初中数学知识归纳：与中点有关的问题
完整版初中数学定理公式归纳汇总
专题知识讲座学案复习中考总初中数学定理、公式归纳汇总、过两点有且只有一条直线。
1 、两点之间线段最短。
2 、同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等。
3 、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。
4 、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
5 、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
6 、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。
7 、同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。
8 9、两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。
10、定理：三角形两边的和大于第三边。
推论：三角形两边的差小于第三边。
三角形三个内角的和等于180°。
11、三角形内角和定理：直角三角形的两个锐角互余。
1推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
推论2 ：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
推论3 、全等三角形的对应边、对应角相等。
12SAS、边角边公理（）：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
13ASA）：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
14、角边角公理（AAS推论（）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
SSS、边边边公理（）：有三边对应相等的两个三角形全等。
15HL）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
16、斜边、直角边公理（、定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
17 逆定理：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上。
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
1专题知识讲座学案习总复中考、等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）。
18 1推论：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。
2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。
推论：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总训练
最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题．最值题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、求时间最短；求最值、已知最值求待定系数等；对称载体多：几乎涉及到初中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐标轴）.我们知道“对称、平移、旋转” 是三种保形变换。
通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．通过几何变换移动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的。
数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。
（1）去伪存真。
刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长。
（2）科学选择。
捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。
（3）怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直线）的对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以定点为旋转中心旋转60°或90°。
《数学基础模块》下册8.1两点间距离公式和中点公式
8.1两点间距离公式和中点公式教学目标知识目标：理解两点间距离公式及中点坐标公式.能力目标：用“数形结合”的方法，介绍两个公式.培养学生解决问题的能力与计算能力.情感目标；端正学生数学学习态度，激发学生的学习兴趣.教学重点两点间距离公式及中点坐标公式的运用.教学难点对两点间距离公式及中点坐标公式的理解.教学备品教学课件、直尺.课时安排1课时.教学过程M，N"再过片作卩2必2垂线，垂足为Q.在直角三角形P X QP2中, 根据勾股左理，有I 片p2i=7ip,ei2+icp2i2=JlMM |2 +1弘“2 |2= yl(x2-x i)2 +(y2-yj2由此得到人(召,刀)，P2(x2, y2)两点间的距离公式I 片卩2 1= 7<X2-X1)2+(J2-J1)2例1求(2, -5), M2 (5, -1)两点间的距离.解：IM1M2 1= J(5 — 2严 +( —1 + 5严=^32+42=5答：两点间的距离为5.2.中点坐标公式设人(召,y J，巴(兀,儿)为平而直角坐标系内的任意两点，P(x,y)为线段许卩2的中点，中点坐标与两点许，卩2有何关系呢？通过公式推导加深学生对公式的理解.教会学生如何应用两点间距离公式.通过公式推导加深学生对公式的理解。
如图，分别过Pp P, P2向X轴作垂线，垂足分别是M lf M f M2,它们的坐标分别是X I，x,工2,根据平行线的性质，M是M X M2的中点。
所以I,即Ix-X] 1=1工2 -xl・由于M{M2与MM2方向一致，故有X-X1 =x2 -x ,即X = 土+乞,用同样的方法可以得丿=准+ >2.所以中点坐标公式2 2为工一心+兀2 丫_儿+儿一2 "一2例2求连结下列两点的线段的中点坐标：（1）匕（6,—）,匕（一2,5）：（2） A（“，O）,解：（1）根据中点坐标公式二线段许笃的中点坐标是（2,丄）（2）根据中点坐标公式/.线段AB的中点坐标是AC# , ?）.例3已知A（5, 0）, B（2, 1）, C（4, 7）求三角形ABC中AC边上的中线长.解：设 = ）是AC边上的中点，根据中点坐标公式5 + 4 9 0 + 7 7X = ------------ =— , V = ----------------------- =—2 2 丿2 297即点M的坐标是（一，一）・使学生能够综合运用两个公式解决实际问题。
完整版初中数学动点问题归纳
动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、三角形边上动点3x??6y?P、QO BA、点出发，两点，动点年齐齐哈尔市）直线同时从与坐标轴分别交于20091、（4yQ OAA 1沿线段个单同时到达点，运动停止．点运动，速度为每秒BO ABP→运动．位长度，点→沿路线B、A两点的坐标；1）直接写出（Ptt OPQ△Q SS之间的面积为的运动时间为与秒，（2）设点，求出xQOA 的函数关系式；48?SQ、O、P MP的求出点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标，并直接写出以点（3）当时，5坐标．，6）（0）B0解：1、A（8，2S=t＜3时，2、当0＜t S=3／8(8-t)t＜t＜8时，当3 B所有时间分段分类；）问按点提示：第（2P到拐点探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不，O、P、Q第（3）问是分类讨论：已知三定点为边。
然后为对角线、OQ为边、OQ为对角线，③OP同分类-----①OP为边、OQ为边，②OP 画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。
年衡阳市）2、（2009，是⊙O的直径，弦BC=2cm如图，AB o．∠ABC=60 的直径；1）求⊙O（与⊙O相切；延长线上一点，连结ABCD，当BD长为多少时，CD（2）若D是点出发沿的速度从BAB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从（3）若动点E以2cm/sA点出发沿着t)?t?2)(t(s0为直角三角形．为何值时，△BEF方向运动，设运动时间为BCEF，连结，当CC CF FE ABABADOEB O O1页共11 第页）3图（）2图（）1图（．注意：第（3）问按直角位置分类讨论0)a??33(y?a(x?1)2)，0(?2A D，经过点如图，重庆綦江）已知抛物线抛物线的顶点为，3、（2009xx CO BCOMADOM∥BD．过于点作射线轴正半轴上，，．过顶点连结平行于在轴的直线交射线1）求该抛物线的解析式；（O)st(OMPP．问运动，设点运动的时间为出发，以每秒（2）若动点1从点个长度单位的速度沿射线tDAOP为何值时，四边形分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？当M yDCQ OOBOC?B个长度同时出发，分别以每秒，动点和点3（）若和动点1分别从点BOOC运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随个长度单位的速度沿和单位和2Ptt BCPQPQ)(s四边形，之停止运动．设它们的运动的时间为连接为何值时，，当AQOxB PQ的面积最小？并求出最小值及此时的长．注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°BCPQ 的面积最小。
初中数学复习解析几何中的距离与中点
初中数学复习解析几何中的距离与中点解析几何是数学中的重要分支之一，通过运用坐标系和代数方法，研究几何图形的性质和关系。
在解析几何中，距离与中点是两个基本概念，它们在问题求解和证明中都起着重要的作用。
一、距离的定义和性质距离是解析几何中的一个基本概念，它描述了两个点之间的长度。
我们以平面上的两点A(x1，y1)和B(x2，y2)为例来说明距离的定义和性质。
距离的定义：设A、B是平面上的两个点，以AB表示线段AB的长度，记为|AB|。
距离的性质：1. 非负性：对于任意两个点A、B，有|AB| ≥ 0；2. 同一性：对于任意两个点A、B，有|AB| = 0当且仅当A、B重合；3. 对称性：对于任意两个点A、B，有|AB| = |BA|；4. 三角不等式：对于任意三个点A、B、C，有|AB| ≤ |AC| + |CB|。
二、中点的定义和性质中点是指线段的中心点，它将线段分成两等分。
以线段AB上的某点M为中点，可以得到以下中点的定义和性质。
中点的定义：设M为线段AB上的一点，若AM = MB，则M为线段AB的中点。
中点的性质：1. 唯一性：线段AB的中点存在且唯一；2. 分点式表示：设中点为M(x，y)，则M的坐标满足x = (x1 + x2) / 2，y = (y1 + y2) / 2；3. 分线段相等：若M为线段AB的中点，则|AM| = |MB|。
三、应用举例距离和中点的概念在解析几何的问题求解中经常用到，下面通过一些具体例子来说明它们的应用。
例1：已知平面上两点A(2，3)、B(4，5)，求线段AB的长度和中点坐标。
解：根据距离的定义和性质，可以得到线段AB的长度为|AB| =√[(4-2)² + (5-3)²] = √8。
根据中点的定义和性质，可以求得中点坐标为M((2+4)/2， (3+5)/2) = (3，4)。
例2：若平面上点A(1，2)和点B(x，y)满足|AB| = 5，求点B的坐标。
初三数学的中点问题类型
初中数学中的中点问题类型及其解决方案一、引言初中数学作为学生数学学习的重要阶段，对于培养学生的逻辑思维、解决问题能力和科学素养具有重要意义。
中点问题作为初中数学的核心内容，涵盖了方程式、不等式、二次函数等多个方面，对于提高学生数学成绩和实际应用能力至关重要。
本文将详细介绍初中数学中点问题的类型、解题方法与技巧、教育改革和拓展活动的影响以及学习建议与策略。
二、初中数学中点问题的类型1. 方程式：方程式是初中数学中点问题的基础，包括一元一次方程、二元一次方程等。
这类问题通常在实际生活中有着广泛的应用，如购物时的价格计算、工程中的进度控制等。
2. 不等式：不等式是初中数学中另一个重要的中点问题。
它描述了数量之间的大小关系，常用于解决实际问题中的范围和限制问题。
例如，在制定预算、安排人员等场景中，不等式可以用来确定各部分之间的数量关系。
3. 二次函数：二次函数是初中数学中的难点之一，但对于培养学生数学思维和解决问题的能力具有重要意义。
二次函数在实际生活中有着广泛的应用，如物理学中的抛物线运动、经济学中的股票价格波动等。
三、解题方法与技巧1. 方程式：首先需要认真审题，找出未知量和已知量之间的关系，然后利用适当的公式或方法进行计算。
在解方程时，要注意去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤的正确运用。
2. 不等式：解题时需要注意不等式的性质和运算规则，如不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变等。
此外，还需要掌握解不等式的基本步骤，如去分母、去括号、移项、合并同类项等。
3. 二次函数：解题时需要掌握二次函数的表达式、图像和性质，利用这些知识解决实际问题。
例如，在解决最大值或最小值问题时，可以通过配方或顶点式等方法来求解；在解决实际生活中的问题时，可以根据实际情况选择适当的函数表达式进行建模和分析。
四、深化理解与培养能力教育改革和拓展活动对于深化学生对中点问题的理解、培养他们的独立思考和解决问题能力至关重要。
初二数学知识点归纳
初二数学知识点归纳临近考试了，各科都会整理好知识点复习。
接下来是小编为大家整理的初二数学知识点归纳，希望大家喜欢!初二数学知识点归纳一第十一章三角形一、知识框架：二、知识概念：1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2、三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
3、高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
4、中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
5、角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
6、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
7、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
8、多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
9、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
10、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
11、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形。
12、平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13、公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
⑶多边形内角和公式：边形的内角和等于·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°。
⑸多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引条对角线，把多边形分成个三角形。
②边形共有条对角线。
第十二章全等三角形一、知识框架：二、知识概念：1、基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
初中数学常见模型之中点四大模型
巩固练习
1.（1）如图①，BD、CE 分别是△ABC 的外角平分，过点 A 作AD⊥BD、AE⊥CE，垂足分别为D、 E，连接DE。求证：DE∥BC，
（2）如图②，BD、CE 分别是△ABC 的内角平分，其它条件不变。上述结论是否成立？
（3） 如图③，BD 是△ABC 的内角平分，CE 是△ABC 的外角平分，其它条件不变。DE 与BC 还平行吗？它与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想BD 中，AB 与CD 相交于点O，AB=CD，E、F 分别是BC、AD 的中点，连接 EF 分别交DC、AB 于点M、N，判断△OMN 的形 状，请直接写出结论；
问题二：如图②，在△ABC 中，AC>AB，点D 在AC 上，AB=CD，E、F 分别是 BC、AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点 G，若 ∠EFC=60°，连 接GD，判断△AGD 的形状并证明。
3.问题 1：如图①，△ABC 中，点D 是AB 边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E、F， AE、BF 交于点M，连接DE、DF。若 DE =kDF ，则k 的值为 ；
问 题 2 ： 如 图 ② ， △ ABC 中 ， CB=CA ， 点 D 是 AB 边 的 中 点 ， 点 M 在 △ ABC 内 部 ， 且 ∠MAC=∠MBC。过点 M 分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E、F，连接DE、DF。若 DE=DF；
模型实例
例 1:如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，连接BE
并延长 AC 于点F，AF=EF。求证：AC=BE
巩固练习
1.如图，在△ABC 中，AB=12，AC=20，求BC 边上中线AD 的范围
2.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DM⊥DN，如果 求证：
中考数学动点最值问题归纳及解法
中考数学动点最值问题归纳及解法最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。
利用一次函数和二次函数的性质求最值。
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
“坐标几何题”（动点问题）分析动点个数两个一个两个问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动考查难点探究相似三角形探究三角形面积函数关系式探究等腰三角形考点①菱形性质②特殊角三角函数③求直线、抛物线解析式④相似三角形⑤不等式①求直线解析式②四边形面积的表示③动三角形面积函数④矩形性质①求抛物线顶点坐标②探究平行四边形③探究动三角形面积是定值④探究等腰三角形存在性特点①菱形是含60°的特殊菱形；△AOB是底角为30°的等腰三角形。
②一个动点速度是参数字母。
③探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。
④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。
⑤利用a、t范围，运用不等式求出a、t的值。
①观察图形构造特征适当割补表示面积②动点按到拐点时间分段分类③画出矩形必备条件的图形探究其存在性①直角梯形是特殊的（一底角是45°）②点动带动线动③线动中的特殊性（两个交点D、E是定点；动线段PF长度是定值，PF=OA）④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。
⑤探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）近几年共同点：①特殊四边形为背景；②点动带线动得出动三角形；③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；④求直线、抛物线解析式；⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。
初中数学竞赛知识点归纳(定理)
1.中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)初中竞赛需要，重要2.托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC初中竞赛需要，重要3.梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有BPPC×CQQA×ARRB=1初中竞赛需要，重要4.梅涅劳斯定理的逆定理：(略)初中竞赛需要，重要5.梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R 三点共线。
不用掌握6.梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线不用掌握7.、塞瓦定理：设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R，则BPPC×CQQA×ARRB()=1.初中竞赛需要，重要8.塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中心M不用掌握9.塞瓦定理的逆定理：(略)初中竞赛需要，重要10.塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点这个定理用塞瓦定理来证明将毫无几何美感，应该用中位线证明才漂亮11.塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点。
不用掌握12.西摩松定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，(这条直线叫西摩松线)初中竞赛的常用定理13.西摩松定理的逆定理：(略)初中竞赛的常用定理14.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角15.圆的外切四边形的两组对边的和相等16.弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 第一角元形式的梅涅劳斯定理 且因为AF=BF 所以AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三条中线交于一点 此外，可用定比分点来定义塞瓦定理： 在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。
北师大版中考数学复习：中点问题常考热点 专项练习题汇编(Word版,含答案)
北师大版中考数学复习：中点问题常考热点专项练习题汇编一．选择题1．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论正确的有：（）①AP＝FP，②AE＝AO，③若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，④CE•EF＝EQ•DE．A．4个B．3个C．2个D．1个2．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，动点P从点A出发向终点D运动，连BP，并过点C作CH⊥BP，垂足为H．①△ABP∽△HCB；②AH的最小值为﹣；③在运动过程中，BP扫过的面积始终等于CH扫过的面积；④在运动过程中，点H的运动路径的长为π，其中正确的有个（）个．A．1B．2C．3D．43．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，线段AE，AF与对角线BD分别交于点G，H．设矩形ABCD的面积为S，则以下4个结论中：①AG：GE＝2：1；②BG：GH：HD＝1：1：1；③S1+S2+S3＝S；④S2：S4：S6＝1：2：4．正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连接AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（）A．B．C．D．5．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的个数是（）①AE⊥BF；②S△BCF＝5S△BGE；③QB＝QF；④tan∠BQP＝．A．1B．2C．3D．46．正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE 沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE＝．下列结论：①AD垂直平分EE′，②tan∠ADE＝﹣1，③C△ADE﹣C△ODE＝2﹣1，④S四边形AEFB＝，其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABC＝2S△ABF．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．如图，正方形ABCD的边CD与正方形CGFE的边CE重合，O是EG的中点，∠EGC 的平分线GH过点D，交BE于H，连接OH、FH、EG与FH交于M，对于下面四个结论：①GH⊥BE；②HO BG；③S正方形ABCD：S正方形ECGF＝9﹣4：4；④EM：MG ＝1：（1+），其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，正方形ABCD中，P为对角线上的点，PB＝AB，连PC，作CE⊥CP交AP的延长线于E，AE交CD于F，交BC的延长线于G，则下列结论：①E为FG的中点；②FG2＝4CF•CD；③AD＝DE；④CF＝2DF．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题10．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD＝2，CD＝1．下列结论：①∠AED ＝∠ADC，②＝，③BF＝2AC，④BE＝DE．其中结论正确的个数有．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，BC＝4，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F，若△AB′F为直角三角形，则AE的长为．12．已知：△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，且BE＝AB，F为AC上一点，且CF＝AC，EF交AD于P，则EP：PF＝．13．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC 边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为．14．如图，正方形ABCD的边CD与正方形CGFE的边CE重合，O是EG的中点，∠EGC 的平分线GH过点D，交BE于H，连接OH、FH、EG与FH交于M，对于下面四个结论：①GH⊥BE；②HO BG；③点H不在正方形CGFE的外接圆上；④△GBE∽△GMF．其中正确的结论有．15．如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF＝EC，连接EF，DE，DF，M是FE中点，连接MC，设FE与DC相交于点N．则4个结论：①DN＝DG；②△BFG∽△EDG∽△BDE；③CM垂直BD；④若MC＝，则BF＝2；正确的结论有．16．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠DAB＝90°，AC与BD交于点H，AE⊥BC于点E，AE交BD于点G，点F是BD的中点，连接EF，若HG＝10，GB＝6，tan∠ACB＝1，则下列结论：①∠DAC＝∠CBD；②DH+GB＝HG；③4AH＝5HC；④EC﹣EB＝EF；其中正确结论序号是．17．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，CD＝1，CH⊥BD于H，点O是AB中点，连接OH，则OH＝．18．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP 翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的有（写出所有正确结论的序号）①△CMP∽△BP A；②四边形AMCB的面积最大值为10；③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；④线段AM的最小值为2；⑤当△ABP≌△ADN时，BP＝4﹣4．三．解答题19．在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝16cm，EF分别是AB、BD的中点，连接EF，点P 从点E出发沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s．同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接PQ．设运动时间为t（0＜t＜8）s．解答下列问题：（1）如图①，求证：△BEF∽△DCB；（2）如图②，过点Q作QG⊥AB，垂足为G，若四边形EPQG为矩形，t＝；（3）当△PQF为等腰三角形时，请直接写出t的值．20．如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，延长CA至点E，作DE⊥CE交BA 的延长线于点D，连接CD，点F为CD的中点，连接EF，BF．（1）直接写出线段EF和BF之间的数量关系为；（2）将△ADE绕点A顺时针旋转到图②的位置，猜想EF和BF之间的关系，并加以证明；（3）若AC＝3，AE＝2，将△ADE绕点A顺时针旋转，当A，E，B共线时，请直接写出EF的长．参考答案一．选择题1．解：连接AF．∵PF⊥AE，∴∠APF＝∠ABF＝90°，∴A，P，B，F四点共圆，∴∠AFP＝∠ABP＝45°，∴∠P AF＝∠PF A＝45°，∴AP＝FP，故①正确，设BE＝EC＝a，则AE＝a，OA＝OC＝OB＝OD＝a，∴，即AE＝AO，故②正确，根据对称性可知，△OPE≌△OQE，∴S△OEQ＝S四边形OPEQ＝2，∵OB＝OD，BE＝EC，∴CD＝2OE，OE∥CD，∴，△OEQ∽△CDQ，∴S△ODQ＝4，S△CDQ＝8，∴S△CDO＝12，∴S正方形ABCD＝48，故③错误，∵∠EPF＝∠DCE＝90°，∠PEF＝∠DEC，∴△EPF∽△ECD，∴，∵EQ＝PE，∴CE•EF＝EQ•DE，故④正确，故选：B．2．解：①∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAP＝90°，AD∥BC，∴∠APB＝∠HBC．∵CH⊥BP，∴∠BHC＝90°．∴∠BAP＝∠CHB＝90°．∴△ABP∽△HCB．∴①的结论正确；②如下图，点H的运动轨迹是以BC的中点为圆心，AB为半径的圆弧，设BC的中点为O，∵AH+HO≥AO，∴当A，H，O在一条直线上时，AH最小．∵BC＝2，∴OB＝BC＝．∴AO＝＝，∴AH的最小值＝AO﹣OB＝﹣，∴②的结论正确；③BP扫过的面积＝．∵点H的运动轨迹是以BC的中点为圆心，AB为半径的圆弧，∴CH扫过的面积为S扇形OBH+S△OHC．∵CD＝2，BC＝2，∴tan∠DBC＝，∴∠DBC＝30°，∴∠HOC＝2∠DBC＝60°，∴∠BOH＝120°．∴CH扫过的面积为S扇形OBH+S△OHC＝+××＝π+，∴③的结论错误；④∵点H的运动轨迹是以BC的中点为圆心，AB为半径的圆弧，∴点H的运动路径的长为：＝．∴④的结论错误；综上，正确的结论有：①②，故选：B．3．解：①∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E是BC的中点，∴BE＝BC，∵AD∥BE，∴＝＝2，即AG：GE＝2：1；故①正确；②∵AD∥BE，∴，∴BG＝BD，同理得：DH＝BD，∴BG＝GH＝HD，∴BG：GH：HD＝1：1：1；故②正确；③∵AD∥BE，∴△BEG∽△DAG，∴＝，∵BG＝GH＝HD，∴S5＝S3＝S4，设S1＝x，则S5＝S3＝S4＝2x，∴S＝12x，同理可得：S2＝x，∴S1+S2+S3＝x+x+2x＝4x＝S；故③正确；④由③知：S6＝6x﹣x﹣x＝4x，∴S2：S4：S6＝1：2：4，故④正确；所以本题的4个结论都正确；故选：D．4．解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'为等边三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M＝DM＝，∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，在Rt△BMC'中，BC'＝＝＝，∵S△BDC'＝BC'•DH＝BD•CM，∴DH＝3×，∴DH＝，故选：B．5．解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF＝BE，在△ABE和△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BGE＝90°，∴AE⊥BF，故①正确；∵∠BGE＝∠BCF，∠GBE＝∠CBF，∴△BGE∽△BCF，∵BE＝BC，BF＝BC，∴BE：BF＝1：，∴△BGE的面积：△BCF的面积＝1：5，∴S△BCF＝5S△BGE，故②正确．根据题意得，FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠ABF，∴∠ABF＝∠PFB，∴QF＝QB，故③正确；∵QF＝QB，PF＝1，则PB＝2，在Rt△BPQ中，设QB＝x，∴x2＝（x﹣1）2+4，∴x＝，∴QB＝，PQ＝＝＝，∴tan∠BQP＝＝，故④错误；故选：C．6．解：如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，AO＝OB＝OD＝OC，∠DAC＝∠CAB＝∠DAE′＝45°，根据对称性，△ADE≌△ADE′≌△ABE，∴DE＝DE′，AE＝AE′，∴AD垂直平分EE′，故①正确，∴EN＝NE′，∵∠NAE＝∠NEA＝∠MAE＝∠MEA＝45°，AE＝，∴AM＝EM＝EN＝AN＝1，∵ED平分∠ADO，EN⊥DA，EO⊥DB，∴EN＝EO＝1，AO＝DO＝+1，∴tan∠ADE＝tan∠ODE＝＝﹣1，故②正确，∴AB＝AD＝AO＝2+，∴C△ADE﹣C△ODE＝AD+AE﹣DO﹣EO＝，故③错误，∴S△AEB＝S△AED＝×1×（2+）＝1+，S△BDE＝S△ADB﹣2S△AEB＝1+，∵DF＝EF，∴S△EFB＝，∴S四边形AEFB＝S△AEB+S△BEF＝，故④错误，故选：C．7．解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，交BC于M，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∴∠EAC＝∠ACB，∵BE⊥AC于点F，∴∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝，∵AE＝AD＝BC，∴＝，∴CF＝2AF，故②正确；∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM＝DE＝BC，∴BM＝CM，CN＝NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DN垂直平分CF，∴DF＝DC，故③正确；∵CF＝2AF，∴S△ABC＝3S△ABF．∴④不正确；其中正确的结论有3个，故选：B．8．解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCE＝90°，同理可得CE＝CG，∠DCG＝90°，在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴∠BEC＝∠DGC，∵∠EDH＝∠CDG，∠DGC+∠CDG＝90°，∴∠EDH+∠BEC＝90°，∴∠EHD＝90°，即HG⊥BE，故①正确；在△BGH和△EGH中，，∴△BGH≌△EGH（ASA），∴BH＝EH，又∵O是EG的中点，∴HO＝BG，且HO∥BG，故②正确；设EC和OH相交于点N．设HN＝a，则BC＝2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC＝b，CD＝2a，∵OH∥BC，∴△DHN∽△DGC，∴＝，即＝，即a2+2ab﹣b2＝0，解得：a＝b＝（﹣1+）b，或a＝（﹣1﹣）b（舍去），则＝﹣1；则S正方形ABCD：S正方形ECGF＝（﹣1）2＝3﹣2，故③错误；∵EF∥OH，∴△EFM∽△OMH，∴＝＝，∴＝，＝，∴＝＝＝，故④正确．故选：C．9．解：①如图：正方形ABCD中BA＝BC，∠ABP＝∠CBP，BP＝BP，∴△ABP≌△CBP，那么∠1＝∠2，在直角三角形ABG中∠1与∠G互余，∠PCE＝90°，那么∠2与∠5互余，∴∠5＝∠G，∴EC＝EG．在直角三角形FCG中∠3与∠G互余，∠4与∠5也互余，而∠5＝∠G，∴∠3＝∠4，∴EC＝EF，从而得出EG＝EF，即E为FG的中点．∴①正确．③∵AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BP＝BP，∴△ABP≌△CBP，∴∠1＝∠2，∵AB∥CD，∴∠1＝∠DF A，∵AB＝BP，∴∠1＝∠BP A，∵∠DPF＝∠APB，∵EF＝CE，∴∠3＝∠4，∴∠4＝∠DPE，∴D、P、C、E四点共圆，∴∠DEA＝∠DCP，∵∠1+∠DAP＝90°，∠2+∠DCP＝90°，∴∠DAP＝∠DCP＝∠DEA，∴AD＝DE，∴③正确，②∵∠3＝∠4，AD＝DE（③已求证），∴△CEF∽△CDE，∴＝，即CE2＝CF•CD，∵∠3＝∠4，∴CE＝EF，∵E为FG的中点．∴FG＝2CE，即CE＝FG，∴＝CF•CD，即FG2＝4CF•CD，∴②正确．④∵四边形ABCD是正方形，∴△PDF∽△PBA，∴＝＝，∴＝，∴＝，即CF＝DF，∴④错误，综上所述，正确的由①②③．故选：C．二．填空题（共9小题）10．解：①∠AED＝90°﹣∠EAD，∠ADC＝90°﹣∠DAC，∵AD平分∠CAB，∴∠EAD＝∠DAC，∴∠AED＝∠ADC，故①正确；②∵∠EAD＝∠DAC，∠ADE＝∠ACD＝90°，∴△ADE∽△ACD，∴，∵AC的值未知，故②不一定正确；③连接DM，∵MD为斜边AE的中线，∴DM＝MA，∴∠MDA＝∠MAD＝∠DAC，∴DM∥BF∥AC，∴，∴，∴BF＝2AC，故③正确；④由③知，，∵，∴DM∥AC，DM⊥BC，∴∠MDA＝DAC＝DAM，∵∠ADE＝90°，∴DM＝MA＝ME，∵BM＝2AM，∴BE＝EM，∴ED＝BE，故④正确，故答案为：3个．11．解：①如图1中，当∠AFB′＝90°时．在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，AC＝4，∴AB＝2AC＝8，∵BD＝CD，∴BD＝CD＝BC＝2，由折叠的性质得：∠BFD＝90°，B'E＝BE，∴∠BDF＝60°，∴∠EDB＝∠EDF＝30°，∴∠B＝∠EDB＝30°，∴BE＝DE＝B'E，∵∠C＝∠BFD＝90°，∠DBF＝∠ABC＝90°，∴△BDF∽△BAC，∴，即＝，解得：BF＝3，设BE＝DE＝x，在Rt△EDF中，DE＝2EF，∴x＝2（3﹣x），解得：x＝2，∴AE＝8﹣2＝6．②如图2中，当∠AB′F＝90°时，作EH⊥AB′交AB′的延长线于H．设AE＝x．∵AD＝AD，CD＝DB′，∴Rt△ADC≌Rt△ADB′（HL），∴AC＝AB′＝4，∵∠AB′E＝∠AB′F+∠EB′F＝90°+30°＝120°，∴∠EB′H＝60°，在Rt△EHB′中，B′H＝B′E＝（8﹣x），EH＝B′H＝（8﹣x），在Rt△AEH中，∵EH2+AH2＝AE2，∴[（8﹣x）]2+[4+（8﹣x）]2＝x2，解得：x＝，综上所述，满足条件的AE的值为6或．故答案为：6或．12．解：∵BE＝AB，CF＝AC，∴则＝，＝，分别作EE1，FF1平行于BC且与AD交于E1、F1两点．则EE1∥FF1，∴△EE1P∽△FF1P，＝，＝＝，＝＝，又BD＝CD，∴＝，∴＝＝，故答案为：．13．解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点N'，连接MN′并延长交BD于P，连NP，根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，当P，M，N'三点共线时，取“＝”，∵正方形边长为8，∴AC＝AB＝，∵O为AC中点，∴AO＝OC＝，∵N为OA中点，∴ON＝，∴ON'＝CN'＝，∴AN'＝，∵BM＝6，∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，∴＝＝，∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM＝45°，∴△N'CM为等腰直角三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM﹣PN的最大值为2，故答案为：2．14．解：①如图，∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG，在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴∠BEC＝∠BGH，∵∠BGH+∠CDG＝90°，∠CDG＝∠HDE，∴∠BEC+∠HDE＝90°，∴GH⊥BE，故①正确；②∵GH是∠EGC的平分线，∴∠BGH＝∠EGH，在△BGH和△EGH中，，∴△BGH≌△EGH（ASA），∴BH＝EH，又∵O是EG的中点，∴HO是△EBG的中位线，∴OH∥BG，HO＝BG，故②正确；③由①得△EHG是直角三角形，∵O为EG的中点，∴OH＝OG＝OE，∴点H在正方形CGFE的外接圆上，故③错误；④如图2，连接CF，由③可得点H在正方形CGFE的外接圆上，∴∠HFC＝∠CGH，∵∠HFC+∠FMG＝90°，∠CGH+∠GBE＝90°，∴∠FMG＝∠GBE，又∵∠EGB＝∠FGM＝45°，∴△GBE∽△GMF，故④正确；故答案为：①②④．15．解：正方形ABCD中，AD＝CD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠ADF＝∠CDE，DE＝DF，∴∠EDF＝∠FDC+∠CDE＝∠FDC+∠ADF＝∠ADC＝90°，∴∠DEF＝45°，∵∠DGN＝45°+∠FDG，∠DNG＝45°+∠CDE，∠FDG≠∠CDE，∴∠DGN≠∠DNG，∴DN≠DH，判断出①错误；∵△DEF是等腰直角三角形，∵∠ABD＝∠DEF＝45°，∠BGF＝∠EGD（对顶角相等），∴△BFG∽△EDG，∵∠DBE＝∠DEF＝45°，∠BDE＝∠EDG，∴△EDG∽△BDE，∴△BFG∽△EDG∽△BDE，故②正确；连接BM、DM．∵△AFD≌△CED，∴∠FDA＝∠EDC，DF＝DE，∴∠FDE＝∠ADC＝90°，∵M是EF的中点，∴MD＝EF，∵BM＝EF，∴MD＝MB，在△DCM与△BCM中，，∴△DCM≌△BCM（SSS），∴∠BCM＝∠DCM，∴CM在正方形ABCD的角平分线AC上，∴MC垂直平分BD；故③正确；过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH＝45°，∵MC＝，∴MH＝×＝1，∵M是EF的中点，BF⊥BC，MH⊥BC，∴MH是△BEF的中位线，∴BF＝2MH＝2，故④正确；综上所述，正确的结论有②③④．故答案是：②③④．16．解：①以BD中点F为圆心，BD为直径可以作出△ABC的外接圆，∵tan∠ACB＝45°，∴∠ACB＝∠ADB＝45°，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠DAC＝∠CBD，故①正确；②∵△ABH∽△GDA，∴AB2＝BH•DG，即AB2＝16×（10+DH），叉∵BD＝AB，即16+DH＝AB，解得DH＝8，∵DH+GB＝8+6＝14≠10，∴DG+GB≠HG，故②错误；③∵△AHG∽△BHA，∴AH2＝BH•HG＝160，∴AH＝4，根据相交弦定理：AH•HC＝BH•DH，∴HC＝，∴4AH＝5HC，故③正确；④∵BD＝BH+DH＝24，△ABD为等腰直角三角形，∴AB＝12，∵AC＝AH+HC＝，且△AEC是等腰直角三角形，∴AE＝CE＝，根据勾股定理可得，BE＝，∴CE﹣BE＝，由△ABH∽△DCH，得CD＝，而FN＝CD＝，BF＝12，由勾股定理可得，BN＝，BE＝，∴EN＝BN﹣BE＝，EF＝，∴CE﹣EB＝EF，故④正确．综上，正确的结论是①③④．故答案为：①③④．17．解：在BD上截取BE＝CH，连接CO，OE，∵∠ACB＝90°，CH⊥BD，∵AC＝BC＝3，CD＝1，∴BD＝，∴△CDH∽△BDC，∴，∴CH＝，∵△ACB是等腰直角三角形，点O是AB中点，∴AO＝OB＝OC，∠A＝∠ACO＝∠BCO＝∠ABC＝45°，∴∠OCH+∠DCH＝45°，∠ABD+∠DBC＝45°，∵∠DCH＝∠CBD，∴∠OCH＝∠ABD，在△CHO与△BEO中，，∴△CHO≌△BEO，∴OE＝OH，∠BOE＝∠HOC，∵OC⊥BO，∴∠EOH＝90°，即△HOE是等腰直角三角形，∵EH＝BD﹣DH﹣CH＝﹣﹣＝，∴OH＝EH×＝，故答案为：．18．解：∵∠APB＝∠APE，∠MPC＝∠MPN，∵∠CPN+∠NPB＝180°，∴2∠NPM+2∠APE＝180°，∴∠MPN+∠APE＝90°，∴∠APM＝90°，∵∠CPM+∠APB＝90°，∠APB+∠P AB＝90°，∴∠CPM＝∠P AB，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB＝DC＝AD＝4，∠C＝∠B＝90°，∴△CMP∽△BP A．故①正确，设PB＝x，则CP＝4﹣x，∵△CMP∽△BP A，∴＝，∴CM＝x（4﹣x），∴S四边形AMCB＝[4+x（4﹣x）]×4＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣2）2+10，∴x＝2时，四边形AMCB面积最大值为10，故②正确，当PB＝PC＝PE＝2时，由折叠知，AE＝AB＝AD，∠AEP＝∠B＝90°，∴∠AEN＝90°＝∠D，∵AN＝AN，∴Rt△ADN≌Rt△AEN（HL），∴DN＝EN，设ND＝NE＝y，在Rt△PCN中，（y+2）2＝（4﹣y）2+22解得y＝，∴NE≠EP，故③错误，作MG⊥AB于G，∴MG＝AD＝4，根据勾股定理得：AM＝＝，∴AG最小时AM最小，∵AG＝AB﹣BG＝AB﹣CM＝4﹣x（4﹣x）＝（x﹣2）2+3，∴x＝2时，AG最小值＝3，∴AM最小值＝＝5，故④错误．∵△ABP≌△ADN时，∴△ABP≌△ADN≌△AEN≌△AEP，∴∠P AB＝∠DAN＝22.5°，在AB上取一点K使得AK＝PK，设PB＝z，∴∠KP A＝∠KAP＝22.5°∵∠PKB＝∠KP A+∠KAP＝45°，∴∠BPK＝∠BKP＝45°，∴PB＝BK＝z，AK＝PK＝z，∴z+z＝4，∴z＝4﹣4，∴PB＝4﹣4，故⑤正确．故答案为①②⑤．三．解答题（共22小题）19．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠EBF＝＝∠CDB，∵E、F分别是AB、BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∴EF∥BC，∴∠EFB＝∠CBD，∴△BEF∽△DCB；（2）当四边形EPQG为矩形时，如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝16cm，∴BD＝20cm，AD＝BC＝16cm，∵E、F分别是AB、BD的中点，∴BF＝DF＝10cm，EF＝AD＝×16＝8m，∴QF＝（2t﹣10）cm，PF＝（8﹣t）cm，∵四边形EPQG是矩形，∴PQ∥BE，∴△QPF∽△BEF，∴，∴，解得：t＝，∴当t＝时，四边形EPQG为矩形，故答案为；（3）当点Q在DF上，PF＝QF，如图所示，∵PF＝（8﹣t）cm，QF＝（10﹣2t）cm，∴8﹣t＝10﹣2t，解得：t＝2，当点Q在BF上，PF＝QF，如图所示，∵PF＝（8﹣t）cm，QF＝（2t﹣10）cm，∴8﹣t＝2t﹣10，∴t＝6，当点Q在BF上，PQ＝QF，如图所示，过点Q作QG⊥EF于点G，则GQ∥BE，∴△QGF∽△BEF，∴，∵PQ＝QF，∴GF＝PF＝（8﹣t），∴，∴t＝，当点Q在BF上，PQ＝PF，如图所示，过点P作PM⊥BF于点M，则∠PMF＝∠BEF＝90°，∵∠PFM＝∠BFE，∴△PFM∽△BFE，∴，∵PQ＝PF，∴MF＝QF＝（2t﹣10），∴，∴t＝，综上所述，t＝2或6或或时，△PQF是等腰三角形．20．解：（1）如图①中，结论：EF＝BF．理由：∵DE⊥CE，∴∠CED＝90°，∵∠CBD＝90°，CF＝DF，∴BF＝CD，EF＝CD，∴EF＝BF．故答案为：EF＝BF．（2）如图②中，结论：EF＝BF，EF⊥BF．理由：过点C作CT∥DE交EF的延长线于点T，连接BT，ET，延长DE交BC于点J，设AB交DJ于点K．∵CT∥DE，∴∠CTF＝∠DEF，∵∠CFT＝∠DFE，CF＝DF，∴△CFT≌△DFE（AAS），∴FT＝EF，CT＝DE，∵CT∥DJ，∴∠TCB＝∠DJB，∵∠AEK＝∠JBK＝90°，∠AKE＝∠JKB，∴∠EAK＝∠BJK，∴∠BCT＝∠BAE，∵AE＝DE，CT＝DE，∴CT＝AE，∵CB＝AB，∴△BCT≌△BAE（SAS），∴BT＝BE，∠CBT＝∠ABE，∴∠TBE＝ABC＝90°，∴△EBT是等腰直角三角形，∵FT＝EF，∴BF⊥EF，BF＝EF．（3）如图③﹣1中，当点E在BA的延长线上时，∵AB＝BC，AC＝3，∠ABC＝90°，∴AB＝AC＝3，∵AE＝2，∴BE＝5，∵△BFE是等腰直角三角形，∴EF＝AE＝如图③﹣2中，当点E在线段AB上时，同法可得EF＝，综上所述，满足条件的EF的长为或．。
【期末专项】苏科版七年级数学上册期末复习专题 与线段中点有关的动点问题
与线段中点有关的动点问题1．如图，直线l 上有A ，B ，C ，D 四点，点P 从点A 的左侧沿直线l 从左向右运动，当出现点P 与A ，B ，C ，D 四点中的至少两个点距离相等时，点P 就称为这两个点的黄金伴侣点，例：若P A ＝PB ，则在点P 从左向右运动的过程中，点P 成为黄金伴侣点的机会有（ ）A ．4次B ．5次C ．6次D ．7次2．如图，C 为线段AB 上一点，45AB =，AC 比BC 的13多5，P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，分别以3个单位/秒和1.5个单位/秒的速度在射线AB 上沿AB 方向运动，运动时间为t 秒，M 为BP 的中点，N 为QM 的中点，以下结论：①2BC AC =；②4AB NQ =；③当12PB BQ =时，12t =．其中正确的结论是________．3．如图，数轴上有两点,A B ，点C 从原点O 出发，以每秒1cm 的速度在线段OA 上运动，点D 从点B 出发，以每秒4cm 的速度在线段OB 上运动．在运动过程中满足4OD AC =，若点M 为直线OA 上一点，且AM BM OM -=，则ABOM的值为_______．4．如图所示．点A ，B ，C 是数轴上的三个点，且A ，B 两点表示的数互为相反数，12AB =，13AC AB =．(1)点A 表示的数是______；(2)若点P 从点B 出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______秒时，点C 恰好是BP 的中点；(3)若点Q 从点A 出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB 的中点为M ，当2MC QB =时，则点Q 运动了多少秒？请说明理由．5．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A 、点B 表示的数分别为a 、b ，则A 、B 两点之间的距离AB ＝|a ﹣b |．线段AB 的中点表示的数为2a b+． 如图，数轴上点A 表示的数为﹣2，点B 表示的数为8，点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．(1)填空：①A 、B 两点之间的距离AB ＝ ，线段AB 的中点表示的数为 ． ②用含t 的代数式表示：t 秒后，点P 表示的数为 ；点Q 表示的数为 ． ③当t ＝ 时，P 、Q 两点相遇，相遇点所表示的数为 ． (2)当t 为何值时，PQ ＝12AB ．(3)若点M 为P A 的中点，点N 为PB 的中点，点P 在运动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN 的长．6．如图，线段28AB =厘米，点D 和点C 在线段AB 上，且:5:2AC BC =，:1:4DC AB =．点P 从点A 出发以4厘米/秒的速度沿射线AD 向点C 运动，点P 到达点C 所在位置后立即按照原路原速返回，到达点D 所在位置后停止运动，点Q 从点B 出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC 的方向运动，点Q 到达点D 所在的位置后停止运动．点P 和点Q 同时出发，点．Q 运动的时间为．．．．．．t 秒．． （1）求线段AD 的长度；（2）当点C 恰好为PQ 的中点时，求t 的值； （3）当7PQ =厘米时，求t 的值．7．【新知理解】如图①，点C在线段AB上，若BC=πAC，则称点C是线段的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段．（1）若AC=2，求AB的长；（2）在（1）的条件下，若点D也是图①中线段AB的圆周率点（不同于点C），试求出线段BD 的长，并判断AC与BD的数量关系；【解决问题】（3）如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动性的滚动1周，该点到达C的位置，求点C所表示的数；若点M、N是线段OC的圆周率点，求MN的长；（4）图②中，若点D在射线OC上，且线段CD与O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数（答案保留π）．8．（理解新知）如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，（1）线段的中点这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）（2）（初步应用）如图②，若24cm CD =，点N 是线段CD 的“奇妙点”，则CN = cm ； （3）（解决问题）如图③，已知24cm AB =，动点P 从点A 出发，以2cm/s 速度沿AB 向点B 匀速移动，点Q 从点B 出发，以3cm/s 的速度沿BA 向点A 匀速移动，点P 、Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为 t ，请求出 为何值时，A 、P 、Q 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”．9．如图，已知数轴上点A 表示的数为a ，B 表示的数为b ，且a 、b 满足2(0+10)6a b -+=．动点P从点A 出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t （t ＞0）秒． （1）写出数轴上点A 表示的数是____________，点B 表示的数是______，点P 表示的数是____________（用含t 的式子表示）；（2）当点P 在点B 的左侧运动时，M 、N 分别是P A 、PB 的中点，求PM －PN 的值（3）动点Q 从点B 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P 、Q 同时出发，点P 运动多少秒时P 、Q 两点相距4个单位长度？10．如图，已知数轴上A 、B 两点所表示的数分别为﹣2和6 （1）求线段AB 的长；（2）已知点P 为数轴上点A 左侧的一个动点，且M 为PA 的中点，N 为PB 的中点．请你画出图形，并探究MN 的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN 的长；若改变，请说明理由．11．【新知理解】如图①，点M 在线段AB 上，图中共有三条线段AB 、AM 和BM ，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M 是线段AB 的“奇点”． （1）线段的中点______这条线段的“奇点”（填“是”或“不是”） 【初步应用】（2）如图②，若18CD cm =，点N 是线段CD 的奇点，则______CN cm =； 【解决问题】（3）如图③，已知15AB cm =动点P 从点A 出发，以1/cm s 速度沿AB 向点B 匀速移动：点Q 从点B 出发，以2/m s 的速度沿BA 向点A 匀速移动，点P 、Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t ，请直接写出t 为何值时，A 、P 、Q 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的奇点？12．如图1，数轴上点A表示的数为－2，点B 表示的数为6，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点M、N分别为PA、QB的中点．P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，运动停止，设点P、Q 运动时间为t秒．（1）当点P、Q相遇时，t ＝，MN ＝．（2）当PQ之间的距离为4个单位长度时，求线段MN的长．[知识迁移]学校数学社团学员自制了一个圆形转盘，如图2，O为转盘圆心，A、O、B在一条直线上，指针OP从OA出发绕点O顺时针方向转动，指针OQ也以相同的速度从OB出发绕点O逆时针方向转动．OP、OQ同时出发，当OP、OQ分别到达OB、OA时，运动停止．已知OM平分∠AOP，ON 平分∠BOQ，设∠MON ＝α，∠POQ ＝β．试探索α与β的关系．（直接写出答案）13．（1）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；（2）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？14．如图，数轴上有A、B、C、D、O五个点，点O为原点，点C在数轴上表示的数是5，线段CD 的长度为6个单位，线段AB的长度为2个单位，且B、C两点之间的距离为13个单位，请解答下列问题：（1）点D 在数轴上表示的数是___，点A 在数轴上表示的数是___；（2）若点B 以每秒2个单位的速度向右匀速运动t 秒运动到线段CD 上，且BC 的长度是3个单位，根据题意列出的方程是______________，解得t=___；（3）若线段AB 、CD 同时从原来的位置出发，线段AB 以每秒2个单位的速度向右匀速运动，线段CD 以每秒3个单位的速度向左匀速运动，把线段CD 的中点记作P ，求出点P 与线段AB 的一个端点的距离为2个单位时运动的时间．15．如图，已知数轴上点A 表示的数为6，B 是数轴上在A 左侧的一点，且A ，B 两点间的距离为18．动点P 从点A 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t （t >0）秒，（1）数轴上点B 表示的数是____________，点P 表示的数是____________（用含t 的代数式表示）； （2）动点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速运动，若点P 、Q 时出发．求： ①若点Q 向右运动，当点P 运动多少秒时，点P 与点Q 相遇?②若点Q 向左运动，当点P 运动多少秒时，点P 与点Q 间的距离为8个单位长度?16．如图，点A 、B 、C 在数轴上对应的数分别是12-、b 、c ，且b 、c 满足2(9)200b c -+-=，动点P 从点A 出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q 从点C 出发，以1个单位/秒速度向左运动，O 、B 两点之间为“变速区”，规则为从点O 运动到点B 期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B 运动到点O 期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，设运动时间为t 秒．（1）b =____，c =____，A 、C 两点间的距离为____个单位； （2）①若动点P 从A 出发运动至点C 时，求t 的值； ②当P 、Q 两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数； （3）当t =___时，P 、Q 两点到点B 的距离相等．答案与解析1．如图，直线l 上有A ，B ，C ，D 四点，点P 从点A 的左侧沿直线l 从左向右运动，当出现点P 与A ，B ，C ，D 四点中的至少两个点距离相等时，点P 就称为这两个点的黄金伴侣点，例：若P A ＝PB ，则在点P 从左向右运动的过程中，点P 成为黄金伴侣点的机会有（ ）A ．4次B ．5次C ．6次D ．7次【答案】C【分析】由题意知，点P 与A ，B ，C ，D 四点中的至少两个点距离相等时，恰好点P 是其中一条线段的中点，根据线段中点定义解答即可．【详解】解：由题意知，点P 与A ，B ，C ，D 四点中的至少两个点距离相等时，恰好点P 是其中一条线段的中点，图中共有六条线段：AB 、BC 、CD 、AC 、AD 、BD ， ∴点P 成为黄金伴侣点的机会有六次， 故选：C ．【点睛】此题考查了线段中点的定义，确定线段的数量，正确理解题意得到线段中点定义是解题的关键．2．如图，C 为线段AB 上一点，45AB =，AC 比BC 的13多5，P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，分别以3个单位/秒和1.5个单位/秒的速度在射线AB 上沿AB 方向运动，运动时间为t 秒，M 为BP 的中点，N 为QM 的中点，以下结论：①2BC AC =；②4AB NQ =；③当12PB BQ =时，12t =．其中正确的结论是________．3．如图，数轴上有两点,A B ，点C 从原点O 出发，以每秒1cm 的速度在线段OA 上运动，点D 从点B 出发，以每秒4cm 的速度在线段OB 上运动．在运动过程中满足4OD AC =，若点M 为直线OA 上一点，且AM BM OM -=，则ABOM的值为_______．4a b a a+-4．如图所示．点A ，B ，C 是数轴上的三个点，且A ，B 两点表示的数互为相反数，12AB =，13AC AB =．(1)点A 表示的数是______；(2)若点P 从点B 出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______秒时，点C 恰好是BP 的中点； (3)若点Q 从点A 出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB 的中点为M ，当2MC QB =时，则点Q 运动了多少秒？请说明理由．5．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．线段AB 的中点表示的数为2a b+． 如图，数轴上点A 表示的数为﹣2，点B 表示的数为8，点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．(1)填空：①A 、B 两点之间的距离AB ＝ ，线段AB 的中点表示的数为 ． ②用含t 的代数式表示：t 秒后，点P 表示的数为 ；点Q 表示的数为 ． ③当t ＝ 时，P 、Q 两点相遇，相遇点所表示的数为 ． (2)当t 为何值时，PQ ＝12AB ．(3)若点M 为P A 的中点，点N 为PB 的中点，点P 在运动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN 的长．6．如图，线段28AB =厘米，点D 和点C 在线段AB 上，且:5:2AC BC =，:1:4DC AB =．点P 从点A 出发以4厘米/秒的速度沿射线AD 向点C 运动，点P 到达点C 所在位置后立即按照原路原速返回，到达点D 所在位置后停止运动，点Q 从点B 出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC 的方向运动，点Q 到达点D 所在的位置后停止运动．点P 和点Q 同时出发，点．Q 运动的时间为．．．．．．t 秒．． （1）求线段AD 的长度；（2）当点C 恰好为PQ 的中点时，求t 的值；PQ=厘米时，求t的值．（3）当77．【新知理解】如图①，点C在线段AB上，若BC=πAC，则称点C是线段的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段．（1）若AC=2，求AB的长；（2）在（1）的条件下，若点D也是图①中线段AB的圆周率点（不同于点C），试求出线段BD 的长，并判断AC与BD的数量关系；【解决问题】（3）如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动性的滚动1周，该点到达C的位置，求点C所表示的数；若点M、N是线段OC的圆周率点，求MN的长；（4）图②中，若点D在射线OC上，且线段CD与O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D 所表示的数（答案保留π）．）2AC =,，2BC +=+）点、C 都是线段，BC π=，BD y = AB AC =x x π∴+x y ∴=，AC BD ∴=（3）由题意可知：M N 、均为线段∴ 不妨设z z π∴+=1OM ∴=8．（理解新知）如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，（1）线段的中点这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）（2）（初步应用）CD=，点N是线段CD的“奇妙点”，则CN=cm；如图②，若24cm（3）（解决问题）AB=，动点P从点A出发，以2cm/s速度沿AB向点B匀速移动，点Q从点B 如图③，已知24cm出发，以3cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t，请求出为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”．）N 是线段根据定义，此题共分为三种情况．2CD=，即2DN=，即CN=，即24AB =∴ t 秒后，当P 点是由“奇妙点当AQ AP =PQ9．如图，已知数轴上点A 表示的数为a ，B 表示的数为b ，且a 、b 满足2(0+10)6a b -+=．动点P从点A 出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t （t ＞0）秒． （1）写出数轴上点A 表示的数是____________，点B 表示的数是______，点P 表示的数是____________（用含t 的式子表示）；（2）当点P 在点B 的左侧运动时，M 、N 分别是P A 、PB 的中点，求PM －PN 的值（3）动点Q 从点B 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P 、Q 同时出发，点P 运动多少秒时P 、Q 两点相距4个单位长度？10．如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和6（1）求线段AB的长；（2）已知点P为数轴上点A左侧的一个动点，且M为PA的中点，N为PB的中点．请你画出图形，并探究MN的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN的长；若改变，请说明理由．11．【新知理解】如图①，点M 在线段AB 上，图中共有三条线段AB 、AM 和BM ，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M 是线段AB 的“奇点”． （1）线段的中点______这条线段的“奇点”（填“是”或“不是”） 【初步应用】（2）如图②，若18CD cm =，点N 是线段CD 的奇点，则______CN cm =； 【解决问题】（3）如图③，已知15AB cm =动点P 从点A 出发，以1/cm s 速度沿AB 向点B 匀速移动：点Q 从点B 出发，以2/m s 的速度沿BA 向点A 匀速移动，点P 、Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t ，请直接写出t 为何值时，A 、P 、Q 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的奇点？）一条线段的长度是另外一条线段长度的）18CD =可分三种情况，N 为中点时，N 为CD 的三等分点，且N 为CD 的三等分点，且AB=）15秒后，AP=由题意可知P为A、Q）点P为AQ中点时，则12．如图1，数轴上点A表示的数为－2，点B 表示的数为6，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点M、N分别为PA、QB的中点．P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，运动停止，设点P、Q 运动时间为t秒．（1）当点P、Q相遇时，t ＝，MN ＝．（2）当PQ之间的距离为4个单位长度时，求线段MN的长．[知识迁移]学校数学社团学员自制了一个圆形转盘，如图2，O为转盘圆心，A、O、B在一条直线上，指针OP从OA出发绕点O顺时针方向转动，指针OQ也以相同的速度从OB出发绕点O逆时针方向转动．OP、OQ同时出发，当OP、OQ分别到达OB、OA时，运动停止．已知OM平分∠AOP，ON 平分∠BOQ，设∠MON ＝α，∠POQ ＝β．试探索α与β的关系．（直接写出答案）13．（1）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；（2）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？3314．如图，数轴上有A、B、C、D、O五个点，点O为原点，点C在数轴上表示的数是5，线段CD 的长度为6个单位，线段AB的长度为2个单位，且B、C两点之间的距离为13个单位，请解答下列问题：（1）点D在数轴上表示的数是___，点A在数轴上表示的数是___；（2）若点B以每秒2个单位的速度向右匀速运动t秒运动到线段CD上，且BC的长度是3个单位，根据题意列出的方程是______________，解得t=___；（3）若线段AB、CD同时从原来的位置出发，线段AB以每秒2个单位的速度向右匀速运动，线段CD以每秒3个单位的速度向左匀速运动，把线段CD的中点记作P，求出点P与线段AB的一个端点的距离为2个单位时运动的时间．【答案】（1）11，-10；（2）2t-13=3，8；（3）t=2.8或3.6或4【分析】（1）根据题意以及数轴上所表示的数字写出点D、A表示的数字；（2）根据等量关系：点B运动的距离-13=3，列方程求解；（3）线段CD的中点P的位置为8，分情况讨论即可．【详解】（1）∵点C在数轴上表示的数是5，CD=6，AB=2，BC=13，∴点D在数轴上表示的数是11，点B在数轴上表示的数是﹣8，点A在数轴上表示的数是﹣10；（2）B运动到CD上时，走过的路程为2t，减去BC的距离即为此时BC的长度，故：2t-13=3，解得：t=8；（3）由题意得，线段CD的中点P的位置为8，分三种情况讨论：①当点P在点B右侧2个单位时，16﹣2t﹣3t=2，解得：t=2.8；②当点P在点B左侧2个单位时，2t+3t﹣16=2，解得：t=3.6，此时P与A重合；③当点P在点A左侧2个单位时，2t+3t﹣18=2，解得：t=4；综上，当t=2.8或3.6或4时，点P与线段AB的一个端点的距离为2个单位．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和数轴．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．15．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为18．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t>0）秒，（1）数轴上点B表示的数是____________，点P表示的数是____________（用含t的代数式表示）；（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速运动，若点P、Q时出发．求：①若点Q向右运动，当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇?②若点Q向左运动，当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度?【答案】（1）-12，6-4t；（2）①3；②5或13．【分析】（1）由已知得OA＝6，B是数轴上在A左侧的一点，则可得OB＝AB−OA＝12，因为点B在原点左边，从而可得点B所表示的数；动点P从点A出发，运动时间为t（t＞0）秒，所以运动的单位长度为4t，因为沿数轴向左匀速运动，所以点P所表示的数是6−4t；（2）①若点Q向右运动，根据两点之间的距离为18，则4t+2t=18，然后解方程即可；②分两种情况：当点P运动a秒时，不超过Q，则18＋2a−4a＝8；超过Q，则18＋2a＋8＝4a；由此求得答案即可．【详解】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，∴OA＝6，∵AB=18，B是数轴上在A左侧的一点，∴OB＝AB−OA＝12，点B在原点左边，∴数轴上点B所表示的数为−12；点P运动t秒的长度为4t，∵动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴P所表示的数为：6−4t；（2）①若点Q 向右运动，根据两点之间的距离为18，则4t+2t=18， 解得t ＝3，答：当点P 运动3秒时，点P 与点Q 相遇；②设当点P 运动a 秒时，点P 与点Q 间的距离为8个单位长度， 当P 不超过Q ，则18＋2a−4a ＝8，解得a ＝5； 当P 超过Q ，则18＋2a ＋8＝4a ，解得a ＝13；答：当点P 运动5或13秒时，点P 与点Q 间的距离为8个单位长度．【点睛】此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的关系是解题关键．16．如图，点A 、B 、C 在数轴上对应的数分别是12-、b 、c ，且b 、c 满足2(9)200b c -+-=，动点P 从点A 出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q 从点C 出发，以1个单位/秒速度向左运动，O 、B 两点之间为“变速区”，规则为从点O 运动到点B 期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B 运动到点O 期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，设运动时间为t 秒．（1）b =____，c =____，A 、C 两点间的距离为____个单位； （2）①若动点P 从A 出发运动至点C 时，求t 的值； ②当P 、Q 两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数； （3）当t =___时，P 、Q 两点到点B 的距离相等．∴PB=15-t ，()311333BQ CQ CB BQ t t =-==-=-， ∵PB=BQ ， ∴15333t t -=-， 解得t=12，④当点Q 和点P 都过了“变速区”，即15t >，如图所示：∴()215230PB t t =-=-，()11495BQ OQ OB t t =+=⨯-+=-， ∵PB=BQ ， ∴2305t t -=-， 解得：25t =；综上所述：当t=12或25时，点P 、Q 到点B 的距离相等； 故答案为12或25．【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题及线段的和差、一元一次方程的解法，熟练掌握数轴上的动点问题及线段的和差、一元一次方程的解法是解题的关键．。
初中数学必背几何知识点总结归纳
初中数学必背几何知识点总结归纳初中数学几何的知识点三角形知识点、概念总结1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
6.高线、中线、角平分线的意义和做法7.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
8.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°推论1直角三角形的两个锐角互余推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;三角形的内角和是外角和的一半9.三角形的外角：三角形的一条边与另一条边延长线的夹角，叫做三角形的外角。
10.三角形外角的性质(1)顶点是三角形的一个顶点，一边是三角形的一边，另一边是三角形的一边的延长线;(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和;(3)三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角;(4)三角形的外角和是360°。
四边形(含多边形)知识点、概念总结一、平行四边形的定义、性质及判定1.两组对边平行的四边形是平行四边形。
2.性质：(1)平行四边形的对边相等且平行(2)平行四边形的对角相等，邻角互补(3)平行四边形的对角线互相平分3.判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形4.对称性：平行四边形是中心对称图形二、矩形的定义、性质及判定1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2.性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等3.判定：(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(2)有三个角是直角的四边形是矩形(3)两条对角线相等的平行四边形是矩形4.对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形。
与中点有关的初中数学模型
与中点有关的初中数学模型
中点是初中数学中一个非常重要的概念和工具，它在数学中具有
广泛的应用和重要意义。
首先，中点是指一条线段的中点，它的位置一般表示为M，可以通过利用线段的两个端点A和B，通过求中点的方法得到。
具体的方法就是通过对线段的长度进行平分，即将线段的长度除以2，在线段上从一个端点出发，沿着线段的方向向前移动刚好一半的距离，就可以找到
中点了。
中点不仅如此，它还可以帮助我们理解和解决许多数学问题。
比如，在平面几何中，我们可以利用中点将一个线段平分并找到中垂线，进而推导出直角三角形的勾股定理；在向量和解析几何中，我们可以
利用中点求两点之间的距离和方向角；在统计学中，中点可以帮助我
们进行频率分布和直方图的绘制，从而更好地理解数据的分布情况等等。
除此之外，中点还可以应用于实际问题中，例如在电路中，电路
中点是一个重要的概念，对于电路的设计和分析都有重要的帮助和意义；在交通运输中，中点可以帮助我们规划路线，优化交通线路的布
局等。
综上所述，中点是一个广泛应用的数学概念和工具，它不仅是初
中数学知识体系中重要组成部分，更是在实际生活和其他学科中具有
着重要意义和广泛应用的数学工具。
因此，我们要高度重视中点相关的数学模型的学习和掌握，进一步提高自己的数学素养和应用能力。
初中数学知识点精讲精析 线段的和差
6.4 线段的和差学习目标1. 正确理解两点之间的距离的概念。
2. 了解线段的中点的概念。
知识详解1.一般地，如果一条线段的长度是另两条线段长度的和，那么这条线段就叫做另两条线段的和；如果一条线段的长度是另两条线段的长度的差，那么这条线段就叫做另两条线段的差。
2. 线段的中点如图，点C在线段AB上且使线段AC，CB相等，这样的点C叫做线段AB的中点．【典型例题】例1：已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理。
例2：如图，长度为12cm的线段AB的中点为M，C点将线段MB分成MC：CB=1：2，则线段AC的长度为（）A．2cmB．8cmC．6cmD．4cm【答案】B【解析】由已知条件知AM=BM=0.5AB，根据MC：CB=1：2，得出MC，CB的长，故AC=AM+MC 可求．例3：甲、乙两地之间有四条路可走（如图），那么最短路线的序号是（）A．①B．②C．③D．④【答案】B【解析】由图可知，甲乙两地之间的四条路只有②是线段，故最短路线的序号是②．【误区警示】易错点1：两点之间距离1.某公司员工分别住在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人．三个区在一条直线上，位置如图所示．公司的接送打算在此间只设一个停靠点，要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在（）A．A区B．B区C．C区D．不确定【答案】A【解析】根据题意分别计算停靠点分别在各点是员工步行的路程和，选择最小的即可解。
易错点2：中点2.如图，点A、B、C顺次在直线l上，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点．若想求出MN的长度，那么只需条件（）A．AB=12B．BC=4C．AM=5D．CN=2【答案】A【解析】根据点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，可知：MN＝MC−NC＝12 AB，继而即可得出答案．【综合提升】针对训练1.如图，C、B是线段AD上的两点，若AB=CD，BC=2AC，那么AC与CD的关系是为（）A．CD=2ACB．CD=3ACC．CD=4BDD．不能确定2.如图，线段AB=8，延长AB到C，若线段BC的长是AB长的一半，则AC的长为（）A．4B．6C．8D．123.已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，则线段AC= cm．1.【答案】B【解析】由AB=CD，可得，AC=BD，又BC=2AC，所以，BC=2BD，所以，CD=3AC2.【答案】D【解析】根据题意，易得BC= 12AB=4，进而可得AC的长．3.【答案】5或11【解析】点C可能在线段AB上，也可能在AB的延长线上．因此分类讨论计算．【中考链接】（2014年长沙）如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB=10cm，BC=4cm，则AD的长为（）A．2cmB．3cmC．4cmD．6cm【答案】B【解析】∵AB=10cm，BC=4cm，∴AC=AB-BC=6cm，又点D是AC的中点，∴AD=12AC=3m课外拓展计算线段的和、差、倍、分时应注意的问题，一般要注意以下几个方面：①按照题中已知条件画出符合题意的图形是正确解题的先决条件；②观察图形，找出线段间的关系；③线段的和、差、倍、分与线段长度的和、差、倍、分是一致的．其运算方法和顺序结合与有理数运算类似。
初三数学的中点问题类型
初三数学的中点问题类型数学初三的中点问题类型是指关于中点的各种问题类型。
在初中数学中，中点是一个重要的概念，涉及到线段的性质，几何图形的对称性等内容。
下面我将从几何和代数两个角度来介绍初三数学中与中点相关的问题类型。
一、几何：1.线段中点：给定一个线段，问题可能涉及到线段中点的性质、如何找到线段的中点以及利用中点判断线段的性质。
例如：如何用尺规画出一个线段的中点？一个线段的中点是否恰好在线段上？如何判定两个线段的中点是否相等？2.多边形的中点：问题可能涉及到多边形的对称性质，如何找到多边形的中点以及利用中点判断多边形的性质。
例如：如何找到一个三角形的重心？如何用尺规画出一个四边形的中点？3.平行线段的中点：问题可能涉及到平行线段的中点的性质，如何找到平行线段的中点以及利用中点判断线段的性质。
例如：如何找到两个平行线段的中点？二、代数：1.数列中点：给定一个数列，问题可能涉及到数列中点的性质、如何找到数列的中点以及利用中点判断数列的性质。
例如：一个数列的中点是否恰好在数列上？如何找到一个数列的中点？2.等差数列的中点：问题可能涉及到等差数列的中点的性质，如何找到等差数列的中点以及利用中点判断数列的性质。
例如：如何找到一个等差数列的中点？3.等比数列的中点：问题可能涉及到等比数列的中点的性质，如何找到等比数列的中点以及利用中点判断数列的性质。
例如：如何找到一个等比数列的中点？以上只是初三数学中与中点相关的一些问题类型，实际上数学中还有很多其他与中点有关的问题。
这些问题涉及到初中数学的各个知识点，例如线段、多边形、数列等，通过学习和解决这些问题，可以帮助学生加深对这些知识点的理解，并培养解决问题的能力。
【初中数学知识点解析】 巧用中点坐标解决相关问题
类型3 平面直角坐标系中一些特殊点的坐标
6．已知A（－3，m），B（n，4），若AB∥x轴，求m的值，并确 定n的取值范围． 解： 因为AB∥x轴，所以m＝4.因为A，B不重合，所以n≠－3.
与x轴平行的直线上的点的纵坐标相等．
要点提示
根据点的坐标符号可判断点的位置，反之，也可以根据点在坐标平面内 的位置判断其坐标的符号情况．
坐标平面内的点的位置与其坐标的关1．若点M（x，y）满足（x＋y）2＝x2＋y2－2，则点M所在象限是（ B ）
A．第一象限或第三象限
B．第二象限或第四象限
类型6 关于特殊直线对称的点
13．点M（1，4－m）关于过点（5，0）且垂直于x轴的直线对称的点的坐 标是 (9，4－m) ；若点M关于过点（0，－3）且平行于x轴的直线对称的 点的坐标为（1，7），则m＝ 17 ．
点A(a，b)关于过点(k，0)且垂直于x轴的直线对称的点的坐标为(2k－a，b)， 关于过点(0，k)且平行于x轴的直线对称的点的坐标为(a，2k－b)．
类型4 点的坐标与点到x轴、y轴的距离之间的关系
7．已知点A（3a，2b）在x轴上方，y轴的左侧，则点A到x轴、y轴的距离分 别为（ C ）
A．3a，－2b B．－3a，2b C．2b，－3a D．－2b，3a
分析：由点A(3a，2b)在x轴上方，y轴的左侧可知点A在第二象限， 故3a是负数，2b是正数，所以点A到x轴、y轴的距离分别为2b，－3a.
B．点M在x轴负半轴上
C．点M在y轴正半轴上
D．点M在y轴负半轴上
解：由 a2 可确定a＝0，所以 a2 ＝0. 又|b|＋1＞0， 所以点M( a2 ，|b|＋1)在y轴正半轴上．
直线中点知识点总结
直线中点知识点总结一、直线中点的定义和性质1. 定义：在平面上，两点之间有唯一一条直线，这条直线的中点就是这两点的中点。
2. 性质：（1）连接线段两端的中点，得到的线段是原线段的一半。
（2）连接两点的中点的直线是原直线的中垂线。
（3）连接两点的中点的直线长度是原直线长度的一半。
（4）连接两点的中点的线段是原线段的中线，且被中点平分。
（5）如果点A、B、C在直线l上，且B是AC的中点，则AB = BC。
（6）连接平行线段两端的中点，得到的线段是原线段的一半。
二、直线中点的求法1. 已知两点坐标求中点：设两点A（x1，y1）、B（x2，y2），则中点M的坐标为（x，y），其中x = (x1+x2)/2, y = (y1+y2)/2。
2. 中点坐标求直线方程：已知中点M（h，k），且直线l过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），则直线l的方程为(x - h)/(x1 - h) = (y - k)/(y1 - k) = (x2 - x1)/(y2 - y1)。
三、直线中点的应用1. 在平行四边形中，对角线的交点是对角线的中点。
2. 在三角形中，连接一个顶点和对边中点，得到的线段是对边的一半，并且被顶点平分。
3. 在四边形中，对角线的交点是对角线的中点。
4. 在平行线中，连接平行线段两端的中点，得到的线段是原线段的一半。
四、例题解析1. 已知A（1，2）、B（3，4），求线段AB的中点坐标。
解：由中点的求法可知，中点M的坐标为（（1+3）/2,（2+4）/2），即M（2,3）。
2. 已知直线l过点A（1，2）和B（3，4），求过中点M（2，3）且垂直于直线l的直线方程。
解：设中点M（2，3），则直线l的斜率为k = (4-2)/(3-1) = 1。
过中点M且垂直于直线l 的直线的斜率为-1/k = -1，因此垂直于直线l的直线方程为(y - 3)/(x - 2) = -1。
3. 如图所示，ABCD是一个平行四边形，E是对角线AC的中点，求DE的长度。
常考初中数学的知识点
常考初中数学的知识点初中数学常考知识点一、圆1、圆的有关性质在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径。
由圆的意义可知：圆上各点到定点(圆心O)的距离等于定长的点都在圆上。
就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆。
心的距离小于半径的点的集合。
圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。
连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。
圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧;小于半圆的弧叫劣弧。
由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。
圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。
能够重合的两个圆叫等圆。
同圆或等圆的半径相等。
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。
二、过三点的圆l、过三点的圆过三点的圆的作法：利用中垂线找圆心定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。
经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形。
2、反证法反证法的三个步骤：①假设命题的结论不成立;②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾;③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
例如：求证三角形中最多只有一个角是钝角。
证明：设有两个以上是钝角则两个钝角之和>180°与三角形内角和等于180°矛盾。
∴不可能有二个以上是钝角。
即最多只能有一个是钝角。
三、垂直于弦的直径圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。
推理2：圆两条平行弦所夹的弧相等。
四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
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初中数学知识归纳：
与中点有关的问题常用处理方法
方法提炼：
中点作为条件，解题时我们常常遇见。
在学过中位线以后，很多同学出于定势思维，当遇到题目条件中有中点是，就单一的往中位线方向思考。
确实，我们在解决问题时，很多正确的思路都是源于数学直观、源于联想，但是这种联想首先要考虑题目条件的指向，同时，不能拘泥于固定的框架，当遇到“中点”条件时，除了常见的平分线段和中位线外，还有以下一些与常用处理方式，希望能给同学们的数学联想起到一点的指引作用：
1.平行+中点→全等
2.任意三角形+中线→平分面积
3.直角三角形+斜边上的中线→平分斜边且等于斜边的一半
4.等腰三角形+底边上的中线→垂直+角平分线。