工程力学——第2章(力系的简化)
力系的简化
作用线：通过由分布载荷组成的几何图形的形心。
F
1 2
ql
要求掌握
q
ql
xC
2 3
均布载荷的合力。 载荷集度为q。
l
A
l 2
B
l
方向：与分布力q 相同。
大小：等于载荷集度q乘以分布长度，即 ql。 作用线：通过分布长度的中点。
P29
其他不作要求
17
2.4.2 物体的重心、质心和形心 1、重心
xc
zc
zi Fi FR
x i Fi FR
yc
yi Fi FR
zc
zi Fi FR
15
2.4 平行力系的中心 重 心
【例2.2】水平梁AB长为l，受三角形分布载荷的作用，分布载荷的最大
值为q(N/m），试求合力的大小及作用线的位置。
解：合力F的方向向下。
求合力的大小：建立坐标系Axy。 y 在任意截面 x 处
xC
S
y
y
xdA
A
0
A
yC
ydA
A
A
C 形心 x O
22
反之，若图形对某轴静矩为零，该轴一定过形心。 2、平面图形若有对称轴，则形心在对称轴上。 （因为图形关于对称轴的静矩为 0。）
5、确定物体重心的方法
（1）简单几何形状的物体的重心
均质物体有对称面、对称轴、对称中心，物体的重心一定在对称 面、对称轴、对称中心上。
MA
MA FAy
FA
FAx
也可按前面所讲的确定约束力的原则，固定端所限制的运动：水 平移动、竖直移动、转动。因此，约束力为正交分力和一个力偶。
工程力学第二章力系简化与平衡
一、平面任意力系的平衡方程
1 平衡条件
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
即 F 0 M 0
R
o
F R
(
F x
)2
(
F y
)2
M O
M
O
(
F i
)
2 平衡方程
Fx 0
X 0
Fy 0
或 Y 0
M o (F) 0
M o 0
M i
i1
二、 平面任意力系的简化研究
1、力的平移定理
作用在刚体上力F的作用线可等效 地平移到同一刚体上的任意一点，但 须附加一力偶，此附加力偶的矩值等 于原力F对平移点的力矩。
M M (F ) Fd
B
B
２ 力与力偶的合成 是力线平移的逆过程。
3、力线平移定理在简化中的应用
F F
解得 FC 28.28kN, FAx 20kN, FAy 10kN
例6 已知：P1 700kN, P2 200kN, 尺寸如图；
求：（1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3； （2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。
解： 取起重机，画受力图。 满载时，FA 0, 为不安全状况
（2）、求合力及其作用线位置。
d
Mo FR'
2355 3.3197m 709.4
x
d
3.514m
cos 900 70.840
（3）、求合力作用线方程
Mo Mo FR x FRy y FRx x FR'y y FR'x
即 2355 x670.1 y 232.9
工程力学：第2章 力系的简化
F1sin45 F2sin45 0 FAsin30 F1cos45 cos30 F2 cos45 cos30 0 FAcos30 F1cos45 sin30 F2cos45 sin30 P 0
B FB1
相同的均质杆围成正方形，求绳EF的拉力。
要求：
用最少的方 程求出绳EF受 的力
FAy
FAx
A
E
P
FDy
FDx
D
G
P
B
F
P
C
FDy FDx
D
G
P
FDy FDx
D
FCy FCx
C
FBx FT
G
P
FBy
B
F
P
C
例3-3
q
FAx A
M B
2a
P
FAy
4a
FB
ll
30
F
M
3l P
q
例3-4
F
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。
③ FR≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR 。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
④ FR 0, MO 0 ,为最一般的情况。此种情况还可以继续 简化为一个合力 FR 。
FAy
B FB1x
C
M
B
D
Cr
•
E
A
300 F E
FA
FT
C
F A1
FA
求：销钉A所受的力
M
B D
FD D C
工程力学(静力学与材料力学)-2-力系的简化
力系的主矢和主矩
力系等效与简化的概念
力系的主矢和主矩
F2 F1 mn m1 m2
力
系
两个或两个以上的 力所组成的系统，称为 力系,又称力的集合。
Fn
F3
力系等效与简化的概念
力系的主矢和主矩
力系的主矢
F2 F1
mn
m1
m2
一般力系中所有力的矢量和，称 为力系的主矢量，简称为主矢 （principal vector），即
力系简化的基础－力向一点平移定理
－F
F
M=Fd
F
F
力向一点平移的结果: 一个力和一个力偶,力偶的 力偶矩等于原来力对平移点之矩。
M＝M O F Fh
施加平衡力系后由3个力所组成的力系，变成了由作用 在O点的力和作用在刚体上的一个力偶矩为M的力偶所 组成的力系。
力系简化的基础－力向一点平移定理 力向一点平移定理 作用于刚体上的力可以平移到任一点， 而不改变它对刚体的作用效应，但平移后 必须附加一个力偶，附加力偶的力偶矩等 于原力对平移点之矩。此即力向一点平移 定理。 力向一点平移结果表明，一个力向任 一点平移，得到与之等效的一个力和一个 力偶；反之，作用于同一平面内的一个力 和一个力偶，也可以合成作用于另一点的 一个力。
力系的主矢和主矩
需要注意的是，工程力学课程中的主 矢量与主矩，在物理学中称为合外力和合 外力矩。实际上如果有合外力，也只有大 小和方向，并未涉及作用点（或作用线）。
力系等效与简化的概念
力系等效的概念
如何判断力系等效
FB
力系1
MC
MD
FC
力系2
FA 怎样判断不同力系的运动效应是否相同？
第二章 力系的等效与简化
M M O ( F ) M O ( F ) F rA F rB F rA F rB ( F ) (rA rB ) F M rBA F
O
M称为力偶矩矢，用以衡量力偶对刚体的转动效应。
F F
F A O d
F
F
M O
A
O
d
A
三、平面任意力系向一点简化
应用力线平移定理，可将刚体上平面任意力系中各个
力的作用线全部平行移到作用面内某一给定点O 。 从而这力系被分解为平面共点力系和平面力偶系。这 种变换的方法称为力系向给定点O 的简化。点O 称为简化 中心。
FR
F1
F2 A2
A1 O A3
=
F3
F2
M1 M2 O
F1
M3
=
MO
O
F3
共点力系F1、 F2、 F3的合成结果为一作用点在点O 的力FR 。这个力矢FR 称为原平面任意力系的主矢。
F1 F2 F3 FR F1 F2 F3
附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力偶，这 力偶的矩用MO 代表，称为原平面任意力系对简化中心 O 的主矩。
R x
F cos( F , j )
R
FR
y
FR
说明
1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的位
置无关。
F1 F2 Fn F 主矢： FR
2、平面任意力系的主矩与简化中心O 的位置有关。因 此，在说到力系的主矩时，一定要指明简化中心。
结论： 平面任意力系向平面内任一点的简化结果，是一个作 用在简化中心的主矢和一个对简化中心的主矩。
工程力学第2章(汇交力系)
2.力在平面上的投影
FM F cos
⑴ 力在平面上的投影是矢量。 ⑵ α：力与投影平面的夹角。
3. 力在直角坐标轴上的投影 · 一次投影法 Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
·二次投影法
Fx Fxy cos F cos cos Fy Fxy sin F cos sin
合力FR 的大小
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
合力FR 的方向
R
F cos( F ，i )
x
cos( FR，j )
R
F Fy
F
z
F cos( F ，k ) F
二、汇交力系平衡的解析条件
汇交力系平衡的充分且必要条件是力系的合力等于零。
角为60o ，若接触面光滑，试分别求出圆柱给墙面和夹板的压 力。
解:
FA Gtan30o 500 tan30o 288.7N
G 500 FB 577.4N o o cos 30 cos 30
几何法求解汇交力系简化与平衡问题总结：
⑴ 选择研究对象，分析受力情况，画出全部的 已知力和未知力，利用二力平衡、三力平衡汇交等定 律确定某些力作用方向（必须明确力的方向，否则容 易出错）。
Fx 0 : Fy 0 : F
z
FA FC cos 30o sin 0
FB FC cos 30o cos 0 FC sin30o P 0
0:
由几何关系可得 cos 0.8 sin 0.6 解得： FA 10.39kN
FB 13.85kN FC 20kN
F2 = 4kN，F3 = 5kN，求三个力的合力。 解:
工程力学(静力学与材料力学)习题及答案 - 力系的等效与简化
工程力学（静力学与材料力学）习题第2章力系的等效与简化2－1 脊柱上低于腰部的部位A是脊椎骨受损最敏感的部位，因为它可以抵抗由力F对A之矩引起的过大弯曲效应，如图所示。
已知F、d1和d2。
试求产生最大弯曲变形的角度 。
习题2－1图2－2 作用于铣刀上的力系可以简化为一个力和一个力偶。
已知力的大小为1200N，力偶矩的大小为240N·m，方向如图所示。
试求此力系对刀架固定端点O的力矩。
习题2－2图2－3 如图所示，试求F对点A的力矩。
习题2－3图习题2－6图2－4 图示作用于管板子手柄上的两个力构成一力偶，试求此力偶矩矢量。
2－5 齿轮箱有三个轴，其中A 轴水平，B 和C 轴位于yz 铅垂平面内，轴上作用的力偶如图所示。
试求合力偶。
2－6 槽钢受力如图所示。
试求此力向截面形心C 平移的结果。
2－7 截面为工字形的立柱受力如图所示。
试求此力向截面形心C 平移的结果。
2－8 平行力（F ,2F ）间距为d ，试求其合力。
2－9 已知图示一平面力系对A （3,0），B （0,4）和C （–4.5,2）三点的主矩分别为：M A = 20kN ·m ，M B = 0，M C =–10kN ·m 。
试求该力系合力的大小、方向和作用线。
习题2－4图习题2－5图习题2－7图 习题2－8图75习题2－11图2－10 空间力系如图所示，其中力偶矩M = 24N·m，作用在Oxy平面内。
试求此力系向点O简化的结果。
2－11 图示电动机固定在支架上，它受到自重160N、轴上的力120N以及力偶矩为25N·m的力偶的作用。
试求此力系向点A简化的结果。
2－12 对于图示作用在平板上的平行力系，试求其合力。
习题2－9图习题2－10图习题2－12图z2－13 试确定作用在曲轴的各曲柄销中点的力系F k（k = 1,2,...,6）是否平衡。
假定各力F i（i = 1,2, (6)的大小均为F，其作用线均通过曲轴的轴线并与之相垂直，指向背离轴线。
《工程力学》力系的简化
2.3 平面力系的简化----平面力系的简化结果
➢主矢、主矩与简化中心的关系： ✓主矢与简化中心的选择无关； ✓主矩与简化中心的选择有关。
➢注意： ✓主矢只有大小和方向两个要素，并不涉及作用点，可 在任意点画出； ✓合力有三要素，大小、方向和作用点。
M Oy
n i 1
M O (Fi ) y
M Oz
n
M O (Fi )
i1
z 5/48
2.1 力系等效与简化的概念----力系的主矢和主矩
力系主矢的特点： ✓对于给定的力系，主矢唯一； ✓主矢只有大小和方向，未涉及作用点。
力系主矩的特点： ✓力系主矩与矩心的位置有关； ✓对于给定的力系，主矩不唯一，同一力系 对不同的点，主矩一般不相同。
10/48
2.2 力系简化的基础——力向一点平移
－F
r F
F F
➢根据加减平衡力系原理，加上平衡力系后，力对刚 体的作用效应不会发生改变； ➢施加平衡力系后，由3个力组成的新力系对刚体的 作用与原来的一个力等效。
11/48
2.2 力系简化的基础——力向一点平移
－F
F
M=Fd
F
F
✓增加平衡力系后，作用在A点的力与作用在B的力组成一
14/48
2.2 力系简化的基础——力向一点平移
z
M -F
F F
Mx
F
F
My
F
15/48
2.3 平面力系的简化
➢平面汇交力系与平面力偶系的合成结果 ➢平面一般力系向一点简化 ➢平面力系的简化结果
16/48
2.3 平面力系的简化
----平面汇交力系与平面力偶系的合成结果
➢汇交力系：力系中所有力的作用线都会交于一点； ➢平面汇交力系：力系中所有力的作用线处于同一平面并且 汇交于一点。 ➢平面汇交力系的合力等于力系中所有力的矢量和。
工程力学课后习题答案_范钦珊(合订版)
Fw
习题 1—9 图
FT1
F Fw
T2
FN
习题 1—9 解图
7
1 一 10 图示压路机的碾子可以在推力或拉力作用下滚过 100mm 高的台阶。假定力 F 都是沿着杆 AB 的方向，杆与水平面的夹角为 30°，碾子重量为 250 N。试比较这两种情形 下，碾子越过台阶所需力 F 的大小。
习题 1－10 图
即 (d + 3) sinθ = 2(4.5 − d ) sinθ 2 d +3=9−d
d =3
（2）
y
4 G
C
E
θ2
Dθ d −4.5 F O
FR
3
Ax
2
习题 2－2 解图
∴ F 点的坐标为（-3, 0） 合力方向如图所示，作用线过 B、F 点；
tan θ = 4 3
AG = 6 sinθ = 6 × 4 = 4.8 5
nb2返回总目录下一章11ebook工程力学静力学与材料力学习题详细解答教师用书第2章范钦珊唐静静200612181第2章力系的简化21由作用线处于同一平面内的两个力f和2f所组成平行力系如图所示
eBook
工程力学
（静力学与材料力学）
习题详细解答
（教师用书） (第 1 章)
范钦珊 唐静静
2006-12-18
FC C
A FA
习题 1－3e 解 1 图
C
BF
FB
FAx A
FAy
习题 1－3b 解 1 图
A FA
FB
α C
B
D
FD 习题 1－3d 解 1 图
D
F
C
F'c
B
第2章—力系的简化—工程力学(静力学和材料力学)课后习题答案
工程力学（静力学与材料力学）习题详细解答(第2章)习题2－2图第2章 力系的简化2－1 由作用线处于同一平面内的两个力F 和2F 所组成平行力系如图所示。
二力作用线之间的距离为d 。
试问：这一力系向哪一点简化，所得结果只有合力，而没有合力偶；确定这一合力的大小和方向；说明这一合力矢量属于哪一类矢量。
解：由习题2－1解图，假设力系向C 点简化所得结果只有合力，而没有合力偶，于是，有∑=0)(F C M ，02)(=⋅++−x F x d F ，dx =∴，F F F F =−=∴2R ，方向如图示。
合力矢量属于滑动矢量。
2－2 已知一平面力系对A (3，0)，B (0，4)和C (－4.5，2)三点的主矩分别为：M A 、M B 和M C 。
若已知：M A ＝20 kN·m 、M B ＝0和M C ＝－10kN·m ，求：这一力系最后简化所得合力的大小、方向和作用线。
解：由已知M B = 0知合力F R 过B 点；由M A = 20kN ·m ，M C = -10kN ·m 知F R 位于A 、C 间，且CD AG 2=（习题2－2解图）在图中设OF = d ，则θcot 4=dCD AG d 2)sin 3(==+θ （1） θθsin )25.4(sin d CE CD −== （2）即θθsin )25.4(2sin )3(dd −=+ d d −=+93 3=d习题2－1图习题2－1解图R∴ F 点的坐标为（-3, 0）合力方向如图所示，作用线过B 、F 点； 34tan =θ 8.4546sin 6=×==θAG 8.4R R ×=×=F AG F M A kN 6258.420R ==F 即 )kN 310,25(R=F 作用线方程：434+=x y 讨论：本题由于已知数值的特殊性，实际G 点与E 点重合。
2－3三个小拖船拖着一条大船，如图所示。
第2章 力系的简化
第2章 力系的简化2-1 三力作用在正方形上，各力的大小、方向及位置如图示，试求合力的大小、方向及位置。
分别以O 点和A 点为简化中心，讨论选不同的简化中心对结果是否有影响。
答： 45,N 66.5N 24===x R θ︒，合力作用线过A 点。
题2-1图 题2-2图 2-2 图示等边三角形ABC ，边长为l ，现在其三顶点沿三边作用三个大小相等的力F ，试求此力系的简化结果。
答：力偶，Fl m 23=，逆时针。
2-3 沿着直棱边作用五个力，如图示。
已知F 1＝F 3＝F 4＝F 5＝F ，F 2＝2P ，OA ＝OC ＝a ，OB ＝2a 。
试将此力系简化。
答：力偶，191),cos(,193),(cos ),cos(,19-=-===k M j M i M P a M 。
题2-3图 题2-4图2-4 图示力系中，已知F 1＝F 4＝100N ，F 2＝F 3＝1002N ，F 5＝200N ，a ＝2m ，试将此力系简化。
答：力，R ＝200 N ，与y 轴平行。
2-5 图示力系中F 1＝100N ，F 2＝F 3＝1002N ，F 4＝300N ，a ＝2m ，试求此力系简化结果。
答：力螺旋，R ＝200 N ，平行于 z 轴向下，M ＝200 N ⋅m题2-5图 题2-7图 2-6 化简力系F 1（P ，2P ，3P ）、F 1（3P ，2P ，P ），此二力分别作用在点A 1（a ，0，0）、A 2（0，a ，0）。
答： 力螺旋，3,34aP M P R ==。
2-7 求图示平行力系合力的大小和方向，并求平行力系中心。
图中每格代表1m 。
答：力，R ＝25 kN ，向下，平行力系中心（4.2, 5.4, 0）。
2-8 将题2-8中15kN 的力改为 40kN ，其余条件不变。
力系合成结果及平行力系中心将如何变化？答：力偶。
无平行力系中心。
2-9 用积分法求图示正圆锥曲面的重心。
答：h z y x C C C 31,0===。
胡汉才编著《理论力学》课后习题答案第2章力系的简化
第二章力系的简化2-1．通过A（3，0，0），B（0，4，5）两点（长度单位为米），且由A指向B的力F，在z轴上投影为，对z轴的矩的大小为。
答：F/2；62F/5。
2-2．已知力F的大小，角度φ和θ，以及长方体的边长a，b，c，则力F在轴z和y上的投影：Fz= ；Fy= ；F对轴x的矩M x(F)= 。
答：Fz=F·sinφ；Fy=－F·cosφ·cosφ；Mx（F）=F（b·sinφ+c·cosφ·cosθ）图2－40 图2－412-3．力F通过A（3，4、0），B（0，4，4）两点（长度单位为米），若F=100N，则该力在x轴上的投影为，对x轴的矩为。
答：－60N；320N.m2-4．正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB=a，在平面ABED内有沿对角线AE 的一个力F，图中α=30°，则此力对各坐标轴之矩为：M x（F）= ；M Y（F）= ；M z（F）= 。
答：M x（F）=0，M y（F）=－Fa/2；M z（F）=6Fa/42-5．已知力F的大小为60（N），则力F对x轴的矩为；对z轴的矩为。
答：M x（F）=160 N·cm；M z（F）=100 N·cm图2－42 图2－432-6．试求图示中力F 对O 点的矩。
解：a: M O (F)=F l sin αb: M O (F)=F l sin αc: M O (F)=F(l 1+l 3)sin α+ F l 2cos αd: ()2221l l F F M o +=αsin2-7．图示力F=1000N ，求对于z 轴的力矩M z 。
题2－7图 题2－8图2-8．在图示平面力系中，已知：F 1=10N ，F 2=40N ，F 3=40N ，M=30N ·m 。
试求其合力，并画在图上（图中长度单位为米）。
解：将力系向O 点简化R X =F 2－F 1=30N R V =－F 3=－40N ∴R=50N主矩：Mo=（F 1+F 2+F 3）·3+M=300N ·m 合力的作用线至O 点的矩离 d=Mo/R=6m合力的方向：cos （R ，i ）=0.6，cos （R ，i ）=－0.8（R，i）=－53°08’（R，i）=143°08’2-9．在图示正方体的表面ABFE内作用一力偶，其矩M=50KN·m，转向如图；又沿GA，BH作用两力R、R',R=R'=502KN；α=1m。
第2章 空间力系的简化与物体的受力分析
FR
FR
o
MO
o
FR
d
o’
o
d
o’
MO 平移距离： d FR
平移方向： F 的方向 M R O
（2）
MO F R
M0 FR
力螺旋
与M F O R 与M F O R
方向一致 右手力螺旋 方向相反
左手力螺旋
0 , M 0 , F M (3) F R O R O
方向：沿着柔索的中心线且背离被约束物体
作用点：接触点 未知量：1个
二、光滑面约束
(1)光滑接触点约束
P
FN
P
F2
F1
F3
物体之间的接触缩小为一 点接触。此时的约束力是一 集中力，这力的作用线必定 通过接触点，且同时通过两 个曲面对应接触点的曲率中 心，也就是力的作用线为接 触点的公法线方向。 方向：接触面的公法线并指向被约束物体 作用点：接触点
（2）平面柱铰
F
o B
Fox Foy o
销钉
A A
约束力分布在一部分圆弧上，且均通过销钉中心，构成位于 销钉中心截面上的平面汇交力系，可简化为一个通过销钉中心 的合力 FR 未知量：2 个 约束力的大小和方向都随主动力而改变 表示为两个互相垂直的未知力，其指向可以假定
当形成平面柱铰中 的一个带圆孔部件与基 础或静止的结构物固连， 就成为铰链支座，也称 固定铰支座
6 7 0 . 1 x 2 3 2 . 9 y 2 3 5 5 0
第二节 约束与约束力
自由体与非自由体
自由体 非自由体 P
约束：阻碍物体运动的限制物体，是通过力来实现的 约束力：约束施加于被约束物体的力。约束力是被动力 确定约束力指向的原则： 约束力的方向总是与约束所能阻止物体的运动或运 动趋势方向相反。
工程力学-力系的简化
A xC
q(x)
xB
FR q(x)dx
Bx
xA
合力作用线：
xB
q(x)xdx
x xA
C
xB
对面分布载荷，积分元改为dA
q(x)dx
xA
32
工程上常见的分布载荷：
qF
xC
l
F
xC l
q1
F
xC l
（1）均布载荷q(x)=q=常数
F=ql , xC=l/2 （2）三角形载荷
F=ql /2 , xC=2l/3
FRx FRy FRz
(力的作用线)方程: x xB y yB z zB
B(xB , yB , zB )
为合力的作用点 15
小结 力系简化的步骤：
（1）任选矩心O，求出力系 的主矢和主矩。
FR Fi MO MO (Fi )
若主矢和主矩全为零
平衡力系(零力系)
若主矢和主矩不全为零，则进一步计算(2)：
FRO
原一般力系简化为一个作用于O点的合力 FR
——最简力系
9
4.
FR 0, MO
MO 0,
FR
FR MO 0
即 FR MO
MO
FR
O
O
原力系简化为过O点的合力
FR
及合力偶，且 FR MO
B (xB,yB,zB) 合力作用线
——不是最简力系
根于据B点力的的合平力移逆FB定 理FR，，二B者点可位进置一为步简OB化为F一R F个R2M 作O 用
简化后的合力作用点B的位置为
OB
F1 M
F12
即将即F1力O平B行于F1其,O作B用线M移, 动OBO距B 离 成MF1为F
工程力学
力系简化的基础是力向一点平移定理。
工程力学
第2章 力系的简化
§2–2 力向一点平移定理
力向一点平移定理 作用于刚体上的力可从原来的作用点 平行移动任一点而不改变对刚体的作用效应，但须附加一 个力偶，附加力偶的矩等于原力对新作用点的矩。
F B h
F
F = B h
F
F
A
A
=
M=Fh B A
第2章 力系的简化
求如图所示平面共点力系的合力。其中：F1 = 200 N， y F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。 F2
解： 根据合力投影定理，得合力在轴
x，y上的投影分别为：
FRx F1 cos 30 F2 cos 60 F3 cos 45 F4 cos 45 129 .3 N
FR=FR，但其作用线不过简化中心O。
FR
MO O
FR
= O
d
FR
FR
A
= O
d
FR
A
M 0 m0 ( FR ) d FR ' FR '
把各力矢首尾相接，连接第一个力的始端与最后一个力的终 端的矢量就是合力FR，力系中各力称为合力FR的分力。 F2 F1 F3 F2 F3 F
O
4
F1
FR
F4 • 得到的多边形，称为力多边形，合力就是力多边形的封闭边。
• 用力多边形求解合力的方法称为力的多边形法则。
工程力学 c F3 d F4 c F1 a
加减平衡力系原理
力偶
[证明]
力F
M o M o ( F ) Fh
力系F，F'，F''
第2章 力系的简化
第2章力系的简化工程力学学习指导第2章力系的简化2.1 教学要求与学习目标1. 正确掌握下列基本概念与定义：1) 力系。
2) 力系的主矢与主矩。
3) 等效的概念。
2. 正确掌握下列重要定理及其应用：1) 等效力系定理。
2) 力向一点平移定理。
3) 合力之矩定理。
3. 正确掌握并应用力系简化的基本方法。
4. 正确掌握固定端约束的性质及其约束力。
2.2 理 论 要 点2.2.1等效的概念及有关等效的原理等效力系定理：如果作用于刚体上的力系可以用另一个力系来代替，而不改变刚体的运动状态，则称这两个力系等效。
加减平衡力系原理：在已知力系上附加任意平衡力系，或除去任意平衡力系，则不改变原来力系对刚体的作用。
这一原理又叫做“加减平衡力系原理”。
它表明，加减平衡力系后，新力系与原来的力系等效。
根据这一原理，可以将已知力沿其作用线移至任意点而不改变力对物体的作用效果。
这就是所谓力的可传性。
上述有关等效的概念和加减平衡力系原理以及力的可传性，都是针对运动效果而言的，因而只适用于刚体。
当研究力对变形体所产生的变形效果时，这些都不适用。
2.2.2力向一点平移将一个力分解为一个力和力偶的过程叫做“力向一点平移”。
应用加减平衡力系原理，可以证明；作用于刚体上的已知力F可以向同一刚体上的任意一点平行移动，平移时需要附加一力偶，附加力偶的力偶矩M等于已知力F对平移点之矩。
力向一点平移的结果说明：作用于刚体上A点的力F与作用另一点O的力F及力偶M等效。
这也证明了力偶与力是不能等效的。
利用力向一点平移的结果不仅可以解决力系简化和平衡问题，而且在材料力学中讨论到平衡问题时，还可以将变形体视为刚体，从而可以应用上述结果，使问题简化。
但必须注意，这一结果在材料力学中应用时是要受到严格限制的。
2.2.3平面力系的简化为了得到平面力系向一点简化的结果，可以将力系中的所有力向该点平移，得到一个平面汇交力系和平面力偶系。
前者可以进一步合成一合力F R，后者则合成一合力偶M。
考研复习—工程力学——第2章 平面力系
负号表示合力偶为顺时针转向。
图2-10
第2章
2.3 平面任意力系的简化
2.3.1 力的平移定理
平移定理：作用在刚体上的力，可以平移至刚体内任一指定点，若不改变该力对于 刚体的作用则必须附加一力偶，其力偶矩等于原力对新作用点的矩。
Fx 0
RAx R By P 0
RAx P RBx 20 kN 10 kN 10 kN
M A (F) 0 RBy a P a F 2a 0
RBy 2F P 20 kN 20 kN 0
（2）画ACD杆及CEB杆受力图,如图(b)、图(c)所示。
(3)研究CEB杆，如图（c）所示，则有
例2-16：图所示梯子，AB一端靠在铅垂的墙壁上，另一端搁置 在水平地面上。假设梯子与墙壁间为光滑约束，而梯子与地面之间存 在摩擦。已知：摩擦因数为 ，梯子长度AB=L,梯子重力为W。求：（ 1）若梯子在倾角 的位置保持平衡，求梯子与地面之间的摩擦力 和其 余约束力；（2）为使梯子不致滑倒，求倾角α的取值范围。
2 3 Fp
Fs1
Fs 2
1 3
Fp
(拉)
2 3
Fp (压)
（3）考察节点B的平衡： Fs3 0
第2章
2.7 考虑摩擦时的平衡问题
2.7.1 工程中的摩擦问题
1、摩擦平衡问题： 工程中有一类问题摩擦力不能忽略。例如车辆的制动、螺旋连接与锁 紧装置、楔紧装置、缆索滑动和传动系统等。这类平衡问题统称为摩擦平衡问题。
Fd fFN
第2章
2.7 考虑摩擦时的平衡问题
2.7.3 摩擦角与自锁现象
《工程力学》第二章 基本力系
• 以上三个决定力使物体绕某点转动效应的 因素，在数学上可用一特殊矢量来表示。 这个矢量的模等于力的大小F和力臂h的 乘积；该矢量的方位(即转动轴线在空间 的方位)，其指向由右手螺旋法则确定(图 2-19)。这个矢量称为力对点的矩矢，用 符号mO(F)表示。由图可知，它是一个通 过矩心O的定位矢量，是力对物体产生转 动效应的度量。
偶对力偶作用面上任一点O的矩，应为Байду номын сангаас行力F， F′对点O的矩的代数和，即
• 由此可知，两个力矩相加的结果与两力矩的矩 心位置无关，即力偶中两力对力偶作用面上任 一点之矩的代数和为一常量，它等于力偶中任 一力F的大小F和力偶臂d的乘积。此乘积称为 力偶矩，记作m(F，F′)，简记为m。于是
• 式中正负号反映力偶的转向，逆时针转向 取正，顺时针转向取负。力偶矩的量纲与 力矩相同，其单位也相同。
力R，则合力对物体作用时产生的效应与 各分力对物体同时作用时所发生的效应完 全相同。于是，合力R对点的矩矢可写为
•即
• 这就是合力矩定理，其物理意义是合力对 任一点之矩矢，等于各分力对同一点之矩 矢的矢量和。
• 若力系为平面力系，各力对平面上任一点 的矩为代数量，故合力矩定理在平面问题 中表述为
• 它表明：平面力系的合力对平面上任一点 的矩，等于各分力对同一点的矩的代数和。
• 二、汇交力系的合成
• 作用于物体上诸空间力作用线汇交于一点的力系称为空间汇交力 系。若诸空间力的作用线仅分布于同一平面且作用线汇交于一点， 这类力系称为平面汇交力系。研究汇交力系合成的方法有几何法 和解析法。
• 1.几何法
• 设作用于刚体上的空间汇交力系为F1、F2、…、Fn，且各力作 用线均汇交于一点O(图2-7(a))。O点为汇交点。按力的可传性 原理，施加于刚体上的汇交力系中各力作用点均可沿各自作用线 移至汇交点O。凡力系中诸力具有共同作用点的力系称为共点力 系(图2-7(b))。
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FR FR
6
M2 M1 Mn
F'R
Fn
F'n
对简化中心的主矩为：
MO M MO( F )
• 主矩是个代数量。
• 一般情况下，主矩与简化中心的选择有关。
7
二、平面力系简化的最后结果 对于平面力系，向平面内任一点O的简化结果一 般为一个力和一个力偶，可能出现以下四种情况：
G Gi
设任一微体的坐标为 x i , y i , z i ，重心C的坐标 为 x C , y C , z C ，根据合力矩定理，对x轴、y轴取矩， 有
GxC ( G1 x1 G2 x2 Gn yn ) Gi xi
GyC ( G1 y1 G2 y2 Gn yn ) Gi yi
则
yC 1 0.1900m y C 2 0.01900m y C 3 0.0250m
yc
Ay A
i i
Ci
A1 y C 1 A2 y C 2 A3 y C 3 0.150m A1 A2 A3
31
负面积法:将平面薄板 看成矩形ABCD挖去矩形 板EFGH，如图所示。它 们的面积和坐标如下
结论：三角形分布力的合 力大小等于分布力三角形 的面积，其作用线通过三 角形的形心。 17
[例2-3] 求图中分布力系的合力。 解：⑴确定合力的大小及方向
FR1
q1=0.5 KN/m
合力的大小：
FR1 2q1 1kN 1 FR 2 3 q2 6kN 2
FR
A
q2=4 KN/m
9
[例2-1] 某重力大坝所受的主动力可简化为如图的平面任意力 系。已知 G1 450kN, G2 200kN, F1 300kN, F2 70kN 。求主动力 系的合力及其作用线与基线OA的交点至点O的距离。
y
3m
1.5m 9m
G1 F1
3.9m
G2
90 0 F2
3m
O
B
A
§2–1 力的平移定理 §2–2 平面力系的简化 §2–4 重心
1
• 空间任意力系：由空间任意分布的力组成的力系。 • 平面任意力系：各力的作用线在同一平面内并呈 任意分布的力系。 • 力系简化：将作用于刚体上的力系用一个与其等效 的最简单的力系来代替，这个过程称为
力系 简化。
•力系简化的基础：力的平移定理。
26
⒊ 均质等截面细杆（线），设其长度为l ，则 其重心坐标公式为
线段重心，曲线的重心一般不在曲线上。
27
三、确定物体重心的方法 • 对称法 均质物体有对称面，或对称轴，或对称中 心 ，该物体的重心必相应地在这个对称面，对 称轴，或对称中心上。 • 积分法
• 组合法（分割法、负面积法）
• 实验法（悬挂法、称重法）
5
M2 M1
F'R
Mn
Fn
F'n
n Fi F （主矢与简化中心的选择无关） 为： FR 主矢 FR i 1
主矢在二个坐标轴上的投影 主矢的大小
FR
2
Fx FRx Fy FRy
2
主矢的方向余弦
Fx Fy , i ) Fx cos( FR , j ) Fy cos( FR
M F F' F B rBA A B F' F rBA A
B
rBA
A
α
F"
α
F"
α
4
§2-2
平面力系的简化
一、平面力系向一点简化
M2 M1 Mn
F'R
Fn
F'n
一般力系（任意力系）向一点简化汇交力系+力偶系 汇交力系 力偶系 力 ，F'R (主矢) ， (作用在简化中心) 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
1. FR 0 , M O 0 （为一合力偶，主矩与简化中心无关） 2. FR 0 , M O 0 （为一合力，合力矢 通过简化中心，且等于
3. F 0 , M 0 （为一平衡力系） R O
主矢）
4.
FR 0 , M O 0
FR
（为一般情况，可继续简化为一合力 ）
A4 500 380 10 6 0.1900m 2 , yC 4 0.1900m A5 350 330 10 6 0.1155m 2 , yC 5 0.2150m
所以
Ai y i yC Ai
A4 yC 4 A5 yC 5 0.150m A4 A5
主矢
FRx FRy 5 5 11.2kN FR
2 2
arctan(
10 ) 63.40 5
主矩
4 3 M O M O ( Fi ) 2F1 3 F2 4 F3 4F4 M 12kN 5 5
13
⑵求合力及作用线的位置 合力FR=F'R=11.1kN； 作用线距O点的距离h为：
MO h 1.09m FR
h 1.09 (x 1.21m ) 0 sin sin 63.4
y(m)
F4=8KN
2
F3 =15KN
h
4 2 O 2
MO
F2 =10KN
4
2
x (m)
M=12KN.m
F'R F1=6KN
位置由Mo 的正负确定，如图。
14
三、线分布力的简化
工程上的结构和分布荷载常常 都对称于某一平面， 因此，可将分布荷载简化为作用在对称平面内的线分 布力。如图所示。
x
2m
3m
FR2
FR FR 2 FR1 5kN 方向如图。
⑵求合力作用线位置 由合力矩定理得
M A ( FR ) M A ( FR1 ) M A ( FR 2 )
解得
FR x FR1 1 FR 2 3
x 3.4m
18
思考题： 1.如图所示分布力系作用下的结构，用其合力代替分 布力系，这样的受力分析是否正确？
G y
i
i
G
, zC
Gz
i
i
G
其积分形式为
xC
xdG ,
V
G
yC
V
ydG G
, zC
zdG
V
G
24
二、均质物体的重心 ⒈ 均质物体，密度ρ为常量，重心坐标公式为
重心与形心重合
25
⒉ 等厚的均质薄板、 薄壳，设其表面积为A， 其重心的坐标公式为
面积重心，曲面的重心 一般不在曲面上
重心的位置会影响物体的平衡与稳定，如飞机重 心的超前或偏后会影响飞机的起飞、降落以及正常飞 行；而水坝、挡土墙重心的偏移会导致整个建筑物的 21 倾倒。
•物体重心的坐标公式
如图，将物体分割成许多微小 体积，每小块体积为△Vi，所受重 力为Gi。这些重力组成的平行力系 的合力G的大小就是整个物体的重 量，即
l l l
16
x ql FR dF q( x )dx qdx 0 0 0 l 2
l l l
由 M (F ) M A( F ) A R
可得
x 1 2 FR h xdF x qdx ql 0 0 l 3
l l
所以
1 2 1 2 ql ql 2 3 3 h l 1 FR 3 ql 2
x
5.7m
10
解：（1）求主矢
FR
y
3m 1.5m 9m
G1 F1
将力系向O点简化 9 cos 0.9574 2.7 2 9 2 2.7 sin 0.2872 2 2 2.7 9
3.9m
G2
900 F2
3m
O
B
A
x
因为 FRx Fx F1 F2 cos 232.98kN 所以 F R
2
§2-1
力的平移定理
一、平面问题的力平移定理
但必须附加一个力偶。这个力偶的矩等于原来的力 F 对新作用点B的力矩。
[证]
把作用在刚体上的点A的力 F 平移到任一点B，
力F
力系 F, F, F
力F 力偶（F，F）
M M
3
二、空间问题的力平移定理 作用在刚体上的力可向刚体上任意一点平移， 但必须附加一力偶，这个附加力偶矩矢等于力对平 移点的力矩矢。
28
[例2-4] 均质平面薄板的尺寸如图所示，试求其重心坐标。
29
解：分割法：将截面分成三部分，坐标系如图所示。
因为该平面薄板关于y 轴对称，其重心必在y轴上,即
xC 0 ,因此只需求 y C 。
30
三部分面积和重心坐标分别为
A1 75 380 10 6 0.0285m 2 , A2 75 380 10 6 0.0285m 2 , A3 350 50 10 6 0.0175m 2 ,
15
线分布力可简化为一合力FR，需确定其合 力的大小和作用线的位置。 任取一微段dx,该微段 内分布力集度可看成不变， 因此在微段内合力大小为
dF q( x )dx
x q( x ) q l
因此，在全长l上，分布力大小为
x ql FR dF q( x )dx qdx 0 0 0 l 2
5.7m
Fy G1 G2 F2 sin 670.1kN FRy