1-2复数的几何表示k

z 0 时，以正实轴为始边与该向量的
夹角的弧度数θ称为z的辐角 。 (1) 复数的模 复数的模记为 注意：
y
y
(z)－复平面
z x iy
z r
2 2
P

2
z r
x y
o
x
x
x z, y z
z x y,
zz z z2
(2) 复数的辐角
Z不等于零, 复数的辐角记为: Arg z=,
N P o
x
S
y z
规定： 复平面上有一个唯一的“无穷远点”，表示复数中 唯一的“无穷大”（记为∞），它与球面上的北极N相对应。 北极N就是复数∞的几何表示，从而球面上的每 一个点都有唯 一的一个复数与它对应，称该球面为复球面。
？
为什么要引入复球面？
扩充复平面 ：包括无穷远点在内的复平面 有限平面 ： 不包括无穷远点在内的复平面 注意
几何上，由方程可直接看出它表示z平面上与点-i 的距离恒为2 的所有的点的轨迹，即以-i为中心、半径为2的圆周。
2 z 2i z 2
[解] 设z=x+iy ， 则方程变为：
y y = -x
2i x
x y 2i x 2 yi
即 或
x y 2
y tg Argz x 复数的辐角的主值记为 ： arg z
y
y
z x iy
z r
P
x
o

x
规定： -π＜arg z≤π ，
Argz=argz +2kπ(k为整数)。
注意:
(ⅰ) 辐角Argz的多值性和辐角的主值argz的单值性.
(ⅱ) 当z=0时，有模且|z|=0，而辐角没有意义.
o
x
z x iy
x r cos
y r sin
z r cos i sin
复数的三角表示式
(5) 复数的指数表示
欧拉公式：e
i
cos i sin
(θ为实数)
z re
i
复数的指数表示式
例 1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.
1 z 12 2i
例 2 设 z1，z2为两个任意复数，证明：
1
[证 ]
z1 z2 z1 z2
2
z1 z2 z1 z2
2
[证] 证明 z1 z2
z 1 z2
2
z1 z 2


z z z z z z z z
1 2 1 2
1 2 1 2
z1 z2 z1 z 2 z1 z 2
引进的扩充复平面与无穷远点，在很多 讨论中会带来方便。 但以后如无特殊声明，我们用到的复平 面都是指有限平面。
复数∞ ，没有实部、虚部和辐角，但有模， 规定 ， 对于其它任一复数z，则有 z 。 规定复数∞的四则运算如下：
加法：

x<0, y<0
y x y arg z arctg x arg z arctg
(3) 复数的几何运算 两个复数z1和z2的加、减法运算和相应向量的加、减法运算一致。
y
y z1 z2 x z1+z2 oz2z1Fra bibliotekz1-z2 x
o
-z2
三角不等式 : z1 z2 z1 z2 ,

3 cos sin sin 10 5 2 5
5 5 z 4cos i sin 6 6
3 3 z cos i sin 10 10

5 i 4e 6

3 i e 10
减法：
乘法： 除法：

0

,


0,

0

0 , 但可为
Im i z 1 y 4

i z x 1 y i
直线方程 y = - 3
x
y = -3
这是一条过虚轴上点-3i与x轴平行的直线.
2. 复球面
取一个与复平面切于原点z=0 的球面，过球面上与原点重合的 点S作复平面的垂线与球面交于 另一点N，称N为北极， S为南极。 N
2
z1 z 2 z1 z 2
2 2


z z z
1 1
2
2
z2

Z zz
z1 z1 z2 z2 z1 z2 z1 z2
z1 z2 2 Re z1 z2


z1 z2
zz Z Z
2
z1 z2 2 z1 z2
2
2
z1 z2 2 z1 z2
[解 ]
r z 12 4 4
2 z sin i cos 5 5 [解 ] r z 1
3 si n cos cos 10 5 2 5


2 arg z arctg 12 3 arctg 由于z 在 3 第三象限， 5 故幅角主值 6 6 如左
x 2 2
y
x
arctg
o
y
arg z
x
y x
第一、四象限 正虚轴
arg z
y arg z arctg x arg z 2
x>0 x=0, y>0 x=0, y<0
负虚轴
arg z
arg z

2
z 0
负实轴
第二象限 第三象限
x<0, y=0 x<0, y>0
t1 线段z1 z2的中点为z 2
z1 z2
例4
求下列方程所表示的曲线
1 zi 2
y o
2 -i x
[解 ]
设z=x+iy ， 则方程变为：
x y 1i 2
即 或
x y 1 2
2 2
x y 1 4
2 2
这是x y平面上以(0,-1)为 中心，半径为2的圆周. 如上图
y y y iii arg z z 0 与反正切Arctg 的主值 arctg arctg x x 2 x 2 y y 的关系 : arctg ,
y
y
arg z ( , ]
arctg
arg z
x
o
xy
x
o
y
x x
z1 z2 z1 z2
y
z2
z2
z1 z2
z1
z1 x
z1 z2 表示点z1与z2之间的距离。
o
一对共轭复数在复平面的位置关于实轴对称,
即
z z
y
z x iy
如果z不在负实轴和原点上，则
arg z arg z
(4) 复数的三角表示 利用直角坐标与 极坐标的关系：
P o x S z
y
对于复平面内任何一点 Z ，如果用一直线段把点z与北极N连结起来，则一定 与球面交于一点P。 反之，对于球面上任一点P，用直线把N与P连结起 来，一定与复平面交于一点z 。但N≠P.
这说明 除了北极N，球面上的点与复 平面上的点(复数)一一对应。
但是，对于北极N，还没有复平面内的一个点与它 对应。不过，当z点在复平面上无限地远离原点时， 即z的模无限变大时，点P 就无限地接近于N。
y
z2(x2,y2)
z(x,y) x
o
z1(x1,y1)
x x1 y y1 t t 或 x2 x1 y2 y1
该直线复数形式参数方程
x x1 t x2 x1 y y1 t y2 y1
该直线的参数方程为
z1 z2
2
2
z1 z2 z1 z2 2 Re z1 z2


2
(6)平面图形的复数方程（或不等式） 例3 将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2 的直线用复数形式的方程来表示。 [解] 通过定点(x1,y1)和(x2,y2),动点(x,y) 的直线方程为 y y1 y2 y1 x x1 x2 x1
1.复平面
§2 复数的几何表示
定义：由于一个复数z=x+iy由一对有序实数(x，y)唯一确定，因而 可以用xy平面上的点(x，y)来表示。此时，x轴称为实轴，y轴称为 虚轴，两轴所在的平面称为复平面或z平面。 复数的几何表示： 在复平面上，复数z与点z=x+iy及从原点指向该 点的平面向量一 一对应，因而也能用该向量 op 来表示复数z。 向量的长度称为z的模或绝对值;
z x iy x1 iy1 t x2 iy2 x1 iy1
即
z z1 t z2 z1
t
1 2
z1到z2的直线段的参数方程为： z 若取
z1 t z2 z1 0 t 1
2 2
x 2
2
y
2
-2
o
x2 y2 4 y 4 x2 4x 4 y2
直线方程: y = - x
几何上，该方程表示z平面上到点2i和-2 距离相等的点的轨迹，即点2i 和-2 连线的 垂直平分线。如上图。
y o
-3i
3 Imi z 4
[解] 设z =x+iy,则