概率及其计算
高中数学概率公式
高中数学概率公式概率的基本概念概率是数学中一个重要的分支，它研究随机事件发生的可能性。
在高中数学中，我们经常会遇到与概率相关的问题。
概率的计算需要用到一些基本的公式和方法。
本文将介绍高中数学中常用的概率公式。
古典概率公式古典概率是指在一次试验中，所有可能结果出现的机会是均等的，也就是说每个结果出现的概率是相同的。
在古典概率中，我们可以使用以下公式来计算概率：P(A) = m / n其中，P(A) 表示事件 A 发生的概率，m 表示事件 A 发生的次数，n 表示总的试验次数。
条件概率公式条件概率是指在已知某个事件发生的前提下，另一个事件发生的概率。
条件概率可以使用以下公式计算：P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)其中，P(A|B) 表示在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率，P(A ∩ B) 表示事件 A 与事件 B 同时发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
互斥事件概率公式互斥事件是指两个事件不可能同时发生的情况。
在互斥事件中，我们可以使用以下公式计算概率：P(A ∪ B) = P(A) + P(B)其中，P(A ∪ B) 表示事件 A 或事件 B 发生的概率，P(A) 表示事件 A 发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
独立事件概率公式独立事件是指两个事件之间没有影响，一个事件的发生不会影响到另一个事件的发生。
在独立事件中，我们可以使用以下公式计算概率：P(A ∩ B) = P(A) * P(B)其中，P(A ∩ B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A) 表示事件 A 发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
总概率公式总概率公式是指在多种互斥事件中，每个事件发生的概率与其发生的条件及其对应的概率的乘积之和等于某个事件发生的概率。
总概率公式可以使用以下公式计算：P(A) = P(A|B1) * P(B1) + P(A|B2) * P(B2) + ... + P(A|Bn) * P(Bn)其中，P(A) 表示事件 A 发生的概率，P(A|B1) 表示在事件B1 发生的条件下事件 A 发生的概率，P(B1) 表示事件 B1 发生的概率，P(A|B2) 表示在事件 B2 发生的条件下事件 A 发生的概率，P(B2) 表示事件 B2 发生的概率，依此类推。
概率公式大全
A A A吸收律：A A AA (AB) A A (A B)A B AB A (AB)反演律：A B AB AB A Bn n n n A概率公式整理1.随机事件及其概率A i 1Ai 1Ai 1Ai 12•概率的定义及其计算P(a X b) P(XF(b)5.离散型随机变量(1) 0 -1分布k 1p (1 p)P(X k)(2)二项分布B(n, p) P(X k) C：p k(1* Possion 定理lim np nnP(A) 1 P(A)P(B A) P(B) P(A)有Hm Cn p k(1 对任意两个事件A, B,有P(B A) P(B) P(AB)加法公式：对任意两个事件A, B,有P(A B) P(A) P(B) P(AB)P(A B) P(A) P(B)b) P(X a)F(a)k, kn kp)P n)0,10,1, , nk!0,1,2,⑶ Poisson分布P(kP(X k) e订，k6.连续型随机变量0,1,2 ,nP(i 1A)3.条件概率乘法公式P(A) 1P(AB) P(A) P B A P(AA2 A n)全概率公式P(A)i 1Bayes公式P(B k A)P(A i A j)nP(AB)丽(P(A) 0)nP(AAjA)j k n(1)(均匀分布(AA2(明)1b af(x)0,0,其他P(AJPA2 A(P(AA2P(AB i)P(AB k)P(A)4.随机变量及其分布分布函数计算A n | A1 A A n1) 0)P(B i) P(A B i) 1P(BQP(ABQ nP(B i)P(AB i) i 1F(x)A n 1(2)指数分布f (x)F(x)E(0, 其他0,1 e(3)正态分布1f(x)石(xX彳 (t 厂F(x) 一 X e 亍* N (0,1)— 标准正态分布x 2 Tdt fYx(yx )f (x,y) f x (X )f x|Y (x y) f Y (y)f x (X )(x)2 e10.随机变量的数字特征数学期望E(X)t 2乏dt X k P k 1(x)...一 V2 7•多维随机变量及其分布 二维随机变量(X ,Y )的分布函数 x y f (u, v)dvdu E(X)xf (x)dx随机变量函数的数学期望阶原点矩E(X k ) F(x, y) 边缘分布函数与边缘密度函数 阶绝对原点矩E(|X|k )F x (x) f (u,v )dvduk阶中心矩E((X E(X))) f x (X )f (x, v)dv 方差 E((X E(X))2) D(X)F y (y)f (u,v)dudv X ，丫的k + l 阶混合原点矩E(X k Y l) f y (y) f(u,y)du X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩8.连续型二维随机变量 (1)区域G 上的均匀分布, E(X k lE(X)) (Y E(Y))X ,Y 的 二阶混合原点矩E(XY) 1f (X, y) A , 0, (x, y) G 其他 X ,Y 的二阶混合中心矩X ,Y 的协方差(2)二维正态分布 f (x,y ) 21 2(12)E (X E(X))(YE(Y))X ，丫的相关系数(x 1)2 2 (x 1)(y 2) 21(y 2)222E (X E(X))(YE(Y))vD(Xh D(Y)X 的方差D (X ) =E ((X - E(X))2)2 2D(X) E(X ) E (X)XYf(x, y)f x (x)f Yx (yx) f x (x) 0 f Y (y)f x|Y (x y) f Y (y) o f x (x) f (x, y)dy f xY (xy) f Y (y)dy f Y (y)f(x,y)dx f Yx (yx) f x (x)dxf xY (xy) f(x,y) f Y (y)f Y|x (yx) f x (x) f Y (y)9.二维随机变量的条件分布 协方差cov(X,Y) 相关系数XYE (X E(X))(Y E(Y))E(XY) E(X)E(Y)-D(X Y) D(X) D(Y)2cov(X,Y) D(X)、D(Y)。
概率的计算及其应用
概率的计算及其应用概率是数学中的一个重要概念，用于衡量事件发生的可能性。
在现实生活中，概率计算常常被用来解决各种问题，包括风险评估、数据分析等等。
本文将介绍概率的计算方法及其在实际应用中的一些常见场景。
一、概率的计算方法在概率计算中，我们通常使用以下几种方法来确定一个事件的发生概率：1. 经典概率法经典概率法适用于所有可能结果等概率出现的情况，即每个结果都具有相同的概率。
这种情况下，事件A的概率可以通过事件A中有利结果的个数除以所有可能结果的个数来计算。
2. 频率概率法频率概率法是通过观察事件在大量重复试验中发生的频率来估计事件的概率。
当试验次数足够多时，事件A发生的频率将逼近事件A的概率。
3. 主观概率法主观概率法是基于主观判断和经验来估计事件的概率。
在主观概率法中，我们根据以往的经验或个人观点来估计事件发生的可能性。
二、概率的应用场景概率计算在各个领域都有广泛的应用，下面列举一些常见的应用场景：1. 金融风险评估在金融领域中，概率计算可以用于评估各种风险，例如股票市场的波动性、信用风险等。
通过分析历史数据和市场走势，我们可以计算不同事件发生的概率，帮助投资者做出更明智的投资决策。
2. 医学诊断医学诊断中常常需要考虑到不同疾病的发生概率。
医生可以根据患者的症状和各种检测结果来计算不同疾病的概率，从而帮助确定最可能的疾病并制定相应的治疗方案。
3. 数据分析在数据分析领域中，概率计算被广泛应用于统计推断、模式识别和机器学习等领域。
通过概率模型和统计方法，我们可以从大量数据中提取有用的信息和规律，帮助做出准确的预测和决策。
4. 游戏理论概率计算在游戏理论中有着重要的应用。
例如，在扑克牌游戏中，通过计算自己和对手的牌型概率，玩家可以制定出最佳的决策策略。
5. 工程设计在工程设计中，概率计算可用于评估各种风险，例如结构物的承载能力、材料的耐久性等。
通过对不同事件发生的概率进行分析和计算，可以为工程师提供科学的依据，确保设计的可靠性和安全性。
1-2 概率及其计算
为事件A发生的统计概率， 该频率的稳定值p为事件A发生的统计概率，即P(A)=p。 实际应用中
mA P ( A) ≈ n
例4 某市卫生管理部门对该市60岁以上老人患高血压的 某市卫生管理部门对该市60 60岁以上老人患高血压的
其中至少两人的生日是在同一月的概率。 其中至少两人的生日是在同一月的概率。 表示至少两人生日同月， 用A 表示至少两人生日同月，k i 表示有 i 个人生日同月
4 至少两人生日同月有： 分析 基本事件总数 n = 12 = 20736 至少两人生日同月有：
2 3 ⑴ 两人生日同月： k 2 = C4 × A12 = 7920 两人生日同月：
简单概率的计算
50张考签 编号为1 张考签， 例 2 有50张考签，编号为1～50 。 ⑴ 任抽一张考试，求事件"抽到前10号考签"的概率 任抽一张考试，求事件"抽到前10号考签 号考签" ⑵ 任抽两张考试，求"抽到两张都是前10号考签"的概率 任抽两张考试， 抽到两张都是前10号考签 号考签" ⑶ 无放回地抽取2次，每次1张，求"抽到两张都是前10号 无放回地抽取2 每次1 抽到两张都是前10号 考签" 考签"的概率 ⑷ 无放回地抽取5次，每次1张，求事件"最后一次抽到的 无放回地抽取5 每次1 求事件" 是双号考签" 是双号考签"的概率 解 A 表示所发生的事件，则 表示所发生的事件， ⑴ n＝50，k＝10 ； 故 P(A)＝k / n＝1 / 5＝0. 2 50， P(A)＝ n＝ 5＝ ⑵ n = C 50 = 1225 ; k = C 10 = 45 ； P(A)＝k / n＝ 0. 037 P(A)＝ n＝
高考数学第1讲 概率及其计算(小题速做)
大二轮复习 数学（文）
第 1 第 2 第 3 第 4 第 5 第 6 第 7 第 8 第 9 第 10 件件件件件件件件件件 甲机 5.3 4.9 5.0 4.6 5.1 4.7 5.4 5.1 4.9 5.0 床 乙机 5.2 4.8 4.9 4.7 5.2 5.0 4.9 5.1 5.0 5.2 床
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专题六 概率与统计
核心知识 突破热点 高考押题 限时规范训练
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[高考领航]—————————我知道了高考航向是什么！
卷型 全国 卷Ⅰ
全国 卷Ⅱ
2019 2018 2017 2016
T6，T17 T3，T19 T2，T4， T3，
T19
T19
T4，T14，T5，T18 T11，T19 T8，
核心知识 突破热点 高考押题 限时规范训练
大二轮复习 数学（文）
3．解排列组合问题时常以元素(或位置)为主体，即先考虑特殊元素 (或位置)，再考虑其他元素(或位置)．对于排列组合的综合题目，一般 是先取出符合要求的元素，再对取出的元素进行排列．
核心知识 突破热点 高考押题 限时规范训练
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——列举事件，求几何量
(1)[母题](2018·全国卷Ⅱ)从 2 名男同学和 3 名女同学中任
选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为( D )
A．0.6
B．0.5
C．0.4
D．0.3
解析：选 D.5 人中任取 2 人有 10 种结果，3 名女同学选 2 人，有 3
种结果，其概率为130＝0.3，故选 D.
大二轮复习 数学（文）
高中数学 概率与统计知识点总结
高中数学概率与统计知识点总结概率与统计一、概率及随机变量的分布列、期望与方差1.概率及其计算概率是指某个事件发生的可能性大小，可以用数值表示。
计算概率时，可以采用几个互斥事件和事件概率的加法公式。
如果事件A与事件B互斥，则P(AB)=P(A)+P(B)。
如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则事件A1+A2+…+An发生的概率等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。
如果事件B与事件A互为对立事件，则P(A)=1-P(B)。
2.随机变量的分布列、期望与方差随机变量是指在随机试验中可能出现的各种结果所对应的变量。
常用的离散型随机变量的分布列包括二项分布和超几何分布。
二项分布指在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，事件A发生的次数是一个随机变量X，其分布列为X~B(n,p)。
超几何分布指在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品的概率为C(M,k)C(N-M,n-k)/C(N,n)，其中m=min(M,n)，且n,N,M,N∈N*，称随机变量X的分布列为超几何分布列，称随机变量X服从超几何分布。
2.条件概率及相互独立事件同时发生的概率条件概率是指在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
一般地，设A,B为两个事件，且P(A)>0，则P(B|A)=P(AB)/P(A)。
在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)=n(AB)/n(A)。
相互独立事件是指两个或多个事件之间互不影响，即其中一个事件的发生不会影响其他事件的发生。
如果A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)。
如果A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立。
3.独立重复试验与二项分布独立重复试验是指在一系列相互独立的试验中，每个试验的结果只有两种可能，即成功或失败。
在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，事件A发生的次数是一个随机变量X，其分布列为X~B(n,p)。
概率论公式大全
F ( x) = ∫ f ( x)dx
−∞
x
，
（2） k =1
∑p
∞
k
=1
。
则称 X 为连续型随机变量。 f ( x ) 称为 X 的概率密度函 数或密度函数， 简称概率密度。 f ( x ) 的图形是一条曲线， 称为密度（分布）曲线。 由上式可知，连续型随机变量的分布函数 F ( x ) 是连续函 数。 所以，
X ~ π (λ ) 或者 P( λ )。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞） 。
( X = x ) 并非是不可能事件 Ø。
x+h
库
∫ f ( x)dx
x
④超几何分布
P ( X = x ) ≤ P ( x < X ≤ x + h) =
令 h → 0 ， 则 右 端 为 零 ， 而 概 率 P( X = x) ≥ 0 ， 故 得
2、五大公式（加法、减法、乘法、全概、 贝叶斯）
（1）加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) （2）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 B ⊂ A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=Ω时，P( B )=1- P(B) （3）条件概率和乘法公式 定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称
2° P (ω 1 ) = P (ω 2 ) = Λ P (ω n ) =
1 。 n
库
P(A)= {(ω 1 ) Υ (ω 2 ) Υ Λ Υ (ω m )}
= P (ω 1 ) + P (ω 2 ) + Λ + P (ω m )
概率论计算公式
概率论计算公式概率论是一门研究随机现象及其规律的学科，涉及到了许多计算公式。
概率论中的公式包括概率公式、条件概率公式、贝叶斯公式等等。
本文将对这些公式进行详细的展开和解释，帮助读者更好地理解和应用这些公式。
一、概率公式概率公式是计算某个事件发生概率的公式，通常表示为P(A)，其中A为某个事件。
概率公式包括基本概率公式和加法公式。
1. 基本概率公式基本概率公式是计算事件发生概率的最基本公式，其公式如下：P(A) = n(A) / n(S)其中，n(A)是事件A发生的可能性数量，n(S)是所有可能性数量。
例如，从一副扑克牌中随机抽取一张牌，事件A为抽到红桃牌，事件A发生的可能性数量是13（因为有13张红桃牌），所有可能性数量是52（因为有52张牌），因此P(A) = 13/52= 0.25。
2. 加法公式加法公式是计算两个事件任意一个事件发生概率的公式，其公式如下：P(A 或 B) = P(A) + P(B) - P(A 且 B)其中，A和B为两个事件，P(A 或 B)是事件A和事件B中至少一个事件发生的概率，P(A 且 B)是事件A和事件B同时发生的概率。
例如，从一副扑克牌中随机抽取一张牌，事件A为抽到红桃牌，事件B为抽到黑桃牌，P(A) = 13/52 = 0.25，P(B) = 13/52 = 0.25，P(A 且 B) = 0（因为一张牌不可能同时是黑桃牌和红桃牌），因此P(A 或 B) = 0.25 + 0.25 - 0 = 0.5。
二、条件概率公式条件概率公式是用于计算在另一个事件发生的前提下一个事件发生的概率，其公式如下：P(A|B) = P(A 且 B) / P(B)其中，A和B为两个事件，P(A|B)是在事件B发生的前提下事件A发生的概率，P(A 且 B)是事件A和事件B同时发生的概率，P(B)是事件B发生的概率。
例如，从一副扑克牌中随机抽取两张牌，事件A为两张牌都是红桃牌，事件B为第一张牌是红桃牌，因此P(B) = 13/52 = 0.25。
概率论公式总结
率。分布函数 F(x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
1. 0 F(x) 1, x ；2。 F(x) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有
F(x1) F (x2) ； 3 。 F() lim F(x) 0 ， F() lim F(x) 1 ； 4 。
x
x
F(x 0) F(x) ，即 F(x) 是右连续的；5. P(X x) F(x) F(x 0) 。对于离散型
自由度为 n2 的 F 分布，记为 F～f(n1, n2).
F1
(n1 , n2 )
F
1 (n2 , n1 )
第四章 随机变量的数字特征
（1） 期望 一维 随 机 期望就是平均值 变量 的数 字特 征
函数的期望
离散型
连续型
设 X 是离散型随机变量，其分布 设 X 是连续型随机变
律 为 P( X xk ) ＝ pk ，
乘法公式： P(AB) P(A)P(B / A)
乘法公式
更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有
P( A1A2 … An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) …… P( An | A1A2 … An 1) 。
①两个事件的独立性
设事件 A 、 B 满足 P( AB) P( A)P(B) ，则称事件 A 、 B 是相互独立的。
W
服从自由度为
n
的
2
分布记为
i 1
W～ 2 (n)
2 分布
所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布 中的一个重要参数。
2 分 布 满 足 可 加 性 ： 设 Yi 2 (ni ), 则
概率论公式
概率论公式1．随机事件及其概率吸收律：A AB A A A A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)( AB A A A AA =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)()(AB A B A B A -==- 反演律：B A B A =⋃ B A AB ⋃=n i i n i i A A 11=== ni i n i i A A 11===2．概率的定义及其计算)(1)(A P A P -=若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=- 加法公式：对任意两个事件A , B , 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃)()()(B P A P B A P +≤⋃)()1()()()()(2111111n n nnk j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++-=∑∑∑3．条件概率()=A B P )()(A P AB P乘法公式())0)(()()(>=A P A B P A P AB P()())0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式∑==n i i AB P A P 1)()( )()(1i ni i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式)(A B P k )()(A P AB P k = ∑==n i i i k kB A P B P B A P B P 1)()()()(4．随机变量及其分布分布函数计算)()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<5．离散型随机变量(1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k(2) 二项分布 ),(p n B若P ( A ) = p nk p p C k X P k n kk n ,,1,0,)1()( =-==-*Possion 定理0lim >=∞→λn n np 有,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k e p p C kkn n k n k n n λλ(3) Poisson 分布 )(λP,2,1,0,!)(===-k k e k X P kλλ6．连续型随机变量(1) 均匀分布 ),(b a U⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(bx a a b x f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b ax x F(2) 指数分布 )(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F x λ(3) 正态分布 N (μ , σ 2 )+∞<<∞-=--x e x f x 222)(21)(σμσπ⎰∞---=x t t e x F d 21)(222)(σμσπ*N (0,1) — 标准正态分布 +∞<<∞-=-x e x x 2221)(πϕ +∞<<∞-=Φ⎰∞--x t e x x td 21)(22π7.多维随机变量及其分布二维随机变量( X ,Y )的分布函数 ⎰⎰∞-∞-=x ydvdu v u f y x F ),(),(边缘分布函数与边缘密度函数⎰⎰∞-+∞∞-=x X dvdu v u f x F ),()(⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()(⎰⎰∞-+∞∞-=y Y dudv v u f y F ),()(⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(8. 连续型二维随机变量(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(G y x Ay x f(2)二维正态分布+∞<<-∞+∞<<∞-⨯-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+------y x e y x f y y x x ,121),(2222212121212)())((2)()1(21221σμσσμμρσμρρσπσ 9. 二维随机变量的 条件分布 0)()()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X0)()()(>=y f y x f y f Y Y X Y⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dx x f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()()(y x f Y X )(),(y f y x f Y = )()()(y f xf x y f Y X X Y =)(x y f X Y )(),(x f y x f X = )()()(x f y fy x f X Y Y X = 10.随机变量的数字特征数学期望∑+∞==1)(k k k p x X E ⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(随机变量函数的数学期望X 的 k 阶原点矩 )(k X E X 的 k 阶绝对原点矩 )|(|k X E X 的 k 阶中心矩 )))(((k X E X E - X 的 方差 )()))(((2X D X E X E =-X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩)(l k Y X E X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩()l k Y E Y X E X E ))(())((-- X ,Y 的 二阶混合原点矩 )(XY E X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 ()))())(((Y E Y X E X E -- X ,Y 的相关系数 XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--)()())())(((X 的方差D (X ) =E ((X - E (X ))2) )()()(22X E X E X D -= 协方差 ()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --= )()()(Y E X E XY E -= ())()()(21Y D X D Y X D --±±=相关系数 )()(),cov(Y D X D Y X XY =ρ。
42概率及其计算课件
2.事件发生的可能性有哪些？ 它们的概率是多少？
1.概率是什么？ 如何求出一个事件A发生的概率？
在数学中，我们把事件发生的可能性的 大小也称为事件发生的概率,一般用P来表 示,事件A发生的概率也记为P(A).
如果事件发生的各种结果的可能性相同， 那么一个事件A发生的概率:
P(A)
3 9
1 3
（3，3）
2.探究问题，寻找方法
问题：你能否找到更简便的方法把可能出现的 结果不重不漏的列出来吗?
（分组实验，探究交流。）
方法2 树形图法
第一组牌 第二组牌
（1，1） （1，2） （1，3） （2，1） （2，2） （2，3） （3，1） （3，2） （3，3）
方法3
列表法
书房
议一议
随意抛出的乒乓球落在如 图所示地板的某块方砖上， 它停落在黑色方砖的概率 是多少？
此图中的地板由16块方砖组成，其中有4块黑色方砖，这些 方砖除颜色外完全相同。乒乓球停留在任何一块方砖上的 可能性都相等，
因此，
P（乒乓球停落在黑色方砖上）=
4 1 16 4
想一想
❖（1）随意抛出的乒乓 球落在图中的地板上， 它停落在白色方砖上 的概率是多少？
发生概率为3/8的事件：
事例1： 在一个不透明的袋子中装有4个红球， 1个白球， 3个黑球，这些球除了颜色外完全相同，随意从中 摸出一个球，摸到黑球的概率为3/8。
事例2：九年级（3）班有8名班干部，其中男生3名，女 生5名，现从中抽一名去参加学生代表会议，抽到 男生去的概率是3/8。
事例3：小亮随意从3本语文，6本数学，7本英语书中拿 出一本，则拿到数学书的概率是3/8。
概率论公式总结
概率论公式总结概率论是数学中重要的分支，研究随机事件发生的概率及其规律。
在实际应用中，概率论经常被用于风险评估、统计分析、决策制定等领域。
本文将总结概率论中一些常用的公式，帮助读者更好地理解和应用概率论的知识。
1. 基本概率公式基本概率公式是概率论的基础，它描述了某个事件发生的概率。
对于某个事件A，其概率可以通过如下公式计算：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A所包含的样本点个数，n(S)表示样本空间S中的样本点个数。
2. 互补事件概率公式互补事件是指两个事件中至少有一个发生的情况。
对于事件A的互补事件的概率公式如下：P(A') = 1 - P(A)其中，P(A')表示事件A的互补事件发生的概率。
3. 加法公式加法公式用于计算两个事件中至少有一个发生的概率。
对于两个事件A和B，加法公式可以表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)其中，P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
乘法公式用于计算两个事件同时发生的概率。
对于两个事件A和B，乘法公式可以表示为：P(A∩B) = P(A) * P(B|A)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
5. 独立事件公式当两个事件A和B相互独立时，它们的乘法公式可以简化为：P(A∩B) = P(A) * P(B)这意味着两个独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积。
6. 条件概率公式条件概率公式用于计算在某个条件下，另一个事件发生的概率。
对于事件A和事件B，条件概率公式可以表示为：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)其中，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
7. 全概率公式全概率公式用于计算某个条件下的事件发生的总概率。
概率论公式总结
（5）八
大F分(x布1)
F二(项x2)分；布
3
。
qF(1)p,0limpF(1x,)k00,，1,2,F(,n，) x
lim F(x) 1
x
；4。
F(x 0) F(x) ，即 F(x则) 是称右随连机续变的；量5.X P服(X从参x数) 为Fn(x，) pF(的x 二0项) 。分对布于。离记散型为
上为常数 1 ，即 ba
当 a≤x1<x2≤b 时，X 落在区间
f
(
x)
b
1
a
,
0,
a≤x≤b 其他
（ x1 , x2 ）内的概率为
P( x1
X
x2 )
x2 b
x1 a
.
指数分布
ex ,
x 0,
f (x)
0,
x 0,
其中 0 ，则称随机变量 X 服从参数为 的指数分布。
j
Y 的边缘分布为
P j P(Y y j ) pij (i, j 1,2,) 。
i
X 的边缘分布密度为
连续型
f X (x)
f (x, y)dy；
Y 的边缘分布密度为
离散型
fY ( y)
f (x, y)dx.
pij pi p j
连续型
随机变量的 函数
P(X x) P(x X x dx) f (x)dx 。积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论
中所起的作用与 P( X xk) pk 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。
.
概率公式总结
一、随机事件和概率1、随机事件及其概率、随机变量及其分布1、分布函数性质P(X Eb)二F(b) P(a ：：： X <b)二F(b) — F(a)2、散型随机变量3三、多维随机变量及其分布1、 离散型二维随机变量边缘分布 P i.=P(X=X j )=' P(X=X i ,Y=y j )=' pjP j=P(丫 = yj)=' P(X=X j ,Y=yj)=' pjjji i2、 离散型二维随机变量条件分布x y3、 连续型二维随机变量(X ,Y )的分布函数F (x, y)=匕打二f (u,v)dvdu4、 连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数x ■: : ■::分布函数： Fx (x) f (u,v)dvdu y -beF Y (y) f (u,v)dudv5、二维随机变量的条件分布 s(yx)—XY (xy)fyp —四、随机变量的数字特征1、 数学期望■bo 鈕离散型随机变量： E(X) X k P k连续型随机变量： E(X ) = xf (x)dxk=1一北2、 数学期望的性质(1) E(C) =C,C 为常数 E[E(X)] =E(X) E(CX) =CE(X)pi j= P(X=xi 丫= yj)史二二上,i”P(Y =y j)P j.pj i= P(Y = yjX =x i)7 丫知P(X =X i )P i .密度函数：fx (x)二 f(x,v)dv_f?0■ho fY(y)二 f(u, y)du⑵ E(X _Y) =E(X) -E(Y) E(aX —b)二aE(X) _b EGX1 C n X n) ^汨*) C n E(X n)⑶若XY相互独立则：E(XY) =E(X)E(Y) (4)[E(XY)]2空 E2(X)E2(Y)3、方差：D(X) =E(X2) —E2(X)4、方差的性质2 2(1)D(C) =0 D[D(X)] =0 D(aX _b) =a2D(X) D(X) :：: E(X _C)2(2)D(X _Y) =D(X) D(Y) _2Cov(X,Y) 若 XY 相互独立则： D(X 二丫)= D(X) D(Y)5、协方差：Cov(X,Y) =E(X,Y) -E(X)E(Y) 若 XY 相互独立则： Cov(X,Y)=06、相关系数：P XY = P(X，丫) = Cov(X,Y)若XY相互独立则：P XY =0即XY不相关W(X)jD(Y)7、协方差和相关系数的性质(1) Cov(X,X) =D(X) Co VX,Y) =Co VY,X) ⑵ Cov(X i X2,Y) =Cov(X i,Y) C OV(X2,Y) Cov(aX c,bY d) =abCo%,Y) 8、常见数学分布的期望和方差五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若 E(X) ==D(X) =；「2,对于任意0 有 P{X -E(X) 一 } 一卫孚或 P{X -E(X) ：： } 一1-卫冷91n1nXT X n相互独立且n T旳时，丄瓦Xi ― 丄瓦E(X i) n y nid2、大数定律：若⑸样本k 阶中心距：n1 _— k B k 二M k (X i -X)k,k =2,3…⑹次序统计量：设样本 (人必2…X n )的观察值 区也…冷)，将“X ?…冷按照由小到大的次序重新排列，得到X (1)岂乂⑵乞…岂Xg ，记取值为X(Q 的样本分量为X(Q ，则称X (1)岂X (2) <<X (n)为样本以皿 X .)的次序统计 量。
(完整版),概率论公式总结,推荐文档
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1 A2 An )
i 1
i 1
1i jn
1i jk n
3．条件概率 PB A P(AB) 乘法公式 P(AB) P(A)PB A (P(A) 0) P( A)
P( A1 A2 An ) P( A1 )P A2 A1 P An A1 A2 An1
(P( A1 A2 An1 ) 0)
n
全概率公式 P(A) P(ABi ) i 1
n
P(Bi ) P( A
i 1
Bi ) Bayes 公式 P(Bk
A) P( ABk ) P( A)
P(Bk )P( A Bk ) n P(Bi )P( A Bi ) i 1
4．随机变量及其分布
分布函数计算 P(a X b) P(X b) P(X a)
f (x, y)dx
fY X ( y x) f X (x)dx
fX Y (x y)
f (x, y) fY ( y)
fY X ( y x) fX (x) fY ( y)
fY X ( y x)
f (x, y) fX (x)
fX Y (x y) fY ( y) fX (x)
10. 随机变量的数字特征
E ( X E( X ))k (Y E(Y ))l
E(X kY l )
X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩
X ,Y 的 二阶混合原点矩 E(XY ) X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 E( X E( X ))(Y E(Y ))
X ,Y 的相关系数
E
(X
E( X ))(Y E(Y D( X ) D(Y )
f (x, v)dv
8. 连续型二维随机变量 (1) 区域 G 上的均匀分布，U ( G )
高中数学公式大全概率计算与统计分析的实例公式
高中数学公式大全概率计算与统计分析的实例公式高中数学公式大全：概率计算与统计分析的实例公式一、概率计算公式1. 事件的概率计算公式：P(A) = (事件A的样本点数) / (样本空间的样本点数)2. 加法法则：对于两个互斥事件A和B，有P(A或B) = P(A) + P(B)3. 减法法则：对于事件A和B，有P(A且B的补集) = P(A的补集) - P(A且B)4. 乘法法则：对于两个独立事件A和B，有P(A且B) = P(A) × P(B)5. 条件概率公式：对于事件A和B，有P(A|B) = P(A且B) / P(B)6. 全概率公式：对于事件A和B1、B2、...、Bn构成的样本空间分割，有P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + ... + P(A|Bn)P(Bn)二、统计分析的实例公式1. 平均数（均值）公式：对于一组数据x1、x2、...、xn，均值（平均数）为平均数 = (x1 + x2 + ... + xn) / n2. 加权平均数公式：对于一组数据x1、x2、...、xn及其对应的权重w1、w2、...、wn，加权平均数为加权平均数 = (x1w1 + x2w2 + ... + xnwn) / (w1 + w2 + ... + wn)3. 中位数公式：对于一组有序数据，中位数为若数据个数为奇数，中位数为第(n+1)/2个数据；若数据个数为偶数，中位数为第n/2个数据和第(n/2+1)个数据的平均数。
4. 众数公式：对于一组数据，众数为数据中出现次数最多的值。
5. 方差公式：对于一组数据x1、x2、...、xn，均值为μ，方差为方差 = ( (x1 - μ)^2 + (x2 - μ)^2 + ... + (xn - μ)^2 ) / n6. 标准差公式：对于一组数据x1、x2、...、xn，均值为μ，标准差为标准差= √方差7. 相关系数公式：对于两组数据x1、x2、...、xn和y1、y2、...、yn，其相关系数为相关系数 = (协方差) / (x的标准差 × y的标准差)其中，协方差的计算公式为协方差 = ( (x1 - μx)(y1 - μy) + ... + (xn - μx)(yn - μy) ) / n8. 样本方差公式：对于一组数据x1、x2、...、xn，样本均值为x，样本方差为样本方差 = ( (x1 - x)^2 + (x2 - x)^2 + ... + (xn - x)^2 ) / (n - 1)9. 样本标准差公式：对于一组数据x1、x2、...、xn，样本均值为x，样本标准差为样本标准差= √样本方差综上所述，以上是高中数学中概率计算和统计分析的常用公式。
概率的证明计算公式
概率的证明计算公式概率是描述随机事件发生可能性的一种数学工具，它在现代统计学、金融学、工程学等领域有着广泛的应用。
概率的计算公式是概率论中的基础知识，通过这些公式可以计算出各种随机事件发生的可能性。
在本文中，我们将介绍概率的计算公式，并通过一些例子来说明如何使用这些公式进行概率计算。
概率的计算公式包括了基本概率公式、条件概率公式、全概率公式和贝叶斯公式等。
下面我们将分别介绍这些公式及其证明。
1. 基本概率公式。
基本概率公式是描述一个事件发生的可能性的最基本的公式。
如果事件A发生的可能性为P(A)，那么事件A不发生的可能性为1-P(A)。
这可以表示为：P(A) + P(A') = 1。
其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(A')表示事件A不发生的概率。
这个公式可以通过逻辑推理进行证明，因为事件A和事件A'是互斥的，它们的概率之和必然等于1。
2. 条件概率公式。
条件概率公式描述了在已知事件B发生的条件下，事件A发生的可能性。
它可以表示为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
这个公式可以通过概率的定义进行证明，即事件A和事件B同时发生的概率等于事件B发生的概率乘以在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
3. 全概率公式。
全概率公式描述了在一组互斥事件发生的情况下，另一个事件发生的可能性。
假设事件B1、B2、...、Bn构成一个完备事件组，即它们两两互斥且它们的并集为样本空间Ω，那么事件A发生的概率可以表示为：P(A) = Σ P(A|Bi) P(Bi)。
其中，P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率。
这个公式可以通过条件概率公式和全概率的定义进行证明，即事件A发生的概率等于在每个事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率的加权平均。
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第十三章概率与统计本章知识结构图统计随机抽样抽签法随机数表法简单随机抽样系统抽样分层抽样共同特点：抽样过程中每个个体被抽到的可能性（概率）相等用样本估计总体样本频率分布估计总体总体密度曲线频率分布表和频率分布直方图茎叶图样本数字特征估计总体众数、中位数、平均数方差、标准差变量间的相关关系两个变量的线性相关散点图回归直线正态分布列联表（2×2）独立性分析概率概率的基本性质互斥事件对立事件古典概型几何概型条件概率事件的独立性用随机模拟法求概率常用的分布及期望、方差随机变量两点分布X～B(1，p)E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)二项分布X～B(n，p)E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)X～H(N，M，n)E(X)＝nMND(X)＝nMN⎝⎛⎭⎫1－MNN－nN－1n次独立重复试验恰好发生k次的概率为P n(k)＝C knp k(1－p)n－k超几何分布若Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋bD(Y)＝a2D(X)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)P(⎺A)＝1－P(A)P(A B)＝P(A)·P(B)P(B | A)＝P(A B)P(A)第一节 概率及其计算考纲解读1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。
2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。
3.掌握古典概型及其概率计算公式。
4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。
5.了解几何概型的意义。
命题趋势探究1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。
2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容，题型及分值稳定，难度中等或中等以下。
知识点精讲一、必然事件、不可能事件、随机事件在一定条件下：①必然要发生的事件叫必然事件； ②一定不发生的事件叫不可能事件；③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。
二、概率在相同条件下，做次重复实验，事件A 发生次，测得A 发生的频率为，当很大时，A 发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A 的概率，记作。
对于必然事件A ，；对于不可能事件A ，=0.三、基本事件和基本事件空间在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。
四、两个基本概型的概率公式1、古典概型条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同()(A)=()A card P A card =Ω包含基本事件数基本事件总数2、几何概型条件：每个事件都可以看作某几何区域Ω的子集A ，A 的几何度量（长度、面积、体积或时间）记为A μ.()P A =AμμΩ。
五、互斥事件的概率1、互斥事件在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。
事件A 与事件B 互斥，则()()()P A B P A P B =+ 。
2、对立事件事件A,B 互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B 对立，记作B A =或A B =。
()()1P A p A =- 。
3、互斥事件与对立事件的联系对立事件必是互斥事件，即“事件A ，B 对立”是”事件A ，B 互斥“的充分不必要条件。
题型归纳及思路提示 题型176 古典概型思路提示首先确定事件类型为古典概型，古典概型特征有二：有限个不同的基本事件及各基本事件发生的可能性是均等的；其次计算出基本事件的总数及事件A 所包含的基本事件数；最后计算()A P A =包含基本事件数基本事件总数。
例13.1 设平面向量(),1m a m =，()2,n b n = ，其中{}, 1.2,3,4m n ∈ （1）请列出有序数组(),m n 的所有可能结果；（2） 若“使得()m m n a a b ⊥-成立的(),m n 为事件A ，求事件A 发生的概率。
分析：两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，从而可得m 与n 的关系，再从以上(),m n 的16个有序数组中筛选出符合条件的，即得事件A 包含的基本事件个数。
解析：（1）由{}, 1.2,3,4m n ∈，有序数组(),m n 的所有可能结果为()1,1 ，()()()1,2,1,3,1,4，()()()()2,1,2,2,2,3,2,4，()()()()3,1,3,2,3,3,3,4，()()()()4,1,4,2,4,3,4,4 共16个。
（2）因为(),1m a m =，()2,n b n =，所以()2,1m n a b m n -=-- .又()m m n a a b ⊥-，得()(),12,10m m n ⋅--= ，即22m 10m n -+-= ，所以()21n m =- 。
故事件A 包含的基本事件有()2,1和()3,4，共2个，由古典概型概率计算公式得()21168P A == 。
评注：①解题时，将所有基本事件全部列出是避免重复和遗漏的有效方法，注意在列举时，必须按照某一顺序来列举；②本题以向量为载体，利用向量的运算和关系等向量的基本知识解决概率问题，是将两类知识结合得较好的一道题目。
变式1 电子钟一天显示的时间从00：00~23：59，每一时间都由4个数字组成，则一天中任取一时刻显示的4个数字之和为23的概率为（ ） A.1180 B. 1288 C.1360 D.1480变式2 连抛两次骰子的点数分别为,m n ，记向量(),a m n =，向量()1,1b =- ，a 与b 的夹角为θ，则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的概率是（ ）A. 512B. 12C.712D. 56例13.2 （2012重庆理15）某艺校在一天的6节课中随机安排语文，数学，外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为____________（用数字作答）。
解析： 6节课随机安排，共有66720A =种不同的方法。
课表上相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课，有以下三种情况：①三门文化课间有2节艺术课：有32133272A A A =种方法； ②三门文化课间有1节艺术课：有31133323216A C A A =种方法；③三门文化课间有0节艺术课：有3434144A A =种方法。
共有72+216+144=432种符合题意的安排方法，故所求概率为4323=7205P =。
变式1 （2012上海理11）三位同学参加跳高，跳远，铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是______________（结果用最简分数表示）。
变式2 甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定：各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（ ） A.136 B. 19 C. 536D. 16变式3 在某地的奥运火炬传递活动中，有编号1，2，3，…，18的18名火炬手，若从中任选3人，则选出的3名火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（ ） A. 151 B. 168 C. 1306 D. 1408题型177 几何概型的计算思路提示首先确定事件类型为几何概型并明确其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算出基本事件区域的数值和事件A 包含区域数值 ，最后计算(A)A P =事件区域数值（长度、面积、体积或时间）基本事件区域数值（长度、面积、体积或时间），解几何概型问题的关键是画图、求面积。
例13.3 （2012辽宁理10）在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别为线段AC,CB 的长，则该矩形面积小于322cm 的概率为（ ） A.16 B. 13 C. 23 D. 45解析： 设AC x =，则12CB x =-，且012x << ，所以()12x x -表示矩形的面积，令()1232x x -≤，解得：4x <或8x >，如图13-1所示，故所示的概率为442123P +== .故选C . 变式1 []22,log A t =，{}214240B x x x =-+≤ ，,x t R ∈ ，A B ⊆.（1）定义区间[],a b 的长度为b a -，A 的长度为3，则t =_________.（2）某函数()f x 的值域为B ，且()f x A ∈ 的概率不小于0.6，则t 的取值范围为_______. 例13.4 （2012福建理6）如图13-2所示，在边长为1 的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A.14 B. 15 C. 16 D. 17解析：由题意可知，阴影部分的面积是由函数,y x y x ==围成的几何图形的面积，利用定积分可知： 1100=S xdx xdx -=⎰⎰阴影 3211200211326x x -= ，又OABC =1S 正方形，所以由几何概型知，所求的概率为16P = .故选C .评注：利用线性规划和积分知识求面积，是解决相关的几何概型问题的常见方法.变式1 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12 ，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为_____________.变式 2 （2012北京石景山一模理13）如图13-3所示，圆O ：222x y π+=内正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则该点A落在区域M 内的概率是__________.变式3 （2012湖北理8）如图13-4所示，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB为直径作两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A. 21π-B.112π- C.2π D. 1π例13.5 已知()[]2,,0,4f x x ax b a b =-+-∈ ,,a b R ∈，则()10f > 的概率为______.解析 几何概型{0404,0,a b A a b ≤≤≤≤Ω⊆Ω->：且-1+ 作出Ω，A 的区域图（如图13-5所示）.4416μΩ=⨯= ,193322A μ=⨯⨯= ,则()9921632A P A μμΩ===.变式1 =A {}10x x -≤≤ ，{}|210,02,13xB x ax b a b =+⋅-<≤≤≤≤（1）,a b N ∈，求A B ⋂≠∅ 的概率； （2）,a b R ∈ ，求=A B ⋂∅的概率.例13.6 甲乙两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00到21：00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内能相见的概率。