初中培优竞赛含详细解析 第14讲 三角形
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详解：在Rt△ABC中，D为AB的中点，所以 所以 因为 所以
所以
因为DE上AB，所以 所以 所以
答： 的值为
技巧：在直角三角形中，已知中线，用定理可以迅速解题.
9. （2、3） （数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、三角形、解答题）
如图所示，在 中， 于D，AE平分 ，交CD于K，交BC于E，F是BE上的一点，且 求证：
∵ DE∥AB，∴
于是有 ，解得 ，
在△EAD中，因为 ,所以三角形是底角为30°的等腰三角形，知道两条腰的长度，易求出
技巧：通过做平行线，可使对应线段成比例，然后利用角平分线，解构造出来的等腰三角形.
6. （2、3） （数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、三角形、填空题）
如图所示，在 中， 一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，当P点移动_______秒时，PA与腰垂直.
证明：过K作KM∥BC交AB于M，如图.
∵KM∥BC∴
∵ ，∴ ，
又∵ ， ∴
∴ 又∵ KA公用
∴ ，
∴
∵ ,
∴ , 又∵
∴
在△ABC中，AC=BC， ，AD平分 交AC的延长线于点F，且垂足为E，则下列结论： 其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个
证明：∵ ， ∴∠BDE=∠BFC
又∵∠ADC=∠BDE ∴∠BFC=∠ADC
在△BFC和△ADC中
∴
∴ ， ，所以、正确
∵AE是∠BAF的角平分线，AE⊥BF，所以△BAF是等腰三角形，AB=AF
分析：设直角三角形两直角边长分别为a，b，则有
求得 所以三角形的面积是24.
详解：24
技巧：因为直角三角形的面积就等于两条直角边乘积的一半，所以我们求出ab即可解题.
5. （2、3） （数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、三角形、相似、填空题）
在 中， 的平分线交BC于D.若 则
详解：如图，过点D作DE∥AB，于是有 ，设 ，
易错点：原题有两种情况，分别有2条线段分别和两条腰垂直，不要遗漏.
7. （2、3） （数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、三角形、解答题）
如图所示，一只蚂蚁在矩形ABCD - 的盒子内从A点爬行到 点，已知 ，求蚂蚁爬行的最短距离的平方值.
分析：蚂蚁想从A点到 点，至少要经过盒子的2个面；求蚂蚁爬行的最短距离的平方值，也就是求蚂蚁爬行的最短距离；要求最短，那么我们不妨假设蚂蚁只爬过2个面.因为蚂蚁必须先到达和 同面的棱，那么就有3种情况，我们分别讨论.
当5 是次长边时有：(2，5，6)，(3，5，6)，(3，5，7)，(4，5，6)，(4，5，7)，(4，5，8)，
共有10种.
详解：D
技巧：根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
易错点：需要看清楚题意，边长为5的边，不为最短边，有且只有一边的边长为5.
3. (2、3) （数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、三角形、选择题）
∴BE=EF ∴ ，结论正确
又∵CF=CD ∴AF=AC+CD
∴AB=AC+CD，结论正确
详解：D
技巧：通过证明三角形全等，来确定正确的答案.
4. （1） （数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、三角形、直角三角形、填空题）
已知一个直角三角形的斜边长为10，周长为24，则这个三角形的是.
因为蚂蚁必须经过盒子的面，我们把蚂蚁爬过的面放在一个平面上讨论.
详解：我们把蚂蚁走过的路程放在一个平面上，有以下三种情况，根据两点之间直线最短，分别求蚂蚁经过2个面的各个最短距离：
(1)
所求最短距离平方值为74.
答：蚂蚁爬行的最短距离的平方值为74.
技巧：有时候把空间立体图形变成平面图形可以更加直观的解题.
1. (1、2) （数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、三角形、直角三角形、选择题）
在直角三角形中，斜边的平方恰好等于两条直角边乘积的2倍，那么这个三角形的三条边之比为()
A.3 :4 : 5B. 1 : 1 : 1C. 2 : 3 : 4D. 1 : 1:
分析：假设三角形的三边长为 ， 为斜边，根据勾股定理有：
分析：我们需要分两种情况谈论：
①如图1，过点A作 交BC于点P，由题意可知
当PA垂直AC时，∠BAP ，可得 , 10cm
∵∠PAB=∠PBA=30° ∴PB=PA=10cm
此时点P移动 （秒）；
②如图2，当PA垂直AB时，同理可得
此时点P移动 （秒）.
详解：5或者10
技巧：在等腰三角形中，利用特殊角的正弦、余弦解决问题.
，化简得
详解：D
技巧：巧用勾股定理解题.
2. (1、2) （数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、三角形、选择题）
已知一个三角形的三条边长均为正整数，若其中仅有一条边长为5，且它又不是最短边，则满足条件的三角形有()A.4个B.6个C.8个D.10个
分析：分两种情况：当5是最长边时有：(2，4，5)，(4，4，5)，(3，4，5)，(3，3，5)；
易错点：因为蚂蚁爬行必须经过盒面，所以不能凭空理解为连接2点的距离就是最短距离.
8. （2、3） （数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、三角形、解答题）
如图所示，在Rt△ABC中， ，D是AB的中点， 交BC于E，连结CD.求 的值.
分析：我们根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到2个等腰三角形，可以分别求出两个角，Baidu Nhomakorabea可解题.
所以
因为DE上AB，所以 所以 所以
答： 的值为
技巧：在直角三角形中，已知中线，用定理可以迅速解题.
9. （2、3） （数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、三角形、解答题）
如图所示，在 中， 于D，AE平分 ，交CD于K，交BC于E，F是BE上的一点，且 求证：
∵ DE∥AB，∴
于是有 ，解得 ，
在△EAD中，因为 ,所以三角形是底角为30°的等腰三角形，知道两条腰的长度，易求出
技巧：通过做平行线，可使对应线段成比例，然后利用角平分线，解构造出来的等腰三角形.
6. （2、3） （数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、三角形、填空题）
如图所示，在 中， 一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，当P点移动_______秒时，PA与腰垂直.
证明：过K作KM∥BC交AB于M，如图.
∵KM∥BC∴
∵ ，∴ ，
又∵ ， ∴
∴ 又∵ KA公用
∴ ，
∴
∵ ,
∴ , 又∵
∴
在△ABC中，AC=BC， ，AD平分 交AC的延长线于点F，且垂足为E，则下列结论： 其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个
证明：∵ ， ∴∠BDE=∠BFC
又∵∠ADC=∠BDE ∴∠BFC=∠ADC
在△BFC和△ADC中
∴
∴ ， ，所以、正确
∵AE是∠BAF的角平分线，AE⊥BF，所以△BAF是等腰三角形，AB=AF
分析：设直角三角形两直角边长分别为a，b，则有
求得 所以三角形的面积是24.
详解：24
技巧：因为直角三角形的面积就等于两条直角边乘积的一半，所以我们求出ab即可解题.
5. （2、3） （数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、三角形、相似、填空题）
在 中， 的平分线交BC于D.若 则
详解：如图，过点D作DE∥AB，于是有 ，设 ，
易错点：原题有两种情况，分别有2条线段分别和两条腰垂直，不要遗漏.
7. （2、3） （数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、三角形、解答题）
如图所示，一只蚂蚁在矩形ABCD - 的盒子内从A点爬行到 点，已知 ，求蚂蚁爬行的最短距离的平方值.
分析：蚂蚁想从A点到 点，至少要经过盒子的2个面；求蚂蚁爬行的最短距离的平方值，也就是求蚂蚁爬行的最短距离；要求最短，那么我们不妨假设蚂蚁只爬过2个面.因为蚂蚁必须先到达和 同面的棱，那么就有3种情况，我们分别讨论.
当5 是次长边时有：(2，5，6)，(3，5，6)，(3，5，7)，(4，5，6)，(4，5，7)，(4，5，8)，
共有10种.
详解：D
技巧：根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
易错点：需要看清楚题意，边长为5的边，不为最短边，有且只有一边的边长为5.
3. (2、3) （数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、三角形、选择题）
∴BE=EF ∴ ，结论正确
又∵CF=CD ∴AF=AC+CD
∴AB=AC+CD，结论正确
详解：D
技巧：通过证明三角形全等，来确定正确的答案.
4. （1） （数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、三角形、直角三角形、填空题）
已知一个直角三角形的斜边长为10，周长为24，则这个三角形的是.
因为蚂蚁必须经过盒子的面，我们把蚂蚁爬过的面放在一个平面上讨论.
详解：我们把蚂蚁走过的路程放在一个平面上，有以下三种情况，根据两点之间直线最短，分别求蚂蚁经过2个面的各个最短距离：
(1)
所求最短距离平方值为74.
答：蚂蚁爬行的最短距离的平方值为74.
技巧：有时候把空间立体图形变成平面图形可以更加直观的解题.
1. (1、2) （数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、三角形、直角三角形、选择题）
在直角三角形中，斜边的平方恰好等于两条直角边乘积的2倍，那么这个三角形的三条边之比为()
A.3 :4 : 5B. 1 : 1 : 1C. 2 : 3 : 4D. 1 : 1:
分析：假设三角形的三边长为 ， 为斜边，根据勾股定理有：
分析：我们需要分两种情况谈论：
①如图1，过点A作 交BC于点P，由题意可知
当PA垂直AC时，∠BAP ，可得 , 10cm
∵∠PAB=∠PBA=30° ∴PB=PA=10cm
此时点P移动 （秒）；
②如图2，当PA垂直AB时，同理可得
此时点P移动 （秒）.
详解：5或者10
技巧：在等腰三角形中，利用特殊角的正弦、余弦解决问题.
，化简得
详解：D
技巧：巧用勾股定理解题.
2. (1、2) （数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、三角形、选择题）
已知一个三角形的三条边长均为正整数，若其中仅有一条边长为5，且它又不是最短边，则满足条件的三角形有()A.4个B.6个C.8个D.10个
分析：分两种情况：当5是最长边时有：(2，4，5)，(4，4，5)，(3，4，5)，(3，3，5)；
易错点：因为蚂蚁爬行必须经过盒面，所以不能凭空理解为连接2点的距离就是最短距离.
8. （2、3） （数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、三角形、解答题）
如图所示，在Rt△ABC中， ，D是AB的中点， 交BC于E，连结CD.求 的值.
分析：我们根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到2个等腰三角形，可以分别求出两个角，Baidu Nhomakorabea可解题.