∂Qx ∂H − ∂x ∆x − ∂y ∆y + W∆x∆y ∆t = µ ∂t ∆x∆y∆t
将： Q = − Kh ∂H ∆y ; Q = − Kh ∂H ∆x x y
∂x ∂y
代入上式， 代入上式，得 ∂ Kh ∂H ∆x∆y∆t + ∂ Kh ∂H ∆x∆y∆t
∂Q y ∂y ∆y
∆t时间流入流出单
元体的水量差为： 元体的水量差为：
∂Q y ∂Qx ∆x − ∆y + W∆x∆y ∆t − ∂y ∂x
土体内的水量变化引起潜水面的升降。 土体内的水量变化引起潜水面的升降。假设潜水 ∂ 面的变化速率为： 时间内，土体内水的增量为： 面的变化速率为： H ，则∆t时间内，土体内水的增量为： ∂t ∂H µ ∆x∆y∆t ∂t 据质量守恒原理，两个增量应相等。 据质量守恒原理，两个增量应相等。即
∂ ∂H ∂ ∂H ∂H +W = µ K xx h + K yy h ∂x ∂x ∂y ∂y ∂t
均质各向同性： 均质各向同性：
∂ ∂H h ∂x ∂x ∂ ∂H W µ ∂H + h ∂y + K = K ∂t ∂y
∂Qx 轴流量的变化率为 。则 ∂x
地下水动力学地下水流基本微分方程及定解条件(1)
d
dp
dp dH
e (1 e)
p
说明本节假设：假定多孔介质变形符合弹性规律，对研究含水 层释水时可用；但对研究地面沉降问题时，应用有所差异。
2.2 水和多孔介质的压缩性
•地下水弹性储存概念
取一典型处于平衡状态的饱和地层柱体来研究，这里只考虑垂直一维压密， 忽略侧面上粒间力(包括内聚力和摩擦力)的作用。
含水层上覆岩土体、地表建筑物和大气压力等荷载形成的总压应力由粒
间应力的垂向分量s和孔隙水应力p两者来平衡.
测压水头
s (1 ) p
hp
p
为单位水平面积中颗粒间接触面积的水
平投影.
由于 <<1，令（K.Terzaghi)
p s
图2-2-1 饱和含水介质中受力情况
s (1 ) p p
故
（1-12）
1 dVb
（1-13）
d Vb
上两式表示垂直厚度变化、孔隙度变化与水的压强变化的关
系。
➢ 水头降低时含水层释出水的特征，取面积为1m2、厚度为l m (即体积为l m3)的含水层，考察当水头下降1m时释放的水量。 此时，有效应力增加了H＝g×1=g。
➢ 介质压缩体积减少所释放出的水量（dVb）为
...
由于很小，且p变化不大，故
e ( p0 p) 1 ( p0 p)
V V0
1 ( p0
p)
V V0[1 ( p0 p)]
V0 V0 ( p0 p)
V V0 V0 ( p0 p)
V V0 V0
( p0
p)
V V0
( p0
p)
水的压缩方程
dp 1 dV
V
由于V~V0变化不大，故
地下水动力学知识点总结(1)
基本问题（2）同一断面(即r固定)，s随t的增大而增大，当t=0时，s=0，符合实际情况。
当t→∞时，实际上s不能趋向无穷大。
因此，降落漏斗随时间的延长，逐渐扩展。
这种永不稳定的规律是符和实际的，恰好反映了抽水时在没有外界补给而完全消耗贮存量时的典型动态。
（3）同一时刻、径向距离r相同的地点，降深相同。
184Theis公式反映的水头下降速度的变化规律（1）抽水初期，近处水头下降速度大，远处下降速度小。
当r一定时，s-t曲线存在着拐点。
拐点出现的时间（此时u=1）为：。
（2）每个断面的水头下降速度初期由小逐渐增大，当=1时达到最大；而后下降速度由大变小，最后趋近于等速下降。
（3）抽水时间t足够大时，在抽水井一定范围内，下降基本上是相同的，与r无关。
换言之，经过一定时间抽水后，下降速度变慢，在一定范围内产生大致等幅的下降。
194Theis公式反映出的流量和渗流速度变化规律（1）通过不同过水断面的流量是不等的，r值越小，即离抽水井越近的过水断面，流量越大。
反映了地下水在流向抽水井的过程中，不断得到贮存量的补给。
（2）由于沿途含水层的释放作用，使得渗流速度小于稳定状态的渗流速度。
但随着时间的增加，又接近稳定渗流速度。
204Theis公式反应的影响半径在无越流补给且侧向无限延伸的承压含水层中抽水时，虽然理论上不可能出现稳定状态，但随着抽水时间的增加，降落漏斗范围不断向外扩展，自含水层四周向水井汇流的面积不断增大，水井附近地下水测压水头的变化渐渐趋于缓慢，在一定的范围内，接近稳定状态（似稳定流），和稳定流的降落曲线形状相同。
但是，这不能说明地下水头降落以达稳定。
214Theis配线法的原理由Theis公式两端取对数，得到二式右端的第二项在同一次抽水试验中都是常数。
因此，在双对数坐标系内，对于定流量抽水和标准曲线在形状上是相同的，只是纵横坐标平移了距离而已。
只要将二曲线重合，任选一匹配点，记下对应的坐标值，代入(4-10)式（4-11）式即可确定有关参数。
地下水动力学
◆考试大纲模版：中国地质大学研究生院硕士研究生入学考试《地下水动力学》考试大纲一、试卷结构（一）内容比例地下水动力学100%（二）题型比例填空题和判断对错题约40% 分析作图题约20％计算题约40%、其他地下水动力学一、地下水运动的基本概念与基本定律考试内容1、地下水运动的基本概念：渗流与典型体元；渗流的运动要素；孔（空）隙平均流速（地下水实际流速）与渗透流速（达西流速）；压强水头和水力坡度。
2 、渗流基本定律：线性渗流定律及渗透系数；线性渗流定律；各向异性岩层中地下水的运动规律；地下水通过非均质岩层突变界面的折射现象。
3 、流网：各向同性岩层地下水的流网特征；各向异性岩层地下水的流网特征。
重难提示典型体元的概念和地下水运动基本定律；流网的应用。
考试要求掌握渗流基本概念、流网的特征及其在实际中的应用，详细叙述研究地下水运动规律所遵循的基本定律－达西定律。
掌握典型体元、非均质各向异性、非均质各向同性、均质各向异性、均质各向同性的概念，正确区分地下水质点实际流速、空隙平均流速和渗透流速。
二、地下水运动的基本微分方程及定解条件考试内容渗流连续性方程；水和多孔介质的压缩性；渗流基本微分方程基本形式和各种条件下（非均质各向异性、非均质各向同性、均质各向异性、均质各向同性、非稳定流、稳定流）的基本微分方程；潜水流动的布西涅斯克微分方程：裘布依假定，布西涅斯克微分方程；定解条件及数学模型。
重难提示重点掌握地下水弹性储存的含义，理解弹性给水度的定义；了解地下水三维流动基本微分方程的基本形式以及几种简单条件下的流动微分方程。
掌握裘布依假定的内涵。
考试要求重点理解地下水弹性储存的含义，掌握弹性释水系数和重力给水度的概念；掌握渗流的连续性方程，潜水、承压水和越流含水层中地下水非稳定运动的基本微分方程的推导过程；熟悉定解条件，并能够正确建立数学模型。
要求在此理解地下水非稳定运动基本微分方程形式的基础上，掌握如何在水文地质实体概化为水文地质模型后，建立与水文地质模型相对应的数学模型方法。
地下水动力学
达形式。
§6 地下水动力学的应用
（1）城市、工矿企业和农业供水：确定水文 地质参数，论证开采方案和预计开采量，预 报开采动态，正确评价地下水资源评价，科 学管理和保护地下水资源。
（2）矿山开采、建筑基坑和沼泽化、盐渍化 区的疏干：设计疏干量、疏干水平，预测疏 干范围、疏干过程，合理选择疏干设备。
2使学生系统掌握地下水运动的基本理论并能初步运用这些基本理论分析水文地质问题建立相应的数学模型和提出适当的计算方法或模拟方法对地下水进行定量评价
地下水动力学
§1 概 念
地下水动力学（groundwater dynamics） 研究地下水在孔隙岩石、裂隙岩石和岩溶岩石
中运动规律的科学。其研究对象主要是重力水。 它是模拟地下水流基本状态和地下水中溶质运
Henry Darcy (1803-1858)
Karl Terzaghi (1883-1963)
Oscar Edward Meinzer (1876-1948)
Charles Edward Jacob (1914-1970)
Charles Vernon Theis (1900-1987)
M. King Hubbert (1903-1989)
(3) 1901年，P. Forchheimer等研究了更复杂的渗流问 题，从而奠定了地下水稳定理论的基础。
(4) 1906年，提出了Thiem公式。 (5) 1928年，O.E. Meinzer （1976~1948）注意到地下
水运动的不稳定性和承压含水层的贮水性质。
2 非稳定流建立和发展阶段 （1935~1969）
3 实验-电网络模拟技术阶段 （1950~1980）
地下水运动定解条件
H 的线性组 n
H H n
其中： ， 为已知函数，这种类型的边界 条件称为第三类边界条件或混合边界条件。 第三类边界条件实例（J.Bear）
2015-6-4 10
注意：
1°求解非稳定渗流问题时，数学模型应 包括：支配方程、初始条件和边界条件；
2°而对稳定流问题，数学模型仅有：支 配方程和边界条件。
x2 y 2
H 0 亦为第一类边界；
潜水面任一点的水位已知时，抽水井井壁水位为一类 边界。
2015-6-4 6
（2）第二类边界条件
当已知渗流区某部分边界上的流量分布时，称这 部分边界为第二类边界或给定流量边界。相应的边界 条件表示为：
H H K K n n
ss22
q q11 ( (x x,, y y,, z z,,tt), ), （ （x x,, y y,, z z) ) S S22
5
常见的第一类边界有：
河流或湖泊切割含水层，二者有密切的水力联系，此 时，河湖的水位是已知的，水头 1 或 2是由河湖水位的 统计资料得到的关于t的函数；
泉水溢出带：其标高即为水位资料，但必须保证溢出 带不消失；
区域的抽水井，注水井或疏干巷道也可作为给定水头 边界处理； 无限边界 H ( x, y, t )
H ( x, y, z, t ) t 0 H0 ( x, y, z), （x, y, z) 空间区域
/ 或H ( x, y, t ) t 0 H0 ( x, y), （x, y) D平面区域
Ho ，Ho′为空间和平面区域上已知的水位分布。如 研究平面问题，某一时刻所测的等水位线即可作为初值。
2015-6-4 3
注意： a.初始条件对计算结果的影响，随计算 时间的延长而减弱； b.初始条件并非地下水的原始状态，即 未开发以前的状态； c.初始条件可根据需要任意选取。
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地下水弹性储存
弹性储存：当地下水水头（水压）降低(或升高）时， 含水层、弱透水层释放（或储存）地下水的性质
物理意义： ➢ 弹性储存与重力储存不同；
给水机制不同
➢ 弹性储存更宜理解为“变形储存”；
➢ 弹性储存这种性质不仅承压含水层具备，层间 弱透水层也有弹性储存
因Vs=constant，故
只在垂直方向上有压缩，
单元体内地下水 质量变化量
m V nxyz
m [( nz) |(x,y,z,tt) (nz) |(x,y,z,t) ]xy
X方向流入流出差
y方向流入流出差
z方向流入流出差 单元体内地下水 质量变化量 地下水连续性方程
( vx ) |(x, y,z,t) ( vx ) |(xx, y,z,t) xyzt
H x
)]
由于在一般情况下，水的密度变化很小，可视近似不变，故
x
K xx
H x
x
K
xx
H x
(vx
x
)
x
(K xx
H x
)
渗流连续性 方程化简
(
v
x
x
)
( v y
y
)
( v z
z
) xyz
(nz)
t
xy
（二）化简方程左端项
(nz) z ( n ) H
t
t
vx
K xx
H x
vy
Vb Vs Vv
Vv＝nVb；
由于骨架部分体积不变 dVb dVv
Vs＝(1-n)Vb
1 dVs 1 dVv 1 n dVs n dVv
Vb d Vb d
Vs d Vv d
Vv＝nVb；Vs＝(1-n)Vb
式中
——多孔介质固体颗粒压缩系数，表示多
孔介质中固体颗粒本身的压缩性的指标，s<<p；
➢ 必须区分两者之间的不同，潜水含水层还存在滞后疏干现象。
承压含水层抽水时，水的释放是由于压力减少造成的，这 一过程是瞬时完成的。只要水头下降不低到隔水顶板以下，水 头降低只引起含水层的弹性释水，可用贮水系数*表示这种释 水的能力。
导压系数
描述含水层水头变化的传导速度的参数，其数值等于含水层 的导水系数与贮水系数之比或渗透系数与贮水率之比。
由于
Vm
V p
V0
V p
V
d(m)
dV V
m
d( 1 ) d
水的压缩方程
dp 1 d
d
dp
(1 5)
多孔介质的压缩方程
假定多孔介质近似地符合弹性变形，依虎克定律，有
1 dVb d Vb
α为岩土的体积弹性压缩系数。
如果上部荷载不变，则 d dp
dp 1 dVb
Vb
的参数，在地下水动力学计算中具有重要的意义。
➢ 贮水率
表示含水层水头变化一个单
位时，从单位体积含水层中，因水体积膨胀（压缩）以
及骨架的压缩（或伸长）而释放（或储存）的弹性水量。
单位1/L。
➢ 贮水系数又称释水系数或储水系数，为含水层水头变化 一个单位时，从底面积为一个单位，高度等于含水层厚 度的柱体中所释放（或贮存）的水量；指面积为一个单 位、厚度为含水层全厚度M的含水层柱体中，当水头改 变一个单位时弹性释放或贮存的水量，无量纲。既适用 于承压含水层，也适用于潜水含水层。
量纲为L2T-1。
2.2 渗流连续性方程
连续性方程就是质量守恒方程，也称为水均衡方程 水均衡的基本思想：
对某一研究对象，流入－ 流出＝V 研究对象可以是大区域的，也可以是微分单元体
大区域的水均衡计算经常用于区域的水资源评价 本课程基于微分单元体做水均衡，推导渗流连续性方程。
为反映含水层地下水运动的普遍规律，我们选定在各向 异性多孔介质中建立地下三维不稳定流动连续性方程。
第二章 地下水流基本微分方程及定解条件
基本理论：连续性假设+达西定律+水均衡原理
➢ 对各种水流问题建立基本微分方程及数学模型： ●按空间维数：一维、二维（平面二维、剖面二维）、三维 ● 按含水层类型：承压水流、潜水流、多层（越流联系）等
➢ 求解数学模型（利用解析法），得到一些典型解析解： ●裘布依稳定井流模型 ●无越流承压含水层中的完整井流（泰斯模型） ●无越流潜水含水层中的完整井流（博尔顿模型-考虑滞后给水、 纽曼模型-考虑流速垂直分量和弹性储量） ●越流系统中的承压完整井流模型
➢ 应用： ●预测抽水条件下的水头变化； ●利用抽水试验资料求含水层参数。
第二章 地下水流基本微分方程及定解条件
教学目标：
➢ 准确理解渗流连续性概念 ➢ 掌握达西定律和质量守恒原理的应用 ➢ 掌握建立地下水基本微分方程的思想方法 ➢ 几种典型的地下水流方程的推导
●潜水剖面二维流、平面二维流 ●承压水二维流 ● 三维流 ➢ 边界条件概化，初始条件确定方法与原则 ➢ 能够用数学模型描述实际问题
➢ 与水体积膨胀所释放出的水量（dV）之和
上述二者之和所释放出的水量为
或
（1-14）
式中 s ——贮水率[释水率]（specific storativity），量纲
[L-1]，为弹性释水[贮水] ； 式中 M——含水层厚度(m)；
*——贮水系数（storativity）。
*=sM ➢ 贮水系数*和贮水率s都是表示含水层弹性释水能力
即：1-65式变为：
渗流连续性方 程化简
(v
x
x
)
(vy )
y
( v z
z
)
xyz
(nz)
t
xy
（二）化简方程左端项
当渗流满足达西定律，且取坐标与各向异性主轴方向一致，有
vx
K xx
H x
vy
K yy
H y
vz
K zz
H z
(vx )xFra bibliotekx(K xx
H x
)
[
x
K xx
H x
x
(K xx
第二章 地下水流基本微分方程及定解条件
主要内容：
➢ 建立连续性方程 ➢ 分析含水层与岩石、流体压缩性关系 ➢ 建立不同含水层地下水流微分方程 ➢ 讨论边界条件及初始条件 ➢ 用数学模型描述实际问题
2.1 水和多孔介质的压缩性
水的压缩方程（地下水的状态方程)
假定水近似地符合弹性变形，依虎克定律，有
➢ 贮水率是描述地下水三维非稳定流或剖面二维流中的 水文地质参数，既适用于承压水也适用于潜水。对于平 面二维非稳定流地下水运动，当研究整个含水层厚度上 的释水情况时，用贮水系数来体现。
上述两参数之间的不同，还在于潜水含水层存在滞后疏干现 象。
➢ 弹性释水与重力给水: 对于含水层而言，由于受埋藏条件的 限制，抽水时，水的给出存在着不同。
...
由于很小，且p变化不大，故
e ( p0 p) 1 ( p0 p)
V V0
1 ( p0
p)
V V0[1 ( p0 p)]
V0 V0 ( p0 p)
V V0 V0 ( p0 p)
V V0 V0
( p0
p)
V V0
( p0
p)
水的压缩方程
dp 1 dV
V
由于V~V0变化不大，故
——多孔介质中孔隙压缩系数 （Compressibility of the pores of a porous medium），表 示多孔介质中孔隙的压缩性的指标。n——多孔介质的孔隙度。
1-8
因
，故
。
1-9
水的压缩方程 多孔介质的压缩方程
dp 1 dV
V V p
V
1 dVb d Vb
嫁到多孔介质固体骨架上，增大有效应力，压缩多孔介质，结果使含 水层介质厚度变薄和空隙率n变小，同时从孔隙中释放地下水； ➢ p减少多孔介质固体颗粒也会膨胀,而有效应力增大又会影响固体颗 粒的变形。综合起来，这种现象比较复杂。考虑到固体颗粒的压缩性 比多孔介质要小得多，因此通常忽略多孔介质固体颗粒的压缩性。
渗流连续性方程推导
X方向流入流出差
(vx ) |(x,y,z,t) yzt (vx ) |(xx,y,z,t) yzt
y方向流入流出差
(v y ) |(x,y,z,t) xzt ( v y ) |(x,yy,z,t) xzt
z方向流入流出差 ( v z ) |( x, y,z,t) xyt ( v z ) |( x, y,zz,t) xyt
e ( p0 p) V V0
水的压缩方程
按Taylor级数展开
f (x) f (x) f (0) x f (0) x2 f (n) (0) xn
1!
2!
n!
ex 1 x x2 x3 ... 2! 3!
e ( p0 p)
1
( p0
p)
2
2!
(
p0
p)2
3
3!
( p0
p)3
渗流连续性方程推导
图2-1-1多孔介质单元水均衡要素图
X方向流入 X方向流出
假设：水是可压缩的，多孔介质骨 架在垂直方向可压缩，但在水平方 向不可变形。
均衡的含义：在t时段内从x,y,z三 个方向共6个单元界面上流入流出 水的净总质量等于单元体内储存量 的变化。
V Qt vt
m V vt
X方向流入流出差 (vx ) |( x, y,z,t) yzt ( vx ) |( xx, y,z,t) yzt
(v
x
x
)
(vy )
y
(vz
z
)
xyz
(nz)
t
xy
渗流连续性方程化简