特殊的平行四边形证明(拔高)
特殊平行四边形证明
特殊平行四边形证明设特殊平行四边形ABCD的两对边分别平行，其中AB与CD平行，BC与AD平行；设AB=CD，BC=AD。
我们要证明对角线AC和BD互相平分，并且AC=BD。
首先，我们可以通过观察发现，在特殊平行四边形ABCD中，角BAD和角CDA分别等于角BCD和角ADC，这是因为平行线AB与CD分别与平行线AD与BC交叉，形成了对应角。
因此，我们可以得出：角BAD=角CDA (1)角BCD=角ADC (2)A________BD--------C我们可以注意到四边形ABCD可以分成两个三角形：△AED和△BEC。
根据上述所得到的结论，我们知道角BAD等于角CDA，角BCD等于角ADC。
由于BD是BC的延长线，所以角BCD也等于角BCE。
根据三角形内角和定理，我们可以得到三角形△BEC中的角BEC等于角BCD+角BCE，即角BCD+角BCE=角BCD+角BCD=2角BCD同样地，我们可以得到△AED中的角AED等于角BAD+角AED，即角BAD+角AED=角BAD+角BAD=2角BAD根据题设条件，我们知道AB=CD，所以△AEB和△CED是等腰三角形，因此角AEB等于角BEA，角CED等于角CED。
通过观察我们可以发现，角AEB等于角BEA等于角BEC，角CED等于角CDE等于角BCE。
所以角AEB=角BEA=角BEC (3)角CED=角CDE=角BCE (4)现在，我们可以将(3)代入△BEC的等式中，得到：角BCD+角BEC=2角BCD=2角AEB同样地，将(4)代入△AED的等式中，得到：角BAD+角AED=2角BAD=2角CED由于以E点为顶点的两个角分别等于以B点和C点为顶点的两个角的两倍，所以根据角等于其对边所对的弧长，我们可以得出：∠BAE=∠BCE (5)∠CDE=∠CAE (6)由(5)、(6)两式可知，∠BAE=∠BCE，∠CAE=∠CDE，根据等腰三角形的性质，我们可以得到AE=CE。
人教八年级数学特殊平行四边形相关知识归纳总结与例题精讲
菱形的性质
性质 1 菱形的四条边都相等； 性质 2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；
菱形的判定
菱形判定方法 1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
注意此方法包括两个条件： （1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂 直．
菱形判定方法 2:四边都相等的四边形是菱形．
例 1 已知：如图，四边形 ABCD 是菱形， F 是 AB 上一点， DF 交 AC 于 E． 求证：∠ AFD= ∠CBE ．
例 2 已知：如图 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD 、 BC 分别交于 E、 F． 求证：四边形 AFCE 是菱形．
然后再加上相
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例 1 已知：如图，正方形 ABCD 中，对角线的交点为 OB 上的一点， DG ⊥ AE 于 G，DG 交 OA 于 F． 求证： OE=OF ．
O， E 是
例 2 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，分别过点 A 、 C 两点作 l 1∥ l2，作 BM ⊥ l 1 于 M ， DN ⊥ l1 于 N ，直线 MB 、DN 分别交 l 2 于 Q、P 点．
求证：四边形 PQMN 是正方形．
例 3、（ 2008 海南） 如图， P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（ P 与 A、C 不重合），点 E 在射线 BC 上，且 PE=PB .
（ 1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥ PD ； （ 2）设 AP=x, △PBE 的面积为 y.
A
B
E
D
C
图5
例题讲解 例一 .分析：（ 1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形
特殊平行四边形证明
特殊平行四边形证明
证明如下：
首先，我们假设有一个平行四边形ABCD，其中AB∥CD，并且AC与BD相交于O。
由于AB∥CD，所以有∠BAD=∠BCD（对应角）、∠ABD=∠ACD（同位角）。
又由于平行四边形的两组对角线互相平分，所以我们可以得到两个重要的等角关系：
∠BAO=∠DAO (1)
∠CAO=∠CDO (2)
然后，我们在平行四边形ABCD中作AO的垂线，垂足为O'，并且连接CO'和DO'。
由于AO是ABCD的对角线，根据垂心定理，AO是CO'与DO'的公共垂线。
所以CO'和DO'垂直于AO，即∠CO'O=∠DO'O=90°。
又根据(1)，∠BAO=∠DAO，我们可以得到三角形BAO和DAO是相似三角形。
同理可得三角形CAO和CDO是相似三角形。
由于相似三角形的性质，我们可以得到以下比例关系：
OA/OD=BA/AD (3)
OA/OC=DA/CA (4)
QA:QD=QO:OA=QO:OD (5)
PA:PB=PO:OA=PO:OC (6)
其中，P和Q是AO的中点。
根据三角形的相似比例关系，我们可以进一步得到：OA/OD=OB/OC，并且DA/CA=DB/CB。
由于BA∥CD，所以根据平行四边形的内角性质，我们可以得到
∠ADB=∠BCA（同位角）。
综上所述，我们证明了平行四边形ABCD的对角线互相平分，并且有直角相等，即一个特殊平行四边形。
证毕。
特殊平行四边形的证明(讲义及答案)
特殊平行四边形的证明（讲义）➢知识点睛菱形已知条件中有某个特殊的四边形，往往从其性质着手考虑．要证明某个四边形是特殊的四边形，则需要考虑其判定或定义．在求解时，具体选择哪一条性质与判定，往往需要结合题目给出的条件进行分析．➢精讲精练1.如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．DA EOB C F2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°．AG∥CD，交BC于点G，E，F分别为AG，CD的中点，连接DE，FG，DG．（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；（2）当点G是BC的中点时，求证：四边形ABGD是矩形．A DFEB G C3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，O为AB的中点，连接DO并延长至点E，使OE=DO，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？请说明理由．O ED C BA4. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AB 于点E ，点F 在DE 上，且AF =CE =AE ． （1）求证：四边形ACEF 是平行四边形；（2）当∠B 满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？请说明理由．FED CBA5. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作BC的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF ．若AB ⊥AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．FEDCB6. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，且AE =AF ． （1）求证：BE =DF ；（2）连接AC ，交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM =OA ，连接EM ，FM ，则四边形AEMF 是什么特殊四边形？请证明你的结论．MOFED C B A7. 如图，在△ABC 中，O 是AC 边上的一动点（不与点A ，C 重合），过点O作直线MN ∥BC ，直线MN 与∠BCA 的平分线相交于点E ，与∠DCA （△ABC 的外角）的平分线相交于点F ．（1）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？请证明你的结论． （2）在（1）的条件下，∠ACB 的大小为多少时，四边形AECF 为正方形（不要求说明理由）？ABCD E F NMOABC D8. 如图，□ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，BD =12 cm ，AC =6 cm ，点E在线段BO 上从点B 以1 cm/s 的速度运动，点F 在线段OD 上从点O 以2 cm/s 的速度运动．（1）若点E ，F 同时运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，四边形AECF 是平行四边形；（2）在（1）的条件下，当AB为何值时，四边形AECF是菱形，为什么？9. 如图所示，在等边三角形ABC 中，BC =8 cm ，射线AG ∥BC ，点E 从点A 出发沿射线AG 以1 cm/s 的速度运动，同时点F 从点B 出发沿射线BC 以2 cm/s 的速度运动，设运动时间 为t （s ）．（1）连接EF ，当EF 经过AC 边的中点D 时，求证：四边形AFCE 是平行四边形； （2）填空：①当t 为_______s 时，四边形ACFE 是菱形；②当t 为_______s 时，△ACE 的面积是△ACF 的面积的2倍．GF E DCB A10. 如图所示，在△ABC 中，分别以AB ，AC ，BC 为边在BC 的同侧作等边△ABD ，等边△ACE ，等边△BCF ，连接DF ，EF ． （1）求证：四边形DAEF 是平行四边形；（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明） ①当△ABC 满足____________条件时，四边形DAEF 是矩形； ②当△ABC 满足____________条件时，四边形DAEF 是菱形；③当△ABC 满足____________条件时，以D ，A ，E ，F 为顶点的四边形不存在．FEDCBA11. 顺次连接四边形各边中点，所得的四边形是_____________；顺次连接对角线__________的四边形的各边中点，所得的四边形是矩形；顺次连接对角线____________的四边形的各边中点，所得的四边形是菱形；顺次连接对角线______________的四边形的各边中点，所得的四边形是正方形．12. 如图，已知四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 互相垂直，四边形A 1B 1C 1D 1是中点四边形．若AC =3，BD =4，则四边形A 1B 1C 1D 1的面积为_______________．D 1C 1B 1A 1DC BA【参考答案】➢精讲精练1.（1）证明略．提示：先证AB=AD=BC，再证四边形ABCD是平行四边形，则四边形ABCD 是菱形．2.（1）证明略．提示：先证四边形AGCD是平行四边形，得到AG=CD，进而可得EG=DF，则四边形DEGF是平行四边形．（2）证明略．提示：先证明四边形ABGD是平行四边形，再结合∠B=90°，进而可得四边形ABGD是矩形．3.（1）证明略．提示：由OE=DO，AO=BO得，四边形AEBD是平行四边形；又因为AB=AC，AD是△ABC的角平分线，所以AD⊥BC，进而得证四边形AEBD是矩形．（2）当△ABC是等腰直角三角形，即AB=AC，∠BAC=90°时，四边形AEBD 是正方形；理由略．4.（1）证明略．提示：先证AC∥EF，∠EAC=∠AEF，又AF=CE=AE，则∠EAF=∠AEC，AF∥CE，即证得四边形ACEF是平行四边形．（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形，理由略．5.四边形ADCF是菱形，证明略．6.（1）证明略．提示：证明△ABE≌△ADF．（2）四边形AEMF是菱形，证明略．7.（1）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，证明略；（2）当∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形．8.（1）当t=2 s时，四边形AECF是平行四边形；（2）当AB=时，四边形AECF是菱形．9.（1）证明略；（2）①8；②165或163．10.（1）证明略；（2）①150°；②AB=AC≠BC；③∠BAC=60°．11.平行四边形；互相垂直；相等；互相垂直且相等12.3。
人教版八年级数学下《平行四边形的性质》拔高练习
《平行四边形的性质》拔高练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，α＝60°．若AB＝OD＝2，则▱ABCD的面积是（）A．8B．C．2D．42．（5分）如图，在▱ABCD中，连接AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝，则BC的长是（）A．B．2C．2D．43．（5分）如图，▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E 点，CF平分∠BCD交AD于F点，则EF的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm4．（5分）如图，在▱ABCD中AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，若AE：AF＝2：3，▱ABCD的周长为40，则AB的长为（）A．8B．9C．12D．155．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝7，CE平分∠BCD交AD边于点E ，且AE ＝3，则AB 的长为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．二、填空题（ 本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，已知点E 在边BC 上，∠BAE ＝∠DAC ，AB ＝7，AD ＝10，则CE ＝ ．7．（5分）如图，平行四边形ABCD 的周长为20，对角线AC 的长为5，则△ABC的周长为 ．8．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝10，AC ＝8，BD ＝14，△AOD的周长是 ．9．（5分）如图，在▱ABCD 中，E 、F 分别是AB 、DC 边上的点，AF 与DE 交于点P ，BF 与CE 交于点Q ，若S △APD ＝20cm 2，S △BQC ＝30cm 2，则图中阴影部分的面积为 cm 2．10．（5分）如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，∠ADC 与∠BCD 的平分线分别交AB 于F ，E ，则EF ＝ ．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，连接ME，已知AM＝2AE＝4，∠BCE＝30°．（1）求平行四边形ABCD的面积S；（2）求证：∠EMC＝2∠AEM．12．（10分）如图，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点M为BC上一点，连接AM，且AB＝AM，点E为BM中点，AF⊥AB，连接EF，延长FO交AB于点N．（1）若BM＝4，MC＝3，AC＝，求AM的长度；（2）若∠ACB＝45°，求证：AN+AF＝EF．13．（10分）如图，在平行四边形中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，求AB，BC的长及平行四边形ABCD的面积？14．（10分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝10，BD＝16，AB＝6，求△OCD的周长．15．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC．求BC，CD，AC，OA的长，以及平行四边形ABCD的面积．《平行四边形的性质》拔高练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，α＝60°．若AB＝OD＝2，则▱ABCD的面积是（）A．8B．C．2D．4【分析】根据等边三角形的判定得出△DOC是等边三角形，再根据平行四边形的性质和的面积公式即可求解．【解答】解：∵在▱ABCD中，∴AB＝DC，∵α＝60°．AB＝OD＝2，∴△DOC是等边三角形，∴△DOC的面积＝，∴▱ABCD的面积＝4△DOC的面积＝4，故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的性质和面积，解此题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．2．（5分）如图，在▱ABCD中，连接AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝，则BC的长是（）A．B．2C．2D．4【分析】根据平行四边形的性质可得出CD＝AB＝、∠D＝∠CAD＝45°，由等角对等边可得出AC＝CD＝，再利用勾股定理即可求出BC的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝，BC＝AD，∠D＝∠ABC＝∠CAD＝45°，∴AC＝CD＝，∠ACD＝90°，即△ACD是等腰直角三角形，∴BC＝AD＝＝2．故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，根据平行四边形的性质结合∠ABC＝∠CAD＝45°，找出△ACD是等腰直角三角形是解题的关键．3．（5分）如图，▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E 点，CF平分∠BCD交AD于F点，则EF的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】根据平行四边形的性质可知∠AEB＝∠EBC，又因为BE平分∠ABC，所以∠ABE＝∠EBC，则∠ABE＝∠AEB，则AB＝AE＝3，同理可证FD＝3，继而可求得EF＝AE+DE﹣AD．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB＝∠EBC，AD＝BC＝5cm，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，则∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝3cm，同理可证：DF＝DC＝AB＝3cm，则EF＝AE+FD﹣AD＝3+3﹣5＝1cm．故选：A．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．4．（5分）如图，在▱ABCD中AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，若AE：AF＝2：3，▱ABCD的周长为40，则AB的长为（）A．8B．9C．12D．15【分析】根据平行四边形的对边相等，可知一组邻边的和就是其周长的一半．根据平行四边形的面积，可知平行四边形的一组邻边的比和它的高成反比．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∴BC+CD＝40÷2＝20，根据平行四边形的面积公式，得BC：CD＝AF：AE＝3：2．∴BC＝12，CD＝8，∴AB＝CD＝8，故选：A．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的一组邻边的和等于周长的一半，平行四边形的一组邻边的比和它的高的比成反比．5．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝7，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝3，则AB的长为（）A．5B．4C．3D．【分析】利用平行四边形的性质以及角平分线的性质得出∠DEC＝∠DCE，进而得出DE＝DC＝AB求出即可．【解答】解：∵在▱ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，∴∠DEC＝∠ECB，∠DCE＝∠BCE，AB＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC＝AB，∵AD＝BC＝7，AE＝3，∴DE＝DC＝AB＝4．故选：B．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及角平分线的性质，得出DE＝DC ＝AB是解题关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知点E在边BC上，∠BAE＝∠DAC，AB＝7，AD＝10，则CE＝ 5.1．【分析】由▱ABCD的性质及∠BAE＝∠DAC可得∠BAE＝∠BCA，进而可判定△BAE∽△BCA，可得，可BE的长，即可得CE的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC＝10，∴∠DAC＝∠BCA，又∵∠BAE＝∠DAC，∴∠BAE＝∠BCA，∵∠B＝∠B，∴△BAE∽△BCA，∴，∵AB＝7，BC＝10，∴BE＝4.9，∴EC＝5.1．故答案为：5.1．【点评】本题主要考查相似三角形的判定及性质、平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得到∠BAE＝∠BCA是判定三角形相似的前提，熟练运用相似形的性质是解题的关键．7．（5分）如图，平行四边形ABCD 的周长为20，对角线AC 的长为5，则△ABC 的周长为 15 ．【分析】因为ABCD 是平行四边形，由题意得AB +BC ＝10，而AC 知道，那么△ABC 的周长就可求出．【解答】解：∵平行四边形中对边相等，∴AB +BC ＝20÷2＝10，∴△ABC 的周长＝AB +BC +AC ＝10+5＝15．故答案为：15．【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的周长等知识，灵活应用性质是解题的关键．8．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝10，AC ＝8，BD ＝14，△AOD的周长是 21 ．【分析】根据平行四边形的性质可得AD ＝BC ＝10，AO ＝CO ＝AC ＝4，BO ＝DO ＝BD ＝7，即可求△AOD 的周长．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ＝BC ＝10，AO ＝CO ＝AC ＝4，BO ＝DO ＝BD ＝7∴△AOD 的周长＝AD +AO +DO ＝21故答案为21【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练运用平行四边形的性质解决问题是本题的关键．9．（5分）如图，在▱ABCD 中，E 、F 分别是AB 、DC 边上的点，AF 与DE 交于点P ，BF 与CE 交于点Q ，若S △APD ＝20cm 2，S △BQC ＝30cm 2，则图中阴影部分的面积为 50 cm 2．【分析】连接E 、F 两点，由三角形的面积公式我们可以推出S △EFC ＝S △BCQ ，S △EFD ＝S △ADF ，所以S △EFG ＝S △BCQ ，S △EFP ＝S △ADP ，因此可以推出阴影部分的面积就是S △APD +S △BQC ．【解答】解：连接E 、F 两点，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴△EFC 的FC 边上的高与△BCF 的FC 边上的高相等，∴S △EFC ＝S △BCF ，∴S △EFQ ＝S △BCQ ，同理：S △EFD ＝S △ADF ，∴S △EFP ＝S △ADP ，∵S △APD ＝20cm 2，S △BQC ＝30cm 2，∴S 四边形EPFQ ＝50cm 2，故答案为：50．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，题目综合性较强，主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形．10．（5分）如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，∠ADC 与∠BCD 的平分线分别交AB 于F ，E ，则EF ＝ 1 ．【分析】由题意可得AD ＝AF ＝3，BC ＝BE ＝3，即可求EF 的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴DC∥BA，AD＝BC＝3∵DF平分∠ADC∴∠ADF＝∠CDF∵DC∥AB∴∠CDF＝∠DF A∴∠ADF＝∠AFD∴AD＝AF＝3同理可得BE＝BC＝3∵EF＝AF+BE﹣AB∴EF＝3+3﹣5＝1故答案为：1【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，连接ME，已知AM＝2AE＝4，∠BCE＝30°．（1）求平行四边形ABCD的面积S；（2）求证：∠EMC＝2∠AEM．【分析】（1）利用平行四边形的性质以及直角三角形的性质得出CE的长，进而得出答案；（2）利用全等三角形的判定得出△AEM≌△DNM（ASA），根据全等三角形的性质得到EM＝MN，根据直角三角形的性质得到MN＝MC，根据等腰三角形和三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】（1）解：∵M为AD的中点，AM＝2AE＝4，∴AD＝2AM＝8．在▱ABCD的面积中，BC＝CD＝8，又∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵∠BCE＝30°，∴BE＝BC＝4，∴AB＝6，CE＝4，∴▱ABCD的面积为：AB×CE＝6×4＝24；（2）证明：延长EM，CD交于点N，连接CM．∵在▱ABCD中，AB∥CD，∴∠AEM＝∠N，在△AEM和△DNM中∵，∴△AEM≌△DNM（ASA），∴EM＝MN，又∵AB∥CD，CE⊥AB，∴CE⊥CD，∴CM是Rt△ECN斜边的中线，∴MN＝MC，∴∠N＝∠MCN，∴∠EMC＝2∠N＝2∠AEM．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练应用平行四边形的性质是解题关键．12．（10分）如图，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点M为BC上一点，连接AM，且AB＝AM，点E为BM中点，AF⊥AB，连接EF，延长FO交AB于点N．（1）若BM＝4，MC＝3，AC＝，求AM的长度；（2）若∠ACB＝45°，求证：AN+AF＝EF．【分析】（1）如图1中，连接AE，在Rt△ACE中，求出AE，再在Rt△AEM中求出AM即可；（2）如图，连接AE，作EH⊥AF于F，EG⊥DC交DC的延长线于E．由Rt △EHA≌Rt△EGC（HL），推出AH＝CG，由Rt△EHF≌Rt△EGF（HL），推出FH＝FG，由△AON≌△COF（ASA），推出AN＝CF，推出AN+AF＝FC+AF ＝FG﹣CG+FH+AH＝2FH，由EF＝FH，即可解决问题；【解答】（1）解：如图1中，连接AE．∵AB＝AM，BE＝EM，∴AE⊥BM，在Rt△ACE中，∵AC＝，EC＝EM+CM＝5，∴AE＝＝，在Rt△AEM中，AM＝＝．（2）如图，连接AE，作EH⊥AF于F，EG⊥DC交DC的延长线于E．∵∠AEC＝∠AFC＝90°，∴∠AEC+∠AFC＝90°，∴A，E，C，F四点共圆，∴∠AFE＝∠ACE＝45°，∴∠EF A＝∠EFG＝45°，∵EH⊥F A，EG⊥FG，∴EH＝EG，∵∠ACE＝∠EAC＝45°，∴AE＝EC，∴Rt△EHA≌Rt△EGC（HL），∴AH＝CG，∵EF＝EF，EH＝EG，∴Rt△EHF≌Rt△EGF（HL），∴FH＝FG，∵AB∥CD，∴∠OAN＝∠OCF，∵∠AON＝∠COF，OA＝OC，∴△AON≌△COF（ASA），∴AN＝CF，∴AN+AF＝FC+AF＝FG﹣CG+FH+AH＝2FH，∵EF＝FH，∴AN+AF＝EF．【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆、角平分线的性质定理、等腰直角三角形的判定和性质的等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．13．（10分）如图，在平行四边形中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，求AB，BC的长及平行四边形ABCD的面积？【分析】根据AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝60°，可以得到∠C的度数，由四边形ABCD是平行四边形可以得到∠B、∠D的度数，然后根据解直角三角形的相关知识可以求得AB、BC的长，根据特殊角的三角函数可以求得AE的长，由平行四边形的面积等于底乘以高，可以求得四边形ABCD的面积．【解答】解：∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∴∠AEC＝∠AFC＝90∵∠EAF＝60°，∴∠C＝360﹣∠AEC﹣∠AFC﹣∠EAF＝120，∴∠B＝60°∴∠BAE＝30°，∴AB＝2BE＝4；cm．∵∠D＝∠B＝60°，∴∠DAF＝30°．∴AD＝2DF＝6cm．∴BC＝AD＝6cm在Rt△ADF中，AF＝＝3（cm），∴ABCD的面积＝CD•AF＝4×3＝12（cm2）．【点评】本题考查平行四边形的性质、平行四边形的面积，30°角所对的直角边和斜边的关系，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．利用数形结合的思想解答问题．14．（10分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝10，BD＝16，AB＝6，求△OCD的周长．【分析】根据平行四边形的性质即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝6，OA＝OC＝5，OB＝OD＝8，∴△OCD的周长＝6+5+8＝19．【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，属于中考基础题．15．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC．求BC，CD，AC，OA的长，以及平行四边形ABCD的面积．【分析】根据平行四边形的性质得到AD＝BC＝8，OA＝OC＝AC，根据勾股定理求出AC的长，根据平行四边形的面积公式即可求出平行四边形ABCD 的面积．【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝10，OA＝OC＝AC，∵AB＝10，BC＝8，由勾股定理得：AC＝＝6，∴OA＝3；∴▱ABCD的面积是BC×AC＝8×6＝48．答：BC＝8，CD＝10，AC＝6，OA＝3，▱ABCD的面积是48．【点评】本题主要考查对平行四边形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，能求出AC的长度是解此题的关键．。
平行四边形的判定证明
1、如图，在四边形ABCD 中，AC BC AC AD ⊥⊥,,垂足为A ，C ，且CD AB =。
求证：四边形ABCD 是
2、 如图，在□ABCD 中，点E ，F 在AD ，BC 上，且CF AE =，AF 与BE 交于点M ，CE 与DF 交于点N 。
求证：四边形EMFN 是平行四边形。
3、如图，在□ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是各边上的点，且CG AE =，CF AH =。
求证：四边形EFGH 是平行四边形。
4、如图，在四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 各边的中点。
求证：四边形EFGH 是平行四边形。
5、如图，已知E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点。
求证：四边形HGFE 是平行四边形。
6、如图，在□ABCD 中，以AB ，DC 为边在两侧作等边 和等边
，求证：四边形EBFD 是平行四边形。
7、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BC
CF AD AE ⊥⊥，，垂足分别为E ，F ，且AE=CF 。
求证：四边形ABCD 是平行四边形。
8、如图，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作两条直线分别与AB ，BC ，CD ，AD 交于G ，F ，H ，E 四点。
求证：四边形EGFH 是平行四边形。
特殊平行四边形拔高题含答案
第II 卷（非选择题）一、解答题（题型注释）1．如图.在平面直角坐标系中.正方形OABC 的边长为a ．直线y=bx+c 交x 轴于E.交y 轴于F.且a 、b 、c 分别满足-(a-4)2≥0.228c b b =-+-+（1）求直线y=bx+c 的解析式并直接写出正方形OABC 的对角线的交点D 的坐标；（2）直线y=bx+c 沿x 轴正方向以每秒移动1个单位长度的速度平移.设平移的时间为t 秒.问是否存在t 的值.使直线EF 平分正方形OABC 的面积？若存在.请求出t 的值；若不存在.请说明理由； 点P 为正方形OABC 的对角线AC 上的动点（端点A 、C 除外）.PM ⊥PO.交直线AB 于M.求PCBM的值2．如图.矩形OABC 摆放在平面直角坐标系xOy 中.点A 在x 轴上.点C 在y 轴上.OA=3.OC=2.P 是BC 边上一点且不与B 重合.连结AP.过点P 作∠CPD=∠APB.交x 轴于点D.交y 轴于点E.过点E 作EF ∥AP 交x 轴于点F ． （1）若△APD 为等腰直角三角形.求点P 的坐标；（2）若以A.P.E.F 为顶点的四边形是平行四边形.求直线PE 的解析式．3．把一个含45°角的直角三角板BEF 和一个正方形ABCD 摆放在一起.使三角板的直角顶点和正方形的顶点B 重合.联结DF.点M.N 分别为DF.EF 的中点.联结MA.MN ．（1）如图1.点E.F 分别在正方形的边CB.AB 上.请判断MA.MN 的数量关系和位置关系.直接 写出结论；（2）如图2.点E.F 分别在正方形的边CB.AB 的延长线上.其他条件不变.那么你在（1）中得到的两个结论还成立吗？若成立.请加以证明；若不成立.请说明理由．BFNME CDA FCBEMNAD图1 图24．如图.已知正方形ABCD.AC 、BD 相交于点O.E 为AC 上一点.AH ⊥EB 交EB 于点H.AH 交BD 于点F ． （1）若点E 在图1的位置.判断OE 与OF 的数量关系.并证明你的结论；（2）若点E 在AC 的延长线上.请在图2中按题目要求补全图形.判断OE 与OF 的数量关系.并证明你的结论．5．已知一个矩形纸片OACB.将该纸片放置在平面直角坐标系中.点A （11.0）.点B （0.6）.点P 为BC 边上的动点（点P 不与点B 、C 重合）.经过点O 、P 折叠该纸片.得点B′和折痕OP ．设BP=t ．（Ⅰ）如图①.当∠BOP=30°时.求点P 的坐标；（Ⅱ）如图②.经过点P 再次折叠纸片.使点C 落在直线PB′上.得点C′和折痕PQ.若AQ=m.试用含有t 的式子表示m ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下.当点C′恰好落在边OA 上时.求点P 的坐标（直接写出结果即可）． 6．阅读下列材料：已知：如图1.在Rt △ABC 中.∠C=90°.AC=4.BC=3.P 为AC 边上的一动点.以PB.PA 为边构造□APBQ .求对角线PQ 的最小值及此时APAC的值是多少．在解决这个问题时.小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识：端点分别在两条平行线上的所有线段中.垂直于平行线的线段最短．进而.小明构造出了如图2的辅助线.并求得PQ的最小值为3．参考小明的做法.解决以下问题：（1）继续完成阅读材料中的问题：当PQ的长度最小时.APAC= ；（2）如图3.延长PA到点E.使AE=nPA（n为大于0的常数）．以PE.PB为边作□PBQE.那么对角线PQ的最小值为.此时APAC= ；（3）如图4.如果P为AB边上的一动点.延长PA到点E.使AE=nPA（n为大于0的常数）.以PE.PC为边作□PCQE.那么对角线PQ的最小值为.此时APAC= ．7．在图1、图2、图3、图4中.点P在线段BC上移动（不与B、C重合）.M在BC的延长线上．（1）如图1.△ABC和△APE均为正三角形.连接CE．①求证：△ABP≌△ACE．②∠ECM的度数为°．（2）①如图2.若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形.连接CE．则∠ECM的度数为°．②如图3.若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形.连接CE．则∠ECM的度数为°．（3）如图4.n边形ABC…和n边形APE…均为正n边形.连接CE.请你探索并猜想∠ECM的度数与正多边形边数n 的数量关系（用含n的式子表示∠ECM的度数）.并利用图4（放大后的局部图形）证明你的结论．8．已知O是坐标原点.点A的坐标是（5.0）.点B是y轴正半轴上一动点.以OB.OA为边作矩形OBCA.点E.H分别在边BC和边OA上.将△BOE沿着OE对折.使点B落在OC上的F点处.将△ACH沿着CH对折.使点A落在OC上的G 点处。
专题19 平行四边形、矩形、菱形--拔高题
专题19 平行四边形、矩形、菱形阅读与思考平行四边形、矩形、菱形的性质定理与判定定理是从对边、对角、对角线三个方面探讨的，矩形、菱形都是特殊的平行四边形，矩形的特殊性由一个直角所体现，菱形的特殊性是由邻边相等来体现，因此它们除兼有平行四边形的一般性质外，还有特有的性质；反过来，判定一个四边形为矩形或菱形，也就需要更多的条件.连对角线后平行四边形、矩形、菱形就与特殊三角形联系在一起，所以讨论平行四边形、矩形、菱形相关问题时，常用到特殊三角形性质、全等三角形法；另一方面，又要善于在四边形的背景下思考问题，运用平行四边形、矩形、菱形的丰富性质为解题服务，常常是判定定理与性质定理的综合运用.熟悉以下基本图形：例题与求解【例l】如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD，交BC于E，∠CAE＝15°，那么∠BOE＝________.D(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路：从发现矩形内含的特殊三角形入手.【例2】下面有四个命题：①一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；③一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；④一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；其中，正确的命题的个数是（ ） B. 2 C. 3 (全国初中数学联赛试题)解题思路：从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定平行四边形的命题，关键在于对假命题能突破正规的、标准位置的图形构造反例否定.【例3】如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E ，F 分别是边AD ，CD 上的两个动点且满足AE +CF ＝2.（1）判断△BEF 的形状，并说明理由； （2）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.DACB(烟台中考试题)解题思路：对于（1）由数量关系发现图形特征；对于（2），只需求出BE 的取值范围.【例4】如图，设P 为等腰直角三角形ACB 斜边AB 上任意一点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，PG ⊥EF 于点G ，延长GP 并在春延长线上取一点D ，使得PD ＝PC .求证：BC ⊥BD ，BC ＝BD .AB(全国初中数学联赛试题)解题思路：只需证明△CPB ≌△DPB ，关键是利用特殊三角形、特殊四边形的性质.【例5】在□A BCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 的延长线于点F .图3图2图1DFC（1）在图1中证明CE ＝CF ；（2）若∠ABC ＝90°，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数；（3）若∠ABC ＝120°，FG ∥CE ，FG ＝CE ，分别连结DB ，DG （如图3），求∠BDG 的度数.(北京市中考试题)解题思路：对于（1），由角平分线加平行线的条件可推出图中有3个等腰三角形； 对于（2），用测量的方法可得∠BDG =45°，进而想到等腰直角三角形，连CG ，BD ，只需证明△BGC ≌△DGF ，这对解决（3），有不同的解题思路. 对于（3）【例6】如图，△ABC 中，∠C ＝90°，点M 在BC 上，且BM ＝AC ，点N 在AC 上，且AN ＝MC ，AM 与BN 相交于点P . 求证：∠BPM ＝45°.NMB(浙江省竞赛试题)解题思路：条件给出的是线段的等量关系，求证的却是角度等式，由于条件中有直角和相等的线段，因此，可想到等腰直角三角形，解题的关键是平移AN 或AC ，即作ME ⊥AN ，ME ＝AN ，构造平行四边形.，能力训练A 级1. 如图，□ABCD 中，BE ⊥CD ，BF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，若CE ＝2，DF ＝1，∠EBF ＝60°，则□ABCD 的面积为________.第1题A2. 如图，□ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ≠CD ，过点O 作OM ⊥AC ，交AD 于点M ，若△CDM 周长为a ，那么□ABCD 的周长为 ________.第2题MB(浙江省中考试题)3. 如图，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC ＝78°，过C 作CF ∥AB ，连结AF 与BC 相交于G ，若GF ＝2AC ，则∠BAG 的大小是________.第3题FA(“希望杯”竞赛试题)4. 如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝∠EAF ＝60°，∠BAE ＝20°，则∠CEF 的大小是________.第4题BDC(“希望杯”邀请赛试题)5. 四边形的四条边长分别是a ，b ，c ，d ，其中a ，c 为对边，且满足222222a b c d ab cd +++=+，则这个四边形一定是（ ）A.两组角分别相等的四边形B. 平行四边形C. 对角线互相垂直的四边形D. 对角线相等的四边形6.现有以下四个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有一个角为直角且对角线互相平分的四边形为矩形；④菱形的对角线的平方和等于边长的平方的4倍.其中，正确的命题有（ ）A. ①②B.③④C. ③D. ①②③④7. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD AF 平分∠DAB ，过点C 作CE ⊥BD 于E ，延长AF ，EC 交于点H ，下列结论中：①AF ＝FH ；②BO ＝BF ；③CA ＝CH ；④BE ＝3ED .正确的是（ ）A. ②③B.③④C. ①②④D. ②③④HB(齐齐哈尔中考试题)8. 如图，矩形ABCD 的长为a ，宽为b ，如果12341(S S )2S S ==+，则4S ＝（ ）A.38abB. 34abC. 23abD. 12ab第8题AB E F(“缙云杯”竞赛试题)9. 已知四边形ABCD ，现有条件：①AB ∥DC ；②AB ＝DC ；③AD ∥BC ；④AD ＝BC ；⑤∠A＝∠C ；⑥∠B ＝∠D .从中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD 是平行四边形的有哪几种情形请具体写出这些组合.(江苏省竞赛试题)10. 如图，△ABC 为等边三角形，D 、F 分别是BC 、AB 上的点，且CD ＝BF ， 以AD 为边作等边△ADE .（1）求证：△ACD ≌△CBF ；（2）当D 在线段BC 上何处时，四边形CDEF 为平行四边形，且∠DEF ＝30°，证明你的结论.EACD(江苏省南通市中考试题)11. 如图，在Rt△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，点D 为BC 上任一点，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AC 于E ，M 为BC 中点，试判断△MEF 是什么形状的三角形，并证明你的结论.MBCD(河南省中考试题)12. 如图，△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，△ABD ，△ACE ，△BCF 都是等边三角形，求四边形AEFD 的面积.E(山东省竞赛试题)B 级1. 如图，已知ABCD 是平行四边形，E 在AC 上，AE ＝2EC ，F 在AB 上，BF ＝2AF ，如果△BEF 的面积为22cm ，则□ABCD 的面积是________.第1题B(“希望杯”竞赛试题)2. 如图，已知P 为矩形ABCD 内一点，PA ＝3，PD ＝4，PC ＝5，则PB ＝________.第2题BC(山东省竞赛试题)3. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将矩形折叠，使B 点与D 点重合，则折痕EF 长为________.第3题F B C(武汉市竞赛试题)4. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，使点D 落在点D '处，CD '交AB 于点F ，则重叠部分△AFC 的面积为 ________.第4题AB(山东省竞赛试题)5. 如图，在矩形ABCD 中，已知AD ＝12，AB ＝5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AC 于F ，那么PE +PF 的值为________.第5题C(全国初中数学联赛试题)6. 如图，菱形ABCD 的边长为4 cm ，且∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点，P 点在BD 上，则PE+PC 的最小值为________.第6题EDB(“希望杯”邀请赛试题)7. 如图，△ABC 的周长为24，M 是AB 的中点，MC ＝MA ＝5，则△ABC 的面积是（ ）A. 30B. 24C.16第7题BC(全国初中数学联赛试题)8. 如图，□ABCD 中，∠ABC ＝75°，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，若DE ＝2AB ，则∠AED的大小是（ ）A. 60°B. 65° ° °第8题B9. 如图，已知∠A ＝∠B ，1AA ，1PP ，1BB 均垂直于11A B ，1AA ＝17，1PP＝16，1BB ＝20，11A B ＝12，则AP+PB 的值为（ ）A. 15B.14C. 13第9题B A1P 1(全国初中数学联赛试题)10. 如图1，△ABC 是直角三角形，∠C ＝90°，现将△ABC 补成矩形，使△ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可画出两个：矩形ACBD 和矩形AEFB （如图2）.图1图3EDBACB解答问题：（1）设图2中矩形ACBD 和矩形AEFB 的面积分别为1S ，2S ，则1S ________2S （填“＞”、“＝”或“＜”）.（2）如图3，△ABC 是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图3画出来.（3）如图4，△ABC 是锐角三角形且三边满足BC ＞AC ＞AB ，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图4画出来.（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小为什么图4ABC(陕西中考试题)11.四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠BAD ＝120°，M 为BC 上一点，N 为CD 上一点.求证：若△AMN 有一个内角等于60°，则△AMN 为等边三角形.12. 如图，六边形ABCDEF 中，AB ∥DE ，BC ∥EF ，CD ∥AF ，对边之差BC －EF ＝ED －AB＝AF －CD ＞0.求证：该六边形的各角相等.EB(全俄数学奥林匹克试题)。
北师大版-数学-九年级上册- 特殊平行四边形 典例点拔
《特殊平行四边形》典例点拨矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形，它是初中数学的一个重要内容，由于矩形、菱形、正方形之间既有自己独特的性质，又存在密切的联系，因此倍受各地命题者的青睐，为了能帮助同学们解决学习时的困惑，本文将结合例题加以分析．一、开放型问题例1、当时，平行四边形ABCD是矩形；当时，平行四边形ABCD 是菱形（填上一个条件即可）．解：根据矩形的判定定理，当AC=BD或∠A=900（或其它三个内角为900）时，平行四边形ABCD是矩形；根据菱形的判定定理，当AB=BC（或其它一组邻边相等）或AC⊥BD 时，平行四边形ABCD是菱形．点拨：本题考查的是在已知平行四边形的条件下，判定矩形和菱形应满足的条件，解答时，应注意从矩形和菱形的不同性质作为出发点．例2、已知：如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别交于E、F，（1）求证：△BOE≌△DOF（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形？试写出证明过程．解：（1）略；（2）由（1）AE∥CF，AE=CF可证得四边形AECF是平行四边形，当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形，点拨：解题时，应从对角线为出发点，考虑证明四边形AECF是菱形时，必须满足的条件．二、探索型问题例3、如图，在△ABC中，∠ACB=900，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，请回答并证明你的结论；（3）四边形ACEF 有可能是正方形吗？试说明理由．解：（1）由△AEF ≌△EAC ，得AF=CE ，又因为AF=CE ，所以四边形ACEF 是平行四边形；（2）当∠B=300，四边形ACEF 是菱形．在△ABC 中，∠ACB=900，∠B=300，可得AC=21AB ，由题意可知CE=21AB ，从而AC=CE ，所以四边形ACEF 是菱形；（3）四边形ACEF 不可能是正方形，由题意知E 是AB 的中点，从而CE 在△ABC 内部，所以∠ACE<∠ACB=900，所以四边形ACEF 不可能是正方形．点拨：（1）略；（2）可由结论出发，推出四边形ACEF 是菱形时，∠B 应满足的度数；（3）应先假设结论成立，通过分析推理得出，它与题中已知条件相矛盾．例4、如图，四边形ABCD 中，AC=6，BD=8，且AC ⊥BD ，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边的中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2……如此进行下去得到四边形A nB nC nD n ．（1）求证：四边形A 1B 1C 1D 1是矩形；（2）试说出该图形的变化规律，并求出四边形A 1B 1C 1D 1和四边形A 2B 2C 2D 2的面积．解：（1）由三角形中位线定理和AC ⊥BD ，得四边形A 1B 1C 1D 1是矩形；（2）它们的图形变化规律依次矩形、菱形、矩形、菱形、……，四边形A 1B 1C 1D 1和四边形A 2B 2C 2D 2的面积分别是12和6．点拨：（1）由矩形的判定定理来证明；（2）根据题中所给的条件结合判定依次进行证明即可．。
初中数学特殊平行四边形的证明及详细答案
初中数学特殊平行四边形的证明一. 解答题（共30小题）1．（2019•泰安模拟）如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, BC的垂直平分线DE交BC于D, 交AB于E, F在DE上, 并且AF=CE．（1）求证: 四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时, 四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论.2．（2019•福建模拟）已知: 如图, 在△ABC中, D、E分别是AB.AC的中点, BE=2DE, 延长DE到点F, 使得EF=BE, 连接CF．求证: 四边形BCFE是菱形.3．（2019•深圳一模）如图, 四边形ABCD中, AB∥CD, AC平分∠BAD, CE∥AD交AB于E．（1）求证: 四边形AECD是菱形；（2）若点E是AB的中点, 试判断△ABC的形状, 并说明理由.4．（2019•济南模拟）如图, 四边形ABCD是矩形, 点E是边AD的中点．求证: EB=EC.5. （2019•临淄区校级模拟）如图所示, 在矩形ABCD中, DE⊥AC于点E, 设∠ADE=α, 且cosα= , AB=4, 则AC的长为多少？6. （2019春•宿城区校级月考）如图, 四边形ABCD是矩形, 对角线AC、BD相交于点O, BE ∥AC交DC的延长线于点E. 求证：BD=BE.7．（2019•雅安）如图：在▱ABCD中, AC为其对角线, 过点D作AC的平行线及BC的延长线交于E．（1）求证: △ABC≌△DCE；（2）若AC=BC, 求证: 四边形ACED为菱形.8．（2019•贵阳）如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, D.E分别为AB, AC边上的中点, 连接DE, 将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE, 连接AF, AC．（1）求证: 四边形ADCF是菱形；（2）若BC=8, AC=6, 求四边形ABCF的周长.9．（2019•遂宁）已知：如图, 在矩形ABCD中, 对角线AC、BD相交于点O, E是CD中点, 连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F, 连结DF．求证：（1）△ODE≌△FCE；（2）四边形ODFC是菱形.10. （2019•宁德）如图, 在梯形ABCD中, AD∥BC, 点E是BC的中点, 连接AC, DE, AC=AB, DE∥AB. 求证: 四边形AECD是矩形.11. （2019•钦州）如图, 在正方形ABCD中, E、F分别是AB、BC上的点, 且AE=BF. 求证：CE=DF.12．（2019•贵港）如图, 在正方形ABCD中, 点E是对角线AC上一点, 且CE=CD, 过点E 作EF⊥AC交AD于点F, 连接BE．（1）求证: DF=AE；（2）当AB=2时, 求BE2的值.13．（2019•吴中区一模）已知：如图, 菱形ABCD中, E、F分别是CB.CD上的点, ∠BAF=∠DAE．（1）求证: AE=AF；（2）若AE垂直平分BC, AF垂直平分CD, 求证: △AEF为等边三角形.14. （2019•新乡一模）小明设计了一个如图的风筝, 其中, 四边形ABCD及四边形AEFG都是菱形, 点C在AF上, 点E, G分别在BC, CD上, 若∠BAD=135°, ∠EAG=75°, AE=100cm, 求菱形ABCD的边长.15. （2019•槐荫区三模）如图, 菱形ABCD的边长为1, ∠D=120°. 求对角线AC的长.16. （2019•历城区一模）如图, 已知菱形ABCD的对角线AC.BD的长分别为6cm、8cm, AE ⊥BC于点E, 求AE的长.17．（2019•湖南校级模拟）如图, AE=AF, 点B.D分别在AE、AF上, 四边形ABCD是菱形, 连接EC、FC（1）求证: EC=FC；（2）若AE=2, ∠A=60°, 求△AEF的周长.18．（2019•清河区一模）如图, 在△ABC中, AB=AC, 点D.E、F分别是△ABC三边的中点．求证: 四边形ADEF是菱形.19. （2019春•防城区期末）如图, 已知四边形ABCD是平行四边形, DE⊥AB, DF⊥BC, 垂足分别是为E, F, 并且DE=DF. 求证：四边形ABCD是菱形.20．（2019•通州区一模）如图, 在四边形ABCD中, AB=DC, E、F分别是AD.BC的中点, G、H分别是对角线BD.AC的中点．（1）求证: 四边形EGFH是菱形；（2）若AB=1, 则当∠ABC+∠DCB=90°时, 求四边形EGFH的面积.21．（2019•顺义区二模）如图, 在△ABC中, D、E分别是AB.AC的中点, BE=2DE, 过点C 作CF∥BE交DE的延长线于F．（1）求证: 四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4, ∠BCF=120°, 求菱形BCFE的面积.22．（2019•祁阳县校级模拟）如图, O为矩形ABCD对角线的交点, DE∥AC, CE∥BD．（1）求证: 四边形OCED是菱形.（2）若AB=6, BC=8, 求四边形OCED的周长.23. （2019•荔湾区校级一模）已知点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点, 且AD=DE, 连结BE交CD于点O, 求证：△AOD≌△BOC.24．（2019•东海县二模）已知：如图, 在正方形ABCD中, 点E、F在对角线BD上, 且BF=DE, （1）求证: 四边形AECF是菱形；（2）若AB=2, BF=1, 求四边形AECF的面积.25．（2019•玉溪模拟）如图, 正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上, 连接BE、DG．求证: BE=DG.26．（2019•工业园区一模）已知：如图正方形ABCD中, E为CD边上一点, F为BC延长线上一点, 且CE=CF（1）求证: △BCE≌△DCF；（2）若∠FDC=30°, 求∠BEF的度数.27．（2019•深圳模拟）四边形ABCD是正方形, E、F分别是DC和CB的延长线上的点, 且DE=BF, 连接AE、AF、EF．（1）求证: △ADE≌△ABF；（2）若BC=8, DE=6, 求△AEF的面积.28. （2019•碑林区校级模拟）在正方形ABCD中, AC为对角线, E为AC上一点, 连接EB、ED. 求证：∠BEC=∠DEC.29．（2019•温州一模）如图, AB是CD的垂直平分线, 交CD于点M, 过点M作ME⊥A C, MF ⊥AD, 垂足分别为E、F．（1）求证: ∠CAB=∠DAB；（2）若∠CAD=90°, 求证: 四边形AEMF是正方形.30．（2019•湖里区模拟）已知：如图, △ABC 中, ∠ABC=90°, BD 是∠ABC 的平分线, DE⊥AB 于点E, DF ⊥BC 于点F ．求证：四边形DEBF 是正方形．初中数学 特殊平行四边形的证明参考答案及试题解析一. 解答题（共30小题）1．（2019•泰安模拟）如图, 在△ABC 中, ∠ACB=90°, BC 的垂直平分线DE 交BC 于D, 交AB 于E, F 在DE 上, 并且AF=CE ．（1）求证: 四边形ACEF 是平行四边形；（2）当∠B 满足什么条件时,四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的菱形的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定. 菁优网版权所有结论．考点:考点：专题:证明题.（1）ED是BC的垂直平分线, 根据中垂线的性质: 中垂线上的分析:点线段两个端点的距离相等, 则EB=EC, 故有∠3=∠4, 在直角三角形ACB中, ∠2及∠4互余, ∠1及∠3互余, 则可得到AE=CE, 从而证得△ACE和△EFA都是等腰三角形, 又因为FD⊥BC, AC⊥BC, 所以AC∥FE, 再根据内错角相等得到AF∥CE, 故四边形ACEF是平行四边形；（2）由于△ACE是等腰三角形, 当∠1=60°时△ACE是等边三角形, 有AC=EC, 有平行四边形ACEF是菱形．（2）由于△ACE是等腰三角形，当∠1=60°时△ACE是等边三角形，有AC=EC，有平行四边形ACEF是菱形.（2）由于△ACE是等腰三角形，当∠1=60°时△ACE是等边三角形，有AC=EC，有平行四边形ACEF是菱形．解: （1）∵ED是BC的垂直平分线解答:∴EB=EC, ED⊥BC,∴∠3=∠4,∵∠ACB=90°,∴FE∥AC,∴∠1=∠5,∵∠2及∠4互余, ∠1及∠3互余∴∠1=∠2,∴AE=CE,又∵AF=CE,∴△ACE和△EFA都是等腰三角形,∴∠5=∠F,∴∠2=∠F,∴在△EFA和△ACE中∵,∴△EFA≌△ACE（AAS）,∴∠AEC=∠EAF∴AF∥CE∴四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B=30°时, 四边形ACEF是菱形. 证明如下: ∵∠B=30°, ∠ACB=90°∴∠1=∠2=60°∴∠AEC=60°∴AC=EC∴平行四边形ACEF是菱形.点评:本题综合利用了中垂线的性质、等边对等角和等角对等边、直角三角形的性质、平行四边形和判定和性质、菱形的判定求解, 有利于学生思维能力的训练．涉及的知识点有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．2. （2019•福建模拟）已知: 如图, 在△ABC中, D.E分别是AB.AC 的中点, BE=2DE, 延长DE到点F, 使得EF=BE, 连接CF.菱形的判定. 菁优网版权所有求证：四边形BCFE是菱形.考点:考点：专题:证明题.分析:由题意易得, EF 及BC 平行且相等, ∴四边形BCFE 是平行四边形．又EF=BE, ∴四边形BCFE 是菱形．解答: 解: ∵BE=2DE, EF=BE,∴EF=2DE. （1分）∵D.E 分别是AB.AC 的中点,∴BC=2DE 且DE ∥BC. （2分）∴EF=BC. （3分）又EF ∥BC,∴四边形BCFE 是平行四边形. （4分）又EF=BE,∴四边形BCFE 是菱形. （5分）∴四边形BCFE 是菱形．（5分）点评: 此题主要考查菱形的判定, 综合利用了平行四边形的性质和判定．3. （2019•深圳一模）如图, 四边形ABCD 中, AB ∥CD, AC 平分∠BAD, CE ∥AD 交AB 于E.（1）求证: 四边形AECD 是菱形；菱形的判定及性质. 菁优网版权所有（2）若点E是AB的中点,试判断△ABC的形状,并说明理由．考点:考点：几何图形问题.专题:（1）利用两组对边平行可得该四边形是平行四边形, 进而证明分析:一组邻边相等可得该四边形为菱形；（2）利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等, 进而证明∠ACB为直角即可．（2）利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等，进而证明∠ACB为直角即可.（2）利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等，进而证明∠ACB为直角即可．解: （1）∵AB∥CD, CE∥AD,解答:∴四边形AECD为平行四边形, ∠2=∠3,又∵AC平分∠BAD,∴∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴AD=DC,∴四边形AECD是菱形；（2）直角三角形.理由: ∵AE=EC∴∠2=∠4,∵AE=EB,∴EB=EC,∴∠5=∠B,又因为三角形内角和为180°,∴∠2+∠4+∠5+∠B=180°,∴∠ACB=∠4+∠5=90°,∴△ACB为直角三角形.点评:考查菱形的判定及性质的应用；用到的知识点为：一组邻边相等的平行四边形是菱形；菱形的4条边都相等.4. （2019•济南模拟）如图, 四边形ABCD是矩形, 点E是边AD的中点.求证：矩形的性质；全等三角形的判定及性质. 菁优网版权所有EB=EC.考点:考点：专题: 证明题.分析: 利用矩形的性质结合全等三角形的判定及性质得出△ABE ≌△DCE（SAS）, 即可得出答案．解答: 证明: ∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC, ∠A=∠D=90°,∵点E是边AD的中点,∴AE=ED,在△ABE和△DCE中,,∴△ABE≌△DCE（SAS）,∴EB=EC.∴EB=EC．点评: 此题主要考查了全等三角形的判定及性质以及矩形的性质, 得出△ABE≌△DCE是解题关键．矩形的性质. 菁优网版权所有5. （2019•临淄区校级模拟）如图所示, 在矩形ABCD中, DE⊥AC于点E, 设∠ADE=α,且cosα= ,AB=4, 则AC的长为多少？考点：分析: 根据等角的余角相等, 得∠BAC=∠ADE=α；根据锐角三角函数定义可求AC的长．解答: 解: ∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°, AD∥BC,∴∠EAD=∠ACB,∵在△ABC及△AED中,∵DE⊥AC于E, ∠ABC=90°∴∠BAC=∠ADE=α.∴cos∠BAC=cosα= ,∴AC= = .∴AC==．点评: 此题综合运用了锐角三角函数的知识、勾股定理、矩形的性质.矩形的性质；平行四边形的判定及性质. 菁优网版权所有6.（2019春•宿城区校级月图, 四边形ABCD是矩形, 对角线AC.BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E. 求证:BD=BE.考点:考点：专题: 证明题.分析: 根据矩形的对角线相等可得AC=BD, 对边平行可得AB∥CD,再求出四边形ABEC 是平行四边形, 根据平行四边形的对边相等可得AC=BE, 从而得证．解答: 证明: ∵四边形ABCD 是矩形,∴AC=BD, AB ∥CD,又∵BE ∥AC,∴四边形ABEC 是平行四边形,∴AC=BE,∴BD=BE.∴BD=BE．点评: 本题考查了矩形的性质, 平行四边形的判定及性质, 熟记各性质并求出四边形ABEC 是平行四边形是解题的关键．7. （2019•雅安）如图: 在▱ABCD 中, AC 为其对角线, 过点D 作AC 的平行线及BC 的延长线交于E.（1）求证: △ABC ≌△DCE ；（2）若AC=BC, 求证：四边形ACED为菱菱形的判定；全等三角形的判定及性质；平行四边形的性质. 菁优网版权所有形．考点:考点：专题: 证明题.分析: （1）利用AAS判定两三角形全等即可；（2）首先证得四边形ACED为平行四边形, 然后证得AC=AD,利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可．（2）首先证得四边形ACED为平行四边形，然后证得AC=AD，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可.（2）首先证得四边形ACED为平行四边形，然后证得AC=AD，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可．解答: 证明: （1）∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥CD, AB=CD,∴∠B=∠1,又∵DE∥AC∴∠2=∠E,在△ABC及△DCE中,,∴△ABC≌△DCE；（2）∵平行四边形ABCD中,∴AD∥BC,即AD∥CE,由DE∥AC,∴ACED为平行四边形,∵AC=BC,∴∠B=∠CAB,由AB∥CD,∴∠CAB=∠ACD,又∵∠B=∠ADC,∴∠ADC=∠ACD,∴AC=AD,∴四边形ACED为菱形.点评: 本题考查了菱形的判定等知识, 解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理, 难度不大．8. （2019•贵阳）如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, D.E分别为AB, AC边上的中点, 连接DE, 将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE, 连接AF, AC.（1）求证: 四边形ADCF是菱形；（2）菱形的判定及性质；旋转的性质. 菁优网版权所有若BC=8,AC=6,求四边形ABCF的周长．考点:考点：几何综合题.专题:（1）根据旋转可得AE=CE, DE=EF, 可判定四边形ADCF是平行分析:四边形, 然后证明DF⊥AC, 可得四边形ADCF是菱形；（2）首先利用勾股定理可得AB长, 再根据中点定义可得AD=5, 根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5, 进而可得答案．（2）首先利用勾股定理可得AB长，再根据中点定义可得AD=5，根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5，进而可得答案.（2）首先利用勾股定理可得AB长，再根据中点定义可得AD=5，根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5，进而可得答案．（1）证明: ∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE,解答:∴AE=CE, DE=EF,∴四边形ADCF是平行四边形,∵D.E分别为AB, AC边上的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,∵∠ACB=90°,∴∠AED=90°,∴DF⊥AC,∴四边形ADCF是菱形；（2）解: 在Rt△ABC中, BC=8, AC=6,∴AB=10,∵D是AB边上的中点,∴AD=5,∵四边形ADCF是菱形,∴AF=FC=AD=5,∴四边形ABCF的周长为8+10+5+5=28.∴四边形ABCF的周长为8+10+5+5=28．此题主要考查了菱形的判定及性质, 关键是掌握菱形四边相点评:等, 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．9. （2019•遂宁）已知: 如图, 在矩形ABCD中, 对角线AC.BD相交于点O, E是CD中点, 连结OE. 过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F, 连结DF. 求证:（1）△ODE≌△FCE；（2）四边形ODFC是菱形. 考点: 考点：矩形的性质；全等三角形的判定及性质；菱形的判定. 菁优网版权所有专题: 证明题.分析: （1）根据两直线平行, 内错角相等可得∠ODE=∠FCE, 根据线段中点的定义可得CE=DE, 然后利用“角边角”证明△ODE和△FCE全等；（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC, 再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形, 根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD, 然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可.（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．解答: 证明: （1）∵CF∥BD,∴∠ODE=∠FCE,∵E是CD中点,∴CE=DE,在△ODE和△FCE中,,∴△ODE≌△FCE（ASA）；（2）∵△ODE≌△FCE,∴OD=FC,∵CF∥BD,∴四边形ODFC是平行四边形,在矩形ABCD中, OC=OD,∴四边形ODFC是菱形.∴四边形ODFC是菱形．点评: 本题考查了矩形的性质, 全等三角形的判定及性质, 菱形的判定, 熟记各性质及平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．10.矩形的判定. 菁优网版权所有（2019•宁德）如图, 在梯形ABCD中,AD∥BC,点E是BC的中点,连接AC,DE,AC=AB,DE∥AB.求证:四边形AECD是矩形.考点:考点：专题: 证明题.分析: 先判断四边形AECD为平行四边形, 然后由∠AEC=90°即可判断出四边形AECD是矩形．解答: 证明: ∵AD∥BC, DE∥AB,∴四边形ABED是平行四边形.∴AD=BE.∵点E是BC的中点,∴EC=BE=AD.∴四边形AECD是平行四边形.∵AB=AC, 点E是BC的中点,∴AE⊥BC, 即∠AEC=90°．∴▱AECD是矩形.∴▱AECD是矩形．点评: 本题考查了梯形和矩形的判定, 难度适中, 解题关键是掌握平行四边形和矩形的判定定理．正方形的性质；全等三角形的判定及性质. 菁优网版权所有11.（2019•钦州）如图,在正方形ABCD中, E、F分别是AB.BC上的点, 且AE=BF.求证:CE=DF.考点:考点：专题: 证明题.分析: 根据正方形的性质可得AB=BC=CD, ∠B=∠BCD=90°, 然后求出BE=CF, 再利用“边角边”证明△BCE和△CDF全等, 根据全等三角形对应边相等证明即可．解答: 证明: 在正方形ABCD中, AB=BC=CD, ∠B=∠BCD=90°, ∵AE=BF,∴AB﹣AE=BC﹣BF,即BE=CF,在△BCE和△CDF中,,∴△BCE≌△CDF（SAS）,∴CE=DF.∴CE=DF．点评: 本题考查了正方形的性质, 全等三角形的判定及性质, 熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键．12. （2019•贵港）如图, 在正方形ABCD中, 点E是对角线AC上一点, 且CE=CD, 过点E作EF⊥AC交AD于点F, 连接BE.（1）求证: DF=AE；正方形的性质；角平分线的性质；勾股定理. 菁优网版权所有（2）当AB=2时,求BE2的值．考点:考点：（1）连接CF, 根据“HL”证明Rt△CDF和Rt△CEF全等, 根分析:据全等三角形对应边相等可得DF=EF, 根据正方形的对角线平分一组对角可得∠EAF=45°, 求出△AEF是等腰直角三角形, 再根据等腰直角三角形的性质可得AE=EF, 然后等量代换即可得证；（2）根据正方形的对角线等于边长的倍求出AC, 然后求出AE, 过点E作EH⊥AB于H, 判断出△AEH是等腰直角三角形, 然后求出EH=AH= AE, 再求出BH, 然后利用勾股定理列式计算即可得解．（2）根据正方形的对角线等于边长的倍求出AC，然后求出AE，过点E作EH⊥AB于H，判断出△AEH是等腰直角三角形，然后求出EH=AH= AE，再求出BH，然后利用勾股定理列式计算即可得解.（2）根据正方形的对角线等于边长的倍求出AC，然后求出AE，过点E作EH⊥AB于H，判断出△AEH是等腰直角三角形，然后求出EH=AH=AE，再求出BH，然后利用勾股定理列式计算即可得解．（1）证明: 如图, 连接CF,解答:在Rt△CDF和Rt△CEF中,,∴Rt△CDF≌Rt△CEF（HL）,∴DF=EF,∵AC是正方形ABCD的对角线,∴∠EAF=45°,∴△AEF是等腰直角三角形,∴AE=EF,∴DF=AE；（2）解: ∵AB=2,∴AC= AB=2 ,∵CE=CD,∴AE=2 ﹣2,过点E作EH⊥AB于H,则△AEH是等腰直角三角形,∴EH=AH= AE= ×（2 ﹣2）=2﹣,∴BH=2﹣（2﹣）= ,在Rt△BEH中, BE2=BH2+EH2=（）2+（2﹣）2=8﹣4 ．本题考查了正方形的性质, 全等三角形的判定及性质, 等腰直点评:角三角形的判定及性质, 勾股定理的应用, 作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键．13. （2019•吴中区一模）已知: 如图, 菱形ABCD中, E、F分别是CB.CD上的点, ∠BAF=∠DAE.（1）求证: AE=AF ；（2）若AE 垂直平分BC, AF 垂直平分CD, 求证：△AEF 为等边三角形．考点:考点：菱形的性质；全等三角形的判定及性质；等边三角形的判定. 菁优网版权所有专题:证明题. 分析:（1）首先利用菱形的性质得出AB=AD, ∠B=∠D, 进而得出△ABE ≌△ADF （ASA ）, 即可得出答案；（2）利用垂直平分线的性质得出△ABC 和△ACD 都是等边三角形, 进而得出∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°, 求出△AEF 为等边三角形．（2）利用垂直平分线的性质得出△ABC 和△ACD 都是等边三角形，进而得出∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°，求出△AEF 为等边三角形.（2）利用垂直平分线的性质得出△ABC 和△ACD 都是等边三角形，进而得出∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°，求出△AEF 为等边三角形．解答: （1）证明: ∵四边形ABCD 是菱形,∴AB=AD, ∠B=∠D,又∵∠BAF=∠DAE,∴∠BAE=∠DAF,在△ABE和△ADF中,,∴△ABE≌△ADF（ASA）,∴AE=AF；（2）解: 连接AC,∵AE垂直平分BC, AF垂直平分CD,∴AB=AC=AD,∵AB=BC=CD=DA,∴△ABC和△ACD都是等边三角形,∴∠CAE=∠BAE=30°, ∠CAF=∠DAF=30°,∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°,又∵AE=AF,∴△AEF是等边三角形.点评: 此题主要考查了等边三角形的判定及性质以及全等三角形的判定及性质等知识, 熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．14. （2019•新乡菱形的性质. 菁优网版权所有一模）小明设计了一个如图的风筝, 其中, 四边形ABCD及四边形AEFG都是菱形,点C在AF上, 点E, G分别在BC,CD上, 若∠BAD=135°, ∠EAG=75°,AE=100cm, 求菱形ABCD的边长.考点:考点：分析: 根据菱形的性质可得出∠BAE=30°, ∠B=45°, 过点E作EM⊥AB于点M, 设EM=x, 则可得出AB、AE的长度, 继而可得出的值, 求出AB即可．解答: 解: ∵∠BAD=135°, ∠EAG=75°, 四边形ABCD及四边形AEFG都是菱形,∴∠B=180°﹣∠BAD=45°, ∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=30°,过点E作EM⊥AB于点M, 设EM=x,在Rt△AEM中, AE=2EM=2x, AM= x,在Rt△BEM中, BM=x,则= = ,∵AE=100cm, ∴AB=50（+1）cm,∴菱形ABCD的边长为：50（+1）cm.点评: 本题考查了菱形的性质及解直角三角形的知识, 属于基础题, 关键是掌握菱形的对角线平分一组对角．15. （2019菱形的性质. 菁优网版权所有•槐荫区三模）如图,菱形ABCD的边长为1, ∠D=120°.求对角线AC的长.考点:考点：分析: 连接BD及AC交于点O, 根据菱形的性质可得AB=AD, AC=2AO, ∠ADB= ∠ADC, AC⊥BD, 然后判断出△ABD是等边三角形, 根据等边三角形的性质求出AO, 再根据AC=2AO计算即可得解．解答: 解: 如图, 连接BD及AC交于点O,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD, AC=2AO, ∠ADB= ∠ADC, AC⊥BD,∵∠D=120°,∴∠ADB=60°,∴△ABD是等边三角形,∴AO=AD×sin∠ADB= ,∴AC=2AO= .点评: 本题考查了菱形的性质, 等边三角形的判定及性质, 熟记性质并作辅助线构造出等边三角形是解题的关键．16.菱形的性质；勾股定理. 菁优网版权所有（2019•历城区一模）如图, 已知菱形ABCD的对角线AC.BD的长分别为6cm、8cm,AE⊥BC于点E, 求AE的长.考点：分析: 根据菱形的对角线互相垂直平分求出CO、BO, 再利用勾股定理列式求出BC, 然后利用菱形的面积等于底乘以高和对角线乘积的一半列出方程求解即可．解答: 解: ∵四边形ABCD是菱形,∴CO= AC=3cm, BO= BD=4cm, AO⊥BO,∴BC= = =5cm,∴S菱形ABCD= =BC•AE,即×6×8=5•AE,解得AE= cm.答：AE的长是cm.答: AE的长是cm．答：AE 的长是cm．点评: 本题考查了菱形的性质, 勾股定理, 熟记菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键, 难点在于利用菱形的面积列出方程．17. （2019•湖南校级模拟）如图, AE=AF, 点B.D分别在AE、AF上, 四边形ABCD是菱形, 连接EC.FC（1）求证: EC=FC；（2）若菱形的性质；全等三角形的判定及性质. 菁优网版权所有∠A=60°,求△AEF的周长．考点:考点：分析: （1）连接AC, 根据菱形的对角线平分一组对角可得∠CAE=∠CAF, 然后利用“边角边”证明△ACE和△ACF全等, 根据全等三角形对应边相等可得EC=FC；（2）判断出△AEF是等边三角形, 然后根据等边三角形的三条边都相等解答．（2）判断出△AEF是等边三角形，然后根据等边三角形的三条边都相等解答.（2）判断出△AEF是等边三角形，然后根据等边三角形的三条边都相等解答．解答: （1）证明: 如图, 连接AC,∵四边形ABCD是菱形,∴∠CAE=∠CAF,在△ACE和△ACF中,,∴△ACE≌△ACF（SAS）,∴EC=FC；（2）解: 连接EF,∵AE=AF, ∠A=60°,∴△AEF是等边三角形,∴△AEF的周长=3AE=3×2=6.点评: 本题考查了菱形的性质, 全等三角形的判定及性质, 等边三角形的判定及性质, 熟记各性质并作出辅助线是解题的关键．18. （2019•清河区一模）如图, 在△ABC中, AB=AC, 点D.E、F分别是△ABC三边的中点.求证：菱形的判定；三角形中位线定理. 菁优网版权所有四边形ADEF是菱形.考点:专题: 证明题.分析: 利用三角形中位线的性质得出DE AC, EF AB, 进而得出四边形ADEF 为平行四边形．, 再利用DE=EF 即可得出答案．解答: 证明: ∵D.E 、F 分别是△ABC 三边的中点,∴DE AC, EF AB,∴四边形ADEF 为平行四边形.又∵AC=AB,∴DE=EF.∴四边形ADEF 为菱形.∴四边形ADEF 为菱形．点评: 此题主要考查了三角形中位线的性质以及平行四边形的判定和菱形的判定等知识, 熟练掌握菱形判定定理是解题关键．19. （2019春•防城区期末）如图, 已菱形的判定；全等三角形的判定及性质；平行四边形的性质. 菁优网版权所有形ABCD是平行四边形, DE⊥AB,DF⊥BC, 垂足分别是为E, F,并且DE=DF.求证:四边形ABCD是菱形.考点:考点：专题: 证明题.分析: 首先利用已知条件和平行四边形的性质判定△ADE≌△CDF, 再根据邻边相等的平行四边形为菱形即可证明四边形ABCD是菱形．解答: 证明: 在△ADE和△CDF中,∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,∵DE⊥AB, DF⊥BC,∴∠AED=∠CFD=90°.又∵DE=DF,∴△ADE≌△CDF（AAS）∴DA=DC,∴平行四边形ABCD是菱形.∴平行四边形ABCD是菱形．点评: 本题考查了平行四边形的性质, 全等三角形的判定和性质以及菱形的判定方法, 解题的关键是熟练掌握各种图形的判定和性质．20. （2019•通州区一模）如图, 在四边形ABCD中, AB=DC, E、F分别是AD.BC的中点, G、H分别是对角线BD.AC的中点.（1）求证: 四边形EGFH是菱形；（2）若AB=1, 则当∠ABC+∠DCB=90°时, 求四边形EGFH 的面积．考点:考点：菱形的判定及性质；正方形的判定及性质；中点四边形. 菁优网版权所有分析: （1）利用三角形的中位线定理可以证得四边形EGFH 的四边相等, 即可证得；（2）根据平行线的性质可以证得∠GFH=90°, 得到菱形EGFH 是正方形, 利用三角形的中位线定理求得GE 的长, 则正方形的面积可以求得．（2）根据平行线的性质可以证得∠GFH=90°，得到菱形EGFH 是正方形，利用三角形的中位线定理求得GE 的长，则正方形的面积可以求得.（2）根据平行线的性质可以证得∠GFH=90°，得到菱形EGFH 是正方形，利用三角形的中位线定理求得GE 的长，则正方形的面积可以求得．解答: （1）证明: ∵四边形ABCD中, E、F、G、H分别是AD.BC.BD.AC 的中点,∴FG= CD, HE= CD, FH= AB, GE= AB.∵AB=CD,∴FG=FH=HE=EG.∴四边形EGFH是菱形.（2）解: ∵四边形ABCD中, G、F、H分别是BD.BC.AC的中点,∴GF∥DC, HF∥AB.∴∠GFB=∠DCB, ∠HFC=∠ABC．∴∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90°.∴∠GFH=90°.∴菱形EGFH是正方形.∵AB=1,∴EG= AB= .∴正方形EGFH的面积=（）2= .点评: 本题考查了三角形的中位线定理, 菱形的判定以及正方形的判定, 理解三角形的中位线定理是关键．21. （2019•顺义区二模）如图, 在△ABC中, D.E分别是AB.AC的中点, BE=2DE, 过点C作CF∥BE交DE的延长线于F.（1）求证: 四边形BCFE是菱形；（2）若菱形的判定及性质. 菁优网版权所有CE=4, ∠BCF=120°,求菱形BCFE的面积．考点:考点：分析: （1）由题意易得, EF及BC平行且相等, 故四边形BCFE 是平行四边形. 又麟边EF=BE, 则四边形BCFE是菱形；（2）连结BF, 交CE于点O．利用菱形的性质和等边三角形的判定推知△BCE是等边三角形．通过解直角△BOC求得BO的长度, 则BF=2BO．利用菱形的面积= CE•BF进行解答．（2）连结BF，交CE于点O. 利用菱形的性质和等边三角形的判定推知△BCE是等边三角形. 通过解直角△BOC求得BO的长度，则BF=2BO. 利用菱形的面积= CE•BF进行解答.（2）连结BF，交CE于点O．利用菱形的性质和等边三角形的判定推知△BCE是等边三角形．通过解直角△BOC求得BO的长度，则BF=2BO．利用菱形的面积=CE•BF进行解答．解答: （1）证明: ∵D.E分别是AB.AC的中点,∴DE∥BC, BC=2DE.∵CF∥BE,∴四边形BCFE是平行四边形.∵BE=2DE, BC=2DE,∴BE=BC.∴□BCFE是菱形；（2）解: 连结BF, 交CE于点O.∵四边形BCFE是菱形, ∠BCF=120°,∴∠BCE=∠FCE=60°, BF⊥CE,∴△BCE是等边三角形.∴BC=CE=4.∴.∴.点评: 此题主要考查菱形的性质和判定以及面积的计算, 使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题．22. （2019•祁阳县校级模拟）如图, O为矩形ABCD对角线的交点, DE ∥AC, CE∥BD.矩形的性质；菱形的判定. 菁优网版权所有（1）求证: 四边形OCED是菱形.（2）若AB=6,BC=8,求四边形OCED的周长．考点:考点：分析: （1）根据矩形性质求出OC=OD, 根据平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形, 根据菱形判定推出即可；（2）根据勾股定理求出AC, 求出OC, 得出OC=OD=CE=ED=5,相加即可．（2）根据勾股定理求出AC，求出OC，得出OC=OD=CE=ED=5，相加即可.（2）根据勾股定理求出AC，求出OC，得出OC=OD=CE=ED=5，相加即可．解答: （1）证明: ∵四边形ABCD是矩形,∴AC=2OC, BD=2OD, AC=BD,∴OD=OC,∵DE∥AC, CE∥BD,∴四边形OCED是菱形.（2）解: ∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∵AB=6, BC=8,∴在Rt△ABC中, 由勾股定理得: AC=10,即OC= AC=5,∵四边形OCED是菱形,∴OC=OD=DE=CE=5,∴四边形OCED的周长是5+5+5+5=20.∴四边形OCED的周长是5+5+5+5=20．。
中考数学精英复习课件(毕节)专题四特殊平行四边形的证明与计算(共26张PPT(完整版)9
解：(1)矩形； (2)①证明：∵AD＝5，S▱ABCD＝15， ∴AE＝3. ∵在图 2 中 ，EF＝4， ∴在 Rt△AEF 中，
AF＝ AE2＋EF2＝ 32＋42＝5， ∴AF＝AD＝5.又由△AEF 平移得到△DE′F′， ∴AF∥DF′，AF＝DF′， ∴四边形 AFF′D 是平行四边形， ∵AD＝AF， ∴四边形 AFF′D 是菱形．
(2)当∠ABE＝30°时，四边形BEDF是菱形， ∵BE平分∠ABD， ∴∠ABD＝2∠ABE＝60°，∠EBD＝∠ABE＝30°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∴∠EDB＝90°－∠ABD＝30°， ∴∠EDB＝∠EBD＝30°， ∴EB＝ED， 又∵四边形BEDF是平行四边形， ∴四边形BEDF是菱形．
(1)证明：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴AE＝DF. (2)解：四边形AEDF是菱形． 理由如下：∵四边形AEDF是平行四边形， ∴∠EAD＝∠FDA， 又AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠DAF， ∴∠DAF＝∠FDA， ∴AF＝DF， ∴平行四边形AEDF为菱形．
毕节地区
专题四 特殊平行四边形的证明与计算
数学
菱形的性质与判定
【例1】(2015·安顺)如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交 AB于点E，DF∥AB交AC于点F. (1)求证：AE＝DF； (2)若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由． 思路点拨：(1)证明四边形AEDF为平行四边形； (2)▱AEDF为菱形，证明∠DAF＝∠FDA即可．
OF＝12CD，OE＝12BC，OE∥BC， 在△BCE 和△DCF 中，
B∠EB＝＝D∠F，D， BC＝DC，
∴△BCE≌△DCF(SAS)；
几何证明专题----特殊的平行四边形
特殊的平行四边形【知识要点】1、矩形、菱形、正方形的性质2、矩形、菱形、正方形的判定【典例分析】一、矩形例1：已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．（1）求证：CD=AN；（2）若∠AMD=2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．练习：1、如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 为BC 上两点，且BE=CF ，AF=DE. （1）求证：△ABF ≌△DCE ；（2）求证：四边形ABCD 是矩形。
2、如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，△ABE 是等边三角形，求证：四边形ABCD 是矩形。
3、如图，在矩形ABCD 中，AB=2BC ，E 在AB 延长线上，∠BCE=60°，求∠ADE.4、在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，EF 过点O ，且AF ⊥BC ，求证：四边形AFCE 是矩形ABE F CDAB CDE5、平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点Ｏ，点Ｐ是四边形外一点，且PA⊥PC，PB⊥PD，垂足为Ｐ。
求证：四边形ABCD为矩形6、已知：如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形．二、菱形例1：如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连接BM，DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=4，AD=8，求MD的长．练习1、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_______2、如图，点A 、F 、C 、D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB=DE ，∠A=∠D ，AF=DC ．（1）求证：四边形BCEF 是平行四边形；（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF 为何值时，四边形BCEF 是菱形.3、如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，AB=a .（1）求∠ABC 的度数；（2）求对角线AC 的长；（3）求菱形ABCD 的面积。
特殊四边形的证明证明
证明1．平行四边形的识别方法：(1) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(4) 两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(5) 对角线互相平分的四边形是平行四边形．eg：1.已知：如图，□ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．课堂练习一、选择题1.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD相交于点0．若AC=6，则线段AO的长度等于_______．2.已知□ABCD的周长为32，AB=4，则BC=（）A. 4B. 12C. 24D. 283.在平面直角坐标系中，□ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，0）、（3，0）、（4，2）则顶点D的坐标为（）A．（7，2） B. （5，4） C.（1，2） D. （2，1）4.如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝80°，AE平分∠BAD交BC于点E，CF∥AE交AE于点F，则∠1＝（）1FED CBAA．40°B．50°C．60°D．80°5.如图，在平行四边形ABCD中，∠B=80°，AE平分∠BAD交BC于点E，CF∥AE交AE于点F，则∠1=（）A、40°B、50°C、60°D、80°6.将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积．则这样的折纸方法共有（）A、1种B、2种C、4种D、无数种7.如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（）A．48cm B．36cm C．24cm D．18cm8.如图所示，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是（）A.AC⊥BDB.AB=CDC.BO=ODD.∠BAD=∠BCD二、填空题1.已知□ABCD的周长为28，自顶点A作AE⊥DC于点E，AF⊥BC于点F．若AE＝3，AF＝4，则CE—CF＝（）3.如图，▱ABCD，E是BA延长线上一点，AB=AE，连接CE交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB=3，则BC的长为6．4.如图，在□ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是.5.在ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，则ABCD 的周长为cm ．6.在ABCD中，∠A=110°，则∠D= ．7.已知□ABCD 的周长为28，自顶点A 作AE ⊥DC 于点E ，AF ⊥BC 于点F . 若AE =3，AF =4，则 CE -CF = . 8.如图，在□ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，且BE ∥DF ，若∠EBF ＝45°，则∠EDF 的度数是 45 度．9.已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，则图中相似的三角形有 3 对．三、解答题1）如图，四边形ABCD 是平行四边形，EF 分别是BC 、AD 上的点，∠1=∠2.求证：△ABE ≌△CDF .解答：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠B=∠D ，AB=CD ， ∴在：△ABE 与△CDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠D B CD AB 21 ∴△ABE ≌△CDF （ASA ）2.如图，在▱ABCD 中，E 、F 为对角线BD 上的两点，且∠BAE=∠DCF ．求证：BE=DF ．解答：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD ，∠ABE=∠CDF ， 又已知∠BAE=∠DCF ， ∴△ABE ≌△DCF ， ∴BE=DF ．点评：此题考查的知识点是平行四边形的性质与全等三角形的判定和性质，关键是证明BE 和DF 所在的三角形全等． 3.如图，E F 、是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的点，CE AF =，请你猜想：线段BE 与线段DF 有怎样的关系？并对你的猜想加以证明.解答：猜想：BEDF .证明： ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴CB AD =，CB ∥AD ∴BCE DAF ∠= 在BCE △和DAF △CB ADBCE DAF CE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BCE △≌DAF △ ∴BE DF =，BEC DFA ∠=∠ ∴BE ∥DF ，即 BEDF .4.如图，在平行四边形ABCD 中，点P 是对角线AC 上一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，且PE=PF ，平行四边形ABCD 是菱形吗？为什么？解答：解：是菱形．理由如下：∵PE⊥AB，PF⊥AD，且PE=PF，∴AC是∠DAB的角平分线，∴∠DAC=∠CAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB，∴∠DAC=∠DCA，∴DA=DC，∴平行四边形ABCD是菱形．点评：此题主要考查了菱形的判定，证明∠DAC=∠DCA是解此题的关键．5.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，AC与EF相交于点O．（1）过点B作AC的平行线BG，延长EF交BG于H；（2）在（1）的图中，找出一个与△BHF全等的三角形，并证明你的结论．解答：解：（1）如图：（2）结论：△BHF≌△COF．理由是：∵AC∥BH，∴∠FBH=∠FCO，又∵BF=CF，∠BFH=∠CFO，∴△BHF≌△COF（ASA）．6.如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，BE∥DF．求证：BE=DF．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD，BC∥AD，…（2分）∴∠ACB=∠DAC，…（3分）∵BE∥DF，∴∠BEC=∠AFD，…（4分）∴△CBE≌△ADF，…（5分）∴BE=DF．…（6分）点评：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．7.在▱ABCD中，E、F分别是AB．CD的中点，连接AF、CE．（1）求证：△BEC≌△DFA；（2）连接AC，当CA=CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD，∠B=∠D，AB=CD，∵E、F分别是AB．CD的中点，∴BE=DF=AE=CF，在△BEC和△DFA中，BE=DF，∠B=∠D，BC=AD，∴△BEC≌△DFA．（2）答：四边形AECF是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵AE=CF，∴四边形AECF 是平行四边形， ∵AC=BC ，E 是AB 的中点， ∴CE ⊥AB ， ∴∠AEC=90°，∴平行四边形AECF 是矩形．8. .如图，E F 、是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的点，CE AF =，请你猜想：线段BE 与线段DF 有怎样的关系？并对你的猜想加以证明.解答：猜想：BEDF .证明： ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴CB AD =，CB ∥AD ∴BCE DAF ∠= 在BCE △和DAF △CB ADBCE DAF CE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BCE △≌DAF △ ∴BE DF =，BEC DFA ∠=∠ ∴BE ∥DF ，即 BEDF .9.如图5所示，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝ 60°，DE ∥AC 交BC 的延长线于点E ．求证：DE ＝12BE ． EDCBA解答：∵ABCD 是菱形，∴AD //BC ，AB ＝BC ＝CD ＝DA ．图5又∵∠ABC＝60°，∴BC＝AC＝AD．∵DE∥AC∴ACED为平行四边形．∴CE＝AD＝BC，DE＝AC．∴DE＝CE＝BC，∴DE＝12 BE．点评：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，而平行四边形的对边相等，由此可以得出相等的线段，可实现线段的等量代换（转移），这就为证明线段相等或倍、分关系创造了条件．10.如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．解答：线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是：平行且相等．证明：∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO，∵OA=OC，∴△ADO≌△ECO，∴AD=CE，∴四边形ADCE是平行四边形，∴CD∥AE，CD =AE．11.如图，在▱ABCD中，E，F分别是BC，AD中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当BC=2AB=4，且△ABE，求证：四边形AECF是菱形．解答：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=DC ，AD=CB ，∠B=∠D ， ∵E ，F 分别是BC ，AD 中点， DF=12DA ，BE=12错误！未找到引用源。
小专题(二) 特殊平行四边形的性质与判定
小专题(二)特殊平行四边形的性质与判定【例】(邵阳中考)准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．【思路点拨】(1)由矩形及翻折的性质可证得△EDM≌△FBN，从而证出四边形BFDE是平行四边形；(2)由菱形及矩形的性质得出∠ABE＝∠DBE＝∠DBC＝30°，利用勾股定理可求出AE、BE，进而求出AE、DE，即可求出菱形BFDE的面积．【方法归纳】证明平行四边形及特殊平行四边形时，通常要先看题中已知条件的特点，然后根据条件选择合适的判定方法加以证明．1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D 作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连接BE.求四边形AEBD的面积．(1)求证：四边形BEDF是菱形；3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为点O.(1)连接AF，CE，求证：四边形AFCE为菱形；(2)求菱形AFCE的边长．4．E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F、G.求证：(1)四边形CFEG是矩形；(2)AE＝FG.5．(牡丹江中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D在AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．参考答案【例】．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠C ＝90°，AB ＝CD. 由翻折得BM ＝AB ，DN ＝DC ，∠A ＝∠EMB ，∠C ＝∠DNF ，∴BM ＝DN ，∠EMB ＝∠DNF ＝90°.∴BN ＝DM ，∠EMD ＝∠FNB ＝90°.∵AD ∥BC ，∴∠EDM ＝∠FBN.∴△EDM ≌△FBN(ASA)．∴ED ＝BF.又∵DE ∥BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形．（2）∵四边形BFDE 是菱形，∴∠EBD ＝∠FBD.∵∠ABE ＝∠EBD ，∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＝13×90°＝30°. ∴AE ＝12BE. 由勾股定理得AB ＝3AE.在Rt △ABE 中，AB ＝2，∴AE ＝233，BE ＝433. ∴ED ＝433. ∴AD ＝2 3.∴S △ABE ＝12AB ·AE ＝233，S 矩形ABCD ＝AB·AD ＝4 3. ∴S 菱形BFDE ＝43－2×233＝833. 针对训练1.∵AE ∥BC ，DE ∥AC ，∴四边形AEDC 是平行四边形．∴AE ＝CD.在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的高，∴∠ADB ＝90°，BD ＝CD.∴BD ＝AE.∴四边形AEBD 是矩形．在Rt △ADC 中，∠ADC ＝90°，AC ＝5，CD ＝12BC ＝3， ∴AD ＝52－32＝4.∴四边形AEBD 的面积为BD·AD ＝CD·AD ＝3×4＝12.2.(1)证明：连接BD ，交AC 于O.∵四边形ABCD 是菱形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD.∵AE ＝CF ，∴OE ＝OF.∴四边形BEDF 是平行四边形．∵EF ⊥BD ，∴四边形BEDF 是菱形．（2）∵∠DAB ＝60°，∴∠DAE ＝30°，∠ADB ＝60°.∵AD ＝6，∴OD ＝12AD ＝3. ∵AE ＝DE ，∴∠DAE ＝∠ADE ，∠ADE ＝∠EDO ＝30°.在Rt △DEO 中，由勾股定理可得DE ＝23，∴菱形BEDF 的周长为4DE ＝8 3.3.(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC.∴∠EAO ＝∠FCO.∵EF 垂直平分AC ，∴OA ＝OC.在△AOE 和△COF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAO ＝∠FCO ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，∴△AOE ≌△COF(ASA)．∴OE ＝OF.∵OA ＝OC ，∴四边形AFCE 是平行四边形．∵EF ⊥AC ，∴四边形AFCE 是菱形．（2）∵四边形AFCE 是菱形，∴AF ＝FC.设AF ＝x cm ，则CF ＝x cm ，BF ＝(8－x)cm ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°.∴在Rt △ABF 中，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x 2，解得x ＝5，即AF ＝5 cm.4.证明：(1)连接EC.∵四边形ABCD 是正方形，EF ⊥BC ，EG ⊥CD ， ∴∠GCF ＝∠CFE ＝∠CGE ＝90°.∴四边形EFCG 为矩形．（2）∵四边形EFCG 为矩形，∴FG ＝CE.又∵BD 为正方形ABCD 的对角线，∴∠ABE ＝∠CBE.在△ABE 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝BE ，∠ABE ＝∠CBE ，AB ＝BC ，∴△ABE ≌△CBE(SAS)．∴AE ＝EC.∴AE ＝FG .5.(1)证明：∵DE ⊥BC ，∴∠DFB ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠ACB ＝∠DFB.∴AC ∥DE.∵MN ∥AB ，即CE ∥AD ，∴四边形ADEC 是平行四边形．∴CE ＝AD.（2）四边形BECD是菱形，理由：∵D为AB中点，∴AD＝BD.∵CE＝AD，∴BD＝CE.∵BD∥CE，∴四边形CDBE是平行四边形．∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD.∴四边形CDBE是菱形．（3）当∠A＝45°时，四边形CDBE是正方形，理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC. ∵D为AB中点，∴CD⊥AB.∴∠CDB＝90°.∵四边形CDBE是菱形，∴四边形CDBE是正方形，即当∠A＝45°时，四边形CDBE是正方形．。
特殊平行四边形的证明
特殊平行四边形的证明1.在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y=x 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y=x 于点M ，BC 边交x 轴于点N （如图）. （1）旋转过程中，当MN 和AC 平行时，求正方形 OABC 旋转的度数；（2）设M B N ∆的△MBN 周长为p ，在旋转正方形OABC 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论.2.如图在R t ABC △中，90A B C =︒∠．将R t ABC △绕点C 顺时针方向旋转60︒得到D E C △，点E 在A C 上，再将R t ABC △沿着A B 所在直线翻转180︒得到A B F △．连接AD ． （1）求证：四边形A F C D 是菱形；（2）连接B E 并延长交A D 于G ，连接C G ，请问：四边形A B C G 是什么特殊平行四边形？为什么？3.如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF =BD ，连结BF 。
（1） 求证：BD =CD ；（2） 如果AB =AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论。
ADFCEGBx4.在平行四边形ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90 得到线段EF(如图1)（1）在图1中画图探究：①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转90 得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E逆时针旋转90 得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.5.已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F.(1）求证：AM=DM；(2）若DF=2，求菱形ABCD的周长．6.如图1，在正方形A B C D 中，E F G H ，，，分别为边A B B C C D D A ，，，上的点，H A E B F C G D ===，连接E G F H ，，交点为O ．（1）如图2，连接E F F G G H H E ，，，，试判断四边形E F G H 的形状，并证明你的结论；（2）将正方形A B C D 沿线段,EG HF 剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形A B C D 的边长为3cm ，1cm H A E B F C G D ====，则图3中阴影部分的面积为_________2cm ．7.如图，在边长为5的正方形A B C D 中，点E 、F 分别是B C 、D C 边上的点，且AE EF ⊥，2BE =. （1）求E C ∶C F 的值；（2）延长E F 交正方形外角平分线CP P 于点（如图 -2），试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由；（3）在图 2的A B 边上是否存在一点M ，使得四边形D M E P 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．D C BA O H G FEE BADC GF H8.已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将A B E △沿B C 方向平移，使点E 与点C 重合，得G F C △． （1）求证：BE D G =；（2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形A B F G 是菱形？证明你的结论．9.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于 点D ，交AC 于点O ，CE ∥AB 交MN 于E ，连结AE 、CD ． （1）求证：AD ＝CE ；（2）填空：四边形ADCE 的形状是 ．10.如图所示，在R t ABC △中，90A B C =︒∠．将R t ABC △绕点C 顺时针方向旋转60︒得到D E C △，点E 在A C 上，再将R t ABC △沿着A B 所在直线翻转180︒得到A B F △．连接AD ．（1）求证：四边形A F C D 是菱形；（2）连接B E 并延长交A D 于G ，连接C G ，请问：四边形A B C G 是什么特殊平行四边形？为什么？DBCAENMOADFCEGBADG C B F E11.如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF =BD ，连结BF 。
特殊平行四边形的性质与判定
特殊平行四边形的性质与判定1.如图，在^ABC中，AB=AC = 5, BC=6, AD为BC边上的高，过点A作AE〃BC,过点D 作DE〃AC, AE与DE交于点E，AB与DE交于点F,连接BE.求四边形AEBD的面积.2.如图，E, F是菱形ABCD对角线上的两点，且AE = CF.(1)求证：四边形BEDF是菱形;⑵若NDAB = 60°, AD = 6, AE=DE,求菱形 BEDF 的周长.3.(邵阳中考)准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将AABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将4CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点.⑴求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB = 2,求菱形BFDE的面积.4.如图，在矩形ABCD中，AB = 4cm, BC=8 cm, AC的垂直平分线EF分别交AD, BC于点E, F,垂足为点O.⑴连接AF, CE,求证：四边形AFCE为菱形;⑵求菱形AFCE的边长.5. E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF±BC, EGLCD,垂足分别是F、G.求证: ⑴四边形CFEG是矩形；(2)AE=FG.6.(牡丹江中考)如图，在Rt^ABC中，NACB = 90°,过点C的直线MN〃AB, D为AB边上一点，过点D作DELBC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD, BE.(1)求证：CE=AD； (2)当D在AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明你的理由；⑶若D为AB中点，则当NA的大小满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由.专题训练(三)一元二次方程的解法1.用配方法解下列方程：(1)(2x—1)2=1；(2)x2+4x — 1 = 0；(3)~x2 — 6x + 3 = 0.2.用公式法解下列方程：(1)5x2+2x—1 = 0；(2)6x2+13x+6 = 0；(3)x?+6x + 9 = 7； (4)5x+2 = 3x2.3.用因式分解法解下列方程：(1)x2—25 = 0； (2)x2 = 4x；(3)(x — 3)(x — 1)=6—2x.4.用适当的方法解下列方程：(1)(x — 5)2=16； (2)x2 — 3x = 5；(3)(3x—4)2= (4x — 3)2； (4)(2x—1)(x+1) = (3x+1)(x+1).5 .解下列一元二次方程：(1)x 2—4x — 6 = 0； (2)x 2 — 5x+2 = 0； (3)y(y —8) = — 16； (4)4(x+1)2 = 9(x —2)2.类型1增长率问题1 .为防治雾霾，保护环境，某市掀起“爱绿护绿”热潮，经过两年时间，绿地面积增加了 21%,设这两年的绿地面积的平均增长率是x,则列出关于x 的一元二次方程为（）2 .（珠海中考）白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014 年达到82.8公顷.⑴求该镇2012年至2014年绿地面积的年平均增长率；⑵若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？类型2图形面积问题3 .如图，矩形ABCD 的周长是20cm,以AB, AD 为边向外作正方形ABEF 和正方形ADGH,若 正方形ABEF 和ADGH 的面积之和为68 cm 2,那么矩形ABCD 的面积是（ ）4 .如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下 部分种植草坪.要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为（）B.3米 D. 2米或5米5 .如图是我市将要开发的一块长方形的土地，长为x km,宽为3 km,建筑开发商将这块土 地分为甲、乙、丙三部分，其中甲和乙均为正方形，现计划甲地建住宅区，乙地建商业区， 丙地开辟成小区公园，若已知丙地的面积为2 km 2,则x 的值为.6 .某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1,在温室内，沿前侧内 墙保留3 m 宽的空地，其他三侧内墙保留1m 宽的通道，当矩形温室的长与宽各为多少时， 蔬菜种植区域的面积是288 m 2?专题训练（五） 元二次方程的实际应用A. x 2=21% C. (1+x)2=21%B. (x —1)2=21% A. C. 21 24 cm 2 cm 2B. 16 D. 9 cm 2cm 2 〃，:二A.C.类型3销售利润问题7 .某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增 加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价 1元，商场平均每天可多售出2件.若商场平均每天要赢利1 200元，设每件衬衫应降价x 元，则所列方程为8 .某公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件，为了获 得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入广告费为x （万元）时，x 2 7 7产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y=一记+2x+亡，如果把利润看作是销售额减去成本费和广告费，那么当年利润为16万元时，广告费x 为 9 .（淮安中考）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价 格出售，每天可售出100斤.通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多 售出20斤.为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售. ⑴若将这种水果每斤的售价降低x 元，则每天的销售量是 表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降至多少元?10 .毕业在即，某商店抓住商机，准备购进一批纪念品，若商店花440元可以购进50本学 生纪念品和10本教师纪念品，其中教师纪念品的成本比学生纪念品的成本多8元.⑴请问这两种不同纪念品的成本分别是多少？⑵如果商店购进1 200个学生纪念品，第一周以每个10元的价格售出400个，第二周若按 每个10元的价格仍可售出400个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查， 单价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价），单价降低x 元销售一周后，商 店对剩余学生纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批纪念品共获利2 500 元，问第二周每个纪念品的销售价格为多少元？专题训练（六）概率的应用类型1概率的应用11 一个不透明的口袋里装有红、黑、绿三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中红 球有2个，黑球有1个，绿球有3个，第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个万元.斤（用含x 的代数式12 （武汉中考）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1,2, 3, 4.⑴随机摸取一个小球，直接写出“摸出小球标号是3”的概率；⑵随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，直接写出下列结果：①两次取出的小球一个标号是1,另一个标号是2的概率；②第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率.13 （锦州中考）育才中学计划召开“诚信在我心中”主题教育活动，需要选拔活动主持人.经 过全校学生投票推荐，有2名男生和1名女生被推荐为候选主持人.⑴小明认为，如果从3名候选主持人中随机选拔出1名主持人，不是男生就是女生，因此 选出的主持人是男生与选出的主持人是女生的可能性相同.你同意他的说法吗？为什么？ ⑵如果从3名候选主持人中随机选拔出2名主持人，请通过列表或树状图求选拔出的2名 主持人恰好是1名男生和1名女生的概率.14 在学习“二元一次方程组的解”时，数学张老师设计了一个数学活动.有A 、B 两组卡片， 每组各3张，A 组卡片上分别写有0, 2, 3； B 组卡片上分别写有一5,—1,1.每张卡片除 正面写有不同数字外，其余均相同.甲从A 组中随机抽取一张记为x,乙从B 组中随机抽取 一张记为y.（1）若甲抽出的数字是2,乙抽出的数字是一1,它们恰好是ax — y = 5的解，求a 的值； ⑵求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程ax —y = 5的解的概率.（请用树形图或列表法求 解）类型2概率与统计的综合应用15 九⑴班的全体同学根据自己的兴趣爱好参加了六个学生社团（每个学生必须参加且只参 加一个），为了了解学生参加社团的情况，学生会对该班参加各个社团的人数进行了统计， 绘制成如图不完整的扇形统计图，已知参加“读书社”的学生有15人，请解答下列问题： （1）该班的学生共有 名；⑵若该班参加“吉他社”与“街舞社”的人数相同，请你计算，“吉他社”对应扇形的圆 球，则两次摸到的都是红球的概率为（ )2 C ，15 1 D ，15心角的度数；⑶九⑴班学生甲、乙、丙是“爱心社”的优秀社员，现要从这三名学生中随机选两名学生参加“社区义工”活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好选中甲和乙的概率.专题训练(七)相似三角形的基本模型下面仅以X字型、A字型、双垂型、M字型4种模型设置练习，帮助同学们认识基本模型，并能从复杂的几何图形中分辨出相似三角形，进而解决问题.模型1 X字型及其变形(1)如图1,对顶角的对边平行，则△ABOs^DCO;(2)如图2,对顶角的对边不平行，则△ABOs^CDO.1(恩施中考)如图，在 ABCD中，AC与BD交于点O, E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F,则DF：FC等于( )A. 1 ： 4B. 1 ： 3C. 2 ： 3D. 1 ： 2BE2.(黔东南中考)将一副三角尺如图所示叠放在一起，则EC的值是__ .3.已知：如图，NADE=NACB, BD = 8, CE=4, CF=2,求 DF 的长.模型2 A字型及其变形(1)如图1,公共角所对应的边平行，则△ADEs^ABC;(2)如图2,公共角的对边不平行，且有另一对角相等，两个三角形有一条公共边，则△ ACDs^ABC.5 .(泰安中考改编)如图，在四边形ABCD 中，AB=AD, AC 与BD 交于点E, ZADB = ZACB.6 .如图，AD 与BC 相交于£,点F 在BD 上，且AB 〃EF 〃CD,求证：士+去=白. AB CD EF模型3双垂型直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD^AABC^ACBD.7 .如图，在RtAABC 中，CD ±AB, D 为垂足，且AD = 3, AC = 3\：5 则斜边AB 的长为()A. 3\!6B. 154.如图，已知菱形ABCD 的边长为3,延长AB 到E,使BE=2AB 的延长线于点F,求AF 的长. 连接EC 并延长交AD求证: AB AC AE =AD"C. 9-\,'5D. 3 + 3\'510.(常州中考改编)如图，在正方形ABCD 中，E 为边AD 上的点，点F 在边CD 上，且 CF=3FD,ZBEF=90° .(1)求证：△ABEs^DEF ； (2)若AB=4,延长EF 交BC 的延长线于点G,求BG 的长.专题训练(八)相似三角形性质的运用1.已知△ABC s△DEF,若4ABC 与4DEF 的相似比为3 ： 4,则4ABC 与4DEF 的面积 8.如图，^ABC 中，NACB = 90 ,AC=. CD 是斜边AB 上的高，AD = 9, BD=4,那么CD = ,模型4 M 字型 针对训练＜19.如图，已知 AB ±BD, ED ±BD, C 是线段 BD 的中点，且 AC ±CE, ED=1, BD=4, 求AB 的长.之比为（）A. 4 ： 3B. 3 ： 4C. 16 ： 9D. 9 ： 16AO 22 .如图，AB 〃CD,而=3，则4AOB 的周长与^DOC 的周长比是（ ）3 .如图，在口 ABCD 中，E 是AD 边上的中点，连接BE,并延长BE 交CD 延长线于点F, 贝U^EDF 与4BCF 的周长之比是（ ）A. 1 ： 2B. 1 ： 3C. 1 ： 4D. 1 ： 54 .两个相似三角形对应中线的比2： 3,周长的和是20,则两个三角形的周长分别为（） A. 8 和 12 B. 9 和 11 C. 7 和 13D. 6 和 14 5 .如图，在4ABC 中，AD ： DB = 1 ： 2, DE 〃BC,若^ABC 的面积为9,则四边形DBCE 的面积为.6 .如图，平行于BC 的直线DE 把4ABC 分成的两部分面积相等，则需=.7 .已知：△ABCs^AB'C', AB=4 cm, A, B'=10 cm, AE 是^ABC 的一条高，AE=8 .8 cm.求△A‘B‘C'中对应高线AE 的长. 8.如图，4ABC 是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH,上，顶点G, H 分别在AC, AB 上，AD 与HG 的交点为M. （1）求证:矩形EFGH 的周长专题训练（九）相似中的开放型问题BC=40 cm, AD = 30 使它的一边EF 在BC AM-HG ”、节母不 AD = BC ； (2)求这个类型1条件开放性1 .如图，D 、E 分别是4ABC 的边AB 、AC 上的点(DE 不平行于BC),请你添加一个条件， 使△ ABCs^ AED.你添加的条件是类型2结论开放性2 .如图，矩形ABCD 中，以对角线BD 为一边构造一个矩形BDEF,使得另一边EF 过原 矩形的顶点C.⑴设Rt △CBD 的面积为S 1, Rt △BFC 的面积为S 2, Rt △DCE 的面积为S 3,则S 1. + S 式填，，“二”或“<”)；(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明.类型3网格中的相似三角形3 .如图，点 A, B, C, D 的坐标分别是(1, 7), (1, 1), (4, 1), (6, 1),以 C, D, E 为 顶点的三角形与^ABC 相似，则点E 的坐标不可能是()A. (6, 0)B. (6, 3)C. (6, 5)D. (4, 2)4.如图，方格纸中每个小正方形的边长为1,△ABC 和ADEF 的顶点都在方格纸的格点上.(1) 判断4ABC 和^DEF 是否相似，并说明理由；(2)P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, D, F 是^DEF 边 上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与4ABC 相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由).S 285, £。
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特殊平行四边形的证明（拔高）
【课前测试】如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．（1）判断四边形OCED的形状，并进行证明；
（2）点E是否在AB的垂直平分线上？若在，请进行证明；
若不在，请说明理由．
【2015 李沧】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD 为邻边作平行四边形ABDE,连接AD,EC
(1)求证ECD
≅
∆
ADC∆
(2)若BD=CD,则四边形ADCE是怎样的特殊四边形
(3)在（2）的基础上，要使ADCE成为一个正方形，则△ABC满足什么条件（添加一个边或角的条件，直接写出结论，无需证明）
【2014 李沧】如图，等腰梯形ABCD 中，CD AB BC AD =,∥，点E 是线段AD 上的一个动点（E 与D A 、不重合），H F G 、、分别是CE BC BE 、、的中点。
（1）当CE BE =时，求证DE AE =；
（2）当点E 运动到什么位置时，四边形EGFH 是菱形？（直接写出结论，不用说明理由）；
（3）若（2）中的菱形EGFH 是正方形，线段EF 与线段BC 有什么关系？证明你的结论
【作业】 如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相较于点O,作∠BAD 和∠BCD 的平分线，分别交BD 于点G 、H ，延长AG 交BC 于点E,延长CH 交AD 于点F 。
（1）求证：∆ABG ≌∆CDH
（2）若∠BAE=2∠EAC ，试判断四边形AECF 是怎样的特殊四边形， 并加以证明。
A B C D E
F H
G 题图
第21。