概率统计课后习题解答第2章

习题2

2. 设离散型随机变量Ｘ的分布律为 .4,3,2,1,1

2)( k k a

k X P 求（1）常数a ；（2）)2( X P .

解 （1）由,1)1111( a 得248

315

a

（2（答案有误）

3.一颗骰子抛两次，以X 表示两次中所得的最小点数，试求X 的分布律。 解 X 可能取值为1,2，6, ，用二维数组表示两次的点数，则两次中最小点数为1可表示为：

（1，1），（1,2），（2，1），（1,3），（3，1），)1,6(),6,1(, ， 于是 36/111 X P ，同理可得其余。

4．甲、乙两棋手约定进行10局比赛，以赢的局数多者为胜。设在每局中甲赢的概率为0.6，乙赢的概率为0.4。假设各局比赛是相互独立的。

（1）写出甲赢局数的分布律；（2）试分别求甲胜、乙胜、不分胜负的概率。

解 （1）设甲赢局数为X ，则)6.0,10(~B X 。

（2）甲胜概率为 )1,6.0,10,5(1516BINOMDIST X P X P =0.6332

乙胜概率为 )1,6.0,10,4(4BINOMDIST X P =0.1662 不分胜负的概率 )0,6.0,10,5(5BINOMDIST X P =0.2007

5.某人独立地射击，设每次射击的命中率为0.02，射击400次，求至少两次击中目标的概率．

解：设击中目标次数为X ，则)02.0,400(~B X 。

方法1：802.0400 np ，利用泊松定理并查泊松分布表得

997.0!

828

2

e k X P k k

方法2：利用excel 函数

)1,01.0,400,1(1112BINOMDIST X P X P

=1-0.002835997.0

6．若每次射击中靶的概率为0.7，求射击10炮，命中3炮的概率，至少中3炮的概率，最可能命中几炮．

解：设中靶次数为X ，n =10, p =0.7, X~B (10, 0.7)

10,,2,1,3.07.01010 k C k X P k k k

733103.07.03C X P ,

21013 X P X P X P X P

829103.07.0453.07.0103.01

9103.08.813.03

88

1

， 或

.3.07.0)3(101010

3

k k k

k C X P

又77.010 np , 所以最有可能命中7炮.

7．从学校乘汽车到火车站的途中有5个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是5

2

．设Ｘ为途中遇到红灯的次数，求Ｘ的分布律．

解：)4.0,5(~B X

8．设离散型随机变量Ｘ的分布律是

.,2,1,

!

)( k e k C k X P k

讨论常数C 与 应满足的条件

解：因为!

!11k Ce e k C k k k k

)1( e Ce )1( e C ，

由.1)1(

e

C e C １－１

＝解得

9．设Ｘ服从参数 的泊松分布，且P (Ｘ=1)=P (Ｘ=2)，求P (Ｘ≥1)及 P (0＜Ｘ2＜3)．

解： ,,,,k ,!

k e k X P k

210

由 ,21 X P X P 即有!2!12

e e , 从而2 .

因此

22212

211)1(!2!

21

e e e k e k e X P k k k k .

11．进行某种试验，设每次试验成功的概率为

4

3

，以Ｘ表示首次成功所需试验的次数，试求出Ｘ取偶数的概率．（原书此处有误）

12．盒内有3个黑球和6个白球，从盒内随机地摸取一个球，如果摸到黑球，则不放回，第二次再从盒中摸取一个球，如此下去，直到取到白球为止，记Ｘ为抽取次数，求Ｘ的分布律及分布函数．

解：抽取次数X 的可能取值为1，2，3，4，且

32

961 X P ,

41

86932 X P ,

141

7682933 X P ,

841

867182934 X P .

14. 设连续型随机变量X 的分布函数为

e x d e x d cx x bx x a x F ,,1,ln ,1,)(

求常数d c b a ,,,和X 的概率密度。

解 由0)( F 得0 a ；由1)( F 得1 d ； 由)(x F 在1 x 的连续性可得,0 d c 即1 c ；

.

2!12

130222

e e X P X P

由)(x F 在e x 的连续性可得,d d ce be 即.1 b 15．设连续型随机变量Ｘ的概率密度为

,,)

1(2

)(2

x a x x f （1）试确定常数a ；（2）若P {a<Ｘ

a

a

x dx x dx x f |arctan 2)1(2)(12

).arctan 2(2a 得arctan a =0，从而 a =0.

（2）由 b a

b dx x b X a P ,2

1

arctan 2)1(22

得,b arctan 4

从而b =1. 17．已知随机变量Ｘ的概率密度

,,2

1)(|

|

x e x f x 试求Ｘ的分布函数．

解：由于

x dt t f x F ,)()( 因此当x ≤0时，

x t x x

t e dt e dt e x F 2

1

2121)(

. 当x ＞0时，)2(21

2121)(00x x t t e dt e dt e x F .2

11x e

故X 的分布函数为

.

0,

0,2

11,

2

1)(x x e e x F x x 18.设随机变量Ｘ的概率密度为

.

,0,

10,2)(其他x x x f

以Y 表示对X 的三次独立观察中事件}5.0{ X 出现的次数，试求)2( Y P 。 解：每次观察的观察值不大于0.5的概率为

.25.021.05

.00 dx x X P

从而 1406.0)75.0()25.0(2122

3 C Y P