：基于MATLAB的IIR滤波器的语音信号去噪.

首先,把z=ejω，可得
（2-7）
即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。
其次，将s=σ+jΩ代入式百度文库2-7），得
（2-8）
因此
（2-9）
由此看出，当σ<0时，|z|<1；当σ>0时，|z|>1。也就是说，S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。
摘要
滤波器设计在数字信号处理中占有极其重要的地位，本次课程设计主要是录制一段语音信号对其进行加噪处理，然后利用IIR低通滤波器对加有随机噪声的语音信号进行滤波处理及时频谱分析，画出滤波之后的频谱图与时域波形，并对信号滤波处理前后进行分析比较，分析信号的变化。通过对对所设计滤波器的仿真和频率特性分析，由仿真结果可以看出，所设计的滤波器能够实现对语音信号的语音有效去噪，并对滤波前后的语音信号进行对比。
（1）确定指标
在设计一个数字滤波器之前，必须首先根据工程实际的需要确定数字滤波器的技术指标。在很多实际应用中，数字滤波器常常用来实现选频操作。因此，指标一般在频域中给出，诸如通带截止频率wp、阻带截止频率ws、阻带内允许的最大衰减ap、阻带内允许的最小衰减as等。此外还必须确定采样周期T或采样频率Fs。
（1）因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。
（2）数字滤波器的频率相应模仿模拟滤波器的频响特性，s平面的虚轴映射为z平面的单位圆，相应的频率之间呈线性关系。
利用模拟滤波器成熟的理论设计IIR数字滤波器的过程是：
(1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带边界频率 、通带最大衰减 、阻带截止频率 、阻带最小衰减 。
成熟的模拟滤波器设计方法主要有脉冲响应不变法和双线性变换法。
2.2
脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。这是因为从S平面到Ｚ平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-π/T～π/T之间，再用z=esT转换到Z平面上。也就是说，第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的-π/T～π/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=es1T将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图2-2所示[2]。
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一个数字滤波器可用它的系统函数H(z)来描述 ，
或者用一个N阶差分方程来描述，即 [6]
因此，设计一个数字滤波器，实质上是寻找一组系数[ak,br]，使其性能满足预定的技术要求，它是一个数学逼近问题,显然它与模拟滤波器的设计方法是完全一致的，只不过模拟滤波器的设计是在Z平面上用数学逼近方法寻找近似于所需特性的H(s)，而数字滤波器的设计则在Z平面上寻找合适的H(z)。确定了[ak,br]，剩下的问题是设计一个具体的网络结构去实现它。可见数字滤波器设计的基本步骤如下：
关键词：去噪；滤波器；MATLAB
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IIR数字滤波器的设计一般有两种方法：一个是借助模拟滤波器的设计方法进行。其设计步骤是，先设计模拟滤波器，再按照某种方法转换成数字滤波器。这种方法比较容易一些，因为模拟滤波器的设计方法已经非常成熟，不仅有完整的设计公式，还有完善的图表供查阅；另外一种直接在频率或者时域内进行，由于需要解联立方程，设计时需要计算机做辅助设计。其设计步骤是：先设计过渡模拟滤波器得到系统函数 ，然后将 按某种方法转换成数字滤波器的系统函数 [1]。为了保证转换后的 稳定且满足技术指标要求，对转换关系提出两点要求:
（2-3）
再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面
（2-4）
从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为：
（2-5）
（2-6）
式（2-4）与式（2-5）是S平面与Z平面之间的单值映射关系[4]，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换
式（2-5）与式（2-6）的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。
（2）逼近
确定了技术指标后，就可以建立一个目标数字滤波器模型。通常采用理想的数字滤波器模型。之后，利用数字滤波器的设计方法，设计出一个实际滤波器模型来逼近给定的目标。
（3）性能分析和计算机仿真
上两步的结果是得到以系统函数H(z)或单位冲激响应h(n)描述的数字滤波器。根据这个描述就可以分析其频率特性和相位特性，以验证设计结果是否满足指标要求；或者利用计算机仿真实现设计的滤波器，再分析滤波结果来判断。数字滤波器根据其单位冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应（IIR）滤波器和有限长冲激响应（FIR）滤波器。IIR滤波器的特征是具有无限持续时间冲激响应。这种滤波器一般需要用递归模型来实现，因而有时也称之为递归滤波器。FIR滤波器的冲激响应只能延续一定时间，在工程实际中可以采用递归的方式实现，也可以采用非递归的方式实现。数字滤波器的设计方法有多种，如脉冲响应不变法、双线性变换法、窗函数设计法、插值逼近法和Chebyshev逼近法等等[5]。
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（1）确定所需类型数字滤波器的技术指标：通带边界频率Fp、通带最大衰减As，阻带截止频率Fc、阻带最小衰减Ap。
（2）将所需类型数字滤波器的边界频率转换成相应的模拟滤波器的边界频率，转换公式为Ω=2/T tan(0.5ω)
图2-2双线性变换的映射关系[3]
为了将S平面的整个虚轴jΩ压缩到S1平面jΩ1轴上的-π/T到π/T段上，可以通过以下的正切变换实现
（2-1）
式中,T仍是采样间隔。
当Ω1由-π/T经过0变化到π/T时，Ω由-∞经过0变化到+∞，也即映射了整个jΩ轴。将式（2-1）写成
（2-2）
将此关系解析延拓到整个S平面和S1平面，令jΩ=s，jΩ1=s1，则得
(2)将数字低通滤波器的技术指标转换成相应的模拟低通滤波器的技术指标。
(3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计过渡模拟低通滤波器。
(4)用所选的转换方法，将模拟滤波器 转换成数字低通滤波器系统函数 。
IIR数字滤波器的设计流程图2-1如下：
变换
ΩΩ=ｇ（ω）
变换
S=f（Z）
图2-1 IIR数字滤波器的设计步骤流程图[1]