(完整版)导数公式运算习题课

1 xlna
⑧
1 x
⑨f′(x)±g′(x)
⑩f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ⑪f′(x)g(xg)－2(xf)(x)g′(x)
第一章 导数及其应用
1.下列结论正确的个数为
()
①y＝ln2，则y′＝12 ②y＝x12，则y′|x＝3＝－227 ③y
＝2x，则y′＝2xln2 ④y＝log2x，则y′＝xl1n2
第一章 导数及其应用
2．对导数的运算法则的理解： (1)两个函数和(或差)的函数的求导法则 设 函 数 f(x) ， g(x) 是 可 导 的 ， 则 [f(x)±g(x)]′ ＝ f′(x)±g′(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个 函数的导数的和(或差)． (2)两个函数积的函数的求导法则 设函数f(x)，g(x)是可导的，则[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x) ＋f(x)g′(x)．即两个函数积的导数，等于第一个函数的导 数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的 导数．
第一章 导数及其应用
5．已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，又f(2x＋ 1)＝4g(x)，且f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30，求g(4)．
解：由f(2x＋1)＝4g(x)，得 4x2＋2(a＋2)x＋(a＋b＋1)＝4x2＋4cx＋4d，
于是有aa＋＋2b＝＋21c＝，4d.
① ②
由f′(x)＝g′(x)，得2x＋a＝2x＋c，
∴a＝c.③
由f(5)＝30，得25＋5a＋b＝30.④
∴由①③可得a＝c＝2.
第一章 导数及其应用
又由④，得b＝－5.再由②，得d＝－12. ∴g(x)＝x2＋2x－12.故g(4)＝16＋8－12＝427.
第一章 导数及其应用
1.对基本初等函数的导数公式的理解： (1)基本初等函数的求导公式只要求记住公式的形式， 学会使用公式解题即可，对公式的推导不要求掌握．(2) 要注意幂函数与指数函数的求导公式的区别，这是易错 点．
第一章 导数及其应用
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①y＝ln2为常数，所以y′＝0，①错；②③④
均正确，直接利用公式即可验证．
答案：D
第一章 导数及其应用
2．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：y′|x＝2＝n·2n－1＝12，解得n＝3. 答案：C
第一章 导数及其应用
(3)y′＝(3x4＋2x3＋5)′＝12x3＋6x2. (4)y′＝(sinx＋tanx)′ ＝(sinx)′＋(csoinsxx)′ ＝cosx＋(sinx)′coscxo－s2sxinx(cosx)′ ＝cosx＋cosx·coscxo＋s2xsinx·sinx ＝cosx＋co1s2x.
第一章 导数及其应用
2．导数运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝⑨________. (2)[f(x)·g(x)]′＝⑩________. (3)[gf((xx))]′＝⑪________.
第一章 导数及其应用
自我校对：①0 ②nxn－1 ③cos x ④－sin x
⑤axlna ⑥ex ⑦
1 g(x)
]′
＝－g[g′(x()x])2.
第一章 导数及其应用
例1 求下列函数的导数． (1)y＝tanx； (2)y＝3x2＋x·cosx； (3)y＝( x－2)2－sin2x·cos2x.
第一章 导数及其应用
[分析] 求函数的导数主要有直接求导和先变形然后
再求导两种方法，要注意正确区分．
[解] (1)y′＝(tanx)′＝(
sinx cosx
)′＝
(sinx)′co(scxo－sxs)i2nx(cosx)′＝cos(2cxo＋sxs)i2n2x＝co1s2x.
(2)y′＝(3x2＋x·cosx)′＝(3x2)′＋(x·cosx)′＝6x＋
x′·cosx＋x·(cosx)′＝6x＋cosx－xsinx.
第一章 导数及其应用
练 1 求下列函数的导数：
(1)y＝6 x； (2)y＝log3x； (3)y＝3x4＋2x3＋5； (4)y＝sinx＋tanx. [解] (1)∵y＝6 x＝x16， ∴y′＝(x16)′＝16x16－1＝16x－56. (2)y′＝(log3x)′＝xl1n3.
第一章 导数及其应用
第一章 导数及其应用
推论：常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的
导数．
即[cf(x)]′＝cf′(x)．
(3)两个函数商的函数的求导法则
设函数f(x)，g(x)是可导的，且g(x)≠0，则[
f(x) g(x)
]′＝
f′(x)g(x)－f(x)g′(x) [g(x)]2
，特别地，当f(x)＝1时，有[
(3)y′＝[(
x
－2)2－sin
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 2
·cos
x 2
]′＝[(
x －2)2]′－( 12
sinx)′＝(x－4 x＋4)′－12cosx＝1－ 2x－12cosx.
第一章 导数及其应用
[点拨] 理解和掌握求导法则和公式的结构是灵活进 行求导运算的前提条件，当函数解析式较为复杂时，应 先变形，然后求导，当函数解析式不能直接用公式时， 也要先变形，使其符合公式形式．
基本初等函数的导数公式及导数的运 算法则习题课
第一章 导数及其应用
1.基本初等函数的导数公式 (1)若f(x)＝c，则f′(x)＝①________. (2)若f(x)＝xn，则f′(x)＝②________. (3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝③________. (4)若f(x)＝cos x，则f′(x)＝④________. (5)若f(x)＝ax，则f′(x)＝⑤________. (6)若f(x)＝ex，则f′(x)＝⑥________. (7)若f(x)＝logax则f′(x)＝⑦________. (8)若f(x)＝ln x，则f′(x)＝⑧________.
3．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋
y－1＝0，则
()
A．f′(x0)>0 C．f′(x0)＝0 答案：B
B．f′(x0)<0 D．f′(x0)不存在
第一章 导数及其应用
4．函数y＝sixnx的导数为________． 解析：y′＝(sinx)′x－x2sinx·(x)′＝xcosxx－2 sinx. 答案：xcosxx－2 sinx