概率及其计算

第十三章概率与统计本章知识结构图

统计

随机抽样

抽签法

随机数表法

简单随机抽样

系统抽样

分层抽样

共同特点：抽样

过程中每个个体

被抽到的可能性

（概率）相等用样本估计总体

样本频率分布

估计总体

总体密度曲线

频率分布表和频率分布直方图

茎叶图

样本数字特征

估计总体

众数、中位数、平均数

方差、标准差

变量间的相关关系

两个变量的

线性相关

散点图回归直线

正态分布

列联表（2×2）独立性分析

概率

概率的基本性质互斥事件对立事件

古典概型

几何概型

条件概率

事件的独立性

用随机模拟法求概率

常用的分布及

期望、方差

随机变量

两点分布

X～B(1，p)

E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)

二项分布

X～B(n，p)

E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)

X～H(N，M，n)

E(X)＝n

M

N

D(X)＝

nM

N⎝

⎛

⎭

⎫

1－

M

N

N－n

N－1

n次独立重复试验恰好

发生k次的概率为

P n(k)＝C k

n

p k(1－p)n－k

超几何分布

若Y＝aX＋b，则

E(Y)＝aE(X)＋b

D(Y)＝a2D(X)

P(A＋B)＝P(A)＋P(B)

P(⎺A)＝1－P(A)

P(A B)＝P(A)·P(B)

P(B | A)＝

P(A B)

P(A)

第一节 概率及其计算

考纲解读

1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。

2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。

3.掌握古典概型及其概率计算公式。

4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。

5.了解几何概型的意义。

命题趋势探究

1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。

2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容，题型及分值稳定，难度中等或中等以下。

知识点精讲

一、必然事件、不可能事件、随机事件

在一定条件下：

①必然要发生的事件叫必然事件； ②一定不发生的事件叫不可能事件；

③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。

二、概率

在相同条件下，做次重复实验，事件A 发生次，测得A 发生的频率为，当很大时，A 发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A 的概率，记作。对于必然事件A ，；对于不可能事件A ，=0.

三、基本事件和基本事件空间

在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。

四、两个基本概型的概率公式

1、古典概型

条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同

()(A)

=

()A card P A card =

Ω包含基本事件数基本事件总数

2、几何概型

条件：每个事件都可以看作某几何区域Ω的子集A ，A 的几何度量（长度、面积、体积或时间）记为

A μ.

()P A =

A

μμΩ

。 五、互斥事件的概率

1、互斥事件

在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。事件A 与事件B 互斥，则

()()()

P A B P A P B =+ 。

2、对立事件

事件A,B 互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B 对立，记作B A =或A B =。

()()

1P A p A =- 。

3、互斥事件与对立事件的联系

对立事件必是互斥事件，即“事件A ，B 对立”是”事件A ，B 互斥“的充分不必要条件。

题型归纳及思路提示 题型176 古典概型

思路提示

首先确定事件类型为古典概型，古典概型特征有二：有限个不同的基本事件及各基本事件发生的可能性是均等的；其次计算出基本事件的总数及事件A 所包含的基本事件数；最后计算

()A P A =

包含基本事件数

基本事件总数。

例13.1 设平面向量(),1m a m =，()2,n b n = ，其中{}, 1.2,3,4m n ∈ （1）请列出有序数组(),m n 的所有可能结果；

（2） 若“使得()m m n a a b ⊥-成立的(),m n 为事件A ，求事件A 发生的概率。

分析：两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，从而可得m 与n 的关系，再从以上

(),m n 的16个有序数组中筛选出符合条件的，即得事件A 包含的基本事件个数。

解析：（1）由{}, 1.2,3,4m n ∈，

有序数组(),m n 的所有可能结果为()1,1 ，()()()

1,2,1,3,1,4，

()()()()

2,1,2,2,2,3,2,4，

()()()()

3,1,3,2,3,3,3,4，

()()()()4,1,4,2,4,3,4,4 共16个。

（2）因为(),1m a m =，()2,n b n =，所以()2,1m n a b m n -=-- .又()m m n a a b ⊥-，得

()(),12,10m m n ⋅--= ，即22m 10m n -+-= ，所以()

2

1n m =- 。故事件A 包含的