八年级数学下册16_3二次根式的混合运算导学案无答案新版新人教版
(完整)【人教版】八年级数学下第十六章《二次根式》课时作业(含答案),推荐文档
第十六章二次根式16. 1 二次根式第1课时二次根式的概念01 基础题知识点1二次根式的定义F 列式子不是二次根式的是 （B ） A. -5 B. J3— nC. 0.5A.J — 7B.^mC. 1 + x 2D. 2x 3.已知 卫是二次根式，则a 的值可以是(C ) A . — 2B .— 1C . 2D . — 5 4.若.一3x 是二次根式，则x 的值可以为答案不唯一 ，^口：一 1（写出一个即可）. 知识点2二次根式有意义的条件5. x 取下列各数中的哪个数时，二次根式 x — 3有意义（D ）A . — 2B . 0C . 2D . 4 6.（2017 •安）要使二次根式 2x — 4在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（B ）A . x > 2B . x > 2C . x v 2D . x = 2 7. 当x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？⑴• — x ；解：由一x > 0,得 x < 0.⑵ 2^+6 ；解：由 2x + 6>0,得 x >— 3.（3） X 2；解：由x 2>0,得x 为全体实数.1⑷一4— 3x解：由 4 — 3x>0,得 xv*.2. F 列各式中，一定是二次根式的是1.3A . 1个C . 3个(2017济宁)若•. 2x — 1+ 1 — 2x + 1在实数范围内有意义，则x 满足的条件是(C)使式子■ — ( x — 5) 2有意义的未知数x 的值有1 个.若整数x 满足|x|w 3,则使.7— x 为整数的x 的值是3或一2.16.要使二次根式2 — 3x 有意义，则x 的最大值是f. 1解：X>~2 x —4>0, 解：由 得x >4. x —3 工 0 知识点3二次根式的实际应用 &已知一个表面积为12 dm 2的正方体，则这个正方体的棱长为(B)A . 1 dmB. 2 dmC. 6 dmD . 3 dm 9.若一个长方形的面积为 10 cm 2,它的长与宽的比为 5 : 1,则它的长为5* 2cm ,宽为 2cm. 02 中档题10. ②2x :③x 3:④.三•其中，二次根式的个数有(A)11. B . D . 1 A . x > 1 B . x < 112.使式子一-寸x + 3A . 5个C . 4个 卜4 —3x 在实13. B . 3个D . 2个1 如果式子谄+有意义，那么在平面直角坐标系中点A(a , b)的位置在(A)A .第一象限C .第三象限 B .第二象限D .第四象限 14.15. 17. 当x 是怎样的实数时 F 列各式在实数范围内有意义?F 列各式中：①⑵K ；解: x> 0 且x M 1.⑶.1—|x|；解：一1 w x W 1.(4) x - 3+q詔一x.解：3< x W 4.03综合题18. 已知a, b分别为等腰三角形的两条边长,且a, b 满足b= 4 + 3a-6+ 3 2 - a,求此三角形的周长.解：••• 3a-6> 0, 2-a> 0,••• a= 2, b = 4.当边长为4, 2, 2时，不符合实际情况，舍去；当边长为4, 4, 2时，符合实际情况，4X 2 + 2 = 10.•此三角形的周长为10.第2课时二次根式的性质01 基础题知识点1 a> 0(a> 0)1. (2017荆门)已知实数m, n满足|n—2|+ m+ 1 = 0,贝U m+ 2n的值为3.2. 当x = 2 017时，式子2 018—寸X—2 017有最大值，且最大值为2 018. 知识点2 ( a)2= a(a > 0)3. 把下列非负数写成一个非负数的平方的形式：(1) 5= (,5)2」(2)3.4 = (. '3.4)2；(3)1= C 6)2;- (4)x = ( . x)2(x > 0).4. 计算：(.2 018)2= 2 018 .5. 计算：(1)( 0.8)2；解：原式=解：原式=0.8.34(3) (5 2)2;解：原式=25 X 2= 50.(4) ( —2 6)2.解：原式=4 X 6= 24.知识点 3 . a2= a(a>0)6. 计算 (—5) 2的结果是(B)A. —5B. 5C. —25D. 257. 已知二次根式.X2的值为3,那么x的值是(D)A . 3B . 9C. —3D. 3 或—3&当a> 0时，化简：』9a2= 3a.9. 计算：(1) 49;解：原式=7.⑵.(—5) 2；解：原式=5.⑶ /(-3)2；1解：原式=3.(4) 6—21解：原式二1.知识点4代数式10. 下列式子不是代数式的是 (C)3 A . 3xB: x C . x>3D . x — 3 11.下列式子中属于代数式的有 (A) ①0;② x ;③ x + 2 :④ 2x ;⑤ x = 2 :⑥x>2 :⑦.x 2+ 1；⑧ x 丰 2. A . 5个B . 6个C . 7个D . 8个02 中档题12. 下列运算正确的是(A)A . — , (— 6) 2=— 6B . (— 3)2= 9C.p (- 16) 2 = ±16 D . — (—V5)2 = — 25 13. 若a v 1,化简I (a — 1) 2— 1的结果是(D)A . a — 2B . 2— aC . aD . — a 14.(2017枣庄)实数a , b 在数轴上对应点的位置如图所示 ,化简|a|+ . (a — b ) 2的结果是(A) C . — b D . bA . — 2a + bB . 2a — b15. 已知实数x, y, m满足,x + 2 + |3x+ y+ m|= 0,且y为负数，则m的取值范围是(A)B. m v 6D. m v —616. 化简：.(2 —5) 2=「』5- 2.17. 在实数范围内分解因式：x2— 5 = (x + 5)(x —5).18. 若等式 (x —2) 2= ( x —2)2成立，则x的取值范围是X》2.19. 若,a2= 3, ,b = 2,且ab v 0,则a— b =二二.20. 计算：(1) —2 - (—8)2；1解：原式=一2X -8__ 1=—4(2) 4X 10—4；解：原式=2 X 10—2.(3) (2 -3)2—(4 .2)2;解：原式=12 —32=—20.⑷.(£)2+“「-23)2.解：原式=21+ 213 321. 比较211与3.5的大小.解：••• (2 .11)2= 22X ( .11)2= 44, (3 , 5)2= 32X ( 5)2= 45,又•/ 44V 45,且 2 11> 0, 3 5> 0, ••• 2 11V 3 ,5.22. 先化简a+ .1 + 2a+ a2,然后分别求出当a=—2和a= 3时，原代数式的值.解：a+ 1 + 2a+ a2= a+ , (a+ 1) 2= a+ |a+ 1|,当a= —2 时，原式=—2+ |—2+ 1|= —2 + 1 = —1; 当a= 3 时，原式=3 + |3+ 1|= 3+ 4= 7.03 综合题23. 有如下一串二次根式：①,52—42;②.172—82;③.372—122;④ P52—162…(1) 求①，②，③，④的值；(2) 仿照①，②，③，④，写出第⑤个二次根式；⑶仿照①，②，③，④，⑤，写出第二次根式，并化简.解：⑴①原式=9= 3.②原式=■ $225 = 15.③原式=1 225 = 35.④原式=*3 969 = 63.⑵第⑤个二次根式为1012-202= 99.(3) 第个二次根式\[ (4n2+ 1) 2—( 4n) 2.化简：J( 4n2+ 1) 2—( 4n) 2= ( 4n2—4n+ 1)—( 4n2+ 4n+ 1) .(2n —1) 2(2n+ 1) 2= (2n —1)(2n + 1).5. 计算：2 6X （— 3 6） = - 36.6. 一个直角三角形的两条直角边分别为a = 2 ,3 cm ,b = 3,6 cm ,那么这个直角三角形的 面积为9 ?2cm 2.7. 计算下列各题：9. （2017益阳）下列各式化简后的结果是 A..6 B..12C.18D. 3601 基础题16.2 二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法知识点 1 a • b = ,ab(a 》0, b > 0)1. 计算,2X ,3的结果是（B ） A. 5 C .2.3 2. 下列各等式成立的是(D)B. .6D . 3 23. 下列二次根式中，与.2的积为无理数的是（B ）(1) -3X 5; 解：原式=15. =5.解：原式=,25(3)( — 3 2) X 2 7;解：原式=—6叮2 X 7=—6 .14.知识点 2 ab = a • b(a >0, b >0)3 2的结果是（C ） C. 18F 列各式正确的是10. 化简（—2）2X 8X 3的结果是（D）A. 2 24B.—2 24C. —4 .6D. 4 .611. 化简：(1) 100 x 36 = 60;(2) 2?= y 石.12. 化简：⑴ 4X 225;解：原式=-；［：4 X ：；225= 2X 15= 30.⑵.300;解：原式=103.(3) . 16y;解：原式=4皙y.(4) . 9x2y5z. 解：原式=3xy2・,yz.13. 计算：(1)3 6 X 2 12 ; 解：原式=6 _62X 2= 36 2.解：原式=,2a2b= a .2b.02 中档题14. ,50 • a的值是一个整数，则正整数a的最小值是(B)A. 1B. 2C. 3D. 515. 已知m=(—才)X (-2 21),则有(A)A. 5< m v 6B. 4v m v 5C. —5< m<—4 D . —6< m< —516. 若点P(a, b)在第三象限内，化简.a2b2的结果是ab.17. 计算：(1) . 75X 20 X ■, 12;解：原式=,25=60 詔5.⑵■. (—14)X(—112);解：原式=,14X 112=,2X 72X 42=,2X ,'72X ,42=28 2⑶—32X 45X 2;解：原式=—3X 16X 2 2=—96 2.(4) 200a5b4c3(a>0, c>0).解：原式=• 2 X 102•( a2) 2• a •( b2) 2• c2• c =10a2b2c ,2ac.18. 交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v = 16. df,其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m）, f表示摩擦因数，在某次交通事故调查中，测得d= 20 m, f = 1.2,肇事汽车的车速大约是多少？（结果精确到0.01 km/h）解：当 d = 20 m, f = 1.2 时，v= 16 df = 16X 20X 1.2= 16 24 = 32.6^ 78.38.答：肇事汽车的车速大约是78.38 km/h.19. 一个底面为30 cm X 30 cm的长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10 cm的长方体铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20 cm,铁桶的底面边长是多少厘米？解：设铁桶的底面边长为x cm,则x2X 10= 30X 30X 20, x2= 30X 30X 2,x= 30X 30X 2= 30,2.答：铁桶的底面边长是30 2 cm.03 综合题20. （教材P16“阅读与思考”变式）阅读：古希腊的几何家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别a |b |c . ________________________为a、b、c.记：p = 2 ,则三角形的面积S=pf p （p —a）（p—b）（p—c）,此公式称为“海伦公式”.思考运用：已知李大爷有一块三角形的菜地，如图，测得AB = 7 m, AC= 5 m, BC = 8 m,你能求出李大爷这块菜地的面积吗？试试看解：T AB = 7 m, AC = 5 m, BC= 8 m,a +b +c 7+ 5 + 8 p= = = 10.2 2••• S= .. p ( p —a)( p—b) ( p —c)=10X( 10 —7 )X( 10—5)X( 10—8)=10X 3 X 5X 2 = 10 3.•李大爷这块菜地的面积为1叶3 m2.第2课时二次根式的除法01 基础题知识点 i 律=.b （a >o , b > o ）C3C. 23. 下列运算正确的是(D)A. .50 - 5 = 10 C. 32 + 42 = 3 + 4= 7 4. 计算：^f= 25. 计算：以上答案都不对B. 10吃 5 = 2 2 D. 27「3= 36.下列各式成立的是（A ） 3= _355X — 1X — 1（X — 2）2= X —2，那么x 的取值范围是10 + 2 = (A)1 •计算: (B)(1) 40 + 5; 解：原式=8 = 2；::.2. 4.15 ； 解：原式=6. 'a=虻0,⑷a>0).解：原式=2a. 知识点2 b > 0)，‘ —9 =刍D 「'9 + 1 = .9+ - 订=3| 7.实数0.5的算术平方根等于（C ）C72"A . 2B. .2 1D.2&如果(D)A.5B . 1 v x w 2D. x > 2 或 x w 19.化简：⑴.'100 ；解：原式=一 了一 = _7^00 10知识点3最简二次根式11. 把下列二次根式化为最简二次根式:(1) 2.5;解：原式=“ ；2 = 2°.解：原式=2 .'10.⑶护 解：原式=；"=3.A . 1< x w 2 C . x >2 10. (2017荆州)下列根式是最简二次根式的是A A /3B. ,0.3C. 3(C) D/.20解：原式=1 3X 2.5 5 30.02 中档题12. 下列各式计算正确的是(C)A.-48 = 16 3 C 症=亚 C .6,32C. 214. 在①14;②.a 2+ b 2;③27;④，m 2+ 1中，最简二次根式有15. 如果一个三角形的面积为 15, 一边长为16. 不等式2 ,2x - 6> 0的解集是 J^. 17. 化简或计算:0.9X 121(1)100X 0.36；33、，. 10 11 一10 x = 6 10 20 .(2)12 + 27x (— 18);解：原式=—寸丐尹 = Mx 3x 2x 9=—”3x 9=—2 2.解：原式=；3 一…<3=3x 2 3=6二 3.(A)27x 12 3, 那么这边上的高为 3个. 2j5.B.=1D^54a 2b =9 剧解：原式= 32X112 62X 109X 121 36 x 10 110(4)V12X 邰.解：原式==5^3xyy18. 如图，在Rt A ABC 中，/ C= 90° , S SBC = .18 cm1 2, BC = . 3 cm, AB = 3.3 cm, CD丄AB 于点D.求AC , CD的长.=,ab.④(1) 上述解答过程从哪一步开始出现错误？请写出代号②;(2) 错误的原因是什么？(3) 请你写出正确的解法.解：(2) •/ b<a, ••• b —a<0.•••(b —a)2的算术平方根为a— b.=-a •—!>/ab)=■. ab.化简: (b<a<0).1 1解：••• S A ABC = 2AC - BC = 2AB - CD ,16.3 二次根式的加减 第1课时二次根式的加减 01 基础题 知识点1可以合并的二次根式 1. (2016巴中)下列二次根式中，与.3可以合并的是(B) A. .18 C. 24 2.下列各个运算中 A. 12 — 2 C. . 8a 2+ ,2a B. 3.若最简二次根式 D. 0.3 ,能合并成一个根式的是(B) B. .18— 8 D. , x 2y + xy 2 2x + 1和.4x — 3能合并，则x 的值为(C) 1 3 A . — 2 B .4 C . 2 D . 5 4.若，,m 与，18可以合并，则m 的最小正整数值是(D) A . 18 B . 8 C . 4 知识点2二次根式的加减 5. (2016桂林)计算3 5— 2 .5的结果是(A) A. 5 C . 3 5 6.下列计算正确的是(A) A. .12 — .3= 3 C . 4 3— 3 3 = 1B . 2 5 D . 6 B. 一 2+ . 3= 5 D . 3 + 2,2= 5.2 7.计算一27— 3 .'18— 48的结果是(C) A . 1 B . —1C . — ,3 — 2 D. 2 — 3 8 .计算12+ ( .2 — 1)的结果是(A) A . 2 ,2— 1 B . 2— , 2 C . 1 — .2D . 2 + .2 9.长方形的一边长为 8,另一边长为.50,则长方形的周长为14 一 2 . 10 .三角形的三边长分别为 20 cm , .40 cm , 45 cm,这个三角形的周长是 11 .计算： (1)2 3 —宁； (5.5 + 2 10)cm.1解：原式= 3 ,3=2 .⑵.16x + 64x ; 解：原式=4 x + 8 x=(4 + 8) x =12.x.⑶.125— 2 ,5+ 45;解：原式=5 5— 2 ,5+ 3 5 =6 5.⑷(2017 黄冈)27 — 6 —解：原式=3看3 — 6 33=— .6.02 中档题12. 若.x 与.2可以合并，则x 可以是(A)A . 0.5B . 0.4C . 0.2D . 0.1 13. 计算 |2— .5|+ |4— .5|的值是(B)A . — 2B . 2C . 2 5— 615. 若 a , b 均为有理数，且 8 + ■. 18+ 8= a + b 2,则 a = 0, b =才.16.已知等腰三角形的两边长分别为 2 7和55,则此等腰三角形的周长为 2 ；7+17. 在如图所示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的实数相乘都得出同样的结果 18. 计算：(1) 18+ 12— ,8 — 27; 解：原式=3 2+ 2.3— 2 2 — 33 =(3 ,2 — 2 ,2) + (2 . 3— 3 ,3)=.2— 3.14. 计算4辽A. 3+ 2 3 C. 38的结果是(B) B. .3D. ,3 — .2个空格中的实数之和为 4,2.2卫13诉26,则两⑵ b . 12b 3 + b 2 48b ;解：原式=2b 2 3b + 4b 2 3b =6b 2 3b.2解：原式=3 5+ 3 3— 3 . 3 — 5.5⑷ 3( 2 — 27) — 2( ,3— .2).解：原式= 4 八 9 3- 1 3 + ； 2=(3+2) .2-(4+ 1).3=83 -鈔1732〜4.62.03 综合题20. 若a ,b 都是正整数，且a v b , a 与b 是可以合并的二次根式，是否存在a ,b ，使a +b = .75?若存在，请求出a , b 的值；若不存在，请说明理由. 解：T 羽与是可以合并的二次根式，百+小={75, 二•，a+ •, b = .;.75= 5；：：..:3 •/ a<b ,.•.当 a = 3,则 b = 48; 当 a = 12,则 b = 27.—12）的近似值（结果保留小数点后两位 ).⑶(.45+ , 27)-=恥-^1^. 19.解：原式=,3 — 43 — , 3+ 43第2课时二次根式的混合运算01 基础题 知识点1二次根式的混合运算 ⑴ 3( ,5— .2); 解：原式=,15- 6. (2) ( ,24+ , 18)十 2; 解：原式=2 . 3+ 3. (3) ( 2+ 3)( .2+ 2); 解：原式=8 + 5 2. （4）（ m + 2 , n ）（ m — 3 . n ）. 解：原式=m — ,mn — 6n. 知识点2二次根式与乘法公式 7. （2017天津）计算: & （2016包头）计算:1 解：原式=11. 化简.2( ,2+ 2)的结果是(A A . 2+ 2 2 B . 2+ 2 C . 4 D . 3 2 计算0.12 - ,3) 3的结果是(D) A . — 1 C •空 （2017南京）计算: .12+ .8X ,6的结果是 6. 3. (.24 + ：6)x 6 = 13. 计算：週/严=2贾+ 1 . 计算： (4 + .7)(4 — 7)的结果等于9. —(,3 + 1尸=—4.02 中档题11. 已知 a = .5+ 2, b = 2— 5,则 a 2 018b 2 017 的值为(B)A.-，... 5 + 2B . — ■, :5 — 2C . 1D . — 112. 按如图所示的程序计算，若开始输入的n 值为2,则最后输出的结果是(C)A . 14 C . 8+5 .2 13.计算： (1) (1 — 2 ,2)(2 .2 + 1); 解：原式=一 7. (2) 12 占 + 导); 解：原式二，12诈+ %3) =12壬 ' 12 12 =2 3X m/3 —24 —1「 (3) (4 V 6 — 4寸|+ 3电)-2^2; 解：原式一(4 6 — 2 2 + 6.2)- 2 2 —(4 ,6 + 4 ,2) - 2 2 —2.3+ 2. ⑷ 24X - ；；-4X 解：原式=2〔6X^3 — 41 =2 2— .2B . 16 D . 14+ 2 0=,2.14. 计算：(1) (1 - .5)( 5+ 1) + ( .5- 1)2；解：原式=1 — 5+ 5+ 1-2 5=2-2 5.(2) ( .3 + 2- 1)( 3- 2 + 1).解：原式=(,3尸一(2 - 1)2=3-(2 + 1-2 2)=3-2-1+2 2=2 2.15. 已知a = .7+ 2, 7 - 2,求下列代数式的值：(1) ab 2 + ba 2; (2)a 2- 2ab + b 2; (3)a 2 -b 2.解：由题意得 a + b =(寸7+ 2) + (”J 7 — 2) = 2 7,a -b = ( .7+ 2)- ( .7-2) = 4, ab = ( .7 + 2)( 7-2) = ( . 7)2-22= 7-4= 3.(1) 原式=ab(b + a)= 3X 2 ,7= 6 ,7.⑵原式=(a — b)2= 42= 16.(3) 原式=(a + b)(a — b) = 2 .7X 4= 8 .7.03 综合题16. 观察下列运算：① 由(，2 + 1)( .2- 1)= 1,得 —= 2- 1; 1 ② 由(，3 + ,2)( .3— -2)= 1 ,n 的式子表示出来;^2 018 + 72017)% ("2 018 + 3 4. 解：(1)(2)原式=(.2 - 1 + .3 - . 2 + 4 - .3 + …+ 2017 -2 016 + . 2 018 - 2 017) X ( 2 018+ 1)=(-1 + 2 018)( .2 018 + 1)=2 017.小专题(一)二次根式的运算3 通过观察你得出什么规律？用含4 利用(1)中你发现的规律计算：+ .4^. 3 + 1 .2 017 + 2 0161 __________ —----------=n + 1- n(n > 0). ,n + 1 + .. n 1.3+ . 2类型i与二次根式有关的计算i •计算：(1)6 2 X 6;1 ____解：原式=(6 X 3) 2 X 6=2 12=4 3.(2)( - 4 5)解：原式=—4 5讯5 X电')5=—4 5七 54—3.(3) .72 —2 2 + 2 18;3解：原式=6 2—2 .2+ 6 2=12 2— 3 2(4) (2 .5+ 3) X (2 .5 —.3). 解：原式=(2 ,5)2—( 3尸=20 — 3=17.(2)( 6+ ,10X . 15)X ,3; 解：原式=3,2+ 5.6X. 3 =3 .2+15 2=18 2.解：原式=5 — 2— -+ 5 + 3Y 2*2=2 5- 1.类型2与二次根式有关的化简求值4. 已知 a = 3 + 2 ,2，b = 3-2 ,2,求 a 2b - ab 2的值.解：原式=a 2b - ab 2= ab(a — b).当 a = 3+ 2 2, b = 3 - 2 . 2时，原式=(3 + 2 . 2)(3- 2.2)(3 + 2.2- 3 + 2 2)=4-J2.5. 已知实数a , b ,定义“★”运算规则如下： 的值.解：由题意，得2★ . 3 = . 3.••• "★ ( ,2★ ,3)= 7★ 3= 7-3= 2.⑷(.12 -4 £) — (3 - # - 4 ,°.5)；解：原式=2 3- 2 - 3+ 2 2 =_ 3+ . 2.⑸(3 2- . 6)2-(-3 ,2- ,6)2. 解：原式=(3 2- 6)2-(3 .2+ 6)2=18 + 6 - 12 3-(18 + 6+ 12 3) =-24 3.3•计算:解：原式=1 + 2 3 - 3-2 ,3 =-2.b (a < b ),求.7★ ( ,2★ . 3) a 2-b 26. 已知x= 2 +叮3,求代数式(7 —4 3)x2+ (2 —, 3)x + 3的值.解：当x = 2 +• 3时，原式=(7 — 4 3) X (2 + 3)2+ (2 —3) X (2 + 3) + 3=(7—4-J3) X (7 + 4J3) + 4 —3+ 3=49 —48 + 1 + 3=2+ 3.1117. (2017 襄阳)先化简，再求值：+ ^) —^二，其中x = 5+ 2, y = 5—2.x + y x —y xy + y2x解：原式=(x+y) (x—y) y(x+y)=2xyx—y.当x = .5+ 2, y = ；5— 2 时，原式=2 卫+ 2 )(75-2)-J5 + 2 —/ 5 + 21=2.&小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 2=(1 + 2)2,善于思考的小明进行了以下探索：设a+ b 2 = (m + n . 2)2(其中a, b, m, n 均为正整数),则有a+ b . 2= m2+ 2n2+ 2 2mn, ••• a= m2+ 2n2, b= 2mn.这样小明就找到了一种把a+ b ,2的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1) 当a, b, m , n均为正整数时，若a+ b . 3 = (m+ n. 3)2,用含m, n的式子分别表示a, b,得a= m2+ 3n2, b= 2mn;(2) 利用所探索的结论，找一组正整数a, b, m, n填空：4+ 2」3= (1 + 3)2；(答案不唯一)(3) 若a+ 4 ,3= (m+ n, 3)2,且a, m, n均为正整数，求a的值.a= m2+ 3n2,解：根据题意，得4 = 2mn.■/ 2mn = 4,且m, n为正整数，• m = 2, n= 1 或m= 1, n = 2.• a= 7 或13.章末复习（一）二次根式7.计算：(1)(2017 湖州)2X (1 - . 2) + ,8; 解：原式=2 — 22 + 2.2=2.⑵(4 .3+ 3 6)乞.3;解：原式=4』3吃・_3 + 2 3 =2 + 3 . 2.(3)； .''32 — 2 75 + 0.5— 解：原式=2 2— 10 3 +屮—彳=(2 + p X .2+ (- 10-3)X .3(4) (3 .2— 2 3)(3 . 2+ 2 .3). 解：原式=(3 ,2)2—(2, 3)201基础题 知识点1二次根式的概念及性质 （2016黄冈）在函数y = "+ 4中，自变量x 的取值范围是（C ）A . x>0B . x >— 4C . x >— 4 且 X M 0D .x>0 且 x M — 4 （2016自贡）下列根式中，不是最简二次根式的是（B ）A. 10B. 8C. 6D. ,2 若xy v 0,贝U x 2y 化简后的结果是（D ）1. 2. 3.A . x yB . x — yC . — x ，— y知识点2二次根式的运算4. 5. 6. 与一〔5可以合并的二次根式的是（C ）A. .10B. .15C. 20D. ,25（2017十堰）下列运算正确的是 A. 2 + .3 = 5 B . C. 8 + 2 = 2 D . 计算5 r /5X 士所得的结果是(C)2 2X3 .2= 6.232— 2= 3=9X 2-4X 3=6.知识点3二次根式的实际应用&两个圆的圆心相同，它们的面积分别是 25.12和50.24.求圆环的宽度 d.（取3.14,结果保留小数点后两位）=16— 8= 4 — 2 2〜1.17.答：圆环的宽度d 约为1.17.02 中档题9.把一a 中根号外面的因式移到根号内的结果是 （A ）A.J — a B .—■ a10.已知x + ~= 7,则x —-的值为(C) x xA. . 3 B . ±2C . ± .3 D. .7a 的点如图所示,化简.（a — 5）2+ |a — 2|的结果为3解: 50.24 ； 3.14 .一 25.12:3.1411.在数轴上表示实数12. (2016 青岛)计算：'''^3^2'^= 2•13. 计算：(3 + 2严(3-2)3=J .14. 已知x= ；1,贝U x2+ x+ 1 = 2.15. 已知16-n是整数，则自然数n所有可能的值为0, 7, 12, 15, 16 .16. 计算：(1) ( 3+ 1)( 3- 1) - .16+(2)-1；解：原式=3 —1-4+ 2=0.(2) ( .3+ .2- 6)2-( 2 —.3 + .6)2解：原式=(,3 + .2- ,6 + .2- 3 + . 6)X (• 3 + ■ 2—6-■ 2+〔3-■ 6)=2 2X (2 3-2 ,6)=4 J6 —&J3.17. 已知x= .3+ 7, y = '. 3-. 7,试求代数式3x2-5xy + 3y2的值.解：当x = ,3+ 7, y = ■ 3—7时，3x2- 5xy + 3y2=3(x2- 2xy + y2)+ xy=3(x - y)2+ xy=3( .3 + 7- ,3+ ,7)2+ ( ,3+ 7)X ( , 3- . 7)=3X 28- 4=80.18. 教师节要到了，为了表示对老师的敬意，小明做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老师，其中一张面积为800 cm2,另一张面积为450 cm2,他想如果再用金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他现在有1.2 m长的金彩带，请你帮助算一算，他的金彩带够用吗？如果不够还需买多长的金彩带？(.2-1.414,结果保留整数)解：正方形壁画的边长分别为• 800 cm, 450 cm.镶壁画所用的金彩带长为4 X ( 800 + 450) = 4 X (20.2+ 15 2)= 140 2~ 197.96(cm). 因为1.2 m= 120 cm v 197.96 cm,所以小明的金彩带不够用，197.96 —120= 77.96~ 78(cm).故还需买约78 cm长的金彩带.03 综合题19. 已知a, b, c 满足|a—“J8汁苹b —5+ (c —18)2= 0.(1) 求a, b, c的值；(2) 试问以a, b, c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由.解：(1)由题意，得a—8= 0, b—5= 0, c—18= 0,即a= 22, b= 5, c= 3 2.(2) •/ 2 2 + 3 2= 5 ,2>5,•••以a, b, c为边能构成三角形.三角形的周长为 2 2 + 3 2 + 5 = 5 2 + 5.••• AC =晉=2 38= 2 6(cm), 2S S BC 2低2 厂CD= AB = 3 ;3= 3 -6(cm).03 综合题19. 阅读下面的解题过程，根据要求回答下列问题.a .. b3 * * * *—2ab2+ a2bb—a 、 a解：原式=b—a b(b—卫)了①a；b—U ②(2) ( 2+ ,3)( 2—3)；解：原式=—1.(3) ( .5+ 3 2)2 3.解：原式=23 + 6 10.10. (2016 盐城)计算：(3 —.7)(3 + .7)+ .2(2—2).解：原式=9 —7+ 2 ,2 — 2=2 2.1③由(^4+V3)^/4^ V3)=1,得^4+= V4-V3；二次根式第31页共29页。
16.3二次根式的加减课件+2023-—2024学年人教版数学八年级下册
同类项合并就是字母不变，系数相加减。
新课学习
二次根式的加减
7.5dm
现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，
能否采用如图的方式，在这块木板
5dm
上截出两个分别是8dm2和18dm2的
dm
dm
正方形木板？
( + )dm
问题转化为比较7.5dm与( + )dm的大小。
新课学习
( + )
复习导入
2、把下列各根式化简
(1) 12
2
3
1
(5)
2
2
2
(2) 48
4
3
(6) 32
4
2
(3) 18
3
2
(4) 50
5
2
1
(7) 45 (8) 1
3
3
5
2
3
3
导入新课
计算下列各式：
（1）2x+3x
5x
（2）2x5-5x5+5x5
2x5
（3）3x+2x+3y
5x+3y
（4）3a2-2a2+a3
a2+a3
先化为最简二次根式
把同类二次根式合并。
二次根式的加减与整式的加减根据都是分配律，它们的
运算实质也基本相同。
拓展提升
1.解下列方程和不等式．
（1）
x+
−
=2x+1
+
（2） （x-1）＞3（x+1）
分析：（1）先将分母有理化，再解方程即可解答本题；
（2）根据解不等式的步骤进行解答即可，注意不等号的方向。
16.3.2二次根式的混合运算作业课件++2023-2024学年人教版八年级数学下册
解：(2)因为 4＜5＜9，所以 2＜ 5 ＜3，即－3＜－ 5 ＜－2，所以 2＜5－ 5 ＜3， 所以 a＝2，b＝5－ 5 －2＝3－ 5 ，则 4ab－b2＝4×2×(3－ 5 )－(3－ 5 )2＝24－8 5 －9＋6 5 －5＝10－2 5
10．(教材 P14 练习 T2 变式)计算： (1)(2 7 ＋3 3 )(2 7 －3 3 )； 解：原式＝(2 7 )2－(3 3 )2＝28－27＝1
(2)( 5 ＋2)2－( 5 －2)2； 解：原式＝( 5 ＋2＋ 5 －2)( 5 ＋2－ 5 ＋2)＝2 5 ×4＝8 5
(3)(2 6 ＋5)2023(2 6 －5)2023－( 2 －1)2. 解：原式＝[(2 6 ＋5)(2 6 －5)]2023－[( 2 )2－2 2 ＋1]＝(24－25)2023－3＋2 2 ＝ －1－3＋2 2 ＝2 2 －4
C．(2 2 － 3 )( 2 ＋ 3 )＝(2 2 )2－( 3 )2＝5
D．( 3 － 1 )2＝3－2＋1 ＝4
3
33
7．若 a＝ 3 ＋ 2 ，b＝ 3 － 2 ，则 a 与 b 之间的关系是( C )
A．a＋b＝0 B．a－b＝0
C．ab＝1 D．ab＝－1
8．计算： (1)(2023·山西)( 6 ＋ 3 )( 6 － 3 )的结果为__3__； (2)( 3 ＋ 2 )2－ 24 ＝__5__． 9．已知长方形的长为(2 5 ＋3 2 ) cm，宽为(2 5 －3 2 ) cm，则长方形的面积 为__2__cm2.
解：原式＝( 5 )2－( 2 )2＋( 3 )2－2 3 ＋1＝5－2＋3－2 3 ＋1＝7－2 3
16．在一个边长为( 3 ＋ 2 )cm 的正方形内部挖去一个边长为( 3 － 2 )cm 的正 方形(如图)，求剩余部分(阴影)的面积．
最新人教版八年级数学下册第十六章 二次根式导学案(全章)
第十六章 二次根式导学案二次根式(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。
三、学习过程 （一）复习回顾：（1）已知a x =2，那么a 是x 的______;x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
（二）自主学习(1)16的平方根是 ；(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满足关系式25t h =。
如果用含h 的式子表示t ，则t = ； (3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ； (4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。
思考：16，5h ，πs,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征.定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做_____________1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34)0(3≥a a ，12+x2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。
所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。
43、根据算术平方根意义计算 ：(1) 2)4((2)（3）2)5.0( （4）2)31( 根据计算结果，你能得出结论：，其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
人教版八年级数学下册单元导学案-第十六章 二次根式(单元学案)
人教版八年级数学下册单元导学案16.1.1 二次根式（第1课时）学习目标1.能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念.2.知道被开方数必须是非负数的理由,知道二次根式本身是一个非负数.(难点)3.会求二次根式中被开方数字母的取值范围.(重点)学习过程一、合作探究【问题1】你能用带有根号的式子填空吗?(1)面积为3的正方形的边长为 ,面积为S 的正方形的边长为 .(2)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t (单位:s)与开始落下的高度h (单位:m)满足关系h=5t 2,如果用含有h 的式子表示t ,则t= .【问题2】上面得到的式子√3,√S,√ℎ5有什么共同特征?【问题3】你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗?什么样的式子叫做二次根式?追问:在二次根式的概念中,为什么要强调“a ≥0”?【问题4】你能比较√a 与0的大小吗?二、跟踪练习1.下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:√2,√33,1x ,√x (x>0),√0,√24,-√2,1x+y,√x +y (x ≥0,y ≥0).2.当x 是多少时,√3x -1在实数范围内有意义?3.当x是什么实数时,下列各式有意义.;(3)√-x2;(4)√x-2−√2-x.(1)√3-4x;(2)√xx-1三、变化演练1.使式子√1-x有意义的x的取值范围是.2+x2.若|x-y|+√y-2=0,则x y-3的值为.3.若√x+1+√y-3=0,则(x-1)2+(y+3)2=..求x2+y2的值.4.若x,y为实数,且y=√1-4x+√4x-1+12四、达标检测(一)选择题1.下列式子中,是二次根式的是()3 C.√x D.xA.-√7B.√72.下列式子中,不是二次根式的是()A.√4B.√16C.√8D.1x3.已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是()A.5B.√5D.以上皆不对C.154.(2017东营中考)若|x2-4x+4|与√2x-y-3互为相反数,则x+y的值为()A.3B.4C.6D.9(二)填空题5.当√2x+3在实数范围内有意义时,x的取值范围是.x6.若√3-x+√x-3有意义,则√x-2=.(三)解答题7.如图,长方形ABCD在直角坐标系中,边BC在x轴上,B点坐标为(m,0)且m>0,AB=a,BC=b,且满足b=√6-a−√a-6+8.(1)求a,b的值及用m表示出点D的坐标;(2)连接OA ,AC ,若△OAC 为等腰三角形,求m 的值;(3)△OAC 能为直角三角形吗?若能,求出m 的值;若不能,说明理由.参考答案一、合作探究问题1√3,√S,√ℎ5问题2都表示一个非负数(包括字母或式子表示的非负数)的算术平方根. 问题3 √a (a ≥0)一般地,我们把形如√a (a ≥0)的式子叫做二次根式,“√ ”称为二次根号. 因为负数没有算术平方根,所以二次根式的被开方数一定是非负数. 问题4当a>0时,√a 表示a 的算术平方根,因此√a >0, 当a=0时,√a 表示0的算术平方根,因此√a =0, 这就是说,√a (a ≥0)是一个非负数. 二、跟踪练习1.解:二次根式有:√2,√x (x>0),√0,-√2,√x +y (x ≥0,y ≥0); 不是二次根式的有:√33,1x ,√24,1x+y . 2.解:由3x-1≥0,得x ≥13,当x ≥13时,√3x -1在实数范围内有意义. 3.(1)x ≤34 (2)x ≥0且x ≠1 (3)x=0 (4)x=2 三、变化演练 1.x ≤1且x ≠-22.12解析:因为|x-y|≥0,√y -2≥0,所以x=y=2,x y-3=12.3.13 解析:由题意知,x=-1,y=3,所以原式=(-1-1)2+(3+3)2=40.4.解:由题意知x=14,y=12,原式=(14)2+(12)2=516.四、达标检测 1.A 2.D 3.B4.A 解析:因为|x 2-4x+4|与√2x -y -3互为相反数, 所以|x 2-4x+4|+√2x -y -3=0,所以{x 2-4x +4=0,2x -y -3=0,则{x =2,y =1. 所以x+y=3. 5.x ≥-32且x ≠0 6.137.解:(1)∵√6-a 与√a -6有意义,∴{6-a ≥0,a -6≥0.∴a=6, ∴b=8.∵B 点坐标为(m ,0),四边形ABCD 是矩形, ∴D (m+8,6);(2)∵AB=6,BC=8, ∴AC=√62+82=10, ∵B (m ,0),∴OA 2=m 2+62=m 2+36,OC=m+8,当OA=AC 时,m 2+36=100,解得m=8或m=-8(舍去); 当AC=OC 时,10=m+8,解得m=2;当OA=OC 时,m 2+36=(m+8)2,解得m=-74(舍去). 综上所述,m=8或m=2; (3)能.∵m>0,点C 在x 轴上, ∴只能是∠OAC=90°,∴OA 2+AC 2=OC 2,即m 2+36+100=(m+8)2,解得m=92.人教版数学八年级下册导学案16.1.2 二次根式(第2课时)学习目标1.理解二次根式的性质(√a )2=a (a ≥0),并能利用这一结论进行计算.(重点)2.掌握二次根式的基本性质:√a 2=|a|,进行计算和化简.(难点)3.了解代数式的意义,会判断一个式子是否是代数式.学习过程一、合作探究1.根据算术平方根的意义填空: (√3)2= ,(√5)2=,(√23)2= ,(√0)2=从以上等式中,同学们能得出结论:(√a )2= 2.计算:√42=,√0.22=,√(45)2= ,√202= .观察其结果与根号内幂底数的关系,归纳得到:当a>0时,√a 2= .3.计算:√(-4)2= ,√(-0.2)2= ,√(-45)2= ,√(-20)2= .观察其结果与根号内幂底数的关系,归纳得到:当a<0时,√a 2= . 4.计算:√02= ,当a=0时,√a 2= . 归纳总结:将上面做题过程中得到的结论综合起来,得到二次根式的又一条非常重要的性质: √a 2=|a|={a ,a >0,0,a=0,-a ,a <0.二、跟踪练习1.计算:(1)(√32)2= ,(2)(3√5)2=,(3)(√56)2= .2.化简:(1)√0.32= ,(2)√(-0.5)2= ,(3)√(-6)2= ,(4)√(2a )2= (a<0).3.(1)化简:√(a -3)2(a ≥3) (2)√2x +32(x<-2)4.把下列非负数写成一个数的平方的形式: (1)5 (2)3.4 (3)16 (4)x (x ≥0)三、变化演练1.填空:(1)√(2x -1)2-(√2x -3)2(x ≥2)= .(2)√(π-4)2= .(3)若a ,b ,c 为三角形的三条边,则√(a +b -c )2+|b-a-c|= .2.已知2<x<3,化简:√(x -2)2+|x-3|.3.在实数范围内分解下列因式: (1)x 2-2 (2)x 4-9四、达标检测(一)选择题1.√(3-√10)2的值等于( )A.±(3-√10)B.3±√10C.3-√10D.√10-32.化简:√x 2-6x +9-(√3-x )2=( ) A.2x-6 B.0 C.6-2x D.2x+63.下列各式中,二次根式有( )①√(-3)2;②√12-13;③√(a -b )2;④√-a 2-1;⑤√83.A.2个B.3个C.4个D.5个4.下列运算中,错误的有( )①√125144=1512;②√(-4)2=±4;③√-22=-√22=-2;④√116+14=14+12.A.1个B.2个C.3个D.4个(二)填空题5.当1<x<3时,|1-x|+√x 2-6x +9= .6.我们知道:√32=3,√72=7,将两等式反过来得到:3=√32,7=√72,据此我们可以化简:如3×√13=√32×13=√3和7×√27=√72×27=√14,按照上面的方法,化简下列各式:(1)2×√12= ;(2)6×√512= . 7.化简√(1-√3)2的结果是 .8.已知1<x<2,则式子√(x -1)2+|x-2|化简的结果为 . 9.化简:√(-3)2= .10.化简(√3-a )2+√(a -3)2= .11.已知0≤x ≤3,化简√x 2+√x 2-6x +9= .参考答案一、合作探究1.35230a2.40.24520a3.40.24520-a4.00.二、跟踪练习1.(1)32(2)45(3)562.(1)0.3(2)0.5(3)6(4)2a3.解:(1)原式=a-3(2)原式=-2x-34.解:(1)(√5)2(2)(√855)2(3)(√66)2(4)(√x)2三、变化演练1.(1)2(2)4-π(3)2a2.解:√(x-2)2+|x-3|=x-2+3-x=1.3.解:(1)x2-2=(x+√2)(x-√2).(2)x4-9=(x2+3)(x2-3)=(x2+3)(x+√3)(x-√3).四、达标检测1.D2.B3.B4.D5.26.(1)√2(2)√157.√3-18.19.310.6-2a11.3人教版数学八年级下册导学案16.2.1 二次根式的乘除(第1课时)学习目标1.理解√a·√b=√ab(a≥0,b≥0),√ab=√a·√b,并利用它们进行计算和化简.(重点)2.通过探究特殊练习,总结归纳一般规律,二次根式乘法法则√a·√b=√ab(a≥0,b≥0),再进行逆向思维得√ab=√a·√b(a,b取值有何要求),最后通过讲练结合,掌握二次根式乘法计算与化简.(难点)学习过程一、合作探究1.计算:(1)√4×√9=,√4×9=(2)√16×√25=,√16×25=(3)√100×√36=,√100×36=2.根据上题计算结果,用“>”“<”或“=”填空:(1)√4×√9√4×9(2)√16×√25√16×25(3)√100×√36√100×36同学们讨论上面的练习存在什么规律,如果用字母怎么表示?√a·√b√ab(a≥0,b≥0),√ab√a·√b(a≥0,b≥0).二、跟踪练习ay21.计算:(1)√16×√8(2)5√5×2√15(3)√12a3·√132.化简:(1)√20;(2)√18;(3)√24;(4)√54;(5)2b2三、变式演练1.若2=√x+3·√x-3,则x的取值范围是()A.x≥3B.x≤-3C.-3≤x≤3D.不存在根号外的因式移入根号内的结果是()2.把a√-1aA.√-aB.-√-aC.√aD.-√a3.化简:(1)√(-36)×16×(-9);(2)√362+482;(3)√x3+6x2y+9xy2.四、达标检测(一)选择题1.等式√x+1·√x-1=√x2-1成立的条件是()A.x≥1B.x≥-1C.-1≤x≤1D.x≥1或x≤-12.下列各等式成立的是()A.4√5×2√5=8√5B.5√3×4√2=20√5C.4√3×3√2=7√5D.5√3×4√2=20√63.二次根式√(-2)2×6的计算结果是()A.2√6B.-2√6C.6D.12=0,则√b2·√a·√c=()4.若|a-2|+b2+4b+4+√c2-c+14A.4B.2C.-2D.15.下列各式的计算中,不正确的是( ) A.√=√-4×√-6=(-2)×(-4)=8 B.√4a 4=√4×√a 4=√22×√(a 2)2=2a 2C.√32+42=√9+16=√25=5D.√132-122=√(13+12)(13-12)=√13+12×√13-12=√25×1=5 (二)化简与计算6.(1)√360;(2)√32x 4;(3)√18×√30;(4)√3×√2757.计算:(1)6√8×(-2√6);(2)√8ab ×3;8.不改变式子的值,把根号外的非负因式适当变形后移入根号内. (1)-3√23 (2)-2a √12a参考答案一、合作探究略二、跟踪练习1.解:(1)原式=8√2 (2)原式=50√3 (3)原式=2a 2y2.解:(1)原式=2√5;(2)原式=3√2;(3)原式=2√6;(4)原式=3√6;(5)原式=2ab √3. 三、变式演练1.A 解析:要使√x 2-9=√x +3·√x -3有意义,必须x+3≥0且x-3≥0,解得x ≥3,故选A .2.B 解析:∵a<0,∴a √-1a =-√a 2×(-1a )=-√-a ;故选B .3.解:(1)√(-36)×16×(-9)=√36×16×9=√62×42×32=√62×√42×√32=6×4×3=72;(2)√362+482=√(12×3)2+(12×4)2=√122×(32+42)=√122×√52=12×5=60;(3)√x 3+6x 2y +9xy 2=√x (x +3y )2=√(x +3y )2·√x =(x+3y )√x . 四、达标检测1.A2.D3.A4.B5.A6.解:(1)原式=6√10 (2)原式=4√2x 2 (3)原式=6√15 (4)原式=√25 7.解:(1)原式=-48√3 (2)原式=4√3ab 2 8.解:(1)原式=-√32×23=-√9×23=-√6. (2)原式=-√(2a )2·12a =-√4a 2·12a =-√2a .人教版数学八年级下册导学案16.2.2 二次根式的乘除(第2课时)学习目标1.掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质.(重点)2.能熟练进行二次根式的除法运算及化简.(难点)学习过程一、合作探究填空:(1)√9√16= ,√916= ;规律:√9√16√916; (2)√1636= ,√1636= ;√16√36 √1636; (3)√4√16= ,√416= ;√4√16√416; (4)√36√81= ,√3681= ;√36√81√3681. 一般地,对二次根式的除法规定:√a √b= (a ≥0,b>0),反过来,√b= (a ≥0,b>0).二、跟踪练习1.计算:(1)√12√3(2)√32÷√18 (3)√14÷√116 (4)√6482.化简:(1)√364(2)√64b 29a 2 (3)√9x 64y 2 (4)√5x169y 2注:1.当二次根式前面有系数时,类比单项式除以单项式法则进行计算:即系数之商作为商的系数,被开方数之商作为被开方数.2.化简二次根式达到的要求:(1)被开方数不含分母;(2)分母中不含有二次根式.三、变式演练1.阅读下列运算过程:√3=√3√3×√3=√33√5=√5√5×√5=2√55数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”.利用上述方法化简: (1)6= (2)32= (3)12=(4)√102√5=四、达标检测(一)选择题1.计算√6a ÷√3a 的结果是( )A.√2B.√22C.√2aD.√2a22.下列计算正确的是( ) A.√3÷√5=15√3 B.√3÷√25=15√3 C.√125÷√5=√5 D.√x ÷x=√x3.等式√3x -1x -2=√3x -1√x -2成立的条件是( )A.x>13 B.x ≥13 C.x>2D.13≤x<24.如果ab>0,a+b<0,那么下面各式:①√ab =√a√b,②√a b ·√b a =1,③√ab ÷√ab=-b ,其中正确的是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③5.计算:√2×√6√3-1的结果是( )A.1B.√2C.√3D.√6(二)填空题6.计算:13√12x ÷2√13x = . 7.计算:√3×√5√5= .8.计算:√6√24的结果为 ,√3×√6÷√2= .9.有一个矩形的面积是√30 m 2,宽为√5 m,则它的长是 m . (三)计算题 10.计算:(1)6√6÷3√3;(2)√18÷8×√272.11.将下列各式化成最简二次根式:(1)√2-2;(2)√12xy÷23√y.12.化简35√xy5÷(-415√yx)·(-56√x3y).参考答案一、合作探究略二、跟踪练习1.解:(1)2(2)2√3(3)2(4)2√22.解:(1)√38(2)8b3a(3)38y√x(4)√5x13y三、变式演练略四、达标检测1.A解析:原式=√6a=√2,故选A.2.B解析:A.√3÷√5=√3√5=√155,故本选项错误;B.√3÷√25=√3√25=15√3,正确;C.√125÷√5=√125√5=√5√5=5,故本选项错误;D.√x÷x=√xx,故本选项错误,故选B.3.C解析:∵等式√3x-1x-2=√3x-1√x-2成立,∴{3x -1≥0,x -2>0,解得x>2.故选C .4.B 解析:∵ab>0,a+b<0, ∴a<0,b<0,①√ab =√ab,被开方数应大于等于0,a ,b 不能做被开方数,故①错误,②√ab ·√b a =√a b ·ba =√1=1,故②正确. ③√ab ÷√a b =√ab ÷√ab-b =√ab ·√ab=-b ,故③正确. 故选B .5.A 解析:原式=√12√3-1=2-1=1,故选A .6.x 解析:13√12x ÷2√13x =13·2√3x ÷2·√3x3x =23×3x2√3x ÷3x =x.故答案为x.7.5√3 解析:原式=√3×√5×√5=5√3,故答案为:5√3. 8.123 解析:√624=√624=√14=12,√3×√6÷√2=√3×6÷2=3.故答案为123.9.√6 解析:∵有一个矩形的面积是√30m 2,宽为√5m,∴它的长是√30÷√5=√6m .故答案为√6.10.解:(1)原式=(6÷3)×√6÷3=2√2;(2)原式=3√2×1×√272=9√3.11.解:(1)原式=(√2-1)√22=1-√22;(2)原式=√18x =3√2x . 12.解:原式=35×(-154)×(-56)×√xy 5·xy ·x 3y =158x 2y 2√xy .人教版数学八年级下册导学案16.3.1 二次根式的加减(第1课时)学习目标1.理解同类二次根式,并能判定哪些是同类二次根式.(重点)2.理解和掌握二次根式加减的方法.(重点)3.先提出问题,分析问题,在分析问题中,渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再总结经验,用它来指导根式的计算和化简.(难点)学习过程一、合作探究1.计算.(1)2x+3x ;(2)2x 2-3x 2+5x 2;(3)x+2x+3y ;(4)3a 2-2a 2+a 22.(小组互助)学生活动:类比着计算1,尝试计算下列各式.(小组互助)(1)2√2+3√2=(2)2√8-3√8+5√8= (3)√7+2√7+√9×7= (4)3√3-2√3+√2=总结:(1)二次根式的被开方数相同也是可以合并的,如2√2与√8表面上看是不相同的,但它们可以合并吗?也可以.(与整数中同类项的意义相类似,我们把3√3与-2√3,3√a ,-2√a 与4√a 这样的几个二次根式,称为同类二次根式)(2)二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将同类二次根式进行合并.二、跟踪练习1.下列计算正确的是( )A.√45-2√5=√5B.√2+√3=√5C.3+√2=3√2D.√(-16)(-9)=√-16·√-92.下列根式中能与√3合并的二次根式为( ) A.√32B.√24C.√12D.√183.与-√5是同类二次根式的是( ) A.√10B.√15C.√20D.√254.计算:3√48-9√13+3√18-4√18.5.化简:√32-4√0.5+3√8;三、变式演练(1)√12−(√1-√1); (2)(√48+√20)+(√12−√5); (3)x √1x+√4y −√x2+y √1y; (4)2x √9x −(x 2√1-6x√x).四、达标检测(一)选择题1.下列二次根式中与√2是同类二次根式的是( )A.√4B.√6C.√8D.√10 2.下列二次根式中,不能与√3合并的是( ) A.2√3 B.√12 C.√18D.√273.下列计算正确的是( ) A.√2+√2=2 B.3+√2=3√2 C.√3+√2=√5D.√9+√3=3+√34.下列计算正确的是( )A.6√5-5√5=1B.√3+√7=√10C.2√12=√2D.4+√3=4√35.计算2√12−√18的结果是( ) A.-√2B.-2√2C.-4√2D.-8√2(二)填空题6.下列二次根式,不能与√12合并的是 (填写序号即可).①√48;②√18;③√32.7.如果最简二次根式√a 2+3a 与√a +15能合并,那么a= . 8.计算(4√6-6√2)+2√2等于 . 9.计算√3+√12= . (三)计算题10.(1)(√24-√12)-2(√18+√6) (2)2√3+√27−√13 (3)4√5+√45−√20 (4)2√12-6√1+3√48参考答案一、合作探究1.(1)原式=5x ;(2)原式=4x 2;(3)原式=3x+3y ;(4)原式=2a 22.(1)原式=5√2;(2)原式=4√2;(3)原式=6√7;(4)原式=2√2 二、跟踪练习1.A 解析:A.原式=3√5-2√5=√5,所以A 选项正确;B.√2与√3不能合并,所以B 选项错误;C.3与√2不能合并,所以C 选项错误;D.原式=√16×9=√16×√9,所以D 选项错误.故选A .2.C 解析:A.√32=√62,和√3不能合并,故本选项错误;B.√24=2√6,和√3不能合并,故本选项错误;C.√12=2√3,和√3能合并,故本选项正确;D.√18=3√2,和√3不能合并,故本选项错误.故选C .3.C 解析:A.√10与-√5的被开方数不同,故A 错误;B.√15与-√5的被开方数不同,故B 错误;C.√20=2√5与-√5的被开方数相同,故C 正确;D.√25=5与-√5的被开方数不同,故D 错误;故选C .4.解:3√48-9√13+3√18-4√18 =3×4√3-9×√33+3×3√2-4×√24 =12√3-3√3+9√2−√2 =9√3+8√2.5.解:√32-4√0.5+3√8 =4√2-4×√22+3×2√2 =8√2三、变式演练解:(1)原式=2√3−(√33-√39)=2√3−√33+√39=169√3 (2)原式=4√3+2√5+2√3−√5=6√3+√5 (3)原式=√x +2√y −√x2+√y =√x2+3√y (4)原式=2x √x -(x √x -3x √x )=4x √x 四、达标检测1.C 解析:A.√4=2,与√2不是同类二次根式;B.√6与√2不是同类二次根式;C.√8=2√2与√2是同类二次根式,正确;C.√10与√2不是同类二次根式.故选C.2.C 解析:A.2√3能与√3合并,故A 不符合题意;B.√12=2√3能与√3合并,故B 不符合题意;C.√18=3√2不能与√3合并,故C 符合题意;D.√27=3√3能与√3合并,故D 不符合题意.故选C .3.D 解析:A .√2+√2=2√2,故A 错误;B.3+√2不能合并,故B 错误;C.√3+√2不能合并,故C 错误;D.√9+√3=3+√3,故D 正确,故选D .4.C 解析:本题考查二次根式的混合运算.熟练地掌握公式是解题的关键.对于选项A,6√5-5√5=√5,故错误;对于选项B,√3+√7没有同类项,不能合并,故错误;对于选项C,2√12=2×√22=√2,故正确;对于选项D,4+√3没有同类项,不能合并,故错误;故选C .5.B 解析:2√12−√18=√2-3√2=-2√2,故选B .6.② 解析:√12=√4×3=2√3,√48=√16×3=4√3,√18=√9×2=3√2,所以√48,√32与√12为同类二次根式,它们可以合并.故答案为②.7.-5或3 解析:最简二次根式√a 2+3a 与√a +15能合并,得a 2+3a=a+15,解得a=-5或a=3.故答案为-5或3.8.4√6-4√2 解析:(4√6-6√2)+2√2=4√6-6√2+2√2=4√6-4√2,故答案为4√6-4√2. 9.3√3 解析:原式=√3+2√3=3√3.故答案为3√3. 10.解:(1)原式=2√6−√22−√22-2√6=-√2. (2)原式=2√3+3√3−√33=14√33.(3)原式=4√5+3√5-2√5=5√5.(4)原式=4√3-2√3+12√3=14√3.人教版数学八年级下册导学案16.3.2 二次根式的加减(第2课时)学习目标1.熟练应用二次根式的加减乘除法法则进行二次根式的混合运算.(重点)2.二次根式混合运算的顺序、乘法公式的综合运用.(难点)学习过程一、合作探究1.探究计算(提示:类比乘法公式计算.) (1)(√8+√3)×√6;(2)(4√2-3√6)÷2√2.2.探究计算(1)(2√3−√2)2;(2)(2√3+3√2)(2√3-3√2).二、自主练习(1)√5-(√3+√15)÷√6×√2; (2)(√48-4√18)−(3√13-2√0.5); (3)(3+√5)(3-√5)-(√3-1)2; (4)(-√3+1)(√3-1)-√(-3)22-√5. 三、变式演练1.计算:(1)√12−(√33)-1+√3(√3-1)-2 0180-|√3-2|; (2)(2√6−√3+√2)×(2√6−√3−√2).2.计算:(1)√48÷√3−√12×√12+√24;(2)先化简再求值:2x-1x2-2x+1·(x-1),其中x=√2+1.四、达标检测(一)选择题1.下列计算正确的是()A.√2+√3=√5B.√2·√3=√6C.√24÷√3=4D.√(-3)2=-32.化简(√3-2)2 018·(√3+2)2 019的结果为()A.-1B.√3-2C.√3+2D.-√3-23.计算√12(√75+3√13-√48)的结果是()A.6B.4√3C.2√3+6D.124.计算√32×√12+√2×√5的结果估计在()A.10到11之间B.9到10之间C.8到9之间D.7到8之间5.计算:(2√48-3√27)÷√6=()A.-5√22B.-√22C.√22D.5√22(二)填空题6.计算:2√48÷√6√2-1=.7.计算(2√3+3√2)2=.8.计算:√(2-√3)2+√(-√3-1)2=.9.已知√a+√b=√3+√2,√ab=√6−√3,则a+b=.10.已知x1=√3+√2,x2=√3−√2,则x12+x22=.(三)计算题11.计算:(1)√48÷√3−√12×√12+√24.(2)(3√2+2√3)(3√2-2√3)-(√3−√2)2.参考答案一、合作探究1.解:(1)原式=√8×√6+√3×√6=4√3+3√2; (2)原式=(4√2-3√6)×22=4√222-3√622=2-3√32. 2.解:(1)原式=(2√3)2-2×2√3×√2+(√2)2=14-4√6;(2)原式=(2√3)2-(3√2)2=-6. 二、自主学习解:(1)原式=√5-(√3+√15)×√6×√2=√5-(√3+√15)×√3=√5-1-√5=-1;(2)原式=4√3−√2−√3+√2=3√3; (3)原式=9-5-(3-2√3+1)=4-4+2√3=2√3;(4)原式=-(3-2√3+1)-3-(√5+2)=-4+2√3-3-√5-2=2√3−√5-9. 三、变式演练1.解:(1)原式=2√3−√3+3-√3-1+√3-2=√3;(2)原式=[(2√6−√3)+√2][(2√6−√3)-√2]=(2√6−√3)2-(√2)2=24-12√2+3-2=25-12√2. 2.解:(1)原式=√48÷3−√12×12+2√6=4-√6+2√6=4+√6; (2)原式=2x -1(x -1)2·(x-1)=2x -1x -1,当x=√2+1时,原式=√2+1√2+1-1=4+√22. 四、达标检测1.B2.C3.D4.D5.B6.2√2-27.30+12√6 8.1 9.5+2√3 10.10 11.解:(1)原式=√48÷3−√12×12+2√6 =4-√6+2√6 =4+√6;(2)原式=18-12-(3-2√6+2) =6-5+2√6 =1+2√6.人教版数学八年级下册导学案16.4.0本章小结学习目标1.掌握二次根式有意义的条件和基本性质(√a )2=a (a ≥0).(重点)2.能用二次根式的性质√a 2=|a|来化简根式.(难点)3.能识别最简二次根式、同类二次根式.(重点)4.能根据运算法则进行二次根式的加减乘除运算以及混合运算.(难点)学习过程一、梳理知识1.二次根式:一般地,我们把形如的式子叫做二次根式.2.最简二次根式:满足下面两个条件的二次根式是最简二次根式:(1)被开方数中不含分母;(2)被开方数中不含开方开的尽的因数或因式.3.二次根式的性质(1)二次根式√a(a≥0)是一个数.(2)(√a)2=(a≥0).(3)√a2=|a|={(a>0) (a=0) (a<0)4.二次根式的乘除:(1)乘法法则:√a·√b=(a≥0,b≥0).(2)除法法则:√a√b=(a≥0,b>0).5.二次根式的加减:先把各个二次根式化成,再把相同的二次根式进行合并.6.二次根式的混合运算的顺序与运算顺序一样,先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里的(或先去掉括号).二、归纳考点考点一、二次根式概念与性质【例1】二次根式√-2x+4有意义,则实数x的取值范围是()A.x≥-2B.x>-2C.x<2D.x≤2【跟踪练习】1.若代数式√3x-1有意义,则x的取值范围是()A.x<13B.x≤13C.x>13D.x≥132.代数式√x+1x-1有意义,则x的取值范围是() A.x≥-1且x≠1 B.x≠1C.x≥1且x≠-1D.x≥-13.在式子1x-2,1x-3,√x-2,√x-3中,x可以取2和3的是()A.1x-2B.1x-3C.√x-2D.√x-3考点二、二次根式的运算【例2】如果ab>0,a+b<0,那么下面各式:①√ab =√a√b,②√ab·√ba=1,③√ab÷√ab=-b,其中正确的是()A.①②B.②③C.①③D.①②③【跟踪练习】1.下列计算正确的是( ) A.√4−√2=√2B.√202=√10C.√2·√3=√6D.√(-3)2=-3 2.下列计算错误．．的是( ) A.√2+√3=√6B.√2·√3=√6C.√12÷√3=2D.√8=2√2 3.计算:√27−√3= . 考点三、二次根式混合运算【例3】计算:√24×√13-4×√18×(1-√2)0 【跟踪练习】1.下列运算中错误的是( )A.√2+√3=√5B.√2×√3=√6C.√8×√2=2D.(-√3)2=32.已知x 1=√6+√5,x 2=√6−√5,则x 12+x 22= . 考点四、二次根式运算中的技巧 【例4】若y=√x -4+√4-x2-2,则(x+y )y = .【跟踪练习】1.若(m-1)2+√n +2=0,则m+n 的值是( ) A.-1 B.0 C.1D.22.已知实数x ,y 满足√x -1+|y+3|=0,则x+y 的值为( ) A.-2 B.2 C.4 D.-4考点五、估算大小【例5】a ,b 是两个连续整数,若a<√7<b ,则a ,b 分别是 ( )A.2,3B.3,2C.3,4D.6,8 【跟踪练习】若a<√13<b ,且a ,b 为连续正整数,则b 2-a 2= . 三、达标检测 (一)选择题1.下列二次根式:√5,√13,√0.5a ,-2√a 2b,√x 2+y 2中,是最简二次根式的有( ) A.2个B.3个C.4个D.5个 2.若√a 2=-a 成立,那么a 的取值范围是( ) A.a ≤0 B.a ≥0 C.a<0D.a>03.无论x 取任何实数,代数式√x 2-6x +m 都有意义,则m 的取值范围是( ) A.m ≥6 B.m ≥8 C.m ≥9 D.m ≥124.已知a=√5-2,b=√5+2,则√a 2+b 2+7的值为( )A.5B.6C.3D.45.已知x+y=-5,xy=3,则x √yx +y √xy 的结果是( )A.2√3B.-2√3C.3√2D.-3√26.等式√3x -1x -2=√3x -1√x -2成立的条件是( )A.x>13B.x ≥13C.x>2D.13≤x<27.计算:6√7×13√21÷2√3的结果是( )A.-4B.-2√3C.40D.7(二)填空题8.如果√(2a -1)2=2a-1,则a 的取值范围是 . 9.计算:(√24+√16)×√6= . 10.计算(4+√7)(4-√7)的结果等于 .11.已知x=12(√7+√5),y=12(√7−√5),则x 2-xy+y 2= . (三)计算题12.计算:(1)√8-2√12;(2)(3√2-2)2; (3)√20+√125√5+5;(4)(√32+√13)×√3-2√163.(四)解答题13.已知实数a ,b 在数轴上的对应点如图所示,化简√a 2+|a+b|+|√2-a|-√(b -√2)2.14.阅读下面材料,并解答后面的问题:√6+√5=(√6-√5)(6+5)(6-5)=√6−√5;√5+2=√5-(5+2)(5-2)=√5-2; √4+√3=√4-√3)(4+3)(4-3)=√4−√3.(1)观察上面的等式,请直接写出√n+1+√n的结果 ;(2)计算(√n +1+√n )(√n +1−√n )= ,此时称√n +1+√n 与√n +1−√n 互为有理化因式;(3)请利用上面的规律与解法计算:√2+1+√3+√2√4+√3+…+√100+√99.参考答案一、梳理知识略二、归纳考点考点一、二次根式概念与性质 【例1】 D【跟踪练习】1.D 2.A 3.C 考点二、二次根式的运算 【例2】 B【跟踪练习】1.C 2.A 3.2√3 考点三、二次根式混合运算 【例3】 解:原式=32√2 【跟踪练习】1.A 2.22考点四、二次根式运算中的技巧 【例4】 14【跟踪练习】1.A 2.A 考点五、估算大小 【例5】 A 【跟踪练习】7 三、达标检测1.A2.A3.C4.A5.B6.C7.D8.a ≥12 9.13 10.9 11.51212.解:(1)原式=2√2−√2=√2;(2)原式=18-12√2+4=22-12√2; (3)原式=√5+5√5√5+5=7+5=12; (4)原式=(4√2+√33)×√3−8√33=4√6+1-8√33. 13.解:由数轴可知:a<b<0,∴a<0,a+b<0,∵√2>0,∴√2-a>0,b-√2<0, ∴原式=|a|-(a+b )+√2-a-|b-√2|=-a-a-b+√2-a+(b-√2) =-3a-b+√2+b-√2=-3a14.(1)√n+1−√n;(2)1;(3)9。
新人教版八年级数学下册《十六章 二次根式 16.1 二次根式 章前引言及二次根式》教案_27
16.1.1二次根式教学内容二次根式的概念及其运用教学目标知识与技能目标：a ≥0）的意义解答具体题目． 过程与方法目标：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：发展学生观察、分析、发现问题的能力． 教学重难点1．重点：理解二次根式的概念；2．难点：确定二次根式中字母的取值范围教法：讲练结合法: 在例题教学中，引导学生阅读，与平方根进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。
学法：1、类比的方法 通过观察、类比，使学生感悟二次根式的模型，形成有效的学习策略。
2、练习法 采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。
媒体设计：PPT 课件，展台。
学习过程一、展示学习目标：1. 二次根式的概念2.二次根式有意义的条件3二次根式的双重非负性二．设置问题情境，引入新课：1求下列各数的平方根和算术平方根（1）9（2）0.64（3）0总结：a （a ≥0）的平方根是a （a ≥02．解决问题（1） 面积为 S 的正方形边长为________。
（2）．面积为 b －5 的正方形边长为________。
（3）． 圆桌的面积为 S ，则半径为________（4）．若圆桌的面积为 S ＋3，则半径为________（5）关系式 h = 5t 2 （t > 0）中，用含有 h 的式子表示 t ，则 t = ________。
总结以上式子有何特征二次根式的概念：a像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式。
因此，一般地，我们把形如（a≥0三．探究新课1．指出二次根式有意义的条件被开方数大于等于零。
提问：二次根式在什么情况下无意义学生讨论后得出：被开方数小于零2．指出下列哪些是二次根式？学生自主完成小练习：辨别下列式子，哪些是二次根式？三．练习四．小结1. 二次根式的概念2.二次根式有意义的条件3二次根式的双重非负性五．作业课本第5页第一题。
新人教版八年级数学下册导学案(全册136页)
第十六章 二次根式16．1 《 二次根式(1)》学案课型: 新授课 上课时间： 课时： 1学习内容：二次根式的概念及其运用 学习目标：1、理解二次根式的概念，并利用a （a ≥0）的意义解答具体题目．2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．学习过程一、自主学习 （一）、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．（3，3）．问题2：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S 2，那么S=_________．（46.） （二）学生学习课本知识 （三）、探索新知 1、知识： 如3、10、46，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如 •的式子叫做二次根式，“”称为 ．例如：形如 、 、 是二次根式。
形如 、 、 不是二次根式。
2、应用举例例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x （x>0）、0、42、-2、1x y+、x y +（x ≥0，y•≥0）． 解：二次根式有： ；不是二次根式的有： 。
例2．当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？ 解：由 得： 。
当 时，31x -在实数范围内有意义．（3）注意：1、形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；2、利用“a （a ≥0）”解决具体问题3、要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数。
二、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展例3．当x 是多少时，23x ++11x +在实数范围内有意义？ 例4(1)已知y=2x -+2x -+5，求xy的值．(答案:2)(2)若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值．(答案:25)三、巩固练习 教材练习． 四、课堂检测 （1）、简答题1．下列式子中，哪些是二次根式那些不是二次根式？ -7 37x x 4 16 8 1x（2）、填空题1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为5的正方形的边长为________． （3）、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．若3x -+3x -有意义，则2x -=_______．3.使式子2(5)x --有意义的未知数x 有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．无数4.已知a 、b 为实数，且5a -+2102a -=b+4，求a 、b 的值．16．1 《 二次根式(2)》学案课型: 新授课 上课时间： 课时： 2 学习内容：1．a （a ≥0）是一个非负数； 2．（a ）2=a （a ≥0）． 学习目标：1、理解a （a ≥0）是一个非负数和（a ）2=a （a ≥0），并利用它进行计算和化简．2、通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a （a ≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a ）2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题． 教学过程 一、自主学习 （一）复习引入1．什么叫二次根式？2．当a ≥0时，a 叫什么？当a<0时，a 有意义吗？ （二）学生学习课本知识 （三）、探究新知1、a （a ≥0）是一个 数。
人教版数学八年级下册16.2《二次根式的乘除》教学设计3
人教版数学八年级下册16.2《二次根式的乘除》教学设计3一. 教材分析《二次根式的乘除》是人教版数学八年级下册第16.2节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了二次根式的性质和二次根式的加减法运算的基础上进行学习的。
二次根式的乘除法运算是初中数学中的重要内容，也是后续学习高中数学的基础。
本节内容主要让学生掌握二次根式的乘除法运算规则，理解并掌握二次根式乘除法运算的性质和规律，提高学生的数学运算能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了二次根式的性质和加减法运算，但对于二次根式的乘除法运算可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生理解二次根式的乘除法运算规则，通过大量的练习，让学生熟练掌握二次根式的乘除法运算。
三. 教学目标1.让学生掌握二次根式的乘除法运算规则。
2.提高学生的数学运算能力。
3.培养学生的逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.二次根式的乘除法运算规则。
2.二次根式的混合运算。
五. 教学方法1.讲解法：教师通过讲解，让学生理解二次根式的乘除法运算规则。
2.练习法：让学生通过大量的练习，熟练掌握二次根式的乘除法运算。
3.小组合作法：让学生通过小组合作，共同探讨二次根式的乘除法运算，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.PPT课件：教师需要准备PPT课件，用于展示二次根式的乘除法运算规则。
2.练习题：教师需要准备适量的练习题，用于让学生进行练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过复习二次根式的性质和加减法运算，引导学生进入二次根式的乘除法运算学习。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT课件，呈现二次根式的乘除法运算规则，让学生初步了解二次根式的乘除法运算。
3.操练（10分钟）教师让学生进行二次根式的乘除法运算练习，引导学生掌握二次根式的乘除法运算规则。
4.巩固（10分钟）教师通过讲解和练习，让学生巩固二次根式的乘除法运算规则。
5.拓展（10分钟）教师引导学生进行二次根式的混合运算，提高学生的数学运算能力。
新人教版数学初中八年级下册16.3《二次根式的加减》公开课优质课教学设计
1《16.3二次根式的加减》本课在学习二次根式乘除运算及化简的基础上，本课在学习二次根式乘除运算及化简的基础上，从算术平方根的运算出发，从算术平方根的运算出发，研究二次根式的加减运算．二次根式的运算方法与数的运算方法本质上是一致的．二次根式的运算方法与数的运算方法本质上是一致的．实数的运算律对二次根式的运算仍实数的运算律对二次根式的运算仍然适用．结合二次根式的化简、乘除和加减运算，利用交换律、结合律、分配律及多项式乘法公式进行二次根式的混合运算．进行二次根式的混合运算．1. 1. 探索二次根式加减运算的方法和步骤；探索二次根式加减运算的方法和步骤；2.2. 会进行二次根式的加减运算．会进行二次根式的加减运算．3.3. 通过探究二次根式的加减运算体会数学中的类比思想通过探究二次根式的加减运算体会数学中的类比思想. .4.4. 类比有理数混合运算和整式混合运算，探索二次根式的加、减、乘、除混合运算顺序的步骤和方法方法. .5.5. 能熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算能熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算. .6.6. 通过学习二次根式的加、减、乘、除混合运算的学习，培养学生的运算能力、推理能力．1.1. 在化简二次根式的基础上，应用分配律进行二次根式的加减运算．在化简二次根式的基础上，应用分配律进行二次根式的加减运算．2.2. 熟练并准确地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算熟练并准确地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算. .课件课件◆ 教材分析 ◆ 教学目标◆ 教学重难点 ◆◆ 课前准备◆◆ 教学过程第一课时一、复习引入：一、复习引入：问题1：什么叫最简二次根式？你能将18，8，23化为最简二次根式吗？化为最简二次根式吗？ 问题2：现有一块长7.5dm,7.5dm,宽宽5dm 的木板的木板,,能否采用如图的方式能否采用如图的方式,,在这块木板上截出两个面积分别是8dm 2和18dm 2的正方形木板的正方形木板? ? 提问提问::①大、小正方形木板的边长分别为18dm 和8dm,dm,木板是木板是否够宽否够宽??②木板是否够长呢②木板是否够长呢??③怎样计算818+的结果呢的结果呢? ?问题3：计算下列各式：（1）a+2a a+2a；；（2）3x-2x 3x-2x；；解：（1）a+2a=(1+2)a=3a a+2a=(1+2)a=3a；；（2）3x-2x=(3-2)x=x 3x-2x=(3-2)x=x；；【设计意图】回顾整式的加减及合并同类项法则，为后续学习二次根式的合并做准备【设计意图】回顾整式的加减及合并同类项法则，为后续学习二次根式的合并做准备. .二、新课讲解：1.1.探究二次根式的加法探究二次根式的加法探究二次根式的加法. .问题4：请类比整式的加减，计算下列各式：：请类比整式的加减，计算下列各式：（1）323+；（2）52-53.解：（1）333)21(323=+=+；（2）55)23(52-53=-=.【点拨】最简二次根式中，被开方数相同的二次根式的加减，直接把系数相加减，根号和根号内的数不变内的数不变. .问题5：53+能合并吗？为什么？82+呢？呢？解：53+不能合并，因为它们被开方数不相同；不能合并，因为它们被开方数不相同；232)21(22282=+=+=+.【小结】（1）二次根式能够进行合并的条件：①首先将二次根式化成最简二次根式；②观察被开方数是否相同开方数是否相同. .（2）二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并式合并. .练习1：下列各组二次根式中，能够合并的一组二次根式是（：下列各组二次根式中，能够合并的一组二次根式是（ ）A ．xy 与y x 2B ．22y x +与22y x - C ．mn 与n m + D．ab 2与ba 2 练习练习:2:2:2：：（教材P13练习）下列计算是否正确？为什么？练习）下列计算是否正确？为什么？（1）3838-=-；（2）9494+=+；（3）22223=-.解：（1）∵228=和3的被开方数不相同，的被开方数不相同，∴不能合并∴不能合并,,故错误故错误. .（2）∵53294=+=+，1394=+，故9494+¹+，故错误；，故错误；（3）∵22)23(2223=-=-，故正确故正确. .[点拨点拨]]化为最简二次根式后，只有被开方数相同的二次根式才能合并化为最简二次根式后，只有被开方数相同的二次根式才能合并. .2.2.二次根式加法的运用二次根式加法的运用二次根式加法的运用. .问题7：（教材例题）计算：（1）4580-；（2）a a 259+；（3）483316122+-；（4）)53()2012(-++.解：（1）553-544580==-； （2）a a a a a 853259=+=+；（3）3102831232-28483316122+=+=+-； （4）533535232)53()2012(+=-++=-++.练习3：（教材P13练习2）计算：（1）4580-；（2）a a 9194+； （3）52080+-；（4）)2798(18-+；（5）)681()5.024(--+.解：（1）553-544580==-； （2）a a a a a =+=+31329194； （3）535525452080=+-=+-；（4）33210332723)2798(18-=-+=-+；.42636422262)642()2262()681()5.024(5+=+-+=--+=--+）（问题6：前面问题2中，怎样计算818+的结果呢的结果呢??木板长7.5dm,7.5dm,宽宽5dm 5dm，是否够长？，是否够长？，是否够长？解：818+=2223+···化为最简二次根式·化为最简二次根式=2)23(+···乘法分配率·乘法分配率=25≈7.077.07＜＜7.5故木板够长故木板够长. .练习4：（教材P13练习3）如果两个圆的圆心相同，他们的面积分别是12.56和25.1225.12，求圆环的，求圆环的宽度d （π取3.143.14，结果保留小数点后两位），结果保留小数点后两位），结果保留小数点后两位）. .解：∵解：∵S S 圆=πr 2，∴d=r 大圆-r 小圆小圆=2224814.356.1214.312.25-=-=-=-ππ小圆大圆S S ≈0.83 答：圆环的宽度d 为0.83.三、课堂小结：三、课堂小结：1.1. 知识梳理：（1）二次根式合并的前提：化成最简二次根式之后，被开方数相同）二次根式合并的前提：化成最简二次根式之后，被开方数相同. .（2）二次根式加减的实质：合并被开方数相同的最简二次根式）二次根式加减的实质：合并被开方数相同的最简二次根式. .2.2.二次根式加减的实质是二次根式的合并，计算过程中容易出现以下错误：二次根式加减的实质是二次根式的合并，计算过程中容易出现以下错误：二次根式加减的实质是二次根式的合并，计算过程中容易出现以下错误：①化成最简二次根式后，如果被开方数不相同，则不能进行合并；①化成最简二次根式后，如果被开方数不相同，则不能进行合并；②合并被开方数相同的最简二次根式时，②合并被开方数相同的最简二次根式时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变不变. .3.3. 二次根式加减运算的步骤：①去括号；②化简；③判断并合并．二次根式加减运算的步骤：①去括号；②化简；③判断并合并．4.4.二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别运算运算二次根式的乘除法二次根式的乘除法 二次根式的加减法二次根式的加减法 系数系数系数相乘除系数相乘除 系数相加减系数相加减被开方数被开方数 被开方数相乘除被开方数相乘除 被开方数不变被开方数不变化简化简 结果化成最简二次根式结果化成最简二次根式先化成最简二次根式先化成最简二次根式,,再合并被开方数相同的二次根式的二次根式((同类二次根式同类二次根式) )四、随堂测试：四、随堂测试：1.1.下列各式计算正确的是下列各式计算正确的是下列各式计算正确的是 ( () A.532=+ B.13334=- C.363332=´ D.3327=¸ 解析解析:A.:A.:A.不是同类二次根式，不能合并，故错误；不是同类二次根式，不能合并，故错误；不是同类二次根式，不能合并，故错误；B.B.合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉，故错误；合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉，故错误；合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉，故错误；C.C.应为应为18363332=´=´´，故错误；，故错误；D.39327327==¸=¸，故正确，故正确. .故选D.2.2.以下二次根式以下二次根式以下二次根式::①12,②22,③32,④27中, 化简后能合并成一项的是化简后能合并成一项的是化简后能合并成一项的是( ( ( )A.A.①和②①和②①和②B. B.②和③②和③②和③C. C.①和④①和④D.D.③和④③和④③和④解析：①3212=；②222=；③3632=；④3327=. 3.3. 计算：2-23的值是（的值是（） A.2 B.3 C.2 D.22 解析：解析：..222)13(2-23=-=.4.4. 一个等腰三角形的两边长分别为2332，, 则三角形的周长为则三角形的周长为则三角形的周长为. . 解析：分两种情况讨论：（1）当32为腰长，23为底边长时，周长为3423+；（2）当23为腰长，为32底边长时，周长为3226+.5.5. 若最简二次根式若最简二次根式14232+a 与16322-a 的被开方数相同的被开方数相同,,则a= a= . 解析：由题意得4a 2+1=6a 2-1-1，解得，解得a=a=±±1.6.6. 计算：（1）233-2332++； （2）101015-40+.第二课时一、复习引入：一、复习引入：1.1.计算：（1）728+；（2）68´；（3）324¸. 解：（1）282622728=+=+；（2）34486868==´=´；（3）228324324==¸=¸.【设计意图】复习二次根式的加减、乘除法则，为下面研究四则混合运算做准备【设计意图】复习二次根式的加减、乘除法则，为下面研究四则混合运算做准备. .2.2. 计算：（1）(2x-y)(2x-y)··zx zx；；（2）(2x 2y+3xy 2)÷xy xy；；（3）(2x+y)(x-3y) （3）(2x+3y)(2x-3y);(2x+3y)(2x-3y);（（4）(2x+1)2+(2x-1)2.解：（1）(2x-y)(2x-y)··zx=2x 2z-xyz z-xyz；；（2）(2x 2y+3xy 2)÷xy=2x 2y ÷xy+3xy 2÷xy=2x+2y xy=2x+2y；；（3）(2x+y)(x-3y)=2x 2-6xy+xy-3y 2=2x 2-5xy-3y 2;（4）(2x+3y)(2x-3y)=(2x)2-(3y)2=4x 2-9y 2;（5）(2x+1)2+(2x-1)2=4x 2+4x+1+4x 2-4x+1=8x 2+2.提问：上面的运算用到了哪些法则和公式？提问：上面的运算用到了哪些法则和公式？学生回顾：多项式乘单项式，多项式除以单项式、多项式乘多项式法则和平方差、完全平方公式学生回顾：多项式乘单项式，多项式除以单项式、多项式乘多项式法则和平方差、完全平方公式. .【设计意图】复习整式的四则运算和乘法公式，类比学习二次根式的混合运算【设计意图】复习整式的四则运算和乘法公式，类比学习二次根式的混合运算. .二、新课讲解：二、新课讲解：问题1：如果把上面的x ，y ，z 改成二次根式呢？以上的运算法则是否仍然成立？改成二次根式呢？以上的运算法则是否仍然成立？例1.1.（教材（教材P14例题3）计算：（1）6)38(´+；（2）226324¸-）（.解：（1）6)38(´+=6368´+´=1848+=2334+；（2）2263-24¸）（ =22632224¸-¸=3232-.【点拨】类比多项式乘单项式和多项式除以单项式法则计算，这里运用了分配率【点拨】类比多项式乘单项式和多项式除以单项式法则计算，这里运用了分配率. . 练习1：（教材P14练习1）计算：（1）)53(2+；（2）5)4080(¸+； 解：（1）)53(2+=5232´+´=106+；（2）5)4080(¸+=540580¸+¸=816+=224+.【小结】（1）与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；）与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；（2）最终的结果一定要化为最简二次根式）最终的结果一定要化为最简二次根式. . .问题2.2.（教材（教材P14面例4）例2.2. 计算：（1）)52()32(-×+；（2）)35)(35(-+. 解：（1）)52()32(-×+=152523)2(2--+=15222--=2213--；（2）)35)(35(-+=22)3()5(-=5-3=2.提问：你能说出上面两道题中每一步的依据是什么吗？提问：你能说出上面两道题中每一步的依据是什么吗？【小结】乘法公式使计算准确、简便，因此能用运算公式的，尽可能用运算公式．因为二次根式表示数，二次根式的运算也是实数的运算．根式表示数，二次根式的运算也是实数的运算．练习2：计算：（1）)17(72--=；（2）)2332)(2332(+-=.答案为：7214+-；6.练习3：计算2)322215324(×+-的结果是（的结果是（ ） A. A. 303-3320 B.30-3320 C.332303- D.332302- 练习3 计算：（1）)2762)(6227(-+；（2）2)377(-；（3）22)632()632(-+--+解：（1）)2762)(6227(-+=222762）（）（-=24-98=-74=-74；；（2）2)377(-=22)37(3772)7(+´´-=2114154-；（3）22)632()632(++--+=)]632()632)][(632()632[(++--++++-+ =)62()3222(-×+=21238--.练习4：已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0-4x-6y+10=0，求下面式子的值，求下面式子的值，求下面式子的值. . )1()(2y x y x y x y y xx +-+解：由4x 2+y 2-4x-6y+10=0得到得到(2x-1)(2x-1)2+(y-3)2=0,∴2x-1=0,y-3=0.解得，解得，x=x=21，y=3. )1()(2yx y x y x y y xx +-+ =yx x y y x 12--+ =y y x x y y y x--+=x y -当x=21，y=3时，时， 原式原式==223213-=-. 三、课堂小结：三、课堂小结：师生共同回顾本节课所学主要内容师生共同回顾本节课所学主要内容: :关于二次根式的四则混合运算关于二次根式的四则混合运算,,实质上就是实数的混合运算.(1)(1)运算顺序与有理式的运算顺序相运算顺序与有理式的运算顺序相同;(2);(2)运算律仍然适用运算律仍然适用运算律仍然适用;(3);(3);(3)与多项式的乘法和因式分解类似与多项式的乘法和因式分解类似与多项式的乘法和因式分解类似,,可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算.四、随堂检测：1. 下列二次根式中可以进行合并的是下列二次根式中可以进行合并的是( ) ( )A. ab 与2abB. 22n m + 与22n m -C. mn 与nm 11+ D. 438b a 与432b a 【知识点：同类二次根式】【知识点：同类二次根式】【参考答案】D【思路点拨】先化简成最简二次根式，再看被开方数是否相同【思路点拨】先化简成最简二次根式，再看被开方数是否相同. .2.2.计算：计算：)12)(12(-+的结果是（的结果是（）. A.23+ B.23- C.1D.3 【知识点：二次根式的混合运算】【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】【参考答案】C C【思路点拨】在整式运算中使用的公式在二次根式运算中照样适用，因此，【思路点拨】在整式运算中使用的公式在二次根式运算中照样适用，因此，本题利用平方差公式直本题利用平方差公式直接计算即可接计算即可. .3.3.若矩形相邻两边长分别是若矩形相邻两边长分别是cm 20和cm 125，则它们的周长是，则它们的周长是. .【知识点：二次根式混合运算】【知识点：二次根式混合运算】【参考答案】cm 514【思路点拨】矩形的周长【思路点拨】矩形的周长==（长（长++宽）×宽）×2 24. 计算：)4831375(12-+´的结果是（的结果是（） A.23 B.32 C. 6D. 12 【知识点：二次根式的混合运算】【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】【参考答案】D D【思路点拨】123232)34335(12)4831375(12=´=-+´=-+´5. 计算：3)4841311527(¸+-【知识点：二次根式的混合运算】【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】1-【解析】原式=1333)33533(-=¸-=¸+-略。
人教版八年级数学下册导学案(全册)
第十六章 二次根式 第1课时 二次根式的定义学习目标：了解二次根式的概念，理解二次根式有意义的条件，并会求二次根式中所含字母的取值范围。
理解二次根式的非负性学习重难点：二次根式有意义的条件和非负性的理解和应用 学法指导：小组合作交流 一对一检查过关 导：看书后填空：二次根式应满足两个条件：（1）形式上必须是a 的形式。
（2）被开方数必须是 数。
判断下列格式哪些是二次根式?⑴ 3.0 ⑵ 3- ⑶ 2)21(- ⑷ ()223≥-a a⑸ 12+a ⑹ 3+a ⑺ a ⑻()02〈-x x 学：代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。
（2）分式的分母不为0.（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0 当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？2-x ⑵x-21 ⑶13-+-x x ⑷2x ⑸3x （6）()01-a（1）常见的非负数有：a a a ,,2（2）几个非负数之和等于 0，则这几个非负数都为0. 已知：0242=-++b a ，求a,b 的值。
巩固练习：已知(),03122=-++b a 求a,b 的值2.已知053232=--+--y x y x 则y x 8-的值为 练：1.下列各式中：①52+-x ②2009 ③33 ④π ⑤22a - ⑥3+-x 其中是二次根式的有 。
2.若1213-+-x x 有意义，则x 的取值范围是 。
3.已知122+-+-=x x y ，则=yx4.函数x y +=2中，自变量x 的取值范围是（）（A ） X>2 (B) X ≥2 (C) X>-2 (D) X ≥-2 5.若式子aba 1+-有意义，则P （a,b ）在第（ ）象限（A ）一 (B)二 (C)三 (D)四6.若,011=-++b a 则=+20112011b a7.方程084=--+-m y x x ，当y>0时，m 的取值范围是8.已知01442=-+++-y x y y ，求xy 的值展：小组展示成果，提出质疑 评:1. 组内互助，解决质疑并进行小组评价。
人教版八年级数学下册第十六章 导学案 第1课时 二次根式的乘法
第十六章 二次根式16.2 二次根式的乘除第1课时 二次根式的乘法学习目标：1.理解二次根式的乘法法则；2.会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算.重点：理解二次根式的乘法法则：()0,0≥≥=⋅b a ab b a .难点：会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质解题.一、知识回顾1.二次根式的概念是什么？我们上节课学了它的哪些性质？2.使式子2有意义的条件是_________.一、要点探究探究点1：二次根式的乘法算一算 计算下列各式，并观察三组式子的结果：_____;94____;_______94)1(=⨯=⨯=⨯ _____;2516____;_______2516)2(=⨯=⨯=⨯ ._____3625____;_______3625)3(=⨯=⨯=⨯思考 你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？猜测)0,0______(≥≥=⋅b a b a ，你能证明这个猜测吗？要点归纳：二次根式的乘法法则：一般地，对于二次根式的乘法是)0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a一般地，二次根式相乘，_________不变，________相乘.语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.例1计算：(1)(2)(3)0,k a b k a b ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅≥≥（例2 计算: 37； 1(2)427-3.2⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭n b =归纳总结：二次根式的乘法法则的推广：①多个二次根式相乘时此法则也适用，即000)k a b k a b k ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅≥≥≥，，（②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数(式)的积作为被开方数(式)，即()00a n b mn a b =≥≥，例3 比较大小(一题多解):(2)--方法总结: 比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用平方法.1. ()A B .4C D .22.下面计算结果正确的是 ()A.=B. =C. =D.=3.=_________.探究点2：积的算术平方根的性质一般的()0,0≥≥=⋅b a ab b a ______0,0_a b 要点归纳：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.例4 化简：（1（2()00a b ，≥≥ ．1()()200x y ,()≥≥方法总结: 当二次根式内的因数或因式可以化成含平方差或完全平方的积的形式，此时运用乘法公式可以简化运算.例5 计算：1(⨯2()⨯ 3(⨯化简二次根式的步骤：1. 把被开方数分解因式(或因数) ；2. 把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；3. 如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式a2= | a | 把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简.1. 计算：2.，求出它的面积.a b a b0,0多个二次根式相乘时此法则也适用，即(0,⋅⋅⋅=⋅⋅⋅≥a b c n abc n a()=m a n b mn2.下列运算正确的是（）A.=B532-=C(2)(4)8=-⨯-=D5315==⨯= 3.计算：(1)⨯______ ；(2)⨯_______ ;(3)_____.=4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：12（）--8,12b，求250a,332b，求参考答案自主学习一、知识链接1.一般地，我们把形如)0a ≥的式子叫作二次根式.2. a ≥0 课堂探究一、要点探究证明：根据积的乘方法则，有222.ab =⋅= ∴b a ⋅就是 ab 的算术平方根.又∵ab 表示 ab 的算术平方根， )0,0(≥≥=⋅∴b a ab b a要点归纳：二次根式的乘法法则：一般地，二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘.例1： 解：(1)(2) 3.===探究点2：积的算术平方根的性质当堂检测。
人教版数学八年级下册第十六章16.3.2二次根式的混合运算课件
二次根式的乘法法则是什么？
＋二次根＝式的混合运算顺序＝与实x数y类[(似x，＋即先y乘)方2－， 2xy]
将所求对称式进行适当变形，使之成为只含有x＋y，
＝1×[(2 3 ) －2×1]＝10. (2)(中考·包头)计算：
－ ＋( －1)0＝2
同学们，今天这节课，我们就一起来学习关于二次根式的混合运算的相关知识。
号(在“＋，－，×，÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，
则 x 不可能是( C )
A. 3＋1
B. 3－1
C. 2 3
D. 1－ 3
【点拨】A.( 3＋1)－( 3＋1)＝0，故本选项不合题意；B.( 3＋
1)×( 3－1)＝2，故本选项不合题意；C.( 3＋1)与 2 3无论是相 加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；
C. 6 到 7 之间
D. 7 到 8 之间
5. (2020·荆门)下列等式中成立的是( D )
A. (－3x2y)3＝－9x6y3
B. x2＝x＋2 12－x－2 12
C.
2÷
1＋ 2
13＝2＋
6
D. （x＋1）1（x＋2）＝x＋1 1－x＋1 2
6. 计算：
(1)(2019·泰州) 8－
1 2×
人教版数学八年级下册
第十六章
16.3.2 二次根式的混合运算
复习旧知
1.二次根式的乘法法则是什么？ 2.二次根式的除法法则是什么？ 3.怎样进行二次根式的加减运算？
导入新知
同学们，今天这节课，我们就一 起来学习关于二次根式的混合运算的 相关知识。
二次根式的混合运算
学习目标
1.含有二次根式的式子实行乘除运算和含有二 次根式的多项式乘法公式的应用．
2023年人教版八年级数学下册第十六章《二次根式的乘除(3)》导学案 (2)
新人教版八年级数学下册第十六章《二次根式的乘除（3）》导学案课题16.2 二次根式的乘除（3）授课时间课型新授二次修改意见课时5 授课人科目数学主备教学目标知识与技能1、理解最简二次根式的概念。
2、把二次根式化成最简二次根式．3、熟练进行二次根式的乘除混合运算。
过程与方法二次根式的乘除法法则并能解决具体问题。
情感态度价值观培养学生的归纳探索能力。
教材分析重难点重点：最简二次根式的运用。
难点：会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算。
教学设想教法先学后教导学法学法小组合作学习教具小黑板课堂设计一、目标展示1、理解最简二次根式的概念。
2、把二次根式化成最简二次根式．3、熟练进行二次根式的乘除混合运算。
二，预习检测1、化简（1）496x= （2）3227= （3）35= (4）3227=2、结合上题的计算结果，回顾前两节中利用积、商的算术平方根的性质化简二次根式达到的要求是什么？三，质疑探究上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．四，精讲点拨1、化简:(1)5312(2) 2442x y x y+ (3) 238x y (4)2082、计算：521312321⨯÷五，当堂检测1、选择题：如果xy（y>0）是二次根式，化为最简二次根式是（）．A．xy（y>0） B．xy（y>0）C．xyy（y>0） D．以上都不对3、计算：（1）2147431⨯÷ (2)21541)74181(2133÷-⨯六、作业布置板书设计 16.2 二次根式的乘除（3）一、预习检测二、质疑探究三、精讲点拨四·当堂检测教学反思。
2023-2024人教版八年级数学下册第16章 二次根式专题训练二次根式的运算与化简求值(含答案)
第16章 二次根式 专题训练 二次根式的运算与化简求值类型1 二次根式的加减运算 1．计算：|2－5|＋|4－5|＝ . 2．计算： (1)24＋0.5－⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋6. (2)248－1813＋318－818；(3)32－212－418＋348. (4)239x ＋6x 4－2x 1x. (5)a 2b ＋ab a －b a b－ab 2. (6)－12 046＋⎝⎛⎭⎫12－2－|4－12|＋(π－3)0－27.类型2 二次根式的乘除运算 3．计算： (1)112×23＝ ；(2)（－14）×（－112）＝ ； (3)－0.45－0.5＝ ； (4)59÷127＝ . 4．计算：2318÷(－3)×1327.类型3 二次根式的混合运算 5．计算：12⎝ ⎛⎭⎪⎫75＋313－48＝ . 6．计算：(1)50－(－2)＋8× 2. (2)12－1＋3(3－6)＋8. (3)15×3520÷⎝⎛⎭⎫－13 6.(4)（－3）2＋18－6×22； (5)⎝ ⎛⎭⎪⎫72－412＋32÷8. (6)⎝⎛⎭⎫318＋15 50－40.5÷32.类型4 巧用乘法公式计算 7．计算： (1)(5＋3)2.(2)(32＋12)(18－23)． (3)(3＋2)2－(3－2)2. (4)(2－3)2024×(2＋3)2023；(5)(2＋3－5)2－(2－3＋5)2； (6)(3＋2)2(3－2)－(3－2)2(3＋2)．类型5 先化简，再求值8．先化简，再求值：(a ＋2)(a －2)＋a (1－a )，其中a ＝5＋4.9．【2023福建】先化简，再求值：÷，其中x ＝－1.10．先化简，再求值：(x －1－3x ＋1)÷x －2x 2＋x ，其中x ＝3－2.类型6 巧用二次根式的定义和性质求值 11．若x －3－3－x ＝(x ＋y )2，求x －y 的值．12．当x 取何值时，5x －1＋4的值最小？最小值是多少？类型7 巧用乘法公式求值13．已知x ＝2－3，求代数式(7＋43)x 2＋(2＋3)x ＋3的值．类型8 巧用整体代入法求值14．已知a ＝3＋22，b ＝3－22，求a 2b －ab 2的值．15．已知x ＋y ＝－7，xy ＝12，求yx y ＋x yx的值．16．已知x＝1－，y＝1＋，求x2＋y2－xy－2x＋2y的值.17．【2023长沙南雅中学期末】已知x＝3＋，y＝3－，求下列各式的值.(1)x2－y2；(2)＋.参考答案类型1 二次根式的加减运算 1．计算：|2－5|＋|4－5|＝ . 【答案】2 2．计算： (1)24＋0.5－⎝⎛⎭⎪⎫18＋6. 解：原式＝6＋14 2. (2)248－1813＋318－818；解：原式＝83－63＋92－2 2 ＝23＋7 2. (3)32－212－418＋348. 解：原式＝83＋2 2. (4)239x ＋6x 4－2x 1x . 解：原式＝3x . (5)a 2b ＋ab a －ba b－ab 2. 解：原式＝a b －b a . (6)－12 046＋⎝⎛⎭⎫12－2－|4－12|＋(π－3)0－27.解：原式＝－1＋4－4＋23＋1－3 3 ＝－ 3.类型2 二次根式的乘除运算 3．计算： (1)112×23＝ ；(2)（－14）×（－112）＝ ； (3)－0.45－0.5＝ ； (4)59÷127＝ .【答案】1 28 2 31010 15 4．计算：2318÷(－3)×1327.解：原式＝⎝⎛⎭⎫－23×1318×13×27＝－29×9 2 ＝－2 2.类型3 二次根式的混合运算 5．计算：12⎝ ⎛⎭⎪⎫75＋313－48＝ . 【答案】12 6．计算：(1)50－(－2)＋8× 2. 解：原式＝1＋2＋4＝7. (2)12－1＋3(3－6)＋8. 解：原式＝4.(3)15×3520÷⎝⎛⎭⎫－13 6.解：原式＝－9 2.(4)（－3）2＋18－6×22； 解：原式＝3＋32－32＝3. (5)⎝ ⎛⎭⎪⎫72－412＋32÷8. 解：原式＝(62－22＋42)÷2 2 ＝82÷2 2 ＝4.(6)⎝⎛⎭⎫318＋15 50－40.5÷32.解：原式＝2.类型4 巧用乘法公式计算 7．计算： (1)(5＋3)2. 解：原式＝8＋215. (2)(32＋12)(18－23)． 解：原式＝6.(3)(3＋2)2－(3－2)2. 解：原式＝4 6. (4)(2－3)2024×(2＋3)2023；解：原式＝（2－3）2023×（2＋3）2023×（2－3）＝[（2－3）×（2＋3）]2023×（2－3）＝－1×（2－3）＝－2＋3.(5)(2＋3－5)2－(2－3＋5)2； 解：原式＝(2＋3－5＋2－3＋5)× (2＋3－5－2＋3－5) ＝22×(23－25) ＝46－410.(6)(3＋2)2(3－2)－(3－2)2(3＋2)．解：原式＝(3＋2)(3－2)[]（3＋2）－（3－2） ＝(9－2)×2 2 ＝14 2.类型5 先化简，再求值8．先化简，再求值：(a ＋2)(a －2)＋a (1－a )，其中a ＝5＋4. 解：原式＝a 2－4＋a －a 2 ＝a －4.当a ＝5＋4时，原式＝5＋4－4＝ 5. 9．【2023福建】先化简，再求值：÷，其中x ＝－1.【解】原式＝·＝－·＝－.当x ＝－1时，原式＝－＝－.10．先化简，再求值：(x －1－3x ＋1)÷x －2x 2＋x ，其中x ＝3－2.解：原式＝x 2－1－3x ＋1×x （x ＋1）x －2＝（x ＋2）（x －2）x ＋1×x （x ＋1）x －2＝x (x ＋2)．把x ＝3－2代入，原式＝(3－2)(3－2＋2)＝3－2 3. 类型6 巧用二次根式的定义和性质求值 11．若x －3－3－x ＝(x ＋y )2，求x －y 的值．解：∵x －3≥0，3－x ≥0， ∴x ＝3，∴y ＝－3， ∴x －y ＝6.12．当x 取何值时，5x －1＋4的值最小？最小值是多少？ 解：当x ＝15时，5x －1＋4的最小值为4.类型7 巧用乘法公式求值13．已知x ＝2－3，求代数式(7＋43)x 2＋(2＋3)x ＋3的值． 解：原式＝(7＋43)(7－43)＋(2＋3)(2－3)＋ 3 ＝2＋ 3.类型8 巧用整体代入法求值14．已知a ＝3＋22，b ＝3－22，求a 2b －ab 2的值． 解：原式＝ab (a －b ) ＝4 2.15．已知x ＋y ＝－7，xy ＝12，求y xy ＋xyx 的值．解：∵x ＋y <0，xy >0，∴x <0，y <0， ∴原式＝y ·xy －y ＋x ·xy－x＝－2xy ＝－4 3. 16．已知x ＝1－，y ＝1＋，求x 2＋y 2－xy －2x ＋2y 的值. 【解】∵x ＝1－，y ＝1＋，∴x －y ＝(1－)－(1＋)＝－2， xy ＝(1－)(1＋)＝－1.∴x 2＋y 2－xy －2x ＋2y ＝(x －y )2－2(x －y )＋xy ＝(－2)2－2×(－2)＋(－1)＝7＋4.17．【2023长沙南雅中学期末】已知x ＝3＋，y ＝3－，求下列各式的值.(1)x 2－y 2； 【解】∵x ＝3＋，y ＝3－，∴x ＋y ＝3＋＋3－＝6， x －y ＝3＋－(3－)＝2， ∴x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝6×2＝12.(2)＋.【解】∵x＝3＋，y＝3－，∴x＋y＝3＋＋3－＝6，xy＝(3＋)×(3－)＝4，∴＋＝＝＝＝＝7.。
新人教版八年级下册数学导学案(总)
0.2 1-2a⑶(a-1)2⑸(-65)2a新人教版八年级下册数学导学案(总)③从运算结果来看：(a)2=，a2==第一周导学案编号001【课题】二次根式(1课时) 4.归纳，二次根式的性质有：①a≥0,a≥（双重非负性）②(a)=a(a≥0)【学习目标】1、使学生理解二次根式的概念2、使学生掌握二次根式的化简和计算【重点难点】重点：二次根式有意义的条件难点：算术平方根的意义课前准备：1、什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，若一个数的等于a，则这个数就叫做a的平方根，a的平方根是2、什么是一个数的算术平方根？如何表示？③【二、合作交流】小组内交流完成教材P4练习1、2题（组内核对答案，不懂的才问）【三、展示评价】对学生自主学习和合作交流部分学习困难较大的知识点进行点评。
【四、再认重构】（请同学们静下心来认真独立完成下面的检测）1.当a是怎么样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？若一个的平方等于a，则这个数就叫做a的算术平方根，表示为3、认真完成教材P2思考的三个小题：⑴-a+2⑵1⑷-5a⑴，⑵⑶观察以上结果，它们都有什么特点？【一、自主学习】阅读教材P2–P4,结合教材完成下面问题：1.二次根式的定义：注意：定义包含三个内容①1.必需含有二次根号“”②被开方数a≥0③a可以是数,也可以是含有字母的式子判断：2-234a m（m≥0）n2+1是二次根式的有（被开方数或者字母的取值必须大于等于零）2.二次根式有意义的条件：练习：当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？⑴a-2⑵5-2a⑶-2a⑷a2+23.(a)2和a2的区别：①从运算顺序来看,(a)2是而a2是；②从取值范围来看，(a)2中a而a2中a；2.计算：⑴(7)2⑵(-23)2⑶(3)2⑷(-7)253⑹(-)2⑺-(-m)2653.思维拓展：⑴若a.b为实数,且2-a+b-2=0，求2+b2-2b+1⑵已知24n是整数，求正整数n的最小值。
新人教版八年级数学下册导学案(全册136页)
第十六章 二次根式16．1 《 二次根式(1)》学案课型: 新授课 上课时间： 课时： 1学习内容：二次根式的概念及其运用 学习目标：1、理解二次根式的概念，并利用a （a ≥0）的意义解答具体题目．2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．学习过程一、自主学习 （一）、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．（3，3）．问题2：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S 2，那么S=_________．（46.） （二）学生学习课本知识 （三）、探索新知 1、知识： 如3、10、46，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如 •的式子叫做二次根式，“”称为 ．例如：形如 、 、 是二次根式。
形如 、 、 不是二次根式。
2、应用举例例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x （x>0）、0、42、-2、1x y+、x y +（x ≥0，y•≥0）． 解：二次根式有： ；不是二次根式的有： 。
例2．当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？ 解：由 得： 。
当 时，31x -在实数范围内有意义．（3）注意：1、形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；2、利用“a （a ≥0）”解决具体问题3、要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数。
二、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展 例3．当x 是多少时，23x ++11x +在实数范围内有意义？例4(1)已知y=2x -+2x -+5，求xy的值．(答案:2) (2)若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值．(答案:25)三、巩固练习 教材练习． 四、课堂检测 （1）、简答题1．下列式子中，哪些是二次根式那些不是二次根式？ -7 37x x 4 16 8 1x（2）、填空题1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为5的正方形的边长为________． （3）、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．若3x -+3x -有意义，则2x -=_______．3.使式子2(5)x --有意义的未知数x 有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．无数4.已知a 、b 为实数，且5a -+2102a -=b+4，求a 、b 的值．16．1 《 二次根式(2)》学案课型: 新授课 上课时间： 课时： 2 学习内容：1．a （a ≥0）是一个非负数； 2．（a ）2=a （a ≥0）．学习目标：1、理解a （a ≥0）是一个非负数和（a ）2=a （a ≥0），并利用它进行计算和化简．2、通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a （a ≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a ）2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题．教学过程 一、自主学习 （一）复习引入1．什么叫二次根式？2．当a ≥0时，a 叫什么？当a<0时，a 有意义吗？ （二）学生学习课本知识 （三）、探究新知1、a （a ≥0）是一个 数。
16-3 二次根式的加减(原卷版)
A．1B．2C．4D．10
【变式2-2】（2022秋•萧县期中）若最简二次根式 与 是可以合并的二次根式，则a的值
为（ ）
A．5B． C．﹣2D．
【变式2-3】（2022秋•揭阳期中）若两个最简二次根式 与2 可以合并，则合并后的结果是（ ）
（2）观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：．
（3）应用运算规律，求a1+a2+a3+…+a20的值．
解题技巧提炼
二次根式的规律探究题主要探究数式，算法，算理的规律，解题的关键在于观察并分析题中所给的运算过程，准确推理，合理猜想，得出一般的规律，然后进行论证，最后运用规律来解决所给的问题.
（1）请仿照上面方法化简a，b；
（2）求代数式2a2﹣5ab+2b2的值．
【例题7】（2022春•孝义市期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为6cm2和15cm2的两个小正方形，则留下阴影部分的面积为（ ）
A．6 cm2B．21cm2C．2 cm2D．4 cm2
解题技巧提炼
利用二次根式的加减法运算俩解决生活中的问题，应先认真分析题意，注意计算的准确性和结果的要求.
表示的数为x，则x 的值为（ ）
A．1 B．1 C． 1D．2
【变式3-5】计算下列各式：
（1） （2）
（3） （4） ．
【变式3-6】计算下列各题：
（1） ；（2）（ 3 ）﹣（ ）．
【例题4】（2022秋•方城县月考）计算：
（1） （﹣1）2018 |2 |；
（2）4 （ ） 1）2．
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16.3二次根式的混合运算
学习目标：
1、会进行二次根式的四则混合运算
2、会应用整式的运算法则进行二次根式的运算
3、体验和掌握迁移、转化等数学思想与方法 学习重、难点
重点：二次根式的四则混合运算顺序，运算律的合理使用
难点：灵活运用因式分解、约分等技巧简化计算
学习过程：
一、自主学习：
1. 化简下列二次根式： 12= ，313= ，311= ，48= ，27= 。
2.回顾： 整式混合运算的顺序：
先算 再算 最后 3.计算32+412-122=_______； 12+13-113=_________． 二、合作交流
1．填空：
（1）8+18-50=_______； （2）75+48-
27=________；
2．下列各式计算正确的是（ ）
A ．23+32=55
B ．23-3=1
C ．23×32=66
D ．23×32=65
3．下列各式计算正确的是（ ）
A 2243 ．（6）（6）=2-6=-4
C 35）2=32+5）2=3+5=8
D ．（23）（23）=（2）2-3）2=2-3=-1
4．如果a ·4a -=(4)a a - ，则（ ） A ．a ≥4 B ．a ≥0 C ．0≤a ≤4 D ．a 为一切实数
5．计算2327+634
，结果为（ ） A ．53 B ．7
2
3 C ．46 D ．93 三、课堂检测（1、2必做 3题为选做题）
1．计算：
（1）6×23－24÷3； （2）（27－218）÷6；
（3）（43－23）·（－6）； （4）（22-33）（33-22）．
2．计算：（1）（-1-5）（-5+1）； （2）（1-5）（5+5）；
（3）（35-53）2； （4）（27-52）2-（52+27）2．
3．已知121
,121
+=-=b a ，求102
2++b a 的值。