用洛必达法则巧解导数问题

应用洛必达法则巧解导数问题. 近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则，充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注重考查进入高校继续学习的潜能。为此，高考数学试题常与大学数学知识有机接轨，以高等数学为背景的命题形式成为了热点.

许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型.这类题目容易让学生想到用分离参数法，一部分题用这种方法很奏效，另一部分题在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决，高中阶段解决它只有一条路——分类讨论和假设反证的方法.

虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法求解，但这种方法往往讨论多样、过于繁杂，学生掌握起来非常困难.研究发现利用分离参数的方法不能解决这部分问题的原因是出现了00”型的式子，而这就是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是洛必达法则.

洛必达法则：设函数()f x 、()g x 满足：

（1）lim ()lim ()0x a x a

f x

g x →→==； （2）在()U a o

内，()f x '和()g x '都存在，且()0g x '≠； （3）()lim ()

x a f x A g x →'=' （A 可为实数，也可以是±∞）. 则()()lim lim ()()

x a x a f x f x A g x g x →→'=='.（可连环使用） 注意 使用洛必达法则时，是对分子、分母分别求导，而不是对它们的商求导，求导之后再求极限得最值。

已知函数ln ()1a x b f x x x

=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=. （Ⅰ）求a 、b 的值； （Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x >

+-，求k 的取值范围. （Ⅰ）略解得1a =，1b =.

（Ⅱ）方法一：分类讨论、假设反证法

由（Ⅰ）知ln 1()1x f x x x =++，所以所以22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x

---+=+--. 考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x

--(0)x >，则22(1)(1)2'()k x x h x x -++= (i)当0k ≤时，由22

2

(1)(1)'()k x x h x x +--=知，当1x ≠时，'()0h x <.因为(1)0h =，

所以当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得

2

1()01h x x ⋅>-；当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，可得 21()01h x x ⋅>-，从而当0x >且1x ≠时，ln ()()01x k f x x x -+>-，即ln ()1x k f x x x

>+-； （ii ）当01k <<时，由于当1(1,)1x k

∈-时，2(1)(1)20k x x -++>，故'()0h x >，而(1)0h =，故当1(1,)1x k ∈-时，()0h x >，可得21()01h x x ⋅<-，与题设矛盾. （iii ）当1k ≥时， '()0h x >，而(1)0h =，故当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，可得21()01h x x

⋅<-，与题设矛盾.综上可得，k 的取值范围为(0]-∞，. 常规解法

注：分三种情况讨论：①0k ≤；②01k <<；③1k ≥不易想到.尤其是②01k <<时，许多考生都停留在此层面，举反例1(1,)1x k

∈-更难想到.而这方面根据不同题型涉及的解法也不相同，这是高中阶段公认的难点，即便通过训练也很难提升.

运用洛必达和导数解2011年新课标理

当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x >

+-，即ln 1ln 11x x k x x x x

+>++-， 也即2ln 1ln 2ln 1111x x x x x x k x x x x <+-=++--，记22ln ()11x x g x x =+-，0x >，且1x ≠ 则2222

222222(1)ln 2(1)2(1)1'()=(ln )(1)(1)1

x x x x x g x x x x x ++-+-=+--+， 记221()ln 1

x h x x x -=++，则22

222214(1)'()+=0(1+)(1+)x x h x x x x x --=>， 从而()h x 在(0,)+∞上单调递增，且(1)0h =，因此当(0,1)x ∈时，()0h x <，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >；当(0,1)x ∈时，'()0g x <，当(1,)x ∈+∞时，'()0g x >，所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.

注：本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数k 分离出来.然后对分离出来的函数22ln ()11x x g x x

=+-求导，研究其单调性、极值. 此时遇到了“当=1x 时，函数()g x 值没有意义”这一问题，很多考生会陷入困境.如果考前对优秀的学生讲洛必达法则的应用，再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效方法.

当然这一法则出手的时机：（1）所构造的分式型函数在定义域上单调

（2）是

00

型。 运用洛必达和导数解2010新课标理

设函数2()1x f x e x ax =---. （Ⅰ）若0a =，求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.

解：（Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，即21x e x ax --≥.

①当0x =时，a R ∈；②当0x >时，2

1x e x ax --≥等价于21x e x a x --≤. 记21()x e x g x x --= (0+)x ∈∞，，则3

(2)2'()x x e x g x x -++=. 记()(2)2x h x x e x =-++ (0+)x ∈∞，，则'()(1)1x h x x e =-+，当(0+)x ∈∞，时，

''()0x h x xe =>，所以'()(1)1x h x x e =-+在(0+)∞，上单调递增，且'()'(0)0h x h >=，

所以()(2)2x h x x e x =-++在(0+)∞，上单调递增，且()(0)0h x h >=，因此当(0+)

x ∈∞，时，3()'()0h x g x x

=>，从而21()x e x g x x --=在(0+)∞，上单调递增. 由洛必达法则有，

20000111lim ()lim lim lim 222

x x x x x x x e x e e g x x x →→→→---==== 即当0x →时，1()2g x →

，所以当(0+)x ∈∞，时，所以1()2g x >，因此12a ≤. 综上所述，当12

a ≤且0x ≥时，()0f x ≥成立. 通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足：

① 可以分离变量；

②用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性； ③出现“

00

”型式子.