计算机视觉中的数学方法
吴福朝 编著 计算机视觉中的数学方法
内容简介
本书由射影几何、矩阵与张量、模型估计三个部分组成，它们是三维计算机视觉所涉及到的基本数学理论与方法。I. 射影几何学是三维计算机视觉的数学理论基础，是从事计算机视觉研究所必备的数学知识。本书着重介绍射影几何学和它在视觉中的应用，主要内容包括：平面与空间射影几何，摄像机几何，两视点几何，自标定技术和三维重构理论。II. 矩阵与张量是描述和解决计算机视觉问题的必要数学工具，视觉领域研究人员都应该掌握这门数学。本书着重介绍与视觉有关的矩阵、张量理论与它的应用，主要内容包括：矩阵分解，矩阵分析，张量代数，运动与结构，多视点张量。III. 模型估计是三维计算机视觉的基本问题，通常涉及到变换或某种数学量的估计。本书着重介绍与视觉估计有关的数学理论与方法，主要内容包括：迭代优化理论，参数估计理论，视觉估计的代数方法、几何方法、鲁棒方法和贝叶斯方法。上述三部分涉及的数学内容是相对独立的，但三维计算机视觉将它们组成一个有机的整体。通过阅读本书，读者能掌握三维计算机视觉中的基本数学内容与方法，增强数学素养、提高分析和解决视觉问题的数学能力。
目 录
第一篇射影几何
第1章 平面射影几何
1.1射影平面--------------------------------------------------- 3
1.1.1射影平面----------------------------------------------- 3
1.1.2 两点、两线的叉积--------------------------------------- 5
1.1.3共线点、共点线的交比----------------------------------- 5
1.2 二次曲线--------------------------------------------------8
1.2.1 矩阵表示---------------------------------------------9
1.2.2 切线-------------------------------------------------9
1.2.3 配极对应---------------------------------------------10
1.2.4 对偶二次曲线-----------------------------------------13
1.2.5 圆环点及其对偶---------------------------------------14
1.3 二维射影变换---------------------------------------------16
1.3.1 二维射影变换-----------------------------------------16
1.3.2 直线与二次曲线的射影变换-----------------------------20
1.4 变换群与不变量-------------------------------------------21
1.4.1 等距变换群-------------------------------------------21
1.4.2 相似变换群-------------------------------------------23
1.4.3 仿射变换群-------------------------------------------24
1.4.4 射影变换群-------------------------------------------27 第2章 空间射影几何
2.1 射影空间------------------------------------------------- 31
2.1.1 空间点-----------------------------------------------31
2.1.2 空间平面---------------------------------------------31
2.1.3 空间直线---------------------------------------------34
2.1.4 共线平面束的交比-------------------------------------37
2.2 三维射影变换--------------------------------------------- 38
2.2.1 三维射影变换-----------------------------------------38
2.2.2 平面与直线的变换规则---------------------------------39
2.3 二次曲面与变换规则---------------------------------------40
2.3.1 基本性质---------------------------------------------40
2.3.2 二次曲面的对偶---------------------------------------42
2.3.3 绝对二次曲线与绝对二次曲面---------------------------45
2.4 空间射影变换群的子群-------------------------------------49
2.4.1 仿射变换群-------------------------------------------49
1
2.4.2 相似变换群-------------------------------------------51
2.4.3 等距变换群-------------------------------------------52
2.4.4 二次曲面分类-----------------------------------------53
2.5 射影坐标系与射影坐标变换---------------------------------56 第3章 摄像机几何
3.1 摄像机模型-----------------------------------------------59
3.1.1 摄像机模型-------------------------------------------59
3.1.2 摄像机矩阵元素的几何意义----------------------------- 63
3.1.3 摄像机矩阵估计--------------------------------------- 66
3.1.4 欧氏空间与射影空间----------------------------------- 67
3.2 投影与反投影--------------------------------------------- 69
3.2.1 空间点----------------------------------------------- 69
3.2.2 空间直线--------------------------------------------- 70
3.2.3 空间平面--------------------------------------------- 72
3.2.4 二次曲线--------------------------------------------- 73
3.2.5 二次曲面--------------------------------------------- 74
3.3 恢复平面景物的几何结构----------------------------------- 77
3.3.1 仿射结构--------------------------------------------- 77
3.3.2 相似结构--------------------------------------------- 78
3.3.3 绝对欧氏结构----------------------------------------- 79 第4章两视点几何
4.1 基本矩阵------------------------------------------------- 81
4.1.1 极几何----------------------------------------------- 81
4.1.2 基本矩阵--------------------------------------------- 83
4.1.3 几何解释--------------------------------------------- 87
4.2 单应矩阵------------------------------------------------- 88
4.2.1 单应矩阵--------------------------------------------- 88
4.2.2 与基本矩阵的关系------------------------------------- 91
4.2.3 不动点与不动线--------------------------------------- 93
4.3 基本矩阵估计--------------------------------------------- 94
4.3.1 8－点算法-------------------------------------------- 94
4.3.2 最小点对应算法--------------------------------------- 96
4.4 恢复摄像机矩阵------------------------------------------- 97
4.4.1 射影相关--------------------------------------------- 97
4.4.1 摄像机矩阵的恢复------------------------------------- 100第5章 自标定理论
5.1 正交性与摄像机内参数------------------------------------- 101
2
5.1.1 影消点与影消线--------------------------------------- 101
5.1.2 摄像机内参数----------------------------------------- 102
5.2 圆环点与摄像机内参数------------------------------------- 105
5.2.1 内参数约束方程--------------------------------------- 105
5.2.2 确定圆环点的图像------------------------------------- 105
5.2.3 圆环点与正交方向------------------------------------- 107
5.3 平行性与摄像机内参数------------------------------------- 108
5.3.1 平行四边形的射影------------------------------------- 108
5.3.2 平行六面体的射影------------------------------------- 111
5.3.2 摄像机内参数----------------------------------------- 113
5.4 Kruppa方程与摄像机内参数--------------------------------- 117
5.4.1 Kruppa方程------------------------------------------- 117
5.4.2 由Kruppa方程求焦距---------------------------------- 119
5.5 绝对二次曲线与摄像机内参数------------------------------- 121
5.5.1 基本约束方程----------------------------------------- 121
5.5.2 变化内参数------------------------------------------- 121
5.5.3 恒定内参数------------------------------------------- 122
5.5.4 尺度因子计算公式------------------------------------- 123
5.6 绝对二次曲面与摄像机内参数------------------------------- 125
5.6.1 基本约束方程----------------------------------------- 125
5.6.1 约束的等价性----------------------------------------- 126第6章 三维重构理论
6.1 三角原理------------------------------------------------- 130
6.2 基本矩阵与射影重构--------------------------------------- 132
6.3 无穷远平面与仿射重构------------------------------------- 133
6.4 绝对二次曲线与度量重构----------------------------------- 135
6.5 绝对二次曲面与度量重构----------------------------------- 138
6.6 实现分层重构的实例--------------------------------------- 140
6.6.1 仿射点对应------------------------------------------- 141
6.6.2 准仿射重构------------------------------------------- 142
6.6.3 仿射重构--------------------------------------------- 143
6.6.4 度量重构--------------------------------------------- 146
6.7 多摄像机系统标定----------------------------------------- 147
6.7.1 一维标定物------------------------------------------- 147
6.7.2 确定仿射摄像机矩阵----------------------------------- 148
6.7.3 确定欧氏摄像机矩阵----------------------------------- 149
3
第二篇矩阵与张量
第7章 正交对角化
7.1 内积空间与正交矩阵--------------------------------------- 154
7.1.1 内积空间--------------------------------------------- 154
7.1.2 正交矩阵--------------------------------------------- 155
7.2 酉空间与酉矩阵------------------------------------------- 158
7.2.1 酉空间----------------------------------------------- 158
7.2.1 酉矩阵----------------------------------------------- 159
7.3 正规矩阵------------------------------------------------- 162
7.3.1 Schur引理-------------------------------------------- 162
7.3.2 正规矩阵--------------------------------------------- 163
7.3.3 正交谱分解------------------------------------------- 166
7.4 轭米特矩阵----------------------------------------------- 169
7.4.1 特征值的极性----------------------------------------- 169
7.4.2 半正定轭米特矩阵------------------------------------- 172
7.5 反对称矩阵----------------------------------------------- 176第8章 矩阵分解
8.1 正交－三角分解------------------------------------------- 178
8.1.1 Givens方法------------------------------------------- 179
8.1.2 Householder方法-------------------------------------- 180
8.1.2 内参数与外参数的分解--------------------------------- 182
8.2 乔里斯基（Cholesky）分解--------------------------------- 183
8.3 奇异值分解----------------------------------------------- 184
8.3.1 正交对角分解----------------------------------------- 184
8.3.2 奇异值分解------------------------------------------- 185
8.3.3 奇异值的极性----------------------------------------- 187
8.3.4 极分解----------------------------------------------- 188
8.4 最小二乘问题--------------------------------------------- 189
8.4.1 满秩最小二乘问题------------------------------------- 191
8.4.2 亏秩最小二乘问题------------------------------------- 193
8.4.3 数值秩的定义和确定方法------------------------------- 193
8.4.4 齐次最小二乘问题------------------------------------- 194
8.4.5 约束齐次最小二乘问题--------------------------------- 196第9章 矩阵分析
9.1 向量与矩阵范数------------------------------------------- 198
9.1.1 向量范数--------------------------------------------- 198
9.1.2 矩阵范数--------------------------------------------- 202
4
9.1.3 矩阵条件数------------------------------------------- 207
9.2 矩阵级数与矩阵函数--------------------------------------- 210
9.2.1 矩阵序列--------------------------------------------- 210
9.2.2 矩阵级数--------------------------------------------- 212
9.2.3 矩阵函数--------------------------------------------- 213
9.3 矩阵导数------------------------------------------------- 217
9.3.1 函数矩阵的导数--------------------------------------- 217
9.3.2 向量值映射关于向量的导数----------------------------- 219
9.3.3 函数关于矩阵的导数----------------------------------- 221
9.3.4 函数矩阵关于矩阵的导数------------------------------- 224
9.4 矩阵直积------------------------------------------------- 228
9.4.1 概念与基本性质--------------------------------------- 228
9.4.2 特征值与特征向量------------------------------------- 233第10章 张量代数
10.1 张量概述------------------------------------------------ 236
10.2 张量积-------------------------------------------------- 240
10.2.1 线性映射-------------------------------------------- 240
10.2.2 多重线性映射---------------------------------------- 243
10.3 张量---------------------------------------------------- 259
10.3.1 张量及其代数运算------------------------------------ 259
10.3.2 对称与反对称张量------------------------------------ 253
10.4 外代数（Grassmann代数）--------------------------------- 255
10.4.1 外积运算-------------------------------------------- 256
10.4.2 外代数---------------------------------------------- 260
10.4.3 Plucker-Grassmann坐标------------------------------- 264第11章 运动与结构
11.1 欧氏运动与结构------------------------------------------ 267
11.1.1 本质矩阵-------------------------------------------- 267
11.1.2 欧氏运动-------------------------------------------- 269
11.1.3 欧氏结构-------------------------------------------- 271
11.2 仿射运动与结构------------------------------------------ 273
11.2.1 仿射摄像机------------------------------------------ 273
11.2.2 仿射运动与结构-------------------------------------- 275
11.3 射影运动与结构------------------------------------------ 277
11.3.1 基本原理-------------------------------------------- 278
11.3.2 选择射影深度---------------------------------------- 279
11.3.3 迭代分解算法---------------------------------------- 280
5
第12章 多视点张量
12.1 双线性关系---------------------------------------------- 283
12.1.1 基本矩阵的张量形式---------------------------------- 283
12.1.2 极点的张量形式-------------------------------------- 285
12.2 三线性关系---------------------------------------------- 286
12.2.1 三点对应-------------------------------------------- 286
12.2.2 点、线对应------------------------------------------ 289
12.2.3 三线性约束的独立数---------------------------------- 291
12.2.4 恢复摄像机矩阵-------------------------------------- 293
12.3 四线性关系---------------------------------------------- 295
12.3.1 四线性关系------------------------------------------ 295
12.3.2 四线性约束的独立数---------------------------------- 298
第三篇模型估计
第13章 迭代优化
13.1 最优性条件---------------------------------------------- 301
13.1.1 最优性条件------------------------------------------ 301
13.1.2 迭代格式-------------------------------------------- 305
13.2 一维搜索------------------------------------------------ 305
13.2.1 精确一维搜索---------------------------------------- 306
13.2.2 非精确一维搜索-------------------------------------- 308
13.3 无约束优化---------------------------------------------- 310
13.3.1 最速下降法------------------------------------------ 310
13.3.2 NEWTON法-------------------------------------------- 310
13.3.3 变度量法-------------------------------------------- 311
13.3.4 共轭方向法------------------------------------------ 314
14.3.5 LM法----------------------------------------------- 315
13.4 约束优化------------------------------------------------ 316
13.4.1 惩罚法---------------------------------------------- 316
13.4.2 乘子法---------------------------------------------- 319第14章 参数估计
14.1 最大似然估计-------------------------------------------- 325
14.1.1 基本概念-------------------------------------------- 325
14.1.2 相合性与渐近正态性---------------------------------- 328
14.1.3 混合模型-------------------------------------------- 330
14.2 Bayes估计----------------------------------------------- 332
6
14.2.1 贝叶斯估计模型-------------------------------------- 332
14.2.2 无信息先验密度-------------------------------------- 334
14.2.3 共轭先验密度---------------------------------------- 337
14.2.4 贝叶斯估计------------------------------------------ 339
14.3 期望最大化（EM）算法------------------------------------ 343
14.3.1 EM算法---------------------------------------------- 343
14.3.2 收敛性与估计精度------------------------------------ 346
14.3.3 EM法推广-------------------------------------------- 349
14.4 混合模型的EM算法--------------------------------------- 351
14.4.1 一般混合模型---------------------------------------- 351
14.4.2 混合高斯模型---------------------------------------- 354第15章 代数方法
15.1 模型估计概述-------------------------------------------- 356
15.1.1 模型------------------------------------------------ 356
15.1.2 模型参数化------------------------------------------ 358
15.2 直接线性算法-------------------------------------------- 361
15.2.1 线性计算框架---------------------------------------- 361
15.2.2 视觉估计问题---------------------------------------- 361
15.3 因子化线性算法------------------------------------------ 365
15.3.1 因子化计算框架-------------------------------------- 365
15.3.2 视觉估计问题---------------------------------------- 366
15.4 归一化线性算法------------------------------------------ 374第16章 几何方法
16.1 几何方法------------------------------------------------ 376
16.1.1 直线与二次曲线-------------------------------------- 376
16.1.2 几何距离最小化-------------------------------------- 379
16.2 视觉估计问题-------------------------------------------- 382
16.2.1 单应矩阵-------------------------------------------- 382
16.2.2 基本矩阵-------------------------------------------- 384
16.2.3 三焦张量-------------------------------------------- 387
16.2.4 FOE------------------------------------------------- 388
16.3 最大似然方法-------------------------------------------- 392
16.3.1 高斯分布-------------------------------------------- 392
16.3.2 最大似然方法---------------------------------------- 393
16.3.3 残差与估计误差-------------------------------------- 395
16.3.4 参数的协方差---------------------------------------- 400第17章 鲁棒方法
7
17.1 RANSAC方法---------------------------------------------- 408
17.1.1 直线估计-------------------------------------------- 408
17.1.2 RANSAC方法------------------------------------------ 409
17.1.3 基本矩阵的RANSAC估计-------------------------------- 414
17.1.4 卡方分布-------------------------------------------- 415
17.2 M－估计方法-------------------------------------------- 416
17.3 最小中值方法-------------------------------------------- 419
17.4 鲁棒最大后验估计---------------------------------------- 420
17.4.1 鲁棒最大后验估计------------------------------------ 418
17.4.2 似然项与先验项的形式-------------------------------- 420
17.4.3 最大化边缘后验-------------------------------------- 423
17.4.3 MAPSAC算法------------------------------------------ 426第18章 模型选择
18.1 似然比检验---------------------------------------------- 429
18.1.1 基本运动模型---------------------------------------- 429
18.1.2 似然比检验------------------------------------------ 431
18.2 AIC与模型选择------------------------------------------ 434
18.2.1 AIC标准--------------------------------------------- 434
18.2.2 用AIC选择模型--------------------------------------- 436
18.3 BIC与模型选择------------------------------------------ 440
18.3.1 Bayes 证据------------------------------------------ 440
18.3.1 BIC标准--------------------------------------------- 414
18.3.2 用BIC选择模型--------------------------------------- 443
18.4 GRIC与模型选择---------------------------------------------------------------444
18.4.1 GRIC标准-------------------------------------------- 444
18.4.2 用GRIC选择模型-------------------------------------- 446
参考书目与文献-------------------------------------------------------------------------------------- 450索引----------------------------------------------------------------------------------------------------- 453
8
第一篇射影几何
本篇提要
本篇分为两个部分。第一部分由第1、2章所构成，主要介绍有关射影几何理论，这些理论不是射影几何所涉及的全部内容，而是从事三维计算机视觉研究所必须掌握的那些几何知识。第二部分由第3－6章所构成，主要论述射影几何理论在三维计算机视觉中的应用，读者将会看到射影几何的重要作用。
各章具体内容如下：
第1章，介绍平面射影几何。主要内容包括点、线，二次曲线的齐次表示，二次曲线与对偶二次曲线的性质；二维射影变换与基本几何元素的射影变换规则；二维射影变换群及其子群的不变量与不变性质。
第2章，介绍三维射影几何。主要内容包括三维点、线、面和二次曲面的齐次表示，二次曲面与对偶二次曲面的性质；三维射影变换与基本几何元素的射影变换规则；三维射影变换群及其子群的不变量与不变性质。
第3章，介绍摄像机几何。首先，对摄像机进行数学建模；然后，应用前两章射影几何知识，给出空间基本几何元素的投影性质，以及图像平面基本几何元素的反投影性质。这些投影与反投影性质，是从图像恢复物体三维几何结构的基础，尤其是绝对二次曲线与绝对二次曲面的投影性质。
第4 章，介绍两视点几何。应用射影几何知识引进两幅图像的点、线关联关系，即所谓的极几何。基本矩阵是极几何的代数描述，同时它也给出了射影意义下的摄像机矩阵。
第5章，介绍摄像机自标定方法。主要着重介绍正交性、圆环点、平行性、KRUPPA方程、绝对二次曲线和绝对二次曲面自标定与摄像机内参数的关系。所有自标定方法均来源于射影几何理论，它们都归结为绝对二次曲线或绝对二次曲面的投影性质。
第6章，介绍三维重构理论。三维重构是三维计算机视觉中的核心问题。本章应用射影几何知识来建立三维重构理论。不需要图像以外的知识，仅从图像就能获得射影重构；仿射重构，确定无穷远平面的射影坐标，确定无穷远单应三者是相互等价的；度量重构，确定绝对二次曲线，确定绝对二次曲面，确定摄像机内参数四者是相互等价的。
2
吴福朝：计算机视觉中的数学方法 第1章：平面射影几何
3
1．平面射影几何
1.1射影平面
1.1.1 射影平面
齐次坐标
在本章中，除特别说明外，我们均假定在平面上建立了欧氏坐标系。平面上的点可用一个二维
有序数组T y x ),(~
=p 来表示，即该点的欧氏坐标。平面上的直线方程可以表示为 0=++c by ax (1.1.1)
在方程(1.1.1)两边同乘以任一非零常数t ，得到下述方程：
0=++ct byt axt (1.1.2)
方程(1.1.1)与方程(1.1.2)有相同的几何意义，它们表示同一条直线。令
T T c b a t yt xt ),,(,),,(==l p
则方程(1.1.2)可写成
0=p l T (1.1.3)
其中p 是变量，表示直线上的点；l 是一个固定的向量，代表该直线。
一般地， T t yt xt ),,(=p 称为点的齐次坐标， T c b a ),,(=l 称为直线的齐次坐标。这里的“齐次”也可以这样来理解：在这种表示下，直线方程(1.1.3)关于点或直线变量都是齐次的，而方程(1.1.1)则是非齐次的。
齐次坐标可以相差任意的非零常数因子，即?0≠s , p 和p q s =表示同一个点，因为它们的非齐次坐标相等：
q
p ~)/,/()/,/(~===st sy st sx t y t x T 对于直线的齐次坐标也一样，因为方程0)(=p l T s 与方程(1.1.3)确定同一条直线。 射影平面
齐次坐标为T y x ),,(0=∞p 的点称为无穷远点，其中x , y 至少有一个不为零。注意：无穷远点没
吴福朝：计算机视觉中的数学方法 第1章：平面射影几何
4
有欧氏坐标，这是因为∞=∞=0/,0/y x ，同时也可以看出为什么将它称为无穷远点。平面上所
有无穷远点所构成的集合称为无穷远直线。由于所有无穷远点T y x ),,(0=∞p 都满足方程：
00100=?+?+?y x
所以，无穷远直线的齐次坐标为T )1,0,0(=∞l 。
由欧氏平面与无穷远直线的并集所形成的扩展平面称为射影平面，有时也称为二维射影空间。
1.1.2 两点、两线的叉积
三维向量的叉积
令T T t y x t y x ),,(,),,(22221111==x x 是两个三维向量，它们的叉积定义为
T
y x y x t x t x t y t y t y x t y x ???
?
?????????????????????????????=????
?
???
??=×22
11
2211
22
11
22
2
111
21det ,det ,det det k j i x x (1.1.4) 叉积和反对称矩阵相关联。由向量T t y x ),,(=x ，按下述方式定义反对称矩阵×][x ：
????
?????
????=×00
0][x y x t y t
x 并称为由向量x 所确定的反对称矩阵。矩阵×][x 具有下述性质：
(1) 对任意非零向量x ，有rank(×][x )=2；
(2) 对任意两个3维向量21,x x ，有2121][x x x x ×=×；
(3) x 是×][x 的右零空间，同时也是它的左零空间，即0][,0][==××x x x x T ； (4) 对任意3维向量y ，有0][=×y x y T 。
性质(1)是明显的，(3)与(4)可由性质(2)导出，因此下面仅验证性质(2)： 令T T t y x t y x ),,(,),,(22221111==x x ，则
21][x x ×=???
?
??????+??+?=??????????????????
?????=2121212121212221
1
11
11000
y x x y t x x t t y y t t y x x y x t y t 21x x ×
性质(2)表明，两个向量的叉积可以用其中一个向量的反对矩阵左乘另一个向量来表达。
吴福朝：计算机视觉中的数学方法 第1章：平面射影几何
5
两点、两线的叉积
如果21,p p 是射影平面上两点，则21p p l ×=表示通过这两点的直线。这是因为，对直线l 上的任一点，它的齐次坐标可以表示为2211p p p s s +=，根据反对称矩阵的性质(3)和(4)，可以得到：
0)]([212
1
=∑=×=j T j j T s p p p p l
若三点321,,p p p 共线，则必有0321312
=?=××p p p p p p T T )]([][。反之，若0312=×p p p ][T ，则三点321,,p p p 必共线。因此，我们有下述命题：
命题1.1.1 （1）两点21,p p 连线的坐标是21p p l ×=][；（2）三点321,,p p p 共线的充要条件是
0312=×p p p ][T
。
对偶原理 在射影平面内，点和线是一对互为对偶元素。在包含“点”和“线”元素的命题中，如果将两个元素的角色互换，则对应的命题也成立，并称它们是一对互为对偶命题。
例如：命题1.1.1有如下对偶命题：
命题 1.1.2 （1）两线21,l l 的交点的坐标是21l l p ×=][；（2）三线321,,l l l 共点的充要条件是
0][312=×l l l T 。
1.1.3共线点、共点线的交比
共线点的参数化与交比
平面上的点有两个自由度，用三维非零向量(齐次坐标)来表示。而直线上的点仅有一个自由度，因此，直线上点的齐次坐标仅需要二维向量来表示。如何用二维向量来表示直线上点的齐次坐标，就是所谓共线点的参数化问题。
给定直线l 上两个不同点的齐次坐标p 1, p 2*)，则直线l 上任何一个点p 的坐标均可以表示为
21p p p v u +=
这样，利用直线l 上两个点p 1, p 2，直线l 上所有点都可以用二维向量来表示：
T v u ),(?=p
并称这个二维向量为直线l 上点的参数化。
显然，p 1, p 2的（二维）齐次坐标分别是T T ),(?,),(?100121==p p
。因此，这种参数化过程实际上
*)
“给定齐次坐标”的意义是指已经给出了齐次坐标分量的具体数值，在本书其它地方都遵循这个约定。
吴福朝：计算机视觉中的数学方法 第1章：平面射影几何
6
是建立直线坐标系的过程。直线上点的参数化不是唯一的，不同的参数化对应不同的坐标系。
共线点的交比 假定4321,,,p p p p 是4个共线点，它们在某种参数化下的齐次坐标为T j j j v u ),(?=p
。定义： )?,?det()?,?det(:
)?,?det()?,?det(),;,(424132314321p p p p p p
p p
p p p p =
(1.1.10) 为该4点的交比。
下面证明：共线点4321,,,p p p p 交比不依赖于点参数化的选择，或者说不依赖于直线坐标系的选择。
若点4321,,,p p p p 在两个给定点21,q q 的参数化下的齐次坐标分别为T j j j v u ),(?=p
，j =1,2,3,4，而在另外两个给定点21,q q ′′的参数化下的齐次坐标分别为T j j j v u ),(?′′=′p ，j =1,2,3,4。令点21,q q ′′在21,q q 的参数化下齐次坐标分别为,),(?111T βα=′q
T ),(?222βα=q ，即 2212221111q q q q q q βαβα+=′+=′,
记=H ???
?
????22
11
βα
βα，则0)det(≠H 。否则，}),(,),{(2211T T βαβα必线性相关，从而21,q q ′′表示直线上的同一个点。于是，
22112121
q q q q p )()(ββααj j j j j j j v u v u v u ′+′+′+′=′′+′′= 所以，???′+′=′+′=212
1ββααj j j
j j j v u v v u u ，即j T j H p p
??=。因此，我们有 )?,?det()?,?det(:
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2413231p p p p p p p p p p p p p p p p ′′′′′′′′=′′′′′′′′=T
T T T H H H H 故4个共线点4321,,,p p p p 的交比不依赖于参数化的选择。
根据交比不依赖于参数化选择的性质，可以简化交比的计算。
例如：在4个共线点4321,,,p p p p 中，可以将p 3, p 4在平面的齐次坐标分别表示为2113p p p λ+=，2214p p p λ+=，则有
,),(?,),(?T T 100121==p p
T ),(?),,(?241311λλ==p p 于是，
21424132314321)?,?det()?,?det(:)?,?det()?,?det(),;,(λλ=
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p p p p p p
p p
p p p p (1.1.11)
(完整word版)高中物理竞赛的数学基础
普通物理的数学基础 选自赵凯华老师新概念力学 一、微积分初步 物理学研究的是物质的运动规律，因此我们经常遇到的物理量大多数是变量，而我们要研究的正是一些变量彼此间的联系。这样，微积分这个数学工具就成为必要的了。我们考虑到，读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些微积分的初步知识，对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处的。所以我们在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法，在讲述方法上不求严格和完整，而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要。至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法，读者将通过高等数学课程的学习去完成。 §1．函数及其图形 本节中的不少内容读者在初等数学及中学物理课中已学过了，现在我们只是把它们联系起来复习一下。 1．1函数自变量和因变量绝对常量和任意常量 在数学中函数的功能是这样定义的：有两个互相联系的变量x和y，如果每当变量x取定了某个数值后，按照一定的规律就可以确定y的对应值，我们就称y是x的函数，并记作 y=f(x），（A．1） 其中x叫做自变量，y叫做因变量，f是一个函数记号，它表示y和x数值的对应关系。有时把y=f（x）也记作y=y（x）。如果在同一个问题中遇到几个不同形式的函数，我们也可以用其它字母作为函数记号， 如 （x）、ψ（x）等等。① 常见的函数可以用公式来表达，例如 e x等等。 在函数的表达式中，除变量外，还往往包含一些不变的量，如上面 切问题中出现时数值都是确定不变的，这类常量叫做绝对常量；另一类如a、b、c等，它们的数值需要在具体问题中具体给定，这类常量叫做任意常量。
在数学中经常用拉丁字母中最前面几个（如a、b、c）代表任意常量，最后面几个（x、y、z）代表变量。 当y=f（x）的具体形式给定后，我们就可以确定与自变量的任一特定值x0相对应的函数值f（x0）。例如： （1）若y=f（x）=3+2x，则当x=-2时y=f（-2）=3+2×（-2）=-1． 一般地说，当x=x0时，y=f（x0）=3+2x0． 1．2函数的图形 在解析几何学和物理学中经常用平面 上的曲线来表示两个变量之间的函数关系， 这种方法对于我们直观地了解一个函数的 特征是很有帮助的。作图的办法是先在平面 上取一直角坐标系，横轴代表自变量x，纵 轴代表因变量（函数值）y=f（x）．这样一 来，把坐标为（x，y）且满足函数关系y=f （x）的那些点连接起来的轨迹就构成一条 曲线，它描绘出函数的面貌。图A-1便是上 面举的第一个例子y=f（x）=3+2x的图形，其中P1，P2，P3，P4，P5各点的坐标分别为（-2，-1）、（-1，1）、（0，3）、（1，5）、（2，7），各点连接成一根直线。图A-2是第二个例子 各点连接成双曲线的一支。 1．3物理学中函数的实例 反映任何一个物理规律的公式都是表达变量与变量之间的函数关系的。下面我们举几个例子。 （1）匀速直线运动公式 s=s0＋vt，（A．2） 此式表达了物体作匀速直线运动时的位置s随时间t变化的规律，在这里t相当于自变量x，s相当于因变量y，s是t的函数。因此我们记作s=s（t）＝s0＋vt，（A．3） 式中初始位置s0和速度v是任意常量，s0与坐标原点的选择有关，v对于每个匀速直线运动有一定的值，但对于不同的匀速直线运动可以取不同的值。
高中物理重要方法典型模型突破7-数学方法(5)--微元法
专题七 数学方法（5） 微元法 【重要方法点津】 在物理学的问题中，往往是针对一个对象经历某一过程或出于某一状态来进行研究，而此过程或状态中，描述此研究对象的物理量有的可能是不变的，而更多的则可能是变化的，对于那些变化的物理量的研究，有一种方法是将全过程分为很多短暂的微小过程或将研究对象的整体分解为很多微小局部，这些微小过程或者是微小的局部常被称为“微元”，而且每个微元所遵行的规律是相同的，取某一微元加以分析，然后在将微元进行必要的数学方法或物理思想处理归纳出适用于全过程或者是整体的结论，这种方法被称为“微元法”。微元法是物理学研究连续变化量的一种常用方法。 微元可以是一小段线段、圆弧、一小块面积、一个小体积、小质量、一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征。这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题得到求解。利用“微元法”可以将非理想模型转化为理想模型，将一般曲线转化为圆甚至是直线，将非线性变量转化为线性变量甚至是恒量，充分体现了“化曲为直”、“化变为恒”的思想。 应用“微元法”解决物理问题时，采取从对事物的极小部分（微元）入手，达到解决事物整体的方法，具体可以分以下三个步骤进行：（1）选取微元用以量化元事物或元过程； （2）把元事物或元过程视为恒定，运用相应的物理规律写出待求量对应的微元表达式；（3）在微元表达式的定义域内实施叠加演算，进而求得待求量。微元法是采用分割、近似、求和、取极限四个步骤建立所求量的积分式来解决问题的。 【典例讲练突破】 【例1】 设某个物体的初速度为0v ，做加速度为a 的匀加速直线运动，经过时间t ，则物 体的位移与时间的关系式为2012 x v t at =+，试推导。 【总结】这是我们最早接触的微元法的应用。总结应用微元法的一般步骤：（1）选取微元，时间t ?极短，认为速度不变，“化变为恒”，（2）写出所求量的微元表达式，微元段的意义是位移，写出位移表达式i i x v t =?，（3）对所求物理量求和，即对微元段的位移求和， i i x x v t =∑=∑?。
在小学数学教学中如何渗透集合思想的几点做法
在小学数学教学中如何渗透集合思想的几点做法 集合是近代数学中的一个重要概念。集合思想是现代数学思想向小学数学渗透的重要标志，在解决某些数学问题时，若是运用集合思想，可以使问题解决得更简单明了。集合论的创始人是德国的数学家康托（1845——1918），其主要思想方法可归结为三个原则，即概括原则、外延原则、一一对应原则。自集合论创立以来，它的概念、思想和方法已经渗透到现代数学的各个分支中，成为现代数学的基础。瑞士数学家欧拉（1707——1787）最早使用了表示两个非空集之间的关系的图，现称欧拉图。英国数学家维恩最早使用了另一种图即可以用于表示任意的几个集合（不论它们之间的关系如何，都可以画成同一样式），又称“维恩图”，用维恩图表示集合，有助于探索某些数学题的解决思路。 布鲁纳曾说，掌握基本的数学思想方法能使数学更易于理解和记忆，领会基本数学思想方法是通向迁移大道的“光明之路”。数学思想方法不但对学生学习具有普遍的指导意义，而且有利于学生形成科学的思维方式和思维习惯。 集合思想包括概念、子集思想、交集思想、并集思想、差集思想、空集思想、一一对应思想等，作为数学思想方法的一种，在教学中是具有很大的指导意义的。那么，在小学数学教学中我们应该如何应用集合思想进行教学活动呢? 一、集合概念在小学数学教学中的应用
集合思想的概念在教学中是不必向学生作解释的，教师主要指导学生看懂集合图的意思，会根据集合图来解题或者帮助解题。图形本身直观地应用了集合的表示方法——图示法，因此在小学低年级中运用这个方法对于教学是很有帮助的。 在认数教学中，教师要结合各种集合图，可以是选用书本上的，也可以是选用一些生活中常见的事物自己画。同时还可以反过来给学生一个数字，让学生画集合图，这样既可以让学生开动脑筋发挥自己的想象，也可以让学生更了解集合中的元素与基数概念的联系。 在日常教学中，教师还要让学生理解一些用来描述集合的常用术语，如“一些”、“一堆”、“一组”、“一群”等。比如说，在小学数学教材北师大版一年级（上册）的第四单元分类中，就出现了这么一张图，让学生观察，要求把玩具放一堆，文具放一堆,服装鞋帽放一堆,这种把具有同一种属性的东西放在一起，这就是集合的整体概念。 在认识0-10的十一个数字中，每个数字都有一张相应的集合图，也就是告诉学生，一个集合中有几个元素就用“几”来表示。如北师大版一年级（上册）第4页找一找的活动中“1”可以表示图里的一座房子；“2”可以表示图里的两个人。这就很形象的把集合中的元素与基数的概念有机的联系起来。 二、子集、交集、并集、差集、空集思想在小学数学教学中的应用 1、子集思想在小学数学教学中的应用 教学数的大小这一问题时，就可以应用子集思想。如北师大版二
学好高中数学及物理
如何学好高中数学及物理
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如何学好高中数学： 树立学好高中数学的信心，培养良好的学习习惯 进入高中就必须树立正确的学习目标和远大的理想，加强学习习惯的培养。学生可以阅读一些数学历史，体会数学家的创造所经历的种种挫折、数学家成长的故事和他们在科学技术进步中的卓越贡献，也可请高二、高三的优秀学生讲讲他们学习数学的方法，以此激励自己积极思维，勇于进取，培养学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 进入高中就要有一定的紧迫感。提倡课前预习，学会提出问题、分析问题和独立解决问题。课堂上要求积极主动的投入到老师的教学过程中，参与提出问题、思考问题、分析问题、解决问题，并及时总结本节课的教学内容。课后通过反复阅读书本，查阅有关资料，以强化对基本概念、原理、整个知识网络的理解与记忆并独立完成本节课的作业。每学完一单元、章节的内容都应仔细阅读课本的小结，养成归纳、总结的习惯。学习上要团结互助，形成集体的合力解决问题。 重视自身的学习经验总结，改进原有的学习方法 为了解决好高一数学学习“开头难”的特点，学习中要注意几点： ①、制订一个合理的计划。开学前可以先阅读一下课本，认真制定好本学期的学习计划，心理上有一个准备。 ②、做好新旧知识的对比。应力求做到新的概念、定理，都要先复习初中已学过的相关知识，把它贯穿在高中课程中，使新旧知识互相促进，共同巩固，达到知识的深化与能力的培养。 ③、重视数学概念的学习。对高一接触到抽象的集合语言、函数语言等概念第一章就有概念38个，数学符号22个。由于概念之间的联系紧密，后一个概念往往是建立在前一个概念的基础上，逻辑性强，所以要透彻每一个概念，对于概念中的关键字眼要反复推敲，找出其关键点，逐渐由感性认识上升到理性认识。如集合的学习中，集合的元素的选择应该广泛化，而不单单以纯数学模型（数、形、式）为元素；集合的并、交、补集运算，可用文氏图、数轴、坐标系等工具加以分析。 ④、新的知识要转化为自己的再发现、再创造。要充分的动脑、动口、动手，积极参与实践，主动获取知识。课堂上对教师讲解的重、难点内容，积极参与师生讨论、发表自己的见解，不断更新自己的学习体会。对“似懂而非全懂”、“似会而非全会”、“想知又未全知”、“跳一跳，够得着”的题目或知识，要勇于探索，在解题中发现自己的学习成效，体会探研知识的乐趣，提高独立或集体归纳知识规律与解题规律的能力。 培养优秀的数学思维品质，提高数学解决问题的能力 与初中数学相比高中数学在思维形式的灵活性、可拓展性等方面的要求较高。所以学习中加强思维训练，积极开展思维活动，努力克服思维惰性，提高自身的分析问题解决问题的能力。 大都数高中数学概念的引入、形成、深化等思维过程中能提高自己的观察能力和抽象、概括能力。“过程”是数学学习的重点，定义、定理、公式、法则等前人思维活动的经验成果，通过自己的观察、联想、对比、分析等“过程”的思维活动，形成数学家发现这个结论同样的艰辛和喜悦。 高中数学教材中的定理的证明、公式法则的推导以及例题的解答，一般要先思考，独立或集体讨论解决方法，然后与教材对照，看有什么异同。要体会由特殊到一般、由直觉发现到逻辑推理（证明）的这样一个解决问题的过程。一些较难问题用综合分析的方法去研究题目的条件、结论以及这二者之间的联系，层层分析问题，步步逼近减少思维发展上的障碍以求得正确的解题途径。
初中数学思想方法大全
一、宏观型思想方法 数学思想是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识、技能的灵魂。 （一）、转化(化归)思想 解决数学问题就是一个不断转化的过程，把问题进行变换，使之化繁为简、化难为易、化生疏为熟悉，变未知为已知，从而使问题得以解决。 不是对原来的问题直接解答，而是想方设法对它进行变形，直到把它转化成某个（某几个）已经解决了的问题为止。通过转化可使原条件中隐含的因素显露出来，从而缩短已知条件和结论之间的距离，找出它们之间内在的联系，以便应用有关方法将问题解决。 “转化”的思想是一种最基本的数学思想。数学解题过程的实质就是转化过程，具体的说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“抽象”转化为“具体”，把“复杂问题”转化为“简单问题”，把“高次”转化为“低次”，在不断的相互转化中使问题得到解决。 可运用联想类比实现转化、利用“换元”、“添线”、消元法，配方法，进行构造变形实现转化、数形结合，实现转化。一般转化为特殊，有些代数问题，通过构造图形，化抽象为具体，借助直观启发思维，转化为易解的几何问题。有些不易解决的几何题通过辅助线转化为代数三角的知识来证明，有些结构比较复杂的问题，可以简化题中某一条件，甚至暂时撇开不顾，先考虑一个简化的问题，这种简化题对于证明原题常常能起到引路的作用。把实际问题转化为数学问题。结合解题进行化归思想方法的训练的做法：a、化繁为简；b、化高维为低维；c、化抽象为具体；d、化非规范性问题为规范性问题；e、化数为形；f、化实际问题为数学问题； g、化综合为单一；h、化一般为特殊。 有加减法的转化，乘除法的转化，乘方与开方的转化，添辅助线，设辅助元等等都是实现转化的具体手段。因此，首先要认识到常用的很多数学方法实质就是转化的方法 应用：A将未知向已知转化；B将陌生向熟知转化；C方程之间的转化；D平面图形间的转化；E空间图形与平面图形的转化；F统计图之间的相互转化。 例子：减法转化成加法（减去一个数等于加上这个数的相反数）；除法转化成乘法（除以一个不等于零的数等于乘以这个数的倒数）；多项式的先化简再代入求值；单项式乘单项式可化归为有理数乘法和同底数幂的乘法运算；单项式乘多项式和多项式乘多项式都可以化归为单项式乘单项式的运算；将求负数的立方根转化为求正数的立方根的相反数；实数近似运算中据问题需要取近似值，从而转化为有理数计算；将异分母分式的加减转化为同分母分式的加减；将分式的除法转化成分式的乘法；将分式方程转化为整式方程求解；将分子的次数不低于分母次数的分式用带余除法转化为整式部分和分式部分的和；将方程的复杂形式化为最简形式；通过立方程把实际问题转化为数学问题；通过解方程把未知转化为已知；把一元二次方程转化为一元一次方程求解；把二元二次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程从而求解；通过转化为解方程实现实数范围内二次三项式的分解、方程中字母系数的确定；角度关系的证明和计算；平行线的性质和判定；把几何问题向平行线等简单的熟悉的基本图形转化；特殊化（特殊值法、特殊位置、设项、几何中添辅助线等）；图形的变换（轴对称、平移、旋转、相似变换）；解斜三角形（多边形）时将其转化为解直角三角形； （二）、数形结合思想 数学的研究对象是现实世界中的数量关系（“数”）和空间形式（“形”），而“数”和“形”是相互联系、相互渗透的，一定条件下也是可以互相转化的，因此，在解决问题时，常需把同一问题的数量关系与空间形式结合起来考查，利用数的抽象严谨和形的直观表意，把抽象思维和形象思维结合起来，把数量关系问题通过图形性质进行研究，或者把图形性质问题通过数量关
高中物理数学物理法(一)解题方法和技巧及练习题及解析
高中物理数学物理法(一)解题方法和技巧及练习题及解析 一、数学物理法 1．如图所示，ABCD是柱体玻璃棱镜的横截面，其中AE⊥BD，DB⊥CB，∠DAE=30°， ∠BAE=45°，∠DCB=60°，一束单色细光束从AD面入射，在棱镜中的折射光线如图中ab所示，ab与AD面的夹角α=60°．已知玻璃的折射率n=1.5，求：（结果可用反三角函数表示） （1）这束入射光线的入射角多大？ （2）该束光线第一次从棱镜出射时的折射角． 【答案】（1）这束入射光线的入射角为48.6°； （2）该束光线第一次从棱镜出射时的折射角为48.6° 【解析】 试题分析：（1）设光在AD面的入射角、折射角分别为i、r，其中r=30°， 根据n=，得： sini=nsinr=1.5×sin30°=0.75 故i=arcsin0.75=48.6° （2）光路如图所示： ab光线在AB面的入射角为45°，设玻璃的临界角为C，则： sinC===0.67 sin45°＞0.67，因此光线ab在AB面会发生全反射 光线在CD面的入射角r′=r=30° 根据n=，光线在CD面的出射光线与法线的夹角： i′="i=arcsin" 0.75=48.6° 2．一玩具厂家设计了一款玩具，模型如下．游戏时玩家把压缩的弹簧释放后使得质量m＝0.2kg的小弹丸A获得动能，弹丸A再经过半径R0=0.1m的光滑半圆轨道后水平进入光滑水平平台，与静止的相同的小弹丸B发生碰撞，并在粘性物质作用下合为一体．然后从平台O点水平抛出，落于水平地面上设定的得分区域．已知压缩弹簧的弹性势能范围为
p 04E ≤≤J ，距离抛出点正下方O 点右方0.4m 处的M 点为得分最大值处，小弹丸均看作 质点． (1)要使得分最大，玩家释放弹簧时的弹性势能应为多少? (2)得分最大时，小弹丸A 经过圆弧最高点时对圆轨道的压力大小． (3)若半圆轨道半径R 可调(平台高度随之调节)弹簧的弹性势能范围为p 04E ≤≤J ，玩家要使得落地点离O 点最远，则半径应调为多少?最远距离多大? 【答案】(1)2J (2) 30N (3) 0.5m ，1m 【解析】 【分析】 【详解】 (1)根据机械能守恒定律得： 2 1p 012 2E v mg R m = +? A 、B 发生碰撞的过程，取向右为正方向，由动量守恒定律有： mv 1=2mv 2 200122gt R = x =v 2t 0 解得： E p =2J (2)小弹丸A 经过圆弧最高点时，由牛顿第二定律得： 2 1N v F mg m R += 解得： F N =30N 由牛顿第三定律知： F 压=F N =30N (3)根据 2 p 1122 E mv mg R = +? mv 1=2mv 2 2R =1 2gt 2， x =v 2t
高中物理中常用的三角函数数学模型!!!
高中物理中常用的三角函数数学模型 数学作为工具学科，其思想、方法和知识始终渗透贯穿于整个物理学习和研究的过程中，为物理概念、定律的表述提供简洁、精确的数学语言，为学生进行抽象思维和逻辑推理提供有效方法.为物理学的数量分析和计算提供有力工具。 高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，借助物理知识渗透考查数学能力是高考命题的永恒主题。可以说任何物理试题的求解过程实质上是一个将物理问题转化为数学问题经过求解再次还原为物理结论的过程。高考物理考试大纲对学生应用数学工具解决物理问题的能力作出了明确要求。 一、三角函数的基本应用 在进行力的分解时，我们经常用到三角函数的运算.虽然三角函数学生初中已经学过，但笔者在多年的教学过程中发现，有相当一部分学生经常在这里出问题，还有一部分学生一直到高三都没把这部分搞清楚.为此，本人将自己的一些体会写出来，仅供大家参考. （一）三角函数的定义式 （二）探寻规律 1．涉及斜边与直角边的关系为“弦”类，涉及两直角边的关系为“切”类； 2．涉及“对边”为“正”类，涉及“邻边”为“余”类； 3．运算符：由直角边求斜边用“除以”，由斜边求直角边用“乘以”，为更具规律性，两直角边之间互求我们都用“乘以”. （三）速写 第一步：判断运算符是用“乘以”还是“除以”； 第二步：判断用“正”还是用“余”； 第三步：判断用“弦”还是用“切”. 即 （边）=（边）（运算符）（正/余）（弦/切） 1、由直角边求斜边 2、由斜边求直角边 3、两直角边互求 （四）典例分析 经典例题1 如图1所示，质量为m 的小球静止于斜面与竖直挡板之间，斜面倾角为θ，求小球对挡板和对斜面的压力大小分别是多少？ 【解析】 2所示。 θtan 1?=mg F 经典例题2 如图3所示，质量为，挡 挡板和使球压紧斜面，重力的分解如图4所示。 二、三角函数求物理极值 因正弦函数和余弦函数都有最大值（为1） 本形式，那么我们可以通过三角函数公式整理出正弦（或余弦）函数的基本形式，然后在确 定极值。现将两种三角函数求极值的常用模型归纳如下： 1．利用二倍角公式求极值 图 3 图 4
初中数学解题思想方法全部内容
初中数学解题思想方法全部内容 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 5、待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。 6、构造法
高中物理解题中涉及的数学知识
高中物理解题中涉及的数学知识 物理和数学是联系最密切的两门学科。运用数学工具解决物理问题的能力,是中学物理教学的最基本的要求。高中物理中用到的数学方法有:方程函数的思维方法,不等式法,极限的思维方法,数形结合法,参数的思维方法,统计及近似的思维方法,矢量分析法,比例法,递推归纳法,等等。现就“力学”与“电磁学”中常用数学知识进行归纳。 Ⅰ.力学部分：静力学、运动学、动力学、万有引力、功和能量与几何、代数知识相结合，从而增大题目难度，更注重求极值的方法。 Ⅱ.电磁学部分：电磁学中的平衡、加速、偏转及能量与圆的知识、三角函数，正余弦定理、相似三角形的对应比、扇形面积、二次函数求极值（配方法或公式法）、均值不等式 、正余弦函数、积化和差、和差积化、半角倍角公式、直线方程（斜率，截距）、对称性、)sin(cos sin 22?θθθ++=+b a b a a b =?tan 、数学归纳法及数学作图等联系在一起。 第一章 解三角形 三角函数 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，则有2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 变形公式： ::sin :sin :sin a b c C =A B ； 2、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 3、余弦定理：在 C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，推论：222 cos 2b c a bc +-A = 4、均值定理： 若0a >，0b >，则a b +≥，即2 a b +≥ ()2 0,02a b ab a b +??≤>> ??? ； 2 a b +称为正数a 、b a 、b 的几何平均数． 5、均值定理的应用：设x 、y 都为正数，则有 ⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值 2 4 s ． ⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值 1、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α= ． 2、弧度制与角度制的换算公式：2360π= ，1180 π = ． 3、若扇形的圆心角为()α α为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=， 2C r l =+，2112 2 S lr r α==． 4、角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=；()sin 2tan cos α αα =． 5、函数的诱导公式：
初中数学常用思想方法专题讲解
初中数学常用思想方法专题讲解 引入语 数学思想方法就是数学基础知识、基本技能的本质体现,就是形成数学能力、数学意识的桥梁,就是灵活应用数学知识与技能的灵魂、正确运用数学思想方法就是在中考数学中取得好成绩的关键、 解中考题时常用的数学思想方法有:整体思想、分类讨论思想、方程思想、转化的思想、数形结合思想、归纳与猜想的思想等、 中考解读 数学思想就是解决数学问题的灵魂,它在学习与运用数学知识的过程中起着关键性的指导作用、数学思想方法就是中考考查的重点内容之一,还因为它就是解决数学问题的根本策略,也就是学生数学素养的重要组成部分、数学思想总就是在解决问题的过程中体现出来,在中考中不会出现单纯的数学思想题目,这就增加了数学思想的掌握与训练的难度,但它也就是有规律的,只要勤于思考与总结,经过适当的训练,相信您一定能够掌握初中数学常用的思想方法、回顾近年全国各地的中考题,不难发现数学思想方法的考查频率越来越高,涉及的知识点也越来越多、预计2009年中考,对数学思想方法的考查可能呈现以下趋势:需要利用数学思想求解的题目稳中有增,涉及的知识点更加分散、其中,函数与方程思想的考查,很可能集中体现在应用题中;数形结合思想的考查以选择与填空为主;分类讨论思想的考查主要在求解函数、不等式、空间与图形、概率等问题中出现;……,总之,数学思想的掌握与训练应引起同学们的重视、 复习策略 由于数学思想总就是渗透在问题中,所以复习中要抓关键类型,突出重点知识与方法,比如方程思想与函数思想的联合复习等;要注意挖掘课本例、习题的潜在功能,以题思法,推敲其中的思想方法,多角度多侧面探讨条件的加强与弱化、结论的开放与变换、蕴含的思想方法、及与其她试题的联系与区别等,提高复习的效率、 题型归类 一、整体的思想 整体思想就是将问题瞧成一个完整的整体,把注意力与着眼点放在问题的整体结构与结构改造上,从整体上把握问题的内容与解题的方向与策略、运用整体思想解题,往往能为许多中考题找到简便的解法、 例1 (苏州市)若2 20x x --=, ( ) 分析:已知条件就是一个一元二次方程,通过求出方程的解再代入计算,当然可以得到结果,但就是显然很繁、注意到,条件可以转化为22x x -=,而且要求值的代数式中的未知部分都就是2 x x -,所以可以整体代入、 解:由条件得:22x x -=, 213、故应选A 、
集合运算中蕴涵的数学思想方法
集合运算中蕴涵的数学思想方法 江苏省姜堰中学 张圣官 （225500） 2003年教育部颁布的《普通高中数学课程标准》中，特别提到“强调本质，注意适度形式化”，其中写道“要使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的数学思想方法”。在数学教育的各个环节中渗透数学思想方法，不仅具有提高教学效果的近期功效，而且具有优化学生的认知结构、进而全面提高学生数学素质的远期功效，这已经成了大家的共识。然而，对数学材料本身所蕴涵的数学思想方法进行挖掘和提炼，并在数学解题中加以运用和完善，这一方面还需要我们进行探索与研究。本文拟就集合的交、并、补集运算中所蕴涵的数学思想方法作一点说明。 1.交集思想方法 假设有两个集合A 和B ，A={x|x 具有性质P 1}，B={x|x 具有性质P 2}，则A ∩ B ={x|x 具有性质P 1和P 2}。在研究同时具有性质P 1和P 2的对象时可以考虑运用交集思想方法。从哲学意义上讲，A 和B 反映的是个性，A ∩ B 反映的是共性，而A ∩ B ?A 和A ∩ B ?B 则表明共性存在于个性之中这一基本原理。 例1设A={（x ，y ）|x=m,y=3m+1,m ∈N + },B={（x ，y ）|x=n,y=a(n 2-n+1),n ∈N + }，问 是否存在非零整数a 使得A ∩ B ≠Φ？证明你的结论。 分析：集合A 、B 可化简为A={（x ，y ）|y=3x+1,x ∈N +}，B={（x ，y ）|y=a(x 2-x+1),x ∈N + }。 本题是探索性问题，先假设a 存在，然后开始研究。 简解：要使A ∩ B ≠Φ，即A 、B 有共同的元素，只要方程组?? ?+-=+=)1(132x x a y x y 至少有一组正整数解，也即是方程ax 2-（a+3）x+a-1=0至少有一个正整数解。 ∵a ≠0且a ∈Z ， 由⊿≥0，得3a 2-10a-9≦0，∴313253132 5+-≤≤a ， ∴a=1，2，3，4 。 经检验，a=1，4符合题意；a=2，3不符合。 ∴存在a=1或4 ，使得A ∩ B ≠Φ 。 评注：本题如果将A 、B 视为点集，那么问题就化归为求直线与抛物线的交点中是否存在整点的问题令人望而生畏。以上解法利用交集思想方法，从共性入手，从而由A 、B 的共性使问题获得了优解。 例2已知n 是同时满足以下两个条件的最小正整数：①是15的倍数；②各个数位上的数字都是0或8 。试求n 。 解：设A={15的倍数}，B={各个数位上数字都是0或8的正整数}，则所求的n 即为 A ∩B 中的最小元素。 ∵A={3的倍数}∩{5的倍数}={数字和是3的倍数的整数}∩{个位数是0或5的整数}， ∴A ∩B={个位数字是0，其余各个数位上是0或8，且8的个数是3的倍数的正整数}。 由n 是A ∩B 中最小的数即知，n=8880 。 2.并集思想方法 有些数学问题牵涉若干个体，如果用孤立静止的观点来考虑问题，则或过于繁冗或难以奏效。如果在挖掘各个个体间隐含的某种关系的基础上将各个个体合并（取并集）为一个有机整体进行处理，则往往会出奇制胜，这就是并集思想方法。从哲学意义上讲，这种合并可
高中物理中的数学知识与方法选读
高中物理中的数学知识与方法（选读） 目录： 前言 概念的描述与定义 矢量与矢量的运算 极限思想的体现 待定系数法的应用 （1）认识运动方程 （2）电学实验数据处理 解方程组 变力做功－数学和物理在解题思路中的差别 图象法解题 （1）识图辨析 （2）数形结合 导数在高中物理中的应用 （1）求速度和加速度 （2）求感应电动势 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，半径与轨迹的关系
前言 在多年的高中教学经历中，接触到很多学生在物理上学习得很努力、很认真，虽然在时间上大量的投入，但成绩总是差强人意。造成这种现象的原因其中之一是受到数学知识的制约，而很多物理问题都得用到数学工具和方法解决；另外一个原因是数学知识掌握得不错，平时数学成绩也好，但不能灵活运用到物理学习中来，对数学和物理两个学科只是独立地进行思考与学习，不能真正地融汇贯通。 高考《考试说明》中明确提出高中生应具备应用数学处理物理问题的能力，即能够根据具体问题列出物理量之间的数学关系式，根据数学的特点、规律进行推导、求解和合理外推，并根据结果得出物理判断、进行物理解释或作出物理结论。能根据物理问题的实际情况和所给条件，恰当地运用几何图形、函数图象等形式和方法进行分析、表达。能够从所给图象通过分析找出其所表达的物理容，用于分析和解决物理问题。 数学物理方法：对一个物理问题的处理，通常需要三个步骤：（1）利用物理定律将物理问题翻译成数学问题；（2）解该数学问题，其中解数学物理方程占有很大的比重，有多种解法；（3）将所得的数学结果翻译成物理，即讨论所得结果的物理意义。 数学与物理的联系：数学是物理的表述形式之一。其学科特点具有高度的抽象性，它能够概括物理运动的所有空间形式和一切量的关系。数学是创立和发展物理学理论的主要工具。物理原理、定律、定理往往直接从实验概括抽象出来，首先是量的测定，然后再建立起量的联系即数学关系式，其中就包含着大量的数学整理工作，本身就要大量的数学运算，才能科学地整理实验所观测到的量，找出它们之间的联系。 用数学语言来描述具体物理问题的能力培养，即能将具体问题转化为数学问题的能力，以期在数学技能与具体问题之间架起桥梁．在解决实际物理问题的时候，从建立坐标开始，包括确定自变量，找出函数关系以至积分上下限的确定等，都要以物理思想来指导．例如，
小学数学思想方法的梳理集合思想
小学数学思想方法的梳理（集合思想） 课程教材研究所王永春 十二、集合思想 1. 集合的概念。 把指定的具有某种性质的事物看作一个整体,就是一个集合(简称集),其中每个事物叫做该集合的元素(简称元)。给定的集合,它的元素必须是确定的,即任何一个事物是否属于这个集合,是明确的。如“学习成绩好的同学”不能构成一个集合，因为构成它的元素是不确定的；而“语文和数学的平均成绩在90分及以上的同学”就是一个集合。一个给定集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复出现。只要两个集合的元素完全相同，就说这两个集合相等。 集合的表示法一般用列举法和描述法。列举法就是把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法。描述法就是在花括号内写出规定这个集合元素的特定性质来表示集合的方法。列举法的局限性在于当集合的元素过多或者有无限多个时，很难把所有的元素一一列举出来，这时描述法便体现出了优越性。此外，有时也可以用封闭的曲线（文恩图）来直观地表示集合及集合间的关系，曲线的内部表示集合的所有元素。 一一对应是两个集合之间元素（这种元素不一定是数）的一对一的对应，也就是说集合Ａ中的任一元素a，在集合Ｂ中都有唯一的元素b与之对应；并且在集合Ｂ中的任一元素b，在集合Ａ中也有唯一的元素a与之对应。数集之间可以建立一一对应，如正奇数集合和正偶数集合之间的元素可以建立一一对应。其他集合之间也可以建立一一对应，如五(1)班有25个男生，25个女生，如果把男生和女生各自看成一个集合，那么这两个集合之间可以建立一一对应；再如，中国、美国、俄罗斯、英国、法国、德国作为一个集合，北京、华盛顿、莫斯科、伦敦、巴黎、柏林作为一个集合，这两个集合之间也可以建立一一对应。 2. 集合思想的重要意义。 集合理论是数学的理论基础，从集合论的角度研究数学，便于从整体和部分及二者的关系上研究数学各个领域的知识。如数系的扩展，从小学的自然数到整数，再到中学的有理数、无理数和实数，都可以从集合的角度来描述。有时用集合语言来表述有关概念更为简洁，如全体偶数的集合可表示为｛x|x＝2k，k∈Z｝。集合沟通了代数(数)和几何之间的关系，如y = kx ，既是正比例函数，又可以表示一条直线；也就是说在平面直角坐标系上，这条直线是由满足y = kx 的有序实数对所组成的点的集合。用集合图描述概念的分类及概念之间的关系，往往层次分明、直观清晰，如四边形的分类可以用文恩图表示。 3．集合思想的具体应用。 集合思想在小学数学的很多内容中进行了渗透。在数的概念方面，如自然数可以从对等集合基数（元素的个数）的角度来理解，再如在一年级通过两组数量相等的实物建立一一对应，让学生理解“同样多”的概念，实际上就是两个对等集合的元素之间建立一一对应；数的运算也可以从集合的角度来理解，如加法可以理解为两个交集为空集的集合的并集，再如求两数相差多少，通过把代表两数的实物图或直观图一对一地比较，来帮助学生理解用减法计算的道理；实际上就是把代表两数的实物分别看作集合Ａ、Ｂ，通过把Ａ的所有元素与Ｂ的部分元素建立一一对应，然后转化为求Ｂ与其子集（与Ａ等基）的差集的基数。此外，在小学数学中还经常用集合图表示概念之间的关系，如把所有三角形作为一个整体，看作一个集合，记为Ａ；把锐角三角形、直角三角形和钝角三角形各自看作一个集合，分别记为Ｂ、Ｃ、Ｄ，这三个集合就是集合Ａ的三个互不相交的子集，Ｂ、Ｃ、Ｄ的并集就是Ａ。再如在学习公因数和公倍数时，都是通过把两个数各自的因数和倍数分别用集合图表示，再求两个集合的交集，直观地表示了公因数和公倍数的概念。4．集合思想的教学。 集合思想在小学数学中广泛渗透，在教学中应注意以下几个问题。 第一，应正确理解有关概念。我们知道，两个数之间可以比较大小，但是两个集合之间无法直接比较大小，也就是说一般不说两个集合谁大谁小。如有两个集合A、B，当且仅当它们有完全相同的元素时，称A、B
(完整版)高中物理学习中常用的数学知识
高中物理学习中常用的数学知识 1、角度的单位——弧度（rad ） ①定义：在圆中，长度等于半径的弧长所对的圆心角为1弧度（1rad ）。 ②定义式：l r θ= 1rad=57.30 ③几个特殊角的弧度值： a. 30 (rad)6 π = o b. 45 (rad)4π = o c. 60 (rad)3 π = o d. 90 (rad)2π=o e. 2120 (rad)3π=o f. 5150 (rad)6 π=o g. 180 (rad)π=o h. 3270 (rad)2 π=o I. 3602 (rad)π=o 2、三角函数知识： ①几种三角函数的定义： 正弦：sin a c θ= 余弦：cos b c θ= 正切：tan a b θ= 余切：cot b a θ= ②关系：2 2 sin cos 1θθ+= sin tan cos θ θθ = cos cot sin θθθ= 1 tan cot θθ = ③诱导公式： sin(-θ)=sin θ cos(-θ)=-cos θ tan(-θ)= -tan θ cot (-θ)= -cot θ sin(900-θ)=cos θ cos(900-θ)=sin θ tan(900-θ)=cot θ cot (900-θ)=tan θ sin(1800-θ)=sin θ cos(1800-θ)=-cos θ tan(1800-θ)= -tan θ cot (1800-θ)= -cot θ θ a b c
θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ⑥半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） 2cos 12 sin θθ -± = 2cos 12sin 2θθ-= 2cos 12cos θθ+±= 2cos 12 cos 2 θθ += 2sin 2cos 12θθ=- 2 cos 2cos 12θθ=+ 2 sin 2cos )2sin 2(cos sin 12θ θθθθ±=±=± θ θθθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg ⑦和差角公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=± β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ±μ1)( )1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=±μ γ βγαβαγ βαγβαγβαtg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg ?-?-?-??-++= ++1)( 其中当A+B+C=π时,有:
数学物理方法
数学物理方法课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：数学物理方法 所属专业：物理、应用物理专业 课程性质：数学、物理学 学分：5 （二）课程简介、目标与任务 这门课主要讲授物理中常用的数学方法，主要内容包括线性空间和线性算符、复变函数、积分变换和δ-函数、数学物理方程和特殊函数等，适当介绍近年来的新发展、新应用。本门课程是物理系学生建立物理直观的数学基础，其中很多内容是为后续物理课程如量子力学、电动力学等服务，是其必需的数学基础。 这门课中的一些数学手段将在今后的基础研究和工程应用中发挥重要的作用，往往构成了相应领域的数学基础。一般来讲，因为同样的方程有同样的解，掌握和运用这些数学方法所体现的物理内容将更深入，更本质。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接 本课程以普通物理、高等数学和部分线性代数知识为基础，为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学问题作准备，也为今后工作中遇到的数学物理问题求解提供基础。 （四）教材：《数学物理方法》杨孔庆编 参考书：1. 《数学物理方法》柯朗、希尔伯特著 2. 《特殊函数概论》王竹溪、郭敦仁编著 3. 《物理中的数学方法》李政道著 4. 《数学物理方法》梁昆淼编 5. 《数学物理方法》郭敦仁编 6. 《数学物理方法》吴崇试编 二、课程内容与安排 第一部分线性空间及线性算子 第一章R3空间的向量分析 第一节向量的概念 第二节R3空间的向量代数
第三节R3空间的向量分析 第四节R3空间的向量分析的一些重要公式 第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析 第一节R3空间中的曲线坐标系 第二节曲线坐标系中的度量 第三节曲线坐标系中标量场梯度的表达式 第四节曲线坐标系中向量场散度的表达式 第五节曲线坐标系中向量场旋度的表达式 第六节曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符▽2的表达式第三章线性空间 第一节线性空间的定义 第二节线性空间的内积 第三节Hilbert（希尔伯特）空间 第四节线性算符 第五节线性算符的本征值和本征向量 第二部分复变函数 第四章复变函数的概念 第一节映射 第二节复数 第三节复变函数 第五章解析函数 第一节复变函数的导数 第二节复变函数的解析性 第三节复势 第四节解析函数变换 第六章复变函数积分 第一节复变函数的积分 第二节Cauchy（柯西）积分定理 第三节Cauchy（柯西）积分公式 第四节解析函数高阶导数的积分表达式 第七章复变函数的级数展开
小学数学中常见的数学思想方法有哪些.
小学数学中常见的数学思想方法有哪些？ 1、对应思想方法 对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线上的点（数轴）与表示具体的数是一一对应。 2、假设思想方法 假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。 3、比较思想方法 比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。 4、符号化思想方法 用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学内容，这就是符号思想。如数学中各种数量关系，量的变化
及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式、等。 5、类比思想方法 类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简洁。 6、转化思想方法 转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。 7、分类思想方法 分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数；按约数的个数分质数和合数。又如三角形可以按边分，也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。