数学建模——迭代式与不动点

实验十六 迭代式与不动点

【实验目的】

1． 了解迭代的基本概念。 2． 了解不动点的基本概念。

3． 学习掌握MATLAB 软件有关的命令。

【实验内容】

计算数列 ,3,3,

3的极限

【实验准备】

1．迭代的基本概念

迭代数列：迭代就是把给定的函数f 连续不断地反复作用在初值a 上。通过迭代，我们会得到一个迭代数列：

))),((()),((),(,a f f f a f f a f a

把迭代数列记为 ,,,,,210n x x x x 。

迭代格式：迭代一种机械的重复动作，很适合于计算机的运算特点，因此迭代算法在各种数值方法中处于核心地位。迭代可以表示成如下的形式：

,3,2,1),(,10===+n x f x a x n n

称为由函数f 导出的迭代格式。

2．不动点的基本概念

对迭代格式的两端取极限∞→n ，当极限存在时,得到方程)(x f x =.函数f 的意义是把自变量x 映射成因变量y ,而上式的意义时表示x 在影射f 得像不发生改变.因此称该方程为不动点方程,方程的根称为函数f 的不动点.

3．压缩映像原理

定理1 设)(x f y =把区间],[b a 映射成],[b a ,并且存在10<

],[,21b a x x ∈,有2121)()(x x q x f x f -≤-,则

(1) *内存在唯一的不动点*

x ,满足)(*

*

x f x =;

(2) 对任意初始值],[0b a x ∈,迭代序列)(1n n x f x =+收敛于*

x ;

(3) 01*

*

*

11,x x q

q x x x x q x x n

n n n --≤--≤-+.

定理2 设)(x f y =在间],[b a 内可导,且],[b a y ∈.若存在10<

],[b a x ∈均有q x f ≤)(',则定理1的结论成立.

由拉格朗日中值定理可知,定理2是定理1的特例.定理不仅给出了收敛条件,而且还给出了收敛误差的估计.可以看出,q 越小收敛越快.但是要确定对任意],[b a x ∈均有q x f ≤)('显然不太方便.在*x 的附近,有如下局部收敛定理:

定理3 设)(x f y =在*

x 的一个领域内连续且1)('*

≤x f ,则对该领域内的任意初始值

0x ,迭代序列)(1n n x f x =+收敛于*x .

4．迭代的MATLAB 命令

MATLAB 中主要用for, while 等控制流命令实现迭代.

【实验方法与步骤】

练习1 计算数列 ,3,3,

3的极限.可用for 语句, for 循环允许一组命令以

固定的和预订的次数重复. For 循环的一般形式为:

for x=表达式1:表达式2:表达式3 语句体 end

其中表达式1的值为循环的初值,表达式2的值为步长,表达式3的值为循环的终值.如果表达式2省略,则默认为1.本练习中,相应的MA TLAB 代码为：

>>clear; >>x=3

>>for i=1:10 >>x=sqrt(x) >>end

可算得迭代数列的前10项:

7321, 1.3161, 1.1472, 1.0711, 1.0349, 1.0173, 1.0086, 1.0043, 1.0021, 1.0011 可见此数列的极限为1.

本练习也可用while 语句,while 循环一般用于事先不能确定循环次数的情况.while 循环的一般形式为:

while 表达式 语句体 end

只要表达式的值为1(真),就执行while 与end 之间的语句体,直到表达式的值为0(假)时终止该循环.通常,表达式的值为标量,但对数组值也同样有效,此时,数组的所有元素都为真,才执行while 与end 之间的语句体. 本练习中,相应的MA TLAB 代码为：

>>n=0; eps=1.0e-5; x=3; >>while abs(x-sqrt(x))>eps >>x=sqrt(x); n=n+1; >>end >>x, n

结果为x =1.0000, n =16.这说明迭代到第16次后,数列的前后两项之间的误差小于5

10

-,数列

收敛到1.

一般说来,在事先不知道迭代是否收敛时,可用for 语句.如果知道迭代是收敛的,为了控制迭代计算的误差,用while 语句是比较合适的.迭代过程启发我们,设法将方程0)(==x f y 变形为不动点方程)(x g x =,就有可能利用迭代法求出方程的根.

练习２利用迭代法求解方程013

=--x x .

先请读者画出函数1)(3

--=x x x f 的图形,观测函数的图形可以看出,在区间]2,1[方程有唯一正根.

迭代格式1 方程变形为3

1)1(+=x x ,先用for 语句,初值设为1.5,相应的MA TLAB 代码为：

>>clear; >>x=1.5; >>for i=1:10 >>x=(x+1)^(1/3) >>end

可算得迭代数列的前10项:

1.3572, 1.3309, 1.3259, 1.3249, 1.3248, 1.3247, 1.3247, 1.3247, 1.3247, 1.3247

可见此迭代格式是收敛的,方程的根约为 1.3247.进一步,如果要控制计算误差,比如说要使得计算误差小于5

10

-,可用while 语句, 相应的MATLAB 代码为：

>>n=0; eps=1.0e-5; x=1.5; >>while abs(x-(x+1)^(1/3))>eps >>x=(x+1)^(1/3); n=n+1; >>end >>x, n

计算结果为 x =1.3247,n =6,说明只需进行6次迭代,就可达到所要求的精度.

迭代格式2 方程变形为21x

x

x +=

,用for 语句,初值设为1.5,相应的MATLAB 代码为： >>clear; >>x=1.5; >>for i=1:10 >>x=(x+1)/x^2

>>end