量子力学课件 11量子跃迁

设初始时刻电子自旋态为 sz 的本征态 s z
在 t 时刻电子自旋 χ (t ) = ?
安
徽
学 大
理 物
=
学
院
（10）
2 ，即 ( 采用 sz 表象 )
（11）
⎛1⎞ χ (0) = ⎜ ⎟ ⎝0⎠
⎛ a(t ) ⎞ χ (t ) = ⎜ ( 12 ) ⎟ ⎝ b(t ) ⎠ 按初条件，a (0) = 1, b(0) = 0。把 ( 12 ) 式代入SchrÖdinger方程，
（11）
(0)
Ck(0) (t ) = δ k ′k ′k
(t ) = δ nk 。
′ i Ck(1) = eiωk′k t H k ′k ′k
积分，得
（12）
1 C (t ) = i
(1) k ′k (0) k ′k (1) k ′k
∫
t
0
′ eiωk′k t H k ′k d t
因此，在准确到微扰一级近似下，
即
i
Cnk e − iEnt ψ n = ∑ Cnk e − iEnt H ′ψ n ∑
n n
（8）
上式两边乘 ψ k ′ ，积分，利用本征函数的正交归一性，得
*
i Ck ′k = ∑ eiωk′n t k ′ H ′ n Cnk
n
其中
ωk ′n = ( Ek ′ − En )
方程 ( 9 ) 与 ( 7 ) 等价，只是表象不同而已。求解 ( 9 ) 时，要用到初条件 ( 6 )。
两式相加、减，得
安
徽
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理 物
学
院
（13）
a (t ) = cos ωL t , b(t ) = −i sin ωL t
即
⎛ cos ωL t ⎞ χ (t ) = ⎜ ⎟ −i sin ωL t ⎠ ⎝
（14）
解2 体系的能量本征态，即σ x 的本征态，本征值和本征态分别为 ( 参阅第 8 章，习题1 )
Ck ′k (t ) = C
当 k′ ≠
+ C (t ) = δ k ′k
k
( 末态不同于初态 )，
而
此即微扰论一级近似下的跃迁几率公式。此公式成立的条件是
安
徽
1 Ck ′k (t ) = i 1 Pk ′k (t ) = 2
学 ∫ 大∫
t 0
t 0
′ eiωk′k t H k ′k d t
′ H k ′k e
H ′ << H 0 ) , Cnk (t ) 随时间很缓慢地变化，体系仍有很
2
大的几率停留在原来状态，即
Cnk (t ) << 1 , ( n ≠ k ) 。在此情况下，
2
可以用微扰逐级近似方法，即含时微扰论来求解。
（2）用含时微扰论求解，跃迁几率公式
C 零级近似，即忽略 H ′影响。按 ( 9 ) 式， k ′k
an e −iEnt ψ n
n
Hψ n = Enψ n
学
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（5）
（6）
（7） （8）
ψ (0) = ψ k
= δ nk ，
（9）
ψ (t ) = ψ k e −iE t
k
即体系将保持在原来的能量本征态。这种量子态，称为定态。
如果体系在初始时刻并不处于某一个能量本征态，则以后也不处于 该本征态，而是若干能量本征态的叠加，如 ( 7 ) 式所示，式中
† +
练习 如上例 1，求电子自旋各分量的平均值随时间的变化。 答： sx
= 0 , s y = − sin 2ωL t , sz = cos 2ωL t 2 2
安
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11.2 量子跃迁几率，含时微扰论
（1）一般性讨论
在实际问题中，人们更感兴趣的往往不是泛泛地讨论量子态随时间 的演化，而是想知道在某种外界作用下体系在定态之间的跃迁几率。 设无外界作用时，体系的Hamilton量 (不显含 t ) 表为 H 0。包括 H 0
U (t ) = e −iHt ψ (0) 表成
安
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（2）
∂t = 0) ，则体系能量为守恒
（3）
ψ (t ) = U (t )ψ (0) = e −iHt ψ (0)
是描述量子态随时间演化的算符。如采取能量表象，把
ψ (0) = ∑ anψ n
an = (ψ n ,ψ (0))
n
在内的一组力学量完全集 F 的共同本征态记为 ψ n ( n 标记一组完备的 量子数 )。设体系初始时刻处于 当外界作用 H ′(t ) 加上之后，
并非完全集 F 中所有的力学量都能保持为守恒量，因而体系不能保持 在原来的本征态，而将变成 F 的各本征态的叠加，
安
徽
H = H 0 + H ′(t )
解1 令
⎛ 0 1⎞⎛ a ⎞ d ⎛a⎞ i ⎜ ⎟ = ωL ⎜ ⎟⎜ ⎟ 1 0 ⎠⎝ b ⎠ dt ⎝b⎠ ⎝
得 两式相加、减，得
a = −iωLb ,
b = −iωL a
d d (a + b) = −iωL (a + b) , (a − b) = iωL (a − b) dt dt
所以
a (t ) + b(t ) = [ a(0) + b(0) ] e − iωLt , a (t ) − b(t ) = [ a(0) − b(0) ] eiωLt
理 物 Quantum Transition 学 大 徽 安
第11章 量子跃迁
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第11章 量子跃迁
11.1 量子态随时间的演化 11.1.1 Hamilton量不含时的体系
11.1.2Hamilton量含时的体系，Berry绝热相 11.2 量子跃迁几率，含时微扰论 11.3 量子跃迁理论与不含时微扰论的关系 11.4 能量-时间不确定关系
安
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理 物
1 ⎛ 1⎞ ϕ+ = ⎜ ⎟ 2 ⎝ 1⎠
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（15）
与 ( 14 ) 式相同。
说明：
⎛1⎞ 1 1 a+ = (ϕ + , χ (0)) = ϕ χ (0) = (1 1) ⎜ ⎟ = 2 2 ⎝0⎠ ⎛1⎞ 1 1 † a− = (ϕ − , χ (0)) = ϕ − χ (0) = (1 −1) ⎜ ⎟ = 2 2 ⎝0⎠
∂ i ψ (t ) = Hψ (t ) ∂t
由于它是含时间一次导数的方程，当体系的初态 ψ (0) 给定之后，原则上 可以从方程 ( 2 ) 求解出以后任何时刻 t 的状态 ψ (t ) 。
11.1.1 Hamilton量不含时的体系
如体系的Hamilton量不显含 t (∂H
量。此时，ψ (t ) 的求解是比较容易的。方程 ( 2 ) 的解形式上可以表成
σ x = +1 , E = E+ = ωL ,
1 ⎛1⎞ σ x = −1 , E = E− = − ωL , ϕ− = ⎜ ⎟ 2 ⎝ −1⎠ ⎛1⎞ 电子自旋初态为 χ (0) = ⎜ ⎟ ，按 ( 7 ) 式和 ( 5 ) 式，t 时刻自旋态为 ⎝0⎠ χ (t ) = a+ e − iωLt ϕ+ + a− eiωLt ϕ− ⎛ cos ωL t ⎞ 1 − iωLt iωL t (e ϕ+ + e ϕ− ) = ⎜ = ⎟ （16） 2 ⎝ −i sin ωL t ⎠
an = (ψ n ,ψ (0)) 由初态ψ (0) 决定 ( 见 ( 5 ) 式 )。
道运动 )，电子内禀磁矩与外磁场的作用为
例1 设一个定域电子处于沿 x 方向的均匀磁场 B 中 ( 不考虑电子的轨
eB eB H = − μs ⋅ B = sx = σ x = ωLσ x μc 2μ c eB ωL = ( Larmor 频率 ) 2μ c
（3）讨论
① 禁戒跃迁，选择定则
由 ( 15 ) 式可以看出，跃迁几率与初态 k 、末态 k ′以及微扰 H ′ 的性
′ 质都有关。特别是，如果 H ′具有某种对称性, 使 H k ′k
即在一级微扰近似下，不能从初态 k 跃迁到末态 k ′ ，或者说从 k 态到 k ′ 态的跃迁是禁戒的 ( forbidden ) ，即相应有某种选择定则 ( selection rule)。
方程 ( 9 ) 右边只出现 H ′而不出现 开系数写成 Cnk
了。因此 Cnk (t ) 的变化只能来自
安
e − iEnt ，因子e − iEnt 把 H 0导致的态的演化反映进去
徽
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（9） （10）
H 0，是因为在 ( 3 ) 式中我们把展
H ′。此即相互作用表象。
当然，对于一般的 H ′(t ) ，问题求解是困难的。但如 H ′很微弱 ( 从 经典力学来讲
11.5 光的吸收与辐射的半经典处理
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11.5.1 光的吸收与受激辐射 11.5.2 自发辐射的Einstein理论
习题
11.1 量子态随时间的演化
量子力学中，关于量子态的问题，可分两类： (a)体系的可能状态问题，即力学量的本征态与本征值问题。 量子力学的基本假定之一是：力学量的观测值，即与力学量相应的 算符的本征值。通过求解算符的本征方程可以求出它们。特别重要的是 Hamilton量 ( 不显含t ) 的本征值问题，可求解不含时SchrÖdinger方程
（4）
ψ n 是包括 H 在内的一组守恒量完全集的共同本征态，即
( n 代表一组完备的量子数 )。把 ( 4 ) 式代入 ( 3 ) 式，利用 ( 6 ) 式，得
ψ (t ) =
特例 如果
a 即初始时刻体系处于能量本征态 ψ k ，相应能量为 Ek 。按 ( 4 ) 式， n
此时
安
徽
理 ∑ 物 学 大
量子态随时间的演化，遵守SchrÖdinger方程
用 ( 3 ) 式代入，得
∂ i ψ (t ) = ( H 0 + H ′)ψ (t ) ∂t
i
安∑
n
Cnk e − iEnt ψ n + ∑ =
n
徽
学 大∑
n
理 物
n
pi = pf ) 。
（7）
学
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Cnk (t ) En e − iEnt ψ n
Cnk (t ) e − iEnt Enψ n + ∑ Cnk e − iEnt H ′ψ n
得出能量本征值 E 和相应的本征态。要特别注意，在大多数情况下，能 级有简并，仅根据能量本征值 E 并不能把相应的本征态完全确定下来， 而往往需要找出一组守恒量完全集F ( 其中包括H )，并要求ψ 是它们的共 同本征态，从而把简并态完全标记清楚。
安
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Hψ = Eψ
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（1）
(b) 体系状态随时间演化的问题。量子力学的另一个基本假定是：体 系状态随时间的演化，遵守含时SchrÖdinger方程
( 不依赖于 t )。所以 Ck ′k ( 6 ) ，得
(0)
一级近似。按微扰论精神，在 ( 9 ) 式右边，令 Cnk (t ) ≈ Cnk 由此得出一级近似解
安
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(0)
学
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(0)
(t ) = 0,
即 Ck ′k
= 常数
(t ) = Ck(0) (0) = Ck ′k (0) 。再利用初条件 ′k
学 大
ψ (0) = ψ k
理 物
学
院
（1） （2）
ψ (t ) = ∑ Cnk (t ) e −iE t ψ n
n
（3）
n
按照波函数的统计诠释，在时刻 t 去测量力学量 F，得到 Fn 值的几率为
Pnk (t ) = Cnk (t )
2
经测量之后，体系从初始状态 ψ k 跃迁到 ψ n态。跃迁几率为 Pnk (t ) ，而 单位时间内的跃迁几率，即跃迁速率 ( transition rate ) 为
d d 2 wnk = Pnk (t ) = Cnk (t ) dt dt
于是问题归结为在给定的初条件 ( 1 ) 下，即
时如何去求解 Cnk (t ) 。
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（4）
（5）
Cnk (0) = δ nk
（6）
应当指出，通常人们感兴趣的跃迁当然是指末态不同于初态的情 况。但应注意，由于能级往往有简并，所以量子跃迁并不意味着末态能 量一定与初态能量不同。弹性散射就是一个例子。在弹性散射过程中， 粒子从初态 ( 动量为 pi 的本征态 ) 跃迁到末态 ( 动量为 pf 的本征态 )， 状态改变了( 动量方向 )，但能量并未改变 (
安
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学
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= 0, 则 Pk ′k = 0,
②
′ 利用 H ′的厄密性，H k ′k
′* = H kk ′ ，可以看出，在一级近似下，
从 k 态到 k ′态的跃迁几率 P ′k ，等于从 k
k ′态到 k 态的几率(k ′ ≠ k ) 。但
应注意，由于能级一般有简并，而且简并度不尽相同，所以不能一般地 讲：从能级 Ek 到能级 Ek ′的跃迁几率等于从能级 Ek ′到能级
iωk′k t
理 物
1 + i
∫e
0
t
iωk′k t
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（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3）
′ H k ′k d t
（14）
2
dt
（15）
Pk ′k (t ) << 1 (对 k ′ ≠ k )
（16）
即跃迁几率很小，体系有很大几率仍停留在初始状态。因为，如不然， 在求解一级近似解时，就不能把 Cnk (t ) 近似代之为 δ nk 。